苏教版高中数学必修三 第31课时7.1.2随机事件的概率

互动课堂疏导引导1.随机事件的概率的定义一般地,如果随机事件A 在ｎ次试验中发生了ｍ次,当试验的次数ｎ很大时,我们可以将事件A 发生的频率n m 作为事件A 发生的概率的近似值,即P(A)≈nm . 疑难疏引（1）频率与概率有本质的区别.频率随着试验次数的改变而变化,概率却是一个常数,它是频率的科学抽象：当试验次数越来越大时频率向概率靠近. （2）正确理解频率与概率之间的关系.随机事件的频率,指此事件发生的次数与试验总次数的比值,它具有一定的稳定性,总在某个常数附近摆动,且随着试验次数的不断增多,这种摆动幅度越来越小.我们给这个常数取一个名字,叫做这个随机事件的概率.概率可看作频率在理论上的期望值,它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小.频率在大量重复试验的前提下可近似地作为这个事件的概率.因而,概率是对大量重复试验来说存在的一种统计规律.若掷15次硬币,正面出现5次就断定正面出现的概率是31,显然是错误的.因为它不是从大量重复的试验统计出来的.对单次试验来说,随机事件的发生是随机的,如某种子的发芽率为80%,随机选取10粒种子检测,若前2粒种子都未发芽,能不能说以下的8粒种子都发芽呢？不能,对任何一粒种子来说它不发芽的可能性都是20%.因而在做题时要重点把握概率的意义.（3）概率意义下的“可能性”是大量随机事件现象的客观规律,与我们日常所说的“可能”“估计”是不同的,也就是说：单独一次结果的不肯定性与积累结果的有规律性,才是概率意义下的“可能性”,事件A 的概率是事件A 的本质属性. (4)概率的这种定义叫做概率的统计定义有了概率的统计定义,我们就可以比较不同事件发生的可能性的大小了.（5）由概率的统计定义可知,求一个事件概率的基本方法,是通过大量的重复试验,用这个事件发生的频率近似地作为它的概率. 2.随机事件的概率的基本性质必然事件和不可能事件分别用Ω和∅来表示.不可能事件和必然事件虽然是两类不同的事件,但它们可以看作是随机事件的两个极端情况.用这种对立又统一的观点去看待它们,有利于认识它们的内在联系.由概率的定义,显然有P （Ω）=1；P （∅）=0.又如果随机事件A 在n 次试验中发生了m 次,则m≤n.所以,我们可以得出概率的基本性质. 随机事件的概率有两个基本性质：（1）对于任意一个事件A,都有0≤P(A)≤1；（2）必然事件的概率是1,不可能事件的概率是0.案例1 下列有三种说法：①概率就是频率；②某厂产品的次品率为3%,是指“从该厂产品中任意地抽取100件,其中一定有3件次品；③从一批准备出厂的灯泡中随机抽取15只进行质量检测,其中有1只是次品,说明这批灯泡中次品的概率为151.我们应该怎样看待这些说法呢？【探究】我们知道在实验中,某一事件出现的次数与总实验次数的比例叫频率,它是一个确定的值,描述的是已经发生了的事件的特征.但是对于尚未发生的事件,我们只能描述它发生的可能性的大小.不同的人做同一实验的结果不一定相同,即便是同一人在两次相同实验中的结果也可能不同,因而不同的人或同一人做两次相同实验,某一事件发生的频率可以不同,但随着实验次数的增多,在大量重复进行同一实验时,某一事件发生的频率总是接近于某一常数,在它附近摆动,这时就把这个常数叫做事件的概率,它实质上是频率的近似值,所以说法①是错误的；对第②种说法,次品率是3%,只能说明任意抽取一只灯泡进行检测,检测出是次品的可能性或概率是3%,并不一定是抽取100件,其中一定有3件次品.在这100件产品中可能一件次品也没有,可能有2件次品,也可能有3件次品,甚至这100件全是次品,所以说法②是错误的;从一批准备出厂的灯泡中随机抽取15只进行质量检测,其中有1只是次品,说明抽样灯泡中次品的频率为151,而并非这批灯泡的次品概率.实际上从这一批灯泡中随机抽取15只进行质量检验相当于进行了15次随机试验,而每次试验的结果也是随机的,所以这15次试验的结果也是随机的.“从一批准备出厂的灯泡中随机抽取15只进行质量检测,其中有1只是次品”这只是多个随机结果中的一个,它只能说明这次抽样检验的次品的频率为151,而次品的概率则可能比151高或比151低,并不一定是151,所以说法③也是错误的. 规律总结 正确理解概率的定义,把握好频率与概率的关系是解题的关键.案例2 射手甲中靶的概率是0.9,因此,我们认为,即使射手甲比较优秀,他射击10发子弹也不会全中,其中必有一发不中,试判断这种认识是否正确. 【探究】射手甲射击一次,中靶是随机事件,他射击10次可以看作是重复做了10次试验,而每次试验的结果都是随机的,所以他10次的结果也是随机的.这10次射击可以一次也不中,也可能中一次、二次……甚至10次都中.虽然中靶是随机事件,但却具有一定的规律性,概率为0.9说明在多数次的试验中,中靶的可能性稳定在0.9.实际上,他10发子弹全中的概率为0.910≈0.349,这是有可能发生的.被调查人数n 1 001 1 000 1 004 1 003 1 000 满意人数m 999 998 1 002 1 002 1 000 满意频率nm(1)计算表中的各个频率；（2）读者对某教辅教材满意的概率P （A ）约是多少？【探究】（1）表中各个频率依次是0.998,0.998,0.998,0.999,1.（2）由第（1）问的结果,知延边人民出版社在5次“读者问卷调查”中,收到的反馈信息是“读者对某教辅教材满意的概率约是P （A ）=0.998.” 用百分数表示就是P （A ）=99.8%. 规律总结 (1)概率的本质属性是：从数量上反映出一个事件发生的可能性的大小,它的范围是［0,1］,即任何一个事件A 的概率都满足0≤P(A)≤1.（2）本例中,读者对某教辅教材满意的概率可用下图直观地表示出来.从图中可以看出,这个概率值取为0.998,是因为5个频率数0.998,0.998,0.999,1中有3个（接近亦可）0.998,而5个频率数中0.999和1都只有1个.另外,从上图还可以看出,读者对某教辅教材的满意程度呈上升趋势. 活学巧用1.下列说法：①频率反映的是事件发生的频繁程度.概率反映的是事件发生的可能性大小.②做n 次随机试验.事件A 发生m 次,则事件A 发生的频率nm就是事件的概率.③百分率是频率,但不是概率.④频率是不能脱离具体的n 次的试验值,而概率是确定性的不依赖于试验次数的理论值.⑤频率是概率的近似值,概率是频率的稳定值.其中正确的说法是____________________.解析：本题概括了概率与频率的定义、联系和区别.由频率及概率的定义可知①是正确的.在②中,nm是事件A 发生的频率,由于概率是与频率接近一个常数,所以概率不一定等于频率,故②是错误的.概率虽是与频率接近的常数,但不时与频率相等（如必然事件）,所以③是不正确的.由概率定义知④⑤是正确的. 答案：①④⑤2.从一批准备出厂的电视机中,随机抽取10台进行质量检查,其中有1台是次品,能否说这批电视机中次品的概率是0.10? 解析：不能说这批电视机的次品的概率是0.10,因为这仅是10台电视机中次品的频率,由概率的定义可知,频率值可能等于概率值,也可能只接近于概率.3.某厂产品的次品率为2%,问“从该厂产品中任意地抽取100件,其中一定有2件次品”这一说法对不对？为什么？ 解析：这种说法不对.因为产品的次品率为2%,是指产品为次品的可能性为2%,所以从该厂产品中任意地抽取100件,其中可能有2件次品,而不是一定有2件次品.4.试解释下面情况中概率的意义：（1）某商场为促进销售,实行有奖销售活动,凡购买其商品的顾客中奖的概率为0.20. （2）一生产厂家称：我们厂生产的产品合格的概率是0.98. 解析：概率从数量上反映了一个事件发生的可能性的大小. 答案：（1）指购买其商品的顾客中奖的可能性是20%. （2）是说其厂生产的产品合格的可能性是98%. 5.事件A 的概率P(A)满足（ ） A.P （A ）=0 B.P （A ）=1C.0≤P(A)≤1D.P(A)＜0或P(A)＞1 解析：由概率定义易得0≤P(A)≤1. 答案：C6.下列说法正确的是（ ）A.任一事件的概率总在（0,1）之间B.不可能事件的概率为0C.概率为1的事件并不一定会发生D.以上均不对解析：∵P （A ）∈［0,1］,必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0. 答案：B7.某位同学做四选一的选择题,由于不会,只能随机选取一个选项,你认为他做对的概率大约为（ ）A.0.5B.0.25C.0D.0.4 解析：P=14=0.25答案：B8.从含有20个次品的1 000个显像管中任取一个,则它是正品的概率为（ ）A.501 B.491 C.5049 D.10001 解析：P=50491000980=. 答案：C请估计该种产品合格的概率.解析：由概率的定义可知,检测次数越多越接近概率值. 故概率P=1000954=0.954.（1）计算表中进球的频率；（2）这位运动员投篮一次,进球的概率是多少？解析：(1)由公式可计算出每场比赛该运动员罚球进球的频率依次为:4386=,431612,10797,43129,54108====. (2)由(1)知,每场比赛进球的频率虽然不同,但频率总是在43附近摆动,可知该运动员进球的概率为43. 11.李老师在某大学连续3年主讲经济学院的高等数学,下表是李老师这门课3年来的考试成经济学院一年级的学生王小慧下学期将修李老师的高等数学课,用已有的信息估计她得以下分数的概率（结果保留到小数点后三位）. （1）90分以上； （2）60—69分； （3）60分以上.解析：利用概率的计算公式求解即可.如果随机事件A 在ｎ次试验中发生了ｍ次,当试验的次数ｎ很大时,我们可以将事件A 发生的频率n m 作为事件A 发生的概率的近似值,即P(A)≈nm .由于参加考试的人数较多,则各组数据的频率可以近似地看作是这一组数据的概率.答案：利用计算器计算可得（1）0.067； (2)0.140； (3)0.891.。

高中数学讲义版块一：事件及样本空间1．必然现象与随机现象必然现象是在一定条件下必然发生某种结果的现象；随机现象是在相同条件下，很难预料哪一种结果会出现的现象．2．试验：我们把观察随机现象或为了某种目的而进行的实验统称为试验，把观察结果或实验的结果称为试验的结果．一次试验是指事件的条件实现一次．在同样的条件下重复进行试验时，始终不会发生的结果，称为不可能事件； 在每次试验中一定会发生的结果，称为必然事件；在试验中可能发生，也可能不发生的结果称为随机事件．通常用大写英文字母A B C ，，，来表示随机事件，简称为事件． 3．基本事件：在一次试验中，可以用来描绘其它事件的，不能再分的最简单的随机事件，称为基本事件．它包含所有可能发生的基本结果．所有基本事件构成的集合称为基本事件空间，常用Ω表示．版块二：随机事件的概率计算1．如果事件A B ，同时发生，我们记作A B ，简记为AB ； 2．一般地，对于两个事件A B ，，如果有()()()P AB P A P B =，就称事件A 与B 相互独立，简称A 与B 独立．当事件A 与B 独立时，事件A 与B ，A 与B ，A 与B 都是相互独立的．3．概率的统计定义一般地，在n 次重复进行的试验中，事件A 发生的频率mn，当n 很大时，总是在某个常数附近摆动，随着n 的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记为()P A ． 从概率的定义中，我们可以看出随机事件的概率()P A 满足：0()1P A ≤≤． 当A 是必然事件时，()1P A =，当A 是不可能事件时，()0P A =． 4．互斥事件与事件的并互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，或称互不相容事件．由事件A 和事件B 至少有一个发生（即A 发生，或B 发生，或A B ，都发生）所构成的事件C ，称为事件A 与B 的并（或和），记作C A B =．若C A B =，则若C 发生，则A 、B 中至少有一个发生，事件A B 是由事件A 或B 所包含的基本事件组成的集合．5．互斥事件的概率加法公式：若A 、B 是互斥事件，有()()()P A B P A P B =+若事件12n A A A ，，，两两互斥（彼此互斥），有1212()()()()n n P A A A P A P A P A =+++．事件“12n A A A ”发生是指事件12n A A A ，，，中至少有一个发生． 6．互为对立事件知识内容板块二.随机事件的概率计算高中数学讲义 不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做互为对立事件．事件A 的对立事件记作A ．有()1()P A P A =-． <教师备案>1．概率中的“事件”是指“随机试验的结果”，与通常所说的事件不同．基本事件空间是指一次试验中所有可能发生的基本结果．有时我们提到事件或随机事件，也包含不可能事件和必然事件，将其作为随机事件的特例，需要根据情况作出判断．2．概率可以通过频率来“测量”，或者说是频率的一个近似，此处概率的定义叫做概率的统计定义．在实践中，很多时候采用这种方法求事件的概率．随机事件的频率是指事件发生的次数与试验总次数的比值，它具有一定的稳定性，总是在某个常数附近摆，且随着试验次数的增加，摆动的幅度越来越小，这个常数叫做这个随机事件的概率．概率可以看成频率在理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，频率在大量重复试验的前提下可近似地看作这个事件的概率．3．基本事件一定是两两互斥的，它是互斥事件的特殊情形．主要方法：解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”： 求概率的步骤是：第一步，确定事件性质⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩等可能事件 互斥事件独立事件 n 次独立重复试验，即所给的问题归结为四类事件中的某一种．第二步，判断事件的运算⎧⎨⎩和事件积事件，即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件．第三步，运用公式()()()()()()()()(1)k k n k n n m P A nP A B P A P B P A B P A P B n P k C p p -⎧=⎪⎪⎪+=+⎨⎪⋅=⋅⎪=-⎪⎩等可能事件: 互斥事件： 独立事件： 次独立重复试验:求解第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复．解决此类问题的关键是会正确求解以下六种事件的概率（尤其是其中的（4）、（5）两种概率）： ⑴ 随机事件的概率，等可能性事件的概率； ⑵ 互斥事件有一个发生的概率； ⑶ 相互独立事件同时发生的概率； ⑷ n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率； ⑸ n 次独立重复试验中在第k 次才首次发生的概率； ⑹ 对立事件的概率． 另外：要注意区分这样的语句：“至少有一个发生”，“至多有一个发生”，“恰好有一个发生”，“都发生”，“不都发生”，“都不发生”，“第k 次才发生”等．题型一 概率与频率【例1】下列说法：①频率是反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性的大小；典例分析高中数学讲义②做n次随机试验，事件A发生的频率mn就是事件的概率；③百分率是频率，但不是概率；④频率是不能脱离具体的n次试验的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；⑤频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．其中正确的是（）A．①④⑤B．②④⑤C．①③④D．①③⑤【例2】对某工厂所生产的产品质量进行调查，数据如下：950件合格品，大约需要抽查多少件产品？【例3】某篮球运动员在最近几场大赛中罚球投篮的结果如下：（（2）这位运动员投篮一次，进球的概率为多少？【例4】下列说法：①频率是反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性的大小；②做n次随机试验，事件A发生m次，则事件A发生的概率为mn；③频率是不能脱离n次试验的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．其中正确命题的序号为．【例5】盒中装有4只相同的白球与6只相同的黄球．从中任取一只球．试指出下列事件分别属于什么事件？它们的概率是多少？⑴A=“取出的球是白球”；⑵B=“取出的球是蓝球”；⑶C=“取出的球是黄球”；⑷D=“取出的球是白球或黄球”．高中数学讲义题型二 独立与互斥【例6】（2010辽宁高考）两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为A ．12B ．512C ．14D ．16【例7】掷两枚均匀的骰子，记A =“点数不同”，B =“至少有一个是6点”，判断A 与B 是否为独立事件．【例8】设M 和N 是两个随机事件，表示事件M 和事件N 都不发生的是（ ）A ．M N +B ．M N ⋅C ． M N M N ⋅+⋅D ．M N ⋅【例9】判断下列各对事件是否是相互独立事件⑴ 甲组3名男生、2名女生；乙组2名男生、3名女生，今从甲、乙两组中各选1名同学参加 演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”． ⑵ 容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”．【例10】⑴某县城有两种报纸甲、乙供居民订阅，记事件A 为“只订甲报”，事件B 为“至少订一种报”，事件C 为“至多订一种报”，事件D 为“不订甲报”，事件E 为“一种报也不订”．判断下列每对事件是不是互斥事件，再判断它们是不是对立事件．①A 与C ；②B 与E ；③B 与D ；④B 与C ；⑤C 与E ．高中数学讲义【例11】抛掷一枚骰子，记事件A为“落地时向上的数是奇数”，事件B为“落地时向上的数是偶数”，事件C为“落地时向上的数是3的倍数”，事件D为“落地时向上的数是6或4”，则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是（）A．A与B B．B与C C．A与D D．C与D【例12】每道选择题都有4个选择支，其中只有1个选择支是正确的．某次考试共有12道选择题，某人说：“每个选择支正确的概率是14，我每题都选择第一个选择支，则一定有3题选择结果正确”．对该人的话进行判断，其结论是（）A．正确的B．错误的C．模棱两可的D．有歧义的题型三随机事件的概率计算【例13】（2010丰台二模）一个正三角形的外接圆的半径为1，向该圆内随机投一点P，点P恰好落在正三角形外的概率是_________．【例14】（2010崇文一模）从52张扑克牌（没有大小王）中随机的抽一张牌，这张牌是J或Q或K的概率为_______．【例15】（2010朝阳一模）一只小蜜蜂在一个棱长为30的正方体玻璃容器内随机飞行．若蜜蜂在飞行过程中与正方体玻璃容器6个表面中至少有一个的距离不大于10，则就有可能撞到玻璃上而不安全；若始终保持与正方体玻璃容器6个表面的距离均大于10，则飞行是安全的，假设蜜蜂在正方体玻璃高中数学讲义 容器内飞行到每一位置可能性相同，那么蜜蜂飞行是安全的概率是（ ）A ．18B ．116C ．127D ．38【例16】（2010东城二模）在直角坐标系xOy 中，设集合{}(,)01,01x y x y Ω=≤≤≤≤，在区域Ω内任取一点(,)P x y ，则满足1x y +≤的概率等于 ．【例17】（2010朝阳一模）在区间[π,π]-内随机取两个数分别记为,a b ，则使得函数22()2πf x x ax b =+-+有零点的概率为（ ）A ．78B ．34C ．12D ．14【例18】（2010东城一模）某人向一个半径为6的圆形标靶射击，假设他每次射击必定会中靶，且射中靶内各点是随机的，则此人射击中靶点与靶心的距离小于2的概率为（ ）A ．113B ．19 C ．14 D ．12【例19】（2010西城一模）在边长为1的正方形ABCD 内任取一点P ，则点P 到点A 的距离小于1的概率为 ．【例20】（2010丰台二模）已知(){},|6,0,0x y x y x y Ω=+≤≥≥，{}(,)4,0,20A x y x y x y =-≤≥≥．若向区域Ω上随机投一点P ，则点P 落入区域A 的概率是_________．高中数学讲义【例21】（2010朝阳一模）袋子中装有编号为,a b的2个黑球和编号为,,c d e的3个红球，从中任意摸出2个球．⑴写出所有不同的结果；⑵求恰好摸出1个黑球和1个红球的概率；⑶求至少摸出1个黑球的概率．【例22】（2010崇文二模）在平面直角坐标系xOy中，平面区域W中的点的坐标(,)x y满足225x y+≤，从区域W中随机取点(,)M x y．⑴若x∈Z，y∈Z，求点M位于第四象限的概率；⑵已知直线:(0)l y x b b=-+>与圆22:5O x y+=y x b-+≥的概率．【例23】（2010西城一模）一个盒子中装有4张卡片，每张卡片上写有1个数字，数字分别是1、2、3、4．现从盒子中随机抽取卡片．⑴若一次抽取3张卡片，求3张卡片上数字之和大于7的概率；⑵若第一次抽1张卡片，放回后再抽取1张卡片，求两次抽取中至少一次抽到数字3的概率．高中数学讲义【例24】（2010海淀一模）某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动．活动规则如下：消费每满100元可以转动如图所示的圆盘一次，其中O为圆心，且标有20元、10元、0元的三部分区域面积相等．假定指针停在任一位置都是等可能的．当指针停在某区域时，返相应金额的优惠券．（例如：某顾客消费了218元，第一次转动获得了20元，第二次获得了10元，则其共获得了30元优惠券．）顾客甲和乙都到商场进行了消费，并按照规则参与了活动．⑴若顾客甲消费了128元，求他获得优惠券面额大于0元的概率？⑵若顾客乙消费了280元，求他总共获得优惠券金额不低于20元的概率？【例25】（2010石景山一模）为援助汶川灾后重建，对某项工程进行竞标，共有6家企业参与竞标．其中A企业来自辽宁省，B、C两家企业来自福建省，D、E、F三家企业来自河南省．此项工程需要两家企业联合施工，假设每家企业中标的概率相同．⑴企业E中标的概率是多少？高中数学讲义⑵在中标的企业中，至少有一家来自河南省的概率是多少？【例26】（2010湖北高考）投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰于向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是A．512B．12C．712D．34【例27】盒子中有大小相同的3只小球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是．【例28】（2010江西高考）一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测．方法一：在100箱中各任意检查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查两枚．国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别为12,p p，则（）A．12p p=B．12p p<C．12p p>D．以上三种情况都有可能【例29】（2010陕西卷高考）铁矿石A和B的含铁率a，冶炼每万吨铁矿石的2CO的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：高中数学讲义2最少费用为______（百万元）．【例30】甲、乙两人进行击剑比赛，甲获胜的概率是0.41，两人战平的概率是0.27，那甲不输的概率为________甲不获胜的概率为_______．【例31】已知A B ，是相互独立事件，且()0.3P A =，()0.6P B =，则()P A B ⋅=______．【例32】某人射击5枪，命中3枪，3枪中恰有2枪连中的概率为（ ）A ．120B ．110C ．25D ．35【例33】袋中有大小相同的5个白球和3个黑球，从中任意摸出4个，求下列事件发生的概率．⑴ 摸出2个或3个白球； ⑵ 至少摸出一个黑球．【例34】一批产品共100件，其中5件是废品，任抽10件进行检查，求下列事件的概率．⑴ 10件产品中至多有一件废品；⑵ 10件产品中至少有一件废品．【例35】（2009湖南卷文）为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类．这三类工程所含项目的个数分别占总数的12，13，16．现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设．求：⑴他们选择的项目所属类别互不相同的概率；⑵至少有1人选择的项目属于民生工程的概率．【例36】甲、乙二射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：⑴2人都射中的概率？⑵2人中有1人射中的概率？【例37】（2009全国卷Ⅰ文）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．⑴求再赛2局结束这次比赛的概率；⑵求甲获得这次比赛胜利的概率．【例38】纺织厂某车间内有三台机器，这三台机器在一天内不需工人维护的概率：第一台为0.9，第二台为0.8，第三台为0.85，问一天内：⑴3台机器都要维护的概率是多少？⑵其中恰有一台要维护的概率是多少？⑶至少一台需要维护的概率是多少？【例39】从甲口袋摸出一个红球的概率是13，从乙口袋中摸出一个红球的概率是12，则23是（）A．2个球不都是红球的概率B．2个球都是红球的概率C．至少有一个红球的概率D．2个球中恰好有1个红球的概率【例40】甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为13和14，求：⑴两个人都译出密码的概率；⑵两个人都译不出密码的概率；⑶恰有1个人译出密码的概率；⑷至多1个人译出密码的概率；⑸至少1个人译出密码的概率．【例41】现时盛行的足球彩票，其规则如下：全部13场足球比赛，每场比赛有3种结果：胜、平、负，13场比赛全部猜中的为特等奖，仅猜中12场为一等奖，其它不设奖，则某人获得特等奖的概率为．【例42】从10位同学（其中6女，4男）中，随机选出3位参加测验，每位女同学能通过测验的概率均为45，每位男同学能通过测验的概率均为35，试求：⑴选出的3位同学中至少有一位男同学的概率；⑵10位同学中的女同学甲和乙及男同学丙同时被抽到，且三人中恰有二人通过测验的概率．【例43】（08天津）甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为12与p，且乙投球2次均未命中的概率为116．⑴求乙投球的命中率p；⑵求甲投球2次，至少命中1次的概率；⑶若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中2次的概率．【例44】甲盒中有红、黑、白三种颜色的球各个，乙盒子中有黄、黑、白三种颜色的球各个，32从两个盒子中各取个球，求取出的两个球是不同颜色的概率．【例45】某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得．第1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为，，A B C ，求： ⑴()()()，，P A P B P C ； ⑵1张奖券的中奖概率；⑶1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．【例46】把10张卡片分别写上0129，，，，后，任意叠放在一起，从中任取一张，设“抽到大于3的奇数”为事件A ，“抽到小于7的奇数”为事件B ，求()P A ，()P B 和()P A B ．【例47】甲、乙两人下棋，乙不输的概率是0.7，下成和棋的概率为0.5，分别求出甲、乙获胜的概率．1【例48】黄种人群中各种血型的人所占的比如下表所示：AB型血的人，其他不同血型的人不能互相输血．小明是B型血，若小明因病需要输血，问：⑴任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？⑵任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？【例49】在袋中装20个小球，其中彩球有n个红色、5个蓝色、10个黄色的，其余为白球．求：⑴如果从袋中取出3个都是相同颜色彩球（无白色）的概率是13114，且2≥n，那么，袋中的红球共有几个？⑵根据⑴的结论，计算从袋中任取3个小球至少有一个是红球的概率．【例50】某射手射击一次射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.120.320.270.11，，，，计算这名射手射击一次：⑴射中9环或8环的概率；⑵至少射中7环的概率；⑶至多射中8环的概率．【例51】射击运动员李强射击一次击中目标的概率是0.8，他射击3次，恰好2次击中目标的概率是多少？【例52】在12345，，路车的到来．假如汽车，，，，条线路汽车经过的车站上，有位乘客等候着134经过该站的次数平均来说2345，，，路车是相等的，而1路车是其他各路车次数的总和．试求首先到站的汽车是这位乘客所需要线路的汽车的概率．【例53】（2007年全国I卷文）某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买．根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是0.6，经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润200元；若顾客采用分期付款，商场获得利润250元．⑴求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率；⑵求3位位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元的概率．【例54】（2007年全国II卷文）从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率()0.96P A ．⑴求从该批产品中任取1件是二等品的概率p；⑵若该批产品共100件，从中任意抽取2件，求事件B：“取出的2件产品中至少有一件二等P B．品”的概率()【例55】（2009全国卷Ⅰ文）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．⑴求再赛2局结束这次比赛的概率；⑵求甲获得这次比赛胜利的概率．【例56】为防止某突发事件发生，有甲、乙、丙、丁四种相互独立的预防措施可供采用，万元的前提下，请确定一个预防方案，使得此突发事件不发生的概率最大．【例57】某售货员负责在甲、乙、丙三个柜面上售货．如果在某一小时内各柜面不需要售货员照顾的概率分别为0.90.80.7，，．假定各个柜面是否需要照顾相互之间没有影响，求在这个小时内：⑴只有丙柜面需要售货员照顾的概率；⑵三个柜面恰好有一个需要售货员照顾的概率；⑶三个柜面至少有一个需要售货员照顾的概率．【例58】（2006年北京卷）某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案．方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过．，，，且三门课程考试是否及格相互假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是a b c之间没有影响．⑴分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率；⑵试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小．（说明理由）【例59】假设飞机的每一台发动机在飞行中的故障率都是1P，且各发动机互不影响．如果至少50%的发动机能正常运行，飞机就可以顺利地飞行．问对于多大的P而言，四发动机飞机比二发动机飞机更安全？【例60】（2009陕西卷文）椐统计，某食品企业一个月内被消费者投诉的次数为012，，的概率分别为0.4，0.5，0.1⑴求该企业在一个月内被消费者投诉不超过1次的概率；⑵假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率．【例61】某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为45、35、25、15，且各轮问题能否正确回答互不影响．⑴求该选手进入第四轮才被淘汰的概率；⑵求该选手至多进入第三轮考核的概率．题型四 条件概率【例62】设某批产品有4%是废品，而合格品中的75%是一等品，任取一件产品是一等品的概率是_____．【例63】某地区气象台统计，该地区下雨的概率是415，刮风的概率是215，既刮风又下雨的概率是110，设A =“刮风”，B =“下雨”，求()()P B A P A B ，．【例64】（09上海春）把一枚硬币抛掷两次，事件A =“第一次出现正面”，事件B =“第二次出现反面”，则()_____P B A =．【例65】（2010宣武二模）抛掷一枚质地均匀的骰子，所得点数的样本空间为{}1,2,3,4,5,6S =．令事件{}2,3,5A =，高中数学讲义21 思维的发掘 能力的飞跃 事件{}1,2,4,5,6B =，则()P A B 的值为（ ）A ． 35B ． 12C ． 25D ．15【例66】设某种动物活到20岁以上的概率为0.7，活到25岁以上的概率为0.4，求现龄为20岁的这种动物能活到25岁以上的概率．【例67】抛掷一颗骰子两次，在第一次掷得向上一面点数是偶数的条件下，则第二次掷得向上一面点数也是偶数的概率为 ．【例68】掷两枚均匀的骰子，记A =“点数不同”，B =“至少有一个是6点”，求(|)P A B 与(|)P B A ．。