成都市锦江区2024-2025学年新高一数学入学测试（答案在最后）测试时间：120分钟满分：150分一，单项选择题.（每题5分，共40分）1.在平面直角坐标系中，两条直线（）时候垂直？A.斜率之积为-1时B.两条直线有1个公共点的时候C.两条直线分别与坐标轴垂直的时候D.以上答案均不正确【答案】A【解析】【分析】由两直线垂直的定义逐个判断即可.【详解】对于A ：斜率之积为-1时，两直线垂直，正确对于B ：两条直线有1个公共点的时候，可能相交但不垂直，错误对于C ：两条直线分别与坐标轴垂直的时候，如果是同一坐标轴，那么平行，错误对于D ：错误故选：A2.关于数的分类，以下说法正确的是（）A.无理数相加不可能是有理数B.π是无限不循环小数C.0不属于自然数集D.若抛物线2y ax bx c =++的系数,a b 均不是整数，那它的对称轴x t =，t 也不是整数【答案】B【解析】【分析】由0=，可判断A ；π是无限不循环小数可判断B ；0属于自然数集可判断C ；由11,42a b =-=，求得对称轴判断D.【详解】对于A ：由0=，故两个无理数的和可能是有理数，故A 错误；对于B ：π是无限不循环小数，故B 正确；对于C ：0属于自然数集，故C 错误；对于D ：抛物线2y ax bx c =++的对称轴为2b x a =-，当11,42a b =-=时，对称轴为1x =，故D 错误.故选：B.3.下面说法正确的是（）A.两个不同的点确定一条直线，三个不同的点确定一条曲线B.如果只知道抛物线的一个点，那么在某些情况也是可以确定它的解析式的C.函数2y ax bx c =++的对称轴只有一条D.反比例函数上的三个不同的点可能在某些情况是共线的【答案】B【解析】【分析】举例说明三个不同的点不能确定一条曲线，判断A ，举例说明在特殊条件下，已知抛物线上的一个点，可以求其解析式，判断B ，取0,1a b ==，函数y x c =+没有对称轴，判断C ；设反比例函数上存在三个点共线，联立反比例函数的解析式与直线方程，化简推出矛盾，判断D.【详解】因为点()()()2,2,1,4,2,2--都在抛物线24y x x =-++上，点()()()2,2,1,4,2,2--也都在反比例函数4y x=的图象上，所以三个不同的点不能确定一条曲线，A 错误；若抛物线的解析式为2y ax =，且抛物线过点()1,1，则1a =，此时抛物线的解析式为2y x =，故如果只知道抛物线的一个点，那么在某些情况也是可以确定它的解析式的，B 正确；当0,1a b ==，函数2y ax bx c =++的解析式可化为y x c =+，该函数的图象没有对称轴，C 错误；设反比例函数的解析式为k y x=，设函数k y x=的图象上存在三个不同的点共线，则该直线方程不可能为x t =，设其解析式为y mx n =+，联立y mx n k y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，化简可得200mx nx k x ⎧+-=⎨≠⎩，因为方程20mx nx k +-=至多只有2个解，所以方程组至多只有2组解，矛盾，D 错误.故选：B.4.下面说法正确的是（）A.借助两点间距离公式，可以知道甲地到乙地的路程B.两点间距离公式是通过勾股定理推导出来的C.满足()()222x a y b t -+-=这样轨迹方程的一定是圆，因为圆的有一个定义是，点(),x y 到定点距离(),a b 为定值t 的轨迹，再根据两点间距离公式，将这个转换为数学语言，就是()()222x a y b t -+-=D.以上选项均不正确【答案】D【解析】【分析】根据两点间的距离公式、圆等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A 选项，两点间的距离是两点间的直线距离，甲乙两地的道路不一定是直线，所以A 选项错误.B 选项，两点间距离公式可以通过勾股定理来推导，也可以通过向量法、解析几何法、坐标变换法、微积分等方法来进行推导，所以B 选项错误.C 选项，当0t =时，满足()()2220x a y b t -+-==的点(),x y ，即点(),a b ，所以C 选项错误.故选：D5.老师们常常给我们说，“努力学习不一定有好结果，但是不努力学习一定没有好结果”，对于这句话，正确的理解是（）A .任何时候不管努力学习，或者不努力学习，都不一定有好结果B.不努力学习也可能有好结果C.努力学习一定有好结果D.如果没有取得好结果，那么一定没有努力【答案】A【解析】【分析】根据给定的语句的正确性，逐一分析各个选项即可.【详解】对于A ，由给定的语句知，努力学习，或者不努力学习，都不一定有好结果，A 正确.对于B ，由给定的语句知，不努力学习一定没有好结果，B 错误；对于C ，由给定的语句知，努力学习不一定有好结果，C 错误；对于D ，命题“如果没有取得好结果，那么一定没有努力”，等价于：如果努力，就能取得好结果，D 错误.故选：A6.抛物线与圆相交形成的交点（）A.横坐标相加之和为0B.可能有3个C.将交点连接后，其形状可能是等腰梯形或一条直线D.以上说法均不正确【答案】B【解析】【分析】由抛物线2(1)y x =-与圆22(1)(1)1x y -+-=有三个交点可判断每个选项的正确性.【详解】若抛物线方程为2(1)y x =-，圆的方程为22(1)(1)1x y -+-=，联立方程组解得0y =或1y =，当0y =时，1x =，当1y =时，0x =或2x =，故此时抛物线与圆有三个交点(1,0),(0,1),(2,1)，故B 正确；故横坐标之和不为0，故A 错误；连接交点可得一个三角形，故C 错误.故选：B.7.请结合计算和画图，判断22sin cos αα+=（）A.1B.2C.3D.无法确定【答案】A【解析】【分析】作出直角三角形，利用锐角三角函数的定义计算判断即可.【详解】在Rt ABC △中，令锐角α的对边为a ，邻边为b ，斜边为c ，则222c a b =+，sin ,cos a b c c αα==，所以2222222sin cos ()()1a b a b c c c αα++=+==.故选：A8.已知2b a c =+，则直线0ax by c ++=恒过定点（）A.(1,2)- B.(1,2)C.(1,2)- D.(1,2)--【答案】A【解析】【分析】由题意可得(1)(2)0a x b y -++=，可得定点坐标.【详解】因为2b a c =+，所以2c b a =-，由0ax by c ++=，可得(2)0ax by b a ++-=，所以(1)(2)0a x b y -++=，当1,2x y ==-时，所以(11)(22)0a b -+-+=对,a b 为任意实数均成立,故直线过定点(1,2)-.故选：A.二.不定项选择题.（每题6分，共18分）9.当二次函数自变量有范围限制的时候，会出现（）情况A.若限制范围包含顶点，那么最小值或最大值是不变的B.若限制范围不包含顶点，那么一定存在最小值或者最大值C.若限制范围不包含顶点，那么一定存在最小值和最大值D.若限制范围为确定的值，而不是一个区间，那么它的最小值和最大值相等【答案】AD【解析】【分析】根据给定条件，结合二次函数图象性质逐项判断即得.【详解】对于A ，限制范围包含顶点，若二次函数图象开口向上，则顶点的纵坐标值为二次函数最小值；若二次函数图象开口向下，则顶点的纵坐标值为二次函数最大值，因此最小值或最大值不变，A 正确；对于BC ，限制范围不包含顶点，当限制范围的端点值不能被取到时，该函数可能没有最小值和最大值，BC 错误；对于D，限制范围为确定的值，而不是一个区间，该函数只有一个函数值，其最小值和最大值相等，D正确.故选：AD10.下面图形是矩形的是（）A.长方形B.正方形C.菱形D.直角梯形【答案】AB【解析】【分析】由矩形的定义可得结论.【详解】由矩形的定义可得是矩形的有长方形，正方形.故选：AB.11.一个直角三角形，直角边分别是1,aa，那么下面说法正确的是（）A.B.斜边长度最小值是2C.将其绕其直角顶点旋转一周，那么其斜边上任何一个点（包含端点）的运动轨迹都是圆D.这个直角三角形可能是等腰直角三角形【答案】ACD【解析】【分析】根据给定条件，结合直角三角形的性质逐项判断即可.【详解】对于A A正确；对于B=≥1aa=，即1a=取等号，B错误；对于C，直角三角形斜边上一点与直角顶点为端点的线段，绕直角顶点旋转一周，另一端点的轨迹是圆，C 正确；对于D，当1a=时，该直角三角形是等腰直角三角形，D正确.故选：ACD三.填空题：（每题5分，共15分）12.若集合A有3个元素，集合B有4个元素，那么集合A和集合B的交集可能有_________个元素.【答案】0或1或2或3【解析】【分析】利用集合,A B 公共元素个数即可得解.【详解】集合A 有3个元素，集合B 有4个元素，则集合,A B 的公共元素个数最多为3个，所以集合A 和集合B 的交集可能有0或1或2或3.故答案为：0或1或2或313.已知一元二次方程23440x x -+=的两根分别为,a b ，那么a b +=_________.【答案】43-【解析】【分析】由一元二次方程根与系数的关系求解即可.【详解】因为一元二次方程23440+-=x x 的两根分别为,a b ，所以43a b +=-.故答案为：43-.14.函数()223y ax a x a =+-+（a 为确定的实数）的因变量取值范围是__________.【答案】当0a =时，因变量的取值范围是R ；当0a >时，因变量的取值范围是21144,4a a a ⎡⎫+-+∞⎪⎢⎣⎭；当0a <时，因变量的取值范围是21144,4a a a ⎛⎤+--∞ ⎥⎝⎦.【解析】【分析】对a 进行分类讨论，根据一次函数、二次函数的知识求得正确答案.【详解】当0a =时，2y x =，则y ∈R ；当0a ≠时，二次函数()223y ax a x a =+-+，则顶点的纵坐标为()22432114444a a a a a a a⋅--+-=，所以，当0a >时，因变量的取值范围是21144,4a a a ∞⎡⎫+-+⎪⎢⎣⎭；当0a <时，因变量的取值范围是21144,4a a a ∞⎛⎤+-- ⎥⎝⎦.故答案为：当0a =时，因变量的取值范围是；当0a >时，因变量的取值范围是21144,4a a a ∞⎡⎫+-+⎪⎢⎣⎭；当0a <时，因变量的取值范围是21144,4a a a ∞⎛⎤+-- ⎥⎝⎦.四．解答题：（15题13分，16题～17题每题15分，18～19题每题17分，共77分）15.已知2()34f x x x =-，请作出(||)f x ，|()|f x ，(1)f x -的图象，并说说你是怎么作出的.【答案】作图见解析.【解析】【分析】利用函数()f x 利用变换法作出图象，并叙述作图过程.【详解】当0x ≥时，(||)()f x f x =，此时(||)f x 的图象为函数()f x 图象在y 轴及右侧图象，当0x <时，)(||)(f x f x =-，此时(||)f x 的图象为函数()f x 在y 轴右侧图象关于y 轴对称而得，函数(||)f x 的图象，如图，当()0f x ≥时，|()|()f x f x =，此时|()|f x 的图象为函数()f x 图象在x 轴及上方图象，当()0f x <时，|()|()f x f x =-，此时|()|f x 的图象为函数()f x 在x 轴下方图象关于x 对称而得，函数|()|f x 的图象，如图：函数(1)f x -的图象是将函数()f x 图象向右平移1个单位而得，如图.16.请利用3种方法证明勾股定理.并说出一例勾股定理在生活中的运用.【答案】证明见解析，举例见解析.【解析】【分析】方法一：过C 作CD AB ⊥，垂足为D ，证明ACB CDB ∽，由此可得2BC AB BD =⋅，同理可得2AC AB AD =⋅，由此证明结论；方法二：以AB 为边作正方形ABEF ，过点E 作EN BC ⊥垂足为N ，过点F 作FM EN ⊥，垂足为M ，延长AC ，交FM 于点G ，证明ABC BEN EFM FAG ≅≅≅ ，再证明四边形CNMG 为正方形，结合面积关系证明结论；方法三：以点A 为圆心，AC 为半径作圆，分别交AB 和BA 的延长线于点,Q P ，证明BC 为圆A 的切线，结合切割线定理证明结论.再举例说明勾股定理在生活中的应用.【详解】如图，在直角三角形ABC 中，AC BC ⊥，求证：222AC BC AB +=.方法一：过C 作CD AB ⊥，垂足为D ，则90A ACD ︒∠+∠=，90BCD ACD ︒∠+∠=，故A BCD ∠=∠，又ACB CDB ∠=∠，所以ACB CDB ∽，所以BC BD AB BC=，即2BC AB BD =⋅，同理：2AC AB AD =⋅，所以()222AC BC AB AD AB BD AB AD BD AB +=⋅+⋅=+=，所以222AC BC AB +=.方法二：如图，以AB 为边作正方形ABEF ，过点E 作EN BC ⊥垂足为N ，过点F 作FM EN ⊥，垂足为M ，延长AC ，交FM 于点G ，由已知，90GCN MNC GMN ∠=∠=∠= ，所以90MGC ∠= ，故90AGF ∠= ，因为90ABC EBN ∠+∠= ，90BEN EBN ∠+∠= ,所以ABC BEN ∠=∠，又ACB BNE ∠=∠，AB BE =，所以ABC BEN ≅ ,同理可证BEN EFM ≅ ，EFM FAG ≅ ，所以AB EN FM AG ===，AC BN EM FG ===，所以CN NM MG GC BC AC ====-，又90GCN MNC GMN ∠=∠=∠= ，所以四边形CNMG 为正方形，设正方形ABEF 的面积为S ，正方形CNMG 的面积为1S ，ABC V 的面积为2S ，则124S S S +=，所以()22142BC AC BC AC AB -+⨯⋅=，所以222BC AC AB +=.方法三：以点A 为圆心，AC 为半径作圆，分别交AB 和BA 的延长线于点,Q P ，则AC AQ AP ==，因为90ACB ∠= ，点C 在圆A 上，所以BC 为圆A 的切线，所以()()()()222BC BQ BP BA AQ BA AP A B AC AB AC AB AC =⋅=-+=-+=-，所以222BC AC AB +=.家装时，工人为了判断一个墙角是否标准直角，可以分别在墙角向两个墙面量出30cm 40cm ，并标记在一个点，然后量这两点间距离是否是50cm ，如果超出一定误差，则说明墙角不是直角.17.请讨论方程()2223430a a x ax --+-=解的个数.【答案】答案见解析【解析】【分析】根据a 的不同取值分类讨论，结合一元二次方程性质判断解的个数，即可得到答案.【详解】当()()223310a a a a --=-+=，即3a =或1a =-时，方程()222343y a a x ax =--+-为一元一次方程，有一个解；当()()223310a a a a --=-+≠，即3a ≠且1a ≠-时，方程()222343y a a x ax =--+-为一元二次方程，()()()222Δ44233282436a a a a a =----=--，令22824360y a a =--=，即27690a a --=，解得37a ±==，所以当37a ±=时，0∆=，方程()2223430a a x ax --+-=有一个解，当3377a -+<<时，0∆<，方程()2223430a a x ax --+-=无解，当3627a -<且1a ≠-或3627a +>且3a ≠时，0∆>，方程()2223430a a x ax --+-=有两个解，综上，当3a =或1a =-或37a ±=时，方程有1个解，当3377a -+<<时，方程无解，当当3627a -<且1a ≠-或3627a +>且3a ≠时，方程有两个解.18.已知抛物线C 的顶点在原点，开口向上，且经过点(,)m n .（1）求它向左平移3个单位，向上平移1个单位后的解析式；（2）当m ，n 是方程28150x x -+=的两根的时候，求抛物线C 的解析式；（3）求经过(,)m n 的切线方程，并说明这样的切线有几条.【答案】（1）22(3)1n y x m =++；（2）259y x =或2325y x =；（3）2n y x n m =-，1条.【解析】【分析】（1）求出抛物线C 的解析式，利用平移变换求出解析式.（2）求出,m n ，再分类求出解析式.（3）求出过点(,)m n 的切线方程，再与抛物线方程联立即可求解即得.【小问1详解】依题意，设抛物线C 的解析式为2,0y ax a =>，则2n am =，解得2n a m=，因此抛物线的解析式为22,0n y x n m =>，将抛物线C 向左平移3个单位，向上平移1个单位后的解析式为22(3)1n y x m=++.【小问2详解】解方程28150x x -+=，得123,5x x ==，当3,5m n ==时，抛物线C 对应的解析式为259y x =，当5,3m n ==时，抛物线C 对应的解析式为2325y x =，所以抛物线C 的解析式为259y x =或2325y x =.设过点(,)m n 的切线方程为y kx b =+，则n km b =+，解得b n km =-，即切线方程为y kx n km =+-，由22n y x m y kx n km⎧=⎪⎨⎪=+-⎩消去y 得220n x kx n km m --+=，22224()(0n n k km n k m m ∆=-⋅-=-=，解得2n k m =，所以经过(,)m n 的抛物线切线方程为2n y x n m =-，这样的切线方程只有一条.19.在初中的时候，我们知道三角形是有稳定性的，那为什么它有稳定性，而平行四边形没有稳定性呢？GGbond 数学研究小组对这个问题进行了探究，上网查阅了资料，了解了一个公式，已知三角形三边长度为a ，b ，c ，三个角为A ，B ，C ，那么222cos 2b a c B ac-++=，请你结合这个公式，来思考这个问题，并回答：（1）请利用这个公式说明边长为3，3，7的三角形是不存在的；（2）证明这个公式；（3）若一个平行四边形四边长为1，1，2，2，请说明这样的平行四边形有几个，请直接写出你的答案；（4）请利用这个公式，阐述为什么三角形有稳定性，而平行四边形没有稳定性.【答案】（1）见解析（2）见解析（3）无数个；（4）见解析.【解析】【分析】（1）由题意求出49cos 142B =>，即可判断；（2）以B 为坐标原点，边AB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，由两点间的距离公式即可证明.（3）如图，设2,1AD AB ==，由题意可得254cos BD A =-，当BD 长度变化时，cos A 也会变化，所以说明这样的平行四边形有无数个.（4）三角形的三边长是固定的，由题意可知三个角的余弦值也是固定的，所以三角形有稳定性，当一个平行四边形四边长固定，由题意可知平行四边形的角不固定.【小问1详解】设3,3,7a b c ===，所以222994949cos 1223742b ac B ac -++-++===>⨯⨯，所以边长为3，3，7的三角形是不存在的.如图，以B 为坐标原点，边AB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则()()()0,0,,0,cos ,sin B A c C a B a B ，所以b AC ===，所以b =，所以2222cos b a c ac B =+-，所以222cos 2b a c B ac-++=.【小问3详解】无数个.如图，设2,1AD AB ==，则2222125cos 2124BD BD A +--==⨯⨯，所以254cos BD A =-，当BD 长度变化时，cos A 也会变化，所以若一个平行四边形四边长为1，1，2，2，这样的平行四边形有无数个.【小问4详解】三角形的三边长是固定的，由222cos 2b a c B ac-++=可知，三个角的余弦值也是固定的，所以三角形有稳定性，当一个平行四边形四边长固定，但是平行四边形的四个角不固定，所以平行四边形没有稳定性.。
