复合函数求导练习题重点讲义资料

求导数的复合函数法则练习求导数是微积分中一个非常重要的概念，而复合函数法则则是求解复合函数的导数的一种常用方法。

本文将通过一些例题来练习使用复合函数法则求解导数的能力。

1. 例题一已知函数f(x) = (2x + 3)^2，求f'(x)。

解析：首先，我们将这个函数拆解成两个部分：外部函数和内部函数。

外部函数是平方函数，记为u(x) = x^2。

内部函数是线性函数，记为v(x) = 2x + 3。

根据复合函数法则，我们可以得到f'(x) = u'(v(x)) * v'(x)。

首先，计算u'(v(x))。

根据求导的常用公式，u'(v(x)) = 2v(x)。

然后，计算v'(x)。

v(x)是线性函数2x + 3，它的导数仍然是2。

综上所述，f'(x) = u'(v(x)) * v'(x) = 2v(x) * 2 = 4(2x + 3) = 8x + 12。

因此，f'(x) = 8x + 12。

2. 例题二已知函数g(x) = e^(3x)，求g'(x)。

解析：同样地，我们将这个函数拆解成两个部分：外部函数和内部函数。

外部函数是指数函数，记为u(x) = e^x。

内部函数是线性函数，记为v(x) = 3x。

根据复合函数法则，我们可以得到g'(x) = u'(v(x)) * v'(x)。

首先，计算u'(v(x))。

根据指数函数的导数公式，u'(v(x)) = e^(v(x))。

然后，计算v'(x)。

v(x)是线性函数3x，它的导数是3。

综上所述，g'(x) = u'(v(x)) * v'(x) = e^(v(x)) * 3 = e^(3x) * 3。

因此，g'(x) = 3e^(3x)。

3. 例题三已知函数h(x) = sin(2x)，求h'(x)。

2.5简单复合函数的求导法则（讲义+典型例题+小练）复合函数(())y f g x =的导数求法： ①换元，令()u g x =（内函数），则()y f u =（外函数） ②分别求导再相乘[][]'()'()'y g x f u =⋅ ③回代()u g x =规律：复合函数的导数=内函数的导数乘以外函数的导数例：1．设()()2ln 333f x x x =+-，则()1f '=（ ）A ．112-B ．356-C ．0D ．3562．设()0sin 2cos2f x x x =+，()()10f x f x '=，()()21f x f x '=，…，()()1n n f x f x +'=，n N ∈，则()2022f x =（ ） A ．()20212cos2sin 2x x - B ．()20222cos2sin 2x x -- C ．()20212cos2sin 2x x +D ．()20222cos2sin 2x x -+3．函数()2cos 26f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，其导函数为函数()'f x ，则6f π⎛⎫'= ⎪⎝⎭__________．4．函数212e ()x f x x -=在点11,22f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程是_________． 5．求下列函数的导数： (1)()cos 34y x =+； (2)214x y -=； (3)()521y x =-； (4)()3log 51y x =-.举一反三：1．已知函数()cos 2f x x =，那么()6f π'的值为（ ）A ．32-B ．32C ．3D ．3-2．已知函数()f x 及其导函数()f x '，若存在0x 使得()()00f x f x '=，则称0x 是()f x 的一个“巧值点”.下列选项中没有“巧值点”的函数是( )A ．()2f x x = B ．()ln f x x = C ．()e xf x -= D ．()cos f x x =3．已知函数()()()2e 0ln 4xf f x x '=++，则()0f '=______．4．求下列函数的导数：(1)222e e x x y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；(2)22x y a x =+； (3)43sin 3cos 4y x x =⋅； (4)()ln ln 11x xy x x =-++． 5．如图，一个物体挂在铅直的弹簧下面，已知其位移sin y A t ω=，其中t 为时间，A 为振幅，ω为常数.(1)求物体的速度与加速度关于时间的函数； (2)试讨论物体的位移、速度与加速度的关系.巩固提升一、单选题1．已知()21x f x x e -+，则()0f '=（ ） A ．0B ．2C ．32D ．12-2．下列关于函数()21ny x =-的复合过程与导数运算正确的是（ ）A ．()1n y u =-，2u x =，()21ny nx u '=- B ．n y t =，()21nt x =-，()121n y nx t -'=-C ．n y u =，21u x =-，()1221n y nx x -'=-D ．n y u =，21u x =-，()121n y n x -'=-3．已知1y x =-与曲线ln()y x a =-相切，则a 的值为（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．24．随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著的经济效益.假设在放射性同位素钍234的衰变过程中，其含量N （单位：贝克）与时间t （单位：天）满足函数关系()2402tN t N -=，其中0N 为0=t 时钍234的含量.已知24t =时，钍234含量的瞬时变化率为8ln2-，则()96N =（ ） A ．12B ．12ln2C ．24D ．24ln25．已知0a b >>，函数axy e =在0x =处的切线与直线20x by -=平行，则22a ba b+-的最小值是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．56．已知函数()()ln e f x x x =+，()()2131a g x x -=--，若直线2y x b =+与曲线()y f x =，()y g x =都相切，则实数a 的值为（ ）A ．54B ．1716C ．178D ．17e8二、多选题7．下列各式正确是（ ） A ．sin cos 33ππ'⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()()1ln x x'-=C ．()222x x e e '=D ．()12x x '=-8．在现代社会中，信号处理是非常关键的技术，我们通过每天都在使用的电话或者互联网就能感受到．而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数()()()1*7sin 212N 1i i x f x i i =-⎡⎤⎣⎦=∈-∑的图象就可以近似模拟某种信号的波形，则下列说法正确的是（ ） A ．函数f （x ）为周期函数，且最小正周期为π B ．函数f （x ）为奇函数C ．函数y ＝f （x ）的图象关于直线x ＝2π对称 D ．函数()'f x 有最大值为7三、填空题9．函数()e cos2xf x x =的导函数()f x '=___________.10．某个弹簧振子在振动过程中的位移y （单位：mm ）与时间t （单位：s ）之间的关系516sin 62y t ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则该振子在6s t =时的瞬时速度为___________mm/s .四、解答题11．求下列函数的导数： (1)()()521f x x =+；(2)()2sin f x x =；(3)()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；(4)()()ln 1f x x =+．12．某港口在一天24h 内潮水的高度S （单位：m ）随时间t （单位：h ，024t ≤≤）的变化近似满足关系式π5π()3sin 126S t t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求18点时潮水起落的速度．。

复合函数练习题计算复合函数的导数与相关性质复合函数练习题：计算复合函数的导数与相关性质复合函数是数学中一种重要的概念，它在微积分、代数以及其他数学领域中都有广泛的应用。

本文将通过一些练习题来帮助读者更好地理解复合函数的导数计算以及相关的性质。

练习题一：设函数f(x) = x^2和g(x) = √x，求复合函数f(g(x))和g(f(x))的导数。

解答：首先，我们先求f(g(x))的导数。

根据链式法则，复合函数的导数可以表示为f'(g(x)) * g'(x)。

因此，我们需要先求出f'(x)和g'(x)。

对于函数f(x) = x^2，我们可以直接求导得到f'(x) = 2x。

对于函数g(x) = √x，我们也可以直接求导得到g'(x) = 1 / (2√x)。

接下来，将f'(x)和g'(x)代入链式法则公式中，我们可以得到f(g(x))的导数为f'(g(x)) * g'(x) = 2g(x) * (1 / (2√g(x))) = √g(x)。

同样的方法，我们使用链式法则来求g(f(x))的导数。

根据链式法则，g'(f(x)) * f'(x)。

将g(x)和f'(x)代入公式中，我们可以得到g(f(x))的导数为g'(f(x)) * f'(x) = (1 / (2√f(x))) * 2f(x) = (√f(x) / f(x))。

练习题二：设函数f(x) = sin(x)和g(x) = x^2 + 1，求复合函数f(g(x))和g(f(x))的导数。

解答：首先，求出函数f(x) = sin(x)和g(x) = x^2 + 1的导数。

对于函数f(x) = sin(x)，我们可以直接求导得到f'(x) = cos(x)。

对于函数g(x) = x^2 + 1，我们可以直接求导得到g'(x) = 2x。

复合函数求导练习题一．选择题（共26小题）．设，则f′（2）=（）1．D ．A．BC．2．设函数f（x）=g（x）+x+lnx，曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y=2x+1，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为（）．+2 Dy=4x﹣8 C．y=2xA．y=4x B．）3．下列式子不正确的是（x2ln2）′=′=6x﹣sinx B．（lnx﹣2）A．（3x+cosx= ）=2cos2x D．′（C．（2sin2x）′，则=（）=sin2x）4．设f（x D．﹣．B1．C．1A5．函数y=cos（2x+1）的导数是（）A．y′=sin（2x+1）B．y′=﹣2xsin（2x+1）C．y′=﹣2sin（2x+1）D．y′=2xsin（2x+1）6．下列导数运算正确的是（）xx1﹣C．（cosx）′=sinx ）′=x2D．（xlnx）′=lnx+xA．（1+）′=1 +B．（27．下列式子不正确的是（）2A．（3x+xcosx）′=6x+cosx﹣xsinx B．（sin2x）′=2cos2x．．DC12x+8．已知函数f（x）=e﹣3x，则f′（0）=（）A．0 B．﹣2 C．2e﹣3 D．e﹣3．函数的导数是（）9．．BA．．DC10．已知函数f（x）=sin2x，则f′（x）等于（）A．cos2x B．﹣cos2x C．sinxcosx D．2cos2xsinx））等于（0y（11．y=ecosxsinx），则′（2．．﹣C1 D1 B．A0 ．121第页（共页）12．下列求导运算正确的是（）．BA ．2x2x2C．（（2x+3））′=2（D．（e）′=e 2x+3）．若，则函数f（x）可以是（13）．AD．C．Blnx．．设14，则f（x）=（）201320122013A．2（cos2x﹣sin2x）B．2（sin2x+cos2x）20122013C．2（cos2x+sin2x）D．2（sin2x+cos2x）2=（）=cos2x），则15．设f（x 21 D2A．B．﹣．C．﹣．函数16的导数为（）．．A B．DC．217．函数y=cos（1+x）的导数是（）2222 x）2cos（1+D．﹣2xsin（1+x）．xA．2xsin（1+）B．﹣sin（1+x）C）x）的导数为（18．函数y=sin﹣（+）x）C．﹣sinsin（（A．﹣cos （+x）x﹣x）DB．cos．﹣（﹣19．已知函数f（x）在R上可导，对任意实数x，f'（x）＞f（x）；若a为任意的正实数，下列式子一定正确的是（）aa A．f（a）＞ef（0）B．f（a）＞f（0）C．f（a）＜f（0）D．f（a）＜ef（0）220．函数y=sin（2x+x）导数是（）22A．y′=cos（2x+x）B．y′=2xsin（2x+x）22C．y′=（4x+1）cos（2x+x）D．y′=4cos（2x+x）221．函数f（x）=sinx的导数f′（x）=（）2A．2sinx B．2sinx C．2cosx D．sin2x．函数的导函数是（22）2x．B=2e ）．Af'（x．．DC第2页（共12页）．函数的导数为（）23．． A BC ．D．24．y=sin（3﹣4x），则y′=（）A．﹣sin（3﹣4x）B．3﹣cos（﹣4x）C．4cos（3﹣4x）D．﹣4cos（3﹣4x）25．下列结论正确的是（），B．若y=cos5x，则yA．若′=﹣sin5x22C．若y=sinx，则y′=2xcosx D．若y=xsin2x，则y′=﹣2xsin2xy=的导数是（）26．函数．．AB D．C．二．填空题（共4小题）（）的导数为．y=f27．设（x）是可导函数，则y=f2．+．函数28y=cos（2xx）的导数是29．函数的导数为y=ln．，则的值为30．若函数．第3页（共12页）参考答案与试题解析一．选择题（共26小题）拉萨校级期中）设，则f′（2）=（1．（2015春?）D C．．A ．B ．=ln）（x【解答】解：∵x，令u（）f=，则f（u）=lnu，=，）?=u）=，u′（x∵f′（由复合函数的导数公式得：，? f′（x）===．′（2）∴f故选B．2．（2014?怀远县校级模拟）设函数f（x）=g（x）+x+lnx，曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y=2x+1，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为（）．+2 Dy=4x﹣8 C．y=2xA．y=4x B．，1）=2 ，而【解答】解：由已知g′（所以f′（1）=g′（1）+1+1=4，即切线斜率为4，又g（1）=3，故f（1）=g（1）+1+ln1=4，故曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣4=4（x﹣1），即y=4x，故选A．3．（2014春?永寿县校级期中）下列式子不正确的是（）2x ln22）′=sinx ′=6x﹣B．（lnx﹣）（A．3x+cosx= ）′）′=2cos2x D．（（C．2sin2x【解答】解：由复合函数的求导法则2对于选项A，（3x+cosx）′=6x﹣sinx成立，故A正确，成立，故BB正确对于选项第4页（共12页）对于选项C，（2sin2x）′=4cos2x≠2cos2x，故C不正确，成立，故D正确对于选项DC 故选），则=（．（2014春?晋江市校级期中）设f（x）=sin2x4 1 ．C．．B1D．﹣A【解答】解：因为f（x）=sin2x，所以f′（x）=（2x）′cos2x=2cos2x．×）=﹣（21．则=2cos故选D．5．（2014秋?阜城县校级月考）函数y=cos（2x+1）的导数是（）A．y′=sin（2x+1）B．y′=﹣2xsin（2x+1）C．y′=﹣2sin（2x+1）D．y′=2xsin（2x+1）【解答】解：函数的导数y′=﹣sin（2x+1）（2x+1）′=﹣2sin（2x+1），故选：C6．（2014春?福建月考）下列导数运算正确的是（）xx1﹣C．（cosx）′=sinx D．（xlnx）′=lnx+1A．（x+）′=1．+ B（2）′=x2【解答】解：根据导数的运算公式可得：﹣，故A错误．）′=1A，（x +xx B，（2）′=lnx2，故B错误．C，（cosx）′=﹣sinx，故C错误．D．（xlnx）′=lnx+1，正确．故选：D7．（2013春?海曙区校级期末）下列式子不正确的是（）2A．（3x+xcosx）′=6x+cosx﹣xsinx B．（sin2x）′=2cos2x．．DC2【解答】解：因为（3x+xcosx）′=6x+cosx﹣xsinx，所以选项A正确；（sin2x）′=2cos2x，所以选项B正确；，所以C正确；，所以D不正确．第5页（共12页）故选D．2x1+﹣3x，则f′（0）=（．（2013春?江西期中）已知函数f（x）=e）83 e﹣C．2e﹣3 D．．A0 B．﹣212x+﹣3，∴f′（解：∵【解答】f′（x）=2e0）=2e﹣3．．故选C黔西南州校级月考）函数的导数是（）．（2013春? 9．A B．C ．D．解：∵函数【解答】，，3=+y∴′）×=3cos（3x故选B．10．（2013春?东莞市校级月考）已知函数f（x）=sin2x，则f′（x）等于（）A．cos2x B．﹣cos2x C．sinxcosx D．2cos2x′′′【解答】解：由f（x）=sin2x，则f（x）=（sin2x）=（cos2x）?（2x）=2cos2x．所以f′（x）=2cos2x．故选D．sinx）0）等于（ycosx（sinx），则′（11．（2013秋?惠农区校级月考）y=e2D．C．﹣1 A．0 B．1sinx），cosx（sinx【解答】解：∵y=e sinxsinxsinx′（sinx）+e（cosx）（（sinx）+ecosx）′（sinx））∴y′=（e′cosx2sinxsinx2sinx2）cosx）+e（sin=ecosx（sinx）+e（﹣x1=1 0+=0（0）+∴y′B 故选）秋?珠海期末）下列求导运算正确的是（12．（2012．B．A2x2x2C．（（2x+3）））e′=e ′=2（2x+3）D．（解：因为，所以选项A不正确；【解答】，所以选项B正确；2 C，所以选项不正确；（2x+3）′2x3=23+））′（2x+）?（+3）=42x（（2x2x2x D不正确．=2e（?2x）′，所以选项=e）（e′．故选B126第页（共页）朝阳区期末）若，则函数f（x）可以是（）13．（2012秋?D．lnx．CA．．B解：；【解答】；；．）为．（所以满足的fx故选A．14．（2012秋?庐阳区校级月考）设，则f（x）=（）201320122013A．2（cos2x﹣sin2x）B．2（sin2x+cos2x）20122013C．2（cos2x+sin2x）D．2（sin2x+cos2x）2=2）f，（=x=2（=x）x）（cos2x﹣sin2x），【解答】解：∵f（=sin2x+cos2x ∴f210）﹣cos2x，（﹣sin2x43，…sin2x+cos2x）x，+sin2x）f（）=2=（cos2x （fx）==2（﹣43，∈Nx）满足以下规律，对任意．n通过以上可以看出：f（n20122013（cos2x﹣sin2x=2）．（（∴f（x）=fx）=2fx）1420135031+×．故选：B2=（2xx）=cos），则（201115．（?潜江校级模拟）设f 2．﹣1 ．A2B．C．﹣D2【解答】解：∵f（x）=cos2x==﹣∴2sin4x∴第7页（共12页）故选D．平遥县校级期末）函数的导数为（）（16．2011秋?B．．A．．C D解：∵【解答】∴= ∴D 故选2））的导数是（y=cos（1+x17．（2011春?南湖区校级月考）函数2222）+xD．2cos（1）C．﹣2xsin（1+x）A．2xsin（1+x）B．﹣sin（1+x222）+x﹣2xsin（1?（1+x）′=）【解答】解：y′=﹣sin（1+xC 故选）x）的导数为（（2011春?瑞安市校级月考）函数y=sin﹣（18．）+（xx）﹣x）D．﹣C．﹣sinsin．﹣AcosB（+x）．cos（（﹣′′u=﹣x复合而成且y=（sinu）=cosuy=sin【解答】解：∵函数可看成（﹣x）y=sinu，，u′′′﹣（﹣x）]=﹣﹣x）=﹣sin=﹣x）的导数为y=yu∴函数y=sin﹣（cossin（[xu x）（+故答案选D19．（2011春?龙港区校级月考）已知函数f（x）在R上可导，对任意实数x，f'（x）＞f（x）；若a为任意的正实数，下列式子一定正确的是（）aa A．f（a）＞ef（0）B．f（a）＞f（0）C．f（a）＜f（0）D．f（a）＜ef（0）【解答】解：∵对任意实数x，f′（x）＞f（x），令f（x）=﹣1，则f′（x）=0，满足题意第8页（共12页）显然选项A成立故选A．2）（2x+x）导数是（20．（2010?永州校级模拟）函数y=sin22）+x′=2xsin（2x（2x+x）B．yA．y′=cos22 x）=4cos（2x++x）D．y′C．y′=（4x+1）cos（2x2 x，，u=2x+解：设【解答】y=sinu 1，′=4x+则y′=cosu，u2，+x）+1）cos（2x4x∴y′=（4x+1）cosu=（．故选C2）x）=（′?祁阳县校级模拟）函数f（x）=sinx的导数f（21．（20102sin2x D．x C．2cosx 2sinA．2sinx B．【解答】解：2 x写成，将y=sin2的形式．y=u，u=sinx ，对外函数求导为y′=2u ，对内函数求导为u′=cosx2的导数为故可以得到y=sinx=2ucosx=2sinxcosx=sin2x ′yD 故选的导函数是（2010春?）朝阳区期末）函数22．（2x BA．f'（x）=2e ．．D C ．解：对于函数，【解答】=；= 对其求导可得：f′（x）= 故选C．的导数为（春23．（2009?）房山区期中）函数．BA．D．．C第9页（共12页））2x﹣﹣）′=3cosy，则′=（3sint）′?（2x【解答】解：令y=3sint，t=2x（﹣?，2= ．故选A）y′=（y=sin春?瑞安市校级期中）（3﹣4x），则24．（2009 ）3﹣4x．﹣D（3﹣4x）4cos （（3﹣4x）B．3﹣cos（﹣4x）C．4cos．﹣Asin 4x3﹣），【解答】解：由于y=sin（）﹣4x）=cos（3﹣4x）×（3﹣4x′=﹣4cos（3则y′D 故选）．25（2006春?珠海期末）下列结论正确的是（sin5xA﹣．若y′=，B．若y=cos5x，则222xsin2x ﹣′=y D．若y=xsin2x，则C．若y=sinx，则y′=2xcosx错误【解答】，∴解：函数A的导数为，错误，∴B′=﹣5sin5xy=cos5x 函数的导数为：y2 C正确′y=2xcosx，，∴函数y=sinx的导数为：D错误=sin2x+2xcos2x，∴函数y=xsin2x的导数为：y′C 故选）的导数是（y=26．函数B．．A D．C．2解：由复合函数的求导法则可得，）]′ln2【解答】[?ln（x+12ln2 ′1+x）=（ln2=?A 故选小题）二．填空题（共4）的导数为（x（）是可导函数，则y=f?．27（2013春巨野县校级期中）设y=f（）．′=′yf第10页（共12页）u=，u），【解答】解：设y=f（=，u′′=f'（u），则y（）f′∴y′=（）．y′f=′故答案为：22．）2x+x）的导数是﹣（4x+1）sin（（28．（2013春?吴兴区校级月考）函数y=cos2x+x2，+x）sin﹣（4x+1）（2xy【解答】解：′=2 x）．2x+1）sin （+故答案为﹣（4x洞口县校级模拟）函数的导数为y=ln．29．（2012??=（）′【解答】解：y′=. =?（）′== ?故答案为：，则的值为?雁塔区校级期中）若函数春30．（2009．【解答】解：由故第11页（共12页）=．故答案为：页（共第1212页）。

复合函数求导练习题在微积分中，复合函数求导是一个重要的概念和计算方法。

本文将介绍复合函数求导的基本原理，并提供一些练习题来加深对该概念的理解和应用。

一、复合函数求导的基本原理复合函数，又称为合成函数，是由两个或多个函数组合而成的函数。

设有函数f(x)和g(x)，则复合函数可以表示为f(g(x))。

在求复合函数的导数时，有两个基本原理需要了解。

1.链式法则链式法则是求解复合函数导数的基本原理之一。

对于复合函数f(g(x))，其导数可以表示为：f'(g(x)) * g'(x)其中f'(g(x))表示f(x)对于g(x)的导数，而g'(x)表示g(x)对于x的导数。

链式法则可以简化为“外函数的导数乘以内函数的导数”。

2.换元法则换元法则是求解复合函数导数的另一个基本原理。

当复合函数的内函数不易求导时，可以通过换元来简化求导过程。

设u=g(x)，则复合函数可以表示为f(u)，此时求导公式可以变为：f'(u) * g'(x)其中f'(u)表示f(u)对于u的导数。

二、复合函数求导的练习题在练习中，我们将使用链式法则和换元法则来求解一些复合函数的导数。

下面是一些练习题：1. 求解以下复合函数的导数：(1) f(x) = sin(2x^2 + 3x)(2) f(x) = e^(2x)cos(x)(3) f(x) = ln(1 + x^2)2. 求解以下复合函数的导数，并指出在哪些点上导数不存在：(1) f(x) = sqrt(3x - 2)(2) f(x) = arctan(2x - 1)(3) f(x) = ln(sqrt(x^2 + 1))3. 求解以下复合函数的导数，并求出函数的定义域：(1) f(x) = sin(sqrt(x^2 - 9))(2) f(x) = ln(cos(3x))(3) f(x) = sqrt(4 - x^2)请按顺序解答以上练习题，并在答案中详细写出求导过程和最终结果。

复合函数的导数讲义知识要点：一、复合函数: 由几个函数复合而成的函数，叫复合函数．由函数)(u f y =与)(x u ϕ=复合而成的函数一般形式是)]([x f y ϕ=，其中u 称为中间变量．二、复合函数的导数：设函数u=ϕ(x)在点x 处有导数u ′x =ϕ′(x)，函数y=f(u)在点x 的对应点u 处有导数y ′u =f ′(u)，则复合函数y=f(ϕ (x))在点x 处也有导数，且x u x u y y '''⋅= 或f ′x(ϕ (x))=f ′(u) ϕ′(x).三、复合函数的求导法则复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数 四、复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代．题型讲解：例1 试说明下列函数是怎样复合而成的？（1）32)2(x y -=； （2）2sin x y =；（3）)4cos(x y -=π； （4）)13sin(ln -=x y ．解：（1）函数32)2(x y -=由函数3u y =和22x u -=复合而成；（2）函数2sin x y =由函数u y sin =和2x u =复合而成； （3）函数)4cos(x y -=π由函数u y cos =和x u -=4π复合而成；（4）函数)13sin(ln -=x y 由函数u y ln =、v u sin =和13-=x v 复合而成．说明：讨论复合函数的构成时，“内层”、“外层”函数一般应是基本初等函数，如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等． 例2 写出由下列函数复合而成的函数：（1）u y cos =，21x u +=； （2）u y ln =，x u ln =． 解：⑴)1cos(2x y +=； ⑵)ln(ln x y =． 例3 求5)12(+=x y 的导数．解：设5u y =，12+=x u ，则x u x u y y '''⋅=)'12()'(5+⋅=x u x 2)12(52534⋅+=⋅=x u 4)12(10+=x ． 例4 求y=sin 2(2x+3π)的导数. 解：令y=u 2，u=sin(2x+3π)，再令u=sinv ，v=2x+3π∴x u x u y y '''⋅==y ′u (u ′v ·v ′x )∴y ′x =y ′u ·u ′v ·v ′x =(u 2)′u ·(sinv)′v ·(2x+3π)′x =2u ·cosv ·2=2sin(2x+3π)cos(2x+3π)·2=4sin(2x+3π)cos(2x+3π)=2sin(4x+32π)即y ′x =2sin(4x+32π) 例5 求32c bx ax y ++=的导数.解：令y=3u ，u=ax 2+bx+c∴x u x u y y '''⋅==(3u )′u ·(ax 2+bx+c)′x =3231-u ·(2ax+b)=31(ax 2+bx+c)32-(2ax+b)=322)(32c bx ax b ax +++ 即y ′x =322)(32c bx ax b ax +++例6 求y=51xx-的导数. 解：令xxu u y -==1,5 ∴x u x u y y '''⋅==(5u )′u ·(xx -1)′x 4455221(1)(1)11(1)()55x x x x x x x u x x x --''-------=⋅=⋅21x -=== 即y ′x =－542)(51x x x - 例7 求函数y=(2x 2－3)21x +的导数.解：令y=uv ，u=2x 2－3，v=21x +, 令v=ω，ω=1+x 2x x v v ωω'''=⋅=ω' (1+x 2)′x =22211122)2(21xx x x x +=+=-ω ∴y ′x =(uv)′x =u ′x v+uv ′x =(2x 2－3)′x ·21x ++(2x 2－3)·21xx +=4x 23232161321xx x xx x x ++=+-++ 即y ′x =2316xx x ++例8 求y=(ax －bsin 2ωx)3对x 的导数.解：y ′=3(ax －bsin 2ωx)2·(ax －bsin 2ωx)′=3(ax －bsin 2ωx)［a －(bsin 2ωx)′］ =3(ax －bsin 2ωx)［a －b2sin ωx ·(sin ωx)′］=3(ax －bsin 2ωx)［a －b2sin ωx ·cos ωx ·ω］=3(ax －bsin 2ωx)(a －b ω·sin2ωx) 例9 求y=sin nxcosnx 的导数.解： y ′=(sin n x)′cosnx+sin n x(cosnx)′=nsin n －1x ·(sinx)′cosnx+sin n x ·(－sinnx)(nx)′=nsin n －1xcosxcosnx －nsin n xsinnx=nsin n －1x(cosxcosnx －sinxsinnx)=nsin n －1xcos(n+1)x. 例10 求函数y=－x 2(3x －2)(3－2x)的导数.分析:根据公式(uv ω)′=u ′v ω+uv ′ω+uv ω′解：y ′=(－x 2)′(3x －2)(3－2x)+(－x 2)(3x －2)′(3－2x)+(－x 2)·(3x －2)(3－2x)′ =－2x(3x －2)(3－2x)－x 2·3(3－2x)－x 2(3x －2)(－2)=24x 3－39x 2+12x. 例11 求函数y=)4)(3()2)(1(++++x x x x 的导数.解：y ′={21])4)(3()2)(1([++++x x x x }′121(1)(2)(1)(2)[][]2(3)(4)(3)(4)x x x x x x x x -++++'=++++ 12221(1)(2)(21)(3)(4)(1)(2)(43)[]2(3)(4)(3)(4)x x x x x x x x x x x x x x -+++++++-+++++=⋅++++112221122221(1)(2)420222(3)(4)(3)(4)x x x x x x x x ----++++=⋅++++112223322(1)(2)(21011)(3)(4)x x x x x x --++++=++2=例12 求y=(3x+1)252151-+x x 的导数.解：y ′=［(3x+1)2］′52151-+x x +(3x+1)2［(1512-+x x )51］′=2(3x+1)·(3x+1)+(3x+1)24225111()()55151x x x x -++'-- =2(3x+1)·3·52151-+x x +(3x+1)2·22542)15(5)1()15(2)151(51-⋅+---+-x x x x x x =6(3x+1)52151-+x x +51 (3x+1)2·4225425(1)525(51)(51)x x x x x --+--⋅-- =6(3x+1)22随堂演练：1、求下列函数的导数(先设中间变量，再求导). (1)y=(5x －3)4(2)y=(2+3x)5(3)y=(2－x 2)3(4)y=(2x 3+x)2解：(1)令y=u 4，u=5x －3 ∴x u x u y y '''⋅==(u 4)′u ·(5x －3)′x =4u 3·5=4(5x －3)3·5=20(5x －3)3 (2)令y=u 5，u=2+3x ∴x u x u y y '''⋅==(u 5)′u ·(2+3x)′x =5u 4·3=5(2+3x)4·3=15(2+3x)4 (3)令y=u 3，u=2－x 2∴x u x u y y '''⋅==(u 3)′u ·(2－x 2)′x =3u 2·(－2x)=3(2－x 2)2(－2x)=－6x(2－x 2)2 (4)令y=u 2，u=2x 3+x∴x u x u y y '''⋅==(u 2)′u ·(2x 3+x)′x =2u ·(2·3x 2+1)=2(2x 3+x)(6x 2+1)=24x 5+16x 3+2x 2、求下列函数的导数(先设中间变量，再求导)(n ∈N *) (1)y=sin nx (2)y=cos nx (3)y=tan nx (4)y=cot nx 解：(1)令y=sinu ，u=nxx u x u y y '''⋅==(sinu)′u ·(nx)′x =cosu ·n=ncosnx (2)令y=cosu ，u=nxx u x u y y '''⋅==(cosu)′u ·(nx)′x =－sinu ·n=－nsinnx (3)令y=tanu ，u=nxx u x u y y '''⋅==(tanu)′u ·(nx)′x =(uucos sin )′u ·n =2)(cos )sin (sin cos cos u u u u u --⋅·n=nx n n u 22cos cos 1==n ·sec 2nx (4)令y=cotu ，u=nxx u x u y y '''⋅==(cotu)′u ·(nx)′x =(uusin cos )′u ·n =2)(sin cos cos sin sin u u u u u ⋅-⋅-·n=－u 2sin 1·n=－nx n 2sin =－ncsc 2nx 3、求下函数的导数. (1)y=32)12(1-x (1)解：y=32)12(1-x =(2x 2－1)-3y ′=［(2x 2－1)－3］′=－3(2x 2－1)－4(2x 2－1)′=－3(2x 2－1)－4(4x)=－12x(2x 2－1)－4(2)y=4131+x (2)解：y=41414)13()131(131-+=+=+x x xy ′=［(3x+1)41-］′=－41 (3x+1)45-(3x+1)′=－41 (3x+1)45-·3=－43(3x+1)45-.(3)y=sin(3x －6π) (3)解：y ′=［sin(3x －6π)］′=cos(3x －6π)(3x －6π)′=cos(3x －6π)·3=3cos(3x －6π) (4)y=cos(1+x 2)(4)解：y ′=［cos(1+x 2)］′=－sin(1+x 2)(1+x 2)′=－sin(1+x 2)·2x=－2xsin(1+x 2). 4、下列函数中，导数不等于21sin2x 的是( D ) A.2－41cos2x B.2+21sin 2x C. 21sin 2x D.x －21cos 2x 5、函数y=xcosx －sinx 的导数为( B )A.xsinxB.－xsinxC.xcosxD.－xcosx 6、求y=21xx -的导数.解：y ′=(21xx -)′2222)1()1(1x x x x x -'---'=122221(1)(1)21x x x x -'⋅--=-==223221(1)x ==-322(1)x -=-7、下列结论正确的是（ B ）A ．x y x y 2cos ,2sin ='=B ．22cos 2,sin x x y x y ='=C ．x x y x y cos 2,cos 2='=D ．xx y x y 1sin 1,1cos -='= 8、设x a y -++=11，则y '等于（ D ） A ．x a -++121121 B ．x -121 C ．x a --+121121 D ．x--1219、22cos 53sin x x y +=的导数是（ D ）A ．2sin 53sin 2x x -B ．2sin 106sin x x x -C ．2sin 106sin 3x x x +D ．2sin 106sin 3x x x -10、1212-+=x x y 的导数是（ B ）A ．22)12(12-++x x xB ．22)12(12-++-x x xC ．22)12(24-+-x x x D ．1)12(24222+-+-x x x x 11、x y 1sin 3=的导数是（ C ） A ．x x 1sin 322- B ．x x 2sin 2322- C ．x x x 1sin 1cos 322⋅- D ．xx x 2sin 1sin 232⋅12、已知函数1)(2-=ax x f 且2)1(='f ，则a 的值为（ B ） A ．1=a B ．2=a C ．2=a D ．0>a13、设)43sin(2)(π+=x x f ，则__6___.4f π⎛⎫'=- ⎪⎝⎭14、曲线3213+=x y 在点)4,1(3处的切线方程为_____.0123=+-y x __________． 15、求下列函数的导数． （1）33sin sin x x y +=；（.cos 3cos sin 3)(sin )(sin 32233x x x x x x y +⋅='+'='） （2）5)5cos 5(sin x x y -=；)5sin 55cos 5()5cos 5(sin 5)5cos 5(sin )5cos 5(sin 544x x x x x x x x y +-='--=' ).5cos 5(sin )5cos 5(sin 254x x x x +-= （3）)1(log cos 22-=x y ；（)295()(21)()(21,)(274212952952129521295x x x x x x x x y x x y ++='++='+=--）（4）.76433⎪⎭⎫⎝⎛-+=x x y（.)76()43(135)76()43(18)76()43(9424332----+-=-+--+='x x x x x x y ）16、设x y 3sin 8=，求曲线在点⎪⎭⎫⎝⎛1,6πP 处的切线方程．提示：易知点P 在曲线上，故点P 就是切点，.33,cos sin 2462='⋅='=πx y x x y∴所求切线方程为)6(331π-=-x y ，即.023236=+--πy x17、求证双曲线5:221=-y x C 与椭圆7294:222=+y x C 在交点处的切线互相垂直．提示：由于曲线的图形关于坐标轴对称，故只要证其中一点的切线互相垂直即可，联立两曲线方程解得第一象限交点为)2,3(P ，不妨证明过P 点的两切线互相垂直．点P 在第一象限，故由522=-y x 得.23.5,53122='=∴-='-==x y k x xy x y 由729422=+y x ，得.23.94894,9483222-='=∴--='-==x y k x x y x y而121-=⋅k k ，∴两切线互相垂直． 18、已知102)1()(x x x f ++=，求.)1()1(f f ' 提示：)1()1(10)(292'++++='x x x x x f21022921)1(1011)1(10x x x x xx x +++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++= .25210)1()1(,110)1(:1)1(10)(:)(21022102=='∴+=+++++='f f xx x x x x x f x f。

5.2.3简单复合函数的导数基础过关练题组一复合函数的求导法则1.函数y=(2020-8x)3的导数y'=()A.3(2020-8x)2B.-24xC.-24(2020-8x)2D.24(2020-8x)22.若f(x)=e x ln2x,则f'(x)=()A.e x ln2x+e x2x B.e x ln2x-exxC.e x ln2x+exxD.2e x·1x3.已知函数f(x)=ln(ax-1)的导函数是f'(x),且f'(2)=2,则实数a的值为()A.12B.23C.34D.14.若函数f(x)=√4x-3,则f'(x)=.5.函数f(x)=cos2xe x的导函数f'(x)=.6.求下列函数的导数.(1)y=x 2(2x+1)3;(2)y=e-x sin2x;(3)y=ln√2x+1-1;(4)y=cos(-2x)+32x+1.深度解析题组二复合函数求导的综合运用7.曲线f(x)=e4x-x-2在点(0,f(0))处的切线方程是()A.3x+y+1=0B.3x+y-1=0C.3x-y+1=0D.3x-y-1=08.某市在一次降雨过程中,降雨量y(mm)与时间t(min)的函数关系可近似地表示为y=f(t)=√10t,则在时刻t=40min的降雨强度为()A.20mm/minB.400mm/minC.12mm/min D.14mm/min9.已知函数f(x)=2ln(3x)+8x,则limΔx→0f(1-2Δx)-f(1)Δx的值为()A.10B.-10C.-20D.2010.已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切,则a的值为()A.1B.2C.-1D.-211.设函数f(x)在(-∞,+∞)内的导函数为f'(x),若f(ln x)=x+1x,则f(0)f'(0)=()A.2B.-2C.1D.e+112.设曲线y=e ax在点(0,1)处的切线与直线x+2y+1=0垂直,则a=.13.已知f(x)为偶函数,当x≤0时,f(x)=e-x-2-x,则曲线y=f(x)在(2,f(2))处的切线方程为.14.设f(x)=a(x-5)2+6ln x,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与y轴交于点(0,6),试确定a的值.能力提升练题组复合函数的导数及其应用1.()已知y=f(x)=ln|x|,则下列各命题中,正确的是()A.x>0时,f'(x)=1x ,x<0时,f'(x)=-1xB.x>0时,f'(x)=1x,x<0时,f'(x)无意义C.x≠0时,都有f'(x)=1xD.因为x=0时f(x)无意义,所以不能对y=ln|x|求导2.()设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数,则曲线y=f(x)在x=5处的切线的斜率为()A.-15B.0C.15D.53.()已知f(x)=1+(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)n,则f'(0)=()A.nB.n-1C.n(n-1)2D.n(n+1)24.(2020河南开封五县高二上期末联考,)设a∈R,函数f(x)=e x+a·e-x 为奇函数,曲线y=f(x)的一条切线的切点的纵坐标是0,则该切线方程为()A.2x-y=0B.2x+y=0C.4x-y=0D.4x+y=05.()定义方程f(x)=f'(x)的实数根x0为函数f(x)的“新驻点”,若函数g(x)=x2+1,h(x)=ln(x+2),φ(x)=cos x(x∈(0,π))的“新驻点”分别为a,b,c,则a,b,c的大小关系为()A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.b<c<a6.(多选)()已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2的图象如图所示,令g(x)=f(x)+f'(x),则下列关于函数g(x)的说法正确的是()A.函数g(x)图象的对称轴方程为x=kπ-π12(k∈Z)B.函数g(x)的最大值为2C.函数g(x)的图象上存在点P,使得在P点处的切线与直线l:y=3x-1平行D.方程g(x)=2的两个不同的解分别为x1,x2,则|x1-x2|的最小值为π27.()已知y=x1−√1−x,则y'=.8.()若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b=.9.()设函数f(x)=ae x ln x+be x-1x.(1)求导函数f'(x);(2)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=e(x-1)+2,求a,b的值.), 10.()已知函数f(x)=3x+cos2x+sin2x,f'(x)是f(x)的导函数,且a=f'(π4求过曲线y=x3上一点P(a,b)的切线方程.答案全解全析 基础过关练1.C y'=3(2 020-8x)2×(2 020-8x)'=3×(2 020-8x)2×(-8)=-24(2 020-8x)2.故选C.2.C f'(x)=(e x )'·ln 2x+e x ·(ln 2x)' =e xln 2x+e xx.故选C.3.B 由f(x)=ln(ax-1)可得f'(x)=aax -1,由f'(2)=2,可得a2a -1=2,解得a=23.故选B.4.答案2√4x -34x -3解析 ∵f(x)=√4x -3=(4x-3)12, ∴f'(x)=12(4x-3)-12·(4x-3)'=2√4x -34x -3. 5.答案 -2sin2x+cos2xe x解析 由f(x)=cos2x e x, 得f'(x)=-2sin2x+cos2xe x. 6.解析 (1)∵y=x 2(2x+1)3,∴y'=2x ·(2x+1)3-x 2·3(2x+1)2·2(2x+1)6=2x -2x 2(2x+1)4.(2)y'=-e -x sin 2x+2e -x cos 2x =e -x (2cos 2x-sin 2x).(3)∵y=ln √2x +1-1=12ln(2x+1)-1,∴y'=12×12x+1×(2x+1)'=12x+1.(4)y'=-2sin 2x+(2x+1)'32x+1ln 3 =-2sin 2x+2·32x+1ln 3.易错警示 分析函数的运算结构,以基本初等函数的导数为基础,利用导数的四则运算法则及复合函数的求导法则依次求导即可. 7.D ∵f'(x)=4e 4x -1,∴k=f'(0)=3.又f(0)=-1,∴切线方程为y+1=3x,即3x-y-1=0.故选D. 8.D 由f(t)=√10t , 得f'(t)=2√10t·(10t)'=√102√t, 所以f'(40)=√102√40=14. 9.C ∵f(x)=2ln(3x)+8x,∴f'(x)=2x+8,∴f'(1)=10, ∴limΔx →0f(1-2Δx)-f(1)Δx =-2limΔx →0f(1-2Δx)-f(1)-2Δx=-2f'(1)=-20.故选C. 10.B 设切点为P(x 0,y 0), 则y 0=x 0+1,y 0=ln(x 0+a), ∵y' x=x 0=1x 0+a=1,∴x 0+a=1,∴y 0=ln(x 0+a)=0,∴x 0=y 0-1=-1.∴a=1-x 0=2.故选B. 11.B 令ln x=t,则x=e t,代入f(ln x)=x+1x得y=e t +1e t=1+1et =1+e -t ,∴y'=-1e t ,∴f(0)f'(0)=1+1-1=-2.故选B.12.答案 2解析 令y=f(x),则曲线y=e ax 在点(0,1)处的切线的斜率为f'(0),又切线与直线x+2y+1=0垂直,所以f'(0)=2.因为f(x)=e ax ,所以f'(x)=(e ax )'=(e ax )·(ax)'=ae ax ,所以f'(0)=ae 0=a,故a=2. 13.答案 y=2x-1解析 设x>0,则-x<0,∴f(-x)=e x-2+x,∵f(x)为偶函数,∴f(x)=e x-2+x,则f'(x)=e x-2+1,∴f'(2)=2,又f(2)=3,∴曲线y=f(x)在(2,f(2))处的切线方程为y-3=2(x-2),即y=2x-1. 14.解析 因为f(x)=a(x-5)2+6ln x, 所以f '(x)=2a(x-5)+6x .令x=1,得f(1)=16a,f '(1)=6-8a,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-16a=(6-8a)(x-1).由点(0,6)在切线上,可得6-16a=8a-6, 解得a=12.能力提升练1.C 根据题意得f(x)={lnx(x >0),ln(−x)(x <0).分两种情况讨论:(1)x>0时,f(x)=ln x ⇒f'(x)=(ln x)'=1x ;(2)x<0时,f(x)=ln(-x)⇒f'(x) =[ln(-x)]'=1-x·(-1)=1x.故选C.2.B 由题设可知f(x+5)=f(x), ∴f'(x+5)=f'(x),∴f'(5)=f'(0),又f(-x)=f(x),∴f'(-x)(-1)=f'(x),即f'(-x)=-f'(x),∴f'(0)=0,∴f'(5)=f'(0)=0.故选B.3.D f(x)=1+(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)n,则f'(x)=1+2(1+x)+3(1+x)2+4(1+x)3+…+n(1+x)n-1,.故选D.则f'(0)=1+2+3+4+…+n=n(n+1)24.A因为函数f(x)=e x+a·e-x是奇函数,所以f(-x)=-f(x)对一切x∈R恒成立,所以e-x+a·e x=-e x-a·e-x对一切x∈R恒成立,即(a+1)(e x+e-x)=0对一切x∈R恒成立,所以a+1=0,解得a=-1,因此f(x)=e x-e-x,故f'(x)=e x+e-x.由曲线y=f(x)的一条切线的切点的纵坐标是0,得f(x)=e x-e-x=0,解得x=0.所以曲线y=f(x)的这条切线的切点的坐标为(0,0),切线的斜率为f'(0)=e0+e0=2.故曲线y=f(x)的这条切线方程为y-0=2(x-0),即2x-y=0.故选A.5.C由g(x)=x2+1可得g'(x)=2x,令x2+1=2x,解得x1=x2=1,即a=1.,由h(x)=ln(x+2)可得h'(x)=1x+2,设F(x)=h(x)-h'(x)=ln(x+2)-1x+2当x=-1时,F(-1)=-1<0,当x=0时,F(0)=ln2-1=ln√4-ln√e>0,故-1<b<0.2由φ(x)=cos x(x ∈(0,π))可得φ'(x)=-sin x, 令cos x=-sin x,得sin x+cos x=0, 则√2sin (x +π4)=0,又x ∈(0,π),所以x+π4=π,得x=3π4,即c=3π4.综上可知,b<a<c.故选C.6.AD 根据函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象知A=2,T 4=2π3-π6=π2,∴T=2π,ω=2πT=1.根据五点法画图知,当x=π6时,ωx+φ=π6+φ=π2+2kπ,k ∈Z,∵|φ|<π2,∴φ=π3,∴f(x)=2sin (x +π3),∴f'(x)=2cos (x +π3),∴g(x)=f(x)+f'(x)=2sin (x +π3)+2cos (x +π3)=2√2sin (x +π3+π4) =2√2sin (x +7π12), 令x+7π12=π2+kπ,k ∈Z,解得x=-π12+kπ,k ∈Z,∴函数g(x)图象的对称轴方程为x=-π12+kπ,k ∈Z,A 正确;当x+7π12=π2+2kπ,k ∈Z 时,函数g(x)取得最大值2√2,B 错误;g'(x)=2√2cos (x +7π12),∵g'(x)≤2√2<3,∴不存在点P,使得在P点处的切线与直线l:y=3x-1平行,C错误;方程g(x)=2,即2√2sin(x+7π12)=2,∴sin(x+7π12)=√22,∴x+7π12=π4+2kπ,k∈Z或x+7π12=3π4+2kπ,k∈Z,∴方程的两个不同的解分别为x1,x2时,|x1-x2|的最小值为π2,D正确.故选AD.7.答案-2√1−x解析y=1−√1−x=√1−x)(1-√1−x)·(1+√1−x)=x(1+√1−x)1−(1−x)=1+√1−x.设y=1+√u,u=1-x,则y'x=y'u·u'x=(1+√u)'·(1-x)'=2√u ·(-1)=-2√1−x.8.答案1-ln2解析设f(x)=ln x+2,g(x)=ln(x+1),则f'(x)=1x ,g'(x)=1x+1.设f(x)上的切点为(x1,y1),g(x)上的切点为(x2,y2),则k=1x1=1x2+1,则x2+1=x1.又y1=ln x1+2,y2=ln(x2+1)=ln x1,所以k=y1-y2x1-x2=2,故x1=1k =12,y1=ln12+2=2-ln2.故b=y1-kx1=2-ln2-1=1-ln2.9.解析(1)由f(x)=ae x ln x+be x-1x,得f'(x)=(ae x ln x)'+(be x-1x)'=ae x ln x+ae xx +bex-1x-be x-1x2.(2)由题意得,切点既在曲线y=f(x)上,又在切线y=e(x-1)+2上,将x=1代入切线方程,得y=2,将x=1代入函数y=f(x),得f(1)=b,所以b=2.将x=1代入导函数f'(x)中,得f'(1)=ae=e,所以a=1.10.解析由f(x)=3x+cos2x+sin2x,得f'(x)=3-2sin2x+2cos2x,则a=f'(π4)=3-2sinπ2+2cosπ2=1.由y=x3得y'=3x2.当P点为切点时,切线的斜率k=3a2=3×12=3,又b=a3,∴b=1,∴切点P的坐标为(1,1),∴曲线y=x3上以点P为切点的切线方程为y-1=3(x-1),即3x-y-2=0.当P点不是切点时,设切点坐标为(x0,x03),此时切线的斜率k'=3x02,∴切线方程为y-x03=3x02(x-x0).∵P(a,b)在曲线y=x3上,且a=1,∴b=1,将P(1,1)代入切线方程,得1-x 03=3x 02(1-x 0),∴2x 03-3x 02+1=0,∴2x 03-2x 02-x 02+1=0,∴(x 0-1)2(2x 0+1)=0,解得x 0=-12(x 0=1舍去), ∴切点坐标为(-12,-18), 又切线的斜率为3×(-12)2=34,∴切线方程为y+18=34(x +12), 即3x-4y+1=0.综上,满足题意的切线方程为3x-y-2=0或3x-4y+1=0.。

《复合函数求导例题》逐字稿
一、教学目标
1.理解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则。 2.经历求导法则形成的过程，体会整体代换的思想方法。 3.在交流过程中，发展逻辑思维能力，提升数学素养。
二、教学重难点
【教学重点】 复合函数的求导法则。 【教学难点】 利用复合函数的求导法则进行求导。
三、教学方法
后面这位同学那请你说说复合函数的导数应该如何求呢？他说呀导数可以用公式 ᕧ = ሸ ሸᕧ表示即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积。这位同学真是厉害， 不仅用了符号语言描述，还用文字语言进行了叙述。看来大家对之前的知识掌握的不错，今 天我们继续来探究如何利用公式来解决具体的求导问题。
2.思路总结归纳 师：根据此题目的解题过程，请大家以前后 4 人为一小组进行小组讨论复合函数求导数 的步骤。 生：1）适当选定中间变量，正确分解复合关系，即说明函数关系 y = ሸ ，u = g xᕧ
2) 分步求导，先求 ሸ，再求ሸᕧ 3) 计算 ሸ ሸᕧ，并把中间变量代回原自变量（一般是 x）的函数 师：这位同学总结归纳的很到位，看来你们小组的讨论很有效。我们可以将其简记为分 解-求导-回代，熟练以后，可以省略中间过程。请大家先独立思考再同桌交流，复合函数在 求导时应注意哪些问题。 生：要知道是由哪两个函数复合而成的。 师：你分析问题的能力可真强，请坐。老师在此提示大家，我们的中间变量应选择简单 初等函数，判断一个函数是否是简单初等函数的标准是：存在求导公式则直接求导，弄清各 分解函数中应对那个变量求导，对一个函数的复合关系要用换元的思想及基本初等函数的观 点来理解。求导过程一般是从最外层开始，由外及里，一层层的求导。所以通常称它为链条 法则，因为它像链条一样，必须一环一环套下去，不能丢掉其中的任何一环。

5.2.3简单复合函数的导数学习目标 1.进一步运用导数公式和导数运算法则求函数的导数.2.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则．知识点复合函数的导数1．复合函数的概念一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．思考函数y＝log2(x＋1)是由哪些函数复合而成的？答案函数y＝log2(x＋1)是由y＝log2u及u＝x＋1两个函数复合而成的．2．复合函数的求导法则一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u ＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．1．y＝cos 3x由函数y＝cos u，u＝3x复合而成．(√)2．函数f(x)＝sin(2x)的导数为f′(x)＝cos 2x.(×)3．函数f(x)＝e2x－1的导数为f′(x)＝2e2x－1.(√)一、求复合函数的导数例1求下列函数的导数：(1)y＝1(1－3x)4；(2)y＝cos(x2)；(3)y＝log2(2x＋1)；(4)y＝e3x＋2.解(1)令u＝1－3x，则y＝1u4＝u－4，所以y′u＝－4u－5，u′x＝－3.所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝12u －5＝12(1－3x )5.(2)令u ＝x 2，则y ＝cos u ，所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝－sin u ·2x ＝－2x sin(x 2). (3)设y ＝log 2u ，u ＝2x ＋1，则y x ′＝y u ′u x ′＝2u ln 2＝2(2x ＋1)ln 2.(4)设y ＝e u ，u ＝3x ＋2， 则y x ′＝(e u )′·(3x ＋2)′ ＝3e u ＝3e 3x ＋2.反思感悟 (1)求复合函数的导数的步骤(2)求复合函数的导数的注意点：①分解的函数通常为基本初等函数；②求导时分清是对哪个变量求导；③计算结果尽量简洁． 跟踪训练1 求下列函数的导数： (1)y ＝11－2x； (2)y ＝5log 2(1－x )； (3)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 解 (1)()12=12,y x --设y ＝12u -，u ＝1－2x ，则y ′x ＝()1212u 'x '⎛⎫- ⎪⎝⎭-()32212u -⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭＝－()32=12x .--(2)函数y ＝5log 2(1－x )可看作函数y ＝5log 2u 和u ＝1－x 的复合函数， 所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝5(log 2u )′·(1－x )′ ＝－5u ln 2＝5(x －1)ln 2. (3) 设y ＝sin u ，u ＝2x ＋π3，则y x ′＝(sin u )′⎝⎛⎭⎫2x ＋π3′＝cos u ·2＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 二、复合函数与导数的运算法则的综合应用 例2 求下列函数的导数： (1)y ＝ln 3xe x ；(2)y ＝x 1＋x 2；(3)y ＝x cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2. 解 (1)∵(ln 3x )′＝13x ×(3x )′＝1x ，∴y ′＝(ln 3x )′e x －(ln 3x )(e x )′(e x )2＝1x －ln 3x e x ＝1－x ln 3x x e x .(2)y ′＝(x 1＋x 2)′＝x ′1＋x 2＋x (1＋x 2)′＝1＋x 2＋x 21＋x 2＝(1＋2x 2)1＋x 21＋x 2.(3)∵y ＝x cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 ＝x (－sin 2x )cos 2x ＝－12x sin 4x ，∴y ′＝⎝⎛⎭⎫－12x sin 4x ′＝－12sin 4x －x2cos 4x ·4 ＝－12sin 4x －2x cos 4x .反思感悟 (1)在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结构特征，紧扣求导法则，联系学过的求导公式，对不易用求导法则求导的函数，可适当地进行等价变形，以达到化异求同、化繁为简的目的．(2)复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外及内逐层求导． 跟踪训练2 求下列函数的导数： (1)y ＝sin 2x3；(2)y ＝sin 3x ＋sin x 3； (3)y ＝x ln(1＋x )．解 (1)方法一 ∵y ＝1－cos 23x2，∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－cos 23x 2′＝13sin 23x . 方法二 y ′＝2sin x 3cos x 3·13＝23sin x 3cos x3 ＝13sin 23x . (2)y ′＝(sin 3x ＋sin x 3)′ ＝(sin 3x )′＋(sin x 3)′ ＝3sin 2x cos x ＋cos x 3·3x 2 ＝3sin 2x cos x ＋3x 2cos x 3.(3)y ′＝x ′ln(1＋x )＋x [ln(1＋x )]′ ＝ln(1＋x )＋x 1＋x.三、与切线有关的综合问题例3 (1)曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离是( ) A. 5 B ．2 5 C ．3 5 D ．0 答案 A解析 设曲线y ＝ln(2x －1)在点(x 0，y 0)处的切线与直线2x －y ＋3＝0平行． ∵y ′＝22x －1，∴0=|x x y'＝22x 0－1＝2，解得x 0＝1，∴y 0＝ln(2－1)＝0，即切点坐标为(1,0)．∴切点(1,0)到直线2x －y ＋3＝0的距离为d ＝|2－0＋3|4＋1＝5，即曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离是 5.(2)设f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b (a ，b ∈R ，a ，b 为常数)，曲线y ＝f (x )与直线y ＝32x 在(0,0)点相切．求a ，b 的值． 解 由曲线y ＝f (x )过(0,0)点， 可得ln 1＋1＋b ＝0，故b ＝－1. 由f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b ，得f ′(x )＝1x ＋1＋12x ＋1＋a ，则f ′(0)＝1＋12＋a ＝32＋a ，即为曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线的斜率． 由题意，得32＋a ＝32，故a ＝0.反思感悟 (1)求切线的关键要素为切点，若切点已知便直接使用，切点未知则需先设再求．两直线平行与垂直关系与直线的斜率密切相关，进而成为解出切点横坐标的关键条件． (2)在考虑函数问题时首先要找到函数的定义域．在解出自变量的值或范围时也要验证其是否在定义域内．跟踪训练3 (1)已知函数f (x )＝k ＋ln xe x(k 为常数，e ＝2.718 28…是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行，则k 的值为 ． 答案 1解析 由f (x )＝ln x ＋ke x，得f ′(x )＝1－kx －x ln xx e x，x ∈(0，＋∞)．由于曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行， 所以f ′(1)＝0，因此k ＝1.(2)设曲线y ＝e ax 在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则a ＝ .该切线与坐标轴围成的面积为 ． 答案 2 14解析 令y ＝f (x )，则曲线y ＝e ax 在点(0,1)处的切线的斜率为f ′(0)， 又切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，所以f ′(0)＝2. 因为f (x )＝e ax ，所以f ′(x )＝(e ax )′＝e ax ·(ax )′＝a e ax ， 所以f ′(0)＝a e 0＝a ，故a ＝2.由题意可知，切线方程为y －1＝2x ，即2x －y ＋1＝0. 令x ＝0得y ＝1；令y ＝0得x ＝－12.∴S ＝12×12×1＝14.1．(多选)函数y ＝(x 2－1)n 的复合过程正确的是( ) A ．y ＝u n ，u ＝x 2－1 B ．y ＝(u －1)n ，u ＝x 2 C ．y ＝t n ，t ＝(x 2－1)n D. t ＝x 2－1, y ＝t n答案 AD2．函数y ＝(2 020－8x )3的导数y ′等于( ) A ．3(2 020－8x )2 B ．－24x C ．－24(2 020－8x )2 D ．24(2 020－8x )2 答案 C解析 y ′＝3(2 020－8x )2×(2 020－8x )′＝3(2 020－8x )2×(－8)＝－24(2 020－8x )2. 3．函数y ＝x 2cos 2x 的导数为( ) A ．y ′＝2x cos 2x －x 2sin 2x B ．y ′＝2x cos 2x －2x 2sin 2x C ．y ′＝x 2cos 2x －2x sin 2x D ．y ′＝2x cos 2x ＋2x 2sin 2x 答案 B解析 y ′＝(x 2)′cos 2x ＋x 2(cos 2x )′ ＝2x cos 2x ＋x 2(－sin 2x )·(2x )′ ＝2x cos 2x －2x 2sin 2x .4．已知f (x )＝ln(3x －1)，则f ′(1)＝ . 答案 32解析 ∵f ′(x )＝33x －1，∴f ′(1)＝33－1＝32.5．曲线 y ＝ln(2－x )在点(1,0)处的切线方程为 ． 答案 x ＋y －1＝0解析 ∵y ′＝－12－x ＝1x －2，∴y ′| x ＝1＝11－2＝－1，即切线的斜率是k ＝－1， 又切点坐标为(1,0)．∴y ＝ln(2－x )在点(1,0)处的切线方程为y ＝－(x －1)， 即x ＋y －1＝0.1．知识清单： (1)复合函数的概念． (2)复合函数的求导法则． 2．方法归纳：转化法．3．常见误区：求复合函数的导数时不能正确分解函数；求导时不能分清是对哪个变量求导；计算结果复杂化．1．(多选)下列函数是复合函数的是( ) A ．y ＝－x 3－1x ＋1B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4C ．y ＝1ln xD ．y ＝(2x ＋3)4答案 BCD解析 A 不是复合函数，B ，C ，D 均是复合函数， 其中B 由y ＝cos u ，u ＝x ＋π4复合而成；C 由y ＝1u ，u ＝ln x 复合而成；D 由y ＝u 4，u ＝2x ＋3复合而成． 2．函数y ＝x ln(2x ＋5)的导数为( ) A ．ln(2x ＋5)－x2x ＋5B ．ln(2x ＋5)＋2x2x ＋5C ．2x ln(2x ＋5) D.x 2x ＋5答案 B解析 ∵y ＝x ln(2x ＋5)， ∴y ′＝ln(2x ＋5)＋2x2x ＋5.3．函数y ＝x 3e cos x 的导数为( ) A ．y ′＝3x 2e cos x ＋x 3e cos x B ．y ′＝3x 2e cos x －x 3e cos x sin x C ．y ′＝3x 2e cos x －x 3e sin x D ．y ′＝3x 2e cos x ＋x 3e cos x sin x 答案 B解析 y ′＝(x 3)′e cos x ＋x 3(e cos x )′＝3x 2e cos x ＋x 3e cos x ·(cos x )′＝3x 2e cos x －x 3e cos x sin x . 4．曲线y ＝x e x－1在点(1,1)处切线的斜率等于( )A ．2eB ．eC ．2D ．1答案 C解析 ∵y ＝x e x －1，∴y ′＝e x －1＋x e x －1， ∴k ＝y ′|x ＝1＝e 0＋e 0＝2，故选C.5．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1 D ．－2 答案 B解析 设切点坐标是(x 0，x 0＋1)，依题意有⎩⎨⎧1x 0＋a＝1，x 0＋1＝ln (x 0＋a )，由此得x 0＋1＝0，x 0＝－1，a ＝2.6．函数y ＝sin 2x cos 3x 的导数是 ． 答案 y ′＝2cos 2x cos 3x －3sin 2x sin 3x 解析 ∵y ＝sin 2x cos 3x ，∴y ′＝(sin 2x )′cos 3x ＋sin 2x (cos 3x )′＝2cos 2x cos 3x －3sin 2x sin 3x .7．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，若f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π9sin 3x ＋cos 3x ，则f ′⎝⎛⎭⎫π9＝ . 答案 33解析 ∵f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π9sin 3x ＋cos 3x ， ∴f ′(x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π9·3cos 3x －3sin 3x ， 令x ＝π9可得f ′⎝⎛⎭⎫π9＝f ′⎝⎛⎭⎫π9×3cos π3－3sin π3 ＝32 f ′⎝⎛⎭⎫π9－3×32， 解得f ′⎝⎛⎭⎫π9＝3 3.8．点P 是f (x )＝(x ＋1)2上任意一点，则点P 到直线y ＝x －1的最短距离是 ，此时点P 的坐标为 ． 答案728⎝⎛⎭⎫－12，14 解析 与直线y ＝x －1平行的f (x )＝(x ＋1)2的切线的切点到直线y ＝x －1的距离最短．设切点为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝2(x 0＋1)＝1，∴x 0＝－12，y 0＝14.即P ⎝⎛⎭⎫－12，14到直线y ＝x －1的距离最短． ∴d ＝⎪⎪⎪⎪－12－14－1(－1)2＋12＝728.9．求下列函数的导数： (1)y ＝ln(e x ＋x 2)； (2)y ＝102x ＋3； (3)y ＝sin 4x ＋cos 4x .解 (1)令u ＝e x ＋x 2，则y ＝ln u .∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝1u ·(e x ＋x 2)′＝1e x ＋x 2·(e x ＋2x )＝e x ＋2x e x ＋x 2.(2)令u ＝2x ＋3，则y ＝10u ，∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝10u ·ln 10·(2x ＋3)′＝2×102x ＋3ln 10.(3)∵y ＝sin 4x ＋cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2 x ·cos 2 x ＝1－12sin 2 2x ＝1－14(1－cos 4x )＝34＋14cos 4x . ∴y ′＝－sin 4x .10．曲线y ＝e sin x 在点(0,1)处的切线与直线l 平行，且与l 的距离为2，求直线l 的方程． 解 ∵y ＝e sin x ， ∴y ′＝e sin x cos x ， ∴y ′|x ＝0＝1.∴曲线y ＝e sin x 在点(0,1)处的切线方程为 y －1＝x ，即x －y ＋1＝0. 又直线l 与x －y ＋1＝0平行， 故直线l 可设为x －y ＋m ＝0.由|m －1|1＋(－1)2＝2得m ＝－1或3.∴直线l 的方程为x －y －1＝0或x －y ＋3＝0.11．曲线y ＝e －2x ＋1在点(0,2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为( ) A.13 B.12 C.23D ．1 答案 A解析 依题意得y ′＝e －2x ·(－2)＝－2e －2x ，y ′|x ＝0＝－2e －2×0＝－2. 所以曲线y ＝e －2x ＋1在点(0,2)处的切线方程是y －2＝－2x ，即y ＝－2x ＋2.在坐标系中作出直线y ＝－2x ＋2，y ＝0与y ＝x 的图象，如图所示．因为直线y ＝－2x ＋2与y ＝x 的交点坐标是⎝⎛⎭⎫23，23，直线y ＝－2x ＋2与x 轴的交点坐标是(1,0)，所以结合图象可得，这三条直线所围成的三角形的面积为12×1×23＝13. 12．(多选)已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值可以是( )A.π4B.π2C.3π4D. 7π8答案 CD解析 因为y ＝4e x ＋1， 所以y ′＝－4e x(e x ＋1)2＝－4e x e 2x ＋2e x ＋1＝－4e x ＋1e x ＋2.因为e x >0，所以e x ＋1e x ≥2(当且仅当x ＝0时取等号)， 所以y ′∈[－1,0)，所以tan α∈[－1,0)．又因为α∈[0，π)，所以α∈⎣⎡⎭⎫3π4，π.13．设函数f (x )＝cos(3x ＋φ)(0<φ<π)，若f (x )＋f ′(x )是奇函数，则φ＝ .答案 π6解析 ∵f ′(x )＝－3sin(3x ＋φ)，∴f (x )＋f ′(x )＝cos(3x ＋φ)－3sin(3x ＋φ)，令g (x )＝cos(3x ＋φ)－3sin(3x ＋φ)，∵其为奇函数，∴g (0)＝0，即cos φ－3sin φ＝0，∴tan φ＝33， 又0<φ<π，∴φ＝π6. 14．已知f (x )为偶函数，当x ＜0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是 ．答案 y ＝－2x －1解析 设x ＞0，则－x ＜0，f (－x )＝ln x －3x ，又f (x )为偶函数，所以f (x )＝ln x －3x ，f ′(x )＝1x－3，f ′(1)＝－2， 所以切线方程为y ＝－2x －1.15．已知f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 1＋x ，则f ′(x )等于( )A.11＋xB ．－11＋x C.1(1＋x )2D ．－1(1＋x )2答案 D解析 由f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 1＋x ＝11x＋1， 得f (x )＝1x ＋1， 从而f ′(x )＝－1(1＋x )2，故选D. 16．(1)已知f (x )＝e πx sin πx ，求f ′(x )及f ′⎝⎛⎭⎫12；(2)在曲线y ＝11＋x 2上求一点，使过该点的切线平行于x 轴，并求切线方程． 解 (1)∵f (x )＝e πx sin πx ，∴f ′(x )＝πe πx sin πx ＋πe πx cos πx＝πe πx (sin πx ＋cos πx )．∴f ′⎝⎛⎭⎫12＝2e sin +cos 22πππ⎛⎫π ⎪⎝⎭ 2e .π=π(2)设切点坐标为P (x 0，y 0)，由题意可知0=|0.x x y'=又y ′＝－2x (1＋x 2)2， ∴0=|x x y'＝－2x 0(1＋x 20)2＝0. 解得x 0＝0，此时y 0＝1.即该点的坐标为P (0,1)，切线方程为y －1＝0.。

1 C.ln 3
解析
f′(x)＝（x－11）ln
，故 3
f′(2)＝ln13.
D.－ln13
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索引
2.若函数y＝x(1－ax)2(a>0)，且y′|x＝2＝5，则a＝( A )
A.1
B.－1
C.2
D.－2
解析 y′＝(1－ax)2－2ax(1－ax)，
3.注意1个易错点 对复合函数求导不完全.
索引
拓展延伸分层精练 核心素养达成
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
一、基础达标
1.设f(x)＝log3(x－1)，则f′(2)＝( C )
A.ln 3
B.－ln 3
解析 设直线 y＝x＋1 与曲线 y＝ln(x＋a)相切于点(x0，y0)，则 y0＝1＋x0，y0＝ ln(x0＋a)， 又 y′＝x＋1 a， ∴y′|x＝x0＝x0＋1 a＝1，即 x0＋a＝1. 又 y0＝ln(x0＋a)，∴y0＝0，∴x0＝－1，∴a＝2.
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训练3 曲线y＝e－2x＋1在点(0，2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面
积为( A )
A.13
B.12
C.23
D.1
解析 对 y＝e－2x＋1 求导得 y′＝－2e－2x，则 y′|x＝0＝－2e－2×0＝－2，
∴曲线 y＝e－2x＋1 在点(0，2)处的切线方程为 y＝－2x＋2.
索引
7.某铁路线新开行“绿巨人”动力集中复兴号动车组，最高时速为160 km/h.假 设“绿巨人”开出站一段时间内，速度v(m/s)与行驶时间t(s)的关系为v＝0.4t ＋ 0.6t2 ， 则 出 站 后 “ 绿 巨 人 ” 速 度 首 次 达 到 24 m/s 时 的 加 速 度 为

复合函数的导数【基础知识】如果函数)(x ϕ在点x 处可导，函数f (u )在点u=)(x ϕ处可导，则复合函数y= f (u )=f [)(x ϕ]在点x 处也可导，并且(f [)(x ϕ])ˊ=[])(x f ϕ')(x ϕ'或记作 x y '=u y '•x u '熟记链式法则若y= f (u )，u=)(x ϕ⇒ y= f [)(x ϕ]，则x y '=)()(x u f ϕ''若y= f (u )，u=)(v ϕ，v=)(x ψ⇒ y= f [))((x ψϕ]，则x y '=)()()(x v u f ψϕ''' （2）复合函数求导的关键是正确分析已给复合函数是由哪些中间变量复合而成的，且要求这些中间变量均为基本初等函数或经过四则运算而成的初等函数。

在求导时要由外到内，逐层求导。

【例题详解】例1函数4)31(1x y -=的导数.例2求51x x y -=的导数． 解：4)31(1x y -=4)31(--=x ．解：511⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x y ， 设4-=u y ，x u 31-=，则'541151'⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-x x x x y x u x u y y '''⋅=x u x u )'31()'(4-⋅=-254)1()1(1151x x x x x ----⋅⎪⎭⎫⎝⎛-=-)3(45-⋅-=-u 55)31(1212---==x u 5)31(12x -=．254)1(1151x x x -⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-5654)1(51---=x x 例3 求下列函数的导数x y 23-=解：（1）x y23-= ，令u=3 -2x ，则有y=u ，u=3 -2x由复合函数求导法则x u xu y y '∙'='有y ′=()xu x u )23('-'=xu231)2(21--=-∙在运用复合函数的求导法则达到一定的熟练程度之后，可以不再写出中间变量u ，于是前面可以直接写出如下结果：y ˊ=xx x231)23(2321--='-∙-在运用复合函数求导法则很熟练之后，可以更简练地写出求导过程：y ˊ=xx231)2(2321--=-∙-例4求下列函数的导数（1）y=x 21-cos x （2）y=ln (x +21x +)解：（1）y=x 21-cos x由于y=x 21-cos x 是两个函数x 21-与cos x 的乘积，而其中x 21-又是复合函数，所以在对此函数求导时应先用乘积求导法则，而在求x 21-导数时再用复合函数求导法则，于是y ˊ=(x 21-)ˊcos x -x 21-sin x=x xcos 212)2(---x 21-sin x=xx 21cos ---x 21-sin x（2）y=ln (x +21x +) 由于y=ln (x +21x +)是u= x +21x +与y=ln u 复合而成，所以对此函数求导时，应先用复合函数求导法则，在求x u '时用函数和的求导法则，而求(21x +)′的导数时再用一次复合函数的求导法则，所以y ˊ=211x x ++•[1+(21x +)ˊ]=211x x ++•⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++21221x x=211x x ++•2211x x x +++=211x +例 5 设)1ln(++=x x y 求 y '.解 利用复合函数求导法求导，得)'1(11)]'1[ln('222++++=++=x x x x x x y ])1(1[1122'++++=x x x])1(1211[11222'+++++=x x x x 11]11[11222+=++++=x x x x x .小结 对于复合函数，要根据复合结构，逐层求导，直到最内层求完，对例4中括号层次分析清楚，对掌握复合函数的求导是有帮助的.例6求y=(x 2－3x+2)2sin3x 的导数.解：y′=［(x 2－3x+2)2］′sin3x+(x 2－3x+2)2(sin3x)′=2(x 2－3x+2)(x 2－3x+2)′sin3x+(x 2－3x+2)2cos3x(3x)′ =2(x 2－3x+2)(2x －3)sin3x+3(x 2－3x+2)2cos3x.【巩固练习】1．求下函数的导数.（1）cos 3xy = （2）y =（3）y=(5x －3)4（4）y=(2+3x)5（5）y=(2－x 2)3 （6）y=(2x 3+x)2（7）y=32)12(1-x （8）y=4131+x（9）y=sin(3x －6π) （10）y=cos(1+x 2)（11）32)2(x y -=（12）2sin x y =；（13）)4cos(x y -=π（14）)13sin(ln -=x y ．（15）122sin -=x x y （16）)132ln(2++x x作业： 一、选择题 1. 函数y =2)13(1-x 的导数是（ ） A.3)13(6-x B. 2)13(6-x C. －3)13(6-x D. －2)13(6-x3. 函数y =sin （3x +4π）的导数为（ ） A. 3sin （3x +4π） B. 3cos （3x +4π）C. 3sin 2（3x +4π） D. 3cos 2（3x +4π） 4. 曲线n x y =在x=2处的导数是12，则n=（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 45. 函数y =cos2x +sin x 的导数为（ ）A. －2sin2x +xx2cos B. 2sin2x +xx 2cos C. －2sin2x +xx 2sin D. 2sin2x －xx 2cos6. 过点P （1，2）与曲线y=2x 2相切的切线方程是（ ） A. 4x －y －2=0 B. 4x+y －2=0 C. 4x+y=0D. 4x －y+2=0二、填空题8. 曲线y =sin3x 在点P （3π，0）处切线的斜率为___________。

复合函数问题一、复合函数定义： 设y=f(u)的定义域为A ，u=g(x)的值域为B ，若A ⊇B ，则y 关于x 函数的y=f ［g(x)］叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量.二、复合函数定义域问题：(1)、已知f x ()的定义域，求[]f g x ()的定义域思路：设函数f x ()的定义域为D ，即x D ∈，所以f 的作用范围为D ，又f 对g x ()作用，作用范围不变，所以Dx g ∈)(，解得x E ∈，E 为[]f g x ()的定义域。

例1. 设函数f u ()的定义域为（0，1），则函数f x (ln )的定义域为_____________。

解析：函数f u ()的定义域为（0，1）即u ∈()01，，所以f 的作用范围为（0，1） 又f 对lnx 作用，作用范围不变，所以01<<ln x 解得x e ∈()1，，故函数f x (ln )的定义域为（1，e ） 例2. 若函数f x x ()=+11，则函数[]f f x ()的定义域为______________。

解析：先求f 的作用范围，由f x x ()=+11，知x ≠-1即f 的作用范围为{}x R x ∈≠-|1，又f 对f(x)作用所以f x R f x ()()∈≠-且1，即[]f f x ()中x 应满足x f x ≠-≠-⎧⎨⎩11()即x x ≠-+≠-⎧⎨⎪⎩⎪1111，解得x x ≠-≠-12且故函数[]f f x ()的定义域为{}x R x x ∈≠-≠-|12且 （2）、已知[]f g x ()的定义域，求f x ()的定义域思路：设[]f g x ()的定义域为D ，即x D ∈，由此得g x E ()∈，所以f 的作用范围为E ，又f 对x 作用，作用范围不变，所以x E E ∈，为f x ()的定义域。

例3. 已知f x ()32-的定义域为[]x ∈-12，，则函数f x ()的定义域为_________。

5.2.3简单复合函数的导数要点一 复合函数的定义一般地，对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过中间变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数y ＝f (u )和u ＝g (x )的复合函数，记作y ＝f(g(x)) 要点二 复合函数的求导法则复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y ′x ＝y ′u ·u ′x ，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积，即若y ＝f (g (x ))，则y ′＝[f (g (x ))]′＝f ′(g (x ))·g ′(x ) 【重点小结】(1)复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数．(2)中学阶段不涉及较复杂的复合函数的求导问题，只研究y ＝f(ax ＋b)型复合函数的求导，不难得到y ′＝(ax ＋b) ′·f ′(ax ＋b)＝af ′(ax ＋b)． 【基础自测】1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)函数y ＝log 3(x ＋1)是由y ＝log 3t 及t ＝x ＋1两个函数复合而成的．( ) (2)函数f (x )＝e －x 的导数是f ′(x )＝e －x .( ) (3)函数f (x )＝ln (1－x )的导数是f ′(x )＝11－x .( )(4)函数f (x )＝sin 2x 的导数是f ′(x )＝2 cos 2x .( ) 【答案】（1）√（2）×（3）×（4）√ 2．(多选题)下列所给函数为复合函数的是( ) A ．y ＝ln (x －2) B ．y ＝ln x ＋x －2 C ．y ＝(x －2)ln x D ．y ＝ln 2x 【答案】AD【解析】函数y ＝ln(x －2)是由函数y ＝ln u 和u ＝g (x )＝x －2复合而成的，A 符合；函数y ＝ln 2x 是由函数y ＝ln u 和u ＝2x 复合而成的，D 符合，B 与C 不符合复合函数的定义．故选AD. 3．若函数f (x )＝3cos(2x ＋π3)，则f ′(π2)等于( )A ．－3 3B ．33C ．－6 3D ．63 【答案】B【解析】f ′(x )＝－6sin(2x ＋π3)∴f ′(π2)＝－6sin ⎝⎛⎭⎫2×π2＋π3＝6sin π3＝6×32＝3 3.故选B.4．曲线y ＝e －x 在点(0,1)的切线方程为________．【答案】x ＋y －1＝0 【解析】∵y ＝e －x ∴y ′＝－e －x ∴y ′|x ＝0＝－1∴切线方程为y －1＝－x 即x ＋y －1＝0题型一 求复合函数的导数【例1】写出下列各函数的中间变量，并利用复合函数的求导法则，求出函数的导数． (1)y ＝1(3－4x )4；(2)y ＝cos(2 008x ＋8)； (3)y ＝21－3x；(4)y ＝ln(8x ＋6)．【解析】(1)引入中间变量u ＝φ(x )＝3－4x .则函数y ＝1(3－4x )4是由函数f (u )＝1u 4＝u －4 与u ＝φ(x )＝3－4x 复合而成的．查导数公式表可得f ′(u )＝－4u －5＝－4u 5，φ′(x )＝－4.根据复合函数求导法则可得⎣⎡⎦⎤1(3－4x )4′＝f ′(u )φ′(x )＝－4u 5·(－4)＝16u 5＝16(3－4x )5.(2)引入中间变量u ＝φ(x )＝2 008x ＋8，则函数y ＝cos(2 008x ＋8)是由函数f (u )＝cos u 与u ＝φ(x )＝2 008x ＋8复合而成的，查导数公式表可得 f ′(u )＝－sin u ，φ′(x )＝2 008. 根据复合函数求导法则可得[cos(2 008x ＋8)]′＝f ′(u )φ′(x )＝(－sin u )·2 008 ＝－2 008sin u ＝－2 008sin(2 008x ＋8)． (3)引入中间变量u ＝φ(x )＝1－3x ， 则函数y ＝21－3x是由函数f (u )＝2u 与u ＝φ(x )＝1－3x 复合而成的，查导数公式表得f ′(u )＝2u ln 2，φ′(x )＝－3， 根据复合函数求导法则可得 (21－3x)′＝f ′(u )φ′(x )＝2u ln 2·(－3)＝－3×2u ln 2＝－3×21－3xln 2.(4)引入中间变量u ＝φ(x )＝8x ＋6，则函数y ＝ln(8x ＋6)是由函数f (u )＝ln u 与u ＝φ(x )＝8x ＋6复合而成的，查导数公式表可得f ′(u )＝1u ，φ′(x )＝8.根据复合函数求导法则可得[ln(8x ＋6)]′＝f ′(u )·φ′(x )＝8u ＝88x ＋6＝44x ＋3.选取中间变量，确定原函数复合方式，写出内层，外层函数表达式，利用复合函数求导法则求解 【方法归纳】复合函数求导的步骤【跟踪训练】求下列函数的导数． (1)y ＝e 2x ＋1. (2)y ＝1(2x －1)3.(3)y ＝5log 2(1－x )． (4)y ＝sin 3x ＋sin 3x .【解析】(1)函数y ＝e 2x ＋1可看作函数y ＝e u 和u ＝2x ＋1的复合函数，所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(e u )′(2x ＋1)′＝2e u ＝2e 2x ＋1.(2)函数y ＝1(2x －1)3可看作函数y ＝u －3和u ＝2x －1的复合函数，所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(u －3)′(2x －1)′＝－6u －4＝－6(2x －1)－4＝－6(2x －1)4.(3)函数y ＝5log 2(1－x )可看作函数y ＝5log 2u 和u ＝1－x 的复合函数，所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(5log 2u )′·(1－x )′＝－5u ln 2＝5(x －1)ln 2.(4)函数y ＝sin 3 x 可看作函数y ＝u 3和u ＝sin x 的复合函数，函数y ＝sin 3x 可看作函数y ＝sin v 和v ＝3x 的复合函数．所以y ′x ＝(u 3)′·(sin x )′＋(sin v )′·(3x )′＝3u 2·cos x ＋3cos v ＝3 sin 2 x cos x ＋3cos 3x . 题型二 复合函数求导法则的综合应用 【例2】(1)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1－x ，则曲线y ＝f (x )在点(1,2)处的切线方程是________．【答案】(1)2x －y ＝0【解析】(1)设x >0，则－x <0，因为x ≤0时，f (x )＝e－x －1－x ，所以f (－x )＝e x －1＋x ，又因为f (x )为偶函数，所以f (x )＝e x －1＋x ，f ′(x )＝e x －1＋1，f ′(1)＝e 1－1＋1＝2，所以切线方程为y －2＝2(x －1)，即：2x －y ＝0. (2)已知函数f (x )＝ax 2＋2ln(2－x )(a ∈R )，设曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线为l ，若直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相切，则实数a 的值为__________．【解析】(2)因为f (1)＝a ，f ′(x )＝2ax ＋2x －2(x <2)，所以f ′(1)＝2a －2，所以切线l 的方程为2(a －1)x －y ＋2－a ＝0.因为直线l 与圆相切，所以圆心到直线l 的距离等于半径，即d ＝|2－a |4(a －1)2＋1＝12，解得a ＝118【方法归纳】准确利用复合函数求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确． 【跟踪训练2】(1)设曲线y ＝e ax 在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则a ＝________. 【答案】(1)2 【解析】(1)令y ＝f (x )则曲线y ＝e ax 在点(0,1)处的切线的斜率为f ′(0)，又切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，所以f ′(x )＝(e ax )′＝a e ax . 所以f ′(0)＝a e 0＝a 故a ＝2.(2)已知函数f (x )＝ax 2＋2ln(2－x )设曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线为l ，则切线l 的方程为________；若直线l 与圆 C ：x 2＋y 2＝14相交，则实数u 的取值范围为________．【答案】(2)2(a －1)x －y ＋2－a ＝0 (118，＋∞)【解析】(2)f ′(x )＝2ax ＋2x －2(x <2)∴f ′(1)＝2a －2 又f (1)＝a∴切线l 的方程为：y －a ＝(2a －2)(x －1) 即2(a －1)x －y ＋2－a ＝0.若直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相交则圆心到直线l 的距离d ＝|2－a |4(a －1)2＋1<12.解得a >118，即实数a 的取值范围为(118，＋∞)．【易错辨析】对复合函数求导不完全致错 例3 函数y ＝x e 1－2x的导数y ′＝________. 【答案】(1－2x )e 1－2x【解析】y ′＝e 1－2x＋x (e 1－2x)′＝e 1－2x ＋x e 1－2x ·(1－2x )′ ＝e 1－2x＋x e 1－2x(－2)＝(1－2x )e 1－2x.【易错警示】 出错原因 对e 1－2x的求导没有按照复合函数的求导法则进行，导致求导不完全致错纠错心得复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数，分步计算时，每一步都要明确是对哪个变量求导一、单选题1．随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著的经济效益.假设在放射性同位素钍234的衰变过程中，其含量N （单位：贝克）与时间t （单位：天）满足函数关系()242tN t N -=，其中0N 为0=t 时钍234的含量.已知24t =时，钍234含量的瞬时变化率为8ln2-，则()96N =（ ）A ．12B ．12ln2C ．24D ．24ln2【答案】C 【分析】对()N t 求导得()24012ln 224t N t N -⎛⎫'=⨯⨯- ⎪⎝⎭，根据已知有()248ln 2N '=-即可求0N ，进而求()96N .【解析】 由()242tN t N -=，得()24012ln 224t N t N -⎛⎫'=⨯⨯- ⎪⎝⎭，∵当24t =时，()242401242ln 28ln 224N N -⎛⎫'=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，解得02824384N =⨯⨯=，∵()243842t N t -=⨯，∵当96t =时，()96424963842384224N --=⨯=⨯=.故选：C.2．已知()f x '是函数()f x 的导数，且对任意的实数x 都有()()()e 22xf x x f x -'=--，()08f =则不等式()0f x <的解集是（ ）A ．()2,4-B ．()(),02,-∞+∞C ．()(),42,-∞-+∞D ．()(),24,-∞-+∞【答案】D 【分析】构造新函数()()x g x e f x =，求出()'g x 后由导函数确定()g x ，注意可得(0)8g =，从而得出()f x 的解析式，然后解不等式即可．设()()x g x e f x =，000)e )8((f g ==，因为()()()e 22xf x x f x -'=--，所以()()e (22)x f x f x x -'+=-，所以()e ()e ()e (()())22x x x g x f x f x f x f x x '''=+=+=-． 因此2()2g x x x c =-+，(0)8g c ==，所以2()28g x x x =-++， 228()e xx x f x -++=， 不等式()0f x <即为2280exx x -++< ，2280x x -->，解得2x <-或4x >． 故选：D ．3．已知0a b >>，函数axy e =在0x =处的切线与直线20x by -=平行，则22a b a b+-的最小值是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】C 【分析】结合复合函数求导求出函数的导函数，进而求出切线的斜率，然后根据两直线平行斜率相等得到2ab =，进而结合均值不等式即可求出结果. 【解析】因为ax y e =，则ax y ae '=，因为切点为()0,1，则切线的斜率为k a =，又因为切线与直线20x by -=平行，所以2a b=，即2ab =， 所以()()222244a b ab a b a b a b a b a b-++==-+≥---， 当且仅当24ab a b a b =⎧⎪⎨-=⎪-⎩，即11a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩时，等号成立，则22a b a b +-的最小值是4， 故选：C.4．已知函数()f x 在R 上可导，函数()()()2244F x f x f x =-+-，则()2F '等于（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】B 【分析】利用复合函数求导法则运算即可.∵()()()2244F x f x f x =-+-，∵()()()222424F x xf x xf x '''=---，∵()()()240400F f f '''=-=. 故选：B.5．已知()2ln 2f x x x =，若()00f x x '=，则0x 等于（ ）A ．12 B ．1e 2C ．ln 2D ．1【答案】A 【解析】因为()2ln 2f x x x =，所以()2ln2f x x x x '=+，又()00f x x '=，所以002ln 20x x =，因为00x >，所以0ln 20x =，所以012x =. 故选：A.6．下列关于函数()21ny x =-的复合过程与导数运算正确的是（ ）A ．()1n y u =-，2u x =，()21ny nx u '=- B ．n y t =，()21nt x =-，()121n y nx t -'=-C ．n y u =，21u x =-，()1221n y nx x -'=-D ．n y u =，21u x =-，()121n y n x -'=-【答案】C 【分析】直接根据函数()21ny x =-的结构，找到内层函数和外层函数，即可得解.【解析】由复合函数求导法则，知函数()21ny x =-由基本初等函数n y u =，21u x =-复合而成，所以()112221n n u x y y u nux nx x --'''=⋅=⋅=-.故选：C.7．函数2sin y x =的导数是（ ） A ．2sin x B ．22sin xC ．2cos xD ．sin 2x【答案】D 【分析】利用复合函数进行求导，即可得到答案； 【解析】2sin y x =，令sin u x =，则2y u =，从而cos 2cos 2sin cos x u y y x u x x x ''=⨯== sin 2x =.故选：D.8．函数e sin 2x y x =的导数为（ ） A ．2e cos2x y x '=B ．()e sin22cos2xy x x '=+C ．()2e sin22cos2xy x x '=+D ．()e 2sin2cos2xy x x '=+【答案】B 【分析】结合导数的运算法则即可求出结果. 【解析】由题意结合导数的运算法则可得()()()e sin 2e sin 2e sin 22cos2x x x y x x x x '''=⋅+⋅=+. 故选：B.二、多选题9．以下函数求导正确的是( ) A ．若()2211x f x x -=+，则()()2241x f x x '=+ B ．若()2e x f x =则()2e xf x '=C ．若()f x ()f x '=D ．设()f x 的导函数为()f x '，且()()232ln f x x xf x '=++，则()924f '=-【答案】ACD 【分析】利用求导法则逐项检验即可求解. 【解析】对于A ，()()()()()2222222112411x x x xxf x xx+--⋅'==++，故A 正确；对于B ，()22e 22e x xf x =⋅='，故B 错误；对于C ，()()()()111222121212212f x x x x --'⎡⎤'=-=⋅-⋅=-⎢⎥⎣⎦C 正确； 对于D ，()()1232f x x f x''=++，所以()924f '=-，故D 正确．故选：ACD.10．（多选）函数()x f x x =（0x >），我们可以作变形：()ln ln e e xx x x x f x x ===，所以()xf x x =可看作是由函数()e t p t =和()ln g x x x =复合而成的，即()x f x x =（0x >）为初等函数．对于初等函数()1x h x x =（0x >）的说法正确的是（ ） A ．无极小值 B ．有极小值1 C ．无极大值 D ．有极大值1e e【答案】AD 【分析】根据材料，把函数改写为复合函数的形式()111ln ln e exx x xxh x x ===，求导，分析导函数正负，研究极值，即得解【解析】根据材料知()111ln ln e exx x xxh x x ===，所以()ln ln 111ee ln x x xx x h x x '⎛⎫'=⋅=⋅ ⎪⎝⎭()1ln 222ln ln 111e 1x x x x x x x ⎛⎫-+=⋅- ⎪⎝⎭． 令()0h x '=，得e x =，当0e x <<时，()0h x '>，此时函数()h x 单调递增， 当e x >时，()0h x '<，此时函数()h x 单调递减， 所以()h x 有极大值()1e e e h =，无极小值 故选：AD ．11．函数()y g x =在区间[a ，]b 上连续，对[a ，]b 上任意二点1x 与2x ，有1212()()()22x x g x g x g ++<时，我们称函数()g x 在[a ，]b 上严格上凹，若用导数的知识可以简单地解释为原函数的导函数的导函数（二阶导函数）在给定区间内恒为正，即()0g x ''>.下列所列函数在所给定义域中“严格上凹”的有（ ） A ．2()log (0)f x x x => B ．()2x f x e x -=+C ．3()2(0)f x x x x =-+<D ．2()sin (0)f x x x x π=-<<【答案】BC 【分析】根据题目中定义，逐个判断各函数是否满足条件二阶导函数大于零，即可解出． 【解析】由题意可知，若函数在所给定义域中“严格上凹”，则满足()0f x ''>在定义域内恒成立． 对于A ，2()log (0)f x x x =>，则2111()()0ln 2ln 2f x x x '''==-⋅<在0x >时恒成立， 不符合题意，故选项A 错误；对于B ，()2x f x e x -=+，则()(21)20x x f x e e --'''=-+=>恒成立， 符合题意，故选项B 正确；对于C ，3()2(0)f x x x x =-+<，则2()(32)60f x x x '''=-+=->在0x <时恒成立， 符合题意，故选项C 正确；对于D ，2()sin (0)f x x x x π=-<<，则()(cos 2)sin 20f x x x x ''=-'=--<在0πx <<时恒成立，不符合题意，故选项D 错误. 故选：BC.第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、填空题12．若定义在R 上的函数()f x 满足()()30f x f x '->，13f e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则不等式()3xf x e >的解集为________________． 【答案】1,3⎛+∞⎫⎪⎝⎭【分析】 构造()3()xf x F e x =，由已知结合导数判断函数的单调性，利用函数的单调性解不等式. 【解析】构造()3()x f x F e x =，则()3363()3()()3()x x x x e f x e f x F f x f x e x e''-=-='， 函数()f x 满足()()30f x f x '->，则()0F x '>，故()F x 在R 上单调递增．又∵13f e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则113F ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 则不等式3()x f x e >∵3()1x f x e >，即1()3F x F ⎛⎫> ⎪⎝⎭， 根据()F x 在R 上单调递增，可知1,3x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭． 故答案为：1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭13．已知函数())()cos0f x θθπ=+<<，若()()f x f x '+是奇函数，则θ=______． 【答案】6π【分析】首先利用复合函数求导法则求出()f x '，然后利用辅助角公式化简()()f x f x '+，根据奇函数性质可得到()6k k Z πθπ-=∈，最后结合θ的范围即可求解.【解析】因为())f x θ'=+，所以()()))cos 2sin 6f x f x πθθθ⎫'+=++=-+-⎪⎭， 若()()f x f x '+为奇函数，则()()000f f '+=，即2sin 06πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 所以()6k k Z πθπ-=∈，又因为()0,θπ∈，所以6πθ=． 故答案为：6π.14．设()f x =()2f '=______． 【答案】2##0.45【分析】利用复合函数求导求出'()f x 即可求解.【解析】令ln y u =，12u t ==，21t x =+， 从而'1yu =，1'212u t -=='2t x =， 故'21()21x f x x u x ==+， 所以()225f '=． 故答案为：25.四、解答题 15．求下列函数的导数．（1）()991y x =+（2）y =（3）()()23sin 25y x x =-+；（4）cos(32)2x y x-= （5）()()231ln 3y x x =+（6）33x x y e -=．【答案】（1）9899(1)y x '=+（2）()122121x x y x -+'=+（3）()()()2sin 2c 6os 5425y x x x +'=+-+（4）()()26sin 322cos 324x x x y x ----'=（5）()()()236311ln 3x x x x y ++=+（6）333ln 333x x x x y e e --'=-⋅【分析】直接利用导数的运算法则、基本初等函数的导数公式以及简单复合函数的导数计算法则求解． （1）解：99(1)y x =+，989899(1)(1)99(1)y x x x ∴'=++'=+；（2）解：因为y =()()1222121x x x x y x -''⋅-+'==+（3）解：因为()()23sin 25y x x =-+，所以()()()()()()()23sin 2523sin 2552sin 2546cos 2x y x x x x x x '''+=-=⎤-+++⎡⎣+-+⎦（4） 解：因为cos(32)2x y x -=，所以[]()()()()()22cos(32)22cos 326sin 322cos 3242x x x x x x x y x x ''-------'== （5）解：因为()()231ln 3y x x =+，所以()()()()()()()222ln ln 31313313631ln 3x x x x y x x x x '+'⎡⎤+=⎣+=+++⎡⎤⎣⎦⎦ （6）解：因为33x x y e -=，所以()()3333333ln 333x x x x x x x x y e e e e ----'''=+=-⋅16．求下列函数的导数.（1）()sin 23y x =+；（2）21e x y -+=；（3）()22log 21y x =-. 【答案】（1）()2cos 23x +（2）212e x -+-（3）()2421ln 2x x -⋅【分析】（1）函数()sin 23y x =+可以看作函数sin y u =和23u x =+的复合函数，由复合函数的求导法则即可求出结果；（2）函数21e x y -+=可以看作函数u y e =和21u x =-+的复合函数，由复合函数的求导法则即可求出结果；（3）函数()22log 21y x =-可以看作函数2log y u =和221u x =-的复合函数，由复合函数的求导法则即可求出结果.（1）函数()sin 23y x =+可以看作函数sin y u =和23u x =+的复合函数，由复合函数的求导法则可得()()()sin 23cos 22cos 2cos 23x u x y y u u x u u x ''⋅'''=⋅=+=⋅==+. （2）函数21e x y -+=可以看作函数u y e =和21u x =-+的复合函数，由复合函数的求导法则可得()()()21e 21e 22eu u x x u x y y u x -+''''=⋅=⋅-+=⋅-=-'. （3）函数()22log 21y x =-可以看作函数2log y u =和221u x =-的复合函数，由复合函数的求导法则可得()2144ln 221ln 2x u x x y y u x u x '''=⋅=⋅=-⋅.。

由已知得f(1)=1，f(2)=－1，f ’(2)=1，
abc1
4
a
2b
c
1
4a b 1
a3
解得
b
11
c 9
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练习题 1．函数y=(5x－4)3的导数是（ ）C
（A）y’＝3(5x－4)2 （B）y’＝9(5x－4)2 （C）y’＝15(5x－4)2 （D）y’＝12(5x－4)2
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2．函数 y＝Acos(ωx+φ)（Aω≠0）的导数是 （）D
（A）y’=Asin(ωx+φ) （B）y’=－Asin(ωx+φ) （C）y’=Aωcos(ωx+φ) （D）y’=－Aωsin(ωx+φ)
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3．函数y=sin(x2+1)＋cos3x的导数是（ ） （BA）y’=cos(x2+1)－sin3x （B）y’=2xcos(x2+1)－3sin3x （C）y’=2xcos(x2+1)+3sin3x （D）y’=cos(x2+1)+sin3x
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4．函数y=(1+cosx)3是由 y=u3, u=1+cosx两个 函数复合而成．
5．函数y=3sin2x＋l在点(π，1)处的切线方程
是
y=1 .
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6．求 y3 ax2 bxc的导数
Байду номын сангаас
y
'
1
(ax2
bx
2
x) 3
(2ax
b)
3
(2ax b) 3 ax2 bx c 3(ax2 bx c)

§复合函数的求导法则基本初等函数的导数公式表导数的运算法则复合函数的概念一般地，对于两个函数()y f u =和()u g x =，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数，记作()()y f g x =。

复合函数的导数复合函数()()y f g x =的导数和函数()y f u =和()u g x =的导数间的关系为x u x y y u '''=⋅，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．若()()y f g x =，则()()()()()y f g x f g x g x ''''==⋅⎡⎤⎣⎦例1求y ＝sin （tan x 2）的导数． 【点评】求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果． 例2求y ＝axx a x 22--的导数．【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数．求导数后要予以化简整理． 例3求y ＝sin 4x ＋cos 4x 的导数．【解法一】y ＝sin 4x ＋cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2cos 2x ＝1－21sin 22 x ＝1－41（1－cos 4 x ）＝43＋41cos 4 x ．y ′＝－sin 4 x ． 【解法二】y ′＝(sin 4 x )′＋(cos 4 x )′＝4 sin 3 x (sin x )′＋4 cos 3x (cosx )′＝4 sin 3 x cos x ＋4 cos 3 x (－sin x )＝4 sin x cos x (sin 2 x －cos2x )＝－2 sin 2 x cos 2 x ＝－sin 4 x【点评】解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确．解法二是利用复合函数求导数，应注意不漏步．例4曲线y ＝x （x ＋1）（2－x ）有两条平行于直线y ＝x 的切线，求此二切线之间的距离．【解】y ＝－x 3 ＋x 2 ＋2 x y ′＝－3 x 2＋2 x ＋2令y ′＝1即3 x 2－2 x －1＝0，解得 x ＝－31或x ＝1．于是切点为P （1，2），Q （－31，－2714），过点P 的切线方程为，y －2＝x －1即 x －y ＋1＝0．显然两切线间的距离等于点Q 到此切线的距离，故所求距离为2|1271431|++-＝22716． 练1求下列函数的导数 (1) y =sin x 3+sin 33x ； （2）122sin -=x xy ； (3))2(log 2-x a 练2求)132ln(2++x x 的导数。

复合函数求导解析及练习复合函数求导研究目标：1.熟记基本初等函数求导公式2.能够使用基本初等函数求导公式求函数的导数3.能正确分解简单的复合函数，并记住复合函数的求导公式4.能求简单的形如f(ax+b)的复合函数的导数重点：能够分解简单的复合函数并求导难点：正确分解复合函数的复合过程新课讲授：探究1：探究函数y=ln2(x+1)的结构特点探究2：指出下列函数的复合关系1) y=(a+bx)^22) y=sin(x+1)复合函数的概念：一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x))。

复合函数的导数与函数y=f(g(x))和u=g(x)的导数间的关系为y'(x)=y'(u)·u'(x)，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积。

典例分析：例1（课本例4）求下列函数的导数：1) y=(2x+3)^2解：函数y可以看作函数y=u^2和u=2x+3的复合函数。

根据复合函数求导法则有y'(x)=y'(u)·u'(x)=(2u)(2)=4(2x+3)。

2) y=e^(−0.5x+1)解：函数y可以看作函数y=e^u和u=−0.5x+1的复合函数。

根据复合函数求导法则有y'(x)=y'(u)·u'(x)=e^u(−0.5)=−0.5e^(−0.5x+1)。

3) y=sin(πx+φ)（其中π,φ均为常数）解：函数y可以看作函数y=sin(u)的复合函数，其中u=πx+φ。

根据复合函数求导法则有y'(x)=y'(u)·u'(x)=cos(u)π=cos(πx+φ)π。

复合函数(讲义)1.复合函数定义如果函数y=f(u)，u=g(x)，那么函数y=f(g(x))就被称为复合函数，其中f(u)是外层函数，g(x)是内层函数，u是中间变量。

2.复合函数定义域的求法①如果y=f(x)的定义域为[a,b]，那么复合函数y=f(g(x))的定义域即为不等式a≤g(x)≤b的解集；②如果y=f(g(x))的定义域为[a,b]，那么函数y=f(x)的定义域即为x∈[a,b]时g(x)的取值范围。

注：同一对应法则f下的范围相同，即f(u)、f(g(x))、f(h(x))三个函数中，u，g(x)，f(x)的范围相同。

3.复合函数的单调性口诀：同增异减。

已知函数y=f(g(x))，则求其单调区间的一般步骤如下：1）确定定义域；2）将复合函数y=f(g(x))分解成：y=f(u)，u=g(x)；3）分别确定这两个函数的单调区间。

4.复合函数的奇偶性口诀：有偶则偶，全奇为奇。

即：f(x)。

偶函数。

偶函数。

奇函数。

奇函数g(x)。

偶函数。

奇函数。

偶函数。

奇函数f(g(x))。

偶函数。

偶函数。

偶函数。

奇函数精讲精练】1.1）f(g(x))=2(3x-5)+3=6x-7，g(f(x))=3(2x+3)-5=6x+4 2）f(x+1)=(x+1)²+1= x²+2x+22.1）f(x²)，则x²≥0，即定义域为[0,+∞)f(x-2)，则x-2≥0，即定义域为[2,+∞)2）f(x+1)，则x+1∈[-2,1]，即定义域为[-3,0]f(2)，则2∈[-2,1]，即定义域为[-3,0]3）f(2x)，则2x∈[-1,+∞)，即定义域为[-1/2,+∞)f(log₂x)，则log₂x∈[-1,+∞)，即定义域为[1/2,+∞) 4）f(x)=log₃x，则定义域为(0,+∞)3.1）y=log₁⁄₂(x²+6x+13)，x²+6x+13>0，即x∈(-∞,-3]∪(-3,-2]∪(-2,+∞)，值域为(-∞,+∞)2）y=(f(x²)+f(2-x))/(2-x²)，x²≤2，即x∈[-√2,√2]，(2-x)²>0，即2-x≠0，即x≠2，值域为(-∞,a]∪[b,+∞)，其中a=f(2-√2)+f(√2-2)，b=f(2+√2)+f(-√2-2)3）y=log₂(4x²-1)，4x²-1>0，即x∈(-∞,-1/2)∪(1/2,+∞)，值域为(-∞,+∞)4.已知y=ax²/(x²+1)-11x²/(x²+4)，化简得y=-3x²(x²+1)/(x²+4)(x²+1)，x²+4>0，即x∈(-∞,-2)∪(-2,+∞)，x²+1>0，即x∈(-∞,+∞)，因此定义域为(-∞,-2)∪(-2,+∞)，值域为(-∞,0]1.函数f(x)=3x^2-18x+24在x∈[1,8]时有最小值8，则函数的最小值为8，求a的值。