2017年北京市东城区高考数学一模试卷（文科）
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）
1．如果A={x∈R|x＞0}，B={0，1，2，3}，那么集合A∩B=（）
A．空集 B．{0} C．{0，1} D．{1，2，3}
2．某高校共有学生3000人，新进大一学生有800人．现对大学生社团活动情况进行抽样调查，用分层抽样方法在全校抽取300人，那么应在大一抽取的人数为（）
A．200 B．100 C．80 D．75
3．如果a=log41，b=log23，c=log2π，那么三个数的大小关系是（）
A．c＞b＞a B．a＞c＞b C．a＞b＞c D．b＞c＞a
4．如果过原点的直线l与圆x2+（y﹣4）2=4切于第二象限，那么直线l的方程是（）
A．B． C．y=2x D．y=﹣2x
5．设函数若f（a）＞1，则实数a的取值范围是（）
A．（0，2）B．（0，+∞）C．（2，+∞）D．（﹣∞，0）∪（2，+∞）
6．“sinα+cosα=0”是“cos2α=0”的（）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分且必要条件D．既不充分也不必要条件
7．如果某四棱锥的三视图如图所示，那么该四棱锥的四个侧面中是直角三角形的有（）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如果函数y=f（x）在定义域内存在区间[a，b]，使f（x）在[a，b]上的值域是[2a，2b]，那么称f（x）为“倍增函数”．若函数f（x）=ln（e x+m）为“倍增函数”，则实数m的取值范围是（）
A．B．C．（﹣1，0）D．
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）
9．如果（x2﹣1）+（x﹣1）i是纯虚数，那么实数x= ．
10．如果执行如图所示的程序框图，那么输出的k= ．
11．如果直线l：y=kx﹣1（k＞0）与双曲线的一条渐近线平行，那么k= ．
12．“墨子号”是由我国完全自主研制的世界上第一颗空间量子科学实验卫星，于2016
年8月16日发射升空．“墨子号”的主要应用目标是通过卫星中转实现可覆盖全球的
量子保密通信．量子通信是通过光子的偏振状态，使用二进制编码，比如，码元0对应
光子偏振方向为水平或斜向下45度，码元1对应光子偏振方向为垂直或斜向上45度．如
图所示
编码方式1 编码方式2
码元0
码元1
信号发出后，我们在接收端将随机选择两种编码方式中的一种来解码，比如，信号发送端如果按编码方式1发送，同时接收端按编码方式1进行解码，这时能够完美解码；信号发送端如果按编码方式1发送，同时接收端按编码方式2进行解码，这时无法获取信息．如果发送端发送一个码元，那么接收端能够完美解码的概率是；如果发送端发送3个码元，那么恰有两个码元无法获取信息的概率是．
13．已知△ABC中，∠A=120°，且AB=AC=2，那么BC= ， = ．
14．已知甲、乙、丙三人组成考察小组，每个组员最多可以携带供本人在沙漠中生存36天的水和食物，且计划每天向沙漠深处走30公里，每个人都可以在沙漠中将部分水和食物交给其他人然后独自返回．若组员甲与其他两个人合作，且要求三个人都能够安全返回，则甲最远能深入沙漠公里．
三、解答题（共6小题，共80分.答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）
15．已知点（，1）在函数f（x）=2asinxcosx+cos2x的图象上．
（Ⅰ）求a的值和f（x）最小正周期；
（Ⅱ）求函数f（x）在（0，π）上的单调减区间．
16．已知数列{a n}是等差数列，前n项和为S n，若a1=9，S3=21．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）若a 5，a8，S k成等比数列，求k的值．
17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，AD⊥BD且AD=BD，AC∩BD=O，PO⊥平面ABCD．（I）E为棱PC的中点，求证：OE∥平面PAB；
（II）求证：平面PAD⊥平面PBD；
（III）若PD⊥PB，AD=2求四棱锥P﹣ABCD体积．
18．某校学生在进行“南水北调工程对北京市民的影响”的项目式学习活动中，对某居民小区进行用水情况随机抽样调查，获得了该小区400位居民某月的用水量数据（单位：立方米），整理得到如下数据分组及频数分布表和频率分布直方图（图1）： （Ⅰ）求a ，b 的值；
（Ⅱ）从该小区随机选取一名住户，试估计这名住户一个月用水量小于3立方米的概率；
（Ⅲ）若小区人均月用水量低于某一标准，则称该小区为“节水小区”．假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，经过估算，该小区未达到“节水小区”标准，而且该小区居民月用水量不高于这一标准的比例为65%，经过同学们的节水宣传，三个月后，又进行一次同等规模的随机抽样调查，数据如图2所示，估计这时小区是否达到“节水小区”的标准？并说明理由．
组号 分组 频数 1 [0.5，1） 20 2 [1，1.5） 40 3 [1.5，2）
80
4 [2，2.5） 120
5 [2.5，3） 60
6 [3，3.5） 40
7 [3.5，4） 20 8
[4，4.5）
20
19．已知椭圆W： =1（a＞b＞0）的左右两个焦点为F1，F2，且|F1F2|=2，椭圆上一动点P满足|PF1|+|PF2|=2．（Ⅰ）求椭圆W的标准方程及离心率；
（Ⅱ）如图，过点F 1作直线l1与椭圆W交于点A，C，过点F2作直线l2⊥l1，且l2与椭圆W交于点B，D，l1与l2交于点E，试求四边形ABCD面积的最大值．
20．设函数，a∈R．
（Ⅰ）若x=2是f（x）的极值点，求a的值，并讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）已知函数，若g（x）在区间（0，1）内有零点，求a的取值范围；
（Ⅲ）设f（x）有两个极值点x1，x2，试讨论过两点（x1，f（x1）），（x2，f（x2））的直线能否过点（1，1），若能，求a的值；若不能，说明理由．
数学试题答案
一、
1．【考点】交集及其运算．
【分析】利用交集定义直接求解．
【解答】解：∵A={x∈R|x＞0}，B={0，1，2，3}，
∴集合A∩B={1，2，3}．
故选：D．
2．【考点】分层抽样方法．
【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．
【解答】解：设大一抽取的人数为n人，则用分层抽样的方法可得=，
∴x=80．
故选：C．
3．【考点】对数值大小的比较．
【分析】利用对数函数的单调性即可得出．
【解答】解：∵a=log41=0，1＜b=log23＜c=log2π，
∴c＞b＞a．
故选：A．
4．【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】由已知得圆心坐标为（0，4），半径长为2．因为直线斜率存在．设直线方程为 y=kx，根据圆心到直线的距离等于半径，确定k的值，从而求出直线方程
【解答】解：圆心坐标为（0，4），半径长为2．
由直线过原点，当直线斜率不存在时，不合题意，
设直线方程为；y=kx，即kx﹣y=0．
则圆心到直线的距离d==r=2
化简得：k2=3
又∵切点在第二象限，∴
∴直线方程为；y=﹣x
故选：B．
5．【考点】函数单调性的判断与证明．
【分析】分别讨论2a﹣3＞1，与＞1，求出a的范围即可．
【解答】解：若2a﹣3＞1，解得：a＞2，与a＜0矛盾，
若＞1，解得：a＞0，
故a的范围是（0，+∞），
故选：B．
6．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】cos2α=0?（cosα+sinα）（cosα﹣sinα）=0?（cosα+sinα）=0或（cosα﹣sinα）=0，即可判断出结论．
【解答】解：cos2α=0?（cosα+sinα）（cosα﹣sinα）=0?（cosα+sinα）=0或（cosα﹣sinα）=0，
∴“sinα+cosα=0”是“cos2α=0”的充分不必要条件．
故选：A．
7．【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由三视图，可得直观图是四棱锥，底面是正方形，有一侧棱垂直于底面，即可得出结论．
【解答】解：由三视图，可得直观图是四棱锥，底面是正方形，
有一侧棱垂直于底面，则四棱锥的四个侧面都是直角三角形，
故选D．
8．【考点】函数的值．
【分析】由题意，函数f（x）在[a，b]上的值域且是增函数；可得，可以转化为方程e2x﹣e x﹣m=0有两个不等的实根，且两根都大于0的问题，从而求出t的范围．
【解答】解：∵函数f（x）=ln（e x+m）为“倍增函数”，
且满足存在[a，b]，使f（x）在[a，b]上的值域是[2a，2b]，
∴f（x）在[a，b]上是增函数；
∴，
即；
∴方程e2x﹣e x﹣m=0可化为
y2﹣y﹣m=0（其中y=e x），
∴该方程有两个不等的实根，且两根都大于0；
即，
解得﹣＜m＜0；
∴满足条件的m的范围是（﹣，0）；
故选：D．
二、
9．【考点】复数的基本概念．
【分析】直接由实部为0且虚部不为0列式求解．
【解答】解：∵（x2﹣1）+（x﹣1）i是纯虚数，
∴，解得：x=﹣1．
故答案为：﹣1．
10．【考点】程序框图．
【分析】由程序框图，运行操作，直到条件满足为止，即可得出结论．
【解答】解：由程序框图知第一次运行k=2，m=；
第二次运行k=3，m=；
第三次运行k=4，m=；
第四次运行k=5，m=；
退出循环．
故答案为：5．
11．【考点】双曲线的简单性质．
【分析】求出双曲线的渐近线方程，由两直线平行的条件：斜率相等，即可得到所求k的值．
【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±x，
由直线l：y=kx﹣1（k＞0）与双曲线的一条渐近线平行，
可得k=．
故答案为：．
12．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【分析】发送端发送一个码元，基本事件总数n=2，接收端能够完美解码包含的基本事件个数m=1，由此能求出发送端发送一个码元，那么接收端能够完美解码的概率；进而利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式能求出发送端发送3个码元，恰有两个码元无法获取信息的概率．
【解答】解：发送端发送一个码元，基本事件总数n=2，
接收端能够完美解码包含的基本事件个数m=1，
∴发送端发送一个码元，那么接收端能够完美解码的概率p1==．
发送端发送3个码元，
恰有两个码元无法获取信息的概率p2==．
故答案为：，．
13．【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】利用余弦定理求出BC的值，根据平面向量数量积的定义求出的值．
【解答】解：△ABC中，∠A=120°，且AB=AC=2，
由余弦定理得
BC2=AB2+AC2﹣2AB?AC?cos∠A
=22+22﹣2×2×2×cos120°
=12，
∴BC=2，
∴=（﹣）?（﹣）
=﹣+?
=﹣22+2×2×cos120°
=﹣6．
故答案为：2，﹣6．
14．【考点】进行简单的合情推理．
【分析】因为要求最远，所以3人同去耗食物，即只一人去，另2人中途返回，3人一起出发．12天后两人都只剩24天的食物．乙、丙分给甲12+12=24天的食物后独自带12天的食物返回；甲独自前进18天后返回，甲一共走了30天，他们每天向沙漠深处走30千米，据此解答即可．
【解答】解：因为要求最远，所以3人同去耗水和食物，即只一人去，
3人一起出发．12天后两人都只剩24天的食物．
乙、丙分给甲12+12=24天的食物后独自带12天的水和食物返回．
则甲有的食物：36﹣12+12+12=48（天）
甲再走：（48﹣12）÷2=18（天）
30×（12+18）=900公里．
故答案为900．
三、
15．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．
【分析】（Ⅰ）利用二倍角以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，图象过点（，1），可得a的值．利用周期公式求函数的最小正周期．
（Ⅱ）将内层函数看作整体，放到正弦函数的减区间上，解不等式得函数的单调递减区间；根据k的取值，即可得x在（0，π）的减区间．
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=2asinxcosx+cos2x．
化解可得：f（x）=asin2x+cos2x．
∵图象过点（，1），
即1=asin+cos
可得：a=1．
∴f（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+）
∴函数的最小正周期T=．
（Ⅱ）由2kπ+2x+，k∈Z．
可得：≤x≤，k∈Z．
函数f（x）的单调减区间为[，]，k∈Z．
∵x∈（0，π）．
当k=0时，可得单调减区间为[，]．
函数f（x）在（0，π）上的单调减区间为[，]．
16．【考点】等比数列的通项公式；数列递推式．
【分析】（Ⅰ）利用等差数列前n项和公式求出d=﹣2，由此能求出数列{a n}的通项公式．
（Ⅱ）由a5，a8，S k成等比数列，得，由此能求出k．
∴，
解得d=﹣2，
∴a n=9+（n﹣1）×（﹣2）=﹣2n+11．
（Ⅱ）∵a5，a8，S k成等比数列，
∴，
即（﹣2×8+11）2=（﹣2×5+11）?[9k+]，
解得k=5．
17．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．
【分析】（Ⅰ）由四边形ABCD是平行四边形，可得O为AC中点，又E为PC中点，由三角形中位线定理可得OE∥PA，再由线面平行的判定可得OE∥平面PAB；
（Ⅱ）由PO⊥平面ABCD，得PO⊥AD，再由AD⊥BD，可得AD⊥平面PBD，进一步得到平面PAD⊥平面PBD；
（Ⅲ）由已知求出平行四边形ABCD的面积，进一步求出高PO，再由体积公式得答案．
【解答】（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O为AC中点，又E为PC中点，∴OE是△PAC的中位线．
∴OE∥PA，而OE?平面PAB，PA?平面PAB，
∴OE∥平面PAB；
（Ⅱ）证明：∵PO⊥平面ABCD，∴PO⊥AD，
又AD⊥BD，且BD∩PO=O，
∴AD⊥平面PBD，而AD?平面PBD，
∴平面PAD⊥平面PBD；
（Ⅲ）由AD⊥BD，且AD=BD，AD=2，∴S四边形ABCD=2×2=4，
又PD⊥PB，PO⊥BD，可得PO=，
∴．
18．【考点】频率分布直方图；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【分析】（Ⅰ）由数据分组及频数分布表能求出a，b的值．
（Ⅱ）设这名住户一个月用水量小于3立方米为事件A，利用等可能事件概率计算公式能求出这名住户一个月用水量小于3立方米的概率．
（Ⅲ）由图可知小区人均月用水量低于2.5立方米，则称为“节水小区”，由图求出三个月后的该小区人均用水量，由此得到三个月后，估计小区能达到“节水小区”的标准．
【解答】解：（Ⅰ）由数据分组及频数分布表知：
a==0.2，b==0.6．
（Ⅱ）设这名住户一个月用水量小于3立方米为事件A，
则这名住户一个月用水量小于3立方米的概率P（A）==0.8．
（Ⅲ）∵该小区居民月用水量低于这一标准的比例为30%，
∴由图可知小区人均月用水量低于2.5立方米，则称为“节水小区”，
由图可知，三个月后的该小区人均用水量为：
1×0.1+1.5×0.15+2×0.25+2.5×0.3+3×0.1+3.5×0.05+4×0.05=2.25＜2.5，
∴三个月后，估计小区能达到“节水小区”的标准．
19．【考点】直线与椭圆的位置关系．
【分析】（Ⅰ）由椭圆的定义及焦距|F1F2|=2c=2，求得a和c的值，则b2=a2﹣c2=2，即可求得椭圆的方程及离心率．
（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，由S=丨AC丨?丨BD丨=4，当直线斜率存在时，设直线方程，代入椭圆方程，由韦达定理及弦长公式分别求得丨AC丨，丨BD丨根据函数的单调性即可求得四边形ABCD面积的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：|F1F2|=2c=2，c=1，2a=|PF1|+|PF2|=2，a=，
b2=a2﹣c2=2，离心率e==，
∴椭圆的标准方程为：；
（Ⅱ）当直线l2⊥l1，当斜率不存在时，EF1⊥EF2，此时求得丨EO丨=丨F1F2丨=1，
∴E点轨迹为以原点为圆心，半径为1的圆，显然点E在椭圆W上内部，
∴四边形ABCD面积S=S△ABC+S△ADC=丨AC丨?丨BE丨+丨AC丨?丨DE丨=丨AC丨?丨BD丨，
将x=﹣1代入椭圆方程，求得y=±，此时丨BD丨=，丨AC丨=2，
则四边形ABCD面积S=丨AC丨?丨BD丨=4，
当直线l2，l1都存在时，设直线l1，x=my﹣1，（m≠0），
设A（x1，y1），B（x2，y2），
，整理得：（2m2+3）y2﹣4my﹣4=0，
则y1+y2=，y1y2=﹣，
则丨AC丨=?=，
同理直线l1，x=﹣x+1，同理求得丨BD丨=，
∴四边形ABCD面积S=丨AC丨?丨BD丨=××，
=，
==4×，
=4（1﹣）＜4，
综上可知四边形ABCD面积的最大值4，此时直线l2，l1一条为椭圆的长轴，一条与x轴垂直．
20．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（I）f′（x）=x2﹣x+a，由x=2是f（x）的极值点，可得f′（2）=0，解得a=﹣2．代入f′（x）进而得出单调性．
（II）=﹣+ax+，g′（x）=x2﹣（1+a）x+a=（x﹣1）（x﹣a）．对a与1的大小关系分类讨论
可得a的取值范围．
（III）不能，原因如下：设f（x）有两个极值点x1，x2，则f′（x）=x2﹣x+a有两个不同的零点．△＞0，解得a
＜，且x1，x2，为方程x2﹣x+a=0的两根．则﹣x1+a=0，可得=x1﹣a，可得f（x1）=x1+a，同理
可得：f（x2）=x2+a．由此可得：过两点（x1，f（x1）），（x2，f（x2））的直线方程为：y=x+ a．进而判断出结论．
【解答】解：（I），a∈R．f′（x）=x2﹣x+a，
∵x=2是f（x）的极值点，∴f′（2）=4﹣2+a=0，解得a=﹣2．
代入f′（x）=x2﹣x﹣2=（x+1）（x﹣2），令f′（x）=0，解得x=﹣1，或x=2．
令f′（x ）＞0，解得x ＞2或x ＜﹣1，
∴f （x ）在x ∈（﹣∞，﹣1），（2，+∞）时单调递增；令f′（x ）＜0，解得﹣1＜x ＜2， ∴f （x ）在x ∈（﹣1，2）时单调递减．
（II ）
=
﹣
+ax+，g′（x ）=x 2
﹣（1+a ）x+a=（x ﹣1）（x ﹣a ）．
①当a ≥1时，x ∈（0，1）时，
g′（x ）＞0恒成立，g （x ）单调递增，又g （0）=＞0， 因此此时函数g （x ）在区间（0，1）内没有零点．
②当0＜a ＜1时，x ∈（0，a ）时，g′（x ）＞0，g （x ）单调递增， x ∈（a ，1）时，g′（x ）＜0，g （x ）单调递减，
又g （0）=＞0，因此要使函数g （x ）在区间（0，1）内有零点．
必有g （1）＜0，∴（1+a ）+a+＜0，
解得a ＜﹣1．舍去．
③当a ≤0时，x ∈（0，1）时，g′（x ）＜0，g （x ）单调递减，
又g （0）=＞0，因此要使函数g （x ）在区间（0，1）内有零点． 必有g （1）＜0，解得a ＜﹣1．满足条件． 综上可得：a 的取值范围是（﹣∞，﹣1）．
（III ）不能，原因如下：设f （x ）有两个极值点x 1，x 2，
则f′（x ）=x 2
﹣x+a 有两个不同的零点．∴△=1﹣4a ＞0，解得a ＜，
且x 1，x 2，为方程x 2
﹣x+a=0的两根．则﹣x 1+a=0，可得=x 1﹣a ，
∴f （x 1）=
﹣
+ax 1=
﹣
+ax 1=
+
=﹣（x 1﹣a ）+
=
x 1+a ，
同理可得：f （x 2）=
x 2+a ．
由此可得：过两点（x 1，f （x 1）），（x 2，f （x 2））的直线方程为：y=x+a ．
若上述直线过点（1，1），则：1=
+a ．解得a=．
上述已知得出：若f （x ）有两个极值点x 1，x 2，则a ＜，而a=，不合题意，舍去．
因此过两点（x 1，f （x 1）），（x 2，f （x 2））的直线不能过点（1，1）．