数学分析的发展极其严格化

数学中的数学分析研究数学分析是数学的一个重要分支，它研究的对象是数学中的基本概念和原理，以及它们之间的相互关系。

数学分析在现代科学研究和工程技术应用中起着重要的作用。

本文将从历史、概念、方法和应用等方面来探索数学分析的研究领域。

一、数学分析的起源数学分析的起源可以追溯到古希腊时期，当时的数学家欧几里得是数学分析的奠基人之一。

他撰写的《几何原本》是几何学和分析学的重要学术著作。

在此之后，数学分析在欧洲得到了广泛的发展，尤其是在17世纪和18世纪，由于牛顿和莱布尼茨的微积分学的发展，使得数学分析进入了一个崭新的阶段。

二、数学分析的概念数学分析可以被定义为研究实数和复数的连续性、收敛性、极限、函数和级数等数学概念的学科。

它通过运用极限、微分和积分等方法，来研究这些概念之间的关系和性质。

数学分析的核心概念包括极限、连续、微分、积分和级数等。

1. 极限极限是数学分析的基本概念之一，它描述了一个数列或者一个函数在趋近某个值时的行为。

极限可以用来刻画函数的连续性和收敛性等重要性质。

2. 连续连续是数学分析中的另一个重要概念，它用来描述函数在某个区间上没有间断的性质。

一个函数在某一点连续，意味着其在该点处的极限存在且与函数值相等。

3. 微分微分是数学分析中的一项重要研究内容，它描述了函数在某一点附近的变化率。

通过微分，我们可以求得函数在某一点的斜率和切线等相关信息。

4. 积分积分是数学分析中的另一个重要概念，它描述了函数在某个区间上的累积效应。

通过积分，我们可以求得函数在某个区间上的面积、体积和平均值等。

5. 级数级数是数学分析中的一个重要内容，它是无穷个数的和。

级数的研究可以帮助我们理解数列和函数的性质和行为。

三、数学分析的方法数学分析采用了多种方法来进行研究和证明。

其中，推导、定义、定理和证明是数学分析方法的重要组成部分。

1. 推导推导是数学分析中常用的一种方法，通过逻辑推理和推导，从已知的命题或者结论出发，得出新的结论或者定理。

分析的严谨性数学大家对极限的理解与解释：柯西（1821）达朗贝尔（1754）牛顿（1687）莱布尼茨（1684）柯西：如果赋予统一变量的连续不断的一系列数值使其无限地趋向于一个固定的值，使得最终它们与固定值的差按人们所希望的那样小，则后者称为所有其特殊之的极限。

达朗贝尔：比值[a:2y+z]总是小于a:2y,但是z越小，这个比值就越大，并且由于人们可选取任意小的z，比值a:2y+z就可按我们希望的那样靠近比值a：2y。

因此a:2y是a:2y+z的极限。

牛顿：逐渐变小的量之间的最终比值…（是）极限，即数量比值无限减小却总是收敛于它；它们比任何事先给定的插枝更接近敌趋向于它，但永远不超过也不达到它，直到这些量减到无穷小。

莱布尼茨：如果任何一个连续变迁以一个极限为终结，那么就能够形成一种普遍的推理，他也能适用于最终的极限。

恰好生于对微积分新的理论基础怀疑的时代的柯西—－这位毕业于法国多科工艺学校的杰出数学家，在１８２１年，〈〈分析教程〉〉中首次提出微积分新的理论基础。

接着，又发表与微积分基础概念严格化密切相关的著作〈〈无穷小分析原理概要〉〉（１８２３），〈〈分析的几何应用原理〉〉（１８２６～１８２８）。

这三部著作集数学分析之大成就，奠定了以极限理论为基础的现代数学分析体系，在数学分析的发展史上建树了一座有划时代意义的里程碑。

柯西抛弃了物理和几何直观，通过交量来定义极限的概念：“如果代表某变量的一串数值无限地趋向某一固定值时，其差可以任意小，那么这个固定值就叫做这一串数值的极限。

”这个当时最清晰的定义，是数学分析算术化伊始的信号。

接着，他又定义了无穷小：“一变量的值无限大减小，以至收敛于零，则称此变量为无穷小。

”对无穷大，柯西认为是它的值可以无限地变大，以至能够超过任何给定的常量的变量。

在这里，柯西让趋于极限的，特别是趋于极限零的变量概念扮演着中心角色，从而把极限原理和无穷小量原理综合起来，并以此为基础定义了函数的连续性，导数和微分，积分。

数学分析严格化的开拓者分析严格化的需要18世纪的分析学家致力于创造强有力的方法并把它们付诸应用，分析中的一些基本概念，则缺乏恰当的统一的定义．由于没有公认的级数收敛概念，导致了许多所谓“悖论”，其实只是由于概念含混而出现的错误．数学家逐渐认识到，分析基本原理的严格检验，不能依赖于物理或几何，只能依靠它自身．当时的法国——欧洲数学中心的数学家们集中在几个大学教书．教学和写作教材特别要求澄清基本概念，阐明基本原理．已有一些数学家对当时分析的状况不满．C．F．高斯(Gauss)批评J．L．达朗贝尔(d'Alembert)关于代数基本定理的证明不够严格，还说数学家们“未能正确处置无穷级数”．N．H．阿贝尔(Abel)说得更加明确：“人们在今天的分析中无可争辩地发现了多得惊人的含混之处……．最糟糕的是它还没有得到严格处理．高等分析中只有少数命题得到完全严格的证明．人们到处发现从特殊到一般的令人遗憾的推理方式．”(Oeuvres，2，pp．263—265．)正是柯西，怀着严格化的明确目标，在前述4个教材中为数学分析建立了一个基本严谨的完整体系．在《分析教程》前言中，他说：“至于方法，我力图赋予……几何学中存在的严格性，决不求助于从代数一般性导出的推理，这种推理……只能认为是一种推断，有时还适用于提示真理，但与数学科学的令人叹服的严谨性很不相符．”他说他通过分析公式成立的条件和规定所用记号的意义，“消除了所有不确定性”，并说：“我的主要目标是使严谨性(这是我在《分析教程》中为自己制定的准绳)与基于无穷小的直接考虑所得到的简单性和谐一致．”极限与无穷小柯西规定：“当一个变量相继取的值无限接近于一个固定值，最终与此固定值之差要多小就有多小时，该值就称为所有其他值的极限．”“当同一变量相继取的数值无限减小以至降到低于任何给定的数，这个变量就成为人们所称的无穷小或无穷小量．这类变量以零为其极限，”“当同一变量相继取的数值越来越增加以至升到高于每个给定的数，如果它是正变量，则称它以正无穷为其极限，记作∞；如果是负变量，则称它以负无穷为其极限，记作-∞．”［2］从字面上看，柯西的定义与在此以前达朗贝尔、拉克鲁瓦所给的定义差别不大，但实际上有巨大改进．个数”开始，写出一系列不等式来最终完成证明．在讨论复杂表示式的极限时，他用了ε-δ论证法的雏型．由于有明确的把极限转述为不等式的想法，他就能从定义出发证明关于极限的一些较难命题．其次，他首次放弃了过去定义中常有的“一个变量决不会超过它的极限”这类不必要的提法，也不提过去定义中常涉及的一个变量是否“达到”它的极限，而把重点放在变量具有极限时的性态．最后，他以极限为基础定义无穷小和微积分学中的基本概念，建立了级数收敛性的一般理论．函数及其连续性柯西以接近于现代的方式定义单元函数：“当一些变量以这样的方式相联系，即当其中之一给定时，能推知所有其他变量的值，则通常就认为这些变量由前一变量表示，此变量取名为自变量，而其余由自变量表示的变量，就是通常所说的该自变量的一些函数．”他以类似方式定义多元函数，并区别了显函数和隐函数，用他建立的微分方程解的存在性定理在较强条件下证明了隐函数的局部存在性．柯西给出了连续的严格定义：“函数f(x)是处于两个指定界限之间的变量x 的连续函数，如果对这两个界限之间的每个值x，差f(x+a)-f(x)的数值随着a 无限减小．换言之，……变量的无穷小增量总导致函数本身的无穷小增量．”在一个附录中，他给出了闭区间上连续函数介值性质的严格证明，其中用到了“区间套”思想．在柯西之前，B．波尔查诺(Bolzano)于1817年给出连续的定义，并利用上确界证明了介值定理．但他的工作在很长时间内未引起人们的注意．有人认为柯西读到了波尔查诺的著作，采用了他的思想，但故意不加声明．这种看法缺乏佐证材料．微分学柯西按照前人方式用差商的极限定义导数，但在定义中多了一句：“当这个极限存在时，……用加撇符号y′或f′(x)表示．”这表明他已用崭新的方式考虑问题．他把导数定义转述为不等式，由此证明有关的各种定理．例如他给出了用不等式陈述的微分中值定理，首次给出了ε-δ式(所用符号也是ε，δ)的证明，由此推出拉格朗日中值定理．他还得到了“柯西中值定理”柯西关于微分的一种定义也富有独创性．他称f(x)的微分是“当变量α无限趋于零而量h保持不变时方程的左端所收敛的极限”．柯西以割线的极限位置定义切线，用中值定理证明极值点处切线的水平性．他证明了f′(x0)=…=f(n-1)(x0)=0时用f(n)(x0)的符号判断极大、极小的命题．他由自己的中值定理推导出洛必达法则．这样，他就为微分学的应用奠定了严格的理论基础．积分学18世纪绝大多数数学家摒弃G．W．莱布尼茨(Leibniz)关于积分是无穷小量的无穷和的说法，只把积分看作微分之逆．柯西则不同，他假定函数f(x)在区间[x0，X]上连续，用分点x1，x2，…，x n-1把该区间划分为n个不必相同的部分，作和S=(x1-x0)f(x0)+(x2-x1)f(x1)+…+(X-x n-1)f(x n-1)，并证明(实际上隐含地用了“一致连续性”)“当各个部分长度变得非常小而数n非常大时，分法对S的值只产生微乎其微的影响”，因而当各个部分长度无限减小时 S具有极限，它“只依赖于f(x)的形式和变量x的端值x0，X0．这个极限就是我们所说的定积分．”这样，他既给出了连续函数定积分的定义，又证明了它的存在性．他还指出这种定义对于不能把被积函数转化为原函数的一般情形也适用．他给出了现在通用的广义积分的定义．柯西简洁而严格地证明了微积分学基本定理即牛顿-莱布尼茨公式．他利用定积分严格证明了带余项的泰勒公式，还用微分与积分中值定理表示曲边梯形的面积，推导了平面曲线之间图形的面积、曲面面积和立体体积的公式．柯西的定义是从仅把积分看作微分逆运算走向现代积分理论的转折点，他坚持先证明存在性则是从依赖直觉到严格分析的转折点．级数论柯西是第一个认识到无穷级数论并非多项式理论的平凡推广而应当以极限为基础建立其完整理论的数学家．他以部分和有极限定义级数收敛并以此极限定义收敛级数之和．18世纪中许多数学家都隐约地使用过这种定义，柯西则明确地陈述这一定义，并以此为基础比较严格地建立了完整的级数论．他给出所谓“柯西准则”，证明了必要性，并以理所当然的口气断定充分性．对于正项级数，他严格证明了比率判别法和他创造的根式判别法；指出∑u n与∑2n u2n同时收敛或发散，由此推出一些u k u n)对于一般项级数，他引进了绝对收敛概念，指出绝对收敛级数必收-k对于幂级数，柯西得到了收敛半径公式 [后来J．阿达玛(Hadam一个函数可为它的泰勒级数代替只当后者收敛且其和等于所给函数(文献［1］，(2)2，pp．276—282)．影响在柯西手里，微积分构成了由定义、定理及其证明和有关的各种应用组成的逻辑上紧密联系的体系．他的分析教程成为严格分析诞生的起点．无怪乎阿贝尔在1826年说，柯西的书应当为“每一个在数学研究中热爱严谨性的分析学家研读”．柯西的级数论对拉普拉斯的触动是众所周知的：后者读了柯西的论文后，赶快逐一检查他在《天体力学》中所用的级数．柯西对P．G．L．狄利克雷(Dirichlet)、G．F．B．黎曼(Riemann)和K．魏尔斯特拉斯(Weierstrass)都有直接影响．缺陷柯西没有系统使用ε-δ方法，通常更多依赖“充分接近”、“要多小就有多小”这类比较模糊的语言，未能区别逐点收敛与一致收敛(但晚年时已有所觉察)、逐点连续与一致连续，有时不能恰当处理累次极限，因而出现了一些错误的断言及“证明”．例如：连续函数项收敛级数具有连续和并可逐项积分；多元函数对每个自变量分别连续则整体连续；函数f(x，y)在过点(x0、y0)的每条直线上取到极大值则它在该点取到极大值．柯西在证明一些定理时，实际上用了实数系的完备性，例如有界单调数列必收敛，但就像在谈到收敛准则充分性时那样，他认为这些都是不言自明的，未能意识到建立实数理论的必要性．总之，柯西在分析的严格化方面做出了卓越贡献，但尚未完成分析的算术化．。

数学的历史演变与发展从古代代数到现代数学分析数学作为一门古老而又精密的学科，经历了漫长的历史，从古代代数逐渐演变为现代数学分析。

在这个过程中，数学的发展经历了一系列的飞跃和革新，不断地推动着人类对数学的认识和运用。

本文将从古代代数的起源开始，逐步介绍数学的发展历程，最终探讨现代数学分析的意义和应用。

一、古代代数的起源古代代数可以追溯到公元前5世纪的埃及和巴比伦时期。

在这个时期，人们开始意识到通过符号来表示和解决数学问题的重要性。

埃及人发展了一套简单的数学符号体系，用于计算土地面积和建筑设计等实际问题。

而巴比伦人则在解决土地和贸易问题时，运用了一种叫做“巴比伦数字”的记数系统，这也是人类历史上最早的一种数字系统。

随着时间的推移，古代数学在古希腊时期达到了一个新的高度。

数学家毕达哥拉斯提出了著名的毕达哥拉斯定理，奠定了几何学的基础。

欧几里德则在《几何原本》中系统总结了当时已知的几何知识，成为后世几何学的经典教材。

二、从代数到分析的拓展古代数学逐渐发展到代数学的阶段。

在印度，一位名叫布拉马叶的数学家发明了一种被称为“无穷级数”的计算方法，并提出了一些代数方程的解法。

而伊斯兰世界的数学家阿尔-哈齐恩则在《代数学》一书中首次提出了代数运算的符号表示法，开创了代数学的新纪元。

随着文艺复兴时期的到来，数学的发展进入了一个新的阶段。

意大利数学家费尔马提出了著名的“费尔马大定理”，激发了人们对数论的研究。

同时，牛顿和莱布尼茨独立发现了微积分，这一发现将数学从代数学进一步推进到分析学的领域。

三、现代数学分析的意义和应用现代数学分析是数学发展的一个重要里程碑，它将数学从静态的代数学转变为动态的研究方法。

现代数学分析主要包括实变函数论、复变函数论和泛函分析等分支。

实变函数论研究实数域上函数的性质和演化规律，复变函数论则研究复数域上函数的性质和解析特征，泛函分析则研究无穷维向量空间上的函数。

现代数学分析在科学研究和工程技术中具有广泛的应用价值。

《数学分析原理》课程学习报告数学分析是数学中最重要的一门基础课，是几乎所有后继课程的基础，在培养具有良好素养的数学及其应用方面起着特别重要的作用。

从近代微积分思想的产生、发展到形成比较系统、成熟的“数学分析”课程大约用了300年的时间，经过几代杰出数学家的不懈努力，已经形成了严格的理论基础和逻辑体系。

回顾数学分析的历史，有以下几个过程。

从资料上得知，过去该课程一般分两步∶初等微积分与高等微积分。

初等微积分主要讲授初等微积分的运算与应用，高等微积分才开始涉及严格的数学理论，如实数理论、极限、连续等。

20世纪 50 年代以来学习苏联教材，从而出现了所谓的“大头分析”体系，即用较大的篇幅讲述极限理论，然后把微积分、级数等看成不同类型的极限。

这说明了只要真正掌握了极限理论，整个数学分析学起来就快了，而且理论水平比较高。

在我国，人们改造“大头分析”的试验不断，大体上都是把极限分成几步完成。

我们的做法是∶期望在“初高等微积分”和“大头分析”之间，走出一条循序渐进的道路，而整个体系在逻辑上又是完整的。

这样我们既能掌握严格的分析理论，又能比较容易、快速地接受理论。

我们都知道，数学对于理学，工学研究是相当重要。

在中国科技大学计算机应用硕士培养方案中，必修课∶组合数学、算法设计与分析，高级计算机网络、高级数据库系统，人工智能高级教程现代计算机控制理论与技术。

山西大学通信与信息系统硕士培养方案中，专业基础课∶（1）矩阵理论（2）随机过程（3）信息论与编码（4）现代数字信号处理（5）通信网络管理其中有运筹学内容，属于数学。

（6）模糊逻辑与神经网络是研究非线性的数学。

大连理工大学微电子和固体电子硕士培养方案中，必修课工程数学，专业基础课物理、半导体发光材料、半导体激光器件物理西北大学经管学院金融硕士培养方案中，学位课∶中级微观经济学（数学）中级宏观经济学中国市场经济研究经济分析方法（数学）经济理论与实践前沿金融理论与实践必须使用数学的研究专业有∶理工科几乎所有专业，分子生物学，统计专业，（理论、微观）经济学，逻辑学而这些数学的基础课就有一门叫做数学分析的课程！数学是所有学科的基础，可以说自然学科中的所有的重大发现和成就都离不开数学的贡献，而数学分析是数学中的基础！基础中的基础！正因为如此，我深刻地认识到基础的重要性。

数学专业的数学分析学研究数学分析学是数学的一个重要分支，它主要研究函数、极限、连续性、微积分等数学概念和方法。

作为数学专业的一门核心课程，数学分析学为学生们提供了深入理解和应用数学的基础。

本文将从数学分析学的背景和发展、基本概念与原理、研究方法与应用等方面进行论述。

一、数学分析学的背景和发展数学分析学作为现代数学的重要组成部分，起源于古希腊时期的几何学和代数学研究。

随着数学知识的不断积累和发展，17世纪时的牛顿和莱布尼兹在微积分学的研究中取得了突破性的进展，为数学分析学的发展奠定了基础。

随后，数学分析学逐渐形成了自己的独特体系，包括极限与连续性理论、微分学、积分学、级数理论等。

19世纪的柯西和魏尔斯特拉斯等数学家对数学分析学的研究进行了巨大推进，并提出了一系列重要的定理和概念，为后续研究奠定了基础。

二、数学分析学的基本概念与原理1. 极限与连续性数学分析学中的极限概念是研究数列与函数收敛性的重要工具。

在实数系统中，极限用于描述一个数列或函数的趋势。

连续性则是数学分析学中的另一个基本概念，它描述了函数在定义域内的无间断性。

2. 微积分学微积分学是数学分析学的重要分支，研究函数的变化率和积分的计算。

微积分学分为微分学和积分学两部分。

微分学研究函数的导数和微分，积分学研究函数的积分和不定积分。

三、数学分析学的研究方法与应用1. 研究方法数学分析学的研究方法主要包括推导证明、构造举例和计算模拟等。

推导证明是数学研究中最常用的方法，通过逻辑推理和数学符号演算，揭示数学问题的本质。

构造举例则用具体的例子来说明和验证理论，有助于数学观念的形成和理解。

计算模拟方法则是借助计算机的算力和仿真技术，对复杂数学问题进行求解和模拟研究。

2. 应用领域数学分析学的研究成果在科学、工程、经济等领域中具有广泛的应用价值。

在物理学中，微积分和极限理论被广泛应用于描述运动和变化的规律。

在工程学中，数学分析学的方法被用于优化设计和建模仿真等方面。

【关键字】数学第十一讲分析学的严格化与开拓微积分的创立，被誉为“人类精神的最高胜利”。

然而牛顿和莱布尼兹的微积分在逻辑上并不够严格，这使得他们的学说从一开始就受到怀疑和批评。

微积分理论在使用无限小概念上的随意与混乱，引起了所谓的“第二次数学危机”。

为了消除早期微积分的逻辑缺陷，数学家们在其严格根底的重建方面做出了种种尝试。

在18世纪的分析时代，先是达朗贝尔用初等的极限概念代替了牛顿含糊的首末比方法。

后是欧拉提出了关于无限小的不同阶零的理论。

拉格朗日则主张用泰勒级数来定义导数。

欧拉和拉格朗日的著作在分析中引入了形式化观点，而达朗贝尔的极限观点则为微积分的严格表述提供了合理内核。

§11.1分析的算术化经过一个世纪的不懈努力，数学家们在严格化根底上重建微积分的尝试终于在19世纪初开始初见成效。

其中最具影响力的先驱性人物当推法国数学家柯西。

他于1820年前后，在分析方法方面完成了一系列著作，它们以严格化为目标，对微积分的基本概念给出了明确定义，并在此根底上重建和拓展了微积分的重要事实与定理。

以下是这方面的一些例子：1．变量。

“依次取许多互不相同的值的量叫作变量”。

2．函数。

“当变量之间这样联系起来的时候，即给定了这些变量中的一个值，就可以决定所有其他变量的值的时候，人们通常想象这些量是用其中的一个来表达的，这时这个量就取名为自变量，而由这些自变量表示的其他量就叫作这个自变量的函数”。

按照这个定义，不仅无穷级数可以规定一个函数，而且也突破了函数必须有解析表达式的要求。

3．极限。

“当同一变量逐次所取的值无限趋向于一个固定的值，最终使它的值与该定值的差要多小就多小，那么最后这个定值就称为所有其他值的极限”。

4．无限小量。

“当同一变量逐次所取的绝对值无限减小，以致比任意给定的数还要小，这个变量就是所谓的无限小或无限小量”。

柯西的无限小不再是一个无限小的固定数。

5．连续函数。

柯西第一次解决了函数连续性的定义问题。

数学分析报告导语:数学分析是一门研究数学中极限、连续性、微分和积分等基本概念和方法的学科。

它是数学的重要分支之一，对理论和应用都有着深远的影响。

本报告将围绕数学分析的发展历程、主要概念、应用领域和未来趋势进行详细分析。

一、数学分析的发展历程数学分析作为一门学科，起源于古希腊时期，受到欧几里得几何学的启发。

在17世纪，伽利略、牛顿、莱布尼茨等科学家和数学家的贡献为数学分析的发展奠定了基础。

18世纪，欧拉和威尔士特拉算法等学者进一步推动了该学科的发展。

19世纪，柯西、魏尔斯特拉斯和傅立叶等学者对数学分析进行了系统的整理和升华。

20世纪，数学分析进一步与其他数学学科相互结合，形成了更加丰富多样的应用领域。

二、数学分析的主要概念1. 极限：极限是数学分析的核心概念之一。

它描述了一个函数在某一点附近的值趋于某个特定值的过程。

通过极限的概念，我们可以研究函数的连续性、导数和积分等性质。

2. 连续性：连续性是另一个重要的概念。

一个函数在某一区间内连续，意味着它在该区间内的所有点都不存在跳跃或间断。

连续性的概念使得我们能够研究函数的导数和积分。

3. 微积分：微分和积分是数学分析的两个重要分支。

微分研究函数的变化率和斜率等性质，而积分则研究函数的面积和累积等概念。

三、数学分析的应用领域数学分析在科学和工程等领域中具有广泛的应用。

它在物理学领域中用于描述物体的运动和力学规律。

在经济学领域中，数学分析可以用来建立经济模型和预测经济趋势。

在工程学领域，数学分析可用于优化设计和解决实际问题。

此外，数学分析还在计算机科学、生物学和统计学等领域中发挥着重要作用。

四、数学分析的未来趋势随着科学技术的不断发展，数学分析在未来将继续发挥着重要作用。

随着人工智能和大数据时代的到来，数学分析方法将被广泛应用于数据挖掘、模式识别和预测分析等领域。

而在数学分析的基础研究方面，我们可以期待更加深入的探索和发现，探索数学世界的更多奥秘。

结语：数学分析作为一门基础而强大的数学学科，对我们的生活和社会发展起着重要的作用。