人教版高中数学必修一《集合与函数概念》之《用计算机绘制函数图像》学案及即时练习

画板绘制函数y=0.5|x| • （2）绘制该函数在区间[-3,3]上的函数图像
本课小结
• 通过本课的学习你学到了什么？ • 1几何画板的初步使用。 • 2初等函数的图像与性质。
课后作业：
• 请同学们在课余时间自学几何画板软件，探究几何画板的精彩世 界。
用计算机绘制函数图像
问题1：分别做出函数y=2x2+3x+1； y=-x2+3x+1; y=6x2+3x+1的图像， 你有什么发现？
• 例1：利用几何画板作出函数y=ax2+3x+1的图像，探究a 对图像的影响。
问题2、以小组为单位设计一个活动方案探究 指数函数的图像与性质，并上机操作实践。
问题3、以小组为单位设计一个活动方案 探究对数函数的图像与性质，并上机操作实践。

《函数的单调性》教学设计一、教学内容解析本节课是北师大版《数学》（必修1）第二章第3节函数单调性的第一课时，主要学习用符号语言（不等式）刻画函数的变化趋势（上升或下降）及简单应用．它是学习函数概念后研究的第一个、也是最基本的一个性质，为后继学习奠定了理性思维基础．如研究幂函数、指数函数、对数函数和三角函数的性质，包括导函数内容等；在对函数定性分析、求最值和极值、比较大小、解不等式、函数零点的判定以及与其他知识的综合问题上都有重要的应用．因此，它是高中数学核心知识之一，是函数教学的战略要地．2．教学重点函数单调性的概念，判断和证明简单函数的单调性．3．教学难点函数单调性概念的生成，证明单调性的代数推理论证．二、学生学情分析1．教学有利因素学生在初中阶段，通过学习一次函数、二次函数和反比例函数，已经对函数的单调性有了“形”的直观认识，了解用“随的增大而增大（减小）”描述函数图象的上升（下降）的趋势．亳州一中实验班的学生基础较好，数学思维活跃，具备一定的观察、辨析、抽象概括和归纳类比等学习能力．2．教学不利因素本节课的最大障碍是如何用数学符号刻画一种运动变化的现象，从直观到抽象、从有限到无限是个很大的跨度．而高一学生的思维正处在从经验型向理论型跨越的阶段，逻辑思维水平不高，抽象概括能力不强．另外，他们的代数推理论证能力非常薄弱．这些都容易产生思维障碍．三、课堂教学目标1．理解函数单调性的相关概念．掌握证明简单函数单调性的方法．2．通过实例让学生亲历函数单调性从直观感受、定性描述到定量刻画的自然跨越，体会数形结合、分类讨论和类比等思想方法．3．通过探究函数单调性，让学生感悟从具体到抽象、从特殊到一般、从局部到整体、从有限到无限、从感性到理性的认知过程，体验数学的理性精神和力量．4．引导学生参与课堂学习，进一步养成思辨和严谨的思维习惯，锻炼探究、概括和交流的学习能力．四、教学策略分析在学生认识函数单调性的过程中会存在两方面的困难：一是如何把“随的增大而增大（减小）”这一描述性语言“翻译”为严格的数学符号化语言，尤其抽象概括出用“任意”刻画“无限”现象；二是用定义证明单调性的代数推理论证．对高一学生而言，作差后的变形和因式符号的判断也有一定的难度．为达成课堂教学目标，突出重点，突破难点，我们主要采取以下形式组织学习材料：1．指导思想．充分发挥多媒体形象、动态的优势，借助函数图象、表格和几何画板直观演示．在学生已有认知基础上，通过师生对话自然生成．2．在“创设情境”阶段．观察并分析沙漠某天气温变化的趋势，结合初中已学函数的图象，让学生直观感受函数单调性，明确相关概念．3．在“引导探索”阶段．首先创设认知冲突，让学生意识到继续学习的必要性；然后设置递进式“问题串”，借助多媒体引导学生对“随的增大而增大”进行探究、辨析、尝试、归纳和总结，并回顾已有知识经验，实现函数单调性从“直观性”到“描述性”再到“严谨性”的跨越．4．在“学以致用”阶段．首先通过3个判断题帮助学生从正、反两方面辨析，逐步形成对概念正确、全面而深刻的认识．然后教师示范用定义证明函数单调性的方法，一起提炼基本步骤，强化变形的方向和符号判定方法．接着请学生板演实践．五、教学过程（一）创设情境，引入课题实例科考队对沙漠气候进行科学考察，下图是某天气温随时间的变化曲线．请你根据曲线图说说气温的变化情况？问题1：观察下列函数图象，请你说说这些函数有什么变化趋势？设计说明：学生回答时可能会漏掉“在某区间上”，规范表达“函数在哪个区间上具有怎样的单调性”．借此强调函数的单调性是相对某区间而言的，是函数的局部性质．设函数的定义域为，区间．在区间上，若函数的图象（从左向右）总是上升的，即随的增大而增大，则称函数在区间上是递增的，区间称为函数的单调增区间（学生类比定义“递减”，接着推出下图，让学生准确回答单调性．）设计说明：从图象直观感知到文字描述，完成对函数单调性的第一次认知．明确相关概念，准确表述单调性．学生认为单调性的知识似乎够用了，为下面的认知冲突做好铺垫．（二）引导探索，生成概念问题2：（1）下图是函数的图象（以为例），它在定义域R 上是递增的吗？ （2）函数在区间上有何单调性？（三）学以致用，理解感悟 1 (2016·百校联盟)已知函数f(x)＝－lnx ＋t(x －1)，t 为实数．(1)讨论函数f(x)在(0，1]上的单调性；(2)若当t ＝12时，k x －12－f(x)<0在(1，＋∞)上恒成立，求实数k 的取值范围．【解析】 (1)∵f(x)＝－lnx ＋t(x －1)，x ∈(0，1]，∴f ′(x)＝－1x ＋t ＝tx －1x .(1分)①当t ≤0时，f ′(x)<0，则f(x)在(0，1]上单调递减；(2分)②当0<t ≤1时，f ′(x)＝t （x －1t ）x ≤0，则f(x)在(0，1]上单调递减；(3分)③当t>1时，若x ∈(0，1t )，则f ′(x)<0；若x ∈(1t ，1]，则f ′(x)>0，∴f(x)在(0，1t )上单调递减，在(1t ，1]上单调递增．综上所述，当t ≤1时，f(x)在(0，1]上单调递减；(5分)当t>1时，f(x)在(0，1t )上单调递减，在(1t ，1]上单调递增．(2)当t ＝12时，f(x)＝－lnx ＋x 2－12，k x －12－f(x)＝k x －12－(－lnx ＋x 2－12)＝lnx －x 2＋k x ，当x>1时，k x －12－f(x)<0恒成立，等价于k<x 22－xlnx 在(1，＋∞)上恒成立．(7分)令g(x)＝x 22－xlnx ，则g ′(x)＝x －(lnx ＋1)＝x －1－lnx.(8分)令h(x)＝x －1－lnx ，则h ′(x)＝1－1x ＝x －1x.当x>1时， h ′(x)>0，函数h(x)＝x －1－lnx 在(1，＋∞)上单调递增，故h(x)>h(1)＝0.(9分)从而当x>1时，g ′(x)>0，即函数g(x)在(1，＋∞)上单调递增，故g(x)>g(1)＝12，(10分),∴实数k 的取值范围是(－∞2．(2016·长沙四校联考)设函数f(x)＝ax 2－lnx ＋1(a ∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间；，12]解析 (1)由于f(x)＝ax 2－lnx ＋1(a ∈R)，故f ′(x)＝2ax －1x ＝2ax 2－1x (x>0)． ① 当a ≤0时，f ′(x)<0在(0，＋∞)上恒成立，∴f(x)在(0，＋∞)上是单调递减函数②当a>0时，令f ′(x)＝0，得x ＝12a .当x 变化时，f ′(x)，f(x)随x 的变化情况如下表： x (0，12a ) 12a(12a ，＋∞) f ′(x) － 0＋ f(x)极小值f(x)在(0，12a )上是递减函数,在(12a ，＋∞)上是递增函数3 (2016·山西四校联考)已知函数f(x)＝x －alnx ，g(x)＝－1＋a x(a ∈R)． (1)设函数h(x)＝f(x)－g(x)，求函数h(x)的单调区间；【解析】 (1)h(x)＝x －alnx ＋1＋a x ，定义域为(0，＋∞)，h ′(x)＝1－a x －1＋a x 2＝x 2－ax －（1＋a ）x 2＝（x ＋1）[x －（1＋a ）]x 2，(2分) ①当a ＋1>0，即a>－1时，∵x>0，令h ′(x)>0，∴x>1＋a.令h ′(x)<0，得0<x<1＋a ，故h(x)在(0，1＋a)上单调递减，在(1＋a ，＋∞)上单调递增．②当a ＋1≤0，即a ≤－1时，h ′(x)>0恒成立，h(x)在(0，＋∞)上单调递增． 综上，当a>－1时，h(x)的单调递减区间为(0，1＋a)，单调递增区间为(1＋a ，＋∞)．当a ≤－1时，h(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间．(5分) 4 (2016·开封模拟)已知函数f(x)＝xlnx ＋ax(a ∈R)．(1)若函数f(x)在区间[e 2，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围；【解析】 (1)由f(x)＝xlnx ＋ax ，得f ′(x)＝lnx ＋a ＋1，∵函数f(x)在区间[e 2，＋∞)上为增函数，∴当x ∈[e 2，＋∞)时，f ′(x)≥0，(2分)即lnx ＋a ＋1≥0在区间[e 2，＋∞)上恒成立，∴a ≥－1－lnx.又当x ∈[e 2，＋∞)时，lnx ∈[2，＋∞)，∴－1－lnx ∈(－∞，－3]．∴a ≥－3.(5分)5 (2016·河南六市联考)已知函数f(x)＝alnx －x ，g(x)＝x 2－(1－a)x －(2－a)lnx ，其中a ∈R.(1)若g(x)在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围；【解析】(1)g′(x)＝2x－(1－a)－2－ax＝2x2－（1－a）x－（2－a）x，∵g(x)的定义域为{x|x>0}，且g(x)在其定义域内为增函数，∴g′(x)≥0在x>0时恒成立，(2分)则2x2－(1－a)x－(2－a)≥0在x>0时恒成立，∴a≥5－[2(x＋1)＋1x＋1]在x>0时恒成立．而当x>0时，2(x＋1)＋1x＋1>3，∵a∈[2，＋∞)．(5分)（四）回顾反思，深化认识课堂小结：通过本节课的学习，你的主要收获有哪些？设计说明：先给出问题，要求学生自主小结，再推出引导性关键词，使得总结简明、到位、拔高．（五）布置作业课堂作业：．设计说明：课堂作业是为及时巩固初学的知识和方法，完善对“对勾函数”的认识．探究题是为培养学生运用数学的意识（从地理情境开始，中间解答物理定律，最后以化学实验结束），感受数学的实用性和人文性．（六）板书设计函数的单调性递增：（板书定义）递减：（学生类比）例题（提炼步骤，明确变形方向）练习（学生板演）六、教后反思反思“三个理解”的理解程度、教学策略和落实情况等．。

五、教学设计
教学环节
起止时间（’”- ’”）
环节目标
教学内容
学生活动
媒体作用及分析
1、背景导入
0’0”- 2’28”
拓展知识，了解世界上第一台计算机的历史，体会计算机运算速度快的优点。
世界上第一台计算机诞生于1946年，每秒可进行5000次加法运算。
思考，回答问题
普米白板工具展示图片，书写功能。
2、主题介绍
学生能够用《图形科学计算器》绘制函数图像，并分析函数图像性质。
教师介绍《图形科学计算器》基本功能，小组实验，分析函数图像性质。
小组比拼，操作实验，分析函数图像性质，并在全班讲解展示成果。
利用图形科学计算器绘图；结合实物展台，及时展示学生设计实验结果。
6、抢答环节
35’24”- 43’50”
熟悉图形科学计算器的使用，快速绘制函数图像并分析函数性质。
2’28”- 3’30”
了解本节课主要学习的三种软件。
函数绘图软件工具的介绍。
思考，回答问题
普米白板工具展示图片，书写、标注圈点功能。
3、Excel
3’30”- 10’34”
学生能够用Excel绘制函数图像。
阅读教材，完成挑战，让学生自己操作Excel绘制函数图像，教师总结。
学生自己操作Excel绘制函数y=x3的图像。
附表
教学设计表
一、基本信息
用计算机绘制函数图像
学科（版本）
人教A版（必修1）
章节
1.3
学时
1课时
年级
高一
二、教学目标
（一）知识与技能：使学生学会使用计算机软件工具绘制函数图像。能用“ Excel”列表的方式绘制简单的函数图像；能用《几何画板》绘制带动态参数的函数图像，并进一步分析参数对函数图像的影响。能用《图形科学计算器》绘制函数图像，并分析函数的基本性质。

数学人教B必修1第二章2.1.5 用计算机作函数的图象(选学)1．结合具体函数，了解函数的奇偶性的含义．2．会根据奇偶性的定义判断和证明函数的奇偶性．3．会利用奇偶性来研究函数的定义域、值域、解析式、单调性及函数的图象等．1．在奇函数和偶函数的定义中，都要求x∈D，－x∈D，这就是说一个函数不论是奇函数还是偶函数，它的定义域一定关于坐标原点对称．【做一做1－1】函数f(x)＝1x，x∈(0,1)的奇偶性是()A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既是奇函数又是偶函数【做一做1－2】下列条件可以说明函数y＝f(x)是偶函数的是()A．在定义域内存在x，使得f(－x)＝f(x)B．在定义域内存在x，使得f(－x)＝－f(x)C．对定义域内任意x，都有f(－x)＝－f(x)D．对定义域内任意x，都有f(－x)＝f(x)2．奇、偶函数的图象特征(1)如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以______为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以____为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．(2)如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以____为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于____对称，则这个函数是偶函数．【做一做2－1】函数f(x)＝1x－x的图象关于()A．y轴对称B．直线y＝－x对称C．坐标原点对称D．直线y＝x对称【做一做2－2】函数f(x)是偶函数，则其图象() A．关于原点对称B．关于x轴对称C．关于y轴对称D．关于直线y＝x对称3．(选学)用计算机图形技术作函数图象的指令步骤(1)给_______赋值；(2)给出____，求对应的y值；(3)由x和对应的y值组成______集合；(4)建立直角坐标系，并根据______，在直角坐标系中作出对应的____；(5)通过这些____描出函数的图象．注意：只要函数的____________已知，就能画出函数的图象．一、解读函数的奇偶性剖析：(1)函数的奇偶性与单调性的差异．奇偶性是函数在定义域上的对称性，单调性是反映函数在某一区间上函数值的变化趋势．奇偶性是相对于函数的整个定义域来说的，这一点与函数的单调性不同，从这个意义上来讲，函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质，只有对定义域中的每一个x，都有f(－x)＝－f(x)(或f(－x)＝f(x))，才能说f(x)是奇(偶)函数．(2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．由函数奇偶性的定义知，若x是定义域中的一个数值，则－x必然在定义域中，因此，函数y＝f(x)是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是定义域关于原点对称．换言之，若所给函数的定义域不关于原点对称，则函数一定不具有奇偶性．如函数y＝2x在(－∞，＋∞)上是奇函数，但在[－2,3]上不具有奇偶性．(3)根据函数奇偶性的定义，函数可分为奇函数、偶函数、非奇非偶函数、既是奇函数又是偶函数．尤其要注意f(x)＝0，x∈A，若定义域A关于原点对称，则它既是奇函数又是偶函数．(4)若函数f(x)是奇函数，且在x＝0处有意义，那么一定有f(0)＝0.但要注意，反之结论是不一定成立的．奇函数在其对称区间上的单调性相同，偶函数在其对称区间上的单调性相反；若奇函数f(x)在区间[a，b](0＜a＜b)上有最大值M，最小值m，则f(x)在区间[－b，－a]上的最大值为－m，最小值为－M；偶函数f(x)在区间[a，b]，[－b，－a](0＜a＜b)上有相同的最大(小)值．二、判断函数奇偶性的几种方法剖析：判断函数的奇偶性，常用的有定义法、图象法、性质法．(1)根据函数奇偶性的定义判断，其基本步骤为：①考察定义域是否关于原点对称．若函数没有标明定义域，应先找到使函数有意义的x 的集合，因为它是判断函数奇偶性的一个重要依据，如果一个函数的定义域关于坐标原点不对称，那么这个函数既不是奇函数，也不是偶函数．如函数f(x)＝x4＋1，x∈[－1,2]，由于它的定义域不关于原点对称，当1＜x≤2时，f(－x)没有定义，所以它不符合奇、偶函数的定义，故f(x)＝x4＋1，x∈[－1,2]是非奇非偶函数．②判断f(－x)与f(x)的关系．这是因为定义域关于原点对称的函数也不一定是奇(偶)函数．如f(x)＝x2＋x，g(x)＝x3＋1，它们的定义域都是R，因为f(－x)＝(－x)2＋(－x)＝x2－x≠f(x)(或－f(x))，所以它是非奇非偶函数．同理可证g(x)＝x3＋1也是非奇非偶函数．③得出结论．(1)定义域关于原点对称，且满足f (－x )＝－f (x )＝f (x )的函数既是奇函数又是偶函数，如f (x )＝0，x ∈R ，f (x )＝0，x ∈[－2,2]，f (x )＝0，x ∈(－1,1)等，应注意：既是奇函数又是偶函数的函数有无数个．(2)分段函数的奇偶性的判断方法的关键是搞清x 与－x 的所在范围及其对应的函数关系式，并且函数在每一个区间上的奇偶性都应进行判断，而不能以其中一个区间来代替整个定义域．(3)判断函数的奇偶性有时可用定义的等价形式f (－x )±f (x )＝0或f (－x )f (x )＝±1(f (x )≠0)来代替．(2)有时可以直接借助函数的图象，如：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称等，从而直观地判断函数的奇偶性．(3)根据性质来判断函数的奇偶性，偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．(注：利用上述结论要注意各函数的定义域)特别地：F 1(x )＝f (x )＋f (－x )为偶函数，F 2(x )＝f (x )－f (－x )为奇函数．题型一 判断函数的奇偶性【例1】判断下列函数是奇函数还是偶函数，并说明理由．(1)f (x )＝x 3＋2x ；(2)f (x )＝x 2－|x |＋1；(3)f (x )＝x 3(x －1)x －1. 分析：用定义判断函数的奇偶性时，先看定义域是否关于原点对称，再看f (－x )与f (x )的关系，从而判断函数的奇偶性．反思：判断函数奇偶性的主要依据就是奇偶性的定义．若一个函数是非奇非偶函数，有时只要说明它的定义域不关于原点对称即可，而不必套用作差法进行检验，或者利用特殊值检验．题型二 由奇偶性求函数的解析式【例2】若f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＜0时，f (x )＝x (1－x )，求当x ≥0时，函数f (x )的解析式．分析：利用奇函数满足f (－x )＝－f (x )，将x ＜0时f (x )的解析式转化到x ＞0上．反思：注意求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为x ，然后把x 转化为－x ，则－x 为另一已知解析式的区间上的变量，通过互化，求得所求区间上的解析式．题型三 函数奇偶性的应用【例3】已知函数f (x )＝1x 2＋1，令g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫1x . (1)如图，已知f (x )在区间[0，＋∞)上的图象，请据此在该坐标系中补全函数f (x )在定义域内的图象，请说明你的作图依据；(2)求证：f (x )＋g (x )＝1(x ≠0)．分析：先判断f (x )的奇偶性，然后根据图象特征补全图象；证明f (x )＋g (x )＝1的关键是先求出g (x )的解析式．反思：在研究函数的图象时，要注意对函数性质的研究，这样可避免作图的盲目性和复杂化．题型四 奇偶性与单调性的综合应用【例4】函数f (x )＝ax ＋b 1＋x 2是定义在(－1,1)上的奇函数，且f ⎝⎛⎭⎫12＝25. (1)确定函数f (x )的解析式；(2)用定义证明f (x )在(－1,1)上是增函数；(3)解不等式：f (t －1)＋f (t )＜0.分析：(1)利用f (0)＝0与f ⎝⎛⎭⎫12＝25解出a ，b 的值即可；(2)利用单调性的定义证明；(3)将f (t －1)＋f (t )＜0等价化归为f (t －1)＜－f (t )＝f (－t )，再利用单调性将抽象不等式化为具体不等式．反思：函数的单调性、奇偶性是函数的重要性质，这两部分内容与函数的其他性质经常结合在一起，出现一些难度较大的综合题．解题的关键是化归思想及数形结合思想的充分利用．题型五 易错辨析【例5】判断函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x <0，x 3，x ≥0的奇偶性． 错解：∵当x ＜0时，f (－x )＝(－x )2＝f (x )，当x ≥0时，f (－x )＝(－x )3＝－x 3＝－f (x )，∴当x ＜0时，函数f (x )是偶函数；当x ≥0时，函数f (x )是奇函数．反思：判断分段函数的奇偶性要注意对定义域内的任意x 均要验证其是否满足f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )，然后再综合整体情况下结论．当然对既不是奇函数也不是偶函数的情况只要举出反例即可．1下列函数中，是偶函数的是( )A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝xC ．f (x )＝1xD ．f (x )＝x ＋x 3 2有下列说法：①偶函数的图象一定与y 轴相交：②若y ＝f (x )是奇函数，则由f (－x )＝－f (x )可知f (0)＝0；③既是奇函数又是偶函数的函数一定是f (x )＝0，x ∈R ；④若一个图形关于y 轴成轴对称，则该图形一定是偶函数的图象．其中不正确的是( )A ．①②B ．①④C ．①②④D ．①②③④3已知x ≥0时，f (x )＝x －2 011，且知f (x )是定义在R 上的偶函数，则当x ＜0时，f (x )的解析式是__________．4如果奇函数f (x )在区间[3,7]上是增函数，且最小值是5，那么f (x )在区间[－7，－3]上的最__________(填“大”或“小”)值为__________．5判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝2x 4＋3x 2；(2)f (x )＝x 3＋13x ；(3)f (x )＝x ＋1.答案：基础知识·梳理1．－x ∈D f (－x )＝－f (x ) －x ∈D g (－x )＝g (x )【做一做1－1】C【做一做1－2】D2．(1)坐标原点 坐标原点 (2)y 轴 y 轴【做一做2－1】C f (x )＝1x－x 是奇函数，所以图象关于坐标原点对称． 【做一做2－2】C3．(1)自变量x (2)计算法则 (3)有序数对 (4)有序数对 点集 (5)点集 表达式 典型例题·领悟【例1】解：(1)函数的定义域为R ，它关于原点对称，又f (－x )＝(－x )3＋2(－x )＝－x 3－2x ＝－(x 3＋2x )，即f (－x )＝－f (x )，所以函数f (x )是奇函数．(2)函数的定义域为R ，它关于原点对称，又f (－x )＝(－x )2－|－x |＋1＝x 2－|x |＋1，即f (－x )＝f (x )，所以函数f (x )是偶函数．(3)因为函数的定义域为{x |x ≠1}，它不关于原点对称，所以函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数．【例2】解：∵f (x )是奇函数，∴当x ＞0时，－x ＜0，f (x )＝－f (－x )＝－{(－x )[1－(－x )]}＝x (1＋x )，当x ＝0时，f (0)＝－f (0)，即f (0)＝0.∴当x ≥0时，f (x )＝x (1＋x )．【例3】解：(1)∵f (x )＝1x 2＋1，∴f (x )的定义域为R .又对任意x ∈R ，都有f (－x )＝1(－x )2＋1＝1x 2＋1＝f (x )， ∴f (x )为偶函数．∴f (x )的图象关于y 轴对称，其图象如下图所示．(2)证明：∵g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1⎝⎛⎭⎫1x 2＋1＝x 21＋x 2(x ≠0)， ∴f (x )＋g (x )＝11＋x 2＋x 21＋x 2＝1＋x 21＋x 2＝1， 即f (x )＋g (x )＝1(x ≠0)．【例4】解：(1)依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝0，f ⎝⎛⎭⎫12＝25， 即⎩⎪⎨⎪⎧ b 1＋02＝0，a 2＋b 1＋14＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0.∴f (x )＝x 1＋x 2. (2)证明：设x 1，x 2是(－1,1)内的任意两个不相等的实数，且－1＜x 1＜x 2＜1，则Δx ＝x 2－x 1＞0，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＝x 21＋x 22－x 11＋x 12＝(x 2－x 1)·(1－x 1x 2)(1＋x 12)(1＋x 22). ∵－1＜x 1＜x 2＜1，∴x 2－x 1＝Δx ＞0，1＋x 12＞0,1＋x 22＞0，且－1＜x 1x 2＜1，∴1－x 1x 2＞0.∴Δy ＞0.∴f (x )在(－1,1)上是增函数．(3)由f (t －1)＋f (t )＜0，且f (x )为奇函数，得f (t －1)＜－f (t )＝f (－t )．又f (x )在(－1,1)上是增函数，∴－1＜t －1＜－t ＜1，解得0＜t ＜12. 【例5】错因分析：不清楚函数奇偶性是函数的整体性质，是对整个定义域而言的．“当x ＜0时，函数是偶函数；当x ≥0时，函数是奇函数”这种说法本身就是错误的．正解：由已知，得f (x )的定义域关于原点对称．当x ＜0时，－x ＞0，f (－x )＝(－x )3＝－x 3，而x ＜0时，f (x )＝x 2，则－f (x )＝－x 2，所以f (－x )≠f (x )，且f (－x )≠－f (x )，所以函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数．随堂练习·巩固1．A2．D ①中可举反例f (x )＝x 2＋2，x ∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)；②中f (x )在x ＝0处可能无定义；③中也可以是f(x)＝0，x∈A(A为关于原点对称的数集)；④中该图形可能不是函数的图象．故①②③④均错误．3．f(x)＝－x－2 011当x＜0时，－x＞0，∴f(－x)＝－x－2 011.又∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)．∴f(－x)＝－x－2 011可化为f(x)＝－x－2 011.4．大－5根据奇函数在对称区间上的单调性一致并结合图象可得f(x)在[－7，－3]上为增函数，且在－3处取得最大值为f(－3)＝－f(3)＝－5.5．解：由题意可知，三个函数的定义域均为R，关于原点对称．(1)f(－x)＝2(－x)4＋3(－x)2＝2x4＋3x2＝f(x)，所以f(x)是偶函数；(2)f(－x)＝(－x)3＋13()x＝－(x3＋13x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数；(3)f(－x)＝－x＋1，但f(－x)≠f(x)，且f(－x)≠－f(x)，所以f(x)为非奇非偶函数．。