2020高考数学(文科)全国二卷高考模拟试卷(11)

2020高考数学（文科）全国二卷高考模拟试卷（11）一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）已知集合A ＝{x |（x ﹣1）（x +1）＜0}，B ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，则A ∩B ＝（ ） A ．（﹣1，0]B ．（﹣1，1）C ．（0，1）D ．∅2．（5分）设i 为虚数单位，复数z =2+3ii，则z 的共轭复数是（ ） A ．3﹣2iB ．3+2iC ．﹣3﹣2iD ．﹣3+2i3．（5分）左手掷一粒骰子，右手掷一枚硬币，则事件“骰子向上为6点且硬币向上为正面”的概率为（ ） A ．16B ．112C ．13D ．124．（5分）已知点（1，2）在双曲线y 2a 2−x 2b 2=1的渐近线上，则该双曲线的离心率为（ ）A ．32B ．√5C ．√52D ．√625．（5分）已知p ：∀α∈（0，π2），sin α＜α，q ：∃x 0∈N ，x 02﹣2x 0﹣1＝0，则下列选项中是假命题的为（ ） A ．p ∨qB ．p ∧（￢q ）C ．p ∧qD ．p ∨（￢q ）6．（5分）下列计算正确的有（ ） ①tan （−536π）=√33；②sin （−113π）=−√32； ③cos （﹣1305°）=−√22；④sin （−176π）=12． A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④7．（5分）我国南宋时期的数学家秦九韶是普州（现四川省安岳县）人，秦九韶在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，其算法如下：多项式函数f （x ）＝a n x n +a n ﹣1x n ﹣1+…+a 1x +a 0写为f （x ）＝（a n x n ﹣1+a n ﹣1x n ﹣2+…+a 1）+a 0＝（（a n x n ﹣2+a n ﹣1x n ﹣3+…+a 2）+a 1）x +a 0＝…＝（（（a n x +a n ﹣1）x +a n ﹣2）x +…+a 1）x +a 0，即可用如图所示的程序框图来求某多项式的值．若输入a 0＝1，a 1＝4，a 2＝6，a 3＝4，a 4＝1及x 0，运行程序可以输出16，则x 0的值为（ ）A ．﹣3B ．1或﹣3C ．1D ．2或﹣28．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的体积为（ ）A ．11√22π3B ．44√11π3C ．44√11πD ．11√22π9．（5分）函数y ＝x 2e x 的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．10．（5分）△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知a =√3，b cos A ＝sin B ，则A ＝（ ） A ．πB ．πC ．πD ．π11．（5分）抛物线y ＝﹣8x 2的焦点坐标是（ ） A ．（0，﹣2）B ．（﹣2，0）C ．（0，−132）D ．（−132，0）12．（5分）若α为第二象限角，下列结论错误的是（ ） A ．sin α＞cos α B ．sin α＞tan α C ．cos α+tan α＜0D ．sin α+cos α＞0二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）已知向量m →=(−2，1)，n →=(4，y)，若m →⊥n →，则|2m →+n →|= ． 14．（5分）已知实数x ，y 满足约束条件{y ≤2x +y ≥1y ≥2(x −2)，若z ＝x +ty （t ＞0）的最大值为11，则实数t ＝ ．15．（5分）农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为 ；若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为 ．16．（5分）若x ∈（0，π2），sin （x +π6）=35，则sin （2x +π12）＝ ．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）已知数列{a n }的前n 项和S n 和通项a n 满足2S n +a n ＝1（n ∈N *）． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）已知数列{b n }中，b 1＝3a 1，b n +1＝b n +1（n ∈N *），求数列{a n +b n }的前n 项和T n ． 18．（12分）如图，三棱柱A 1B 1C 1﹣ABC 中，BB 1⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，AB ＝2，BC ＝1，BB 1＝3，D 是CC 1的中点，E 是AB 的中点． （Ⅰ）证明：DE ∥平面C 1BA 1；（Ⅱ）F 是线段CC 1上一点，且CF ＝2FC 1，求A 1到平面ABF 的距离．19．（12分）近年来许多地市空气污染较为严重，现随机抽取某市一年（365天）内100天的PM 2.5空气质量指数（AQI ）的监测数据，统计结果如表：AQI 指数 [0，50] （50，100] （100，150] （150，200] （200，300] （300，+∞） 空气质量 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 天数41318302015记某企业每天由空气污染造成的经济损失为S （单位：元），AQI 指数为x ．当x 在区间[0，100]内时，对企业没有造成经济损失；当x 在区间（100，300]内时，对企业造成的经济损失与x 成直线模型（当AQI 指数为150时，造成的经济损失为1100元，当AQI 指数为200时，造成的经济损失为1400元）；当AQI 指数大于300时，造成的经济损失为2000元．（1）试写出S （x ）的表达式；（2）试估计在本年内随机抽取1天，该天经济损失S 大于1100且不超过1700元的概率； （3）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，这30天中有8天为严重污染，完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为该市本年度空气严重污染与供暖有关？ P （K 2≥k 0） 0.250.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 01.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +b +c +d非严重污染严重污染合计 供暖季 非供暖季 合计20．（12分）已知椭圆的x 2a +y 2b =1的离心率为√32，F 是其右焦点，直线y ＝kx 与椭圆交于A ，B 两点， |AF |+|BF |＝8．（1）求椭圆的标准方程；（2）设Q （3，0），若∠AQB 为锐角，求实数k 的取值范围．21．（12分）已知函数f （x ）＝e x +e ﹣x +（2﹣b ）x ，g （x ）＝ax 2+b （a ，b ∈R ），若y ＝g （x ）在x ＝1处的切线为y ＝2x +1+f ′（0）． （Ⅰ）求实数a ，b 的值；（Ⅱ）若不等式f （x ）≥kg （x ）﹣2k +2对任意x ∈R 恒成立，求k 的取值范围； （Ⅲ）设θ1，θ2，⋯，θn ∈(0，π2)，其中n ≥2，n ∈N *，证明：f （sin θ1）•f （cos θn ）+f （sin θ2）•f （cos θn ﹣1）+…+f （sin θn ﹣1）•f （cos θ2）+f （sin θn ）•f （cos θ1）＞6n ． 四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =√6sinαy =√6cosα（α为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ+π3)=2． （1）求C 的普通方程和l 的直角坐标方程；（2）直线l 与x 轴的交点为P ，经过点P 的直线m 与曲线C 交于A ，B 两点，若|PA|+|PB|=4√3，求直线m 的倾斜角． 五．解答题（共1小题）23．已知函数f （x ）＝|x ﹣a 2|+|x ﹣2a +3|，g （x ）＝x 2+ax +3． （1）当a ＝1时，解关于x 的不等式f （x ）≤6；（2）若对任意x 1∈R ，都存在x 2∈R ，使得不等式f （x 1）＞g （x 2）成立，求实数a 的取值范围．2020高考数学（文科）全国二卷高考模拟试卷（11）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）已知集合A ＝{x |（x ﹣1）（x +1）＜0}，B ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，则A ∩B ＝（ ） A ．（﹣1，0]B ．（﹣1，1）C ．（0，1）D ．∅【解答】解：∵集合A ＝{x |（x ﹣1）（x +1）＜0}＝（﹣1，1}， B ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }＝{y |y ＞0}＝（0，+∞）， ∴A ∩B ＝（0，1）． 故选：C ．2．（5分）设i 为虚数单位，复数z =2+3ii，则z 的共轭复数是（ ） A ．3﹣2iB ．3+2iC ．﹣3﹣2iD ．﹣3+2i【解答】解：∵z =2+3i i =(2+3i)(−i)−i2=3−2i ， ∴z =3+2i ． 故选：B ．3．（5分）左手掷一粒骰子，右手掷一枚硬币，则事件“骰子向上为6点且硬币向上为正面”的概率为（ ） A ．16B ．112C ．13D ．12【解答】解：骰子向上为6点的概率为16， 硬币向上为正面的概率为12，故所求事件的概率为16×12=112．故选：B ．4．（5分）已知点（1，2）在双曲线y 2a 2−x 2b 2=1的渐近线上，则该双曲线的离心率为（ ）A ．32B ．√5C ．√52D ．√62【解答】解：点（1，2）在双曲线y 2a −x 2b =1的渐近线上，可得ab =2，所以a 2＝4b 2＝4c 2﹣4a 2，4c 2＝5a 2，所以双曲线的离心率为：e =√52．故选：C ．5．（5分）已知p ：∀α∈（0，π2），sin α＜α，q ：∃x 0∈N ，x 02﹣2x 0﹣1＝0，则下列选项中是假命题的为（ ） A ．p ∨qB ．p ∧（￢q ）C ．p ∧qD ．p ∨（￢q ）【解答】解：命题p ：由三角函数的定义，角α终边与单位圆交于点P ，过P 作PM ⊥x 轴，垂足是M ，单位圆交x 轴于点A ，则sin α＝MP ，弧长P A 即为角α；显然MP ＜弧长P A ；∴p ：∀α∈（0，π2），sin α＜α是真命题；命题q ：解方程x 02﹣2x 0﹣1＝0，则x ＝1±√2，因此q ：∃x 0∈N ，x 02﹣2x 0﹣1＝0，是假命题．则下列选项中是假命题的为p ∧q ．而A ，B ，D 都是真命题． 故选：C ．6．（5分）下列计算正确的有（ ） ①tan （−536π）=√33；②sin （−113π）=−√32； ③cos （﹣1305°）=−√22；④sin （−176π）=12． A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④【解答】解：①tan(−536π)=−tan 536π=−tan(8π+56π)=−tan 56π=√33，即①正确； ②sin(−113π)=−sin 113π=−sin(4π−π3)=sin π3=√32，即②错误； ③cos （﹣1305°）＝cos1305°＝cos （7×180°+45°）＝﹣cos45°=−√22，即③正确； ④sin(−176π)=−sin 176π=−sin(3π−π6)=−12，即④错误； 所以计算正确的有①③， 故选：C ．7．（5分）我国南宋时期的数学家秦九韶是普州（现四川省安岳县）人，秦九韶在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，其算法如下：多项式函数f（x）＝a n x n+a n﹣1x n﹣1+…+a1x+a0写为f（x）＝（a n x n﹣1+a n﹣1x n﹣2+…+a1）+a0＝（（a n x n﹣2+a n﹣1x n﹣3+…+a2）+a1）x+a0＝…＝（（（a n x+a n﹣1）x+a n﹣2）x+…+a1）x+a0，即可用如图所示的程序框图来求某多项式的值．若输入a0＝1，a1＝4，a2＝6，a3＝4，a4＝1及x0，运行程序可以输出16，则x0的值为（）A．﹣3B．1或﹣3C．1D．2或﹣2【解答】解：由题意可知，该流程图的目的是计算：S＝（（（a4x0+a3）x0+a2）x0+a1）x0+a 的值其中a0＝1，a1＝4，a2＝6，a3＝4，a4＝1，则S＝（（（x+4）x+6）x+4）x+1，结合选项：若x＝1，则S＝（（（1+4）×1+6）×1+4）×1+1＝16，x＝1满足题意，则选项AD错误；若x＝﹣3，则S＝（（（（﹣3）+4）×（﹣3）+6）×（﹣3）+4）×（﹣3）+1＝16，x＝﹣3满足题意，则选项C错误；故选：B．8．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的体积为（）A ．11√22π3B ．44√11π3C ．44√11πD ．11√22π【解答】解：由三视图可知该几何体是如图所示的三棱锥A ﹣BCD ，F 为BD 的中点， 外接球球心O 在过CD 的中点E 且垂直于平面BCD 的直线l 上， 又点O 到A ，B ，D 的距离相等，∴O 又在过左边正方体一对棱的中点M ，N 所在直线上， 在△OEN 中，由NF NE=MF OE，即23=2OE，得OE ＝3，∴三棱锥A ﹣BCD 外接球的球半径R =√OE 2+BE 2=√32+(√2)2=√11， V =44√11π3． 故选：B ．9．（5分）函数y ＝x 2e x 的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：任意x ∈R ，y ＝x 2e x ＞0，排除C ．y ′＝2xe x +x 2e x ＝（x 2+2x ）e x ，在区间（﹣∞，﹣2），（0，+∞）上，y ′＞0，y 单调递增， 在区间（﹣2，0）上，y ′＜0，y 单调递减， 故选：A ．10．（5分）△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知a =√3，b cos A ＝sin B ，则A ＝（ ） A ．π12B ．π6C ．π4D ．π3【解答】解：∵a =√3，b cos A ＝sin B ， ∴√3b cos A ＝a sin B ，∴由正弦定理可得sin A sin B =√3sin B cos A ， ∵B 是三角形内角，sin B ≠0， ∴tan A =√3，∴由A 是三角形内角，可得：A =π3． 故选：D ．11．（5分）抛物线y ＝﹣8x 2的焦点坐标是（ ） A ．（0，﹣2）B ．（﹣2，0）C ．（0，−132）D ．（−132，0）【解答】解：抛物线y ＝﹣8x 2的标准方程为：x 2=−18y ，所以抛物线的焦点坐标（0，−132）． 故选：C ．12．（5分）若α为第二象限角，下列结论错误的是（ ） A ．sin α＞cos α B ．sin α＞tan α C ．cos α+tan α＜0D ．sin α+cos α＞0【解答】解：因为α为第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0，tan α＜0，A ，B ，C 都对，D 错误． 故选：D ．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）已知向量m →=(−2，1)，n →=(4，y)，若m →⊥n →，则|2m →+n →|= 10 ． 【解答】解：根据题意，向量m →=(−2，1)，n →=(4，y)，若m →⊥n →，则m →•n →=−8+y ＝0，解可得y ＝8； 则2m →+n →=（0，10）， 故|2m →+n →|＝10； 故答案为：10．14．（5分）已知实数x ，y 满足约束条件{y ≤2x +y ≥1y ≥2(x −2)，若z ＝x +ty （t ＞0）的最大值为11，则实数t ＝ 4 ．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 由z ＝x +ty 得y =−1tx +z t， 平移直线y =−1tx +z t ，由图象知当直线y =−1t x +zt 经过点A 时，直线的截距最大此时z 最大为11， 由{y =2y =2(x −2)得A （3，2）， 则3+2t ＝11，得2t ＝8，t ＝4， 故答案为：4．15．（5分）农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为 √26；若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为8√6π729．【解答】解：该六面体是由两个全等的正四面体组合而成，正四面体的棱长为1， 如图，在棱长为1的正四面体S ﹣ABC 中， 取BC 中点D ，连结SD 、AD ， 作SO ⊥平面ABC ，垂足O 在AD 上， 则AD ＝SD =√12−(12)2=√32，OD =13AD =√36，SO =√SD 2−OD 2=√63，∴该六面体的体积：V ＝2V S ﹣ABC ＝2×13×12×1×√32×√63=√26．当该六面体内有一球，且该球体积取最大值时，球心为O ，且该球与SD 相切， 过球心O 作OE ⊥SD ，则OE 就是球半径，∵SO ×OD ＝SD ×OE ，∴球半径R ＝OE =SO×OD SD =√63×√3632=√69，∴该球体积的最大值为：V 球=43×π×(√69)3=8√6π729． 故答案为：√26，8√6π729．16．（5分）若x ∈（0，π2），sin （x +π6）=35，则sin （2x +π12）＝17√250． 【解答】解：∵x ∈（0，π2），∴x +π6∈（π6，2π3），又sin （x +π6）=35＜√32，∴cos （x +π6）=45，∴sin2（x +π6）＝2sin （x +π6）cos （x +π6）=2425， cos2（x +π6）＝2cos 2(x +π6)−1=2×(45)2−1=725． ∴sin （2x +π12）＝sin[2（x +π6）−π4] ＝sin2（x +π6）cos π4−cos2（x +π6）sin π4=2425×√22−725×√22=17√250． 故答案为：17√250．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）已知数列{a n }的前n 项和S n 和通项a n 满足2S n +a n ＝1（n ∈N *）． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）已知数列{b n }中，b 1＝3a 1，b n +1＝b n +1（n ∈N *），求数列{a n +b n }的前n 项和T n ． 【解答】解：（Ⅰ）当n ＝1时，有2S 1+a 1＝1＝2a 1+a 1，解得a 1=13； 因为2S n +a n ＝1（n ∈N *）①，所以当n ≥2且n ∈N *时有2S n ﹣1+a n ﹣1＝1②，由①﹣②得：2（S n ﹣S n ﹣1）+a n ﹣a n ﹣1＝2a n +a n ﹣a n ﹣1＝0，即3a n ＝a n ﹣1，∴a n =13a n ﹣1． ∴数列{a n }是首项为13，公比为13的等比数列．所以a n ＝（13）n ．（Ⅱ）∵数列{b n }中，b 1＝3a 1，b n +1＝b n +1（n ∈N *），∴b 1＝1，b n +1﹣b n ＝1， ∴数列{b n }是首项为1，公差为1的等差数列． ∴b n ＝n ．又由（1）知：a n ＝（13）n ，所以a n +b n ＝（13）n +n ．所以数列{a n +b n }的前n 项和T n ＝[13+(13)2+(13)3+⋯+（13）n ]+（1+2+3+…+n ）=13[1−(13)n]1−13+n(n+1)2=12[1−(13)n ]+n(n+1)2．18．（12分）如图，三棱柱A 1B 1C 1﹣ABC 中，BB 1⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，AB ＝2，BC ＝1，BB 1＝3，D 是CC 1的中点，E 是AB 的中点． （Ⅰ）证明：DE ∥平面C 1BA 1；（Ⅱ）F 是线段CC 1上一点，且CF ＝2FC 1，求A 1到平面ABF 的距离．【解答】（Ⅰ）证明：取AA 1的中点G ，连接EG ，DG ， ∵D 是棱CC 1的中点，G 是棱AA 1的中点， ∴DG ∥A 1C 1，EG ∥BA 1，∵DG ⊄平面C 1BA 1，C 1A 1⊂平面C 1BA 1，EG ⊄平面C 1BA 1，BA 1⊂平面C 1BA 1， ∴DG ∥平面AB 1C 1，BA 1∥平面AB 1C 1， 又∵EG ∩DG ＝G ， ∴平面DEG ∥平面BA 1C 1， ∵DE ⊂平面DEF ∴DE ∥平面BA 1C 1；（Ⅱ）解：连接AF ，BF ，A 1F ，由已知BB 1⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，可得BC ⊥平面AA 1B ，则F 到底面AA 1B 的距离为BC ＝1．又AB ＝2，AA 1＝BB 1＝3，∴S △AA 1B =12×2×3=3．由CF ＝2FC 1，得CF ＝2，则BF =√5，S △ABF =12×2×√5=√5． 设A 1到平面ABF 的距离为h ，则由V F−AA 1B =V A 1−ABF ， 得13×3×1=13×√5×ℎ，则h =3√55． 故A 1到平面ABF 的距离3√55．19．（12分）近年来许多地市空气污染较为严重，现随机抽取某市一年（365天）内100天的PM2.5空气质量指数（AQI）的监测数据，统计结果如表：AQI指数[0，50]（50，100]（100，150]（150，200]（200，300]（300，+∞）空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染天数41318302015记某企业每天由空气污染造成的经济损失为S（单位：元），AQI指数为x．当x在区间[0，100]内时，对企业没有造成经济损失；当x在区间（100，300]内时，对企业造成的经济损失与x成直线模型（当AQI指数为150时，造成的经济损失为1100元，当AQI指数为200时，造成的经济损失为1400元）；当AQI指数大于300时，造成的经济损失为2000元．（1）试写出S（x）的表达式；（2）试估计在本年内随机抽取1天，该天经济损失S大于1100且不超过1700元的概率；（3）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，这30天中有8天为严重污染，完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为该市本年度空气严重污染与供暖有关？P（K2≥k0）0.250.150.100.050.0250.0100.0050.001 k0 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+b+c+d非严重污染严重污染合计供暖季非供暖季合计【解答】解：（1）依题意，可得函数解析式为S(x)={0，x ∈[0，100]6x +200，x ∈(100，300]2000，x ∈(300，+∞).；（2）设“在本年内随机抽取1天，该天经济损失S 大于1100元且不超过1700元”为事件A ，由1100＜S ≤1700，得150＜x ≤250，由统计结果，知P （A ）＝0.4，即在本年内随机抽取1天，该天经济损失S 大于1100元且不超过1700元的概率为0.4． （3）根据题中数据可得如下2×2列联表：非严重污染严重污染合计 供暖季 22 8 30 非供暖季 63 7 70 合计8515100计算K 2的观测值k =100×(63×8−22×7)285×15×30×70=4.575＞3.841， 所以有95%的把握认为该市本年度空气重度污染与供暖有关． 20．（12分）已知椭圆的x 2a 2+y 2b 2=1的离心率为√32，F 是其右焦点，直线y ＝kx 与椭圆交于A ，B 两点， |AF |+|BF |＝8．（1）求椭圆的标准方程；（2）设Q （3，0），若∠AQB 为锐角，求实数k 的取值范围．【解答】解：（1）设F '为椭圆的左焦点，连接F 'B ，由椭圆的对称性可知，|AF |＝|F 'B |， 所以|AF |+|BF |＝|AF |+|AF '|＝2a ＝8，所以a ＝4， 又e =c a =√32，a 2＝b 2+c 2，解得b ＝2， 所以椭圆的标准方程为：x 216+y 24=1．（2）设点A （x ，y ），B （x '，y '），则QA →=（x ﹣3，y ），QB →=（x '﹣3，y '）， 联立直线与椭圆的方程整理得：（1+4k 2）x 2﹣16＝0， 所以x +x '＝0，xx '=−161+4k2，yy '＝k2xx '=−16k 21+4k2，因为∠AQB 为锐角，所以QA →⋅QB →＞0，所以QA →⋅QB →=（x ﹣3）（x '﹣3）+yy '＝xx '﹣3（x +x '）+9+yy '＝9−16(1+k 2)1+4k2＞0，整理得：20k 2＞7，解得：k ＜√3510，或k ＜−√3510．21．（12分）已知函数f （x ）＝e x +e ﹣x +（2﹣b ）x ，g （x ）＝ax 2+b （a ，b ∈R ），若y ＝g （x ）在x ＝1处的切线为y ＝2x +1+f ′（0）． （Ⅰ）求实数a ，b 的值；（Ⅱ）若不等式f （x ）≥kg （x ）﹣2k +2对任意x ∈R 恒成立，求k 的取值范围； （Ⅲ）设θ1，θ2，⋯，θn ∈(0，π2)，其中n ≥2，n ∈N *，证明：f （sin θ1）•f （cos θn ）+f （sin θ2）•f （cos θn ﹣1）+…+f （sin θn ﹣1）•f （cos θ2）+f （sin θn ）•f （cos θ1）＞6n ． 【解答】解：（Ⅰ）由f ′（x ）＝e x ﹣e ﹣x +2﹣b ，得f ′（0）＝2﹣b ，由g ′（x ）＝2ax ，得g ′（1）＝2a ，根据题意可得{2a =2g(1)=a +b =2+1+2−b ，解得{a =1b =2；（Ⅱ）由不等式f （x ）≥kg （x ）﹣2k +2对任意x ∈R 恒成立知，e x +e ﹣x ﹣kx 2﹣2≥0恒成立，令F （x ）＝e x +e ﹣x ﹣kx 2﹣2，显然F （x ）为偶函数，故当x ≥0时，F （x ）≥0恒成立，F ′（x ）＝e x ﹣e ﹣x ﹣2kx ，令h （x ）＝e x ﹣e ﹣x ﹣2kx （x ≥0），则h ′（x ）＝e x +e ﹣x ﹣2k ，令H （x ）＝e x +e ﹣x ﹣2k （x ≥0），则H ′（x ）＝e x ﹣e ﹣x ，显然H ′（x ）为（0，+∞）上的增函数，故H ′（x ）≥H ′（0）＝0，即H （x ）在（0，+∞）上为增函数，H （0）＝2﹣2k ， ①当H （0）＝2﹣2k ≥0，即k ≤1时，H （x ）≥0，则h （x ）在（0，+∞）上单调递增， 故h （x ）≥h （0）＝0，则F （x ）在（0，+∞）上为增函数，故F （x ）≥F （0）＝0，符合题意；②当H （0）＝2﹣2k ＜0，即k ＞1时，由于H(ln(2k))=12k ＞0，故存在x 1∈（0，ln （2k ）），使得H （x 1）＝0，故h （x ）在（0，x 1）单调递减，在（x 1，+∞）单调递增，当x ∈（0，x 1）时，h （x ）＜h （0）＝0，故F （x ）在在（0，x 1）单调递减，故F （x ）＜F （0）＝0，不合题意． 综上，k ≤1；（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，f(x 1)f(x 2)≥(x 12+2)(x 22+2)=x 12x 22+2x 12+2x 22+4≥2x 12+2x 22+4，当且仅当x 1＝x 2＝0时等号同时成立， 故f(sinθ1)f(cosθn )＞2sin 2θ1+2cos 2θn +4， f(sinθ2)f(cosθn−1)＞2sin 2θ2+2cos 2θn−1+4，……， f(sinθn )f(cosθ1)＞2sin 2θn +2cos 2θ1+4，以上n 个式子相加得，f （sin θ1）•f （cos θn ）+f （sin θ2）•f （cos θn ﹣1）+…+f （sin θn ﹣1）•f （cos θ2）+f （sin θn ）•f （cos θ1）＞6n ．四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =√6sinαy =√6cosα（α为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ+π3)=2． （1）求C 的普通方程和l 的直角坐标方程；（2）直线l 与x 轴的交点为P ，经过点P 的直线m 与曲线C 交于A ，B 两点，若|PA|+|PB|=4√3，求直线m 的倾斜角．【解答】解：（1）曲线C 的参数方程为{x =√6sinαy =√6cosα（α为参数），转换为直角坐标方程为x 2+y 2＝6．直线l 的极坐标方程为ρcos(θ+π3)=2．整理得12ρcosθ−√32ρsinθ−2=0，转换为直角坐标方程为x −√3y −4=0．（2）直线l 与x 轴的交点为P ，所以P （4，0）， 所以{x =4+cosθt y =sinθt（t 为参数），把直线的参数方程代入圆的方程得到：（4+t cos θ）2+（t sin θ）2＝6， 整理得t 2+8cos θt +10＝0， 所以t 1+t 2＝﹣8cos θ，所以|PA|+|PB|=|8cosθ|=4√3， 解得cosθ=√32或cosθ=−√32， 所以θ=π6或5π6．五．解答题（共1小题）23．已知函数f （x ）＝|x ﹣a 2|+|x ﹣2a +3|，g （x ）＝x 2+ax +3． （1）当a ＝1时，解关于x 的不等式f （x ）≤6；（2）若对任意x 1∈R ，都存在x 2∈R ，使得不等式f （x 1）＞g （x 2）成立，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）当a ＝1时，不等式f （x ）≤6即为|x ﹣1|+|x +1|≤6， 等价为{x ≥12x ≤6或{−1＜x ＜12≤6或{x ≤−1−2x ≤6，解得1≤x ≤3或﹣1＜x ＜1或﹣3≤x ≤﹣1， 则原不等式的解集为[﹣3，3]；（2）若对任意x 1∈R ，都存在x 2∈R ，使得不等式f （x 1）＞g （x 2）成立， 可得f （x 1）min ＞g （x 2）min ，由f （x ）＝|x ﹣a 2|+|x ﹣2a +3|≥|x ﹣a 2﹣x +2a ﹣3|＝a 2﹣2a +3，当且仅当（x ﹣a 2）（x ﹣2a +3）≥0取得等号，可得f （x ）的最小值为a 2﹣2a +3， g （x ）＝x 2+ax +3的最小值为12−a 24，则a 2﹣2a +3＞12−a 24，即5a 2﹣8a ＞0， 解得a ＞85或a ＜0．。