第四章 总体均数的估计

第四章
抽样误差与区间估计
一、均数的抽样误差
抽样的目的是用样本信息来推断总体特征，因此要 保证样本的可靠性和代表性，使样本能够充分地反映总 体的真实情况。这就要求严格遵循独立性和随机化的原 则，并保证足够的样本含量。 为了解某地成年男子红细胞的总体均数，随机抽样 调查了200人，计算得到 － ＝4.95 1012 / L 这是一个点估计值，可以用来估计总体均数μ。但此时 样本均数不太可能等于总体均数。
在实际工作中，总体标准差常是未知的而是用样本 s 标准差s 来代替， x 的估计值记作 x 。
sx S n
从 N(4.83, 0.522)的总体中作随机抽样，n=10, 重复100次的抽样结果见P31。计算得到：
＝4.282 ＝
100
－
S - 0.18

GG
20
10
Frequency
S 0.57 1012 / L
估计其抽样误差：
S

0.57 200
0.040(1012 / L )
标准误的用途
标准误是反映样本均数变异程度的指标，常用来 表示抽样误差的大小。标准误大反映样本均数抽样误 差大，其对总体均数的代表性差；标准误小，样本均 数抽样误差就小，其对总体均数的代表性就好。
–
–
二者都是单峰分布，以0为中心，左右两侧对称。
t 分布的峰部较矮而尾部翘得较高，说明远侧 t 值的个 数相对较多，即尾部面积（概率P）较大。自由度越小 这种情况越明显。 t分布不是一条曲线，而是由一簇随自由度改变而变化 的曲线所组成。当逐渐增大时，t 分布逐渐逼近标准 正态分布；当 = 时，t分布就完全成为标准正态分布 了。
10.9 2.093 3.86/ 20 9.112.7
所以该人群皮试的平均浸润直径的95%可信 区间为9.1~12.7mm 。
可信区间的两个要素
准确度：反映在可信度1-的大小，即区间包含总体 均数的概率的大小，当然愈接近1愈好； 精度：反映在区间的长度，当然长度愈小愈好。
在样本例数确定的情况下，二者是矛盾的。一般情 况下，在可信度确定的情况下，增加样本例数，可 减少区间长度，提高精度。
总体均数的估计
参数估计是通过样本指标（统计量）来估计总体指标 （参数）。它包括两种方法：
–
点（值）估计（point estimation）：即把样本统计 量直接作为总体参数的估计值，如用样本均数来估计 总体均数。这种方法虽然很简单，但是未涉及随机误 差，而随机误差在抽样研究中是不可忽视的。 区间估计（interval estimation）即按一定的概率估 计总体均数在哪个范围，它把抽样误差引入估计量， 确定具有特定概率意义的区间。
标准差和标准误的区别 用途
–
标准差表示观察值间波动的大小，如精密度的大小， 当资料服从正态或近似正态分布时，可结合均数估 计正常值范围：
x u s
–
标准误表示抽样误差的大小，用于估计总体参数的 可信区间：
x t , s x
标准差、标准误与样本含量的关系
标准差随着样本量的增多，逐渐趋于稳定，如同地 区、同年龄、同性别儿童的身高、体重的标准差，当样 本含量达到约200以上时，基本趋于稳定。 标准误随着样本量的增多而减小，如均数的标准误， 当标准差不变时，与样本量的平方根呈反比。 当样本含量趋近于总体例数时，则样本标准差趋于 稳定，近似等于总体标准差；标准误则趋近于0，抽样误 差几乎消失。
Std. Dev = .18 Mean = 4.83 0 4.31 4.44 4.56 4.69 4.81 4.94 5.06 5.19 4.38 4.50 4.63 4.75 4.88 5.00 5.13 5.25 N = 100.00
GG
随机抽样调查了200人，计算得到 :
－
＝4.95 1012 / L
–
可信区间与参考值范围
可信区间是从总体中作随机抽样，每个样本可以算出 一个可信区间，如95%可信区间，意味着100次抽样，算 得100个可信区间，平均有95个可信区间包括总体均数 （估计正确），只有5个可信区间不包括总体均数（估计 错误）。5%是小概率事件，实际发生的可能性小，因此， 在实际应用中就认为总体均数在算得的可信区间内, 这种 估计方法会冒5%犯错误的风险。 参考值范围是指同质总体中大多数个体变量值的分布 范围。95%参考值范围指同质总体中95%的个体值分布在 此范围内。它与标准差有关，各个体值变异越大，该范围 越宽，分布也越分散。
标准误可用于计算总体均数的可信区间，也是进 行假设检验的基础。
标准差和标准误的区别
意义： – 标准差描述个体值间的变异程度，即观察值间的离 散度，标准差小，表示观察值围绕均数的波动较小。 当观察值呈正态或近似正态分布时，可将均数及标 准差同时写出，如 。 xs
–
标准误描述统计量的抽样误差的大小，即样本统计 量与总体参数的接近程度。标准误小，表示抽样误 差小，则统计量较稳定，与参数较接近。
如由表查出单侧t0.05,10=1.812，表示从正态总体 作样本例数为11的随机抽样，其t 值服从=n-1=111=10的t 分布，理论上 P(t≤-1.812)=0.05，或P(t≥1.812)=0.05 用更一般的表示法为 – 单侧：P(t≤-tα,ν)=α，或P(t≥tα,ν)=α – 双侧：P(t≤-tα,ν)+P(t≥tα,ν)=α 反之 P(-tα,ν<t<tα,ν)=1-α
x
n
若上式中的 是未知的，可用样本标准差s代替 总体标准差 ，此时采用的不是 u 变换而是 t 变换了， 即：
x x t s sx n
其结果就不再服从标准正态分布了，而是服从自 由度为n-1 的 t 分布。
t 分布也是一种对称分布，它只有一个参数，即自由度。 t 分布与标准正态分布相比有以下特征：
可信区间和可信限
可信限（CL）分别指两个点值。 可信区间（常简记为CI）是以上、下可信限为界 的一个范围。
–
比如可信区间(5.31, 5.45)1012/L的下限是 5.311012/L，上限是5.451012/L 。
区间估计
设有一正态总体N（μ,2），现从中随机抽取一个
样本，该样本的均数和标准差分别用 和s表示，样 x 本均数的标准t离差服从t分布，则可信度为（1- ） 的t值满足： P(-tα,ν< t < tα，ν)=1- 将
小结
在正态总体N（μ,2）中作随机抽样，样本均数的 分布呈正态分布，当总体标准差未知，用 sx 作为标准误 的估计值，样本均数的分布呈t分布，t分布是随自由度 的改变而变化的一簇曲线，因此应注意自由度的大小。 参数估计是通过样本指标来估计总体指标。 点（值）估计：即把样本统计量直接作为总体参数的 估计值。 区间估计即按一定的概率估计总体均数在哪个范围。 它把抽样误差引入估计量，是确定具有特定概率意义的 区间。
从均数为μ，标准差为的正态或偏态总体中，抽取 例数为n的样本，样本均数的均数 x ，标准差 为 。 x
–
x 是样ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ均数的标准差也称为标准误，它反映了样
本均数与总体均数之间的离散程度，常用以说明均数 抽样误差的大小。
标准误的计算公式如下： x
n
该式反映了标准误 x 的大小与标准差 呈正比， 与样本量的平方根呈反比。因此，在抽样研究中，可 适当增加样本含量，控制和减小抽样误差。
未知时。一般用t分布的原理作区间估计。
x t , s / n x t , s / n
x u / n x u / n
已知
未知，但n足够大
x u s / n x u s / n
例：对某人群随机抽取20人，用某批号的结 核菌素作皮试，平均浸润直径为10.9mm，标准差 为3.86mm。问这批结核菌素在该人群中使用时， 皮试的平均浸润直径的95%可信区间是多少？ 查附表，t0.05,19=2.093
–
t 界值
统计学家已将各种自由度对应的t分布曲线下的 尾部面积（概率）的百分界值编制成t界值表。 由于t分布是以0为中心的对称分布，故表中只 列出正值，所以查表时，不管t 值正负只用绝对值。
表右上角插图中阴影部分，表示tα,ν以外尾部面 积占总面积的百分数，即概率P。
随着自由度的增大，t界值逐渐减小，当自由度 无穷大时，双侧t0.05=1.96，单侧t0.05,=1.645，即为u 分布的界值。
这种由个体变异产生的、随机抽样而引起的统计 量与总体参数间的差异称为的抽样误差（sampling error），在抽样研究中抽样误差是不可避免的，只要 抽样就会有抽样误差存在，但是抽样误差的分布有一 定的规律性，并且可以通过一定的方法来估计。
根据数理统计原理，样本均数抽样结果具有如下特点：
–
从正态总体N（μ,2）中，随机抽取例数为n的样本， 样本均数也服从正态分布，即使是从偏态总体中抽样， 当n足够大时，样本均数的分布也服从正态分布；
t x s n
代入不等式，即： t , x t , s n
于是得可信度为1- 时，计算总体均数可信区间 的通式为：
x t , s / n x t , s / n
习惯上，常取1- =0.95， 即95%可信区间；或取 1- =0.99， 即99%可信区间。
二、均数抽样误差的分布－t分布
在总体均数为，标准差为的正态总体中，独立 随机的抽取样本含量为n的样本，则样本均数服从正 态分布 N ( , 2 ) ：
x x
x
其中的分母称为均数的标准误，如果变量是正态 的或近似正态的，则标准化的变量服从或近似服从N （0，1）分布，即u分布。
x u 将样本均数标准化，则： x