乘法公式(平方差)教学设计

乘法公式──平方差公式湖北省襄樊市襄阳区城关一中朱小平湖北省襄樊市襄阳区教研室赵素芬湖北省襄樊市教学研究室吴明龙一、内容和内容解析【内容】八年级上册第15章第2节第一课时乘法公式──平方差公式【内容解析】“平方差公式”是初中阶段学生学习“乘法公式”的第一个公式，让学生了解公式产生的背景，经历公式形成的推导过程，学生从已有的认知出发，在一组多项式乘以多项式的乘法运算中，发现有特殊形式的多项式相乘，运算结果特别简单，从而诱发学生从中总结出这种特殊的多项式相乘的特征，初步感受平方差公式；通过数形结合验证平方差公式的合理性，进而确立平方差公式的地位和作用：既为符合公式特征的整式乘法运算带来简便,又为后续学习用公式法分解因式奠定基础；从公式的探究推导活动中，让学生学会从“特殊”到“一般”的探究方法，为学生以后能主动探究完全平方公式，甚至是立方和、立方差等数学公式奠定良好的迁移基础．要想熟练而正确的应用公式解决问题，学生必须对公式结构特征进行剖析，在剖析中加深了对公式特征和表达形式的理解与掌握，又为学生学习掌握其他数学公式提供了学习的模板．因此，“平方差公式”在“乘法公式”中具备核心的地位．让学生体会研究“公式问题”的“基本套路”：从一般问题（整式乘法）中发现特殊情况（平方差），举三反一，再考察特殊情况存在的共性及合理性，进而归纳出特殊情况的一般特征，归纳得到公式并用文字、符号表示；能够辨析公式，明确其结构特征，在实践中加以应用，举一反三，体会它存在的必要性和便捷性．同时为学生感悟和体验数学思想与方法（归纳、转化、数形结合）也搭建了一个不可多得的平台．基于上述分析，确定本节的教学重点是；理解并掌握平方差公式及其结构特征；会运用此公式进行计算．二、目标和目标解析【目标】 1、了解平方差公式产生的背景，理解平方差公式的意义，掌握平方差公式的结构特征，并能灵活运用平方差公式解决问题．2、经历平方差公式产生的过程，体验知识的产生与发展，感受利用归纳、数形结合等数学思想方法解决数学问题的策略，培养学生观察、归纳、概括的能力．3、在探索平方差公式的过程和在解决问题过程中学会与他人合作交流．在公式的学习及运用中积累解题的经验、体验成功的喜悦，提高学生学习数学的兴趣．【目标解析】学生经历公式的形成过程：从“特例──一般”用“归纳──猜想──验证──数学符号”表示等过程，进一步发展学生的符号感、培养他们的合情推理和归纳的能力；让学生能理解公式中a 、b 各代表什么，能够分析、运用平方差公式的结构特征解决问题；让学生在经历从具体到抽象，从一般到特殊中，寻找规律，自我归纳，明确解决同类问题的基本套路，积累数学活动的经验，感受“平方差公式”的魅力，提高数学学习的兴趣；在自主探究、合作交流的过程中体验学习的快乐和幸福，从而能主动地去理解数学、感悟数学的精神．三、教学问题诊断分析学生的认知基础有：第一、七年级学生已有用字母表示数的基础．第二、学生已学习了多项式的乘法，但本节课所给特殊形式的多项式相乘，主要体现在结构特征的特殊性上，而这种特殊形式又灵活多样，学生常常在字母表示的广泛含义上不易掌握（如字母表示负数，多项式等），在平方差公式的灵活运用时常发生多种错误，如：①符号错误（-5a- 3）（+5a-3）=25a2-9 ②系数不平方（2a-1）（2a+1）=2a2-1 ③不能运用公式的而运用公式（a+0.5b）（b-0.5 a）=a2-0.25b2，其原因就是只了解公式（a+b）（a-b）=a2-b2的表面形式，而未真正掌握平方差公式的本质特征．鉴于此，本节的教学难点是：理解乘法公式的结构特征及几何意义，并能灵活运用平方差公式．四、教学支持条件分析利用多媒体展示教学的部分环节，如创设情景、公式的几何意义等，从而支持课堂教学，突出重点，突破难点．五、教学过程设计（一）创设情境，快乐起航从前，有一个狡猾的庄园主，把一块边长为a米的正方形土地租给张老汉种植．第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边减少5米，相邻的另一边增加5米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”张老汉一听，觉得好像没有吃亏，就答应道:“好吧”．回到家中，他把这事和邻居们一讲，大家都说：“张老汉，你吃亏了！”张老汉非常吃惊．你知道张老汉是否吃亏了吗？学习了本节课的知识，你将能轻松地解决．[设计意图]从生活中的实例引入，一是激发学生求知兴趣；二是为说明平方差公式的几何意义做好铺垫．（二）自主探索，获取新知问题1：利用多项式的乘法法则，计算下面各题．再观察、分析这组题目左边的算式和右边的结果，你能从中发现什么规律？（小组讨论）（1）（a+b）(m+n)=am+an+bm+bn (4)（a+5）（a-5）(2)(x+3)(y+4)=xy+4x+3y+12 （5）(p+q) (p-q)(3)(y+3)(y-2)=y2+y-6 （6）（2x+1）（2x-1）问题2：通过这些题目的计算，你发现了什么？（视学生活动情况，可预设以下两个追问）（追问1）：（4）（5）（6）题在形式和结果上与其它各题有什么区别？（追问2）：观察、分析（4）（5）（6）左边的算式和右边的结果，你能从中发现什么规律？（小组讨论）（4）（a+5）（a-5） = a2-5a+5a -52 = a2 - 52（5）(p+q) (p-q) = p2-pq+pq-q2 = p2 - q2（6）（2x+1）（2x-1）=（2x）2－2x+2x-12 = （2x）2-12发现：【左边】两个数的和与这两个数的差的积【右边】这两个数的平方差猜想：（a+b）（a-b）=?[设计意图]在教学中以一组相关联但又有区别的题目为载体，学生通过计算，观察每个算式的特点、结果的特点，挖掘题目间的共性，发现规律，举三反一，猜想公式，让学生经历从一般到特殊，从具体到抽象的过程，体会归纳这一数学思想方法．问题3：你能通过计算（a+b）（a-b），说明猜想的合理性吗？（a+b）（a-b）=a2-ab+ ab-b2 =a2-b2归纳平方差公式：（a+b）（a-b）= a2-b2，即：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差．[设计意图]通过多项式的乘法法则践行猜想，让感知得到到理性的检验，体现数学学科思维的严谨，让合情推理与演绎推理完美并进，进而准确的用数学语言表述公式．（三）剖析公式，揭示本质问题4：你能揭示公式的结构特征吗？（学生先自主辨析，再交流互补，不但完善）左边右边结构特征（a+b）（a-b） = a2 - b2相同项相反项相同项2 - 相反项2[a与a] [b与-b][设计意图]揭示公式的结构特征，是学生理解公式、进而灵活运用公式解决问题的前提条件．让学生自主辨析、合作交流、共同总结得以明晰，既体现了学生学习的主动性，又为学生学习公式进行了学法指导,可谓“一箭双雕”．（四）数形结合，几何说理问题5：现在，你知道张老汉是否吃亏了吗？吃亏了多少？追问：如果将张老汉所租的正方形土地的一边减少b米，相邻另一边增加b米，现在的土地面积是多少？原来的土地面积是多少？两者相比，发生了怎样的变化？请你将图（1）重新拼图，验证结论的正确性．它说明了什么公式？[设计意图]使学生直观地经历变化的过程，从数形结合的角度加深对公式的理解．（五）巩固运用，内化新知开心一试真我巧变1.你能用□和○分别代表a和b来表示平方差公式吗？(□+○)(□－○) =□2－○22.请你根据等式在□和○里填数或式如（ 2a +⑤）（2a －⑤）=2a2-⑤2教师可根据学生的回答，补充多项式的形式．小结：其中□（即a）和○（即b）可以表示数，单项式或多项式．[设计意图] 这道开放题的设计，以剖析a、b的广泛含义为目的，对于认清公式的结构特征起到事半功倍的作用，在后面公式的运用中相信学生会更加得心应手．锋芒毕露模拟演练3．填一填[设计意图] 设计此题旨在将算式中的各项与公式里的a、b进行对照，进一步体会字母a、b的含义，举一反三，加深对字母含义广泛性的理解．你挑我选慧眼识珠4．判断对错，如果有错，如何改正？（大组竞赛）(1)（x-2）（x+2）=x2-2 （） (2)（2a+5）（2a-5）=2a2-25 （）(3)（-1+3m）（1+3m）=1-9m2（） (4)（a+b）（b-a）=a2-b2（）(5)（1/3-4xy）(1/3+4xy)=1/9-16x2y2（） (6)（4x+3b）（4x-3b）=16x2-9（）[设计意图] 对学生常出现的错误，进行预设，防微杜渐．例题：计算（1）10298 （2）（y+2）（y-2）－（y-1）（y+5）大显身手巧用善用5．计算(1)5149 (2)（3x+4）（3x－4）－（x+3）（x－2）[设计意图] 通过转化，利用公式计算，体会平方差公式的便捷．争我风采易如反掌6.变式练习(1)填空：① (-m+___)(n+____)=n2-m2②写出与（-a+b）相乘能用平方差公式的因式___________________．③(5a+b+3c)(5a+b-3c)=A2-B2,则A=_______B=______.(2)计算: (x+y)(x-y)(x2+y2),并根据此题自编一道类似的题，同桌交换做一做．（3）20082-20092007[设计意图] 通过变式训练，让学生学会逆向思维和发散思维，从而加强学生对公式结构特征的理解，连续使用平方差公式是对公式应用的拓展与提高．（六）小结梳理，布置作业1.小结（1）本节课你学到了什么数学知识？（a+b）（a-b）=a2-b2（2）平方差公式的结构特征是什么？左边：两个因式中一定有相同项和相反项右边：相同项的平方减去相反项的平方．（3）本节课你感悟到哪些数学思想方法？（转化、数形结合）2.作业（1）课内作业①、P156 T1②、先化简，再求值 x(x+2)-(x+1)(x-1),其中x=1/2（2）课外探究从边长为a的大正方形纸板中，挖去一个边长为b的小正方形后，将其裁成四个相同的等腰梯形，再拼成一个平行四边形．如图所示，那么通过计算平行四边形的面积，可以验证公式________．[设计意图] 数形结合，从几何意义上理解代数公式，多方位的去理解新知、运用新知，加深学生对平方差公式的理解．六、目标检测设计（一）选择题1、下列各式计算中，结果正确的是（）A、（x-3）（x+3）=x2-6B、（x+5）（3x-5）=3x2-25C、（-x-y）（x+y）=x2-y2D、（2ab-c）（c+2ab）=4a2b2-c22、下列各式相乘，能用平方差公式计算的是（）（1）（2a-3b）（3b-2a）（2）（-2a+3b）（-2a-3b）（3）（2a+3b）（-2a-3b）（4）（2a+3b+c）（2a+3b-c）A、1个B、2个C、3个D、4个(二)计算（1）（-3x+2）（-3x-2）（2）（4x-3）（4x+3）-（x-2）(2-x)（三）填一填（1）（-x+__）(___-2y)= x2-4y2（2）(-6m+___)(2n+___)=4n2-36m2（四）小强去商店买了9.8千克的食品，每千克10.2元，售货员正准备拿计算器计算，小强却一口说出了答案，你能像小强那样快速算出答案吗？[设计意图]设计不同形式的问题，考察学生对平方差公式的理解与应用．对学生的学习效果进行检测，给学生自我评价的机会，对“教”与“学”及时反馈．师生一起查漏补缺，扬长避短，自我完善．。