高中数学 2.3.4平面向量共线的坐标表示教案 新人教A版必修4

2．3.4 平面向量共线的坐标表示预习课本P98～100，思考并完成以下问题如何利用向量的坐标运算表示两个向量共线？[新知初探]平面向量共线的坐标表示[点睛] (1)平面向量共线的坐标表示还可以写成x 1x 2＝y 1y 2(x 2≠0，y 2≠0)，即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例；(2)当a ≠0，b ＝0时，a ∥b ，此时x 1y 2－x 2y 1＝0也成立，即对任意向量a ，b 都有：x 1y 2－x 2y 1＝0⇔a ∥b .[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若a ∥b ，则必有x 1y 2＝x 2y 1.( )(2)向量(2,3)与向量(－4，－6)反向．( )答案：(1)√ (2)√2．若向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，则与a ＋b 共线的向量可以是( )A ．(2,1)B ．(－1,2)C ．(6,10)D ．(－6,10)答案：C3．已知a ＝(1,2)，b ＝(x,4)，若a ∥b ，则x 等于( )A ．－12 B.12C ．－2D ．2 答案：D4．已知向量a ＝(－2,3)，b ∥a ，向量b 的起点为A (1,2)，终点B 在x 轴上，则点B 的坐标为________．答案：⎝⎛⎭⎫73，0[典例] (1)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(λ，1)，若(a ＋2b )∥(2a －2b )，则λ的值等于( ) A.12 B.13C ．1D ．2 (2)已知A (2,1)，B (0,4)，C (1,3)，D (5，－3)．判断AB 与CD 是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？[解析] (1)法一：a ＋2b ＝(1,2)＋2(λ，1)＝(1＋2λ，4)，2a －2b ＝2(1,2)－2(λ，1)＝(2－2λ，2)，由(a ＋2b )∥(2a －2b )可得2(1＋2λ)－4(2－2λ)＝0，解得λ＝12. 法二：假设a ，b 不共线，则由(a ＋2b )∥(2a －2b )可得a ＋2b ＝μ(2a －2b )，从而⎩⎪⎨⎪⎧1＝2μ，2＝－2μ，方程组显然无解，即a ＋2b 与2a －2b 不共线，这与(a ＋2b )∥(2a －2b )矛盾，从而假设不成立，故应有a ，b 共线，所以1λ＝21，即λ＝12. [答案] A(2)[解] AB ＝(0,4)－(2,1)＝(－2,3)，CD ＝(5，－3)－(1,3)＝(4，－6)， ∵(－2)×(－6)－3×4＝0，∴AB ，CD 共线． 又CD ＝－2AB ，∴AB ，CD 方向相反．综上，AB 与CD 共线且方向相反．已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，ka ＋b 与a －3b 平行，平行时它们的方向相同还是相反？解：ka ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)， a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，若ka ＋b 与a －3b 平行，则－4(k －3)－10(2k ＋2)＝0，解得k ＝－13，此时ka ＋b ＝－13a ＋b ＝－13(a －3b )，故ka ＋b 与a －3b 反向． ∴k ＝－13时，ka ＋b 与a －3b 平行且方向相反．[典例] (1)已知OA ＝(3,4)，OB ＝(7,12)，OC ＝(9,16)，求证：A ，B ，C 三点共线；(2)设向量OA ＝(k,12)，OB ＝(4,5)，OC ＝(10，k )，当k 为何值时，A ，B ，C 三点 共线？[解] (1)证明：∵AB ＝OB －OA ＝(4,8)，AC ＝OC －OA ＝(6,12)， ∴AC ＝32AB ，即AB 与AC 共线． 又∵AB 与AC 有公共点A ，∴A ，B ，C 三点共线．(2)若A ，B ，C 三点共线，则AB ，AC 共线， ∵AB ＝OB －OA ＝(4－k ，－7)，AC ＝OC －OA ＝(10－k ，k －12)，∴(4－k )(k －12)＋7(10－k )＝0.解得k ＝－2或k ＝11.一般是看AB 与BC AB 与AC AC BC AC BC AB λBC ，或AB ＝λAC 设点A (x,1)，B (2x,2)，C (1,2x )，D (5,3x )，当x 为何值时，AB 与CD 共线且方向相同，此时，A ，B ，C ，D 能否在同一条直线上？解：AB ＝(2x,2)－(x,1)＝(x,1)，BC ＝(1,2x )－(2x,2)＝(1－2x,2x －2)，CD ＝(5,3x )－(1,2x )＝(4，x )．由AB 与CD 共线，所以x 2＝1×4，所以x ＝±2.又AB 与CD 方向相同，所以x ＝2.此时，AB ＝(2,1)，BC ＝(－3,2)，而2×2≠－3×1，所以AB 与BC 不共线，所以A ，B ，C 三点不在同一条直线上．所以A ，B ，C ，D 不在同一条直线上．题点一：两直线平行判断1. 如图所示，已知直角梯形ABCD，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于E，用向量的方法证明：DE∥BC；证明：如图，以E为原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立直角坐标系，设|AD|＝1，则|DC|＝1，|AB|＝2.∵CE⊥AB，而AD＝DC，∴四边形AECD为正方形，∴可求得各点坐标分别为E(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，D(－1,1)．∵ED＝(－1,1)－(0,0)＝(－1,1)，BC＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)，∴ED＝BC，∴ED∥BC，即DE∥BC.题点二：几何形状的判断2．已知直角坐标平面上四点A(1,0)，B(4,3)，C(2,4)，D(0,2)，求证：四边形ABCD是等腰梯形．证明：由已知得，AB＝(4,3)－(1,0)＝(3,3)，CD＝(0,2)－(2,4)＝(－2，－2)．∵3×(－2)－3×(－2)＝0，∴AB与CD共线．AD＝(－1,2)，BC＝(2,4)－(4,3)＝(－2,1)，∵(－1)×1－2×(－2)≠0，∴AD与BC不共线．∴四边形ABCD是梯形．∵BC＝(－2,1)，AD＝(－1,2)，∴|BC|＝5＝|AD|，即BC＝AD.故四边形ABCD是等腰梯形．题点三：求交点坐标3. 如图所示，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求AC和OB交点P的坐标．解：法一：设OP＝t OB＝t(4,4)＝(4t,4t)，则AP＝OP－OA＝(4t,4t)－(4,0)＝(4t－4,4t)，AC＝OC－OA＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)．由AP ，AC 共线的条件知(4t －4)×6－4t ×(－2)＝0，解得t ＝34.∴OP ＝(3,3)． ∴P 点坐标为(3,3)．法二：设P (x ，y )， 则OP ＝(x ，y )，OB ＝(4,4)． ∵OP ，OB 共线，∴4x －4y ＝0.① 又CP ＝(x －2，y －6)，CA ＝(2，－6)， 且向量CP ，CA 共线，∴－6(x －2)＋2(6－y )＝0.②解①②组成的方程组，得x ＝3，y ＝3，∴点P 的坐标为(3,3)．应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤层级一 学业水平达标1．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是( )A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1，－2)B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7)C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝⎛⎭⎫12，－34 解析：选B A 中向量e 1为零向量，∴e 1∥e 2；C 中e 1＝12e 2，∴e 1∥e 2；D 中e 1＝4e 2，∴e 1∥e 2，故选B.2．已知点A (1,1)，B (4,2)和向量a ＝(2，λ)，若a ∥AB ，则实数λ的值为( )A ．－23B.32C.23 D ．－32解析：选C 根据A ，B 两点的坐标，可得AB ＝(3,1)，∵a ∥AB ，∴2×1－3λ＝0，解得λ＝23，故选C. 3．已知A (2，－1)，B (3,1)，则与AB 平行且方向相反的向量a 是( )A ．(2,1)B ．(－6，－3)C ．(－1,2)D ．(－4，－8)解析：选D AB ＝(1,2)，向量(2,1)、(－6，－3)、(－1,2)与(1,2)不平行；(－4，－8)与(1,2)平行且方向相反．4．已知向量a ＝(x,2)，b ＝(3，－1)，若(a ＋b )∥(a －2b )，则实数x 的值为( )A ．－3B ．2C ．4D ．－6解析：选D 因为(a ＋b )∥(a －2b )，a ＋b ＝(x ＋3,1)，a －2b ＝(x －6,4)，所以4(x ＋3)－(x －6)＝0，解得x ＝－6.5．设a ＝⎝⎛⎭⎫32，tan α，b ＝⎝⎛⎭⎫cos α，13，且a ∥b ，则锐角α为( ) A ．30°B ．60°C ．45°D ．75° 解析：选A ∵a ∥b ，∴32×13－tan α cos α＝0， 即sin α＝12，α＝30°. 6．已知向量a ＝(3x －1,4)与b ＝(1,2)共线，则实数x 的值为________．解析：∵向量a ＝(3x －1,4)与b ＝(1,2)共线，∴2(3x －1)－4×1＝0，解得x ＝1.答案：17．已知A (－1,4)，B (x ，－2)，若C (3,3)在直线AB 上，则x ＝________. 解析：AB ＝(x ＋1，－6)，AC ＝(4，－1)， ∵AB ∥AC ，∴－(x ＋1)＋24＝0，∴x ＝23.答案：238．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2,3)，若λa ＋μb 与a ＋b 共线，则λ与μ的关系是________．解析：∵a ＝(1,2)，b ＝(－2,3)，∴a ＋b ＝(1,2)＋(－2,3)＝(－1,5)，λa ＋μb ＝λ(1,2)＋μ(－2,3)＝(λ－2μ，2λ＋3μ)，又∵(λa ＋μb )∥(a ＋b )，∴－1×(2λ＋3μ)－5(λ－2μ)＝0，∴λ＝μ.答案：λ＝μ9．已知A ，B ，C 三点的坐标为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，并且AE ＝13AC ，BF ＝13BC ，求证：EF ∥AB .证明：设E ，F 的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)， 依题意有AC ＝(2,2)，BC ＝(－2,3)，AB ＝(4，－1)． ∵AE ＝13AC ，∴(x 1＋1，y 1)＝13(2,2)． ∴点E 的坐标为⎝⎛⎭⎫－13，23. 同理点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫73，0，EF ＝⎝⎛⎭⎫83，－23. 又83×(－1)－4×⎝⎛⎭⎫－23＝0，∴EF ∥AB . 10．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1,1)，c ＝(5,2)，m ＝λb ＋c (λ为常数)．(1)求a ＋b ；(2)若a 与m 平行，求实数λ的值．解：(1)因为a ＝(2,1)，b ＝(1,1)，所以a ＋b ＝(2,1)＋(1,1)＝(3,2)．(2)因为b ＝(1,1)，c ＝(5,2)，所以m ＝λb ＋c ＝λ(1,1)＋(5,2)＝(λ＋5，λ＋2)．又因为a ＝(2,1)，且a 与m 平行，所以2(λ＋2)＝λ＋5，解得λ＝1.层级二 应试能力达标1．已知平面向量a ＝(x,1)，b ＝(－x ，x 2)，则向量a ＋b ( )A ．平行于x 轴B ．平行于第一、三象限的角平分线C ．平行于y 轴D ．平行于第二、四象限的角平分线解析：选C 因为a ＋b ＝(0,1＋x 2)，所以a ＋b 平行于y 轴．2．若A (3，－6)，B (－5,2)，C (6，y )三点共线，则y ＝( )A．13B．－13C．9 D．－9解析：选D A，B，C三点共线，∴AB∥AC，而AB＝(－8,8)，AC＝(3，y＋6)，∴－8(y＋6)－8×3＝0，即y＝－9.3．已知向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么() A．k＝1且c与d同向B．k＝1且c与d反向C．k＝－1且c与d同向D．k＝－1且c与d反向解析：选D∵a＝(1,0)，b＝(0,1)，若k＝1，则c＝a＋b＝(1,1)，d＝a－b＝(1，－1)，显然，c与d不平行，排除A、B.若k＝－1，则c＝－a＋b＝(－1,1)，d＝a－b＝－(－1,1)，即c∥d且c与d反向．4．已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(－1,0)，(3,0)，(1，－5)，则第四个顶点的坐标是()A．(1,5)或(5,5)B．(1,5)或(－3，－5)C．(5，－5)或(－3，－5)D．(1,5)或(5，－5)或(－3，－5)解析：选D设A(－1,0)，B(3,0)，C(1，－5)，第四个顶点为D，①若这个平行四边形为▱ABCD，则AB＝DC，∴D(－3，－5)；②若这个平行四边形为▱ACDB，则AC＝BD，∴D(5，－5)；③若这个平行四边形为▱ACBD，则AC＝DB，∴D(1,5)．综上所述，D点坐标为(1,5)或(5，－5)或(－3，－5)．5．已知AB＝(6,1)，BC＝(x，y)，CD＝(－2，－3)，BC∥DA，则x＋2y的值为________．解析：∵AD＝AB＋BC＋CD＝(6,1)＋(x，y)＋(－2，－3)＝(x＋4，y－2)，∴DA＝－AD＝－(x＋4，y－2)＝(－x－4，－y＋2)．∵BC∥DA，∴x(－y＋2)－(－x－4)y＝0，即x＋2y＝0.答案：06．已知向量OA ＝(3，－4)，OB ＝(6，－3)，OC ＝(5－m ，－3－m )．若点A ，B ，C 能构成三角形，则实数m 应满足的条件为________．解析：若点A ，B ，C 能构成三角形，则这三点不共线，即AB 与AC 不共线． ∵AB ＝OB －OA ＝(3,1)，AC ＝OC －OA ＝(2－m,1－m )，∴3(1－m )≠2－m ，即m ≠12.答案：m ≠127．已知A (1,1)，B (3，－1)，C (a ，b )．(1)若A ，B ，C 三点共线，求a 与b 之间的数量关系；(2)若AC ＝2AB ，求点C 的坐标．解：(1)若A ，B ，C 三点共线，则AB 与AC 共线．AB ＝(3，－1)－(1,1)＝(2，－2)，AC ＝(a －1，b －1)，∴2(b －1)－(－2)(a －1)＝0，∴a ＋b ＝2.(2)若AC ＝2AB ，则(a －1，b －1)＝(4，－4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝4，b －1＝－4，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝5，b ＝－3，∴点C 的坐标为(5，－3)．8.如图所示，在四边形ABCD 中，已知A (2,6)，B (6,4)，C (5,0)，D (1,0)，求直线AC 与BD 交点P 的坐标．解：设P (x ，y )，则DP ＝(x －1，y )，DB ＝(5,4)，CA ＝(－3,6)，DC ＝(4,0)．由B ，P ，D 三点共线可得DP ＝λDB ＝(5λ，4λ)． 又∵CP ＝DP －DC ＝(5λ－4,4λ)， 由于CP 与CA 共线得，(5λ－4)×6＋12λ＝0.解得λ＝47， ∴DP ＝47DB ＝⎝⎛⎭⎫207，167，∴P 的坐标为⎝⎛⎭⎫277，167.。

2.3.4 平面向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示(1)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b≠0，a ，b 共线，当且仅当存在实数λ，使a ＝λb ．(2)如果用坐标表示，可写为(x 1，y 1)＝λ(x 2，y 2)，当且仅当x 1y 2－x 2y 1＝0时，向量a ，b (b≠0)共线．思考：两向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)共线的坐标条件能表示成x 1x 2＝y 1y 2吗？[提示] 不一定，x 2，y 2有一者为零时，比例式没有意义，只有x 2y 2≠0时，才能使用．1．已知A (2，－1)，B (3，1)，则与AB →平行且方向相反的向量a 是( ) A ．(2，1) B ．(－6，－3) C ．(－1，2) D ．(－4，－8) D [AB →＝(1，2)，根据平行条件知选D.] 2．下列各对向量中，共线的是( ) A ．a ＝(2，3)，b ＝(3，－2) B ．a ＝(2，3)，b ＝(4，－6) C ．a ＝(2，－1)，b ＝(1，2) D ．a ＝(1，2)，b ＝(2，2)D [A ，B ，C 中各对向量都不共线，D 中b ＝2a ，两个向量共线．] 3．已知a ＝(－3，2)，b ＝(6，y )，且a ∥b ，则y ＝ ． －4 [∵a ∥b ，∴6－3＝y2，解得y ＝－4.] 4．若A (3，－6)，B (－5，2)，C (6，y )三点共线，则y ＝ ．－9 [AB →＝(－8，8)，AC →＝(3，y ＋6)，∵A ，B ，C 三点共线，即AB →∥AC →，∴－8(y ＋6)－8×3＝0，解得y ＝－9.]【例1】 (1)下列各组向量中，共线的是( ) A ．a ＝(－2，3)，b ＝(4，6) B ．a ＝(2，3)，b ＝(3，2) C ．a ＝(1，－2)，b ＝(7，14) D ．a ＝(－3，2)，b ＝(6，－4)(2)已知A (－1，－1)，B (1，3)，C (1，5)，D (2，7)，向量AB →与CD →平行吗？直线AB 平行于直线CD 吗？思路点拨：(1)利用“纵横交错积相减”判断． (2)判断向量AB →，CD →平行→无相关点→AB ∥CD(1)D [A 中，－2×6－3×4≠0，B 中3×3－2×2≠0，C 中1×14－(－2)×7≠0，D 中(－3)×(－4)－2×6＝0.故选D.](2)[解] ∵AB →＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2，4)， CD →＝(2－1，7－5)＝(1，2)．又2×2－4×1＝0， ∴AB →∥CD →.又AC →＝(2，6)，AB →＝(2，4)， ∴2×4－2×6≠0， ∴A ，B ，C 不共线， ∴AB 与CD 不重合， ∴AB ∥CD .向量共线的判定方法提醒：向量共线的坐标表达式极易写错，如写成x 1y 1－x 2y 2＝0或x 1x 2－y 1y 2＝0都是不对的，因此要理解并记熟这一公式，可简记为：纵横交错积相减．1．已知A (1，－3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫8，12，C (9，1)，求证：A ，B ，C 三点共线． [证明] AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8－1，12＋3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7，72，AC →＝(9－1，1＋3)＝(8，4)，∵7×4－72×8＝0，∴AB →∥AC →，且AB →，AC →有公共点A ， ∴A ，B ，C 三点共线.它们是同向还是反向？思路点拨：法一：可利用b 与非零向量a 共线等价于b ＝λa (λ>0，b 与a 同向；λ<0，b 与a 反向)求解；法二：可先利用坐标形式的等价条件求k ，再利用b ＝λa 判定同向还是反向． [解] 法一：(共线向量定理法)k a ＋b ＝k (1，2)＋(－3，2)＝(k －3，2k ＋2)，a －3b ＝(1，2)－3(－3，2)＝(10，－4)，当k a ＋b 与a －3b 平行时，存在唯一实数λ， 使k a ＋b ＝λ(a －3b )．由(k －3，2k ＋2)＝λ(10，－4)，所以⎩⎪⎨⎪⎧k －3＝10λ，2k ＋2＝－4λ，解得k ＝λ＝－13.当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，这时k a ＋b ＝－13a ＋b ＝－13(a －3b )，因为λ＝－13<0，所以k a ＋b 与a －3b 反向．法二：(坐标法)由题知k a ＋b ＝(k －3，2k ＋2)，a －3b ＝(10，－4)，因为k a ＋b 与a －3b 平行，所以(k －3)×(－4)－10×(2k ＋2)＝0， 解得k ＝－13.这时k a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13－3，－23＋2＝－13(a －3b )，所以当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，并且反向．利用向量平行的条件处理求值问题的思路： (1)利用共线向量定理a ＝λb (b ≠0)列方程组求解． (2)利用向量平行的坐标表达式x 1y 2－x 2y 1＝0直接求解．2．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)，若c ∥(2a ＋b )，则λ＝ ． 12[由题可得2a ＋b ＝(4，2)， ∵c ∥(2a ＋b )，c ＝(1，λ)， ∴4λ－2＝0，即λ＝12.故答案为12.]等于( )A ．3B ．－3C ．－45D ．45(2)如图所示，已知点A (4，0)，B (4，4)，C (2，6)，求AC 与OB 的交点P 的坐标．思路点拨：(1)先由a ∥b 推出sin α与cos α的关系，求tan α，再用“1”的代换求2sin αcos α.(2)要求点P 的坐标，只需求出向量OP →的坐标，由OP →与OB →共线得到OP →＝λOB →，利用AP →与AC →共线的坐标表示求出λ即可；也可设P (x ，y )，由OP →∥OB →及AP →∥AC →，列出关于x ，y 的方程组求解．(1)C [因为a ∥b ，所以cos α×1－(－2)sin α＝0，即cos α＝－2sin α，tan α＝－12，所以2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋1＝－45.] (2)[解] 法一：(定理法)由O ，P ，B 三点共线，可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)，则AP →＝OP →－OA →＝(4λ－4，4λ)，AC →＝OC →－OA →＝(－2，6)．由AP →与AC →共线得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝34，所以OP →＝34OB →＝(3，3)，所以P 点的坐标为(3，3)．法二：(坐标法)设P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，因为OB →＝(4，4)，且OP →与OB →共线，所以x 4＝y4，即x ＝y .又AP →＝(x －4，y )，AC →＝(－2，6)，且AP →与AC →共线，则得(x －4)×6－y ×(－2)＝0，解得x ＝y ＝3，所以P 点的坐标为(3，3)．应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤3.如图所示，已知△AOB 中，A (0，5)，O (0，0)，B (4，3)，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC相交于点M ，求点M 的坐标．[解] 因为OC →＝14OA →＝14(0，5)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，54，所以C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，54.因为OD →＝12OB →＝12(4，3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，所以D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32. 设M (x ，y )，则AM →＝(x ，y －5)， AD →＝⎝⎛⎭⎪⎫2－0，32－5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－72.因为AM →∥AD →，所以－72x －2(y －5)＝0，即7x ＋4y ＝20.①又CM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，y －54，CB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4，74，因为CM →∥CB →，所以74x －4⎝ ⎛⎭⎪⎫y －54＝0，即7x －16y ＝－20.② 联立①②解得x ＝127，y ＝2，故点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫127，2.1．设P 1，P 2的坐标分别是(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，如何求线段P 1P 2的中点P 的坐标？ 提示：如图所示，∵P 为P 1P 2的中点，∴P 1P →＝PP 2→， ∴OP →－OP 1→＝OP 2→－OP →，∴OP →＝12(OP 1→＋OP 2→)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22， ∴线段P 1P 2的中点坐标是⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22.2．设P 1，P 2的坐标分别是(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，点P 是线段P 1P 2的一个三等分点，则P 点坐标是什么？提示：点P 是线段P 1P 2的一个三等分点，分两种情况：①当P 1P →＝13P 1P 2→时，OP →＝OP 1→＋P 1P →＝OP 1→＋13P 1P 2→＝OP 1→＋13(OP 2→－OP 1→)＝23OP 1→＋13OP 2→＝⎝⎛⎭⎪⎫2x 1＋x 23，2y 1＋y 23；②当P 1P →＝23P 1P 2→时，OP →＝OP 1→＋P 1P →＝OP 1→＋23P 1P 2→＝OP 1→＋23(OP 2→－OP 1→)＝13OP 1→＋23OP 2→ ＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋2x 23，y 1＋2y 23.3．当P 1P →＝λPP 2→时，点P 的坐标是什么？提示：∵OP →＝OP 1→＋P 1P →＝OP 1→＋λPP 2→＝OP 1→＋λ(OP 2→－OP →)＝OP 1→＋λOP 2→－λOP →， ∴OP →＝OP 1→＋λOP 2→1＋λ＝11＋λ(x 1，y 1)＋λ1＋λ(x 2，y 2) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋λx 1，11＋λy 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ1＋λx 2，λ1＋λy 2＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋λx 21＋λ，y 1＋λy 21＋λ， ∴P ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋λx 21＋λ，y 1＋λy 21＋λ. 【例4】 已知点A (3，－4)与点B (－1，2)，点P 在直线AB 上，且|AP →|＝2|PB →|，求点P 的坐标．思路点拨：点P 在直线AB 上，包括点P 在线段AB 内和在线段AB 的延长线上，因此应分类讨论．[解] 设P 点坐标为(x ，y )， |AP →|＝2|PB →|.当P 在线段AB 上时，AP →＝2PB →， ∴(x －3，y ＋4)＝2(－1－x ，2－y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－2－2x ，y ＋4＝4－2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝0，∴P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0.当P 在线段AB 延长线上时，AP →＝－2PB →， ∴(x －3，y ＋4)＝－2(－1－x ，2－y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝2＋2x ，y ＋4＝－4＋2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝8， ∴P 点坐标为(－5，8)．综上所述，点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0或(－5，8)．1．若将本例条件“|AP →|＝2|PB →|”改为“AP →＝3PB →”其他条件不变，求点P 的坐标． [解] 因为AP →＝3PB →，所以(x －3，y ＋4)＝3(－1－x ，2－y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－3－3x ，y ＋4＝6－3y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝12，所以点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.2．若将本例条件改为“经过点P (－2，3)的直线分别交x 轴、y 轴于点A ，B ，且|AB →|＝3|AP →|”，求点A ，B 的坐标．[解] 由题设知，A ，B ，P 三点共线，且|AB →|＝3|AP →|，设A (x ，0)，B (0，y )， ①点P 在A ，B 之间，则有AB →＝3AP →， ∴(－x ，y )＝3(－2－x ，3)， 解得x ＝－3，y ＝9，点A ，B 的坐标分别为(－3，0)，(0，9)． ②点P 不在A ，B 之间， 则有AB →＝－3AP →，同理，可求得点A ，B 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，(0，－9)． 综上，点A ，B 的坐标分别为(－3，0)，(0，9)或⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，(0，－9)．求点的坐标时注意的问题(1)设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)．若点P 是P 1P 2的中点时，则P (x ，y )为⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22.(2)求线段P 1P 2上或延长线上的点的坐标时，不必过分强调公式的记忆，可以转化为向量问题后列出方程组求解，同时要注意分类讨论．(3)若P 1P →＝λP 1P 2→，(λ≠0) ①0＜λ＜1时，P 在线段P 1P 2上； ②λ＝1时，P 与P 2重合；③λ＞1时，点P 在线段P 1P 2延长线上；④λ＜0时，点P 在线段P 1P 2反向延长线上．1．两个向量共线条件的表示方法 已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2) (1)当b ≠0时，a ＝λb . (2)x 1y 2－x 2y 1＝0.(3)当x 2y 2≠0时，x 1x 2＝y 1y 2，即两向量的相应坐标成比例． 2．向量共线的坐标表示的应用两向量共线的坐标表示的应用，可分为两个方面．(1)已知两个向量的坐标判定两向量共线．联系平面几何平行、共线知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题．要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行的不同．(2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值，求轨迹方程，要注意方程思想的应用，向量共线的条件，向量相等的条件等都可作为列方程的依据．1．下列说法不正确的是( )A ．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且a 与b 共线，则x 1x 2＝y 1y 2. B ．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且x 1y 2≠x 2y 1，则a 与b 不共线． C ．若A ，B ，C 三点共线，则向量AB →，BC →，CA →都是共线向量． D ．若A (3，－6)，B (－5，2)，C (6，y )三点共线，则y ＝－9.A [A 中，x 2或y 2为零时，比例式无意义，B 、C 很明显都正确；D 中AB →∥BC →，由AB →＝(－8，8)，BC →＝(11，y －2)，则－8(y －2)－8×11＝0，解得y ＝－9.∴D 正确．]2．已知两点A (2，－1)，B (3，1)，则与AB →平行且方向相反的向量a 可以是( ) A ．(1，－2) B ．(9，3) C ．(－2，4)D ．(－4，－8)D [由题意，得AB →＝(1，2)，所以a ＝λAB →＝(λ，2λ)(其中λ＜0)．符合条件的只有D 项，故选D.]3．已知平面向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b 等于 ． (－4，－8) [∵a ∥b ，∴1×m －(－2)×2＝0，∴m ＝－4，∴a ＝(1，2)，b ＝(－2，－4)， ∴2a ＋3b ＝2(1，2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．]4．设O 是坐标原点，OA →＝(k ，12)，OB →＝(4，5)，OC →＝(10，k )，当k 为何值时，A ，B ，C 三点共线？[解] ∵AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)， AC →＝OC →－OA →＝(10－k ，k －12)， 又A ，B ，C 三点共线，∴由两向量平行，得(4－k )(k －12)＋7(10－k )＝0， 解得k ＝－2或k ＝11.即当k ＝－2或k ＝11时，A ，B ，C 三点共线．。

备课资料一、求点P 分有向线段所成的比的几种求法(1)定义法:根据已知条件直接找到使P P 1=λ2PP 的实数λ的值.例1 已知点A(-2,-3),点B(4,1),延长AB 到P,使||=3||,求点P 的坐标.解：因为点在AB 的延长线上,P 为的外分点,所以=λ,λ<0,又根据||=3||,可知λ=-3,由分点坐标公式易得P 点的坐标为(7,3).(2)公式法:依据定比分点坐标公式. x=,1,12121λλλλ++=++y y y x x 结合已知条件求解λ. 例2 已知两点P 1(3,2),P 2(-8,3),求点P(21,y)分21P P 所成的比λ及y 的值. 解：由线段的定比分点坐标公式,得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+⨯+=+-+=.2249,175,132,1)8(321y y λλλλλ解得 二、备用习题1.已知a =(3,-1),b =(-1,2),则-3a -2b 等于（ ）A.(7,1)B.(-7,-1)C.(-7,1)D.(7,-1)2.已知A(1,1),B(-1,0),C(0,1),D(x,y),若和是相反向量,则D 点的坐标是（ ）A.(-2,0)B.(2,2)C.(2,0)D.(-2,-2)3.若点A(-1,-1),B(1,3),C(x,5)共线,则使=λ的实数λ的值为（ ）A.1B.-2C.0D.24.设a =(23,sinα),b =(cosα,31),且a ∥b ,则α的值是（ ） A.α=2kπ+4π(k ∈Z ) B.α=2kπ-4π(k ∈Z ) C.α=kπ+4π(k ∈Z ) D.α=kπ-4π(k ∈Z ) 5.已知A 、B 、C 三点共线,且A(3,-6),B(-5,2),若C 点的横坐标为6,则C 点的纵坐标为（ ）A.-2B.9C.-9D.136.若A(2,3),B(x,4),C(3,y),且AB =2AC ,则x=_______,y=________.7.已知ABCD 中,=(3,7), =(-2,1),则的坐标(O 为对角线的交点)为_________.8.向量=(k,12),=(4,5),=(10,k),当k 为何值时,A 、B 、C 三点共线?9.已知点A(2,3),B(5,4),C(7,10),若=+λ(λ∈R ),试问:当λ为何值时,点P 在第一与第三象限的角平分线上?当λ在什么范围内取值时,点P 在第三象限内?10.如图6所示,已知△AOB 中,A(0,5),O(0,0),B(4,3),=41,=21,AD 与BC 相交于点M,求点M 的坐标.图611.已知四边形ABCD 是正方形,BE ∥AC,AC=CE,EC 的延长线交BA 的延长线于点F,求证:AF=AE.参考答案:1.B2.B3.D4.C5.C6.427 7.(-21,-4) 8.∵=(k,12), =(4,5),=(10,k)， ∴=-=(4-k,-7), =-=(6,k-5). ∵∥,∴(4-k)(k-5)+7×6=0.∴k 2-9k-22=0.解得k=11或k=-2.9.∵=(3,1), =(5,7), ∴+λ=(3+5λ,1+7λ),而=+λ(已知), ∴OP =OA +=(2,3)+(3+5λ,1+7λ)=(5+5λ,4+7λ).(1)若点P 在第一与第三象限的角平分线上,则5+5λ=4+7λ⇒λ=21; (2)若点P 在第三象限内,则)1,(074055--∞∈⇒⎩⎨⎧<+<+λλλ 10.∵=41=41(0,5)=(0,45),∴C(0,45). ∵OD =21OB =21(4,3)=(2,23),∴D(2,23). 设M(x,y),则AM =(x,y-5),AD =(2-0,23-5)=(2,27-).∵AM ∥AD ,∴27-x-2(y-5)=0,即7x+4y=20.① 又CM =(x,y-45),=(4,47), ∵CM ∥CB ,∴47x-4(y 45-)=0,即7x-16y=-20.② 联立①②,解得x=712,y=2，故点M 的坐标为(712,2). 11.证明:建立如图7所示的直角坐标系,为了研究方便,不妨设正方形ABCD 的边长为1,则B(1,0),C(1,1),D(0,1),设E(x,y),这里y>0,于是=(1,1),=(x-1,y).图7 ∵AC ∥BE ,∴1×y-(x--1.①∵AC=OC=CE(已知),∴CE 2=OC 2⇒(x-1)2+(y-1)2=2.②由y>0,联立①②,解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=,231,233y x 即E(231,233++). AE=OE=13)231()233(22+=+++ 设F(t,0),则=(1-t,1),=().231,231(+-+). ∵F 、C 、E 三点共线,∴∥.∴(1-t)×231231+-+-×1=0,即t=-1-3. ∴AF=OF=1+3.∴AF=AE.(设计者：房增凤)。

§2.3.4 平面向量共线的坐标表示【学习目标】1、在理解向量共线的概念的基础上，学习用坐标表示向量共线的条件。

2、利用向量共线的坐标表示解决有关问题。

【学习过程】一、自主学习（一）知识链接：复习： ⑴若点A 、B 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y 那么向量AB 的坐标为 . ⑵若()()1122,,,a x y b x y == ，则a b += ，a b -= ，a λ=（二）自主探究：（预习教材P98—P101） 探究：平面向量共线的坐标表示问题1：两向量平行（共线）的条件是什么？若,a b （0b ≠ ）共线，当且仅当存在实数λ，使 。

问题2：假设()()1122,,,a x y b x y == （0b ≠ ），用坐标该如何表示这两个向量共线呢？2、设1122(,),(,)a x y b x y == ，其中0b ≠ ，则//a b 等价于______________________。

二、合作探究1、已知()2,4-=a ，()6,b y = ，且//a b ，求y .变式：判断下列向量a 与b 是否共线①(2,3) (3,4)a b ==②8(2,3) (,4)3a b ==2、向量(),12OA k = ，()4,5OB = ，()10,OC k = ，当k 为何值时，,,A B C 三点共线.变式：证明下列各组点共线：（1）7(1,2) (3,4)(2,)2A B C --（2）1(9,1) Q(1,3)(8,)2P R -3、设点P 是线段12P P 上的一点，12,P P 的坐标分别是()11,x y ，()22,x y .⑴当点P 是线段12P P 的中点时，求点P 的坐标；⑵当点P 是线段12P P 的一个三等分点时，求点P 的坐标. *变式： 当12PP PP λ= ，点P 的坐标是什么？三、交流展示1已知(2,3),(2,1),(1,4)(7,4)A B D ----判断AB 与CD 是否共线？2、已知()()()2,1,,2,3,a b x c y =-==- ，且////a b c ，求,x y 的值.3、平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，＝(4,1)，求：(1)求3a ＋b －2c ；(2)求满足a ＝m b ＋n 的实数m ，n ；(3)若(a ＋k )∥(2b －a )，求实数k .四、达标检测（A 组必做，B 组选做） A 组：1. 已知向量()2,4a =- ，()1,2b =- ，则a 与b 的关系是（ ）A.不共线B.相等C.方向相同D.共线2. 已知,,A B C 三点共线，且()()3,6,5,2A B --，若C 点横坐标为6，则C 点的纵坐标为（ ）A.13-B.9C.9-D.133. 点(),A m n 关于点(),B a b 对称点坐标为（ ）A.(),m n --B.(),a m b n --C.()2,2a m b n --D.()2,2a m b n --4. 已知()1,2a = ，(),1b x = ，若2a b + 与2a b - 平行，则x 的值为 .B 组：1、(2010·湖南长沙)已知O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ∈[0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．外心B ．垂心C ．内心D ．重心2、已知四点A (x,0)、B (2x,1)、C (2，x )、D (6,2x )．(1)求实数x ，使两向量AB →、CD →共线．(2)当两向量AB →与CD →共线时，A 、B 、C 、D 四点是否在同一条直线上？。