2018版高中数学平面向量2.3.4平面向量共线的坐标表示导学案新人教A版必修4 含解析

2.3.4 平面向量共线的坐标表示学习目标 1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.2.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线.3.掌握三点共线的判断方法.知识点 平面向量共线的坐标表示 已知下列几组向量： (1)a ＝(0，3)，b ＝(0，6)； (2)a ＝(2，3)，b ＝(4，6)； (3)a ＝(－1，4)，b ＝(3，－12)； (4)a ＝(12，1)，b ＝(－12，－1).思考1 上面几组向量中，a ，b 有什么关系？答案 (1)(2)中b ＝2a ，(3)中b ＝－3a ，(4)中b ＝－a . 思考2 以上几组向量中，a ，b 共线吗？ 答案 共线.思考3 当a ∥b 时，a ，b 的坐标成比例吗？ 答案 坐标不为0时成正比例.思考4 如果两个非零向量共线，你能通过其坐标判断它们是同向还是反向吗？ 答案 能.将b 写成λa 形式，λ>0时，b 与a 同向，λ<0时，b 与a 反向.梳理 (1)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，a ，b 共线，当且仅当存在实数λ，使a ＝λb .(2)如果用坐标表示，可写为(x 1，y 1)＝λ(x 2，y 2)，当且仅当x 1y 2－x 2y 1＝0时，向量a ，b (b ≠0)共线.注意：对于(2)的形式极易写错，如写成x 1y 1－x 2y 2＝0或x 1x 2－y 1y 2＝0都是不对的，因此要理解并熟记这一公式，可简记为：纵横交错积相减.类型一 向量共线的判定与证明例1 (1)下列各组向量中，共线的是( ) A.a ＝(－2，3)，b ＝(4，6) B.a ＝(2，3)，b ＝(3，2) C.a ＝(1，－2)，b ＝(7，14)D.a ＝(－3，2)，b ＝(6，－4) 答案 D解析 A 选项，(－2)×6－3×4＝－24≠0， ∴a 与b 不平行；B 选项，2×2－3×3＝4－9＝－5≠0，∴a 与b 不平行；C 选项，1×14－(－2)×7＝28≠0，∴a 与b 不平行；D 选项，(－3)×(－4)－2×6＝12－12＝0， ∴a ∥b ，故选D.(2)已知A (2，1)，B (0，4)，C (1，3)，D (5，－3).判断AB →与CD →是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？解 AB →＝(0，4)－(2，1)＝(－2，3)， CD →＝(5，－3)－(1，3)＝(4，－6).方法一 ∵(－2)×(－6)－3×4＝0且(－2)×4<0， ∴AB →与CD →共线且方向相反.方法二 ∵CD →＝－2AB →，∴AB →与CD →共线且方向相反.反思与感悟 此类题目应充分利用向量共线定理或向量共线坐标的条件进行判断，特别是利用向量共线坐标的条件进行判断时，要注意坐标之间的搭配.跟踪训练1 已知A ，B ，C 三点的坐标分别为(－1，0)，(3，－1)，(1，2)，AE →＝13AC →，BF →＝13BC →，求证：EF →∥AB →. 证明 设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2).∵AC →＝(2，2)，BC →＝(－2，3)，AB →＝(4，－1)， ∴AE →＝13AC →＝(23，23)，BF →＝13BC →＝(－23，1).∴(x 1，y 1)－(－1，0)＝(23，23)，(x 2，y 2)－(3，－1)＝(－23，1)，∴(x 1，y 1)＝(－13，23)，(x 2，y 2)＝(73，0).∴EF →＝(x 2，y 2)－(x 1，y 1)＝(83，－23).∵4×(－23)－(－1)×83＝0，∴EF →∥AB →.类型二 利用向量共线求参数例2 已知a ＝(1，2)，b ＝(－3，2)，当k 为何值时，k a ＋b 与a －3b 平行？ 解 方法一 k a ＋b ＝k (1，2)＋(－3，2)＝(k －3，2k ＋2)，a －3b ＝(1，2)－3(－3，2)＝(10，－4)，当k a ＋b 与a －3b 平行时，存在唯一实数λ， 使k a ＋b ＝λ(a －3b ).由(k －3，2k ＋2)＝λ(10，－4).得⎩⎪⎨⎪⎧k －3＝10λ，2k ＋2＝－4λ，解得k ＝λ＝－13.方法二 由方法一知k a ＋b ＝(k －3，2k ＋2)，a －3b ＝(10，－4)，∵k a ＋b 与a －3b 平行，∴(k －3)×(－4)－10(2k ＋2)＝0，解得k ＝－13.引申探究1.若例2条件不变，判断当k a ＋b 与a －3b 平行时，它们是同向还是反向？ 解 由例2知当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，这时k a ＋b ＝－13a ＋b ＝－13(a －3b )，∵λ＝－13<0，∴k a ＋b 与a －3b 反向.2.在本例中已知条件不变，若问题改为“当k 为何值时，a ＋k b 与3a －b 平行？”，又如何求k 的值？解 a ＋k b ＝(1，2)＋k (－3，2)＝(1－3k ，2＋2k )， 3a －b ＝3(1，2)－(－3，2)＝(6，4)， ∵a ＋k b 与3a －b 平行， ∴(1－3k )×4－(2＋2k )×6＝0， 解得k ＝－13.反思与感悟 根据向量共线条件求参数问题，一般有两种思路，一是利用向量共线定理a ＝λb (b ≠0)，列方程组求解，二是利用向量共线的坐标表达式x 1y 2－x 2y 1＝0求解.跟踪训练2 设向量a ＝(1，2)，b ＝(2，3)，若向量λa ＋b 与向量c ＝(－4，－7)共线，则λ＝________.答案 2解析 λa ＋b ＝λ(1，2)＋(2，3)＝(λ＋2，2λ＋3)， ∵λa ＋b 与c 共线，∴(λ＋2)×(－7)－(2λ＋3)×(－4)＝λ－2＝0， ∴λ＝2.类型三 三点共线问题例3 已知向量OA →＝(k ，12)，OB →＝(4，5)，OC →＝(10，k ).当k 为何值时，A ，B ，C 三点共线？解 AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)， AC →＝OC →－OA →＝(10－k ，k －12)， 若A ，B ，C 三点共线，则AB →∥AC →， ∴(4－k )(k －12)＝－7×(10－k )， 解得k ＝－2或11， 又AB →，AC →有公共点A ，∴当k ＝－2或11时，A ，B ，C 三点共线.反思与感悟 (1)三点共线问题的实质是向量共线问题，两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的，利用向量平行证明三点共线需分两步完成：①证明向量平行；②证明两个向量有公共点.(2)若A ，B ，C 三点共线，即由这三个点组成的任意两个向量共线.跟踪训练3 已知A (1，－3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫8，12，C (9，1)，求证：A ，B ，C 三点共线. 证明 AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8－1，12＋3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7，72，AC →＝(9－1，1＋3)＝(8，4)，∵7×4－72×8＝0，∴AB →∥AC →，且AB ，AC →有公共点A ， ∴A ，B ，C 三点共线.1.已知a ＝(－1，2)，b ＝(2，y )，若a ∥b ，则y 的值是( ) A.1 B.－1 C.4 D.－4 答案 D解析 ∵a ∥b ，∴(－1)×y －2×2＝0，∴y ＝－4. 2.与a ＝(12，5)平行的单位向量为( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫1213，－513B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213，－513C.⎝⎛⎭⎪⎫1213，513或⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213，－513 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫±1213，±513答案 C解析 设与a 平行的单位向量为e ＝(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，12y －5x ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1213，y ＝513或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1213，y ＝－513.3.已知三点A (1，2)，B (2，4)，C (3，m )共线，则m 的值为________. 答案 6解析 AB →＝(2，4)－(1，2)＝(1，2).AC →＝(3，m )－(1，2)＝(2，m －2).∵A ，B ，C 三点共线，即向量AB →，AC →共线， ∴存在实数λ使得AB →＝λAC →，即(1，2)＝λ(2，m －2)＝(2λ，λm －2λ).∴⎩⎪⎨⎪⎧2λ＝1，λm －2λ＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，m ＝6.即m ＝6时，A ，B ，C 三点共线.4.已知四边形ABCD 的四个顶点A ，B ，C ，D 的坐标依次是(3，－1)，(1，2)，(－1，1)，(3，－5).求证：四边形ABCD 是梯形.证明 ∵A (3，－1)，B (1，2)，C (－1，1)，D (3，－5). ∴AB →＝(－2，3)，CD →＝(4，－6). ∴CD →＝－2AB →，即|AB →|＝12|CD →|，∴AB ∥CD ，且AB ≠CD ，∴四边形ABCD 是梯形.5.已知A (3，5)，B (6，9)，M 是直线AB 上一点，且|AM →|＝3|MB →|，求点M 的坐标. 解 设点M 的坐标为(x ，y ).由|AM →|＝3|MB →|，得AM →＝3 MB →或AM →＝－3MB →. 由题意，得AM →＝(x －3，y －5)，MB →＝(6－x ，9－y ). 当AM →＝3 MB →时，(x －3，y －5)＝3(6－x ，9－y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝3(6－x )，y －5＝3(9－y )，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝214，y ＝8.当AM →＝－3MB →时，(x －3，y －5)＝－3(6－x ，9－y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－3(6－x )，y －5＝－3(9－y )，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝152，y ＝11.故点M 的坐标是⎝⎛⎭⎪⎫214，8或⎝ ⎛⎭⎪⎫152，11.1.两个向量共线条件的表示方法 已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)， (1)当b ≠0，a ＝λb . (2)x 1y 2－x 2y 1＝0.(3)当x 2y 2≠0时，x 1x 2＝y 1y 2，即两向量的相应坐标成比例. 2.向量共线的坐标表示的应用(1)已知两个向量的坐标判定两向量共线.联系平面几何平行、共线知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题.要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行.(2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值，求轨迹方程.要注意方程思想的应用，向量共线的条件，向量相等的条件等都可作为列方程的依据.课时作业一、选择题1.设k ∈R ，下列向量中，与向量a ＝(1，－1)一定不平行的向量是( ) A.b ＝(k ，k ) B.c ＝(－k ，－k ) C.d ＝(k 2＋1，k 2＋1) D.e ＝(k 2－1，k 2－1)答案 C解析 由向量共线的判定条件知，当k ＝0时，向量b ，c 与a 平行；当k ＝±1时，向量e与a 平行.对任意k ∈R ，1·(k 2＋1)＋1·(k 2＋1)≠0，∴a 与d 不平行，故选C. 2.已知向量a ＝(1，－2)，|b |＝4|a |，a ∥b ，则b 可能是( ) A.(4，8) B.(8，4) C.(－4，－8) D.(－4，8)答案 D3.已知三点A (－1，1)，B (0，2)，C (2，0)，若AB →和CD →是相反向量，则D 点坐标是( ) A.(1，0) B.(－1，0) C.(1，－1) D.(－1，1) 答案 C4.已知向量a ＝(2，3)，b ＝(－1，2)，若(m a ＋n b )∥(a －2b )，则mn等于( ) A.－2 B.2 C.－12 D.12答案 C解析 由题意得m a ＋n b ＝(2m －n ，3m ＋2n )，a －2b ＝(4，－1)，∵(m a ＋n b )∥(a －2b )， ∴－(2m －n )－4(3m ＋2n )＝0，∴m n ＝－12，故选C.5.下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是( ) A.e 1＝(0，0)，e 2＝(1，－2) B.e 1＝(－1，2)，e 2＝(5，7) C.e 1＝(3，5)，e 2＝(6，10) D.e 1＝(2，－3)，e 2＝(12，－34)答案 B解析 A 选项，∵e 1＝0，e 1∥e 2，∴不可以作为基底；B 选项，∵－1×7－2×5＝－17≠0，∴e 1与e 2不共线，故可以作为基底；C 选项，3×10－5×6＝0，e 1∥e 2，故不可以作为基底；D 选项，2×(－34)－(－3)×12＝0，∴e 1∥e 2，不可以作为基底.故选B.6.已知e 1＝(1，0)，e 2＝(0，1)，a ＝2e 1＋e 2，b ＝λe 1－e 2，当a ∥b 时，实数λ等于( ) A.－1 B.0 C.－12 D.－2答案 D解析 ∵e 1＝(1，0)，e 2＝(0，1)，a ＝2e 1＋e 2，b ＝λe 1－e 2， ∴a ＝2(1，0)＋(0，1)＝(2，1)，b ＝λ(1，0)－(0，1)＝(λ，－1). 又∵a ∥b ，∴2×(－1)－1×λ＝0，解得λ＝－2.故选D.7.已知向量a ＝(x ，3)，b ＝(－3，x )，则下列叙述中，正确的个数为( ) ①存在实数x ，使a ∥b ； ②存在实数x ，使(a ＋b )∥a ； ③存在实数x ，m ，使(m a ＋b )∥a ； ④存在实数x ，m ，使(m a ＋b )∥b . A.0 B.1 C.2 D.3 答案 B解析 只有④正确，可令m ＝0，则m a ＋b ＝b ，无论x 为何值，都有b ∥b .8.已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(－1，0)，(3，0)，(1，－5)，则第四个顶点坐标是( ) A.(1，5)或(5，5) B.(1，5)或(－3，－5) C.(5，－5)或(－3，－5) D.(1，5)或(5，－5)或(－3，－5) 答案 D 二、填空题9.已知向量a ＝(m ，4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝________. 答案 －6解析 因为a ∥b ，所以由(－2)×m －4×3＝0，解得m ＝－6.10.已知A (－1，4)，B (x ，－2)，若C (3，3)在直线AB 上，则x ＝________. 答案 2311.已知向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，3)，若λa ＋μb 与a ＋b 共线，则λ与μ的关系是________. 答案 λ＝μ12.设OA →＝(2，－1)，OB →＝(3，0)，OC →＝(m ，3)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数m 的取值范围是________. 答案 {m |m ∈R 且m ≠6}解析 ∵A ，B ，C 三点能构成三角形. ∴AB →，AC →不共线.又∵AB →＝OB →－OA →＝(1，1)，AC →＝(m －2，4)，∴1×4－1×(m －2)≠0. 解得m ≠6.∴m 的取值范围是m ∈R 且m ≠6.13.已知直角坐标平面内的两个向量a ＝(1，3)，b ＝(m ，2m －3)，使得平面内的任意一个向量c 都可以唯一的表示成c ＝λa ＋b ，则m 的取值范围是________. 答案 {m |m ∈R 且m ≠－3}解析 根据平面向量的基本定理知，a 与b 不共线，即2m －3－3m ≠0，解得m ≠－3. 所以m 的取值范围是m ∈R 且m ≠－3. 三、解答题14.已知向量AB →＝(6，1)，CD →＝(－2，－3)，BC →＝(x ，y )且|BC →|＝5，BC →∥DA →，求x ，y 的值.解 由题意得DA →＝－AD →＝－(AB →＋BC →＋CD →) ＝－[(6，1)＋(x ，y )＋(－2，－3)] ＝(－x －4，－y ＋2)， 又BC →＝(x ，y )，BC →∥DA →， ∴x (－y ＋2)－y (－x －4)＝0. 化简得x ＋2y ＝0.即x ，y 应满足的关系为x ＋2y ＝0. ① 又∵|BC →|＝5，∴x 2＋y 2＝5.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1.四、探究与拓展15.如图所示，已知在△AOB 中，A (0，5)，O (0，0)，B (4，3)，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC相交于点M ，求点M 的坐标.解 ∵OC →＝14OA →＝14(0，5)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，54，∴C (0，54).∵OD →＝12OB →＝12(4，3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32.设M (x ，y )，则AM →＝(x ，y －5)， AD →＝⎝⎛⎭⎪⎫2－0，32－5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－72.∵AM →∥AD →，∴－72x －2(y －5)＝0，即7x ＋4y ＝20.①又∵CM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，y －54，CB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4，74，CM →∥CB →，∴74x －4⎝ ⎛⎭⎪⎫y －54＝0， 即7x －16y ＝－20.②联立①②，解得x ＝127，y ＝2，故点M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫127，2.。