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圆的一般方程

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山东省昌乐及第中学高一数学
《圆的一般方程》导学案
使用说明及学法指导
1.自主完成知识链接部分，复习与本节有关的知识和方法；
2.精读课本第97页到第99页，对重点部分用红色笔勾画，再针对课前预习自主学习部分第二次阅读并回答、熟记有关知识，完成预习自测，时间15分钟左右；
3.找出自己学习中的疑惑点，准备在课上讨论.
学习目标
1.掌握圆的一般方程，理解二元二次方程表示圆的条件，能够进行圆的一般方程和标准方程的互化，会用待定系数法求圆的方程；
2.通过二元二次方程和圆的关系，进一步体会数形结合的思想；
3.通过圆的一般方程与标准方程的关系，体会事物是相互联系的辩证思想。

学习重点、难点
重点：掌握圆的一般方程，用待定系数法求圆的一般方程
难点：二元二次方程与圆的一般方程的关系及求动点的轨迹方程
【课前预习】
1.知识链接：
（1）.求过点M(5，1)，圆心为C(8，-3) 的圆的方程.
（2）.已知ABC ∆的顶点坐标是A(4，0)，B(0，3)，C(0,0)，求ABC ∆外接圆的方程。

2.自主学习：
思考1.圆的标准方程222()()x a y b r -+-=展开可得到一个什么式子?
思考2.方程222410x y x y +-++=与22
2460x y x y +--+=表示的图形都是圆吗？为什么？
思考3.请将方程220x y Dx Ey F ++++=通过配方化为22224()()224
D E D E F x y +-+++=的形式，并思考：它在什么条件下表示圆？
班级 姓名 学号 时间 月 日 2
思考4.当2240D E F +-=和2240D E F +-<时，方程220x y Dx Ey F ++++=分别有几个解？表示什么图形？
思考5.方程22220 (40x y Dx Ey F D E F ++++=+->）叫做圆的一般方程，其圆心坐标和半径分别是什么？
思考6.当D=0，E=0或F=0时， 圆220x y Dx Ey F ++++=的位置分别有什么特点？ 请画出对应的图形。

3.预习自测：
（1）圆2262y 10x y x +-+-=的圆心为 ，半径为 ；
（2）若方程220x y x y m +-++=表示一个圆，则有（ ）.
A ．2m ≤ B. 2m < C ．12m < D ．12
m ≤
【课内探究】
探究一 圆的一般方程与标准方程的互化
例1 判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径. ⑴224441290x y x y +-++=； ⑵2244412110x y x y +-++=；
练习：1.方程x 2+y 2+4mx –2y+5m=0表示圆的充要条件是（ ）
A 、14＜m ＜1
B 、m ＜14或m ＞1
C 、m ＜14
D 、m ＞1 2.练习A1.2.
探究二 求圆的方程
例2.求过三点(0,5),(1,2)(3,4)A B ---，C 的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标.
练习B1.
反思：你能总结求圆的方程有哪些方法吗？圆的标准方程和圆的一般方程各有什么特点，如何选择圆的方程形式？
探究三 求动点的轨迹方程
例3. 已知线段AB 的端点B 的坐标是（4，3）,端点A 在圆22(1)4x y ++=上运动，求线段
AB 的中点M 的轨迹方程.
练习1.B 2.
练习2.已知点P （5，3），点M 在圆224240x y x y +-++=上运动，求|PM |的最大值和最
小值.
4
规律总结:
自主小结
1. 知识方面
2.思想方法方面
当堂检测：
1.圆22410x y x +--=的圆心和半径分别为 （ ）.
A ．(2,0),5
B ．(0,2)-, 5
C ．(0,2), 5
D ．(2,2) ,5
2.过点(1,1),(1,3)C D -，圆心在 x 轴上的圆的方程是 .
3.圆22
450x y x +--=的点到直线34200x y -+=的距离的最大值为 . 【课后拓展】
1.若方程22220(40)x y Dx Ey F D E F ++++=+->所表示的曲线关于直线y x =对称，必有（ ） A.E F = B.D F = C.D E = D.D E F ，，两两不相等
2.点(1,2-a a )在圆x 2+y 2－2y －4＝0的内部，则a 的取值范围是（ ）
A.－1<a <1
B.0<a <1
C.–1<a <51
D.－5
1<a <1 3.圆22220x y x y +-+=的周长是（ ）
A. B.2π
D.4π
4.已知方程2224
2(3)2(14)1690x y t x t y t +-++-++=表示一个圆，t 的取值范围 ，该圆半径r 的取值范围 5.已知圆22:-4-14450,C x y x y ++=及点(-2,3
)Q ． （1）(,1) P a a +在圆C 上，求线段PQ 的长及直线PQ 的斜率；
（2）若M 为圆C 上任一点，求||MQ 的最大值和最小值；。

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圆的一般方程

圆的一般方程

是指点M的坐标（x,y）满足的关系式
练习 P124—B组 3 例2 已知线段AB的端点B的坐标是（4，3）
端点A在圆 x 12 y2 4 上运动，
求线段AB的中点M的轨迹方程
练习 P124—B组 1
小结 1、 x2 y2 Dx Ey F 0
x
D 2
2
y
E 2
2
D2
E2 4
4F
（4） x2 y2 Dx Ey F 0
x
D 2
2
y
E 2
2
D2
E2 4
4F
（1）当 D2 E2 4F 0 时，表示圆，
圆心
-
D 2
,
E 2
（2）当 D2 E2 4F
r D2 E2 4F 2
0 时，表示点
-
D 2
,
E 2
（3）当 D2 E2 4F 0 时，不表示任何图形
圆的一般方程
(x 3)2 ( y 4)2 6
展开得
x2 y2 6x 8y 19 0 x2 y2 Dx Ey F 0
任何一个圆的方程都是二元二次方程
反之是否成立？
圆的一般方程
方程 (1)x2 y2 2x 4 y 1 0 表示什么图形？
配方得
(x 1)2 ( y 2)2 4
4.1.2圆的一般方程
圆心 半径
定位条件 定形条件
圆的标准方程
圆心C(a,b),半径r
y
M(x,y)
(x a)2 (y b)2 r2
标准方程
OC
x
若圆心为O（0，0），则圆的方程为：
x2 y2 r2
பைடு நூலகம்
课堂快练
1.圆心在原点,半径是3的圆的方程. 2.圆心在(3,4),半径是 的7 圆的方程. 3.经过点P(5,1),圆心在点C(4,1)的圆的方程.
圆的一般方程1

圆的一般方程1

圆的一般方程的特点，与圆的标准方程的异同． 圆的一般方程的特点 ： （1）x2 和 y2 的系数相同，都不为0,即 A＝C≠0
（2）没有形如 xy 的二次项．
（3）D2 + E2 - 4F > 0
圆的一般方程与圆的标准方程各有千秋：
（1）圆的标准方程带有明显的几何的影子，圆心和半径一目了然． （2）圆的一般方程表现出明显的代数的形式与结构，更适合方程 理论的运用．
②式无解, 不表示任何图形
2 2
x ＋y ＋Dx＋Ey＋F＝0
2 2
①
形 如 x y Dx Ey F 0 E 4F 0 D 的方程，
叫做圆的一般方程。
同步卫星运行轨道示意图
同步轨道
同步轨道
二元二次方程Ax2＋Bxy+Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0 【问题】
圆的标准方程： （x－a）2＋（y－b）2 ＝ r 2
展开，得 x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0
任何圆的方程都可以通过展开化成形如：
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
①
思考：
反过来，形如①的方程的曲线是不是圆？
左边配方，得
D E D E 4F x＋ ＋ y＋ ＝ 2 2 4
【小结】
（1）圆的一般方程及其特点． （2）用配方法化圆的一般方程为圆的标准方 程，求圆心坐标和半径． （3）用待定系数法求圆的方程．
2 2
2
2
②
Ⅰ.当 D2 + E2 － 4F > 0时，
表示以
Ⅱ.当 D2 +
E D , 2 2
为圆心，2
=
1
D2 E2 4F为半径的圆。
圆的标准方程与一般方程

圆的标准方程与一般方程

∙圆的定义：
平面内与一定点的距离等于定长的点的集合是圆。

定点就是圆心，定长就是半径。

圆的标准方程：
圆的标准方程，圆心（a，b），半径为r；特别当圆心是（0，0），半径为r时，圆的标准方程为。

圆的一般方程：
圆的一般方程
当＞0时，表示圆心在，半径为的圆；
当=0时，表示点；
当＜0时，不表示任何图形。

∙圆的定义的理解：
（1）定位条件：圆心；定形条件：半径。

（2）当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定了．因此一个圆最基本的要素是圆心和半径．
圆的方程的理解：
(1)圆的标准方程中含有a，b，r三个独立的系数，因此，确定一个圆需三个独立的条件．其
中圆心是圆的定位条件，半径是圆的定形条件．
(2)圆的标准方程的优点在于明确显示了圆心和半径．
(3)圆的一般方程形式的特点：
a．的系数相同且不等于零；
b．不含xy项．
(4)形如的方程表示圆的条件：
a．A=C≠0；
b．B=0;
c.即 几种特殊位置的圆的方程：。

圆的一般式方程配方

圆的一般式方程配方

圆的一般式方程配方
(x-a)²+(y-b)²=r²
其中，(a,b)是圆心的坐标，r是圆的半径。

下面我们来讨论如何将一般式方程配方。

一、配方圆心坐标(a,b)：
1.根据一般式方程，将右边的r²移到左边，变成(x-a)²+(y-b)²-
r²=0。

2.将(x-a)²+(y-b)²用二次整式展开得到：
x² - 2ax + a² + y² - 2by + b² - r² = 0。

3.通过对比整理得到：
x² + y² - 2ax - 2by + (a² + b² - r²) = 0。

所以，圆的一般式方程配方的第一步就是确定圆心的坐标。

二、配方半径r：
r=√[(x0-a)²+(y0-b)²]
所以，配方半径r的第一步就是确定圆上的其中一点坐标。

三、总结：
配方圆的一般式方程的步骤包括确定圆心坐标(a,b)和半径r。

确定圆心坐标需要将一般式方程展开整理，确定圆上其中一点坐标可以通过已知条件或者其他几何知识来求解。

一旦确定了圆心坐标和半径，就可以得到圆的一般式方程。

需要注意的是，圆的一般式方程有时候也可以配方成其他形式，例如标准式方程(x-h)²+(y-k)²=r²或截距式方程(x-h)²+(y-k)²=p(x-a)²+q(y-b)²，但配方圆的一般式方程的原理和步骤基本相同。