DSE 金牌数学专题系列 经典专题系列第 4讲
矩形、菱形、正方形
一、 导入
老先生与服务生
老先生常到一家商店买报纸，那里的服务生总是一脸傲慢无礼的样子，就连基本的礼貌都没有。做事追求效率固然重要，可是缺乏礼貌一定会流失客人，没有了客人服务速度再快，又有什么用？ 朋友对老先生说，为何不到其他地方去买？ 老先生笑着回答：“为了与他赌气，我必须多绕一圈，浪费时间，徒增麻烦，再说礼貌不好是他的问题，为什么我要因为他而改变自己的心情?”
大道理：不要因为别人的不好而影响了自己做事情时候的心情，也不要因外界的不如人意而影响了一生的幸福快乐。想想美好的一面，心情也会是很快乐的。
二、 知识点回顾
矩形、菱形、正方形
1.性质：
（1）矩形：①矩形的四个角都是直角．②矩形的对角线相等．③矩形具有平行四边形的所有性质．
（2）菱形：①菱形的四条边都相等．②菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线
平分一组对角．③具有平行四边形所有性质．
（3）正方形：①正方形的四个角都是直角，四条边都相等．②正方形的两条对角线相等，并且互相垂直
平分，每条对角线平分一组对角．
2．判定：
（1）矩形：①有一个角是直角的平行四边形是矩形．②对角线相等的
平行四边形是矩形．③有三个角是直角的四边形是矩形．
（2）菱形：①对角线互相垂直的平行四边形是菱形．②一组邻边相等
的平行四边形是菱形．③四条边都相等的四边形是菱形．
（3）正方形：①有一个角是直角的菱形是正方形．②有一组邻边相等
的矩形是正方形．③对角线相等的菱形是正方形．④对角线互相垂直的矩形是正方形． 3.面积计算：
（1）矩形：S=长×宽；（2）菱形：121
2
S l l =⋅（12l l 、是对角线） （3）正方形：S=边长2
三、 专题讲解
考点一、特殊平行四边形的性质
【例１】如图,矩形ABCD 的对角线相交于点O ，OF ⊥BC ，CE ⊥BD ，OE ∶BE=1∶3，OF=4，求∠ADB
的度数和BD 的长.
解：由矩形的性质可知OD=OC.
又由OE ∶BE=1∶3可知E 是OD 的中点.
又因为CE ⊥OD ，根据三线合一可知OC=CD,即OC=CD=OD ，即△OCD 是等边三角形,故∠CDB=60°. 所以∠ADB=30°.
又由矩形是轴对称图形得CD=2OF=8, 即BD=2OD=2CD=16.
把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠,EM 、FM 为折痕,折叠后的C 点落在B′M 或B′M 的延长线上,
那么∠EMF 的度数是( )
A.85°
B.90°
C.95°
D.100° 解析：∠EMF=∠EMB′+∠FMB′=
21∠BMC′+21∠CMC′=2
1
×180°=90°答案:B 考点二、会用“阶梯型”思路判定特殊平行四边形
【例 ２】如图,在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，DE 垂直平分BC ，垂足为D ，交AB 于点E.
又点F 在DE 的延长线上，且AF=CE.求证：四边形ACEF 是菱形. 答案:证明：∵∠ACB=90°，DE 是BC 的中垂线， ∴E 为AB 边的中点.
∴CE=AE=BE. ∵∠BAC=60°， ∴△ACE 为正三角形.
在△AEF 中，∠AEF=∠DEB=∠BAC=60°，而AF=CE ， 又CE=AE, ∴AE=AF.
∴△AEF 也为正三角形. ∴∠CAE=∠AEF=60°. ∴AC EF.
∴四边形ACEF 为平行四边形.
又CE=AC，∴平行四边形ACEF为菱形.
如图，在ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G．（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论．【解析】（1）∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠1=∠C，AD=CB，AB=CD．
∵点E、F分别是AB、CD的中点，
∴AE=1
2
AB，CF=
1
2
CD．
∴AE=CF．
∴△ADE≌△CBF．
（2）当四边形BEDF是菱形时，四边形AGBD是矩形．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∵AG∥BD，
∴四边形AGBD是平行四边形．
∵四边形BEDF是菱形，
∴DE=BE．
∵AE=BE，
∴AE=BE=DE．
∴∠1=∠2，∠3=∠4．
∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
∴2∠2+2∠3=180°．
∴∠2+∠3=90°．
即∠ADB=90°，
∴四边形AGBD是矩形．
考点三、作辅助线构造特殊平行四边
【例3】如图E是矩形ABCD的边AD上一点，BE=ED，P是对角线BD上任意一点，PF⊥BE,PG⊥AD,垂足分别为F,G.求证：PF+PG=AB
如图，点M是矩形ABCD的边AD中点，点P是BC边上一动点，PE⊥MC，
PF⊥BM，垂足分别为E、F，
（1）当四边形PEMF为矩形时，矩形ABCD的长与宽应满足什么条件？
（2）在（1）中，当点P运动到什么位置时，四边形PEMF变为正方形？为什
么？
考点四、会解决与特殊平行四边形有关的动手操作问题
【例4】如图,在一张长12 cm 、宽5 cm 的矩形纸片内，要折出一个菱形.李颖同学按照取两组对边中点
的方法折出菱形EFGH （见方案一），张丰同学按照沿矩形的对角线AC 折出∠CAE=∠DAC ，∠ACF=∠ACB 的方法得到菱形AECF （见方案二），请你通过计算，比较李颖同学和张丰同学的折法中，哪种菱形面积较大？
解：（方案一）S 菱形=S 矩形-4S △AEH =12×5-4×21
×6×2
5=30（cm 2）. （方案二）设BE=x ，则CE=12-x, ∴AE=22225x AB BE +=
+.
因为四边形AECF 是菱形，则AE 2=CE 2, ∴25+x 2=(12-x)2. ∴x=
24
119
. ∴S 菱形=S 矩形-2S △ABE =12×5-2×2
1×5×
24
119
≈35.21(cm 2). 经比较可知，(方案二)张丰同学所折的菱形面积较大.
如图，在矩形纸片ABCD 中，AB=33，BC=6，沿EF 折叠后，点C 落在AB 边上的点P
处，点D 落在点Q 处，AD 与PQ 相交于点H ，∠BPE=30°． （1）求BE 、QF 的长．（2）求四边形PEFH 的面积．
