第三章 功和能

第三章 功和能能量这个概念很重要，这是因为能量守恒定律是一切变化和过程所必须遵守的定律，因而是自然界中一条普遍规律．而功和能量这两个概念是密切相关的，所以都是物理学中的重要概念．这一章的要求是：理解功和能的概念；掌握动能定理、功能原理和机械能守恒定律，熟练地应用它们解决有关实际问题．§3－1 功 功率功的概念来源于机械工作，各种机械工作有一共同特点，即机械对工作对象有力的作用，而且工作对象沿力的方向有一位移．由此我们总结出功的概念：当物体受到力的作用并且沿力的方向有一位移时，我们就说这个力对物体作了功．如果物体没有位移或沿力的方向没有位移，力都没有作功．例如吊车吊着重物不动或使重物在一水平面上作匀速运动，吊车施于重物的力就没有作功．下面我们介绍功的定量定义，首先考虑恒力的功，然后考虑变力的功．一、恒力的功大小和方向都不变的力叫做恒力．假设质点在恒力F 作用下由a 点沿直线运动到b 点，其位移为s (图3－1)，我们定义力对质点所作的功为力在位移方向的分量与位移大小的乘积．设θ为力F 的方向与位移s 的方向的夹角，则力在位移方向的分量为F cos θ，所以力对质点所作的功为θθc o s )c o s (Fs s F W == （3－1） 以上定义的功也可用矢量的标积表示为s F ⋅=W （3－2）因为功没有方向意义，所以功是标量，但由(3－1)式看出，功有正负．当0 ≤ θ < 90°时，W > 0，力F 作正功；当θ = 90°时，W = 0，力F 不作功；当90°< θ ≤180°时，W < 0，力F 作负功．当力F 对物体作负功时，我们说物体克服力F 作功．例如用一水平方向的力拉平地上的物体，使它沿水平方向运动(图3－2)．作用于物体的力有拉力F ，重力G ，地面的支承力F N ，地面的摩擦力F f ．力F 作正功，G 及F N 不作功，F f 作负功．应当注意，摩擦力不一定作负功，它可以作正功或不作功．例如在商场通往上一层楼的传送带上放置的货物受到传送带对它的摩擦力F f 作用(图3－3)，这个摩擦力的方向和货物的运动方向相同，故这个摩擦力作正功．又如汽车在水平地面上转弯时，使汽车产生法向加速度的法向力是由地面对汽车的静摩擦力提供的，这个力和汽车的运动方向垂直，故不作功．二、变力的功图3－1图3－2 图3－3在通常情况下，质点运动的轨道不是直线而是曲线，作用于质点的力也不是恒力而是变力，即力的大小和方向随质点的位置而变化，还可能与质点的速度及时间有关．如图3－4，设质点在变力F 作用下由a 点沿曲线运动到b 点，求力F 所作的功．为简单起见，假设力F 仅与质点的位置有关，是质点的位矢r 的函数，在此情形，(3－1)或(3－2)式不适用．解决的办法是将曲线ab 划分为许许多多小段，设与各小段对应的位移为Δr1，Δr 2，…，Δr i ，…．当各小段充分小时，每一小段可看成一直线段，因为力F 连续地变化，质点在各小段上的各点所受的力近似地等于质点在各该小段的起始点所受的力，分别用F 1，F 2，…，F i ，…表示．按照(3－2)式，力在位移Δr i 中所作的功ΔW i 近似地等于F i 与Δr i 的标积，即i i i W r F ΔΔ⋅≈i i r F Δ⋅称为力在位移Δr i 中的元功．力F 在整个路程ab 中的功W 近似地等于在所有各小段位移中的元功之和，即∑∑⋅≈=i i i W W r F ΔΔ设λ为各小段弧长的最大值，λ越小，每一小段的弧越接近于它所对的弦(即Δr i )，质点在每一小段上各点所受的力越接近于在该小段的起始点所受的力(即F i )．因此，λ越小，在每一小段上，标积i i r F Δ⋅越接近于力在该小段中的功ΔW i ，因而和数∑⋅i i r F Δ就越接近于在整个路程中的功W ．当0→λ时，和数∑⋅i i r F Δ的极限值便完全等于W 了．此极限值在积分学上称为函数F (r )沿曲线ab 的线积分，记为⎰⋅r F d ，于是得 ⎰∑⋅=⋅=→i i W r F r F d Δlim 0λ （3－3） 特殊情形(1)：如果在整个路程ab 中作用力F 为恒力，则(3－3)式化为 s F r r F r F ⋅=-⋅=⋅=⎰)(d a b b a W （3－4） 其中r a 和r b 分别为a 点和b 点对原点O 的位矢，s = r b - r a 为由a 点到b 点的位移(图3－5)．(3－4)式与(3－2)式相同．可见质点在恒力作用下作曲线运动时，(3－2)式仍然适用．图3－4图3－5特殊情形(2)：如果力F 和位移d r 都在同一直线上，取此直线为x 轴，则F 和d r 可用x 轴上单位矢i 表示为F = F i ， d r = d x i于是(3－3)式化为⎰⎰=⋅=b a x x x F x F W d )d ()(i i （3－5） 此处F 和d x 是代数量，即不论力和位移是同向或反向，上式都适用，因而具有一般性．如果令F 表示F 的大小，d s 表示d r 的大小，θ为F 与d r 之间的夹角，则(3－3)式可写为⎰⎰=⋅=abab s F W d cos d θr F （3－6） 合力的功 如果质点同时受到几个力F l ，F 2，F 3，…作用，则作用于质点的合力为F = F l + F 2 + F 3 +…合力的功为+++=+⋅+⋅+⋅=⋅=⎰⎰⎰⎰321321 d d d d W W W W abab r F r F r F r F即合力的功等于各个分力的功的代数和．功的单位和量纲 由W = Fs 得知，功的单位由F 的单位和s 的单位决定，在国际单位制中，功的单位是焦耳，符号为J ．1 J 就是1N 的力使质点沿力的方向移动1 m 所作的功，功的量纲是ML 2T -2．三、功率功的概念不包含时间因素，但在生产实践中时间因素非常重要．例如有两台机器，一台机器比另一台机器可以在较短的时间完成同样多的功，显然第一台机器作功比第二台快．因此我们引入功率这个概念，它是表示作功快慢的一个物理量，数值上等于单位时间内所作的功．如果在Δt 时间内所作的功为ΔW ，则在这段时间内的平均功率为tW P ΔΔ= 当Δt →0时，即得瞬时功率：tW t W P t d d ΔΔlim 0Δ==→ 如果力F 作用在物体上使它获得速度v ，则物体消耗的功率为v v ⋅=⋅=⋅==F F r F tt t t W P d d d d d d （3－7） 其中d r 为物体在d t 时间内的位移．根据定义，功率的单位是功的单位与时间的单位之比．在国际单位制中，功率单位为焦耳每秒，称为瓦特，简称为瓦，符号为W ．例题3－1 恒力F 将质量为15kg 的物体以匀速v = 5 m/s 拉上山坡，山坡的斜率为0.1，物体与山坡间的摩擦系数为0.2，求 (1) 在1 min 内作用于物体的各力所作的功；(2)合力的功；(3) 力F 的功率．解 作用于物体的力有拉力F ，重力m g ，摩擦力F f 及山坡的反作用力F N ．将重力分解为分力mg sin θ及mg cos θ如图3－6，其中θ为山坡与水平面的夹角，sin θ ≈tan θ = 0.1，cos θ ≈ 1．因为物体作匀速运动，作用于物体的合力为零，故由图得mg F F mg mg F μμθ====N f N ,cosmg mg mg F )sin (sin θμθμ+=+= 在1min 内物体移动的距离为 s = 60×5 m = 300 m ．(1) 力F 的功为J 230 13J 3008.915)1.02.0()sin (=⨯⨯⨯+=+=mgs W F θμ重力的功为J 410 4J 3001.08.915sin -=⨯⨯⨯-=-=s mg W m g θ摩擦力的功为J 820 8J 3008.9152.0f -=⨯⨯⨯-=-=mgs W F μ反作用力F N 的功为0N =F W(2) 合力的功为0J 0)820 8410 4230 13(N f =+--=+++=F F m g F W W W W W这个结果不经过计算也是可以预料到的，因为合力为零．(3) 力F 的功率为W 5.202 W 58.915)1.02.0()sin (=⨯⨯⨯+=+==v v mg F P θμ例题3－2 用F = 10 N 的恒力通过轻绳和轻滑轮沿光滑水平面拉动重物，如图3－7．设图中所示高度h = 2 m ，不计绳与滑轮间和轮轴处的摩擦，在将重物由位置A (绳与水平面的夹角θ = 30°)拉到位置B (绳与水平面的夹角θ = 37°)的过程中，求力F 所作的功． 解 以位置A 为原点，向右为x 轴正向取如图3－7所示的坐标轴Ax ，设由位置A 到滑轮正下方位置C 间的距离为L ，当重物移动到坐标为x 处时绳与水平面间的夹角为θ，则由几何关系可得θcot h L x -=图3－6图3－7微分得 θθθθd sin d csc d 22h h x == 重物沿水平面移动的过程中，恒力F 沿绳作用在重物上的力F 的方向随θ变化，是一变力．恒力F 对重物所作的功等于F 的水平方向分量F cos θ所作的功，则由A 到B 的过程中力F 所作的功为J 6.77J 37sin 130sin 1210 sin 1sin 1sin sin d d sin cos d cos 21222121=⎪⎭⎫ ⎝⎛︒-︒⨯⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-====⎰⎰⎰θθθθθθθθθθθθFh Fh Fh x F W B A§3－2 动能 动能定理能的概念和功的概念有密切联系．什么叫做能？如果一个物体能够作功，我们说它具有能或能量．能就是作功的能力或作功的本领．在本节中我们首先说明动能这一概念．根据经验，凡是运动着的物体都能够作功，例如水流(即流动的水)能够推动水磨或水车而作功，风(即流动的空气)能够推动风车、帆船而作功．所以凡是运动着的物体都具有能．物体由于运动而具有的能称为动能．物体的动能与哪些因素有关？根据动能概念，静止的物体是没有动能的，只有运动的物体才具有动能．又根据经验，物体运动速度越快，它作功的本领就越大．例如打桩机重锤下落的速度越快，它撞击水泥桩使之进入地面就越深，所作的功就越大．可见物体的速度越快，它的动能就越大．即是说物体的动能与它的速度有关．另一方面，当外力对物体作功时，物体的速度要发生变化，也就是它的动能要发生变化．由此可见，外力对物体作功与物体动能的变化有关．现在我们来研究它们之间的关系．设物体在合外力F 作用下沿一曲线由a 点运动到b 点，在a 、b 两点的速度分别为v 1及v 2，根据牛顿第二定律，曲线运动的切向运动方程为t m F d d t v = 其中F t 为合外力F 在切线方向的投影(图3－8)，即 θcos t F F =又 t s d d v =合并以上三式得v v v v d d d d cos m dt tm s F ==θ 物体从a 点运动到b 点时，由(3－6)式，合外力所作的功为⎰⎰==21d d cos v v v v m s F W b a θ 即 21222121v v m m W -= （3－8） 物体的速度的平方与其质量的乘积之半2v m 21称为物体的动能，用E k 表示：图3－82v m E 21k = (3－8)式右边第一项为物体的末动能，第二项为物体的初动能，两项相减为动能的增量．(3－8)式表示，合外力对物体所作的功等于物体的动能的增量，这一结论称为动能定理．由(3－8)式看出，当合外力对物体作正功(W > 0)时，物体的末动能大于初动能，物体的动能增加．当合外力对物体作负功(W < 0)时，即物体克服外力作功时，物体的动能减少．由此可以理解，物体以一定速度运动时，它具有一定的动能，当物体克服外力作功时，就是依靠它的动能的减小来作功的．能量的单位和量纲与功相同，在国际单位制中能量的单位是焦耳，量纲是ML 2T -2．动能定理是从牛顿第二定律推出来的，它完全包含在牛顿第二定律之中，所以凡可以用动能定理解决的力学问题当然可以用牛顿第二定律来解决．但应用动能定理比直接用牛顿第二定律要方便些：应用此定理时，不管运动是直线运动或曲线运动，不管外力是恒力或变力，也不管物体运动状态变化如何复杂，只要求得在此过程中合外力所作的功，这功总是等于物体的末动能与初动能之差． 例题3－3 长为l m 的细线，上端固定，下端悬挂质量为2 kg 的小球，拉开小球使悬线与竖直方向成45°角的位置然后放手，求悬线与竖直方向成10°角时小球的速度． 解 当悬线被拉开45°角然后放手时，小球的初速度为零．小球在重力m g 及悬线的张力F T 作用下在平衡位置A 附近一圆弧上来回运动．为了应用动能定理求小球在任一位置C 时的速度，首先要计算小球从初位置B 运动到位置C 的过程中作用于小球的力所作的功．因悬线的张力F T 始终与小球的路径(圆弧)垂直，故不作功．而重力是恒力，故可应用(3－4)式计算重力的功，由图3－9得 )45cos (cos )( cos ︒-='-'=''==⋅=ϕθmg B O C O mg C B mg mgBC m W s g 因小球的初动能为零，在位置C 的动能为2v m 21，由动能定理得 )45cos (cos 21︒-=ϕmgl m 2v 或 )45cos (cos 2︒-=ϕgl v当︒=10ϕ时，m/s 33.2m/s )45cos 10(cos 1892=︒-︒⨯⨯⨯=.v§3－3 势 能不运动的物体没有动能，但它可以有其他形式的机械能——势能．例如打桩机的重锤，当它从高处落下时，能够把水泥桩打入土中而作功，瀑布的水从高处流下可以推动水轮机带动发电机发电，这些例子说明位于高处的重物具有能量，所以它能够作功．这种能量是因为物体受重力作用以及它对地球的相对位置而具有的，称为重力势能．又例如弹簧被拉伸或压缩时能带动物体作功，机械钟表的图3－9发条旋紧以后能够推动钟表机件作功，这些例子说明处于弹性形变状态的物体也具有能量，因而能够作功．这种能量是因为弹性体的各部分间有弹性力作用以及各部分间的相对位置而具有的，称为弹性势能．一般地说，由若干个物体组成的系统，由于系统中各物体间的相互作用以及相对位置而具有的能量统称为势能．所以势能有各种形式，除重力势能及弹性势能外，还有引力势能、静电势能、分子间的势能等．从本质上来说，我们之所以能够引入各种势能概念，是因为有关的相互作用力具有某种特性，所以在引入每一种势能之前我们先介绍有关特性．一、重力的功及重力的特性在以上两节中我们已就某些特例计算过重力的功，这一节将就一般情形计算重力的功，并说明其特性．假设物体在重力m g 作用下，由a 点沿曲线运动到b 点(图3－10)，由于在地球表面附近重力可以看成是恒力，故可用(3－4)式计算重力的功．令s 表示由a 点到b 点的位移，由(3－4)式得重力的功：θcos mgab m W =⋅=s g （3－9）其中θ为重力m g 与位移s 之间的夹角．如果令h 表示a 、b 两点间的高度差，则h ab =θcos ，故由(3－9)式得重力的功为 mgh W = （3－10）如果取物体运动所在的平面为xy 平面．x 轴在水平方向，y 轴竖直向上，又令y a 及y b 分别为a 点及b 点的y 坐标，则(3－10)式可写为b a b a mgy mgy y y mg W -=-=)( （3－11）由(3－11)式可以得出重力的重要特性，即重力的功仅与物体的初末位置有关，与所经过的路径无关．如果物体沿另一路径adb 由a 点运动到b 点，则因物体的位移仍为s ，故重力的功仍由(3－11)式表示．现在再来计算物体沿任意闭合路径acbda 运动一周时重力所作的功：bda acb acbda W W W +=因 a c bbda W m m W -=⋅-=-⋅=s g s g )( 所以 0=+=b d a a c b a c b d a W W W故重力的特性亦可表述如下：物体在重力场中沿任意闭合路径运动一周时，重力所作的功为零．二、重力势能由(3－11)式，当物体由a 点运动到b 点时，重力的功为b a ab mgy mgy W -= （3－12）图3－10此功等于两项之差，第一项仅与a 点位置有关，第二项仅与b 点位置有关．因此我们可以把这功定义为物体在a 点和b 点这两个位置的重力势能之差．设E p 表示重力势能，E p a 、E p b 分别表示物体在a 点和b 点时的重力势能，则b a ab E E W p p -= （3－13）从上式看出，重力的功等于重力势能的增量的负值)(p p a b E E --，当重力作正功时(W ab > 0)，物体的重力势能减少(E p b < E p a )；当重力作负功时，物体的重力势能增加．(3－13)式确定了物体在这两个位置的重力势能之差．为了确定物体在某一位置的重力势能，必须取定重力势能的零点，通常取地面为重力势能零点，即E p 地 = 0．由(3－13)式得a a a E E E W p p p =-=地地 （3－14）即如果取地面为重力势能零点，则物体在a 点的重力势能E p a 等于物体从a 点移到地面时重力所作的功(W a 地)．这样，如果a 点距地面的高度为h ，则质点在a 点的重力势能为mgh E a =p （3－15）应当指出：(1) 物体在两个位置的重力势能之差有绝对意义，但物体在某一位置的重力势能只有相对意义．从(3－13)式看出，物体在两个位置的重力势能之差等于物体从一个位置移到另一个位置时重力所作的功，因为这个功与路径无关，仅与初末位置有关，所以物体的重力势能之差有绝对意义．但物体在某一位置的重力势能只有相对意义，因为这个势能的值实际上指的是物体在该位置的重力势能与在势能零点的重力势能之差，而势能零点的选取是有随意性的，相对于不同的势能零点，物体在同一点的重力势能就有不同的值．(2) 重力势能属于质点与地球所组成的系统．物体之所以具有重力势能是由于受重力作用的结果．如果没有地球，便没有重力，就谈不上重力势能．所以重力势能属于物体与地球所组成的系统．平常说“物体的重力势能”只是习惯上简便的说法．三、保守力和非保守力 一般势能概念以上讨论了重力的特性，但不只是重力才具有这种特性，除重力外，还有许多种力也具有这种特性，这一类型的力统称为保守力．其定义如下：如果一个力使物体从一点移至另一点所作的功仅与物体的初末位置有关，与路径无关，则此力称为保守力．另一个等价的定义是：如果对沿任意闭合路径运动一周的物体一个力所作的功为零，则此力称为保守力．除重力外，弹性力、万有引力、静电力等都是保守力．反之，如果一个力的功与路径有关，或沿一闭合路径的功不为零，则此力称为非保守力．例如摩擦力就是非保守力，因为摩擦力沿一闭合路径的功不为零．汽车的牵引力也是非保守力，因为当汽车沿一闭合路径回到原位置时，汽车的牵引力总是作正功．我们从上面已经看到，重力的功等于两项的差．从保守力定义出发，我们可以证明任何保守力的功都等于两项的差，第一项仅与物体的初位置有关，第二项仅与物体的末位置有关(这可以从下面弹性力的功以及万有引力的功的表示式看出，这里不作一般证明)．因此，正如我们可以引入重力势能概念一样，对任何保守力我们都可以引入势能概念．设W ab 为物体从位置a 移至位置b 时保守力所作的功，我们把这个功定义为物体在这两个位置的势能之差．设E p a 、E p b 分别表示物体在位置a 和位置b 的势能，对任何保守力均有如下关系：)(p p p p a b b a ab E E E E W --=-= （3－16）即保守力所作的功等于势能的增量的负值．正如重力势能一样，任何形式的势能都是相对的，为了确定物体在某一位置的势能，必须取定势能的零点．物体在某一位置的势能就等于物体从这个位置移至势能零点时保守力所作的功．与重力势能属于物体和地球所组成的系统一样，任何形式的势能都属于由相互作用的物体组成的系统．四、弹性力的功 弹性势能将弹簧一端固定，另一端连接一物体，让物体在一光滑水平面上沿左右方向运动(图3－11)．这一系统称为弹簧振子．设O 为弹簧未发生形变时物体的位置，称为物体的平衡位置．取坐标轴Ox ，物体的平衡位置O 为原点，x 轴正向向右．当物体有一向右或向左位移x 时，弹簧的形变量亦为x ．按照胡克定律，在弹性限度内．弹簧施于物体的弹性力F 与弹簧的形变量x 成正比：F = - kx其中k 为弹簧的劲度系数，“-”号表示力的方向与位移方向相反．当位移向右时，力的方向向左；当位移向左时，力的方向向右．应当指出，(2－8)式F = kx 中的x 表示弹簧形变量的大小，总为正值．此处的x 表示物体位移的代数量，可以为正或为负．弹簧形变量与物体位移的关系如上所述．设a 、b 为物体的两个位置，其坐标分别为x a 和x b ，现在来计算当物体由位置a 移到位置b 时弹性力所作的功．因弹性力是变力，物体在变力作用下作直线运动，故可用(3－5)式进行计算．在现在情形F = - kx ，代入(3－5)式得弹性力的功：⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-==⎰⎰222121d d a b x x x x kx kx x kx x F W b a b a （3－17） 此功与物体从a 移到b 的方式无关，例如它可以从a 先向右移，然后向左移到b ；也可以从a 直接移到b ．不论怎样从a 移到b ，弹性力的功都由上式表示．由此可见，弹性力的功仅与物体的初末位置有关，与物体经过的路径无关．所以弹性力是保守力．弹性力既然是保守力，我们可以引入势能概念．这种势能称为弹性势能．为了确定物体的弹性势能，必须取定弹性势能零点．通常取弹簧无形变时物体的位置(即x = 0)为弹性势能零点．这样，物体在任意位置x 的弹性势能就等于物体从这个位置移到x = 0时弹性力所作的功，即图3－1120p 21d kx x kx E x =-=⎰ （3－18） 根据这一定义，(3－17)式表示弹性力的功等于弹性势能的增量的负值．五、万有引力的功 引力势能设质量为m 的质点在质量为m ’的质点的引力场中运动(图3－12)，并设m ’远大于m ．在这种情况下，可认为质点m ’静止在一点O ．设r 为质点m 对O 点的位矢，则由万有引力定律，m ’对m 的引力为 r F 30rm m G '-= 当质点m 从a 点沿一曲线运动到b点时，引力F 所作的功为 ⎰⎰⋅'-=⋅=b a b a r r r r rm m G W r r r F d d 30 （3－19） 由于 2r =⋅r r两边微分， r r d 2d 2=⋅r r代入(3－19)式得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-'=⋅'-=⎰a b r r r r m m G r m m G W ba 11d 030r r （3－20） 其中r a 和rb 分别为a 、b 两点到O 点的距离．由此可见，万有引力所作的功仅与运动质点的初末位置有关，与路径无关，所以万有引力是保守力．万有引力既然是保守力，我们可以引入势能概念，这种势能称为引力势能．为了确定质点m 在任一位置的引力势能，必须取定引力势能的零点．通常取无穷远点为势能零点．这样，质点m 在任一点r 的引力势能就等于m 从该点移到无穷远时万有引力所作的功，用E p 表示：rm m G r r m m G E r 1d 020p '-='-=⎰∞ （3－21） 根据这一定义，(3—20)式表示万有引力的功等于引力势能的增量的负值．利用该式可以推出以地面为重力势能零点时物体在距地面高度为h 处的重力势能的表达式(参看习题3—21)．§3—4 功能原理 机械能守恒定律一、物体系的动能定理在§3－2中我们已经介绍过单个物体的动能定理，现将这一定理推广到由若干个物体组成的系统．作用于系统中某一物体的力有外力和内力，外力是系统外的物体施于该物体的力，内力是系统内其他物体施于该物体的力．取系统中第i 个物体来考虑，设其质量为m i ，在外力及内力作用下，在一段时间内，其速度图3－12由v i 0变为v i ，又设在这段时间内作用于此物体的外力及内力所作的功分别为)(i W 外及)(i W 内，则由单个物体的动能定理得,3,2,1 , 2121202)()(=-=+i m m W W i i i i i i v v 内外 将上式对系统内所有物体求和，得∑∑∑∑-=+i i i i i i i i i i m m W W 202)()(2121v v 内外 （3－22） 上式右端第一项为物体系中所有物体的末动能之和，第二项为物体系中所有物体的初动能之和，分别称为物体系的末动能和初动能，两项相减为物体系的动能的增量．上式表示作用于物体系的一切外力及内力所作的功的代数和等于物体系的动能的增量，这就是物体系的动能定理．二、功能原理作用于物体系的力可分为外力和内力，内力又可以分为保守内力和非保守内力．因此，内力的功∑ii W )(内等于所有保守内力的功W 保内及非保守内力的功W 非保内之和：非保内保内内W W Wi i +=∑)(又将∑i i W )(外写为外外W W i i =∑)(将物体系的初动能和末动能分别写为E k1及E k2，则(3－22)式化为1k 2k E E W W W -=++非保内保内外 （3－23）根据上节(3－16)式，保守内力所做的功等于势能增量的负值，即)(1p 2p E E W --=保内 （3－24）将(3－24)式代入(3－23)式并移项得)()(1p 1k 2p 2k E E E E W W +-+=+非保内外 （3－25）上式中E k + E p 为物体系的动能与势能之和，称为物体系的机械能．上式表示外力的功与非保守内力的功之和等于物体系的机械能的增量．这一结论称为功能原理．功和能量这两个概念是密切联系着的，但又是有区别的．从功能原理看出，功总是和能量变化的过程相联系，功是能量变化的量度，所以功是一个过程量．而能量则是一个状态量，完全决定于物体系的状态．为什么这样说呢？在力学中物体系的运动状态是用物体系的位置和速度来描述的，物体系的动能是由运动物体的速度单值地决定的；物体系的势能是由物体系中各物体的相对位置单值地决定的．因此物体系的机械能完全由它的状态决定，是物体系的状态的单值函数．其他形式的能量也是这样．三、机械能守恒定律机械能守恒定律是功能原理的特殊情形，因而可以从后者推出．如果物体系没有受外力及非保守内力作用或外力与非保守内力所作的功均为零，则(3－25)式左端为零，于是该式化为1p 1k 2p 2k E E E E +=+ （3－26）上式右端是物体系的初状态的机械能，左端是末状态的机械能，但物体系的初末状态是任意选定的，因此上式表示物体系的任意两个状态的机械能都相等．或者说，任一状态的机械能都等于初状态的机械能，因而等于一常量．故得结论：如果物体系没有受外力及非保守内力作用或外力与非保守内力所作的功均为零，则物体系的动能与势能可以互相转换，但它们的总和保持不变．这一结论称为机械能守恒定律．应用此定律时首先要考虑定律适用的条件：作用于物体系的外力及非保守内力所作的功均为零．如果这个条件满足了，物体系的机械能守恒．如果某一保守力不作功，由(3－24)式看出，它不引起相关势能变化．这样，功能原理或机械能守恒定律中的物体系可以不包括这样的保守力的施力物体．此外，在常见的力学问题中，保守力的施力物体的动能往往都等于零．例如弹簧的质量可以忽略，其动能可视为零；又如通常取地球为参考系(即从地球上的人看来)，其动能亦为零．于是，在功能原理或机械能守恒定律的表示式中可以不含有类似的保守力施力物体的动能．应用功能原理或机械能守恒定律解题可按如下步骤进行：(1) 取定研究对象——物体系，使问题中的运动物体以及引起其势能变化的保守力的施力物体均包括在物体系内；(2) 分析物体系中各运动物体的受力情况，注意外力是否作功，内力是否为保守力，非保守内力是否作功．如果外力及非保守内力所作的功均为零，则系统的机械能守恒；(3) 取定势能零点，计算物体系初末位置的机械能；(4) 根据功能原理或机械能守恒定律列方程；(5) 解方程求出待求量，有时还要与其他方程联立求解．功能原理是由动能定理推出的，因而完全包含在动能定理之中，凡是可以用功能原理求解的力学问题都可以用动能定理求解．应用功能原理时，只须计算外力及非保守内力的功，因为保守内力的功已包含在势能中，如果再计入保守内力的功就属重复运算了．应用动能定理时，既要计算外力及非保守内力的功，又要计算保守内力的功．读者可以用动能定理自行求解下述例题．例题3－4 有一弹簧振子放在水平桌面上如图3－13．物体的质量m = 0.1 kg ，弹簧的劲度系数k = 20 N/m ，物体与桌面的摩擦系数μ = 0.2，当物体m 在平衡位置O 时，给以向右的速度v 0，结果物体有一向右的最大位移x 0 = 0.05 m ．(1) 求v 0的值；(2) 物体走过路程x = 0.03 m 时它的速度是多少？解 取物体与弹簧组成的系统为研究对象．由于保守力重力不作功，即不引起其势能变化，故不把重力的施力物体——地球包括在物体系内，作用于物体的力有① 弹簧的弹性力F = -kx ，这个力是保守内力；② 桌面的摩擦力F f ；③ 重力mg ；④ 水平桌面的支承力F N ．后面三个力是外力．因物体在竖直方向没有运动，F N = mg ，所以F f = μF N = μmg ．图3－13。

八年级物理第三章的知识点八年级物理第三章的主要内容是“能量与功”。

本章主要介绍了物体的能量、功的概念、计算公式和守恒定律。

同时，本章还涉及了一些实际应用，如机械效率、能源转换等。

一、能量的概念与分类能量是物体具有的做功能力。

根据不同的性质和来源，能量可以被分为多种类型。

其中，机械能包括动能和势能；光能、热能、电能、化学能、核能等都是不同的能量形式。

二、功的概念和计算功是力对物体做功的大小，是用于描述物理过程中能量变化的一种物理量。

计算功可以使用力和位移的乘积，公式为W=F*s*cosθ，其中F为力的大小，s为物体的位移，θ为力和位移之间的夹角。

根据夹角的不同，功可以被分为正功、负功和零功。

三、能量守恒定律能量守恒定律是能量守恒定律的基本原理，它表明在封闭系统内，能量的总量是不变的。

这意味着能量可以从一种形式转换为另一种形式，但总能量不能改变。

应用能量守恒定律可以计算动力学问题和热力学问题，例如机械效率、能量转换等。

四、机械效率机械效率是用来描述机械装置将输入能量转换为输出能量的比率。

它通常基于输入功和输出功的比较，例如机械上提水的效率可以根据输入功和输出功的比较来计算。

五、能量转换能量转换是指将一种形式的能量转换为另一种形式的过程。

这种转换可以通过热力学过程、化学反应、电子运动等方式实现。

能源转换问题可以看作能量转换的特例，通常用来描述如何将一种能源转换为另一种能源。

在八年级物理第三章的学习中，我们需要了解能量的概念，计算功的方法，掌握能量守恒定律，熟悉机械效率和能量转换等知识点。

这些知识点是物理学的基础，是我们理解和应用物理学的重要工具。

同时，我们也应该认识到这些知识是相互关联的，并应用于实际问题的解决。