导数复合函数的导数练习题

故在 ， 两点处的切线斜率必须一个是1，一个是-1.
不妨设在A点处切线的斜率为1，
则有 ， ，
则可得 ，
所以 .
故选：B.
【点睛】
关键点睛：解题的关键是利用导数得出切线斜率在 范围内，从而根据垂直得出斜率必须一个是1，一个是-1.
2．（2020·全国高二课时练习）已知函数 的导函数是 ，且 ，则实数 的值为（）
C．向左平移 个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的 倍
D．向左平移 个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍
【答案】D
【分析】
先求得 ，再根据三角函数图像变换的知识，选出正确选项.
【详解】
依题意 ，所以由 向左平移 个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍得到 的图像.
故选：D
【点睛】
本小题主要考查复合函数导数的计算，考查诱导公式，考查三角函数图像变换，属于基础题.
6．（2020·河北张家口市·涿鹿中学高二月考）已知下列四个命题，其中正确的个数有（）
① ，② ，③ （ ，且 ），④
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】A
【分析】
由指数，对数，三角函数的求导公式一一判断即可.
【详解】
① ，所以①错误；
② ，所以②错误；
③ （ ，且 ），所以③错误；
④ ，所以④错误.
．
（Ⅱ）因为 ，所以 ， ，
所以 ．
故函数 在 上单调递减．
当 时， ．
又当 时， ， ，
所以函数 在 上的取值范围是 ．
[说明：对当 时， 的证法：
因为 （当 时，取等号），
所以 ，
而当 时， ，
所以当 时， ．
又 （当，
故当 时， ]

求导数的链式法则练习在微积分中，求导数是非常重要的一个概念。

对于复杂的函数，我们可以利用链式法则来求取其导数。

本文将通过一些练习题来展示链式法则的运用。

1. 练习题1设函数y = f(u)和u = g(x)都是可导函数，求复合函数y = f(g(x))的导数。

解答：根据链式法则，复合函数y = f(g(x))的导数可以表示为：dy/dx = dy/du * du/dx根据已知条件，y = f(u)的导数为dy/du，u = g(x)的导数为du/dx。

因此，要求y = f(g(x))的导数，只需要将这两部分连乘即可。

2. 练习题2设函数y = f(u)和u = g(x)都是可导函数，求复合函数y = f(g(x))的二阶导数。

解答：复合函数y = f(g(x))的二阶导数可以表示为：d²y/dx² = d(dy/dx)/dx利用链式法则，我们可以将dy/dx展开成dy/du * du/dx。

然后对这个表达式再次求导即可得到二阶导数。

d(dy/dx)/dx = d(dy/du * du/dx)/dx= d(dy/du)/dx * du/dx + dy/du * d(du/dx)/dx在这个式子中，我们需要使用到一阶导数的信息。

因此，要求复合函数y = f(g(x))的二阶导数，需要先求取一阶导数，然后再通过链式法则求导。

3. 练习题3设函数y = f(u)和u = g(v)和v = h(x)都是可导函数，求复合函数y = f(g(h(x)))的导数。

解答：根据链式法则，复合函数y = f(g(h(x)))的导数可以表示为：dy/dx = dy/du * du/dv * dv/dx根据已知条件，y = f(u)的导数为dy/du，u = g(v)的导数为du/dv，v = h(x)的导数为dv/dx。

因此，要求y = f(g(h(x)))的导数，只需要将这三部分连乘即可。

通过以上的练习题，我们可以看到链式法则在求导数中的重要性。

专升本导数练习题及答案### 专升本导数练习题及答案#### 练习题一：基础导数计算题目：计算以下函数的导数：1. \( f(x) = 3x^2 + 2x - 5 \)2. \( g(x) = \sin(x) + e^x \)3. \( h(x) = (x^3 - 1)^4 \)解答：1. 对于 \( f(x) = 3x^2 + 2x - 5 \)，我们使用幂函数的导数规则： \[ f'(x) = 6x + 2 \]2. 对于 \( g(x) = \sin(x) + e^x \)，我们分别求导：\[ g'(x) = \cos(x) + e^x \]3. 对于 \( h(x) = (x^3 - 1)^4 \)，我们使用链式法则和幂函数的导数规则：\[ h'(x) = 4(x^3 - 1)^3 \cdot (3x^2) = 12x^2(x^3 - 1)^3 \]#### 练习题二：复合函数的导数题目：计算以下复合函数的导数：1. \( F(x) = (\ln(x))^2 \)2. \( G(x) = \sqrt{x} \cdot \sin(x) \)解答：1. 对于 \( F(x) = (\ln(x))^2 \)，我们使用链式法则和对数函数的导数：\[ F'(x) = 2(\ln(x)) \cdot \frac{1}{x} = \frac{2\ln(x)}{x} \]2. 对于 \( G(x) = \sqrt{x} \cdot \sin(x) \)，我们使用乘积法则： \[ G'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot \sin(x) + \sqrt{x}\cdot \cos(x) \]\[ G'(x) = \frac{\sin(x)}{2\sqrt{x}} + \sqrt{x}\cos(x) \]#### 练习题三：隐函数的导数题目：计算以下隐函数的导数：1. \( x^2 + y^2 = 9 \) 求 \( \frac{dy}{dx} \)2. \( y^3 + xy = 2 \) 求 \( \frac{dy}{dx} \)解答：1. 对于 \( x^2 + y^2 = 9 \)，我们对等式两边求导：\[ 2x + 2y\frac{dy}{dx} = 0 \]\[ \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y} \]2. 对于 \( y^3 + xy = 2 \)，我们对等式两边求导：\[ 3y^2\frac{dy}{dx} + (x + y)\frac{dy}{dx} = 0 \]\[ \frac{dy}{dx}(3y^2 + x + y) = -x \]\[ \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{3y^2 + x + y} \]#### 练习题四：高阶导数题目：计算以下函数的二阶导数：1. \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x \)2. \( g(x) = \ln(x) - e^x \)解答：1. 对于 \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x \)，我们首先求一阶导数： \[ f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 \]然后求二阶导数：\[ f''(x) = 6x - 12 \]2. 对于 \( g(x) = \ln(x) - e^x \)，我们首先求一阶导数：\[ g'(x) = \frac{1}{x} - e^x \]然后求二阶导数：\[ g''(x) = -\frac{1}{x^2} - e^x \]这些练习题涵盖了基础导数计算、复合函数导数、隐函数导数以及高阶导数，是专升本数学考试中常见的题型。

《复合函数求导公式》进阶练习一、选择题xsin)xcos(siny?e y( )1 等于′(0)，则 D 2C －1 A 0B 19?x y=经过原点且与曲线2 相切的方程是( ) 5x?xx yyxxyy=0=0或 B +A +－=0或+ =0 2525xx yxyyxy=0－C －+=0=0或－=0 D 或2525二、填空题)f(xkf(x?)?00xf =_________3 若)=2,′(lim0k20?k ffxxnxxx(0)=_________ ()=则(+1)(…4 设+2)(′+),三、解答题求函数的导数5x22exxy;+3)2(1)=(－x y =(2)3x?1参考答案B 1、A 2、1 3、－n!、4y 0,注意到两端取对数，得＞5、解 (1)x222xxyxxex ln2=ln(=ln(－2+3)+2+3)+ln－22?)2?x?22(x1(x?2x?3)?2x??22???y???222y3??2x2x?3xx?2x?3x?22)2x2)(x?2(x??x?2x22?e?2x?3??y??(x)??y223x?3x?2x?2x?x22e?2)?2(x??x (2)两端取对数，得1xxy|), －|ln||=－ln|1(ln|3x求导，得两边解111?111??(??y)?y3x1?x3x(1?x)x111???y???y3x?x)1)3x(1?3x(1?x【解析】x0sin eyexxxxy0)=1－］,coscos(sin(1)－cos1、=′′sin(sin(0)=)［y0kxy, ,=),2、设切点为(则切线的斜率为00x0x?94?y)′另一方面，=′=(, 25x?)?5(xyx?9?4002xkxxy??+45=0或+18故(′即)=,0002xx(x?5))(x?50000?15?93 (2)(1)(1)(2) xxyy?,3,=－对应有=－15,=3,=得0000?15?553BA), 15,或，－因此得两个切点(33)(－5．1?4?4ByyA?? , )= ′ =从而得－′(1)=及(2325)?15?5()5(?3?x yllyx ::－=－=或由于切线过原点，故得切线BA25 A 答案、根据导数的定义3)(x)]?ff[(x?(?k00xf k???x)(′(这时)=lim0k?0k?)x?f(?)f(xk)f(x?k)?f(x10000]??[??limlimk?2k20k?k?0)x?f(f(x?k)1100?1?x)??f?(??lim02k2?0?k1 －答案xxgfxxxxxng),(+1)(则+2)……((+4、设)=(),)=(nnggxgxfgfxgx =·2(0)+0于是·′(·…)=′((0)=)+！′((0)=1),′(0)=n!答案y 0, (1)注意到两端取对数，得＞5、解x222xxxyxxe－+3)+ln2ln=ln(=ln(－2+3)+222?)?2?xx?22(1(xx?2?3)x2??22???y???222y3??2x2x?3xx?2x?3x?22)2x2(x?2(x??x?2)x22?e?3)xy??(??2x?y??223??2x?x?2x3x x22e?x2?x?)?2( (2)两端取对数，得1xyx|), ln|1－(ln||ln|－|=3x两边解求导，得111?111??(?y)??y3x1?x3x(1?x)x111??y????y3 x1x1x)?(3x1x3(?)?。