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三角函数正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式三角函数是数学中常用的一类函数，包括正弦函数和余弦函数。
正弦函数和余弦函数的定义基于三角形中的对应比例关系，而它们的诱导公式则是通过将定义域从锐角扩展到任意角来推导得出的。
下面将逐步介绍正弦函数和余弦函数的定义和诱导公式。
1.正弦函数定义：在单位圆上，以原点为中心，半径为1的圆周上任取一点P，将P点的y坐标称为该点的正弦值，记作sinθ。
当点P位于单位圆的角度θ处时，sinθ的值等于P点在y轴上的投影长度与圆的半径1之比。
因此正弦函数的定义可以表示为：sinθ = P点的纵坐标/1 = y/1 = y2.余弦函数定义：同样在单位圆上，以原点为中心，半径为1的圆周上任取一点P，将P点的x坐标称为该点的余弦值，记作cosθ。
当点P位于单位圆的角度θ处时，cosθ的值等于P点在x轴上的投影长度与圆的半径1之比。
因此余弦函数的定义可以表示为：cosθ = P点的横坐标/1 = x/1 = x正弦函数和余弦函数是周期函数，它们在定义域内的取值范围都在[-1,1]之间。
接下来介绍正弦函数和余弦函数的诱导公式：3.正弦函数的诱导公式：根据正弦函数的定义，我们可以将定义域从锐角扩展到任意角。
设θ为任意角，则θ可以被表示为θ=π-α，其中α是锐角。
根据三角函数的周期性，θ和α具有相同的正弦值，因此我们可以推导出正弦函数的诱导公式：sinθ = sin(π - α) = sinπ·cosα - cosπ·sinα但根据单位圆的性质，sinπ = 0，cosπ = -1，因此上式可以简化为：sinθ = -sinα4.余弦函数的诱导公式：同样，设θ为任意角，则θ可以被表示为θ=π-α。
根据三角函数的周期性，θ和α具有相同的余弦值，因此我们可以推导出余弦函数的诱导公式：cosθ = cos(π - α) = cosπ·cosα + sinπ·sinα但根据单位圆的性质，sinπ = 0，cosπ = -1，因此上式可以简化为：cosθ = cosα通过正弦函数和余弦函数的定义和诱导公式，我们可以在单位圆上准确地计算任意角的正弦和余弦值。
【基础铺垫】1．任意角的正弦、余弦函数的定义（1）单位圆的定义在直角坐标系中，以坐标原点为圆心，以单位长度为半径的圆，称为单位圆．（2）如图所示，设α是任意角，其顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆O 交于点P (u ，v )，那么：正弦函数 余弦函数 定义 点P 的纵坐标v 定义为角α的正弦函数，记作v ＝sin_α 点P 的横坐标u 定义为角α的余弦函数，记作u ＝cos_α正弦、余弦函数定义的推广:设P x ，y 是角α的终边上任意一点，P 到原点的距离r ＝|OP |＝x 2＋y 2，则sin α＝y r ，cos α＝x r. 思考1：对于任意角α，sin α，cos α都有意义吗？[提示] 由三角函数的定义可知，对于任意角α，sin α，cos α都有意义．【合作探究】所以⎩⎨⎧ x ＝55，y ＝255，于是sin α＝y ＝255， cos α＝x ＝55. 法二：在角α的终边上任取一点P (x ，y )(x >0)，则OP ＝x 2＋y 2＝x 2＋4x 2＝5|x |，又因为x >0，所以OP ＝5x .所以sin α＝y 5x ＝255，cos α＝x 5x ＝55. 【规律方法】求任意角的正弦函数、余弦函数值有两种方法：1利用单位圆中的正、余弦函数的定义.即若角α的终边与单位圆交于点P u ，v ，则v ＝sin α，u ＝cos α.2利用正弦、余弦函数定义的推广.根据初中锐角三角函数的定义，设Px ，y 是角α的终边上任意一点，P 到原点的距离r ＝|OP |＝x 2＋y 2，则sin α＝y r ，cos α＝x r .。
尊敬的各位评委各位老师：大家好，我是高中数学组号考生，今天我说课的题目是《单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义》。
下面我将从说教材、说学情、说教学目标、说教学过程等几个方面来展开我的说课。
首先来说说教材。
本课是北师大版高中数学必修四第1章第4节第1课时，任意角的三角函数是本章教学内容的基本概念，是学好本章内容的关键，它是学生在学习了锐角三角函数后对任意角知识的延伸拓展。
并且，通过这部分内容的学习，可以帮助学生更加深入理解函数这一基本概念，它不仅是初中已学三角函数的推广，也是后续学习平面向量、解析几何等内容的必要准备，具有承前启后的作用。
分析完了教材，再来说说学情。
高二年级的学生，在初中已经学习了基本的锐角三角函数知识和概念，掌握了锐角三角函数的一些常见的知识和求法。
同时，学生已经具备一定的自学能力。
但由于我们的学生认识问题还不够深入，其思维能力和判断分析能力尚在培养形成之中。
鉴于此种情况，教师要充分利用他们的兴趣引导学生进入特定的教学意境，如何学好利用单位圆研究正余弦函数的定义，就是摆在师生面前的一个亟待解决的问题。
因此，本节内容的学习是学生认知发展和知识构建的一个生长点。
基于以上教材地位、学情特点以及新课标的要求，我确定了以下三维教学目标：1、理解并掌握任意角的三角函数的定义，这是本课教学的重点。
2、通过观察、类比等方法将初中时学过的锐角三角函数的概念推广到任意角的三角函数。
平面直角坐标系下用坐标比值定义的观念的转换以及利用坐标求三角函数值是本课教学的难点。
3、通过本节课的学习，激发学生学习数学的兴趣和善于发现、勇于探索的精神，体会学习的快乐。
数学课程标准倡导“合作、自主、探究”的学习方法，教学过程应重视学生的实践活动，引导学生主动地获取知识，全面提高学生的数学素养。
所以，本堂课的教学，我准备采用演示法、情境教学法、讨论分析法等。
在学法上，我将以“把学习的主动权还给学生”为指导思想，采取领会法、合作学习法、研究性学习法等。
单位圆与正余弦函数的定义SANY GROUP system office room 【SANYUA16H-1.4.1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数1.4.2单位圆与周期性主备人：刘红岩一、 教学目标1、 理解利用单位圆定义的正弦函数、余弦函数的概念2、 通过借助单位圆讨论正弦函数、余弦函数的过程，感悟数形结合思想方法是学习数学的重要思想方法之一二、 教学重、难点1、 正、余弦函数的定义及正、余函数值的符号；会利用单位圆求三角函数值；2、 利用单位圆的独特性，是高中数学中的一种重要方法三、情感态度与价值观1、由锐角的正、余弦函数推广到任意角的正、余弦函数的过程中，体会特殊与一般的关系，形成一种辩证统一的思想；2、通过单位圆的学习，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力。
四、教学过程尝试回忆1、1弧度的角；2、角度制与弧度制的互化；3、弧长公式及扇形面积公式；4、用弧度制表示第一象限内的角的集合和x 轴上的角的集合。
2、特别注意：角度与弧度不要混用。
如090,k k Z π+∈，应写成0018090,k k Z ⋅+∈或,2k k Z ππ+∈3、初中所学的锐角的正、余弦函数是如何定义的？由锐角三角函数推广到任意角的三角函数，由直角中的边之比定义，推广到直角坐标系中的坐标定义。
O A P 图1问题引入如图是一个摩天轮，假设它的中心离地面的高度为h 0，它的直径为2R ，逆时针方向匀速转动，转动一周需要360秒，若现在你坐在座舱中，从初始位置OA 出发（如图1所示），则（1）过了30秒后，你离地面的高度为多少？（2）过了45秒呢？过了t 秒呢？ 【设计意图】从学生感兴趣的实际问题出发，发现问题，解决问题。
探究新知1、单位圆在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长为半径的圆，称为单位圆。
单位长：可以是1cm 、1m 、1km 、1光年等。
单位圆可根据需要移到其它地方。
尊敬的各位评委各位老师：
大家好，我是高中数学组号考生，今天我说课的题目是《单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义》。
下面我将从说教材、说学情、说教学目标、说教学过程等几个方面来展开我的说课。
首先来说说教材。
本课是北师大版高中数学必修四第1章第4节第1课时，任意角的三角函数是本章教学内容的基本概念，是学好本章内容的关键，它是学生在学习了锐角三角函数后对任意角知识的延伸拓展。
并且，通过这部分内容的学习，可以帮助学生更加深入理解函数这一基本概念，它不仅是初中已学三角函数的推广，也是后续学习平面向量、解析几何等内容的必要准备，具有承前启后的作用。
分析完了教材，再来说说学情。
高二年级的学生，在初中已经学习了基本的锐角三角函数知识和概念，掌握了锐角三角函数的一些常见的知识和求法。
同时，学生已经具备一定的自学能力。
但由于我们的学生认识问题还不够深入，其思维能力和判断分析能力尚在培养形成之中。
鉴于此种情况，教师要充分利用他们的兴趣引导学生进入特定的教学意境，如何学好利用单位圆研究正余弦函数的定义，就是摆在师生面前的一个亟待解决的问题。
因此，本节内容的学习是学生认知发展和知识构建的一个生长点。
基于以上教材地位、学情特点以及新课标的要求，我确定了以下三维教学目标：
1、理解并掌握任意角的三角函数的定义，这是本课教学的重点。
2、通过观察、类比等方法将初中时学过的锐角三角函数的概念推广
到任意角的三角函数。
平面直角坐标系下用坐标比值定义的观念的转换以及利用坐标求三角函数值是本课教学的难点。
3、通过本节课的学习，激发学生学习数学的兴趣和善于发现、勇于探索的精神，体会学习的快乐。
数学课程标准倡导“合作、自主、探究”的学习方法，教学过程应重视学生的实践活动，引导学生主动地获取知识，全面提高学生的数学素养。
所以，本堂课的教学，我准备采用演示法、情境教学法、讨论分析法等。
在学法上，我将以“把学习的主动权还给学生”为指导思想，采取领会法、合作学习法、研究性学习法等。
为了完成既定的学习目标，解决教学重难点，课堂教学我将按照以下几个环节展开：
环节一：激趣导入，未成曲调先有情
上课伊始，我会以复习提问方式开始的我课程，为激发学生兴趣，我设计了如下导语：
在直角三角形中，锐角的正弦、余弦、正切函数怎样表示？通过最为熟悉的直角三角形，从它的表示方法、图形特征，突出对其问题的理解，为任意角三角函数新概念的提出奠定基础。
然后再提出问题：现在要求sin250的值，怎么办？还能不能用直角三角形来求？结果显然不能，我们应该如何对初中的锐角三角函数的定义进行修改，把锐角三角函数推广到任意角三角函数呢？也就是我们今天要探究的内容，即单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义（板书）。
通过回顾以前学习过的知识而探究新知识，引发学生的认识冲
突。
并直接引出课题。
学生在教师引导带着问题去独立思考,自主学习,并通过对问题的思考提高理解能力,强化自我意识,促进由学会到会学转化,形成良好的思维品质。
环节二：引入新知，高屋建瓴勇探究
在这一环节，我继续提问引导学生：
前面我们已经把锐角推广到了任意角，锐角的三角函数概念也能推广到任意角三角函数的定义吗？如何推广？请同学们以同桌为单位分小组讨论。
随后我继续引导学生：随着角的概念的推广，研究角时多放在直角坐标系里，那么三角函数的定义能否也放到坐标系去研究呢？
随后，通过再黑板上的直角坐标系，利用数形结合的数学思想，为后续研究做准备，从而得出任意角三角函数的定义：作以坐标原点为圆心的单位圆，对于任意角a，使得a的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边与点位于交于唯一的点P（u,v），把纵坐标v 定义为a的正弦函数，记作v=sina，横坐标u定义为a的余弦函数，记作u=cosa。
此时，我再让学生观察下角度与三角函数的对应关系，可以分析出什么，继而引导得出：对于a，P的纵坐标和横坐标都是唯一确定的，即正余弦函数都是以角为自变量，单位圆上的点的坐标为函数值的函数。
最后是应用与提高，为了让学生及时熟悉定义，同时为后续学习其他三角函数性质作铺垫，我将和学生共同完成书本上的例题，并让学生思考：通过本题你有什么收获，能否将已学知识融会贯通？学生
才是学习活动的主体，让学生成为学习的研究者，不断地让学生体验到成功的喜悦，激发学生参与学习活动的热情，不仅使学生获得了知识，更培养了学生善于归纳总结思维品质。
环节三，延伸拓展，能探风雅无穷意
在这一环节，为了让同学对正余弦函数定义加深印象，我让学生小组讨论回顾本节课的重点知识点，再让学生在课外动笔写出自己对两角差的余弦函数的感受。
同时利用多媒体课件将本课内容进行串讲，加深同学们的印象及理解。
一堂成功的数学课，应当是授之以渔。
因此，课堂结束我会布置如下作业：已知角a的大小是30角，由定义求角a的正余弦函数值，这是基本题，如果不限制A的象限，sinA＝0.2求cosA，tanA的值。
拓展，如果不限制A的象限呢？可以留作课外探讨，这是提高拓展题，体现分层教学思想。
基本题面向全体，注重知识反馈，提高拓展题更注重知识的延伸性、连贯性和应用性，有能力的学生可以去探求。
最后，是我的板书设计。
好的板书能给学生美的享受，思想的启迪。
我的板书（配合手势）简洁明了，重点突出，使学生一目了然。
以上就是我说课的全部内容，感谢各位老师的耐心倾听，老师们辛苦了，谢谢！。
