哈工大测试大作业——信号的分析与系统特性——矩形波

信号的分析与系统特性一、设计题目写出下列方波信号的数学表达通式.求取其信号的幅频谱图（单边谱和双边谱）和相频谱图.若将此信号输入给特性为传递函数为)(s H 的系统.试讨论信号参数的取值.使得输出信号的失真小。

作业要求（1）要求学生利用第1章所学知识.求解信号的幅频谱和相频谱.并画图表示出来。

（2）分析其频率成分分布情况。

教师可以设定信号周期0T 及幅值A .每个学生的取值不同.避免重复。

（3）利用第2章所学内容.画出表中所给出的系统)(s H 的伯德图.教师设定时间常数τ或阻尼比ζ和固有频率n ω的取值。

（4）对比2、3图分析将2所分析的信号作为输入)(t x .输入给3所分析的系统)(s H .求解其输出)(t y 的表达式.并且讨论信号的失真情况（幅值失真与相位失真）若想减小失真.应如何调整系统)(s H 的参数。

二、求解信号的幅频谱和相频谱w (w )=w (w +ww 0)={w 0<t <w 02−ww 02<t <w 0002200-200211=(t)=+-=0TT T T T a w dt Adt Adt T T ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰00220000-200222()cos()cos()-cos()0TT T T T n a w t nw t dt A nw t dt A nw t dt T T ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰00220000-20020000000022()sin()sin()-sin()4 2 cos()-cos()200 2TTT T T n b w t nw t dt A nw t dt A nw t dt T T A T T n A A nw t nw t nT T nw nw n π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭⎛⎫⎧⎪⎪==⎨ ⎪ ⎪⎪⎩⎝⎭⎰⎰⎰为奇数为偶数式中w 0=2w /w 0000411(t)=(sin(w t)+sin(3w t)+sin(5w t)+)35Aw π…转换为复指数展开式的傅里叶级数：()()0000000000002-j 000-200000011=(t)e=e +-e 1121 =(e -e ) =e -e | =e -e = 2T jnw tnw t jnw tn T jnw t jnw t jnw t jnw t jnw jnw c w dt A dt A dt T T A A AA dt j T T jnw T nw j n ττττττπ-----⎛⎫ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰当0,2,4,...n =±±时.0n C =； 当1,3,5,...n =±±±时.2n A C j n π=-则幅频函数为：2,1,3,5,...n AC jn n π=-=±±±42||,1,3,5,...n n AA C n n π===相频函数为：arctanarctan(),1,3,5, (2)nI n nR C n C πϕ==-∞=-= arctanarctan(),1,3,5, (2)nI n nR C n C πϕ==+∞==---双边幅频图：单边幅频图：相频图：三、频率成分分布情况由信号的傅里叶级数形式及其频谱图可以看出.矩形波是由一系列正弦波叠加而成.正弦波的频率由0w 到30w .50w …….其幅值由4A π到43A π.45A π.……依次减小.各频率成分的相位都为0。

矩形波产生原理矩形波是一种典型的非正弦波形，它的波形特点是在等间隔的时间内，以固定的幅值快速切换，形成一个有规则的矩形波形。

矩形波被广泛应用于各种电子设备中，如信号发生器、数字电路、电子音乐等领域。

本文将详细介绍矩形波的产生原理。

一、理论基础矩形波是一种周期性方波，可以由一组不同的正弦波叠加而成。

正弦波是一种单频振荡的波形，在物理学中，任意波形都可以看作是由一组或多组正弦波组成的。

因此矩形波也可以看作是由多个不同频率的正弦波所组成的波形。

这个过程称为傅里叶变换。

傅里叶变换能够将一个周期性的信号分解成多个不同频率的正弦波，而矩形波就是由多个正弦波叠加而成的。

二、产生原理矩形波的产生原理可以分为两类：电子学和数学。

1.电子学原理矩形波可以通过使用一个二极管和一个电容器来产生。

当电容器充电时，电压与时间之间的关系是线性的，因此输出信号将是一个正弦波。

当电容器放电时，输出信号将恒定为一个固定的电压，这是因为电容器中的电荷已经耗尽，电压不再变化。

这样，通过一个简单的电路，就可以得到一个以固定幅值快速切换的矩形波。

2.数学原理矩形波也可以通过傅里叶级数展开来产生。

一个矩形波可以看作是周期为T、幅值为A 的基本频率正弦信号的有限和。

这个信号的时间函数为：f(t)= A/2 + (A/π) ∑[ (-1)^n/(2n+1)sin(2π(2n+1)f0t)/f0 ]f0是基本频率，n是正整数。

这个公式描述了一个从-A/2到A/2范围内以1/2A的幅度快速切换的矩形波。

三、应用领域矩形波是一种常见的信号波形，在电子技术、物理学和工程学中广泛应用。

以下是一些常见的应用领域：1.信号发生器矩形波是信号发生器中最基本的波形之一。

它可以用于测试和调整其他电子设备的性能，如滤波器、调制器等。

它还可用于音频合成器或波形发生器的输出。

2.数字电路在数字电路中，矩形波用作时钟信号和数据传输。

时钟信号是微处理器和其他数字电路中的基本元素，它用于协调电路中的不同部件之间的操作。

传感器综合运用一、设计题目如图所示工件，在生产线的30°滑道上自上而下滑落，要求在滑动过程中检测工件厚度，并且计数。

图中4mm尺寸公差带为10μm。

图1.测量工件二、厚度检测传感器的选择电容传感器是把被测的机械量，如位移、压力等转换为电容量变化的传感器。

它的敏感部分就是具有可变参数的电容器。

其最常用的形式是由两个平行电极组成、极间以空气为介质的电容器（见图）。

若忽略边缘效应，平板电容器的电容为εA/δ，式中ε为极间介质的介电常数，A为两电极互相覆盖的有效面积,δ为两电极之间的距离。

δ、A、ε三个参数中任一个的变化都将引起电容量变化，并可用于测量。

因此电容式传感器可分为极距变化型、面积变化型、介质变化型三类。

极距变化型一般用来测量微小的线位移或由于力、压力、振动等引起的极距变化。

面积变化型一般用于测量角位移或较大的线位移。

介质变化型常用于物位测量和各种介质的温度、密度、湿度的测定。

与电阻式或电感式传感器相比，电容传感器具有四大优点:(l)分辨力高，常用于精密测量;(2)动态响应速度快，可以直接用于某些生产线上的动态测量;(3)从信号源取得的能量少，有利于发挥其测量精度;(4)机械结构简单，易于实现非接触式测量。

因此电容传感器在精密测量中占有重要的地位。

此外，电容器传感器还具有结构简单,价格便宜，灵敏度高，零磁滞，真空兼容，过载能力强，动态响应特性好和对高温、辐射、强振等恶劣条件的适应性强等优点。

因此，在本题中选择电容传感器作为厚度检测传感器。

三、电容传感器的检测原理电容式传感器可分为面积变化型、极距变化型、介质变化型三类，下面将分述其检测原理。

1、面积变化型电容传感器这一类传感器输出特性是线性的，灵敏度是常数。

这一类传感器多用于检测直线位移、角位移、尺寸等参量。

测量装置如图2所示。

图2.变面积式电容传感器其电容量计算公式为：002121212()22ln()ln()ln()x l l l l l C C C C r r r r r r lπεπεπε-∆∆∆∆=-=-=-=- 式中 L －外圆筒与内圆柱覆盖部分的长度21,r r -外圆筒内半径与内圆柱外半径 灵敏度0212ln()C C l r r l πε∆=-=-∆2、极距变化型电容传感器极距变化型电容传感器一般用来测量微小的线位移或由于力、压力、振动等引起的极距变化。

信号的分析与系统特性一、信号的分析在进行信号分析和系统特性分析是利用方波进行信号分析。

由于幅值和频率都有自己给定，选取在数字信号经常用的信号5v的方波作为研究对象，频率采用较为低的50Hz频率。

已知方波的周期为T0，幅值为A，则根据方波的图像我们得出在时间上的表达式为：X(t)=x(t+n T0);A （0 < t < T0/2）X(t)=-A （−T0/2< t < 0）1. 信号的频谱特性：单边谱：对该方波进行傅立叶变换，可以得到该方波的单边谱特性。

已知该信号可以展开的形式如下的傅立叶级数：x t=a0+(a n cosnϖ0t+b n sinnϖ0t)∞n=1其中：a0=1x t dtT02−T02=0;a n=2x t cosnϖ0tdtT02−T02=0;b n=2x t sinnϖ0tdt T02−T020 n为偶数bn=4Anπn为奇数于是:x t=4A1sin⁡((2n−1)ϖ0t)∞n=1得出周期方波的频谱如下：双边谱：根据傅立叶级数函数展开式的复指数形式:x t=c n e jnw0t∞n=−∞其中：c n=1T0x t e−jnw0t dt T02−T02积分后可以得到，c n=Ai∗cosnπ−1;0 n为偶数Cn=−2Ainπn为奇数幅值为2Anπ，相位值：当n为正时，相位为-90°，当n为负值时，相位为90°。

频率特性图如下：由于幅值和频率都有自己给定，选取在数字信号经常用的信号5v的方波作为研究对象，频率为50Hz，分析频谱曲线可以得到一下结论：1.频谱分析可以看到频率为(2n-1) w0的谐波，幅值为4A(2n−1)π，各阶谐波的相位都为0。

二、系统的分析一阶系统的分析：H s =1Ts +1时间常数的选择，选用时间常数T=0.025s ，根据这些方面利用matlab 绘制一阶系统的bode 图,程序代码和bode 图如下所示：num=1;den=[0.025 1]; sys=tf(num,den); bode(sys)grid on方波的一阶系统响应类似于单位阶跃响应，可以从bode 图中看出， 1. 穿越0db 线的频率非常低，斜率小于20db/dec 。

题目一：信号的分析与系统特性机械工程测试技术基础课程大作业任务书题目要求：写出所给信号的数学表达通式，其信号的幅频谱图（单边谱和双边谱）和相频谱图，若将此信号输入给特性为传递函数为)H的系统，讨论系统参数的取值，使得输出信号的失真小。

(s1，利用第1章所学知识，求解信号的幅频谱和相频谱，并画图表示；2，分析其频率成分分布情况；3，利用第2章所学内容，画出表中所给出的系统)H的伯德图；(s4，对比2、3图分析将2所分析的信号作为输入)(t x，输入给3所分析的系统)H，求解其输(s出)y的表达式，并且讨论信号的失真情况（幅值失真与相位失真）若想减小失真，应如何调(t整系统)H的参数。

,(s信号与系统参数：一，方波信号的数学表达式1，方波信号的时域表达式{x (t )=x (t +nT 0)x (t )={A 0<t <T02−A −T 02<t <02，时域信号的傅里叶变换 常值分量a 0=2T 0∫x(t)dt T 02−T 02=0余弦分量的幅值a n =2T 0∫x (t )cos nω0t dt T 02−T 02=0正弦分量的幅值b n =2T 0∫x (t )sin nω0t dt T 02−T 02=2AT 0(∫sin nω0t dt T 020+∫−sin nω0t dt 0−T 02)=4A T 0(1nω0−cos nπnω0)={4Aπnn 为奇数0 n 为偶数则方波信号可分解为：x (t )=4A π(sin ω0t +13sin 3ω0t +15sin 5ω0t +⋯) 则可绘制频谱图如下图1.1 单边幅频谱图4A π图1.2 双边幅频谱图由服饰展开形式可知，各成分初相位均为0，故绘制相频谱图如下图1.3 方波的相频谱图二，频率成分分布情况有信号的傅里叶级数形式及其频谱图可以看出，方波是由一系列正弦波叠加而成的。

正弦波为基波的奇次谐波，幅值以1n 的规律收敛，基波及其谐波的初相位均为零。

"测试技术"课程大作业1作业题目：信号的分析与系统特性学生姓名：评阅教师作业成绩2015年春季学期信号的分析与系统特性一、设计题目写出下列信号中的一种信号的数学表达通式，求取其信号的幅频谱图（单边谱和双边谱）和相频谱图，若将此信号输入给特性为传递函数为)(s H 的系统，试讨论信号参数的取值，使得输出信号的失真小。

名称)(s H τ、n ω、ζ波形图三角波11)(+=s s H τ τ=0.02522240)(nn ns s s H ωζωω++= n ω=900，ζ=0.7二、求解信号的幅频谱和相频谱1、写出波形图所示信号的数学表达通式在一个周期中题中三角波可表示为如下所示：4T A ，4400T t T <<-=)(t x042T AA -，44400T t T <<其傅里叶级数展开式为...)5sin 2513sin 91(sin 8)(0002++-=t t t At x ωωωπ 2、求取其信号的幅频谱图和相频谱图 （1）单边谱幅频谱函数为228πn Aa n =，n=1,3,5… 2/π,n=1,5,9…相频谱函数为=n ϕ2/π-，n=3,7,11…则幅频图和相频图如下所示：)(t x t T 00 T 0/2A图1.单边幅频图图2.单边相频图（2）双边谱傅里叶级数的复指数展开为：]31[4)(000032322222⋯++-+=----t j j tj j tj jtj je e e e ee eeAt x ωπωπωπωππ则2222142121nA A b a C n n n n ⋅==+=π nnn a b arctan-=ϕ 则幅频谱、相频谱图如下图所示：图3.双边幅频图图4.双边相频图三、分析其频率成分分布由信号的傅里叶级数形式及其频谱图可以看出，三角波信号的频谱是离散的，其幅频谱只包含常值分量、基波和奇次谐波的频率分量，谐波的幅值以1/n 2的规律收敛，在其相频谱中基波和其各次谐波的相位为2π或-2π。

Harbin Institute of Technology课程大作业说明书课程名称：机械工程测试技术基础设计题目：测试技术与仪器大作业院系：班级：设计者：学号：指导教师：设计时间：2014/05/06哈尔滨工业大学题目一 信号的分析与系统特性题目：写出下列信号中的一种信号的数学表达通式，求取其信号的幅频谱图（单边谱和双边谱）和相频谱图，若将此信号输入给特性为传递函数为)(s H 的系统，试讨论信号参数的取作业要求（1）要求学生利用第1章所学知识，求解信号的幅频谱和相频谱，并画图表示出来。

（2）分析其频率成分分布情况。

教师可以设定信号周期0T 及幅值A ，每个学生的取值不同，避免重复。

（3）利用第2章所学内容，画出表中所给出的)(s H 系统的伯德图，教师设定时间常数τ或阻尼比ζ和固有频率n ω的取值，每个同学取值不同，避免重复。

（4）对比2、3图分析将2所分析的信号作为输入)(t x ，输入给3所分析的系统)(s H ，求解其输出)(t y 的表达式，并且讨论信号的失真情况（幅值失真与相位失真）若想减小失真，应如何调整系统)(s H 的参数。

解：求解周期性三角波的傅里叶函数。

在一个周期中，三角波可以表示为：x(t)={4AT0∙t 0≤t<T04−4AT0∙t+2AT04≤t≤3T04 4AT0∙t−4A3T04<t≤T0常值分量a0=1T0∫x(t)dt=0 T0余弦分量幅值：a n=2T0∫x(t)cos(n∙ω0∙t)dt=0 T0正弦分量幅值：b n=2T0∫x(t)sin(n∙ω0∙t)dtT0=2T0∫4AT0∙t ∙sin(n∙ω0∙t)dt +T042T0∫(−4AT0∙t+2A ) ∙sin(n∙ω0∙t)dt3T04T04+2T0∫(4AT0∙t−4A ) ∙sin(n∙ω0∙t)dtT03T04=8An2π2sinnπ2={(−1)n+1∙8An2π20 n=2,4,6,8 ,⋯n=1,3,5,7,⋯相频谱：φn ={π2n=1,5,9,⋯−π2n=3,7,11,⋯所以x(t)=8Aπ2(sinω0t− 19sin3ω0t+ 125sin5ω0t+ ⋯取：A= π2 ,T0=2π,则：ω0=1所以x(t)= 8(sin t− 19sin3t+125sin5t+ ⋯（1）利用matlab画出三角波函数的幅频谱如下：双边谱：单边谱：-利用matlab 画出三角波函数的相频谱如下：（2）由信号的傅里叶级数形式及其频谱图可以看出，三角波是由一系列正弦波叠加而成，正弦波的频率由0w 到30w ，50w ……，其幅值由8A π2,到8A 9π2,8A25π2，……依次减小，各频率成分的相位交替为π2 和 −π2。

矩形波原理
矩形波是一种特殊的波形，其特点是在每个周期内，波形的幅值保持恒定的值，且幅值的变化是突变的，即从一个固定值直接跳变到另一个固定值。

矩形波是由正弦波组成的无穷多个奇次谐波的叠加。

而正弦波是透过傅里叶级数将矩形波展开得到的，可以通过调整各个奇次谐波的幅值和相位，来合成不同幅值和频率的矩形波。

矩形波可以用于各种实际应用中。

例如，在电子学中，矩形波可以用作时钟信号，用于同步电路和数字电路中的时序控制。

在音频领域，矩形波可以用于声音合成中，用于产生一些特殊音色的乐器音效。

此外，在通信系统中，矩形波还可以用于调制和解调信号，用于数据传输和调频广播等领域。

由于矩形波的特殊性质，它具有较宽的频谱分布和快速的上升时间和下降时间。

这使得矩形波在一些特定的应用场合中具有优势。

然而，矩形波的突变特性也带来了一些问题，例如奇次谐波成分可能会导致频谱上的干扰和信号失真。

因此，在实际应用中，通常需要对矩形波进行进一步处理和滤波，以满足具体的要求和限制。

总的来说，矩形波具有独特的特点和广泛的应用领域，通过合理的组合和调整可以产生丰富多样的波形和信号。

在不同的工程和科学领域中，研究和应用矩形波的原理和特性，对于改进和创新相关技术具有重要意义。

第2页 共 2页11212()10.70.3z X z z z ---+=--， 12111()(1)(12)z z X z z z ----++=--3．对两个正弦信号1()cos2a x t t π=，2()cos10a x t t π=进行理想采样，采样频率为8s πΩ=，求两个采样输出序列，画出1()a x t 和2()a x t 的波形以及采样点的位置，并解释频谱的混叠现象。

4．已知序列{}()1,2,5,4;0,1,2,3x n n ==，试计算()[()]X k DFT x n =。

三、 已知一线性时不变离散系统，其激励()x n 和响应()y n 满足下列差分方程：()0.2(1)0.24(2)()y n y n y n x n x n +---=+- （15分）1．试画出该系统的结构框图。

2．求该系统的系统函数()H z ，并画出零极点图3．求系统的单位样值响应()h n 和频率响应()j H e ω，并讨论系统的稳定性。

4．分别画出正准型、并联型结构图。

四、 已知线性时不变系统的单位样值响应()h n 和输入()x n 分别为：104()059n h n n ≤≤⎧=⎨≤≤⎩ 104()159n x n n ≤≤⎧=⎨-≤≤⎩（10分） 1．用线性卷积的方法求输出序列()y n 。

2．计算)(n h 和()x n 的10点圆周卷积。

3．在什么条件下圆周卷积等于线性卷积结果？五、 已知模拟滤波器的传递函数为：232()231a s H s s s +=++，设采样周期 0.1T =，试用脉冲响应不变法设计数字滤波器的系统函数()H z （7分）六、 用双线性变换法设计一个三阶巴特沃兹数字低通滤波器，其3dB 截止频率为400c f Hz =，采样周期为 1.2T kHz =，请确定系统函数()H z 。

（7分）（三阶巴特沃兹低通滤波器的传递函数为231()122a c c c H s s s s =⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪ΩΩΩ⎝⎭⎝⎭⎝⎭） 七、 依据下表给出的几种窗函数，选择合适的窗函数及窗长度N 来设计一个线性相位低通滤波器：第4页 共 4页。

信号的分析与系统特性一、设计题目写出下列方波信号的数学表达通式,求取其信号的幅频谱图单边谱和双边谱和相频谱图,若将此信号输入给特性为传递函数为)(s H 的系统,试讨论信号参数的取值,使得输出信号的失真小;名称)(s H τ、n ω、ζ波形图方波11)(+=s s H τ τ=0.1,0.5,0.70722240)(nn ns s s H ωζωω++=ζ=0.5,0.707n w =10,500作业要求1要求学生利用第1章所学知识,求解信号的幅频谱和相频谱,并画图表示出来; 2分析其频率成分分布情况;教师可以设定信号周期0T 及幅值A ,每个学生的取值不同,避免重复;3利用第2章所学内容,画出表中所给出的系统)(s H 的伯德图,教师设定时间常数τ或阻尼比ζ和固有频率n ω的取值;4对比2、3图分析将2所分析的信号作为输入)(t x ,输入给3所分析的系统)(s H ,求解其输出)(t y 的表达式,并且讨论信号的失真情况幅值失真与相位失真若想减小失真,应如何调整系统)(s H 的参数;二、求解信号的幅频谱和相频谱tT 0T 0/A002200-200211=(t)=+-=0TT T T T a w dt Adt Adt T T ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰00220000-200222()cos()cos()-cos()0TT T T T n a w t nw t dt A nw t dt A nw t dt T T ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰00220000-20020000000022()sin()sin()-sin()4 2 cos()-cos()200 2TTT T T n b w t nw t dt A nw t dt A nw t dt T T A T T n A A nw t nw t nT T nw nw n π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭⎛⎫⎧⎪⎪==⎨ ⎪ ⎪⎪⎩⎝⎭⎰⎰⎰为奇数为偶数式中000411(t)=(sin(w t)+sin(3w t)+sin(5w t)+)35Aw π…转换为复指数展开式的傅里叶级数：()()0000000000002-j 000-200000011=(t)e=e +-e 1121 =(e -e ) =e -e | =e -e = 2T jnw tnw tjnw t n T jnw t jnw t jnw t jnw t jnw jnw c w dt A dt A dt T T A A AA dt j T T jnw T nw j n ττττττπ-----⎛⎫ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰当0,2,4,...n =±±时,0n C =； 当1,3,5,...n =±±±时,2n A C j n π=-则幅频函数为：2,1,3,5,...n AC jn n π=-=±±±42||,1,3,5,...n n AA C n n π===相频函数为：arctanarctan(),1,3,5, (2)nI n nR C n C πϕ==-∞=-= arctanarctan(),1,3,5, (2)nI n nR C n C πϕ==+∞==---双边幅频图：单边幅频图：相频图：三、频率成分分布情况由信号的傅里叶级数形式及其频谱图可以看出,矩形波是由一系列正弦波叠加而成,正弦波的频率由0w 到30w ,50w ……,其幅值由4A π到43A π,45A π,……依次减小,各频率成分的相位都为0;四、Hs 伯德图一阶系统1()1H s s τ=+,对应=0.1, 0.5, 0.707τ二阶系统2240()2nn nH s s s ωξωω=++,对应10,500n ω=,=0.5, 0.707τ五、将此信号输入给特征为传递函数为Hs 的系统1一阶系统响应方波信号的傅里叶级数展开为：014()sin n A x t n t n ωπ∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑据线性系统的叠加原理,系统对()x t 的响应应该是各频率成分响应的叠加,即[]000014()()sin ()sin (),1,3,5,...tz n A y t A n n t n e n n n ωωϕωϕωπ∞-=⎛⎫⎧⎫=+-= ⎪⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭∑其中0201()1()A n n ωτω=+00()arctan()n n ϕωτω=-故,[]0002210041()sin arctan(),1,3,5,...1()1()t zn n A y t n t n e n n n n τωωτωπτωτω∞-=⎛⎫⎧⎫⎪⎪⎪=--=⎨⎬ ⎪++⎪⎪⎩⎭⎝⎭∑各个频率成分幅值失真为：02011()11()A n n ωτω-=-+相位失真为：00()arctan()n n ϕωτω=-由此可看出,若想减小失真,应减小一阶系统的时间常数τ一阶系统响应 Simulink 仿真图2二阶系统响应同一阶系统响应,系统对tx 的响应应该是各频率成分响应的叠加,即[]000314()()sin ()sin(),1,3,5,...n td n d A y t A n n t ne t n n ξωωωωϕωωϕπω∞-=⎛⎫⎧⎫=+-+= ⎪⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭∑其中022200()14()n n A n n n ωωωξωω=⎡⎤⎛⎫⎢⎥-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦00202()arctan()1n n n n n ωξωϕωωω⎛⎫⎪⎝⎭=-⎛⎫- ⎪⎝⎭21d ωωξ=-23202112n n ξξϕωξω-==⎛⎫-- ⎪⎝⎭各个频率成分幅值失真为：()02220011114()n n A n n n ωωωξωω-=-⎡⎤⎛⎫⎢⎥-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦相位失真为： 00202()arctan()1n n n n n ωξωϕωωω⎛⎫⎪⎝⎭=-⎛⎫- ⎪⎝⎭由此可看出,若想减小失真,阻尼比ξ宜选在0.65~0.7之间,频率成分中不可忽视的高频成分的频率应小于0.6~0.8n ω,及n ω应取较大值;二阶系统响应 Simulink 仿真图传感器综合运用一、 题目要求工件如图所示,要求测量出工件的刚度值,在力F的作用下球头部将向下变形,力的大小不应超过500N,球头位移量约200微米;刚度测量结果要满足1%的精度要求;F图1 工件图任务要求如下：1根据被测物理量选用适合的传感器系列；例如尺寸量测量传感器,电阻应变式传感器,电感式传感器,电容传感器,磁电传感器、CCD图像传感器等等;2分析所给任务的测量精度,并根据精度指标初选适合该精度的传感器系列；测量精度一般根据被测量的公差带利用的是误差不等式来确定,例如公差带达到10um时测量精度一般应达到公差带的1/5,即小于2um;满足此精度的传感器有电阻应变式传感器,电感式传感器等,但考虑精度的同时还要考虑量程等其它方面的因素,参考第3章传感器的选用原则一节;3选择合理的测量方法;根据被测量的特点及题目要求,综合考虑测量方便,适合于批量测量的特点,确定合理的测量方案,并画出测量方案简图,可以配必要的文字说明;二、方案设计因需要测量工件的刚度,由工件的刚度公式：FKy式中K为工件的刚度；F为施加在工件上的作用力；y为在力F作用下的位移；根据上式,测定刚度的方式有两种,一种是在恒力的作用下测定工件头部的变形量；一种是在一定变形量的作用下测定力的大小;考虑到后种方法,需要控制工件的位移量一定是比较困难的,因为按照后种方法仍需采用位移传感器去检测工件的位移的量,因而无论从测试方法还是从测试成本上都是不合理的;因而采用前种方法,给工件施加一定大小的力是比较容易做到的,只需要测定该力的作用下位移的大小即可求出工件的刚度;为了给工件施力,必须对工件定位和夹紧;设计了如图2所示的末端支撑部件;图2支撑零件为了对工件进行定位,考虑到工件的对称性,设计了如图3所示的定位元件,可以确保工件的伸出的长度为一定值;图3 定位零件因内孔带锥度,当左右两块该零件配合时,可以确保工件从支撑部件伸出一定长度,从而准确测量,其定位及支撑原理如图4所示;图4 定位及支撑根据题目中第3条要求,适合批量测量;待测工件放在V 型槽中,左右两块锥形孔对合,通过推杆机构推到支撑孔中,直到工件与锥形孔配合,这样就能够保证工件伸出的长度是一定的,只有这样测定的刚度才是准确的;同时通过图2所示的支撑零件,能够保证工件的尾部固定,消除了工件尾部的移动对工件头部的位移的影响;测量时,左右两块定位元件分开,避免对工件的测量造成影响;三、传感器的选择按照题目要求2,传感器的选择应该能够满足精度的要求;因实际测量的为位移,精度要求为刚度的要求,因而需要进行转换;2F K y y∆=-∆ 相对精度误差为2()/(/)K F yy F y K y y∆∆=-∆=-刚度相对误差为1%,根据上式,测量位移的相对误差要控制在1%,因位移约为200um,因而位移传感器的误差要控制在2um 内;因位移约为200um,为使测量值约为满量程的2/3,因而选择传感器的满量程为300um;综上分析,传感器的满量程为300um,传感器的相对误差控制在1%,传感器的分辨率应低于2um;因工件上不好安装传感器,因而应该根据测量头的纵向位移来判断工件头部的变形量;因而当从刚开始接触工件开始,到加载到450N 小于500N 结束,此过程中测量头的位移;根据参考文献1P81介绍,可选择电涡流位移传感器,其测量范围0-15mm,分辨率达1um,因而满足上述的精度要求;综上分析,采用电涡流位移传感器;四、总体测量方案 图5 总体方案 如图5所示,在圆柱形测量头上施加一定的恒力450N,通过电涡流位移传感器测量测量头的位移,为减小本身的测量头的伸缩的影响,测量头的刚度必须很大;定位元件用来控制工件伸出的长度一定;支撑元件用来固定工件的尾部;待测元件放置在V 型槽里,用于大批量的检测;五、 参考文献1. 邵东向,李良主编. 机械工程测试技术基础. 哈尔滨工业大学出版社,2003定位支撑元待测工测量头。

第2页 共 4页y 1(t)；4. 写出描述该系统的系统方程。

四、（12分）设一因果连续时间LTI 系统输入x (t)和输出y (t)关系为：y ''(t)＋3y '(t)+2y (t)=x (t)1. 求该系统的系统函数H (s)，画出其零极点图，并判别系统的稳定性；2. 确定此系统的冲激响应h (t)；3. 求系统的幅频特性与相频特性表达式。

五、（8分）一个离散LTI 系统的单位样值响应为：h (n )=αnu (n )1. 试用时域卷积方法求该系统的单位阶跃响应g(n );2. 确定该系统的系统方程。

六、（24分）已知函数x (t)和y (t)分别为：∑∞-∞=-=n n t t x )4()(δ ，t t t y 6sin 4cos )(+=1. 求y (t)的指数傅立叶级数表示，说明其频带宽度；2. 求x (t)的傅立叶级数展开表达式，简略画出其幅度谱线图；3. 求x (t)的傅立叶变换表达式X (j ω)，简略画出X (j ω)；4. 求y (t)的傅立叶变换表达式Y (j ω)，简略画出Y (j ω)；5. 确定信号y (t)的奈奎斯特频率与奈奎斯特间隔。

6.确定信号s (t)=x (t)y (t)的频谱。

七、（16分）一个因果的离散时间LTI 系统描述如下：)()2(21)1(43)(n x n y n y n y =-+--其中x (n)为输入，y (n)为输出。

1. 试求该系统的系统函数H (z)，画出H (z)的零、极点图；2. 求系统的单位样值响应h (n)，并说明系统的稳定性；3. 用求和器、数乘器和延时器画出其结构框图；4. 如)(31)(,1)2(,2)1(n u n x y y n⎪⎭⎫⎝⎛==-=-，求y (n)。

第3页 共4页 第4页 共 4页八、（8分）假设x (t)的傅立叶变换X (j ω)＝0，|ω| >ωm ，而信号g(t )可表示成)}sin (]cos )({[cos )()(ttt t x t t x t g c c c πωωω*-= 式中*记做卷积，而ωc ＞ωm 。

2005－2006学年 第一学期考试试题 A 卷考试科目： 信号处理 考试时间：90分钟 试卷总分100分一、填空题（本大题共20空，每空1分，总计20分）1、线性系统具有三个重要特性，即 性、 性和 性。

2、系统的响应按起因的不同可以分为 和 ，按系统的性质和输入信号的形式可以分为 和 ，按响应的变化形式可以分为 和 。

3、()0cos 3t t t d πωδ-∞⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰＝ ，()()2213t t t t d δ-+-⎰＝ 。

4、()()23t t e t e t εε--*＝ 。

5、周期矩形信号中T ＝4，A ＝1，τ＝2的频带宽度ω∆＝ 。

6、已知信号()f t 为包含0m ω的频带有限信号，则()4f t 的奈奎斯特采样频率为 。

7、信号无失真传输系统的系统函数为 。

8、已知信号()f t 的象函数为()()42F s s s =+，则()0f +＝ ，()f ∞＝ 。

9、离散信号()1112n n ε-⎛⎫- ⎪⎝⎭的Z 变换为 ，收敛域为 。

10、如果()f t 为带宽有限的连续信号，其频谱()F j ω的最高频率为m f ，则以采样间隔为 对信号()f t 进行等间隔采样所得的抽样信号()S f t 将包含原信号()f t 的全部信息。

二、画图题（本大题共3小题，每小题6分，总计18分）1、已知信号 ()()()()()24324f t t t t t εεεε=+---+-，试分别画出()f t 和()'f t 的波形图。

2005年 12 月 15 日2、画出矩形波()111411cos cos 3cos 523252A f t t t t πππωωωπ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦的频谱图。

3、已知系统函数()3232565128s s sH s s s s ++=+++，试画出该系统的零极点分布图。

三、简算题（本大题共3小题，每小题10分，总计30分）1、如图一所示，()0C u -＝2V ，()0L i -＝1A ，试求()0L i +，()0C u +，()'0C u +的值。

矩形波的微分
矩形波是一种信号，其波形是连续的，在一个周期内具有相同的幅度，而在周期之间突然跳变到另一个值。

我们可以假设矩形波的幅度为A，周期为T。

那么数学上，矩形波可以用以下
函数表示：
f(t) = A, 当 0 <= t < T/2
f(t) = -A, 当 T/2 <= t < T
其他情况下 f(t) 不定义
我们可以通过计算矩形波函数的导数来找到矩形波的微分。

根据定义，导数表示函数在某个点的斜率，即函数在这个点的变化率。

然而，由于矩形波在一个周期内存在跳变，因此在跳变点处的斜率是无限大的。

因此，矩形波在跳变点处是不可导的。

在跳变点之外的区域，矩形波的导数为0，因为它保持在一个
常数值的区间内。

因此，矩形波的导数在跳变点之外是恒定为零的。

总结起来，矩形波的微分是不连续的，除了跳变点之外恒定为零。

在跳变点处，矩形波的导数是未定义的。