江苏省2020年高考数学压轴卷含解析

2020届江苏省高考数学押题卷数学I一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分．请把答案写在答题纸的指定位置上．1．已知集合{|02}A x x =<<，{|11}B x x =-<<，则A B =U ．2．设复数z 满足(1i)i z ⋅-=（其中i 为虚数单位），则z 的模为 ．3．一组数据3，x ，5，6，7的均值为5，则方差为 ．4．右图是一个算法的伪代码，其输出的结果为 ．5．袋中有形状、大小都相同的5只球，其中2只白球，3只红球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色相同的概率为 ．6．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，AB =3，AA 1=2，P ，M 分别为BD 1，B 1C 1上的点． 若112BP PD =，则三棱锥M -PBC 的体积为______．7．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一个焦点到一条渐近线的距离为2a ，则该双曲线的离心率为 ．8． 若将函数f (x )的图象向右平移π6个单位后得到函数()π4sin 23y x =-的图象，则()π4f =______． 9． 已知函数()f x 是R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋m (m 为常数)，则2(log 5)f -的值为______．10．已知函数2()e (1)x f x x ax =++的单调减区间为()ln ln e e b a ，，则a b 的值为______． 11．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ：y ＝2x 上在第一象限内的点，B (5，0)，以AB 为直径的 圆C 与直线l 交于另一点D ．若AB ⊥CD ，则点A 的横坐标为 ．12．设H 为三角形ABC 的垂心，且3450HA HB HC ++=u u u r u u u r u u u r r ，则cos BHC ∠= ．13．已知函数f (x )满足1()+()x f x f x e'=，且f (0)=1，则函数[]21()3()()2g x f x f x =-的零点个数是 ．14．若数列{}n a 满足21321111222n n a a a a a a --<-<<-<L L ，则称数列{}n a 为“差半递增”数列．若数列{}n a 为“差半递增”数列，其前n 项的和为n S ，且满足221()n n S a t n N *=+-∈，则实数t 的取值范围为 ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出 文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）在三棱锥S —ABC 中，平面SAB ⊥平面SBC ，AB ⊥BC ，AS ＝AB ，过A 作AF ⊥SB ，垂足为F ，点E ，G 分别是棱SA ，SC 的中点．（1）求证：平面EFG ‖平面ABC ．（2）求证：BC ⊥SA ．16．（本小题满分14分）已知△ABC 的内角的对边分别为a 、b 、c ．（1）若π3B =，b =，△ABC 的面积S ，求a+c 值； （2）若()22cos C BA BC AB AC c ⋅+⋅=u u u v u u u v u u u v u u u v ，求角C ．椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的离心率为13，左焦点F 到直线l ：x ＝9的距离为10， 圆G ：(x －1)2+y 2＝1．（1）求椭圆的方程；（2）若P 是椭圆上任意一点，EH 为圆G ：(x －1)2+y 2＝1的任一直径，求PE PH ⋅u u u r u u u r 的取值 范围；（3）是否存在以椭圆上点M 为圆心的圆M ，使得圆M 上任意一点N 作圆G 的切线，切点为T ，都满足NF NT =M 的方程；若不存在，请说明理由．18．（本小题满分16分）如图，在某商业区周边有两条公路1l 和2l ，在点O 处交汇；该商业区为圆心角π3， 半径3km 的扇形．现规划在该商业区外修建一条公路AB ，与12l l 、分别交于A B 、，要求AB 与扇形弧相切，切点T 不在12l l 、上．（1）设km,km,OA a OB b == 试用,a b 表示新建公路AB 的长度，求出,a b 满足的关系式，并写出,a b 的范围；（2）设α=∠AOT ，试用α表示新建公路AB 的长度，并且确定A B 、的位置，使得新建公路AB 的长度最短．已知函数f (x )＝x 3－x +2x ．（1）求函数y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；（2）令g (x )2ln x +，若函数y ＝g (x )在(e ，+∞)内有极值，求实数a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，对任意t ∈(1，+∞)，s ∈(0，1)，求证：1()()e 2eg t g s ->+- ．20．（本小题满分16分）已知数列{a n }，{b n }满足，2S n ＝(a n +2)b n ，其中n S 是数列{a n }的前n 项和．（1）若数列{a n }是首项为23，公比为13-的等比数列，求数列{b n }的通项公式； （2）若b n ＝n ，a 2＝3，求证：数列{a n }满足a n +a n +2＝2a n +1，并写出数列{a n }的通项公式；（3）在（2）的条件下，设 n n na cb =．试问，数列{c n }中的任意一项是否总可以表示成该数列其他两项之积？若可以，请证明之；若不可以，请说明理由．数学Ⅱ（附加题）满分40分考试时间30分钟21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，每小题10分．若多做，则按作答的前两题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．B．（选修4－2：矩阵与变换）已知线性变换T1是按逆时针方向旋转90︒的旋转变换，其对应的矩阵为M，线性变换T2：2,3x xy y'=⎧⎨'=⎩对应的矩阵为N．（1）写出矩阵M、N；（2）若直线l在矩阵NM对应的变换作用下得到方程为y＝x的直线，求直线l的方程．C．选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的参数方程为,2sinxyαα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α∈R，α为参数），曲线C2的极坐标方程为cos sin50ρθθ-=．（1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）设P为曲线C1上一点，Q曲线C2上一点，求线段PQ的最小值．【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1，AB＝2，AA1＝1，直线BD与平面AA1B1B所成的角为30︒，AE垂直BD于点E、F为A1B1的中点．（1）求异面直线AE与BF所成角的余弦值；（2）求平面BDF与平面AA1B1B所成二面角（锐角）的余弦值．23．（本小题满分10分）设集合S＝{1，2，3，…，n}（n≥5，n∈N*），集合A＝{a1，a2，a3}满足a1＜a2＜a3，且a3－a2≤2，A⊆S．（1）若n = 6，求满足条件的集合A的个数；（2）对任意的满足条件的n及A，求集合A的个数．。

江苏省2020年高考名师押题信息卷数 学2020.6.29Ⅰ卷一. 填空题：本大题共14小题，每小题5分共计70分1．设集合A ＝{x |（x +1）（x ﹣2）＜0}，集合B ＝{x |1＜x ＜3}，则A ∪B ＝__________．2．i 是虚数单位，则|2+i 1−i|的值为__________． 3．若执行如图所示的算法流程图，则输出的结果是__________．4．（如图是一组样本数据的频率分布直方图，则依据图形中的数据，可以估计总体的平均数与中位数分别是__________5．有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为__________．6.已知cos 6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭_____________.7．设S n 是等比数列{a n }的前n 项的和，S 3，S 9，S 6成等差数列，则a 2+a 5a 8的值为__________．8．在平面直角坐标系xoy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条准线与两条渐近线恰能围成一个等边三角形，则该双曲线的离心率为______．9．在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 两点在圆x 2+y 2＝1上，若直线x +y −√6=0上存在点C ，使△ABC 是边长为1的等边三角形，则点C 的横坐标是__________．10．如图，是一个四棱锥的平面展开图，其中间是边长为2的正方形，上面三角形是等边三角形，左、右三角形是等腰直角三角形，则此四棱锥的体积为__________．11．已知函数f （x ）＝x 2﹣2x +3a ，g （x ）=2x−1．若对∀x 1∈[0，3]，总∃x 2∈[2，3]，使得f （x 1）≤g （x 2）成立，则实数a 的取值集合为__________． 12．在ABC ∆中，3,2,AB AC D ==为边BC 上一点．若25,3AB AD AC AD ⋅=⋅=-u u u v u u u v u u u v u u u v ，则AB AC ⋅u u u v u u u v 的值为_________．13．已知向量()1,3a =v ，(),1b x y =-v 且//a b v v ，若实数,x y 均为正数，则31x y+最小值是______ 14．已知f （x ）是R 上的偶函数，且f(x)={3x ，0≤x ＜1(13)x +1，x ≥1，若关于x 的方程f 2（x ）﹣mf （x ）＝0有三个不相等的实数根，则m 的取值范围__________．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15. (本小题满分14分)已知函数()221()cos sin cos ()2f x x x x x x R =+-∈. (1)求()f x 的单调递增区间.(2)在ΔABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若f (A )=1，c =10，cosB =17，求ΔABC 的中线AD 的长.16. (本小题满分14分)如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，四边形ABCD 为平行四边形，∠BAP ＝∠CDP ＝90°，E 为PC 中点． （Ⅰ）求证：AP ∥平面EBD ；（Ⅱ）若△P AD 是正三角形，且P A ＝AB ．（i ）当点M 在线段P A 上什么位置时，有DM ⊥平面P AB ；（ii ）在（i ）的条件下，点N 在线段PB 什么位置时，有平面DMN ⊥平面PBC ．17. (本小题满分14分) 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的下顶点为B ，点,M N 是椭圆上异于点B 的动点，直线,BM BN 分别与x 轴交于点,P Q ，且点Q 是线段OP 的中点．当点N 运动到点处时，点Q 的坐标为(,0)3． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线MN 交y 轴于点D ，当点,M N 均在y 轴右侧，且2DN NM =u u u v u u u u v时，求直线BM 的方程．。

2020年江苏省高考数学压轴试卷（6月份）一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合，，则______．2.已知复数，则______．3.某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为______．4.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为______．5.已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程是______．6.某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为________．7.已知点P在抛物线上运动，F为抛物线的焦点，点A的坐标为，则的最小值是______．8.已知，都是锐角，，，则的值等于______．9.在体积为9的斜三棱柱中，S是上的一点，的体积为2，则三棱锥的体积为______10.在等差数列中，，则数列的前11项和等于______ ．11.如图，三棱锥中，已知平面ABC，是边长为2的正三角形，E为PC的中点．若直线AE与平面PBC所成角的正弦值为，则PA的长为______．12.如图，在四边形ABCD中，，点M，N分别是边AD，BC的中点，延长BA和CD交MN的延长线于不同的两点P，Q，则的值为______．13.已知函数，若有两个零点，，则的取值范围______．14.在中，记角A，B，C所对的边分别是a，b，c，面积为S，则的最大值为______．二、解答题（本大题共11小题，共142.0分）15.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，求a的值；若，求周长的取值范围．16.如图，在直三棱柱中，，D，E分别是AB，AC的中点．求证：平面；求证：平面平面．17.如图所示，为美化环境，拟在四边形ABCD空地上修建两条道路EA和ED，将四边形分成三个区域，种植不同品种的花草，其中点E在边BC的三等分处靠近B点，百米，，，百米，．求区域的面积；为便于花草种植，现拟过C点铺设一条水管CH至道路ED上，求当水管CH最短时的长．18.己知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，P是椭圆C上的一个动点，且面积的最大值为．求椭圆C的方程；设斜率不为零的直线与椭圆C的另一个交点为Q，且PQ的垂直平分线交y轴于点，求直线PQ的斜率．19.数列的前n项和记为，且，数列是公比为q的等比数列，它的前n项和记为若，且存在不小于3的正整数k，m，使若，，求，证明：数列为等差数列；若，是否存在整数m，k，使，若存在，求出m，k的值；若不存在，说明理由．20.已知函数．当时，求函数的图象在处的切线方程；若对任意，不等式恒成立，求a的取值范围；若存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求a的取值范围．21.求椭圆C：在矩阵对应的变换作用下所得曲线的方程．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数，以原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．求曲线C的极坐标方程；在平面直角坐标系xOy中，，，M是曲线C上任意一点，求面积的最小值．23.已知x，y，z均为正数，且，求证：．24.厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品．若厂家库房中视为数量足够多的每件产品合格的概率为，从中任意取出3件进行检验，求至少有2件是合格品的概率；若厂家发给商家20件产品，其中有4不合格，按合同规定商家从这20件产品中任取2件，都进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收．求该商家可能检验出的不合格产品的件数的分布列，并求该商家拒收这批产品的概率．25.已知数列满足，，其中m为常数，．求m，的值；猜想数列的通项公式，并证明．-------- 答案与解析 --------1.答案：解析：【分析】利用交集定义直接求解．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．【解答】解：集合，，．故答案为：．2.答案：解析：解：复数，则，故答案为：．利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.答案：8解析：解：高一年级有30名学生，在高一年级的学生中抽取了6名，每个个体被抽到的概率是高二年级有40名学生，要抽取人，故答案为：8首先根据高一年级的总人数和抽取的人数，求出每个个体被抽到的概率，根据在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，利用这个概率乘以高二的学生数，得到高二要抽取的人数．本题考查分层抽样，在分层抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，是基础题．4.答案：205解析：解：模拟程序语言的运行过程，得：，满足条件，执行循环体，满足条件，执行循环体，满足条件，执行循环体，满足条件，执行循环体，此时，不满足条件，退出循环，输出S的值为205．故答案为：205．根据已知中的程序代码，可知本程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析各个变量的变化规律，可得答案．本题考查了程序语言的应用问题，解题时应模拟程序语言的运行过程，以便得出输出的结果，是基础题目．5.答案：解析：解：由已知可知离心率，，即，双曲线焦点在y轴，渐近线方程为，即．故答案为：．利用双曲线的离心率求出a，b关系，然后求解渐近线方程即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．6.答案：解析：【分析】由于学校有两个食堂，不妨令他们分别为食堂A、食堂B，则甲、乙、丙三名学生选择每一个食堂的概率均为，代入相互独立事件的概率乘法公式，即可求出他们同在食堂A用餐的概率，同理，可求出他们同在食堂B用餐的概率，然后结合互斥事件概率加法公式，即可得到答案．本小题主要考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，要想计算一个事件的概率，首先我们要分析这个事件是分类的分几类还是分步的分几步，然后再利用加法原理和乘法原理进行求解．【解答】解：甲、乙、丙三名学生选择每一个食堂的概率均为，则他们同时选中A食堂的概率为：；他们同时选中B食堂的概率也为：；故们在同一个食堂用餐的概率故答案为：7.答案：7解析：【分析】本题考查抛物线的定义，考查抛物线的性质，属于基础题．过P作准线l，交l于D，求得抛物线的焦点坐标，根据抛物线的定义，可得：当A，P，D三点共线时，取最小值．【解答】解：抛物线的焦点，准线l：，过P作准线l，交l于D，由抛物线的定义：，当且仅当A，P，D三点共线时，取最小值，最小值为，故答案为7．8.答案：解析：【分析】此题考查了同角三角函数间的基本关系，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键，同时注意角度的范围．由，都是锐角，得出的范围，由和的值，利用同角三角函数间的基本关系分别求出和的值，然后把所求式子的角变为，利用两角和与差的正弦函数公式化简，把各自的值代入即可求出值．【解答】解：，都是锐角，，又，，，，则．故答案为：9.答案：1解析：解：如图，设三棱柱的底面积为，高为h，则，，再设S到底面ABC的距离为，则，得，，则S到上底面的距离为．三棱锥的体积为．故答案为：1．由已知棱柱体积与棱锥体积可得S到下底面距离与棱柱高的关系，进一步得到S到上底面距离与棱锥高的关系，则答案可求．本题考查棱柱、棱锥体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．10.答案：132解析：解：等差数列中，，即，，，．故答案为：132．由已知条件，利用等差数列的通项公式推导出，由此利用等差数列的前n项和公式能求出．本题考查数列的前11项和的求法，是基础题，解题时要熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式．11.答案：2或解析：解：以A为原点，在平面ABC内过A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，设，则0，，2，，0，，1，，1，，1，，，2，，设平面PBC的法向量y，，则，取，得a，，直线AE与平面PBC所成角的正弦值为，，解得或．的长为2或．故答案为：2或．以A为原点，在平面ABC内过A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出PA的长．本题考查线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．12.答案：0解析：解：设，，，则，，，，，，，，，，，又，，故答案为：0．建立坐标系，设，，，求出和的坐标，即可得出结论．本题考查了平面向量的数量积运算，建立坐标系可使运算较简单．13.答案：解析：解：当时，，则，，当时，，则，，综上可知，，令，得，依题意，有两个根，，不妨设，当时，，当时，，令，则，，设，则，在上单调递减，，的取值范围为．故答案为：．分析可知，，则有两个根，，令，则，故，再构造函数，利用导数求其取值范围即可．本题考查函数零点与方程根的关系，考查利用导数研究函数的最值，考查转化思想及运算求解能力，属于较难题目．14.答案：解析：解：因为，当且仅当时取得等号，令，，故，因为，且，故可得点表示的平面区域是半圆弧上的点，如下图所示：目标函数，表示圆弧上一点到点点的斜率，数形结合可知，当且仅当目标函数过点，即时，取得最小值；故可得又，故可得，当且仅当，，也即三角形为等边三角形时，取得最大值．故答案为：．由已知可得，令，，可得，数形结合可知，又，可得，当且仅当，，也即三角形为等边三角形时，取得最大值．本题考查三角形中边角互化、面积以及利用基本不等式求最值时，代数式的变形技巧，本题的难点一是不会建立已知条件与目标式之间的关系；二是式子结构较复杂不会变形，三角函数与基本不等式交汇一直是高考考查的热点，也是难点，属于难题．15.答案：解：中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，利用三角函数关系式的展开式整理得，，，利用正弦定理得，解得．由得，，所以，整理得．所以三角形的周长为，，由于，故，所以所以三角形的周长的范围为．解析：直接利用三家函数关系式的变换和正弦定理的应用求出结果．利用的结论和正弦定理及正弦型函数的性质的应用求出三角形的周长的范围．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力16.答案：证明：因为D，E分别是AB，AC的中点，所以，分又因为在三棱柱中，，所以分又平面，平面，所以平面分在直三棱柱中，底面ABC，又底面ABC，所以分又，，所以，分又，平面，且，所以平面分又平面，所以平面平面分解析：证明，即可证明平面；证明平面，即可证明平面平面．本题考查线面平行、线面垂直、面面垂直的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．17.答案：解：由题意得：，，，在中，，，解得百米分平方百米．分记，在中，，即，，，分当时，水管长最短，在中，百米分解析：由余弦定理求出百米，由此能求出区域的面积．记，在中，，求出，，当时，水管长最短，由此能求出当水管CH最短时的长．本题考查三角形面积的求法，考查线段长的最小值的求法，考查余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．18.答案：解：因为椭圆离心率为，当P为C的短轴顶点时，的面积有最大值，所以，所以，故椭圆C的方程为：设直线PQ的方程为，当时，代入，得：，设，，线段PQ的中点为，，，即因为，则，所以，化简得，解得或．解析：因为椭圆离心率为，当P为C的短轴顶点时，的面积有最大值，由此列方程组可解得a，b，c．设直线PQ的方程为，当时，代入，得：，得到PQ的中点N的坐标后利用，则，所以，可解得．本题考查了椭圆的性质，属中档题．19.答案：解：由，得，，，；由，得，两式相减，得，，，两式相减，得，数列为等差数列；由题意，得，，，，，，且，，又，且为奇数，时，是整数，此时，，．解析：本题考查了等差中项和等差数学的证明，考查了方程思想和运算能力，属难题．根据，和，取，可直接求出；由，得，利用作差法可得，从而证明数列为等差数列；根据，可得关于m，k的方程，再由m，k为整数，可最终得到m，k的值．20.答案：解：时，，，则，又，故函数在处的切线方程为，即；，故，且，，，当即时，在恒成立，故在递增，故时，，故满足条件；当时，即时，由，得，，当时，，则在递减，故当时，，这与时，恒成立矛盾，故不满足条件，综上，a的范围是；当时，区间恒成立，故在递增，故不存在极值，故不满足条件，当时，，故函数的定义域是，由，得，，列表如下：x00递增极大值递减极小值递增由于在递减，此时极大值大于极小值，不合题意，故不满足条件；当时，由，解得：，列表如下：x2递减极小值递增此时仅存在极小值，不合题意，故时满足题意，当时，函数的定义域是，且，，列表如下：x00递增极大值递减递减极小值递增故存在极大值和极小值，此时，，故，，，，故，即，故满足题意，综上，a的范围是解析：代入a的值，根据以及，求出切线方程即可；求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，结合函数恒成立确定a的范围即可；通过讨论a的范围，结合函数的单调性结合函数的极值确定a的范围即可．本题考查了函数的单调性，极值，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．21.答案：解：设是曲线上的任意一点，它是椭圆上的点在矩阵对应变换作用下的对应点，则：即：，所以代入椭圆，得到．解析：直接利用矩阵的变换的应用，伸缩变换的应用求出结果．本题考查的知识要点：矩阵的变换的应用，伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．22.答案：解：曲线C的参数方程为为参数，曲线C的直角坐标方程为，将，代入得曲线C的极坐标方程为：．设点到直线AB：的距离为d，则，当时，d有最小值，．所以面积的最小值．解析：本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查三角形的面积的最小值的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．曲线C的参数方程消去参数得到曲线C的直角坐标方程，由此能求出曲线C的极坐标方程．设点到直线AB：的距离，求出d有最小值，由此能滶出面积的最小值．23.答案：证明：因为x，y，z均为正数，所以，，均为正数，由柯西不等式得，当且仅当时，等式成立．因为，所以，所以．解析：由x，y，z均为正数，运用柯西不等式和不等式的性质，即可得证；本题考查不等式的证明，注意运用柯西不等式和不等式的性质，考查推理和运算能力，属于中档题．24.答案：解：“从中任意取出3件进行检验，至少有2件是合格品”记为事件A，其中包含两个基本事件“恰有2件合格”和“3件都合格”，．该商家可能检验出不合格产品数，可能的取值为0，1，2，，，，的分布列为：012P因为只有件都合格时才接收这批产品，故商家拒收这批产品的对立事件为商家任取2件产品检验都合格，记“商家拒收”为事件B，则，商家拒收这批产品的概率为．解析：“从中任意取出3件进行检验，至少有2件是合格品”记为事件A，其中包含两个基本事件“恰有2件合格”和“3件都合格”，由此能求出至少有2件是合格品的概率．该商家可能检验出不合格产品数，可能的取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列；只有2件都合格时才接收这批产品，从而商家拒收这批产品的对立事件为商家任取2件产品检验都合格，由此能求出商家拒收这批产品的概率．本题考查概率、离散型别随机变量的分布列的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．25.答案：解：因为，所以，所以，此时；猜想：，用数学归纳法证明如下：当时，由可知结论成立，假设时结论成立，则有，则时，，由得：，又，于是，所以，故时结论也成立，由得，，解析：由，可求出，此时；猜想：，用数学归纳法证明即可．本题主要考查数列的递推式，以及数学归纳法，是中档题．。

2020南通名师高考原创卷压轴卷数学 (含附加题)数学I参考公式:圆柱的侧面积S= 2πrl,其中r 为底面半径,l 为母线长.球的面积24,S R π=其中R 为球的半径.一、填空题:本大题共14小题，每小题5分,共70分.1.已知集合A={x|2x -4<0} ,B= {x|log 2x>-1},则A∩B=___2.若复数z 满足(1-2i)z=5(其中i 为虚数单位) ,则z 的模是___3.右图是一个算法流程图,若输人3πθ=−，则输出的y 的值是___4.用系统抽样方法从400名学生中抽取容量为40的样本,将400名学生随机地编号为1~400, 按编号顺序平均分成40个组(1~10号,11~20号,......391~400号).若第1组中用抽签的方法确定抽出的号码为3,则第10组抽取的号码是____5.将分别写有“中”“国”“梦”的3张卡片随机排序，则能组成“中国梦”的概率是_____6.已知a 1(0,),cos()233ππα∈+=，则cos(2)6πα+的值是____ 7.已知数列{}n a 是公差为d 的等差数列，n S 是其前n 项和，若47103115,62a a a S ++==,则d 的值是____8.在△ABC 中,,3B AC π==若△ABC ABC 的周长是_____ 9.制作一个如图所示的密封饮料罐，需要将一个高为9 cm,底面直径为6 cm 的圆柱体的底部改为内凹的半球面，则该密封饮料罐的表面积为____cm².10.在平面直角坐标系xOy 中12,F F 分别是双曲线2221(0,0)zx y a b a b−=>>的左、右焦点,过1F 作圆222x y a +=的切线l 与双曲线的右支交于点P,且22()0OP OF F P +⋅= ，则该双曲线的离心率是____11.在平面直角坐标系xOy 中,C 为直线x-2y=0在第一象限内的点,以C 为圆心的圆C 与y 轴相切,且截x 轴所得弦长为则圆C 的标准方程为____12. 已知正三角形ABC 的边长为EF 为△ABC 的外接圆O 的一条直径,点M 在△ABC 的边上运动,则ME MF ⋅ 的最小值是____13.已知函数f(x)的定义域为(0, +∞),f(1)=0,且()()f x xf x ′<在(0,+∞)内恒成立(()f x ′为f(x)的导函数),则关于t 的不等式f(t)<0的解集为____ 14. 已知x,y ∈R ,且x+y>0,则2232x xy y x y++++的最小值为___ 二、解答题:本大题共6小题，共计90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

江苏省2020年高考数学压轴卷（含解析）一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．已知集合{|02}A x x =<<，{|1}B x x =>，则A B =I ______ 2．已知复数(1)(2),z i i =+-则｜z ｜＝ ．3．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为______.4．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为____．5．在平面直角坐标亲xOy 中，若双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的离心率为32，则该双曲线的渐近线方程为______.6．某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为__________．7．已知点P 在抛物线28y x =上运动，F 为抛物线的焦点，点A 的坐标为(5,2)，则PA PF +的最小值是______．8．已知,αβ都是锐角，45sin ,cos()513ααβ=+=，则sin β=_____ 9．在体积为9的斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，S 是C 1C 上的一点，S —ABC 的体积为2，则三 棱锥S —A 1B 1C 1的体积为___．10．在等差数列{}n a 中，912162a a =+，则数列{}n a 的前11项和11S =____________. 11．三棱锥P ABC -中，已知PA ⊥平面ABC ，ABC n 是边长为2的正三角形，E 为PC 的中点，若直线AE 与平面PBC 所成角的正弦值为42，则PA 的长为_____. 12．如图，在四边形ABCD 中，1AB CD ==，点,M N 分别是边,AD BC 的中点，延长BA和CD 交NM 的延长线于不同．．的两点,P Q ，则·()PQ AB DC -u u u v u u u v u u u v的值为_________．13．已知函数()ln ,11,12x x f x xx ≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩，若()()()1F x f f x m =++有两个零点12,x x ，则12x x 的取值范围______.14．在ABC V 中，记角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，面积为S ，则22Sa bc+的最大值为______.二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2A π≠，sin 26cos sin b A A B =.（1）求a 的值； （2）若3A π=，求ABC ∆周长的取值范围.16．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，BC AC ⊥，D ,E 分别是AB ,AC 的中点．（1）求证：11B C ∥平面1A DE；（2）求证：平面1A DE ⊥平面11ACC A ．17．如图所示，为美化环境，拟在四边形ABCD 空地上修建两条道路EA 和ED ，将四边形分成三个区域，种植不同品种的花草，其中点E 在边BC 的三等分点处（靠近B 点），3BC =百米，BC CD ⊥，120ABC ∠=o ，21EA =60AED ∠=o .（1）求ABE △区域的面积；（2）为便于花草种植，现拟过C 点铺设一条水管CH 至道路ED 上，求水管CH 最短时的长．18．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，点P是椭圆C 上的一个动点，且12PF F ∆3. （1）求椭圆C 的方程；（2）设斜率不为零的直线2PF 与椭圆C 的另一个交点为Q ，且PQ 的垂直平分线交y 轴于点1(0,)8T ，求直线PQ 的斜率.19．已知数列{}n a 的前n 项和记为n A ，且()12n n n a a A +=，数列{}n b 是公比为q 的等比数列，它的前n 项和记为n B .若110a b =≠，且存在不小于3的正整数k ，m ，使得k m a b =. （1）若11a =，35a =，求2a 的值； （2）求证：数列{}n a 是等差数列；（3）若2q =，是否存在整数m ，k ，使得86k m A B =，若存在，求出m ，k 的值；若不存在，请说明理由.20．已知()22ln 12x f x x x a-=--+，0a >.（1）当2a =时，求函数()f x 图象在1x =处的切线方程；（2）若对任意[)1,x ∈+∞，不等式()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围； （3）若()f x 存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求a 的取值范围.数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A ，B ，C 三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修42：矩阵与变换)求椭圆22:1164x y C +=在矩阵104102A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下所得曲线C '的方程.B. (选修44：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3242x cos y sin θθ=+⎧⎨=+⎩，（θ为参数），以原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）在平面直角坐标系xOy 中，A （﹣2，0），B （0，﹣2），M 是曲线C 上任意一点，求△ABM 面积的最小值．C. (选修45：不等式选讲) 已知x ，y ，z 均为正数，且1113112x y y z ++≤+++，求证：4910x y z ++≥.【必做题】 第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22．厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品．（1）若厂家库房中（视为数量足够多）的每件产品合格的概率为 0.7，从中任意取出 3件进行检验，求至少有2 件是合格品的概率；（2）若厂家发给商家20 件产品，其中有4不合格，按合同规定 商家从这20 件产品中任取2件，都进行检验，只有2 件都合格时才接收这批产品，否则拒收．求该商家可能检验出的不合格产品的件数ξ的分布列，并求该商家拒收这批产品的概率．23．已知数列{}n a 满足123*12323,N 2222nn n n n nn n C C C C a m n ++++=++++⋯+∈，其中m 为常数，24a =. （1）求1, m a 的值（2）猜想数列{}n a 的通项公式，并证明.参考答案及解析1.【答案】{|12}x x << 【解析】因为集合{|02}A x x =<<，{|1}B x x =>， 所以{|12}A B x x =<<I .故答案为：{|12}x x <<2．【解析】12z i i =+-==3．【答案】8【解析】设样本容量为N ，则306,14,70N N ⨯== 高二所抽人数为4014870⨯=. 故答案为：8 4．【答案】205【解析】模拟程序语言，运行过程，可得1I =, 满足条件100I <，执行循环体3,9I S ==； 满足条件100I <，执行循环体5,13I S ==；L L满足条件100I <，执行循环体99,201I S ==；满足条件100I <，执行循环体101,21013205I S ==⨯+=， 此时，不满足条件100I <，退出循环，输出S 的值为205， 故答案为205.5．【答案】y = 【解析】由已知可知离心率32c e a ==，2222294c a b a a +==，即2254b a =.∵双曲线22221x y a b-=的焦点在x 轴上∴该双曲线的渐近线方程为b y x a =±，即y x =.故答案为：y =. 6．【答案】14【解析】由题意，三名学生各自随机选择两个食堂中的一个用餐的情况共有2228⨯⨯=（种），其中他们在同一个食堂用餐的情况有2种，根据古典概型概率的计算公式得，所求概率为2184=. 7．【答案】7【解析】PA PF +55272A L Pd -≥=+=+= 8．【答案】1665【解析】∵,αβ都是锐角，∴(0,)αβπ+∈， 又45sin ,cos()513ααβ=+=， ∴3cos 5α=，12sin()13αβ+=， ∴sin sin[()]sin()cos cos()sin βαβααβααβα=+-=+-+123541613513565=⨯-⨯=． 故答案为1665． 9．【答案】1【解析】设三棱柱111ABC A B C -的底面积为'S ，高为h ， 则9'9'S h S h==，， 再设S 到底面ABC 的距离为'h ，则1''23S h =，得19'23h h⋅⋅=， 所以'23h h =， 则S 到上底面111A B C 的距离为13h ，所以三棱锥111S A B C -的体积为111'91339S h ⋅=⋅=． 故答案为1． 10．【答案】132【解析】 由a 912=a 12+6，得2a 9﹣a 12＝12， 即2a 1+16d ﹣a 1﹣11d ＝12，∴a 1+5d ＝12，a 6＝12． 则S 11＝11a 6＝11×12＝132． 故答案为：132 11．【答案】2或3【解析】设F 是BC 的中点，连接sin cos 210k k ρθρθ-+-=，PA ⊥Q 平面ABC ，PA BC ∴⊥， ABC ∆Q 为正三角形，BC AF ∴⊥，BC ∴⊥平面PAF ，在平面PAF 内作AH PF ⊥， 则BC AH ⊥，AH ∴⊥平面PBC ，连接EH ，则AEH ∠是AE 与平面PBC 所成的角， 设PA m =，在直角三角形PAF 中，AH PF PA AF ⋅=⋅， 求得233PA AF mAH PF m ⋅==+，211422AE PC m ==+， AE ∵平面PBC 所成的角的正弦值为427， 223423sin 142mAH m AEH AE m +∴∠===+,解得2m =或3m =，即PA 的长为2或3，故答案为2或3. 12．【答案】0【解析】如图，连AC ，取AC 的中点E ，连ME ，NE ，则,ME NE 分别为,ADC CAB ∆∆的中位线，所以11,22EN AB ME DC ==u u u v u u u v u u u v u u u v ,所以1()2MN ME EN DC AB =+=+u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ． 由PQ uuu v 与MN u u u u r共线， 所以()PQ MN R λλ=∈u u u v u u u u v，故()()()()2PQ AB DC MN AB DC AB DC AB DC u u u v u u u v u u u v u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v λλ⋅-=⋅-=+⋅-22()02AB DC λ=-=u u uv u u u v ． 答案：013．【答案】(e -∞【解析】当1x ≥时,()ln 0f x x =≥, ()11f x ∴+≥, [()1]ln(()1)f f x f x ∴+=+,当131()1()1[()1]ln(()1)222x x f x f x f f x f x <=->+>+=+，，，, 综上可知：()()()1ln(()1)0F x f f x m f x m =++=++=,则()1mf x e-+=，()1mf x e-=-有两个根1x ，2x ,(不妨设)12x x <,当1x ≥时,2ln 1mx e -=-，当1x <时,1112m x e --=-, 令112mt e-=->,则2ln x t =，2tx e =，112x t -=，122x t =-，12(22)t x x e t ∴=-，12t >, 设()(22)tg t e t =-，12t >, 所以()2tg t te '=-, 1,()02t g t '⎛⎫∈+∞< ⎪⎝⎭，，函数()g t 单调递减, 1()2g t g ⎛⎫∴<=⎪⎝⎭()g x ∴的值域为(-∞, 12x x ∴取值范围为(-∞,故答案为：(-∞.14．【解析】因为22Sa bc +2211222222bcsinAsinA b c b c bccosA bc cosA c b==⨯+-+++-142sinA cosA ≤-⨯-(当且仅当b c =时取得等号)令,sinA y cosA x ==， 故22S a bc +142y x ≤-⨯-，因为221x y +=，且0y >， 故可得点(),x y 表示的平面区域是半圆弧上的点，如下图所示：目标函数2yz x =-，表示圆弧上一点到点()2,0A 点的斜率， 数形结合可知，当且仅当目标函数过点132H ⎛ ⎝⎭，即60A =︒时，取得最小值3 故可得3[2y z x =∈-， 又22S a bc +142y x ≤-⨯-，故可得22S a bc +1334312≤-⨯-=. 当且仅当60,A b c =︒=，也即三角形为等边三角形时，取得最大值.故答案为：312. 15．【答案】（1）3；（2）(]6,9.【解析】（1）由sin 26cos sin b A A B =及二倍角公式得sin 3sin b A B =， 又sin sin a bA B=即sin sin b A a B =，所以3a =； （2）由正弦定理得sin 23sin a B b B A ==，sin 23sin a Cc C A==ABC ∆周长：23232332323sin()3a b c B C B B π++=++=++- 33323sin 36sin 26B B B π⎫⎛⎫=+=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭， 又因为2(0,)3B π∈，所以1sin (,1]2B ∈. 因此ABC ∆周长的取值范围是(]6,9.16．【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析【解析】证明：（1）因为D ,E 分别是AB ,AC 的中点，所以//DE BC ， ...........2分 又因为在三棱柱111ABC A B C -中，11//B C BC，所以11//B C DE. ...............4分 又11B C ⊄平面1A DE，DE ⊂平面1A DE ，所以11B C ∥平面1A DE. ...............6分（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥底面ABC ，又DE ⊂底面ABC ，所以1CC DE⊥. .............8分又BC AC ⊥，//DE BC ，所以DE AC ⊥， ..........10分 又1,CC AC ⊂平面11ACC A ，且1CC AC C=I ，所以DE ⊥平面11ACC A . ...............12分又DE ⊂平面1A DE，所以平面1A DE ⊥平面11ACC A ． ............14分17．【答案】（1平方百米；（2）7百米. 【解析】（1）由题知1,120,BE ABC EA =∠==o在ABE V 中，由余弦定理得2222cos AE AB BE AB BE ABE =+-⋅∠，即2211AB AB =++，所以4AB =百米所以11sin 4122ABE S AB BE ABE V =⋅⋅∠=⨯⨯=.（2）记AEB α∠=，在ABE V 中，sin sin AB AE ABEα=∠，即4sin α=，所以sin ,cos 77αα===，当CH DE ⊥时，水管CH 最短， 在Rt ECH V 中，2π2π2πsin 2sin 2sin cos 2cos sin 333CH CE HEC ααα⎛⎫=∠=-=- ⎪⎝⎭=7百米.18．【答案】（1）22143x y +=（2）12或32【解析】 (1)因为椭圆离心率为12，当P 为C 的短轴顶点时，12PF F △.所以22212122c a a b c c b ⎧=⎪⎪=+⎨⎪⎪⨯⨯=⎩，所以21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩C 的方程为:22143x y +=.（2）设直线PQ 的方程为()1y k x =-，当0k ≠时，()1y k x =-代入22143x y +=，得:()22223484120k x k x k +-+-=.设()()1122,,,P x y Q x y ，线段PQ 的中点为()00,N x y ，212024234x x k x k +==+，()1200231234y y k y k x k +-==-=+ 即22243,3434k k N k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭因为TN PQ ⊥，则1TN PQ k k ⋅=-，所以222314381443k k k k k --+⋅=-+，化简得24830k k -+=，解得12k =或32k =，即直线PQ 的斜率为12或32.19．【答案】（1）23a =（2）见解析（3）存在8,340m k ==满足题意。

江苏省高考压轴卷数学数学I（满分160分，考试时间120分钟）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．已知集合U={1，2，3，4，5}，A={3，4}，B={1，4，5}，则A∪（∁U B）= ．2．已知x＞0，若（x﹣i）2是纯虚数（其中i为虚数单位），则x= ．3．某单位有老人20人，中年人120人，青年人100人，现采用分层抽样的方法从所有人中抽取一个容量为n的样本，已知青年人抽取的人数为10人，则n= ．4．双曲线=1的右焦点与左准线之间的距离是．5．函数f（x）=的定义域为．6．执行如图所示的程序框图，若输入a=27，则输出的值b= ．7．满足等式cos2x﹣1=3cosx（x∈10，π]）的x值为．8．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a3=4，S9﹣S6=27，则S10= ．9．男队有号码1，2，3的三名乒乓球运动员，女队有号码为1，2，3，4的四名乒乓球运动员，现两队各出一名运动员比赛一场，则出场的两名运动员号码不同的概率为．10．以一个圆柱的下底面为底面，并以圆柱的上底面圆心为顶点作圆锥，若所得的圆锥底面半径等于圆锥的高，则圆锥的侧面积与圆柱的侧面积之比为为 ． 11．在△ABC 中，∠C=45°，O 是△ABC 的外心，若，则m+n 的取值范围为 ．12．已知抛物线x 2=2py （p ＞0）的焦点F 是椭圆的一个焦点，若P ，Q 是椭圆与抛物线的公共点，且直线PQ 经过焦点F ，则该椭圆的离心率为 ． 13．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2=3b 2+3c 2﹣2bcsinA ，则C= ．14．若函数在区间11，2]上单调递增，则实数a 的取值范围是 ．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明 或演算步骤）15．（本小题满分14分）已知向量)sin ,(),,(cos αα21=-=n m ，其中),(20πα∈，且n m ⊥．（1）求α2cos 的值； （2）若1010=-)sin(βα，且),(20πβ∈，求角β的值．16．（本小题满分14分）在长方体1111D C B A ABCD -中，121AA EC BC AB ===． （1）求证：//1AC 平面BDE ； （2）求证：⊥E A 1平面BDE ．17．（本小题满分14分）如图，某公园有三条观光大道AC BC AB ,,围成直角三角形，其中直角边m BC 200=，斜边m AB 400=．现有甲、乙、丙三位小朋友分别在AC BC AB ,,大道上嬉戏，所在位 置分别记为点F E D ,,．（1）若甲乙都以每分钟m 100的速度从点B 出发在各自的大道上奔走，到大道的另一端 时即停，乙比甲迟分钟出发，当乙出发分钟后，求此时甲乙两人之间的距离； （2）设θ=∠CEF ，乙丙之间的距离是甲乙之间距离的倍，且3π=∠DEF ，请将甲乙之间的距离y 表示为的函数，并求甲乙之间的最小距离．18．（本小题满分16分）已知椭圆)(:012222>>=+b a b y a x C 的离心率为23，且点),(213-在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线交椭圆C 于Q P ,两点，线段PQ 的中点为H ，O 为坐标原点，且1=OH ， 求POQ ∆面积的最大值．19．（本小题满分16分）已知*∈N n ，数列{}n a 的各项均为正数，前项和为n S ，且2121==a a ,，设n n n a a b 212+=-．（1）若数列{}n b 是公比为的等比数列，求n S 2；（2）若对任意*∈N n ，22na S n n +=恒成立，求数列{}n a 的通项公式；（3）若)(1232-=nn S ，数列{}1+n n a a 也为等比数列，求数列的{}n a 通项公式．20．（本小题满分16分）已知函数x x x f ln )(=，)()(12-=x x g λ（λ为常数）．（1）若函数)(x f y =与函数)(x g y =在1=x 处有相同的切线，求实数λ的值； （2）若21=λ，且1≥x ，证明：)()(x g x f ≤；（3）若对任意),[+∞∈1x ，不等式恒)()(x g x f ≤成立，求实数λ的取值范围．数学附加题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）21. 【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答题卡指．．．．定区域．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A .1选修4-1：几何证明选讲]如图，过圆O 外一点P 作圆O 的切线PA ，切点为A ，连接OP 与圆O 交于点C ，过点C 作圆O 作AP 的垂线，垂足为D ，若PA=25，PC ：PO=1：3，求CD 的长．B.1选修4-2：矩阵与变换]（共1小题，满分10分） 已知矩阵，列向量，若AX=B ，直接写出A ﹣1，并求出X ．C.1选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分0分）在平面直角坐标系中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知圆4sin()6πρθ=+被射线θ=θ0（ρ≥0，θ0为常数，且0(0,)2πθ∈）所截得的弦长为23，求θ0的值．D.1选修4-5：不等式选讲]已知x ＞0，y ＞0，且2x+y=6，求4x 2+y 2的最小值．【必做题】第22题．第23题．每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22.（本小题满分10分）如图，以正四棱锥V ﹣ABCD 的底面中心O 为坐标原点建立空间直角坐标系O ﹣xyz ，其中Ox∥BC ，Oy ∥AB ，E 为VC 中点，正四棱锥的底面边长为2a ，高为h ，且有15cos ,49BE DE <>=-u u u r u u u r ．（1）求ha的值； （2）求二面角B ﹣VC ﹣D 的余弦值．23.（本小题满分10分）对一个量用两种方法分别算一次，由结果相同构造等式，这种方法称为“算两次”的思想方法．利用这种方法，结合二项式定理，可以得到很多有趣的组合恒等式．例如：考察恒等式（1+x ）2n=（1+x ）n（1+x ）n（n ∈N *），左边x n的系数为C 2n n，而右边（1+x ）n（1+x ）n=（C n 0+C n 1x+…+C n n x n）（C n 0+C n 1x+…+C n n x n），x n的系数为C n 0C n n+C n 1C nn ﹣1+…+C n nC n 0=（C n 0）2+（C n 1）2+…+（C n n）2，因此可得到组合恒等式C 2n n=（C n 0）2+（C n 1）2+…+（C n n）2．（1）根据恒等式（1+x ）m+n =（1+x ）m （1+x ）n （m ，n ∈N *）两边x k（其中k ∈N ，k ≤m ，k ≤n ）的系数相同，直接写出一个恒等式；（2）利用算两次的思想方法或其他方法证明：222202n k n k k n n k n k C C C ⎡⎤⎢⎥⎣⎦-=∑⋅⋅=，其中2n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦是指不超过2n的最大整数．江苏高考押题卷 数学答案解析1．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先求出C U B={2，3}，再利用并集定义能求出A ∪（∁U B ）．【答案】{2，3，4}【解答】∵集合U={1，2，3，4，5}，A={3，4}，B={1，4，5}，∴C U B={2，3}， A ∪（∁U B ）={2，3，4}． 故答案为：{2，3，4}．2．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】x ＞0，（x ﹣i ）2=x 2﹣1﹣2xi 纯虚数（其中i 为虚数单位），可得x 2﹣1=0，﹣2x ≠0，x ＞0，解出即可得出．【答案】1【解答】x ＞0，（x ﹣i ）2=x 2﹣1﹣2xi 纯虚数（其中i 为虚数单位）， ∴x 2﹣1=0，﹣2x ≠0，x ＞0，解得x=1．故答案为：1．3．【考点】分层抽样方法．【分析】先求三层的比例，然后求得青年人中抽取总人数的比例，从而求出抽取样本容量．【答案】24【解答】由题意，因为20：120：100=1：6：5，所以青年人中抽取总人数的=，故n=10÷=24．故答案为：24．4．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的a，b，c，可得右焦点坐标和左准线方程，由点到直线的距离公式可得所求值．【答案】5【解答】双曲线=1的a=2，b=2，c==4，可得右焦点（4，0）与左准线方程x=﹣即x=﹣1，即右焦点与左准线之间的距离是4﹣（﹣1）=5．故答案为：5．5．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据二次根式的定义可知1﹣x≥0且根据对数函数定义得x+2＞0，联立求出解集即可．【答案】（﹣2，1]【解答】因为f（x）=，根据二次根式定义得1﹣x≥0①，根据对数函数定义得x+2＞0②联立①②解得：﹣2＜x≤1故答案为（﹣2，1]6．【考点】程序框图．【分析】根据已知中的程序框图可得，该程序的功能是计算并输出变量b的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【答案】13【解答】当a=27时，执行循环体b=9，不满足退出循环的条件，故a=9；当a=9时，执行循环体b=3，不满足退出循环的条件，故a=3；当a=3时，执行循环体b=1，不满足退出循环的条件，故a=1；当a=1时，执行循环体b=，满足退出循环的条件，故输出的b值为，故答案为：7．【考点】二倍角的余弦．【分析】利用二倍角的余弦公式解方程求得cosx的值，从而结合x∈10，π]，求得x的值．【答案】【解答】∵等式cos2x﹣1=3cosx（x∈10，π]），即2cos2x﹣2=3cosx，即2cos2x﹣3cosx﹣2=0，求得cosx=2（舍去），或cosx=﹣，∴x=，故答案为：．8．【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的前n项和公式及通项公式列出方程组，求出首项及公差，由此能求出前10项和．【答案】65【解答】∵S n为等差数列{a n}的前n项和，a3=4，S9﹣S6=27，∴，解得a1=2，d=1，∴S10=10×2+=65．故答案为：65．9．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】出场的两名运动员号码不同的对立事件是出场的两名运动员号码相同，由此利用对立事件概率计算公式能求出出场的两名运动员号码不同的概率．【答案】【解答】男队有号码1，2，3的三名乒乓球运动员，女队有号码为1，2，3，4的四名乒乓球运动员，现两队各出一名运动员比赛一场，基本事件总数n=3×4=12，出场的两名运动员号码不同的对立事件是出场的两名运动员号码相同，∴出场的两名运动员号码不同的概率p=1﹣=．故答案为：．10．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】由题意设出圆锥的底面半径，求出圆锥的侧面积，求出圆柱的侧面积即可得到圆柱的侧积面与圆锥的侧面积之比．【答案】【解答】设圆锥的底面半径为r，由题意圆锥底面半径等于圆锥的高，可知圆锥的侧面积为：πr•r=πr2．圆柱的侧面积为：2πr•r=2πr2．所以圆柱的侧积面与圆锥的侧面积之比为：πr2：2πr2=．故答案为：．11．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】利用已知条件，得∠AOB=90°，两边平方，则m2+n2=1结合基本不等式，即可求得结论．【答案】1﹣，1]【解答】设圆的半径为1，则由题意m、n不能同时为正，∴m+n≤1…①∵∠C=45°，O是△ABC的外心，∴∠AOB=90°两边平方即可得出1=m2+n2+2mncos∠AOB⇒m2+n2=1…②，∵，…③，由①②③得﹣．故答案为：1﹣，1]12．【考点】抛物线的简单性质．【分析】由题意，p=2c，P（，c），即P（2c，c），代入椭圆方程，可得=1，由此即可求出椭圆的离心率．【答案】【解答】由题意，p=2c，P（，c），即P（2c，c）代入椭圆方程，可得=1，整理可得e4﹣6e2+1=0，∵0＜e＜1，∴e=．故答案为．13．【考点】余弦定理．【分析】利用余弦定理与不等式结合的思想求解a，b，c的关系．即可求解C的值．【答案】【解答】根据a2=3b2+3c2﹣2bcsinA…①余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA…②由①﹣②可得：2b2+c2=2bcsinA﹣2bccosA化简：b2+c2=bcsinA﹣bccosA⇔b 2+c 2=2bcsin （A ）∵b 2+c 2≥2bc ， ∴sin （A ）=1 ∴A=，此时b 2+c 2=2bc ， 故得b=c ，即B=C ， ∴C==．故答案为：．14．【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】去掉绝对值，根据f ′（x ）≥0，得到a 的范围即可． 【答案】1﹣，]【解答】f （x ）=；∵x ∈11，2]； ∴a ≤时，f （x ）=，f ′（x ）=；由f ′（x ）≥0；解得：a ≥﹣≥﹣，即﹣≤a ≤时，f ′（x ）≥0，f （x ）在11，2]上单调递增；即a 的取值范围是：1﹣，]．故答案为：1﹣，]．15. 【考点】向量数量积, 同角三角函数平方关系, 二倍角公式【解析】法一（1）由m ⊥n 得，2cos sin 0αα-=，sin 2cos αα=， ……2分代入22cos sin 1αα+=，25cos 1α=且π(0)2α∈，，π(0)2β∈，，则cos α=sin α， ……4分则223cos22cos 1215αα=-=⨯-=-. ……6分 （2）由π(0)2α∈，，π(0)2β∈，得，ππ()22αβ-∈-，.因sin()αβ-，则cos()αβ-= ……9分 则sin sin[()]sin cos()cos sin()βααβααβααβ=--=---=……12分 因π(0)2β∈，，则π4β=. ……14分法二（1）由m ⊥ n 得，2cos sin 0αα-=，tan 2α=， ……2分 故22222222cos sin 1tan 143cos2cos sin cos sin 1tan 145ααααααααα---=-====-+++.……4分 （2）由（1）知，2cos sin 0αα-=，且22cos sin 1αα+=，π(0)2α∈，，π(0)2β∈，，则sin α=，cos α= ……6分 由π(0)2α∈，，π(0)2β∈，得，ππ()22αβ-∈-，.因sin()αβ-，则cos()αβ-= ……9分 则sin sin[()]sin cos()cos sin()βααβααβααβ=--=---==……12分 因π(0)2β∈，，则π4β=. ……14分【思路点睛】在求角的某个三角函数值时，应注意根据条件选择恰当的函数，尽量做到所选函数在确定角的范围内为一对一函数。

绝密★启封前2020江苏省高考压轴卷数 学一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．已知集合{|02}A x x =<<，{|1}B x x =>，则A B =______2．已知复数(1)(2),z i i =+-则｜z ｜＝ ．3．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为______.4．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为____．5．在平面直角坐标亲xOy 中，若双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的离心率为32，则该双曲线的渐近线方程为______.6．某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为__________．7．已知点P 在抛物线28y x =上运动，F 为抛物线的焦点，点A 的坐标为(5,2)，则PA PF +的最小值是______．8．已知,αβ都是锐角，45sin ,cos()513ααβ=+=，则sin β=_____ 9．在体积为9的斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，S 是C 1C 上的一点，S —ABC 的体积为2，则三棱锥S —A 1B 1C 1的体积为___．10．在等差数列{}n a 中，912162a a =+，则数列{}n a 的前11项和11S =____________. 11．三棱锥P ABC -中，已知PA ⊥平面ABC ，ABC 是边长为2的正三角形，E 为PC 的中点，若直线AE 与平面PBC所成角的正弦值为7，则PA 的长为_____. 12．如图，在四边形ABCD 中，1AB CD ==，点,M N 分别是边,AD BC 的中点，延长BA 和CD 交NM 的延长线于不同．．的两点,P Q ，则·()PQ AB DC -的值为_________．13．已知函数()ln ,11,12x x f x xx ≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩，若()()()1F x f f x m =++有两个零点12,x x ，则12x x 的取值范围______.14．在ABC 中，记角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，面积为S ，则22Sa bc+的最大值为______.二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2A π≠，sin 26cos sin b A A B =.（1）求a 的值；（2）若3A π=，求ABC ∆周长的取值范围.16．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，BC AC ⊥，D ,E 分别是AB ,AC 的中点．（1）求证：11B C ∥平面1A DE；（2）求证：平面1A DE ⊥平面11ACC A ．17．如图所示，为美化环境，拟在四边形ABCD 空地上修建两条道路EA 和ED ，将四边形分成三个区域，种植不同品种的花草，其中点E 在边BC 的三等分点处（靠近B 点），3BC =百米，BC CD ⊥，120ABC ∠=，EA =60AED ∠=.（1）求ABE △区域的面积；（2）为便于花草种植，现拟过C 点铺设一条水管CH 至道路ED 上，求水管CH 最短时的长．18．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，点P是椭圆C 上的一个动点，且12PF F ∆. （1）求椭圆C 的方程；（2）设斜率不为零的直线2PF 与椭圆C 的另一个交点为Q ，且PQ 的垂直平分线交y 轴于点1(0,)8T ，求直线PQ 的斜率.19．已知数列{}n a 的前n 项和记为n A ，且()12n n n a a A +=，数列{}n b 是公比为q 的等比数列，它的前n 项和记为n B .若110a b =≠，且存在不小于3的正整数k ，m ，使得k m a b =. （1）若11a =，35a =，求2a 的值； （2）求证：数列{}n a 是等差数列； （3）若2q，是否存在整数m ，k ，使得86k m A B =，若存在，求出m ，k 的值；若不存在，请说明理由.20．已知()22ln 12x f x x x a-=--+，0a >.（1）当2a =时，求函数()f x 图象在1x =处的切线方程；（2）若对任意[)1,x ∈+∞，不等式()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围； （3）若()f x 存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求a 的取值范围.数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A，B，C三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修42：矩阵与变换)求椭圆22:1164x yC+=在矩阵1412A⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下所得曲线C'的方程.B. (选修44：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为3242x cosy sinθθ=+⎧⎨=+⎩，（θ为参数），以原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣2，0），B（0，﹣2），M是曲线C上任意一点，求△ABM面积的最小值．C. (选修45：不等式选讲)已知x，y，z均为正数，且1113112x y y z++≤+++，求证：4910x y z++≥.【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22．厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品．（1）若厂家库房中（视为数量足够多）的每件产品合格的概率为0.7，从中任意取出3件进行检验，求至少有2件是合格品的概率；（2）若厂家发给商家20件产品，其中有4不合格，按合同规定商家从这20件产品中任取2件，都进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收．求该商家可能检验出的不合格产品的件数ξ的分布列，并求该商家拒收这批产品的概率．23．已知数列{}n a 满足123*12323,N 2222n n n n n nn n C C C C a m n ++++=++++⋯+∈，其中m 为常数，24a =. （1）求1, m a 的值（2）猜想数列{}n a 的通项公式，并证明.参考答案及解析1.【答案】{|12}x x << 【解析】因为集合{|02}A x x =<<，{|1}B x x =>， 所以{|12}AB x x =<<.故答案为：{|12}x x <<2．【解析】12z i i =+-==3．【答案】8【解析】设样本容量为N ，则306,14,70N N ⨯== 高二所抽人数为4014870⨯=. 故答案为：8 4．【答案】205【解析】模拟程序语言，运行过程，可得1I =, 满足条件100I <，执行循环体3,9I S ==； 满足条件100I <，执行循环体5,13I S ==；满足条件100I <，执行循环体99,201I S ==；满足条件100I <，执行循环体101,21013205I S ==⨯+=， 此时，不满足条件100I <，退出循环，输出S 的值为205， 故答案为205.5．【答案】y x = 【解析】由已知可知离心率32c e a ==，2222294c a b a a +==，即2254b a =.∵双曲线22221x y a b-=的焦点在x 轴上∴该双曲线的渐近线方程为b y x a =±，即2y x =±.故答案为：y =. 6．【答案】14【解析】由题意，三名学生各自随机选择两个食堂中的一个用餐的情况共有2228⨯⨯=（种），其中他们在同一个食堂用餐的情况有2种，根据古典概型概率的计算公式得，所求概率为2184=. 7．【答案】7【解析】PA PF +55272A L Pd -≥=+=+= 8．【答案】1665【解析】∵,αβ都是锐角，∴(0,)αβπ+∈， 又45sin ,cos()513ααβ=+=， ∴3cos 5α=，12sin()13αβ+=， ∴sin sin[()]sin()cos cos()sin βαβααβααβα=+-=+-+123541613513565=⨯-⨯=． 故答案为1665． 9．【答案】1【解析】设三棱柱111ABC A B C -的底面积为'S ，高为h ，则9'9'S h S h==，， 再设S 到底面ABC 的距离为'h ，则1''23S h =，得19'23h h⋅⋅=， 所以'23h h =， 则S 到上底面111A B C 的距离为13h ， 所以三棱锥111S A B C -的体积为111'91339S h ⋅=⋅=． 故答案为1． 10．【答案】132【解析】 由a 912=a 12+6，得2a 9﹣a 12＝12， 即2a 1+16d ﹣a 1﹣11d ＝12，∴a 1+5d ＝12，a 6＝12． 则S 11＝11a 6＝11×12＝132． 故答案为：13211．【答案】2【解析】设F 是BC 的中点，连接sin cos 210k k ρθρθ-+-=，PA ⊥平面ABC ，PA BC ∴⊥， ABC ∆为正三角形，BC AF ∴⊥，BC ∴⊥平面PAF ，在平面PAF 内作AH PF ⊥，则BC AH ⊥，AH ∴⊥平面PBC ，连接EH ，则AEH ∠是AE 与平面PBC 所成的角， 设PA m =，在直角三角形PAF 中，AH PF PA AF ⋅=⋅，求得PA AF AH PF ⋅==，12AE PC == AE ∵平面PBC所成的角的正弦值为7，sin 7AH AEH AE ∴∠===,解得2m =或m =，即PA 的长为2212．【答案】0【解析】如图，连AC ，取AC 的中点E ，连ME ，NE ，则,ME NE 分别为,ADC CAB ∆∆的中位线，所以11,22EN AB ME DC ==, 所以1()2MN ME EN DC AB =+=+．由PQ 与MN 共线， 所以()PQ MN R λλ=∈，故()()()()2PQ AB DC MN AB DC AB DC ABDC λλ⋅-=⋅-=+⋅-22()02AB DC λ=-=．答案：013．【答案】(),e -∞【解析】当1x ≥时,()ln 0f x x =≥, ()11f x ∴+≥, [()1]ln(()1)f f x f x ∴+=+,当131()1()1[()1]ln(()1)222x x f x f x f f x f x <=->+>+=+，，，, 综上可知：()()()1ln(()1)0F x f f x m f x m =++=++=,则()1mf x e-+=，()1mf x e-=-有两个根1x ，2x ,(不妨设)12x x <,当1x ≥时,2ln 1mx e -=-，当1x <时,1112m x e --=-, 令112mt e-=->,则2ln x t =，2t x e =，112x t -=，122x t =-，12(22)t x x e t ∴=-，12t >, 设()(22)tg t e t =-，12t >, 所以()2tg t te '=-, 1,()02t g t '⎛⎫∈+∞< ⎪⎝⎭，，函数()g t 单调递减, 1()2g t g ⎛⎫∴<=⎪⎝⎭()g x ∴的值域为(-∞, 12x x ∴取值范围为(-∞,故答案为：(-∞.14．【解析】因为22S a bc +2211222222bcsinAsinA b c b c bccosA bc cosA c b==⨯+-+++- 142sinA cosA ≤-⨯-(当且仅当b c =时取得等号)令,sinA y cosA x ==， 故22S a bc +142y x ≤-⨯-，因为221x y +=，且0y >，故可得点(),x y 表示的平面区域是半圆弧上的点，如下图所示：目标函数2yz x =-，表示圆弧上一点到点()2,0A 点的斜率，数形结合可知，当且仅当目标函数过点12H ⎛ ⎝⎭，即60A =︒时，取得最小值故可得[2y z x =∈-，又22S a bc +142y x ≤-⨯-，故可得22S a bc +14≤-⨯=. 当且仅当60,A b c =︒=，也即三角形为等边三角形时，取得最大值.. 15．【答案】（1）3；（2）(]6,9.【解析】（1）由sin 26cos sin b A A B =及二倍角公式得sin 3sin b A B =， 又sin sin a bA B=即sin sin b A a B =，所以3a =；（2）由正弦定理得sin sin a B b B A ==，sin sin a Cc C A==ABC ∆周长：233sin()3a b c B C B B π++=++=++-33sin 36sin 226B B B π⎫⎛⎫=++=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭， 又因为2(0,)3B π∈，所以1sin (,1]2B ∈.因此ABC ∆周长的取值范围是(]6,9. 16．【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析【解析】证明：（1）因为D ,E 分别是AB ,AC 的中点，所以//DE BC ， ...........2分 又因为在三棱柱111ABC A B C -中，11//B C BC，所以11//B C DE. ...............4分 又11B C ⊄平面1A DE，DE ⊂平面1A DE，所以11B C ∥平面1A DE. ...............6分（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥底面ABC ，又DE ⊂底面ABC ，所以1CC DE⊥. .............8分又BC AC ⊥，//DE BC ，所以DE AC ⊥， ..........10分 又1,CC AC ⊂平面11ACC A ，且1CC AC C=，所以DE ⊥平面11ACC A . ...............12分又DE ⊂平面1A DE，所以平面1A DE ⊥平面11ACC A ． ............14分17．【答案】（1（2）7百米. 【解析】（1）由题知1,120,BE ABC EA =∠==在ABE 中，由余弦定理得2222cos AE AB BE AB BE ABE =+-⋅∠，即2211AB AB =++，所以4AB =百米所以11sin 4122ABESAB BE ABE =⋅⋅∠=⨯⨯=.（2）记AEB α∠=，在ABE 中，sin sin AB AE ABEα=∠，即4sin α=，所以sin 7αα===， 当CH DE ⊥时，水管CH 最短，在Rt ECH 中，2π2π2πsin 2sin 2sin cos 2cos sin 333CH CE HEC ααα⎛⎫=∠=-=-⎪⎝⎭=7百米. 18．【答案】（1）22143x y +=（2）12或32【解析】 (1)因为椭圆离心率为12，当P 为C 的短轴顶点时，12PF F △所以22212122c a a b c c b ⎧=⎪⎪=+⎨⎪⎪⨯⨯=⎩，所以21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩C 的方程为:22143x y +=.（2）设直线PQ 的方程为()1y k x =-，当0k ≠时，()1y k x =-代入22143x y +=，得:()22223484120k x k x k +-+-=.设()()1122,,,P x y Q x y ，线段PQ 的中点为()00,N x y ，212024234x x k x k +==+，()1200231234y y k y k x k +-==-=+ 即22243,3434k k N k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭因为TN PQ ⊥，则1TN PQ k k ⋅=-，所以222314381443k k k k k --+⋅=-+，化简得24830k k -+=，解得12k =或32k ，即直线PQ 的斜率为12或32.19．【答案】（1）23a =（2）见解析（3）存在8,340m k ==满足题意。

江苏省2020年高考数学压轴卷（含解析）注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求1．本试卷共4页，包含填空题（第1题～第14题）、解析题（第15题～第20题）．本卷满分为160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上指定位置作答，在其它位置作答一律无效．4．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．参考公式：球体的体积公式：V＝334Rπ，其中为球体的半径．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．全集12{}345U＝，，，，，集合134{}}35{A B＝，，，＝，，则UA B⋂（）ð═．2．已知i是虚数单位，若12i a i a R+∈（﹣)(）＝，，则a＝．3．我国古代数学算经十书之一的《九章算术》一哀分问题：今有北乡八千一百人，西乡九千人，南乡五千四百人，凡三乡，发役五百，意思是用分层抽样的方法从这三个乡中抽出500人服役，则北乡比南乡多抽人．4．如图是一个算法的流程图，则输出y的取值范围是．5．已知函数22353log(1)3x xf xx x-⎧-<⎨-+≥⎩（）＝，若f（m）＝﹣6，则f（m﹣61）＝．6．已知f （x ）＝sin （x ﹣1），若p ∈{1，3，5，7}，则f （p ）≤0的概率为 ． 7．已知函数f （x ）＝2sin （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜2π）的部分图象如图所示，则f （76π）的值为 ．8．已知A ，B 分别是双曲线2212x y C m ：-＝的左、右顶点，P （3，4）为C 上一点，则△PAB 的外接圆的标准方程为 ．9．已知f （x ）是R 上的偶函数，且当x ≥0时，f （x ）＝|x 2﹣3x |，则不等式f （x ﹣2）≤2的解集为 ．10．若函数f （x ）＝a 1nx ，（a ∈R ）与函数g （x ）＝x ，在公共点处有共同的切线，则实数a 的值为 ．11．设A ，B 在圆x 2+y 2＝4上运动，且23AB ＝，点P 在直线3x +4y ﹣15＝0上运动．则|PA PB |+u u u r u u u r的最小值是 ．12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝23π，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，BD ＝1，则a +c 的最小值为 ．13．如图，点D 为△ABC 的边BC 上一点，2BD DC =u u u r u u u r，E n （n ∈N ）为AC 上一列点，且满足：11414n n n n n E A E D E a B a +=+u u u u r u u u u ru u u u r （﹣）﹣5，其中实数列{a n }满足4a n ﹣1≠0，且a 1＝2，则111a -+211a -+311a -+…+11n a -＝ ．14．已知函数2910(1)e ,023xx x f x x x ⎧++<⎪⎨⎪-≥⎩（）＝+6,x 0，其中e 是自然对数的底数．若集合{x ∈Z|x（f （x ）﹣m ）≥0}中有且仅有4个元素，则整数m 的个数为 ．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解析应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内）15．(本小题满分14分) 如图，在直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，已知点M 为棱BC 上异于B ，C 的一点．（1）若M 为BC 中点，求证：A 1C ∥平面AB 1M ； （2）若平面AB 1M ⊥平面BB 1C 1C ，求证：AM ⊥BC ．16.（本小题满分14分）已知12(,),(0,cos(),.2273πππαπβαβαβ∈∈-=+=), （1）求22sin αβ（﹣）的值； （2）求cos α的值．17．(本小题满分14分) 学校拟在一块三角形边角地上建外籍教室和留学生公寓楼，如图，已知△ABC 中，∠C ＝2π，∠CBA ＝θ，BC ＝a ．在它的内接正方形DEFG 中建房，其余部分绿化，假设△ABC 的面积为S ，正方形DEFG 的面积为T ． （1）用a ，θ表示S 和T ； （2）设f （θ）＝TS，试求f （θ）的最大值P ；18.(本小题满分16分) 已知椭圆22221x y C a b：+＝0a b （＞＞）的离心率为22，短轴长为22（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）如图，经过椭圆左项点A 且斜率为k （k ≠0）直线l 与C 交于A ，B 两点，交y 轴于点E ，点P 为线段AB 的中点，若点E 关于x 轴的对称点为H ，过点E 作与OP （O 为坐标原点）垂直的直线交直线AH 于点M ，且△APM 面积为23，求k 的值．19．(本小题满分16分) 已知函数()212ln 2f x x x ax a R =+-∈，． （1）当3a =时，求函数()f x 的极值；（2）设函数()f x 在0x x =处的切线方程为()y g x =，若函数()()y f x g x =-是()0+∞，上的单调增函数，求0x 的值；（3）是否存在一条直线与函数()y f x =的图象相切于两个不同的点？并说明理由． 20．(本小题满分16分) 已知集合A ＝a 1，a 2，a 3，…，a n ，其中a i ∈R （1≤i ≤n ，n ＞2），l （A ）表示和a i +a j （1≤i ＜j ≤n ）中所有不同值的个数．（Ⅰ）设集合P ＝2，4，6，8，Q ＝2，4，8，16，分别求l （P ）和l （Q ）； （Ⅱ）若集合A ＝2，4，8， (2)，求证：(1)()2n n l A -=； （Ⅲ）l A （）是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由？ 数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．请在答题卡．．．指定区域内．．．．．作答．解析应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修4—1：几何证明选讲如图，已知AB为半圆O的直径，点C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过点B作BD CD⊥于点D. 求证：2BC BA BD=⋅．B．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵=a bMc d⎡⎤⎢⎥⎣⎦，10=12N⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦，且()11402MN-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦，求矩阵M．C．选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为2{2x ty t==--（t为参数）．在极坐标系中（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，极轴与x轴的非负半轴重合），圆C的方程为42cos4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，求直线l被圆C截得的弦长．D．选修4—5：不等式选讲已知正实数x y z、、，满足3x y z xyz++=，求xy yz xz++的最小值．注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共2页，均为非选择题（第21~23题）。

2020年江苏省高考压轴卷一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．已知集合{|02}A x x =<<，{|1}B x x =>，则A B =______2．已知复数(1)(2),z i i =+-则｜z ｜＝ ．3．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为______.4．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为____．5．在平面直角坐标亲xOy 中，若双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的离心率为32，则该双曲线的渐近线方程为______.6．某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为__________．7．已知点P 在抛物线28y x =上运动，F 为抛物线的焦点，点A 的坐标为(5,2)，则PA PF +的最小值是______．8．已知,αβ都是锐角，45sin ,cos()513ααβ=+=，则sin β=_____ 9．在体积为9的斜三棱柱ABC—A 1B 1C 1中，S 是C 1C 上的一点，S—ABC 的体积为2，则三棱锥S—A 1B 1C 1的体积为___．10．在等差数列{}n a 中，912162a a =+，则数列{}n a 的前11项和11S =____________.11．三棱锥P ABC -中，已知PA ⊥平面ABC ，ABC 是边长为2的正三角形，E 为PC 的中点，若直线AE 与平面PBC，则PA 的长为_____. 12．如图，在四边形ABCD 中，1AB CD ==，点,M N 分别是边,AD BC 的中点，延长BA 和CD 交NM 的延长线于不同．．的两点,P Q ，则·()PQ AB DC -的值为_________．13．已知函数()ln ,11,12x x f x xx ≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩，若()()()1F x f f x m =++有两个零点12,x x ，则12x x 的取值范围______. 14．在ABC 中，记角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，面积为S ，则22Sa bc+的最大值为______.二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2A π≠，sin26cos sin b A A B =.（1）求a 的值； （2）若3A π=，求ABC ∆周长的取值范围.16．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，BC AC ⊥，D ,E 分别是AB ,AC 的中点．（1）求证：11B C ∥平面1A DE；（2）求证：平面1A DE 平面11ACC A ．17．如图所示，为美化环境，拟在四边形ABCD 空地上修建两条道路EA 和ED ，将四边形分成三个区域，种植不同品种的花草，其中点E 在边BC 的三等分点处（靠近B 点），3BC =百米，BC CD ⊥，120ABC ∠=，EA =60AED ∠=.（1）求ABE △区域的面积；（2）为便于花草种植，现拟过C 点铺设一条水管CH 至道路ED 上，求水管CH 最短时的长．18．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，点P是椭圆C 上的一个动点，且12PF F ∆. （1）求椭圆C 的方程；（2）设斜率不为零的直线2PF 与椭圆C 的另一个交点为Q ，且PQ 的垂直平分线交y 轴于点1(0,)8T ，求直线PQ 的斜率.19．已知数列{}n a 的前n 项和记为n A ，且()12n n n a a A +=，数列{}n b 是公比为q 的等比数列，它的前n 项和记为n B .若110a b =≠，且存在不小于3的正整数k ，m ，使得k m a b =.（1）若11a =，35a =，求2a 的值； （2）求证：数列{}n a 是等差数列； （3）若2q，是否存在整数m ，k ，使得86k m A B =，若存在，求出m ，k 的值；若不存在，请说明理由.20．已知()22ln 12x f x x x a-=--+，0a >.（1）当2a =时，求函数()f x 图象在1x =处的切线方程；（2）若对任意[)1,x ∈+∞，不等式()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围；（3）若()f x 存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求a 的取值范围.——★ 参 考 答 案 ★——1.『答案』{|12}x x <<『解析』因为集合{|02}A x x =<<，{|1}B x x =>，所以{|12}AB x x =<<.故『答案』为：{|12}x x <<2．『解析』12z i i =+-==3．『答案』8『解析』设样本容量为N ，则306,14,70N N ⨯== 高二所抽人数为4014870⨯=. 故『答案』为：8 4．『答案』205『解析』模拟程序语言，运行过程，可得1I =, 满足条件100I <，执行循环体3,9I S ==； 满足条件100I <，执行循环体5,13I S ==；满足条件100I <，执行循环体99,201I S ==；满足条件100I <，执行循环体101,21013205I S ==⨯+=， 此时，不满足条件100I <，退出循环，输出S 的值为205， 故『答案』为205.5．『答案』y x = 『解析』由已知可知离心率32c e a ==，2222294c a b a a +==，即2254b a =. ∵双曲线22221x y a b-=的焦点在x 轴上∴该双曲线的渐近线方程为b y x a =±，即y x =.故『答案』为：y x =. 6．『答案』14『解析』由题意，三名学生各自随机选择两个食堂中的一个用餐的情况共有2228⨯⨯=（种），其中他们在同一个食堂用餐的情况有2种，根据古典概型概率的计算公式得，所求概率为2184=. 7．『答案』7『解析』PA PF +55272A L Pd -≥=+=+= 8．『答案』1665『解析』∵,αβ都是锐角，∴(0,)αβπ+∈， 又45sin ,cos()513ααβ=+=， ∴3cos 5α=，12sin()13αβ+=， ∴sin sin[()]sin()cos cos()sin βαβααβααβα=+-=+-+123541613513565=⨯-⨯=． 故『答案』为1665． 9．『答案』1『解析』设三棱柱111ABC A B C -的底面积为'S ，高为h ， 则9'9'S h S h==，， 再设S 到底面ABC 的距离为'h ，则1''23S h =，得19'23h h⋅⋅=，所以'23h h =， 则S 到上底面111A B C 的距离为13h ， 所以三棱锥111S A B C -的体积为111'91339S h ⋅=⋅=． 故『答案』为1． 10．『答案』132『解析』由a 912=a 12+6，得2a 9﹣a 12＝12， 即2a 1+16d ﹣a 1﹣11d ＝12，∴a 1+5d ＝12，a 6＝12． 则S 11＝11a 6＝11×12＝132． 故『答案』为：13211．『答案』2『解析』设F 是BC 的中点，连接sin cos 210k k ρθρθ-+-=，PA ⊥平面ABC ，PA BC ∴⊥，ABC ∆为正三角形，BC AF ∴⊥，BC ∴⊥平面PAF ，在平面PAF 内作AH PF ⊥， 则BC AH ⊥，AH ∴⊥平面PBC ，连接EH ，则AEH ∠是AE 与平面PBC 所成的角， 设PA m =，在直角三角形PAF 中，AH PF PA AF ⋅=⋅，求得PA AF AH PF ⋅==，12AE PC == AE ∵平面PBC，sin AH AEH AE ∴∠===,解得2m =或m =，即PA 的长为2『答案』为2. 12．『答案』0『解析』如图，连AC ，取AC 的中点E ，连ME ，NE ，则,ME NE 分别为,ADC CAB ∆∆的中位线，所以11,22EN AB ME DC ==, 所以1()2MN ME EN DC AB =+=+．由PQ 与MN 共线， 所以()PQ MN R λλ=∈，故()()()()2PQ AB DC MN AB DC AB DC AB DC λλ⋅-=⋅-=+⋅-22()02AB DC λ=-=．『答案』013．『答案』(-∞『解析』当1x ≥时,()ln 0f x x =≥, ()11f x ∴+≥, [()1]ln(()1)f f x f x ∴+=+,当131()1()1[()1]ln(()1)222x x f x f x f f x f x <=->+>+=+，，，, 综上可知：()()()1ln(()1)0F x f f x m f x m =++=++=,则()1mf x e-+=，()1mf x e-=-有两个根1x ，2x ,(不妨设)12x x <,当1x ≥时,2ln 1mx e -=-，当1x <时,1112m x e --=-, 令112mt e-=->,则2ln x t =，2t x e =，112x t -=，122x t =-，12(22)t x x e t ∴=-，12t >, 设()(22)tg t e t =-，12t >, 所以()2t g t te '=-, 1,()02t g t '⎛⎫∈+∞< ⎪⎝⎭，，函数()g t 单调递减,1()2g t g ⎛⎫∴<=⎪⎝⎭()g x ∴的值域为(-∞, 12x x ∴取值范围为(-∞,故『答案』为：(-∞.14．『答案』『解析』因为22Sa bc +2211222222bcsinAsinA b c b c bccosA bc cosAc b==⨯+-+++- 142sinA cosA ≤-⨯-(当且仅当b c =时取得等号)令,sinA y cosA x ==， 故22S a bc +142y x ≤-⨯-，因为221x y +=，且0y >， 故可得点(),x y 表示的平面区域是半圆弧上的点，如下图所示：目标函数2yz x =-，表示圆弧上一点到点()2,0A 点的斜率，数形结合可知，当且仅当目标函数过点12H ⎛ ⎝⎭，即60A =︒时，取得最小值故可得[2y z x =∈-，又22S a bc +142y x ≤-⨯-，故可得22S a bc +14≤-⨯=. 当且仅当60,A b c =︒=，也即三角形为等边三角形时，取得最大值.故『答案』为：12. 15．『答案』（1）3；（2）(]6,9. 『解析』（1）由sin26cos sin b A A B =及二倍角公式得sin 3sin b A B =， 又sin sin a bA B=即sin sin b A a B =，所以3a =；（2）由正弦定理得sin sin a B b B A ==，sin sin a Cc C A==ABC ∆周长：233sin()3a b c B C B B π++=++=++-33sin 36sin 26B B B π⎫⎛⎫=++=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭， 又因为2(0,)3B π∈，所以1sin (,1]2B ∈. 因此ABC ∆周长的取值范围是(]6,9.16．『答案』（Ⅰ）详见『解析』（Ⅱ）详见『解析』『解析』证明：（1）因为D ,E 分别是AB ,AC 的中点，所以//DE BC ， ...........2分 又因为在三棱柱111ABC A B C -中，11//B C BC，所以11//B C DE. ...............4分 又11B C ⊄平面1A DE，DE ⊂平面1A DE，所以11B C ∥平面1A DE. ...............6分（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥底面ABC ，又DE ⊂底面ABC ，所以1CC DE⊥. .............8分又BC AC ⊥，//DE BC ，所以DE AC ⊥， ..........10分又1,CC AC ⊂平面11ACC A ，且1CC AC C=，所以DE ⊥平面11ACC A . ...............12分又DE ⊂平面1A DE，所以平面1A DE ⊥平面11ACC A ． ............14分17．『答案』（1（2）7百米. 『解析』（1）由题知1,120,BE ABC EA =∠==在ABE 中，由余弦定理得2222cos AE AB BE AB BE ABE =+-⋅∠，即2211AB AB =++，所以4AB =百米所以11sin 41222ABESAB BE ABE =⋅⋅∠=⨯⨯⨯=.（2）记AEB α∠=，在ABE 中，sin sin AB AE ABEα=∠，即4sin α=，所以sin αα===， 当CHDE ⊥时，水管CH 最短，在Rt ECH中，2π2π2πsin2sin2sin cos2cos sin333CH CE HECααα⎛⎫=∠=-=-⎪⎝⎭= .18．『答案』（1）22143x y+=（2）12或32『解析』(1)因为椭圆离心率为12，当P为C的短轴顶点时，12PF F△.所以22212122caa b cc b⎧=⎪⎪=+⎨⎪⎪⨯⨯=⎩，所以21abc=⎧⎪=⎨⎪=⎩C的方程为:22143x y+=.（2）设直线PQ的方程为()1y k x=-，当0k≠时，()1y k x=-代入22143x y+=，得:()22223484120k x k x k+-+-=.设()()1122,,,P x y Q x y，线段PQ的中点为()00,N x y，212024234x x kxk+==+，()1200231234y y ky k xk+-==-=+即22243,3434k kNk k⎛⎫-⎪++⎝⎭因为TN PQ⊥，则1TN PQk k⋅=-，所以222314381443kk kkk--+⋅=-+，化简得24830k k-+=，解得12k=或32k，即直线PQ的斜率为12或32.19．『答案』（1）23a=（2）见『解析』（3）存在8,340m k==满足题意。

绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，均为非选择题(第1题~第20题，共20题)。

本卷满分为160分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.参考公式：柱体的体积V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．． 1.已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则A B =_____.2.已知i 是虚数单位，则复数(1i)(2i)z =+-的实部是_____.3.已知一组数据4,2,3,5,6a a -的平均数为4，则a 的值是_____.4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____.5.如图是一个算法流程图，若输出y 的值为2-，则输入x 的值是_____.6.在平面直角坐标系xOy中，若双曲线22x a ﹣25y =1(a ＞0)的一条渐近线方程为y=52x ，则该双曲线的离心率是____.7.已知y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，()23 f x x = ，则f (-8)的值是____.8.已知2sin ()4πα+ =23，则sin 2α的值是____. 9.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm ，高为2 cm ，内孔半轻为0.5 cm ，则此六角螺帽毛坯的体积是____cm.10.将函数y =πsin(2)43x ﹢的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是____.11.设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列．已知数列{a n +b n }的前n 项和221()n n S n n n +=-+-∈N ，则d +q 的值是_______．12.已知22451(,)x y y x y R +=∈，则22x y +的最小值是_______．13.在△ABC 中，43=90AB AC BAC ==︒，，∠，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP =9，若3()2PA mPB m PC =+-（m 为常数），则CD 的长度是________．14.在平面直角坐标系xOy 中，已知3(0)P ，A ，B 是圆C ：221()362x y +-=上的两个动点，满足PA PB =，则△PAB 面积的最大值是__________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，B 1C ⊥平面ABC ，E ，F 分别是AC ，B 1C 的中点．（1）求证：EF∥平面AB1C1；（2）求证：平面AB1C⊥平面ABB1．16.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3,2,45a c B===︒．（1）求sin C的值；（2）在边BC上取一点D，使得4cos5ADC∠=-，求tan DAC∠的值．17.某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O 在水平线MN 上、桥AB 与MN 平行，OO '为铅垂线(O '在AB 上).经测量，左侧曲线AO 上任一点D 到MN 的距离1h (米)与D 到OO '的距离a (米)之间满足关系式21140h a =；右侧曲线BO 上任一点F 到MN 的距离2h (米)与F 到OO '的距离b (米)之间满足关系式3216800h b b =-+.已知点B 到OO '的距离为40米.（1）求桥AB 的长度；（2）计划在谷底两侧建造平行于OO '的桥墩CD 和EF ，且CE 为80米，其中C ，E 在AB 上(不包括端点).桥墩EF 每米造价k (万元)、桥墩CD 每米造价32k (万元)(k >0).问O E '为多少米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低?18.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求△AF 1F 2的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅的最小值；（3）设点M 在椭圆E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为S 1，S 2，若S 2=3S 1，求点M 的坐标．19.已知关于x 的函数(),()y f x y g x ==与()(,)h x kx b k b =+∈R 在区间D 上恒有()()()f x h x g x ≥≥．（1）若()()222 2()f x x x g x x x D =+=-+=∞-∞+，，，，求h (x )的表达式； （2）若2 1 ln ,()()()(0) x x g k x h kx k D f x x x =-+==-=+∞，，，，求k 的取值范围；（3）若()422242() 2() (48 () 4 3 02 f x x x g x x h x t t x t t t =-=-=--+<，，，[] , D m n =⊆⎡⎣，求证：n m -20.已知数列{}*()∈n a n N 的首项a 1=1，前n 项和为S n ．设λ与k 是常数，若对一切正整数n ，均有11111k k kn n n S S a λ++-=成立，则称此数列为“λ–k ”数列． （1）若等差数列{}n a 是“λ–1”数列，求λ的值；（2）若数列{}n a 2”数列，且a n ＞0，求数列{}n a 的通项公式；（3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列{}n a 为“λ–3”数列，且a n ≥0?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由，数学Ⅱ(附加题)【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4-2：矩阵与变换]21.平面上点(2,1)A -在矩阵11a b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M 对应的变换作用下得到点(3,4)B -． （1）求实数a ，b 的值；（2）求矩阵M 的逆矩阵1M -．B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在极坐标系中，已知点1π(,)3A ρ在直线:cos 2l ρθ=上，点2π(,)6B ρ在圆:4sinC ρθ=上（其中0ρ≥，02θπ≤<）． （1）求1ρ，2ρ的值（2）求出直线l 与圆C 的公共点的极坐标．C ．[选修4-5：不等式选讲]23.设x ∈R ，解不等式2|1|||4x x ++≤．【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24.在三棱锥A—BCD中，已知CB=CD=5,BD=2，O为BD的中点，AO⊥平面BCD，AO=2，E为AC的中点．（1）求直线AB与DE所成角的余弦值；（2）若点F在BC上，满足BF=14BC，设二面角F—DE—C的大小为θ，求sinθ的值．25.甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X n，恰有2个黑球的概率为p n，恰有1个黑球的概率为q n．（1）求p1·q1和p2·q2；（2）求2p n+q n与2p n-1+q n-1的递推关系式和X n的数学期望E(X n)(用n表示) ．绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，均为非选择题(第1题~第20题，共20题)。

2020年江苏省扬州市高考数学最后一卷（6月份）一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1. 已知集合A ={−1,3}，B ={2,4}，则A ∩B =______．2. 复数z 满足zi =4+3i(i 是虚数单位)，则｜z ｜=____．3. 一个学校高一、高二、高三的学生人数之比为2：3：5，若用分层抽样的方法抽取容量为200的样本，则应从高三学生中抽取的人数为_____ 4. 读如下两个伪代码，完成下列题目．(1)Ⅰ输出的结果为________．(2)若Ⅰ、Ⅱ输出的结果相同，则伪代码Ⅱ输入x 的值为________．5. 抛物线y 2=8x 的焦点到双曲线x 216−y29=1渐近线的距离为______． 6. 从某校2名男生和3名女生中随机选出3名学生做义工，则选出的学生中男生、女生都有的概率为____．7. 在等比数列{a n }中，T n 表示前n 项的积，若T 5=1，则a 3=________． 8. 已知函数f(x)=e |x|+1−1x 2+1，则不等式f(x)>f(2x −1)的解集是_______．9. 已知三棱锥S −ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径，△ABC 是等腰直角三角形，AC ⊥BC ，若AC =BC =2，三棱锥的体积是43√2，则球O 的表面积为______．10. 若sinα=45，则sin(α−π4)+√22cosα=__________． 11. 已知函数f(x)=|x 2−2|−a 有4个零点，则实数a 的取值范围是______．12. 若等边△ABC 的边长为2，平面内一点M 满足CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为______．13.已知直角三角形ABC中，直角边AC=6，点D是边AC上一定点，CD=2，点P是斜边AB上一动点，CP⊥BD，则△APC面积的最大值是______；线段DP长度的最小值是______．14.在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若ab +ba=6cosC，则tanCtanA+tanCtanB的值是____________．二、解答题（本大题共10小题，共130.0分）15.已知函数f(x)=4sinx⋅cos(x−π6)．(Ⅰ)求f(π4)的值及函数f(x)的最小正周期；(Ⅱ)求函数f(x)的单调递增区间．16.已知三棱锥P−ABC中，AB⊥AC，AB⊥AP.若平面α分别与棱PA、PB、BC、AC相交于点E、F、G、H，且PC//平面α，求证：(1)AB⊥EH；(2)FG//面PAC．17.某地拟规划种植一批芍药，为了美观，将种植区域(区域I)设计成半径为1km的扇形EAF，中心角∠EAF=θ(π4<θ<π2).为方便观赏，增加收入，在种植区域外围规划观赏区(区域II)和休闲区(区域III)，并将外围区域按如图所示的方案扩建成正方形ABCD，其中点E，F分别在边BC和CD 上．已知种植区、观赏区和休闲区每平方千米的年收入分别是10万元、20万元、20万元．(1)要使观赏区的年收入不低于5万元，求θ的最大值；(2)试问：当θ为多少时，年总收入最大？18.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点为A(−2,0)，离心率为12，过点A的直线l与椭圆E交于另一点B点，C为y轴上的一点．(1)求椭圆E的标准方程；(2)若△ABC是以C为直角顶点的等腰直角三角形，求直线l的方程．19.已知函数f(x)=x2e−2ax(a>0)(1)已知函数f(x)的曲线在x=1处的切线方程为y=−2e−4x+b，求实数a、b的值．(2)求函数在[1,2]上的最大值．20.设S n是数列{a n}的前n项和，且a1=−1，a n+1=S n S n+1，求S n．21. 已知矩阵A =[3 3c d ]，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量α1=[11]，属于特征值1的一个特征向量α2=[ 3−2]，求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵．22. 在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程是{x =3cosα+1y =3sinα+3(α是参数).若以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系中相同的单位长度，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=√2.求直线l 被曲线C 截得的线段长．23. 在如图所示的坐标系中，长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1，已知AB =2，AA 1=1，直线BD 与平面AA 1B 1B 所成的角为30°，AE 垂直BD 于点E ，F 是A 1B 1的中点． (Ⅰ)求异面直线AE 与BF 所成角的余弦值； (Ⅱ)求直线AA 1与平面BDF 所成角的正弦值．24.某外国语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语，2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问，求：(1)在选派的3人中恰有2人会法语的概率；(2)在选派的3人中既会法语又会英语的人数X的分布列与期望．-------- 答案与解析 --------1.答案：⌀解析：解：集合A={−1,3}，B={2,4}，∴A∩B=⌀；故答案为：⌀根据交集的运算定义计算即可．本题考查了交集的运算，属于基础题．2.答案：5解析：【分析】本题主要考查复数的四则运算，复数的模，属于基础题．先将z整理成a+bi形式，再求模长．【解答】解：∵zi=4+3i，∴z=4+3ii =−i(4+3i)−i2=3−4i，∴|z|=√32+(−4)2=5．故答案为5．3.答案：100解析：【分析】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．比较基础．根据分层抽样的定义建立比例关系进行求解即可．【解答】解：∵高一、高二、高三的学生人数之比为2：3：5，∴若用分层抽样的方法抽取容量为200的样本，则应从高三学生中抽取的人数为52+3+5×200=12×200=100，故答案为100．4.答案：(1)6(2)0解析：【分析】本题考查算法中的赋值语句，(1)根据题中的伪代码直接写出答案；(2)利用两个伪代码输出结果相同，得到关于x的方程，即可求出x的值，属基础题．【解答】解：(1)第一次赋值：x=1;第二次赋值：x=2×1=2;第三次赋值：x=3×2=6，输出：6．(2)由伪代码可知Ⅱ输出的结果是x2+6，若Ⅰ、Ⅱ输出的结果相同，则x2+6=0，解得x=0．故答案为(1)6(2)0．5.答案：65解析：解：抛物线y2=8x的焦点(2,0)，双曲线x216−y29=1的一条渐近线方程：3x+4y=0，抛物线y2=8x的焦点到双曲线x216−y29=1渐近线的距离为：√32+42=65．故答案为：65．切线抛物线的焦点坐标以及双曲线的渐近线方程，然后求解距离即可．本题考查抛物线以及双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．6.答案：910解析：【分析】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．先求出基本事件总数，由选出的学生中男女生都有的对立事件是选出的3名学生都是女生，由此利用对立事件概率计算公式能求出选出的学生中男女生都有的概率．【解答】解：某校从2名男生和3名女生中随机选出3名学生做义工，基本事件总数n=C53=10，选出的学生中男女生都有的对立事件是选出的3名学生都是女生，∴选出的学生中男女生都有的概率为p=1−C33C53=1−110=910.故答案为910.7.答案：1解析：【分析】本题目考查等比数列的性质，属于基础题．利用等比中项的的性质，即可求解．【解答】解：因为数列{a n}是等比数列，所以T5=a1a2a3a4a5=a35=1，所以a3=1．故答案为1．8.答案：(13,1)解析：【分析】本题考查函数的奇偶性及单调性，属一般题．求出f(x)为偶函数，即可将f(x)>f(2x−1)化为|x|>|2x−1|，解出即可．【解答】解：因为f(−x)=e|x|+1−1x2+1=f(x)，所以f(x)为偶函数，且可知x≥0时f(x)为增函数，因为f(x)>f(2x−1)，所以|x|>|2x−1|，所以x2>4x2−4x+1⇒(x−1)(3x−1)<0，所以13<x<1，故f(x)>f(2x−1)的解集是(13,1)．故答案为(13,1)．9.答案：16π解析：【分析】本题考查三棱锥的外接球的表面积的求法，三棱锥的体积的求法，考查计算能力，属于中档题．利用三棱锥的体积求出三棱锥的高，然后求解外接球的半径，即可求解外接球的表面积．【解答】解：如图：三棱锥S−ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径，△ABC是等腰直角三角形，AC⊥BC，AB的中点为D，则OD⊥平面ABC，三棱锥的高为2OD，若AC=BC=2，三棱锥的体积是43√2，可得：13×12×2×2×2⋅OD=4√23，可得OD=√2，CD=√2，则外接球的半径R=√2+2=2，外接球的表面积为：4π×22=16π．故答案为：16π．10.答案：2√25解析：sin(α−π4)+√22cosα=√22sinα−√22cosα+√22cosα=√22sinα=2√25.11.答案：(0,2)解析：【分析】作出y=|x2−2|的函数图象，令y=a与函数图象有4个交点得出a的范围．本题考查了函数零点与函数图象的关系，考查数形结合的应用，属于基础题．【解答】解：令f(x)=0得|x2−2|=a，作出y=|x2−2|的函数图象如图所示：∵f(x)=|x 2−2|−a 有4个零点，∴直线y =a 与y =|x 2−2|的图象有4个交点， ∴0<a <2． 故答案为：(0,2)．12.答案：169解析：解：根据题意，建立平面直角坐标系如图所示，由题意知A(1,0)，C(−1,0)，B(0,√3)， 则CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0)，CB⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3)， 所以CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,√32)−(23,0)=(−16,√32)， 所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0)+(−16,√32)=(−136,√32)， 所以BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−√3)+(−16,√32)=(−76,−√32)， 所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−136×(−76)+√32×(−√32)=169．故答案为：169．根据题意建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量，计算向量的数量积即可． 本题考查了平面向量的坐标运算应用问题，是基础题．13.答案：3√3 √102解析：解：以C为坐标原点，CA所在直线为y轴，建立直角坐标系，可得A(0,6)，D(0,2)，设B(a,0)，a>0，直线AB的方程为6x+ay−6a=0，BD的斜率为−2a ，可得直线CP的方程为y=a2x，联立直线AB和直线CP，解得P(12a12+a2,6a212+a2)，△APC面积为S=12|AC|⋅12a12+a2=36a12+a2=36a+12a ≤2√a⋅12a=3√3，当且仅当a=2√3时，△APC的面积为最大值3√3；|DP|2=(12a12+a2)2+(6a212+a2−2)2=16⋅a4−3a2+36(12+a2)2，可设12+a2=t(t>12)，可得a2=t−12，可得|DP|2=16⋅t2−27t+216t2=16(216t2−27t+1)，当1t =−−272×216，即为t=16，|DP|2取得最小值52，可得|DP|的最小值为√102．故答案为：3√3，√102．以C为坐标原点，CA所在直线为y轴，建立直角坐标系，可得A(0,6)，D(0,2)，设B(a,0)，a>0，求得AB的方程，BD的斜率和直线CP的方程，解得P的坐标，由三角形的面积公式和基本不等式可得所求最大值；由两点的距离公式和换元法，结合二次函数的最值，可得DP的最小值．本题考查三角形的面积公式的运用，以及坐标法的运用，考查两点距离公式和基本不等式和二次函数的最值，考查运算能力，属于中档题．14.答案：4解析：解：∵ab +ba=6cosC，由余弦定理可得，a2+b2ab =6⋅a2+b2−c22ab∴a2+b2=3c22则tanCtanA +tanCtanB=cosAsinCcosCsinA+cosBsinCcosCsinB=sinCcosC(cosAsinA+cosBsinB)=sinCcosC ⋅sinBcosA+sinAcosBsinAsinB=sin2CsinAsinBcosC=c2abcosC=c2ab ⋅2aba2+b2−c2=2c23c22−c2=4故答案为：415.答案：解：(Ⅰ)函数，所以所以函数的最小正周期为T=2π 2=π ．(Ⅱ)令，解得．所以函数的单调递增区间为[−π 6+kπ ,kπ +π 3](k∈Z)解析：本题考查三角函数公式的运用，求正弦型函数的值，周期和单调区间，属于中档题．(Ⅰ)利用二倍角公式、降幂公式、辅助角公式等对f(x)进行整理化简，得到正弦型函数的形式，然后求出f(π4)和最小正周期；(Ⅱ)令−π2+2kπ≤2x−π6≤2kπ+π2(k∈Z)，解出x的范围，得到f(x)的单调递增区间．16.答案：证明：(1)∵AB⊥AC，AB⊥AP．又AC⊂平面PAC，AP⊂平面PAC，AC∩AP=A，∴AB⊥平面PAC，…3分又EH⊂面PAC，∴AB⊥EH.…4分(2)∵PC//平面α，平面PAC∩平面α=FG，PC⊂平面PAC，∴PC//FG，…7分又PC⊂面PAC，FG⊄面PAC∴FG//面PAC.…10分解析：(1)由AB⊥AC，AB⊥AP，得AB⊥平面PAC，由此能证明AB⊥EH．(2)由PC//平面α，得PC//FG，由此能证明FG//面PAC．本题考查线线垂直、线面平行的证明，考查用空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．17.答案：解：(1)∵AF=AE=1，AD=AB，∠D=∠B=π2，所以ΔADF与ΔABE全等．所以∠DAF=∠BAE=12(π2−θ)，观赏区的面积为：SⅡ=2×12DF⋅AD=sin∠DAF⋅cos∠DAF=12sin2∠DAF=12sin(π2−θ)=12cosθ，要使得观赏区的年收入不低于5万元，则要求SⅡ≥520=14，即cosθ≥12，结合π4<θ<π2可知π4<θ≤π3，则θ的最大值为π3．(2)种植区的面积为S Ⅱ=12AF ·AE ·θ=12θ，正方形面积为，设年总收入为W(θ)万元，则W(θ)=10S Ⅱ+20S Ⅱ+20S Ⅱ=10S Ⅱ+20(S −S Ⅱ)=5θ+20(1+sinθ2−12θ)=10+10sinθ−5θ，其中π4<θ<π2，求导可得W ′(θ)=10cosθ−5．当π4<θ≤π3时，W ′(θ)>0，W(θ)递增； 当π3<θ<π2时，W ′(θ)<0，W(θ)递减．所以当θ=π3时，W(θ)取得最大值，此时年总收入最大．解析：分析：本题考查了利用导数研究函数的单调性、三角形面积、倍角公式、三角形全等，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(1)由已知可得△ADF≌△ABE.∠DAF =∠BAE =12(π2−θ).观赏区的面积为：S II =2×12DF ⋅AD ，要使观赏区的年收入不低于5万元，则要求S II ≥520=14，π4<θ<π2，即可得出． (2)种植区的面积为S I =12⋅AF ⋅AE ⋅θ=12θ，正方形的面积为该年总收入为W(θ)万元，W(θ)=10S I +20(S −S I )=5θ+20(1+sinθ2−12θ)=10+10sinθ−5θ.利用导数研究其单调性即可得出．18.答案：解：(1)根据已知得a =2，e =c a =12，所以c =1，即b 2=a 2−c 2=3， 所以椭圆方程为x 24+y 23=1；(2)设直线l 的方程为y =k(x +2)，则{y =k (x +2)x 24+y 23=1，整理得：(3+4k 2)x 2+16k 2x +16k 2−12=0． 因为x =−2是方程的一个根，则−2x B =16k 2−123+4k 2⇒x B=−8k 2+63+4k 2,y B =12k3+4k 2即B (6−8k 23+4k ,12k3+4k )． 设C(0,y 0)，则因为CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 所以(−2,−y 0)(6−8k 23+4k 2,12k3+4k 2−y 0)=0，即(3+4k2)y02−12ky0+(16k2−12)=0,∗，又AC=BC，所以√4+y02=√(6−8k23+4k2)2+(y0−12k3+4k2)2，整理得4(3+4k2)2=(6−8k2)2+144k2−24k(3+4k2)y0，所以k=0或y0=−2k3+4k2，当k=0时，直线l方程为y=0，当y0=−2k3+4k2时，代入(∗)中得16k4+7k2−9=0，所以k=±34，此时直线l方程为y=±34(x+2)，综上所述，直线l的方程为y=0或y=±34(x+2)．解析：本题考查直线与椭圆的位置关系，椭圆的标准方程，是较难题．(1)直接利用已知条件求出a，b，椭圆方程可求；(2)设直线l方程并联立方程组求出B点坐标，设出C点坐标，根据等腰直角三角形的性质求出k和y0，将y0代入(∗)求出k值，进而直线l方程可求．19.答案：解：(1)∵f(x)=x2e−2ax，f′(x)=(2x−2ax2)e−2ax；∴f′(1)=(2−2a)e−2aⅡ−2e−4；解得，a=2，则f(x)=x2e−4x，f(1)=e−4，故直线y=−2e−4x+b过点(1,e−4)；故b=3e−4；(2)由(1)得，f(x)=x2e−4x，f′(x)=(2x−4x2)e−4x；则当x∈[1,2]时，f′(x)=(2x−4x2)e−4x<0，故f(x)在[1,2]上单调递减；故f max(x)=f(1)=e−4．解析：(1)求导f′(x)=(2x−2ax2)e−2ax，从而可得f′(1)=(2−2a)e−2aⅡ−2e−4；从而解出a，代入求b；(2)由(1)可得f(x)=x2e−4x，f′(x)=(2x−4x2)e−4x；从而可得f(x)在[1,2]上单调递减；从而求最大值．本题考查了导数的几何意义及导数的综合应用，属于中档题．20.答案：解：a n+1=S n+1−S n =S n+1·S n ，两边同时除以S n+1·S n ，得1Sn+1−1S n=−1，故数列{1S n}是以−1为首项，−1为公差的等差数列，则1S n=−1−(n −1)=−n ，所以S n =−1n ．解析：本题考查数列的递推关系以及等差数列的通项公式，由a n+1=S n+1−S n =S n+1S n,两边同时除以S n+1S n ，得1Sn+1−1S n=−1，可得数列{1S n}是等差数列，求得S n.21.答案： 解：由矩阵A 属于特征值6的一个特征向量α1=[11]，可知[3 3c d ][11]=6[11]，所以c +d =6，①， 由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量α2=[ 3−2]， 可知[3 3c d ][ 3−2]=[ 3−2]，所以3c −2d =−2，②， 联立①②可得{c +d =6,3c −2d =−2,解得{c =2,d =4,即A =[3 32 4]， A 的逆矩阵A −1=[ 23 −12−1312].解析：本题考查矩阵及其逆矩阵的求法，考查矩阵的牲值、牲征向量、逆矩阵等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．由矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1=[11]，求出c +d =6，矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为α2=[−23]，求出3c −2d =−2，联立方程组求出{c =2d =4，由此能求出矩阵A ，并写出A 的逆矩阵．22.答案：解：由{x =3cosα+1y =3sinα+3得{x −1=3cosαy −3=3sinα两式平方后相加得(x −1)2+(y −3)2=9. 所以曲线C 是以(1,3)为圆心，半径等于3的圆． 直线l 的直角坐标方程为x +y −2=0， 圆心C 到l 的距离是d =√2=√2，所以直线l 被曲线C 截得的线段长为2√9−2=2√7．解析：本题考查了参数方程和极坐标方程，把曲线C 的参数方程利用同角三角函数的基本关系消去参数θ，化为普通方程，把直线的极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离利用勾股定理求得弦长，属基础题．23.答案：解：(Ⅰ)在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，以AD 所在的直线为y 轴，以AA 1所在的直线为z 轴， 建立如图所示空间直角坐标系．由已知AB =2，AA 1=1，可得A(0,0，0)，B(2,0，0)，F(1,0，1)．又AD ⊥面AA 1B 1B ，从而BD 与平面AA 1B 1B 所成的角为∠DBA =30°，而AB =2，AE ⊥BD ，AE =1，AD =2√33，∴E(12,√32,0)，D(0,2√33,0).AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,√32,0)，BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0，1)，∴cos <AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BF ⃗⃗⃗⃗⃗ >=AE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ |AE⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=−12√2=−√24． ∴异面直线AE 与BF 所成角的余弦值为√24.(Ⅱ)直线AA 1的一个方向向量为m ⃗⃗⃗ =(0,0，1)，设n ⃗ =(x,y ，z)是平面BDF 的一个法向量，BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2√33,0)， {n ⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +z =0n⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2x −2√33y =0，取x =1，得n ⃗ =(1,√3,1)， cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√55， ∴直线AA 1与平面BDF 所成角的正弦值√55.解析：本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题． (Ⅰ)以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，以AD 所在的直线为y 轴，以AA 1所在的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AE 与BF 所成角的余弦值．(Ⅱ)求出直线AA 1的一个方向向量和平面BDF 的一个法向量，利用向量法能动求出直线AA 1与平面BDF 所成角的正弦值．24.答案： 解：(1)事件A “选派的三人中恰有2人会法语的概率为：P(A)=C 52C 21C 73=47；(2)x 的取值为0、1、2、3， 则P(x =0)=C 43C 73=435，P(x =1)=C 42C 31C 73=1835， P(x =2)=C 41C 32C 73=1235，P(x =3)=C 33C 73=135；分布列为：Ex =1×1835+2×1235+3×135=4535=97．解析：本题考查离散型随机变量的分布列的应用，期望的求法，考查计算能力． (1)直接利用古典概型的概率计算方法求解即可．(2)x 的取值为0、1、2、3，求出对应的概率，得到分布列然后求解期望．。

2020年江苏省高考数学最后一卷一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合A={0,1，2}，B={x|−1<x<1}，则A∩B=________．2.若复数z=i(2−z)，则z=______ ．3.读如下两个伪代码，完成下列题目．(1)Ⅰ输出的结果为________．(2)若Ⅰ、Ⅱ输出的结果相同，则伪代码Ⅱ输入x的值为________．4.已知样本2000个，其频率分布直方图如下，那么在[2,8)之间的有__________个．5.用红、黄、蓝三种不同的颜色给A，B两点涂色，每个点只涂一种颜色，则点A，点B颜色不同的概率为____________.6.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在R上的部分图象如图所示，则ω的值为______ ．7. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2m+1−y 2=1的离心率为2，则实数m 的值是_________． 8. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a1+a 200=1，则S 200=_____ 9. 若一个圆锥的母线与底面所成的角为π6，体积为125π，则此圆锥的高为_______。

10. 如图，在圆C 中，C 为圆心，AC 为圆的半径，AB 是弦，若|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=6，则AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =______．11. 若sinα=45，则sin(α−π4)+√22cosα=__________． 12. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M ：x 2+y 2−4x −8y +12=0，圆N 与圆M 外切于点(0,m)，且过点(0,−2)，则圆N 的标准方程为______________．13. 已知函数f(x)={k(x +2),x ≤0−lnx,x >0(k <0)，若函数y =f(f(x))−1有3个零点，则实数k 的取值范围为______ ．14. 已知△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足2a 2+bc =6，则△ABC 面积的最大值为______．二、解答题（本大题共11小题，共142.0分）15. 如图，在三棱锥ABC −A 1B 1C 1中，AB =AC ，，，D ，E 分别是AB 1，BC的中点．求证：(1)DE//平面ACC 1A 1；(2)AE ⊥平面BCC 1B 1.16.如图，在△ABC中，∠B=30°，AC=2√5，D是边AB上一点．(Ⅰ)求△ABC的面积的最大值；(Ⅱ)若CD=2，△ACD的面积为4，∠ACD为锐角，求BC的长．17.某社区有一块直角三角形的闲置土地MON，OM=ON=60米，该区域内有处P，点P到边界OM的距离PC=20米，点P到边界ON的距离PD=10米．社区为改善居民生活环境，决定将其改造为居民休闲广场．方案为：经过点P修建一条笔直小路(两端A,B分别在边界OM,ON上，宽度不计)将该区域分为两部分，在区域AOB内安装健身器材，平均每平方米造价600元，剩余区域种植草皮，每平方米造价100元．(1)当OP ⊥AB 时，求休闲广场的总造价为多少元？(2)求休闲广场总造价的最低费用为多少元？18. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左右焦点分别为，F 1和F 2，上顶点为B ，BF 2，延长线交椭圆于点A ，△ABF 的周长为8，且BF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0．(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)若直线l ⊥AB 且与椭圆C 相交于两点P ，Q ，求|PQ|的最大值．19.已知函数f(x)=lnx．(1)若直线y=2x+p(p∈R)是函数y=f(x)图象的一条切线，求实数p的值．(2)若函数g(x)=x−mx−2f(x)(m∈R)有两个极值点，求实数m的取值范围．20.已知数列{a n}中，a1=1，其前n项和为S n，且满足a n=2S n22S n−1(n≥2,n∈N+).(Ⅰ)求证：数列{1S n}是等差数列；(Ⅱ)证明：13S1+15S2+17S3+⋯+12n+1S n<12．21.已知矩阵[122a ]的属于特征值b的一个特征向量为[11]，求实数a、b的值．22.已知曲线C的极坐标方程为，直线l:θ=a(a∈[0,π),ρ∈R)与曲线C相交于M、N两点．以极点O为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系．(Ⅰ)求曲线C的参数方程；(Ⅱ)记线段MN的中点为P，若|OP|⩽λ恒成立，求实数λ的取值范围．23.设实数a，b，c满足a+2b+3c=4，求证：a2+b2+c2≥8．724.如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，点M，N分别为A1A和B1B的中点．(Ⅰ)求异面直线CM与D1N所成角的余弦值；(Ⅱ)求点D1到平面MDC的距离．25.设随机变量X的分布列为P(X=k)=1，k=1，2，3，4，5.求E(X+2)2，V(2X−1)．5-------- 答案与解析 --------1.答案：{0}解析：【分析】本题考查集合的交集运算，属于基础题．直接利用交集定义即可求得答案．【解答】解：根据交集的定义可得A∩B={0}．故答案为{0}．2.答案：1+i解析：解：复数z=i(2−z)，则z=2i1+i =2i(1−i)(1+i)(1−i)=1+i．故答案为：1+i．化简已知条件，利用复数的除法的运算法则化简求解即可．本题考查复数的代数形式的混合运算，基本知识的考查．3.答案：(1)6(2)0解析：【分析】本题考查算法中的赋值语句，(1)根据题中的伪代码直接写出答案；(2)利用两个伪代码输出结果相同，得到关于x的方程，即可求出x的值，属基础题．【解答】解：(1)第一次赋值：x=1;第二次赋值：x=2×1=2;第三次赋值：x=3×2=6，输出：6．(2)由伪代码可知Ⅱ输出的结果是x2+6，若Ⅰ、Ⅱ输出的结果相同，则x2+6=0，解得x=0．故答案为(1)6(2)0．4.答案：880解析：本题考查频率分布直方图的应用，属于简单题。

2020年江苏高考数学试题解析1.已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则A B =_____. 【答案】{}0,2【解析】∵{}1,0,1,2A =-,{}0,2,3B = ∴{}0,2A B =故答案为：{}0,2.2.已知i 是虚数单位，则复数(1i)(2i)z=+-的实部是_____. 【答案】3【解析】∵复数()()12z i i =+-∴2223z i i i i =-+-=+∴复数的实部为3.故答案为：3.3.已知一组数据4,2,3,5,6a a -的平均数为4，则a 的值是_____.【答案】2根据平均数的公式进行求解即可．【解析】∵数据4,2,3,5,6a a -的平均数为4∴4235620a a ++-++=，即2a=. 故答案为：2.4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____. 【答案】19【解析】根据题意可得基本事件数总为6636⨯=个.点数和为5的基本事件有()1,4，()4,1，()2,3，()3,2共4个.∴出现向上的点数和为5的概率为41369P==. 故答案为：19. 5.如图是一个算法流程图，若输出y 的值为2-，则输入x 的值是_____.【答案】3-根据指数函数的性质，判断出1y x =+，由此求得x 的值.【解析】由于20x>，所以12y x =+=-，解得3x =-.故答案为：3- 6.在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22x a ﹣25y =1(a ＞0)的一条渐近线方程为5，则该双曲线的离心率是____.【答案】32根据渐近线方程求得a ，由此求得c ，进而求得双曲线的离心率.【解析】双曲线22215x y a -=，故5b =.由于双曲线的一条渐近线方程为52y x =，即52b a a =⇒=，所以22453c a b =++=，所以双曲线的离心率为32c a =. 故答案为：327.已知y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，()23 f x x = ，则f (-8)的值是____. 【答案】4-先求(8)f ，再根据奇函数求(8)f -【解析】23(8)84f ==，因为()f x 为奇函数，所以(8)(8)4f f -=-=- 故答案为：4-8.已知2sin()4πα+ =23，则sin 2α的值是____. 【答案】13直接按照两角和正弦公式展开，再平方即得结果.【解析】22221sin ()(cos sin )(1sin 2)4222παααα+=+=+ 121(1sin 2)sin 2233αα∴+=∴= 故答案为：139.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm ，高为2 cm ，内孔半轻为0.5 cm ，则此六角螺帽毛坯的体积是____cm.【答案】1232π先求正六棱柱体积，再求圆柱体积，相减得结果.【解析】正六棱柱体积为23622=1234⨯⨯⨯ 圆柱体积为21()222ππ⋅=所求几何体体积为2π 故答案为：2π10.将函数y =πsin(2)43x﹢的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是____. 【答案】524x π=- 先根据图象变换得解析式，再求对称轴方程，最后确定结果. 【解析】3sin[2()]3sin(2)6412y x x πππ=-+=- 72()()122242k x k k Z x k Z πππππ-=+∈∴=+∈ 当1k =-时524x π=- 故答案为：524x π=- 11.设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列．已知数列{a n +b n }的前n 项和221()n n S n n n +=-+-∈N ，则d +q 的值是_______．【答案】4结合等差数列和等比数列前n 项和公式的特点，分别求得{}{},n n a b 的公差和公比，由此求得d q +. 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，根据题意1q ≠.等差数列{}n a 的前n 项和公式为()2111222n n n d d P na d n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭， 等比数列{}n b 的前n 项和公式为()1111111n n n b q b b Q q q q q-==-+---， 依题意n n n S P Q =+，即22111212211n n b b d d n n n a n q q q ⎛⎫-+-=+--+ ⎪--⎝⎭，通过对比系数可知111212211d d a q b q ⎧=⎪⎪⎪-=-⎪⎨⎪=⎪⎪=-⎪-⎩⇒112021d a q b =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩，故4d q +=.故答案为：412.已知22451(,)x y y x y R +=∈，则22x y +的最小值是_______．【答案】45根据题设条件可得42215y x y -=，可得4222222114+555y y x y y y y-+=+=，利用基本不等式即可求解. 【解析】∵22451x y y += ∴0y ≠且42215y x y -= ∴422222222114144+2555555y y y x y y y y y -+=+=≥⋅=，当且仅当221455y y =，即2231,102x y ==时取等号.∴22x y +的最小值为45. 故答案为：45. 13.在△ABC 中，43=90AB AC BAC ==︒，，∠，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP =9，若3()2PA mPB m PC =+-（m 为常数），则CD 的长度是________．【答案】185根据题设条件可设()0PA PD λλ=>，结合32PA mPB m PC ⎛⎫=+-⎪⎝⎭与,,B D C 三点共线，可求得λ，再根据勾股定理求出BC ，然后根据余弦定理即可求解.【解析】∵,,A D P 三点共线，∴可设()0PA PD λλ=>， ∵32PA mPB m PC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， ∴32PD mPB m PC λ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，即32m m PD PB PC λλ⎛⎫- ⎪⎝⎭=+， 若0m ≠且32m ≠，则,,B D C 三点共线， ∴321m m λλ⎛⎫- ⎪⎝⎭+=，即32λ=， ∵9AP =，∴3AD =， ∵4AB =,3AC =,90BAC ∠=︒，∴5BC =，设CD x =，CDA θ∠=，则5BD x =-，BDA πθ∠=-.∴根据余弦定理可得222cos 26AD CD AC x AD CD θ+-==⋅，()()()222257cos 265x AD BD AB AD BD x πθ--+--==⋅-， ∵()cos cos 0θπθ+-=，∴()()2570665x x x --+=-，解得185x =， ∴CD 的长度为185. 当0m =时， 32PA PC =，,C D 重合，此时CD 的长度为0， 当32m =时，32PA PB =，,B D 重合，此时12PA =，不合题意，舍去. 故答案为：0或185. 14.在平面直角坐标系xOy 中，已知0)P ，A ，B 是圆C ：221()362x y +-=上的两个动点，满足PA PB =，则△PAB 面积的最大值是__________．【答案】105 根据条件得PC AB ⊥,再用圆心到直线距离表示三角形PAB 面积，最后利用导数求最大值. 【解析】PA PB PC AB =∴⊥设圆心C 到直线AB 距离为d ，则231||=236,||144AB d PC -=+= 所以2221236(1)(36)(1)2PAB Sd d d d ≤⋅-+=-+ 令222(36)(1)(06)2(1)(236)04y d d d y d d d d '=-+≤<∴=+--+=∴=（负值舍去）当04d≤<时，0y '>；当46d ≤<时，0y '≤，因此当4d =时，y 取最大值，即PAB S 取最大值为105，故答案为：105 15.在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，B 1C ⊥平面ABC ，E ，F 分别是AC ，B 1C 的中点．（1）求证：EF ∥平面AB 1C 1；（2）求证：平面AB 1C ⊥平面ABB 1．【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析.（1）通过证明1//EF AB ，来证得//EF 平面11AB C . （2）通过证明AB ⊥平面1AB C ，来证得平面1AB C ⊥平面1ABB .【解析】（1）由于,E F 分别是1,AC B C 的中点，所以1//EF AB .由于EF ⊂/平面11AB C ,1AB ⊂平面11AB C ，所以//EF 平面11AB C .（2）由于1B C⊥平面ABC ，AB 平面ABC ，所以1B C AB ⊥. 由于1,AB AC AC B C C ⊥⋂=，所以AB ⊥平面1AB C , 由于AB 平面1ABB ，所以平面1AB C ⊥平面1ABB .16.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3,2,45a c B ===︒．（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值． 【答案】（1）5sin 5C =；（2）2tan 11DAC ∠=. （1）利用余弦定理求得b ，利用正弦定理求得sin C .（2）根据cos ADC ∠的值，求得sin ADC ∠的值，由（1）求得cos C 的值，从而求得sin ,cos DAC DAC ∠∠的值，进而求得tan DAC ∠的值.【解析】（1）由余弦定理得22222cos 922325b a c ac B =+-=+-⨯=，所以5b =由正弦定理得sin 5sin sin sin 5c b c B C C B b =⇒==. （2）由于4cos 5ADC ∠=-，,2ADC ππ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以23sin 1cos 5ADC ADC ∠=-∠=. 由于,2ADC ππ⎛⎫∠∈⎪⎝⎭，所以0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以225cos 1sin 5C C =-= 所以()sin sin DAC DAC π∠=-∠()sin ADC C =∠+∠sin cos cos sin ADC C ADC C =∠⋅+∠⋅3254525555525⎛⎫=⨯+-⨯= ⎪⎝⎭. 由于0,2DAC π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以2115cos 1sin 25DAC DAC ∠=-∠=. 所以sin 2tan cos 11DAC DAC DAC ∠∠==∠.17.某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O 在水平线MN 上、桥AB 与MN 平行，OO '为铅垂线(O '在AB 上).经测量，左侧曲线AO 上任一点D 到MN 的距离1h (米)与D 到OO '的距离a (米)之间满足关系式21140h a =；右侧曲线BO 上任一点F 到MN 的距离2h (米)与F 到OO '的距离b (米)之间满足关系式3216800h b b =-+.已知点B 到OO '的距离为40米.（1）求桥AB 的长度；（2）计划在谷底两侧建造平行于OO '的桥墩CD 和EF ，且CE 为80米，其中C ，E 在AB 上(不包括端点).桥墩EF 每米造价k (万元)、桥墩CD 每米造价32k (万元)(k >0).问O E '为多少米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低?【答案】（1）120米（2）20O E '=米（1）根据A,B 高度一致列方程求得结果；（2）根据题意列总造价的函数关系式，利用导数求最值，即得结果.【解析】（1）由题意得2311||40640||8040800O A O A ''=-⨯+⨯∴= ||||||8040120AB O A O B ''∴=+=+=米（2）设总造价为()f x 万元，21||8016040O O '=⨯=，设||O E x '=， 32131()(1606)[160(80)],(040)800240f x k x x k x x =+-+--<< 3221336()(160),()()0208008080080f x k x x f x k x x x '∴=+-∴=-=∴=(0舍去) 当020x <<时，()0f x '<；当2040x <<时，()0f x '>，因此当20x时，()f x 取最小值， 答：当20O E'=米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低. 18.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求△AF 1F 2的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅的最小值；（3）设点M 在椭圆E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为S 1，S 2，若S 2=3S 1，求点M 的坐标．【答案】（1）6；（2）-4；（3）()2,0M或212,77⎛⎫-- ⎪⎝⎭.（1）根据椭圆定义可得124AF AF +=，从而可求出12AF F △的周长；（2）设()0,0P x ，根据点A 在椭圆E 上，且在第一象限，212AF F F ⊥，求出31,2A ⎛⎫⎪⎝⎭，根据准线方程得Q 点坐标，再根据向量坐标公式，结合二次函数性质即可出最小值； （3）设出设()11,Mx y ，点M 到直线AB 的距离为d ，由点O 到直线AB 的距离与213S S =，可推出95d =，根据点到直线的距离公式，以及()11,M x y 满足椭圆方程，解方程组即可求得坐标. 【解析】（1）∵椭圆E 的方程为22143x y +=∴()11,0F -,()21,0F由椭圆定义可得：124AF AF +=.∴12AF F △的周长为426+= （2）设()0,0P x ，根据题意可得01x ≠.∵点A 在椭圆E 上，且在第一象限，212AF F F ⊥∴31,2A ⎛⎫⎪⎝⎭∵准线方程为4x =∴()4,QQy∴()()()()200000,04,4244Q OP QP x x y x x x ⋅=⋅--=-=--≥-，当且仅当02x =时取等号.∴OP QP ⋅的最小值为4-. （3）设()11,Mx y ，点M 到直线AB 的距离为d .∵31,2A ⎛⎫⎪⎝⎭，()11,0F - ∴直线1AF 的方程为()314y x =+ ∵点O 到直线AB 的距离为35，213S S =∴2113133252S S AB AB d ==⨯⨯⨯=⋅∴95d =∴113439x y -+=①∵2211143x y +=② ∴联立①②解得1120x y =⎧⎨=⎩，1127127x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩.∴()2,0M或212,77⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 19.已知关于x 的函数(),()y f x y g x ==与()(,)h x kx b k b =+∈R 在区间D 上恒有()()()f x h x g x ≥≥．（1）若()()222 2()f x x x g x x x D =+=-+=∞-∞+，，，，求h (x )的表达式； （2）若21ln ,()()()(0) x x g k x h kx k D f x x x =-+==-=+∞，，，，求k 的取值范围； （3）若()422242() 2() (48 () 4 3 02 f x x x g x x h x t t x t t t =-=-=--+<，，，[] , D m n =⊆⎡⎣，求证：n m -≤【答案】（1）()2h x x =；（2）[]0,3k ∈；（3）证明详见解析 （1）求得()f x 与()g x 的公共点，并求得过该点的公切线方程，由此求得()h x 的表达式.（2）先由()()0hx g x -≥，求得k 的一个取值范围，再由()()0f x h x -≥，求得k 的另一个取值范围，从而求得k 的取值范围. （3）先由()()f x h x ≥，求得t的取值范围，由方程()()0gx h x -=的两个根，求得n m -的表达式，利用导数证得不等式成立. 【解析】（1）由题设有2222x x kx b x x -+≤+≤+对任意的x ∈R 恒成立.令0x=，则00b ≤≤，所以0b =.因此22kx x x ≤+即()220x k x +-≥对任意的x ∈R 恒成立，所以()220k ∆=-≤，因此2k =.故()2hx x =.（2）令()()()()()1ln 0F x h x g x k x x x =-=-->，()01F =.又()1x F x k x-'=⋅. 若k0<，则()F x 在0,1上递增，在1,上递减，则()()10Fx F ≤=，即()()0h x g x -≤，不符合题意.当0k =时，()()()()()0,F x h x g x h x g x =-==，符合题意. 当0k >时， ()F x 在0,1上递减，在1,上递增，则()()10Fx F ≥=，即()()0hx g x -≥，符合题意.综上所述，0k ≥.由()()()21f x h x x x kx k -=-+--()()2110x k x k =-+++≥当102k x +=<，即1k <-时，()211y x k x k =-+++在0,为增函数，因为()()0010f h k -=+<，故存在()00,x ∈+∞，使()()0f x h x -<，不符合题意.当102k x+==，即1k =-时，()()20f x h x x -=≥，符合题意.当102k x +=>，即1k >-时，则需()()21410k k ∆=+-+≤，解得13k -<≤. 综上所述，k 的取值范围是[]0,3k ∈.（3）因为()423422243248xx t t x t t x -≥--+≥-对任意[,][x m n ∈⊂恒成立，()423422432x x t t x t t -≥--+对任意[,][x m n ∈⊂恒成立，等价于()222()2320x t xtx t -++-≥对任意[,][x m n ∈⊂恒成立.故222320x tx t ++-≥对任意[,][x m n ∈⊂恒成立令22()232M x x tx t =++-，当201t <<，2880,11t t ∆=-+>-<-<，此时1n m t -≤<，当212t ≤≤，2880t ∆=-+≤，但()234248432xt t x t t -≥--+对任意的[,][x m n ∈⊂恒成立.等价于()()()2322443420xt t x t t --++-≤对任意的[,][x m n ∈⊂恒成立.()()()2322443420x t t x t t --++-=的两根为12,x x ，则4231212328,4t t x x t t x x --+=-⋅=，所以12=n m x x --==.令[]2,1,2tλλ=∈，则n m -=构造函数()[]()325381,2P λλλλλ=-++∈，()()()23103331P λλλλλ'=-+=--，所以[]1,2λ∈时，()0P λ'<，()P λ递减，()()max 17P P λ==.所以()max n m -=n m -≤.20.已知数列{}*()∈n a n N 的首项a 1=1，前n 项和为S n．设λ与k 是常数，若对一切正整数n ，均有11111kkkn n n S S a λ++-=成立，则称此数列为“λ–k ”数列．（1）若等差数列{}n a 是“λ–1”数列，求λ的值；（2）若数列{}n a 2-”数列，且a n ＞0，求数列{}n a 的通项公式；（3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列{}n a 为“λ–3”数列，且a n≥0?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由， 【答案】（1）1（2）21,134,2nn n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩ （3）01λ<<（1）根据定义得+11n n n S S a λ+-=，再根据和项与通项关系化简得11n n a a λ++=，最后根据数列不为零数列得结果；（2）根据定义得111222+1+1)n nn n S S S S -=-，根据平方差公式化简得+1=4n n S S ，求得n S ，即得n a ；（3）根据定义得111333+11n n n SS a λ+-=，利用立方差公式化简得两个方程，再根据方程解的个数确定参数满足的条件，解得结果 【解析】（1）+111111101n n n n n n S S a a a a a λλλ++++-=∴==∴≡∴=/（2）11221100n n n n n a S S S S ++>∴>∴->111222+1+1)n nn n S S S S -=-1111112222222+1+1+11()()()3n n n n n n S S S S S S ∴-=-+1111111222222+1+1+1+11()=2=443n n nn n n n n n n S S S S S S S S S -∴-=+∴∴∴= 111S a ==，14n n S -=1224434,2n n n n a n ---∴=-=⋅≥21,134,2n n n a n -=⎧∴=⎨⋅≥⎩（3）假设存在三个不同的数列{}n a 为"3"λ-数列.111113333333+11+1+1()()n n n n n n n S S a S S S S λλ+-=∴-=- 1133+1n nS S ∴=或11221123333333+1+1+1()()n n n n n n SS S S S S λ-=+++1n n S S ∴=或22113333333+1+1(1)(1)(2)0n n n n SS S S λλλ-+-++=∵对于给定的λ，存在三个不同的数列{}n a 为"3"λ-数列，且0n a ≥1,10,2n n a n =⎧∴=⎨≥⎩或()22113333333+1+1(1)(1)(2)01n n n n S S S S λλλλ-+-++=≠有两个不等的正根.()22113333333+1+1(1)(1)(2)01n n n n S S SS λλλλ-+-++=≠可转化为()2133333+1+12133(1)(2)(1)01n n nnS S S S λλλλ-++-+=≠，不妨设()1310n n S x x S +⎛⎫=> ⎪⎝⎭，则()3233(1)(2)(1)01x x λλλλ-+++-=≠有两个不等正根，设()()3233(1)(2)(1)01f x x x λλλλ=-+++-=≠.① 当1λ<时，32323(2)4(1)004λλλ∆=+-->⇒<<，即01λ<<，此时()3010f λ=-<，33(2)02(1)x λλ+=->-对，满足题意.② 当1λ>时，32323(2)4(1)004λλλ∆=+-->⇒<<，即1λ<<()3010f λ=->，33(2)02(1)x λλ+=-<-对，此情况有两个不等负根，不满足题意舍去. 综上，01λ<<21.平面上点(2,1)A -在矩阵11ab ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M 对应的变换作用下得到点(3,4)B -．（1）求实数a ，b 的值；（2）求矩阵M 的逆矩阵1M -．【答案】（1）22a b =⎧⎨=⎩；（2）121 5512 55M -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦.（1）根据变换写出具体的矩阵关系式，然后进行矩阵的计算可得出实数,a b 的值； （2）设出逆矩阵，由定义得到方程，即可求解.【解析】（1）∵平面上点()2,1A -在矩阵 11 a M b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦对应的变换作用下得到点()3,4B -∴ 1 2 31 14a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦∴21324a b -=⎧⎨--=-⎩，解得22a b =⎧⎨=⎩（2）设1 m n M c d -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则12 2 1 0=2 20 1m c n d MM m c n d -++⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-+-+⎣⎦⎣⎦∴21202021m c n d m c n d +=⎧⎪+=⎪⎨-+=⎪⎪-+=⎩，解得25151525m n c d ⎧=⎪⎪⎪=-⎪⎨⎪=⎪⎪⎪=⎩∴121 5512 55M -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦【迁移】本题考查矩阵变换的应用，考查逆矩阵的求法，解题时要认真审题，属于基础题． 22.在极坐标系中，已知点1π(,)3A ρ在直线:cos 2l ρθ=上，点2π(,)6B ρ在圆:4sinC ρθ=上（其中0ρ≥，02θπ≤<）．（1）求1ρ，2ρ的值（2）求出直线l 与圆C 的公共点的极坐标． 【答案】（1）1242ρρ==，（2）)4π(1)将A,B 点坐标代入即得结果；（2）联立直线与圆极坐标方程，解得结果. 【解析】（1）以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，11cos2,43πρρ=∴=，因为点B为直线6πθ=上，故其直角坐标方程为y x =， 又4sin ρθ=对应的圆的直角坐标方程为：2240x y y +-=，由2240y x x y y ⎧=⎪⎨⎪+-=⎩解得00xy ==⎧⎨⎩或1x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩对应的点为())0,0,，故对应的极径为20ρ=或22ρ=.（2）cos 2,4sin ,4sin cos 2,sin 21ρθρθθθθ==∴=∴=，5[0,2),,44ππθπθ∈∴=，当4πθ=时ρ=当54πθ=时0ρ=-<，舍；即所求交点坐标为当),4π【迁移】本题考查极坐标方程及其交点，考查基本分析求解能力，属基础题. 23.设x ∈R ，解不等式2|1|||4x x ++≤．【答案】22,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦根据绝对值定义化为三个方程组，解得结果【解析】1224x x x <-⎧⎨---≤⎩或10224x x x -≤≤⎧⎨+-≤⎩或0224x x x >⎧⎨++≤⎩21x ∴-≤<-或10x -≤≤或203x <≤所以解集为22,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【迁移】本题考查分类讨论解含绝对值不等式，考查基本分析求解能力，属基础题. 24.在三棱锥A —BCD 中，已知CB =CD =5,BD =2，O 为BD 的中点，AO ⊥平面BCD ，AO =2，E 为AC 的中点．（1）求直线AB 与DE 所成角的余弦值； （2）若点F 在BC 上，满足BF =14BC ，设二面角F —DE —C 的大小为θ，求sin θ的值． 【答案】（1）15（2）239（1）建立空间直角坐标系，利用向量数量积求直线向量夹角，即得结果；（2）先求两个平面法向量，根据向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系得结果.解析】（1）连,CO BC CD BO OD CO BD ==∴⊥以,,OB OC OA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,2),(1,0,0),(0,2,0),(1,0,0)(0,1,1) A B C D E-∴(1,0,2),(1,1,1)cos,AB DE AB DE∴=-=∴<>==从而直线AB与DE（2）设平面DEC一个法向量为1(,,),n x y z=1120(1,2,0),x yn DCDCx y zn DE⎧+=⋅=⎧⎪=∴⎨⎨++=⋅=⎪⎩⎩令112,1(2,1,1)y x z n=∴=-=∴=-设平面DEF一个法向量为2111(,,),n x y z=112211171171(,,0),424420x yn DFDF DB BF DB BCn DE x y z⎧⎧+=⋅=⎪⎪=+=+=∴⎨⎨⋅=⎪⎩⎪++=⎩令111272,5(2,7,5)y xz n=-∴==∴=-12cos,n n∴<>==因此sin13θ==25.甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X n，恰有2个黑球的概率为p n，恰有1个黑球的概率为q n．（1）求p1·q1和p2·q2；（2）求2p n+q n与2p n-1+q n-1的递推关系式和X n的数学期望E(X n)(用n表示) ．【答案】（1）112212716,,332727p q p q====；；（2）()111222+33n n n np q p q--+=+（1）直接根据操作，根据古典概型概率公式可得结果；（2）根据操作，依次求n n p q ，，即得递推关系，构造等比数列求得2n n p q +，最后根据数学期望公式求结果.【解析】（1）11131232,333333p q ⨯⨯====⨯⨯， 211131211227++3333333927p p q ⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯， 211231122222516+0+3333333927q p q ⨯⨯+⨯=⨯⨯+=⨯⨯=⨯⨯ （2）1111131212++333339n n n n n p p q p q ----⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯，111112*********+(1)+33333393n n n n n n q p q p q q -----⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯+--⨯=-⨯⨯⨯，因此112122+333n n n n p q p q --+=+，从而11111212(2+),21(2+1)333n n n n n n n n p q p q p q p q ----+=+∴+-=-，即1111121(2+1),2133n n n n n n p q p q p q -+-=-∴+=+.又n X 的分布列为故1()213n n n nE X p q =+=+.2020江苏卷高考数学试题及答案1．已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则A B = ．2．已知i 是虚数单位，则复数(1i)(2i)z=+-的实部是 ．3．已知一组数据4,2,3,5,6a a -的平均数为4，则a 的值是 ．4．将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是 ．5．如图是一个算法流程图，若输出y 的值为2-，则输入x 的值是 ．6．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线222105()x y a a -=>的一条渐近线方程为5y x =，则该双曲线的离心率是 ．7．已知y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，()23 f x x =，则()8f -的值是 ．8．已知2sin ()4απ+=23，则sin 2α的值是 ．9．如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm ，高为2 cm ，内孔半轻为0.5 cm ，则此六角螺帽毛坯的体积是 cm.10．将函数πsin(32)4y x=﹢的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是 ．11．设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列．已知数列{a n +b n }的前n 项和221()n n S n n n +=-+-∈N ，则d +q 的值是 ．12．已知22451(,)x y y x y +=∈R ，则22x y +的最小值是 ．13．在△ABC 中，43=90AB AC BAC ==︒，，∠，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP =9，若3()2PA mPB m PC =+-（m 为常数），则CD 的长度是 ．14．在平面直角坐标系xOy 中，已知3(0)P ，，A ，B 是圆C ：221()362x y +-=上的两个动点，满足PA PB =，则△PAB 面积的最大值是 ．15．（本小题满分14分）在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，B 1C ⊥平面ABC ，E ，F 分别是AC ，B 1C 的中点． （1）求证：EF ∥平面AB 1C 1； （2）求证：平面AB 1C ⊥平面ABB 1．16．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3,2,45a c B ===︒．（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值．17．（本小题满分14分）某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O 在水平线MN 上，桥AB 与MN 平行，OO '为铅垂线(O '在AB 上)．经测量，左侧曲线AO 上任一点D 到MN 的距离1h (米)与D 到OO '的距离a (米)之间满足关系式21140h a =；右侧曲线BO 上任一点F 到MN 的距离2h (米)与F 到OO '的距离b (米)之间满足关系式3216800h b b =-+.已知点B 到OO '的距离为40米． （1）求桥AB 的长度；（2）计划在谷底两侧建造平行于OO '的桥墩CD 和EF ，且CE 为80米，其中C ，E 在AB 上(不包括端点)．.桥墩EF 每米造价k (万元)、桥墩CD 每米造价32k (万元)(k >0)，问O E '为多少米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低？18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在椭圆E上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求12AF F △的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅的最小值； （3）设点M 在椭圆E 上，记OAB △与MAB △的面积分别为S 1，S 2，若213S S =，求点M 的坐标．19．（本小题满分16分）已知关于x 的函数(),()y f x y g x ==与()(,)h x kx b k b =+∈R 在区间D 上恒有()()()f x h x g x ≥≥．（1）若()()222 2()f x x x g x x x D =+=-+=∞-∞+，，，，求h (x )的表达式； （2）若21ln ,()()()(0) x x g k x h kx k D f x x x =-+==-=+∞，，，，求k 的取值范围； （3）若()422342() 2() (48 () 4 3 02 2f x x x g x x h x t t x t t t =-=-=--+<≤，，，[] , 2,2D m n =⊆-⎡⎣，求证：7n m -≤20．（本小题满分16分）已知数列{}()n a n ∈*N 的首项a 1=1，前n 项和为S n ．设λ与k 是常数，若对一切正整数n ，均有11111kk k n nn S S a λ++-=成立，则称此数列为“λ～k ”数列． （1）若等差数列{}n a 是“λ～1”数列，求λ的值； （2）若数列{}n a 3”数列，且0n a >，求数列{}n a 的通项公式； （3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列{}n a 为“λ～3”数列，且0n a ≥？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由． 1．{0,2}2．33．24．195．3-6．327．4-8．139．1232π- 10．524x π=-11．412．4513．185或014．10515证明：因为,E F 分别是1,AC B C 的中点，所以1EF AB ∥. 又/EF ⊂平面11AB C ，1AB ⊂平面11AB C ， 所以EF ∥平面11AB C .（2）因为1B C ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC , 所以1B C AB ⊥.又AB AC ⊥,1B C ⊂平面11AB C ,AC ⊂平面1AB C ,1,B CAC C =所以AB ⊥平面1AB C . 又因为AB ⊂平面1ABB ,所以平面1AB C ⊥平面1ABB .16．解：（1）在ABC △中，因为3,45a c B ==︒，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得292235b =+-⨯︒=，所以b =在ABC △中，由正弦定理sin sin b cB C=，，所以sin C （2）在ADC △中，因为4cos 5ADC ∠=-,所以ADC ∠为钝角， 而180ADC C CAD ∠+∠+∠=︒,所以C ∠为锐角.故cos C 则sin 1tan cos 2C C C ==. 因为4cos 5ADC ∠=-，所以3sin 5ADC ∠=，sin 3tan cos 4ADC ADC ADC ∠∠==-∠. 从而31tan()242tan tan(180)tan()===311tan tan 111()42ADC C ADC ADC C ADC C ADC C -+∠+∠∠=︒-∠-∠=-∠+∠---∠⨯∠--⨯. 17．解：（1）设1111,,,AA BB CD EF 都与MN 垂直，1111,,,A B D F 是相应垂足. 由条件知，当40O'B =时，31140640160,800BB =-⨯+⨯= 则1160AA =. 由21160,40O'A =得80.O'A =所以8040120AB O'A O'B =+=+=（米）.（2）以O 为原点，OO'为y 轴建立平面直角坐标系xOy （如图所示）. 设2(,),(0,40),F x y x ∈则3216,800y x x =-+3211601606800EF y x x =-=+-. 因为80,CE =所以80O'C x =-. 设1(80,),D x y -则211(80),40y x =- 所以22111160160(80)4.4040CD y x x x =-=--=-+ 记桥墩CD 和EF 的总造价为()f x ，则3232131()=(1606)(4)80024013(160)(040).80080f x k x x k x x k x x x +-+-+=-+<<2333()=(160)(20)80040800k f x k x x x x '-+=-， 令()=0f x '， 得20.x =所以当20x =时，()f x 取得最小值. 答：（1）桥AB 的长度为120米；（2）当O'E 为20米时，桥墩CD 和EF 的总造价最低. 18解：（1）椭圆22:143x y E +=的长轴长为2a ，短轴长为2b ，焦距为2c ，则2224,3,1a b c ===.所以12AF F △的周长为226a c +=. （2）椭圆E 的右准线为4x =. 设(,0),(4,)P x Q y ，则(,0),(4,)OP x QP x y ==--，2(4)(2)44,OP QP x x x ⋅=-=--≥-在2x =时取等号.所以OP QP ⋅的最小值为4-.（3）因为椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为12,F F ，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，212AF F F ⊥，则123(1,0),(1,0),(1,)2F F A -. 所以直线:3430.AB x y -+=设(,)M x y ，因为213S S =，所以点M 到直线AB 距离等于点O 到直线AB 距离的3倍. 由此得|343||30403|355x y -+⨯-⨯+=⨯， 则34120x y -+=或3460x y --=.由2234120,143x y x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得2724320x x ++=，此方程无解； 由223460,143x y x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩得271240x x --=，所以2x =或27x =-. 代入直线:3460l x y --=，对应分别得0y =或127y =-. 因此点M 的坐标为(2,0)或212(,)77--. 19．解:（1）由条件()()()f x h x g x ≥≥，得222 2x x kx b x x +≥+≥-+， 取0x =，得00b ≥≥，所以0b =．由22x x kx +≥，得22 ()0x k x +-≥，此式对一切(,)x ∈-∞+∞恒成立，所以22 0()k -≤，则2k =，此时222x x x ≥-+恒成立， 所以()2h x x =．（2） 1 ln ,()()()()0,h g x k x x x x -=--∈+∞. 令() 1ln u x x x =--，则1()1,u'x x=-令()=0u'x ，得1x =.所以min () 0(1)u x u ==.则1ln x x -≥恒成立， 所以当且仅当0k ≥时，()()f x g x ≥恒成立．另一方面，()()f x h x ≥恒成立，即21x x kx k -+≥-恒成立， 也即2()1 1 +0x k x k -++≥恒成立． 因为0k ≥，对称轴为102kx +=>， 所以2141)0(()k k +-+≤，解得13k -≤≤．因此，k 的取值范围是0 3.k ≤≤ （3）①当1t ≤≤由()()g x h x ≤，得2342484()32x t t x t t -≤--+，整理得4223328()0.()4t t x t t x ----+≤*令3242=()(328),t t t t ∆---- 则642=538t t t ∆-++．记64253()18(t t t t t ϕ-++=≤≤则53222062(31)(3())06t t t t t t 't ϕ-+=--<=恒成立，所以()t ϕ在[1,上是减函数，则()(1)t ϕϕϕ≤≤，即2()7t ϕ≤≤． 所以不等式()*有解，设解为12x x x ≤≤，因此21n m x x -≤-=②当01t <<时，432()()11 34241f h t t t t ---=+---．设432= 342(41)t t t t v t +---，322()=1212444(1)(31),v't t t t t t +--=+-令()0v t '=，得t =．当(0t ∈时，()0v t '<，()v t 是减函数；当1)t ∈时，()0v t '>，()v t 是增函数． (0)1v =-，(1)0v =，则当01t <<时，()0v t <．（或证：2()(1)(31)(1)0v t t t t =++-<．） 则(1)(1)0f h ---<，因此1()m n -∉，．因为m n ⊆［］［，，所以1n m -≤<③当0t <时，因为()f x ，()g x 均为偶函数，因此n m -综上所述，n m -≤20．解：（1）因为等差数列{}n a 是“λ～1”数列，则11n n n S S a λ++-=，即11n n a a λ++=， 也即1(1)0n a λ+-=，此式对一切正整数n 均成立．若1λ≠，则10n a +=恒成立，故320a a -=，而211a a -=-， 这与{}n a 是等差数列矛盾．所以1λ=．（此时，任意首项为1的等差数列都是“1～1”数列） （2）因为数列*{}()n a n ∈N”数列，． 因为0n a >，所以10n n S S +>>1=．n b，则1n b -221(1)(1)(1)3n n n b b b -=->． 解得2n b =2，也即14n n S S +=， 所以数列{}n S 是公比为4的等比数列．因为111S a ==，所以14n n S -=．则21(1),34(2).n n n a n -=⎧=⎨⨯≥⎩ （3）设各项非负的数列*{}()n a n ∈N 为“~3λ”数列， 则11133311n n n S S a λ++-=-=因为0n a ≥，而11a =，所以10n n S S +≥>1=-n c，则1 1)n n c c -=≥，即333(1)(1)( 1)n n n c c c λ-=-≥．（*） ①若0λ≤或=1λ，则（*）只有一解为=1n c ，即符合条件的数列{}n a 只有一个． （此数列为1，0，0，0，…）②若1λ>，则（*）化为3232(1)(1)01n nnc c c λλ+-++=-，因为1n c ≥，所以3232101n n c c λλ+++>-，则（*）只有一解为=1n c ，即符合条件的数列{}n a 只有一个．（此数列为1，0，0，0，…）③若01λ<<，则3232101nnc c λλ+++=-的两根分别在（0，1）与（1，+∞）内，则方程（*）有两个大于或等于1的解：其中一个为1，另一个大于1（记此解为t ）．所以1n n S S +=或31n n S t S +=．由于数列{}n S 从任何一项求其后一项均有两种不同结果，所以这样的数列{}n S 有无数多个，则对应的{}n a 有无数多个．综上所述，能存在三个各项非负的数列{}n a 为“~3λ”数列，λ的取值范围是01λ<<．数学Ⅱ(附加题)21．A ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）平面上点(2,1)A -在矩阵11a b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M 对应的变换作用下得到点(3,4)B -．（1）求实数a ，b 的值； （2）求矩阵M 的逆矩阵1-M ．B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，已知点1π(,)3A ρ在直线:cos 2l ρθ=上，点2π(,)6B ρ在圆:4sinC ρθ=上（其中0ρ≥，02θ≤<π）．（1）求1ρ，2ρ的值；（2）求出直线l 与圆C 的公共点的极坐标． C ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）设x ∈R ，解不等式2|1|||4x x ++<．22．（本小题满分10分）在三棱锥A —BCD 中，已知CB =CD =5,BD =2，O 为BD 的中点，AO ⊥平面BCD ，AO =2，E 为AC 的中点．（1）求直线AB 与DE 所成角的余弦值； （2）若点F 在BC 上，满足BF =14BC ，设二面角F —DE —C 的大小为θ，求sin θ的值．23．（本小题满分10分）甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X n ，恰有2个黑球的概率为p n ，恰有1个黑球的概率为q n ． （1）求p 1，q 1和p 2，q 2；（2）求2p n +q n 与2p n-1+q n-1的递推关系式和X n 的数学期望E (X n )(用n 表示) ．数学Ⅱ(附加题)参考答案21．【选做题】A ．[选修4-2：矩阵与变换]本小题主要考查矩阵的运算、逆矩阵等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．解：（1）因为123=114a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ，所以213,24,a b -=⎧⎨--=-⎩解得2a b ==，所以2112⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M ．（2）因为2112⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦ M ，det 221150=⨯-⨯-=≠（）（）M ，所以M 可逆， 从而121551255-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ - M． B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]解：（1）由1cos 23ρπ=，得14ρ=；24sin 26ρπ==，又（0，0）（即（0，6π））也在圆C 上，因此22ρ=或0．（2）由cos 2,4sin ,ρθρθ=⎧⎨=⎩得4sin cos 2θθ=，所以sin 21θ=．因为0ρ≥，0 2θ≤<π，所以4θπ=，ρ所以公共点的极坐标为)4π． C ．[选修4-5：不等式选讲]解：当x >0时，原不等式可化为224x x ++<，解得203x <<； 当10x -≤≤时，原不等式可化为224x x +-<，解得10x -≤≤； 当1x <-时，原不等式可化为224x x ---<，解得 2 1x -<<-． 综上，原不等式的解集为2|2}3{x x -<<． 22．解：（1）连结OC ，因为CB =CD ，O 为BD 中点，所以CO ⊥B D ． 又AO ⊥平面BCD ，所以AO ⊥OB ，AO ⊥O C ．以{}OBOC OA ，，为基底，建立空间直角坐标系O –xyz ． 因为BD =2，CB CD =，AO =2，所以B （1，0，0），D （–1，0，0），C （0，2，0），A （0，0，2）． 因为E 为AC 的中点，所以E （0，1，1）．则AB =（1，0，–2），DE =（1，1，1），所以||||||||5cos AB DE AB DE AB DE =⋅⋅=<>，．因此，直线AB 与DE ． （2）因为点F 在BC 上，14BF BC =，BC =（–1，2，0）． 所以111(,,0)442BF BC ==-． 又20,0DB =（,）， 故71(,,0)42DF DB BF =+=．设1111()x y z =，，n 为平面DEF 的一个法向量，则1100,DE DF ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=，n n 即111110710,42x y z x y +⎧+=⎪+=⎪⎨⎩， 取12x =，得1–7y =，15z =，所以1(275)n =-，，． 设2222()x y z =，，n 为平面DEC 的一个法向量，又DC =（1，2，0），则2200,DE DC ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=，n n 即22222020,x y z x y ++=+=⎧⎨⎩，取22x =，得2–1y =，2–1z =，所以2(211)n =--，，． 故2112|||||||co |s θ⋅===⋅n n n n ．所以s n i θ==23．解：（1）113111133C C 1C C 3p =⋅=，113211133C C 2C C 3q =⋅=，11113121211111*********C C C C 1270(1)C C C C 3927p p q p q p q =⋅⋅+⋅⋅+⋅--=+=，1111111133222112211111111111133333333C C C C C C C C ()(1)C C C C C C C C q p q p q =⋅⋅+⋅+⋅⋅+⋅⋅--11216=9327q -+=．（2）当2n ≥时，1111312111111111113333C C C C 120(1)C C C C 39n n n n n n n p p q p q p q ------=⋅⋅+⋅⋅+⋅--=+，①111111113322211211111111111133333333C C C C C C C C ()(1)C C C C C C C C n n n n n q p q p q ----=⋅⋅+⋅+⋅⋅+⋅⋅--112=93n q --+，②2⨯+①②，得()1111124121222399333n n n n n n n p q p q q p q -----+=+-+=++． 从而1112(211)3n n n n p q p q ---+-+=，又111312p q -+=， 所以11112()1()3331n n n n p q -+++==，*n ∈N ．③ 由②，有1313()595n n q q --=--，又135115q -=，所以1113()1595n n q -=-+，*n ∈N ． 由③，有13111()210111()()33925nn n n n p q =+=-+-+［］，*n ∈N ． 故311111()()109235n n n n p q --=--+，*n ∈N ． n X 的概率分布则*1()0(1)121(),3n n n n n n E X p q q p n =⨯--+⨯+⨯=+∈N ．。

江苏省高考压轴卷数 学一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．已知集合{|02}A x x =<<，{|1}B x x =>，则A B =I ______ 2．已知复数(1)(2),z i i =+-则｜z ｜＝ ．3．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为______.4．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为____．5．在平面直角坐标亲xOy 中，若双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的离心率为32，则该双曲线的渐近线方程为______.6．某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为__________．7．已知点P 在抛物线28y x =上运动，F 为抛物线的焦点，点A 的坐标为(5,2)，则PA PF +的最小值是______． 8．已知,αβ都是锐角，45sin ,cos()513ααβ=+=，则sin β=_____ 9．在体积为9的斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，S 是C 1C 上的一点，S —ABC 的体积为2，则三 棱锥S —A 1B 1C 1的体积为___．10．在等差数列{}n a 中，912162a a =+，则数列{}n a 的前11项和11S =____________. 11．三棱锥P ABC -中，已知PA ⊥平面ABC ，ABC n 是边长为2的正三角形，E 为PC 的中点，若直线AE 与平面PBC 所成角的正弦值为427，则PA 的长为_____. 12．如图，在四边形ABCD 中，1AB CD ==，点,M N 分别是边,AD BC 的中点，延长BA 和CD 交NM 的延长线于不同．．的两点,P Q ，则·()PQ AB DC -u u u v u u u v u u u v的值为_________．13．已知函数()ln ,11,12x x f x xx ≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩，若()()()1F x f f x m =++有两个零点12,x x ，则12x x 的取值范围______.14．在ABC V 中，记角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，面积为S ，则22Sa bc+的最大值为______.二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2A π≠，sin 26cos sin b A A B =.（1）求a 的值；（2）若3A π=，求ABC ∆周长的取值范围.16．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，BC AC ⊥，D ,E 分别是AB ,AC 的中点．（1）求证：11B C ∥平面1A DE；（2）求证：平面1A DE ⊥平面11ACC A ．17．如图所示，为美化环境，拟在四边形ABCD 空地上修建两条道路EA 和ED ，将四边形分成三个区域，种植不同品种的花草，其中点E 在边BC 的三等分点处（靠近B 点），3BC =百米，BC CD ⊥，120ABC ∠=o ，21EA =百米，60AED ∠=o .（1）求ABE △区域的面积；（2）为便于花草种植，现拟过C 点铺设一条水管CH 至道路ED 上，求水管CH 最短时的长．18．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，点P 是椭圆C上的一个动点，且12PF F ∆3（1）求椭圆C 的方程；（2）设斜率不为零的直线2PF 与椭圆C 的另一个交点为Q ，且PQ 的垂直平分线交y 轴于点1(0,)8T ，求直线PQ 的斜率.19．已知数列{}n a 的前n 项和记为n A ，且()12n n n a a A +=，数列{}n b 是公比为q 的等比数列，它的前n 项和记为n B .若110a b =≠，且存在不小于3的正整数k ，m ，使得k m a b =. （1）若11a =，35a =，求2a 的值； （2）求证：数列{}n a 是等差数列；（3）若2q =，是否存在整数m ，k ，使得86k m A B =，若存在，求出m ，k 的值；若不存在，请说明理由.20．已知()22ln 12x f x x x a-=--+，0a >.（1）当2a =时，求函数()f x 图象在1x =处的切线方程；（2）若对任意[)1,x ∈+∞，不等式()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围； （3）若()f x 存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求a 的取值范围.数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A，B，C三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修42：矩阵与变换)求椭圆22:1164x yC+=在矩阵1412A⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下所得曲线C'的方程.B. (选修44：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为3242x cosy sinθθ=+⎧⎨=+⎩，（θ为参数），以原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣2，0），B（0，﹣2），M是曲线C上任意一点，求△ABM面积的最小值．C. (选修45：不等式选讲)已知x，y，z均为正数，且1113112x y y z++≤+++，求证：4910x y z++≥.【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22．厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品．（1）若厂家库房中（视为数量足够多）的每件产品合格的概率为0.7，从中任意取出3件进行检验，求至少有2件是合格品的概率；（2）若厂家发给商家20 件产品，其中有4不合格，按合同规定 商家从这20 件产品中任取2件，都进行检验，只有2 件都合格时才接收这批产品，否则拒收．求该商家可能检验出的不合格产品的件数ξ的分布列，并求该商家拒收这批产品的概率．23．已知数列{}n a 满足123*12323,N 2222nn n n n nn n C C C C a m n ++++=++++⋯+∈，其中m 为常数，24a =.（1）求1, m a 的值（2）猜想数列{}n a 的通项公式，并证明.参考答案及解析1.【答案】{|12}x x << 【解析】因为集合{|02}A x x =<<，{|1}B x x =>， 所以{|12}A B x x =<<I . 故答案为：{|12}x x <<2．【解析】12z i i =+-==3．【答案】8【解析】设样本容量为N ，则306,14,70N N ⨯== 高二所抽人数为4014870⨯=. 故答案为：8 4．【答案】205【解析】模拟程序语言，运行过程，可得1I =,满足条件100I <，执行循环体3,9I S ==； 满足条件100I <，执行循环体5,13I S ==；满足条件100I <，执行循环体99,201I S ==；满足条件100I <，执行循环体101,21013205I S ==⨯+=， 此时，不满足条件100I <，退出循环，输出S 的值为205， 故答案为205.5．【答案】y x = 【解析】由已知可知离心率32c e a ==，2222294c a b a a +==，即2254b a =. ∵双曲线22221x y a b-=的焦点在x 轴上∴该双曲线的渐近线方程为b y x a =±，即y x =.故答案为：2y x =±. 6．【答案】14【解析】由题意，三名学生各自随机选择两个食堂中的一个用餐的情况共有2228⨯⨯=（种），其中他们在同一个食堂用餐的情况有2种，根据古典概型概率的计算公式得，所求概率为2184=. 7．【答案】7【解析】PA PF +55272A L Pd -≥=+=+= 8．【答案】1665【解析】∵,αβ都是锐角，∴(0,)αβπ+∈， 又45sin ,cos()513ααβ=+=， ∴3cos 5α=，12sin()13αβ+=， ∴sin sin[()]sin()cos cos()sin βαβααβααβα=+-=+-+123541613513565=⨯-⨯=． 故答案为1665． 9．【答案】1【解析】设三棱柱111ABC A B C -的底面积为'S ，高为h ， 则9'9'S h S h==，， 再设S 到底面ABC 的距离为'h ，则1''23S h =，得19'23h h⋅⋅=， 所以'23h h =， 则S 到上底面111A B C 的距离为13h ， 所以三棱锥111S A B C -的体积为111'91339S h ⋅=⋅=． 故答案为1． 10．【答案】132【解析】 由a 912=a 12+6，得2a 9﹣a 12＝12， 即2a 1+16d ﹣a 1﹣11d ＝12，∴a 1+5d ＝12，a 6＝12． 则S 11＝11a 6＝11×12＝132． 故答案为：13211．【答案】2【解析】设F 是BC 的中点，连接sin cos 210k k ρθρθ-+-=，PA ⊥Q 平面ABC ，PA BC ∴⊥， ABC ∆Q 为正三角形，BC AF ∴⊥，BC ∴⊥平面PAF ，在平面PAF 内作AH PF ⊥， 则BC AH ⊥，AH ∴⊥平面PBC ，连接EH ，则AEH ∠是AE 与平面PBC 所成的角， 设PA m =，在直角三角形PAF 中，AH PF PA AF ⋅=⋅， 求得233PA AF mAH PF m ⋅==+，211422AE PC m ==+ AE ∵平面PBC 42， 223423sin 142mAH m AEH AE m +∴∠===+,解得2m =或3m ，即PA 的长为232312．【答案】0【解析】如图，连AC ，取AC 的中点E ，连ME ，NE ，则,ME NE 分别为,ADC CAB ∆∆的中位线，所以11,22EN AB ME DC ==u u u v u u u v u u u v u u u v ,所以1()2MN ME EN DC AB =+=+u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ．由PQ uuu v 与MN u u u u r共线，所以()PQ MN R λλ=∈u u u v u u u u v，故()()()()2PQ AB DC MN AB DC AB DC AB DC u u u v u u u v u u u v u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v λλ⋅-=⋅-=+⋅-22()02AB DC λ=-=u u uv u u u v ． 答案：013．【答案】(e -∞【解析】当1x ≥时,()ln 0f x x =≥, ()11f x ∴+≥, [()1]ln(()1)f f x f x ∴+=+,当131()1()1[()1]ln(()1)222x x f x f x f f x f x <=->+>+=+，，，, 综上可知：()()()1ln(()1)0F x f f x m f x m =++=++=,则()1mf x e-+=，()1mf x e-=-有两个根1x ，2x ,(不妨设)12x x <,当1x ≥时,2ln 1mx e -=-，当1x <时,1112m x e --=-,令112mt e-=->,则2ln x t=，2tx e=，112xt-=，122x t=-，12(22)tx x e t∴=-，12t>, 设()(22)tg t e t=-，12t>, 所以()2tg t te'=-,1,()02t g t'⎛⎫∈+∞<⎪⎝⎭，，函数()g t单调递减,1()2g t g e⎛⎫∴<=⎪⎝⎭,()g x∴的值域为(,)e-∞, 12x x∴取值范围为(,)e-∞,故答案为：(,)e-∞.14．【答案】312【解析】因为22Sa bc+2211222222bcsinA sinAb cb c bccosA bc cosAc b==⨯+-+++-142sinAcosA≤-⨯-(当且仅当b c=时取得等号)令,sinA y cosA x==，故22Sa bc+142yx≤-⨯-，因为221x y+=，且0y>，故可得点(),x y表示的平面区域是半圆弧上的点，如下图所示：目标函数2yzx=-，表示圆弧上一点到点()2,0A点的斜率，数形结合可知，当且仅当目标函数过点12H ⎛ ⎝⎭，即60A =︒时，取得最小值故可得[23y z x =∈--，又22S a bc +142y x ≤-⨯-，故可得22S a bc +14312≤-⨯-=. 当且仅当60,A b c =︒=，也即三角形为等边三角形时，取得最大值.故答案为：12. 15．【答案】（1）3；（2）(]6,9.【解析】（1）由sin 26cos sin b A A B =及二倍角公式得sin 3sin b A B =， 又sin sin a bA B=即sin sin b A a B =，所以3a =；（2）由正弦定理得sin sin a B b B A ==，sin sin a Cc C A==ABC ∆周长：233sin()3a b c B C B B π++=++=++-33sin 36sin 26B B B π⎫⎛⎫=++=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭， 又因为2(0,)3B π∈，所以1sin (,1]2B ∈. 因此ABC ∆周长的取值范围是(]6,9. 16．【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析【解析】证明：（1）因为D ,E 分别是AB ,AC 的中点，所以//DE BC ， ...........2分 又因为在三棱柱111ABC A B C -中，11//B C BC，所以11//B C DE. ...............4分 又11B C ⊄平面1A DE，DE ⊂平面1A DE，所以11B C ∥平面1A DE. ...............6分（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥底面ABC ，又DE ⊂底面ABC ，所以1CC DE⊥. .............8分又BC AC ⊥，//DE BC ，所以DE AC ⊥， ..........10分 又1,CC AC ⊂平面11ACC A ，且1CC AC C=I ，所以DE ⊥平面11ACC A . ...............12分又DE ⊂平面1A DE，所以平面1A DE ⊥平面11ACC A ． ............14分17．【答案】（1平方百米；（2百米. 【解析】（1）由题知1,120,BE ABC EA =∠==o在ABE V 中，由余弦定理得2222cos AE AB BE AB BE ABE =+-⋅∠，即2211AB AB =++，所以4AB =百米所以11sin 41222ABE S AB BE ABE V =⋅⋅∠=⨯⨯⨯=.（2）记AEB α∠=，在ABE V 中，sin sin AB AE ABEα=∠，即4sin α=，所以sin αα===当CH DE ⊥时，水管CH 最短，在Rt ECH V 中，2π2π2πsin 2sin 2sin cos 2cos sin 333CH CE HEC ααα⎛⎫=∠=-=- ⎪⎝⎭=7百米. 18．【答案】（1）22143x y +=（2）12或32【解析】(1)因为椭圆离心率为12，当P 为C 的短轴顶点时，12PF F △.所以22212122c a a b c c b ⎧=⎪⎪=+⎨⎪⎪⨯⨯=⎩，所以21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，故椭圆C 的方程为:22143x y +=.（2）设直线PQ 的方程为()1y k x =-，当0k ≠时，()1y k x =-代入22143x y +=，得:()22223484120k x k x k +-+-=.设()()1122,,,P x y Q x y ，线段PQ 的中点为()00,N x y ，212024234x x k x k+==+，()1200231234y y k y k x k +-==-=+ 即22243,3434k k N k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭因为TN PQ ⊥，则1TN PQ k k ⋅=-，所以222314381443k k k k k --+⋅=-+， 化简得24830k k -+=，解得12k =或32k =，即直线PQ 的斜率为12或32.19．【答案】（1）23a =（2）见解析（3）存在8,340m k ==满足题意。

2020年江苏省高考数学考前最后押题试卷（一）一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合A={1,2，9}，B={1,7}，则A∩B=______．2.已知复数z=2+ii.求|z|=______ ．3.某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，产品数量之比为k︰5︰3，现用分层抽样的方法抽出一个容量为120的样本，已知A种型号产品共抽取了24件，则C种型号产品抽取的件数为________．4.阅读下面的伪代码，最后输出的a，b，c分别为_________，_________，_________．a←3b←5c←6a←bb←cPrint a，b，c5._____________．6.双曲线x225−y27=1的两条渐近线方程为________．7.函数f(x)=2sin(ωx+ϕ)(ω>0)的部分图象如图所示，若AB=5，则ω的值为______ ．8.在等差数列{a n}中，a3+a9=27−a6，S n表示数列{a n}的前n项和，则S11=______ ．9.底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥．如图，半球内有一内接正四棱锥S−ABCD，该四棱锥的体积为4√23，则该半球的体积为__________．10. 设α∈(π,2π)，若tan(α+π6)=2，则cos(π6−2α)的值为______ ．11. △OBC 中，A 为BC 中点，OB 长为3，OC 长为5，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ =_________． 12. 已知圆C ：(x −2)2+y 2=4，点P 在直线l ：y =x +3上，若圆C 上存在两点A 、B 使得PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =3PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则点P 的横坐标的取值范围是______． 13. 已知函数，若存在实数a,b,c,d ，满足a <b <c <d ，且f(a)=f(b)=f(c)=f(d)，则(c−2)(d−2)ab 的取值范围是______________．14. 在△ABC 中，若则的最大值为_______．二、解答题（本大题共11小题，共142.0分）15. 已知△ABC 中，(sinA −sinB)(sinA +sinB)=sinAsinC −sin 2C .(1)求sin B 的值；(2)若△ABC 的面积S △ABC =20√3，且AB +BC =13√2，求AC 的值．16. 如图，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AB =AC ，A 1C ⊥BC 1，AB 1⊥BC 1，D ，E 分别是AB 1和BC 的中点．求证：(1) DE//平面ACC 1A 1； (2) AE ⊥平面BCC 1B 1．17. 某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900m 2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1m ，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1m 宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3m 宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x(m)，三块种植植物的矩形区域的总． 面． 积．为S(m 2).(1)求S 关于x 的函数关系式； (2)求S 的最大值．18. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左右焦点分别为，F 1和F 2，上顶点为B ，BF 2，延长线交椭圆于点A ，△ABF 的周长为8，且BF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0． (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)若直线l ⊥AB 且与椭圆C 相交于两点P ，Q ，求|PQ|的最大值．19.已知函数f(x)=ax2+x−1e x．(1)求曲线y=f(x)在点(0,−1)处的切线方程；(2)证明：当a≥1时，f(x)+e≥0．20.已知数列{a n}中，a1=1，其前n项和为S n，且满足a n=2S n22S n−1(n≥2,n∈N+).(Ⅰ)求证：数列{1S n}是等差数列；(Ⅱ)证明：13S1+15S2+17S3+⋯+12n+1S n<12．21.已知矩阵A=[110−1]，二阶矩阵B满足AB=[2001]，求矩阵B的特征值．22.在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程为ρ=21−cosθ．(1)试将曲线C的极坐标方程转化为直角坐标系下的普通方程；(2)直线l过点M(m,0)，交曲线C于A、B两点，若1|MA|2+1|MB|2的定值为14，求实数m的值．23.已知a，b，c都是正数，求证：a2b2+b2c2+c2a2a+b+c≥abc．24.如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，点M，N分别为A1A和B1B的中点．(Ⅰ)求异面直线CM与D1N所成角的余弦值；(Ⅱ)求点D1到平面MDC的距离．25.设(2x−1)n=a0+a1x+a2x2+⋯+a n x n展开式中只有第1010项的二项式系数最大．(1)求n；(2)求|a0|+|a1|+|a2|+⋯+|a n|；(3)求a12+a222+a323+⋯+a n2n．-------- 答案与解析 --------1.答案：{1}解析：解：∵A={1,2，9}，B={1,7}；∴A∩B={1}．故答案为：{1}．进行交集的运算即可．考查列举法的定义，以及交集的运算．2.答案：√5解析：解：复数z=2+ii =−i(2+i)−i⋅i=1−2i．则|z|=√12+(−2)2=√5．故答案为：√5．利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.答案：36解析：【分析】本题主要考查分层抽样的应用，利用条件建立比例关系是解决本题的关键，比较基础．根据分层抽样的定义求出k，即可得到结论．【解答】解：∵新产品数量之比依次为k：5：3，∴由kk+3+5=24120，解得k=2，则C种型号产品抽取的件数为120×310=36，故答案为36．4.答案：5；6；6解析：【分析】本题考查算法语句中的赋值语句，根据条件直接得出答案，属基础题．【解答】解：由算法语句可知：在该算法中给a赋值两次，最终a的值为5；给b赋值两次，最终b的值为6；给c赋值一次，c的值为6．故答案为5；6；6．5.答案：23解析：【分析】本题主要考查概率的计算，得出总的基本事件数和满足题意的基本事件数可得答案，属于基础题．【解答】解：从甲、乙、丙、丁四个人中随机选取两人，共有4×32=6种基本事件，而甲、乙两人有且仅有一人被选中的基本事件有2×2=4种，故所求概率为46=23．故答案为23．6.答案：y=±√75x解析：【分析】本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的求法，属于基础题．由双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±bax，即可得到所求方程．【解答】解：由于双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±bax，则双曲线x225−y27=1的两条渐近线方程为y=±√75x.故答案为y=±√75x.7.答案：π3解析：解：∵函数f(x)=2sin(ωx+φ)，图象中AB两点距离为5，设A(x1,2)，B(x2,−2)，∴(x2−x1)2+42=52，解得：x2−x1=3，∴函数的周期T=2×3=2πω，解得：ω=π3．故答案为：π3．设A(x1,2)，B(x2,−2)，由函数图象可得(x2−x1)2+42=52，解得：x2−x1=3，利用T=2×3=2πω，即可解得ω的值．本题主要考查了由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，考查了正弦函数的图象和性质，属于基础题．8.答案：99解析：解：由题意得，a3+a9=27−a6，根据等差数列的性质得，2a6=27−a6，解得a6=9，所以S11=11(a1+a11)2=11a6=99，故答案为：99．根据题意和等差数列的性质求出a6，由等差数列的前n项和公式得S11=11(a1+a11)2=11a6，代入求值即可．本题考查等差数列的性质、前n项和公式的灵活应用，属于基础题．9.答案：4√23π解析：设所给半球的半径为R，则棱锥的高ℎ=R，底面正方形中有AB=BC=CD=DA=√2R，所以其体积23R3=4√23，则R3=2√2，于是所求半球的体积为V=23πR3=4√23π．10.答案：45解析：解：∵tan(α+π6)=2=tanα+tanπ61−tanαtanπ6=tanα+√331−√33tanα，∴tanα=5√3−8．再由sin2α=2sinαcosαsin2α+ cos2α=2tanα1+tan2α=√3−16140−80√3，cos2α= cos2α−sin2α cos2α+sin2α=1−tan2α1+tan2α=√3140−80√3，可得cos(π6−2α)=cosπ6cos2α+sinπ6sin2α=45，故答案为45．利用两角和差的正切公式求得tanα=5√3−8，再利用同角三角函数的基本关系求得sin2α和cos2α的值，再由cos(π6−2α)=cos π6cos2α+sin π6sin2α，运算求得结果．本题主要考查两角和差的正切公式、余弦公式、同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题．11.答案：−8解析： 【分析】本题考查平面向量的数量积运算，属于基础题目． 利用平面向量数量积公式求解即可． 【解答】解：∵A 为BC 中点，OB 长为3，OC 长为5，∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2)=12(32−52)=−8． 故答案为−8．12.答案：[−1−√72,−1+√72]解析： 【分析】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，判断点P 到圆上的点的最小距离应小于或等于半径，是解题的关键，体现了转化的数学思想，属于较难题．由题意可得圆心C(2,0)，推导出点P 到圆上的点的最小距离应小于或等于半径r =2.设点P 的坐标为(m,m +3)，则√(m −2)2+(m +3−0)2−2≤2，由此能求出点P 的横坐标的取值范围． 【解答】解：由题意可得圆心C(2,0)，∵点P 在直线l ：y =x +3上，圆C 上存在两点A 、B 使得PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =3PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 如图，|AB|=2|PB|，|CD|=|CE|=r =2，∴点P到圆上的点的最小距离|PD|应小于或等于半径r=2．设点P的坐标为(m,m+3)，则√(m−2)2+(m+3−0)2−2≤2，化简可得2m2+2m−3≤0，解得−1−√72≤m≤−1+√72，∴点P的横坐标的取值范围是：[−1−√72,−1+√72]故答案为：[−1−√72,−1+√72]．13.答案：(0,4)解析：【分析】本题考查函数与方程的综合应用，解决问题的关键是画出函数图象，分析得到ab=1,d=8−c，进而得到(c−2)(d−2)ab=−c2+8c−12，结合二次函数性质求解范围．【解答】解：设f(a)=m，则y=m与f(x)的图象的交点的横坐标依次为a,b,c,d(如图)，，且f(a)=f(b)=f(c)=f(d)，a<b<c<d，，2<c<4，∴ab=1，d=8−c，∴(c−2)(d−2)ab=(c−2)(8−c−2)=−c2+8c−12=−(c−4)2+4，∵2<c<4，∴0<−(c−4)2+4<4，故答案为(0,4)．14.答案：3√57解析：【分析】本题考查三角函数的切化弦，及两角和的正弦公式和诱导公式的运用，同时考查正弦定理和余弦定理的运用，属于中档题．先将题设条件转化为tanAtanB +tanAtanC=5，利用切化弦将等式整理得sin2AcosAsinBsinC=5，再根据正弦定理推出a2=5bccosA，根据余弦定理推出b2+c2=7a25，继而利用基本不等式得到cos A的最小值，即可利用同角三角函数关系式推出sin A的最大值．【解答】解：∵在△ABC中，tanAtanC+tanAtanB=5tanBtanC，∴tanAtanB +tanAtanC=5，∴sinAcosB cosAsinB +sinAcosCcosAsinC=5，∴sinA(cosBsinC+cosCsinB)cosAsinBsinC=5，∴sinAsin(B+C)cosAsinBsinC=5，∴sin2AcosAsinBsinC=5，由正弦定理得：a2bccosA=5，，又根据余弦定理得：a2=b2+c2−2bccosA，∴b2+c2=7a25，=b2+c27ab ≥2bc7bc=27，当且仅当“b=c”时取等号，∴cos2A≥449，∴1−sin2A≥449，∴sin2A≤4549，∴sinA≤3√57．故答案为3√57．15.答案：解：(1)记三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c；依题意，sin2A−sin2B=sinAsinC−sin2C，由正弦定理得∴a2+c2−b2=ac，∴cosB=a2+c2−b22ac =ac2ac=12，∵B∈(0,π)，∴B=π3，∴sinB=√32；(2)因为△ABC的面积为20√3，acsinB=20√3，所以12∴ac=80；∵AB+BC=13√2，即a+c=13√2，∴b2=a2+c2−2accos60°=(a+c)2−3ac=338−240=98，得b=7√2=AC．解析：本题主要考查解三角形的应用，结合正弦定理以及余弦定理建立方程关系是解决本题的关键．(1)由正弦定理和余弦定理进行转化求解即可(2)结合三角形的面积公式以及余弦定理建立方程关系进行求解即可．16.答案：证明：(1)连结A1B，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1//BB1，且AA1=BB1，∴四边形AA1B1B是平行四边形，又∵D是AB1的中点，∴D是BA1的中点，在△BA1C中，D和E分别是BA1和BC的中点，∴DE//A1C，∵DE⊄平面ACC1A1，A1C⊂平面ACC1A1，∴DE//平面ACC1A1；(2)由(1)知DE//A1C，∵A1C⊥BC1，AB1⊥BC1，A1C∩DE=D，AB1，DE⊂平面ADE，∴BC1⊥平面ADE，∵AE⊂平面ADE，∴AE⊥BC1，在△ABC中，AB=AC，E是BC的中点，∴AE⊥BC，∵AE⊥BC1，AE⊥BC，BC1∩BC=B，BC1⊂平面BCC1B1,BC⊂平面BCC1B1,∴AE⊥平面BCC1B1．解析：本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．(1)连结A 1B ，推导出四边形AA 1B 1B 是平行四边形，DE//A 1C ，由此能证明DE//平面ACC 1A 1． (2)推导出BC 1⊥平面ADE ，从而AE ⊥BC 1，推导AE ⊥BC ，由此能证明AE ⊥平面BCC 1B 1．17.答案：解：(1)由题设得S =(x −8)(900x−2)=−2x −7200x+916，x ∈(8,450)．(2)因为8<x <450， 所以2x +7200x≥2√2x ⋅7200x=240，当且仅当x =60时等号成立． 从而S ≤676．答：当矩形温室的室内长为60 m 时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为676 m 2．解析：【分析】本题考查了函数模型的应用以及利用基本不等式求最值，是一般题． (1)由题设得S =(x −8)(900x−2)=−2x −7200x+916，x ∈(8,450)．(2)利用基本不等式求最值．18.答案：解：(Ⅰ)由椭圆定义可得△ABF 1的周长为4a ，即有4a =8，解得a =2，由B(0,b)，F 1(−c,0)，F 2(c,0)，BF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−c,−b)，BF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(c,−b)，且BF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则−c 2+b 2=0，即为b =c ，又b 2+c 2=a 2=4，解得b =c =√2，则椭圆的方程为x24+y22=1；(Ⅱ)由B(0,√2)，F2(√2,0)，可得直线AB的斜率为−1，由l⊥AB，可得直线l的斜率为1，设直线l的方程为y=x+t，代入椭圆方程，可得3x2+4tx+2t2−4=0，由判别式大于0，即16t2−12(2t2−4)>0，解得−√6<t<√6．设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，则x1+x2=−43t，x1x2=2t2−43，|PQ|=√1+1⋅√(x1+x2)2−4x1x2=√2⋅√16t29−8t2−163=√23√48−8t2，当t=0时，|PQ|取得最大值，且为4√63．则有|PQ|的最大值为4√63．解析：(Ⅰ)由椭圆定义可得△ABF1的周长为4a，解得a=2，再由向量的数量积的坐标表示，可得b=c，结合椭圆的a，b，c的关系，可得椭圆方程；(Ⅱ)由两直线垂直的条件：斜率之积为−1，可得直线l的斜率，进而设出直线l的方程，联立椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，化简整理，可得弦长的最大值．本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查椭圆方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理和弦长公式，考查运算能力，属于中档题．19.答案：(1)解：f′(x)=−ax2+(2a−1)x+2e x，f′(0)=2，因此曲线y=f(x)在点(0,−1)处的切线方程是2x−y−1=0．(2)证明：当a≥1时，f(x)+e≥(x2+x−1+e x+1)e−x．令g(x)=x2+x−1+e x+1，则g′(x)=2x+1+e x+1，当x<−1时，g′(x)<0，g(x)单调递减；当x>−1时，g′(x)>0，g(x)单调递增；所以g(x)≥g(−1)=0．因此f(x)+e≥0．解析：本题考查利用导数求曲线的切线，考查恒成立问题，考查利用导数求函数的单调性以及最值，解题的关键是正确求导．(1)求出f′(x)得出f′(0)，进而得出切线方程；(2)构造新函数g(x)，求出g′(x)得出g(x)的单调性，进而得出g(x)≥g(−1)=0，不等式得证．20.答案：证明：(Ⅰ)数列{a n }中，a 1=1，其前n 项和为S n ，且满足a n =2S n 22Sn −1(n ≥2,n ∈N +).则：当n ≥2时，S n −S n−1=2S n 22Sn −1，整理得：S n−1−S n =2S n−1S n ， 所以：1S n−1Sn−1=2(常数)．所以：数列{1S n}是以1S 1=1为首项，2为公差的等差数列．证明：(Ⅱ)由(Ⅰ)得：1S n=1+2(n −1)=2n −1，所以：S n =12n−1， 当n =1时，符合通项． 故：12n+1⋅S n =12(12n−1−12n+1)， 所以：13S 1+15S 2+17S 3+⋯+12n+1S n ， =12(1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1)，=1(1−1)<1解析：(Ⅰ)直接利用递推关系式求出数列的通项公式． (Ⅱ)利用列想想效法求出数列的和．本题考查的知识要点：利用递推关系式求出数列的通项公式及应用，利用裂项相消法求出数列的和，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型． 21.答案：解：设矩阵B =[a b cd]，因为AB =[2001]， 所以[110−1][abcd]=[2001]得{a +c =2b +d =0−c =0−d =1即{a =2b =1c =0d =−1所以B =[210−1]， 则矩阵B 的特征多项式f(λ)=|λE −B|=(λ+1)(λ−2)． 令f(λ)=0，得λ=2或λ=−1，所以矩阵B 的特征值为2或−1．解析：【分析】本题主要考查矩阵的乘法和矩阵的特征值，考查考生的化归与转化能力和运算求解能力． 设矩阵B =[abc d]，由AB =[2001]，得[110−1][a bc d]=[2001]，求得a ，b ，c ，d 的值，进而即可求得结果．22.答案：解：(1)曲线C 的极坐标方程为ρ=21−cosθ.转化为普通方程：y 2=4x +4．(2)设直线l 的参数方程{x =m +tcosαy =tsinα为为参数，α为直线l 的倾斜角，)，代入C 的方程y 2=4x +4，整理得，sin 2αt 2−4tcosα−(4m +4)=0， 所以t 1+t 2=4cosαsin 2α，t 1⋅t 2=−(4m+4)sin 2α，1|MA|2+1|MB|2=1t 12+1t 22=(t 1+t 2)2−2t 1t 2t 12t 22=14，整理得：16cos 2α+(8m+8)sin 2α(4m+4)2=14，解得：m =1．解析：本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，一元二次方程根与系数的关系的应用．属于中档题．(1)直接利用转换关系把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化． (2)利用方程组建立关于t 的一元二次方程，利用根和系数的关系求出结果．23.答案：证明：∵a ，b ，c 都是正数，∴a 2b 2+b 2c 2≥2ab 2c ，a 2b 2+c 2a 2≥2a 2bc ，c 2a 2+b 2c 2≥2abc 2 ∴2(a 2b 2+b 2c 2+c 2a 2)≥2ab 2c +2a 2bc +2abc 2 ∴a 2b 2+b 2c 2+c 2a 2≥ab 2c +a 2bc +abc 2∴a 2b 2+b 2c 2+c 2a 2a+b+c≥abc ．解析：利用基本不等式，再相加，即可证得结论．本题考查利用基本不等式证明不等式，考查学生的计算能力，属于基础题．24.答案：解：(Ⅰ)分别是以DA 1、DC 1、DD 1所成在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 则M(2,0，1)C(0，2，0)N(2，2，1)D 1(0，0，2) ∴MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2,−1)D 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−2,1)∴cos <MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,D 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=4−4−13×3=−19∴异面直线CM 与D 1N 所成角的余弦值为19(Ⅱ)由(Ⅰ)可得DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,1)，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0)，DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,2) 设面DMC 的法向量为n ⃗ =(x,y,z) 则{2x +z =0y =0⇒n ⃗ =(1,0,−2) ∴点D 1到平面MDC 的距离ℎ=|DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=4√5=4√55解析：(Ⅰ)分别是以DA 1、DC 1、DD 1所成在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，可得MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与D 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，可得cos <MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,D 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >，取其绝对值即可；(Ⅱ)设面DMC 的法向量为n ⃗ =(x,y,z)，由垂直关系可得xyz 的关系，而点D 1到平面MDC 的距离ℎ=|DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||n ⃗⃗ |，计算可得．本题考查异面直线所成的角，以及点到平面的距离，建立空间直角坐标系是解决问题的关键，属中档题．25.答案：解：(1)由二项式系数的对称性，可得展开式共计2019项，且n2+1=1010，∴n =2018．(2)|a 0|+|a 1|+|a 2|+⋯+|a n |，即(2x +1)n =(2x +1)2018的展开式中各项系数和， 令x =1，可得|a 0|+|a 1|+|a 2|+⋯+|a n |=32018．(3)在(2x −1)n =a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a n x n 中，令x =0，可得a 0=1， 再令x =12，可得1+a 12+a 222+a 323+⋯+an2n =0，∴a 12+a222+a 323+⋯+an2n =−1．解析：本题主要考查二项式定理的应用，属于中档题．(1)由二项式系数的对称性，可得展开式共计2019项，n2+1=1010，由此求得n 的值． (2)|a 0|+|a 1|+|a 2|+⋯+|a n |，即(2x +1)n =(2x +1)2018的展开式中各项系数和，令x =1，可得|a 0|+|a 1|+|a 2|+⋯+|a n |的值． (3)先求得a 0=1，再令x =12，可得1+a 12+a 222+a 323+⋯+a n 2n =0，由此可得a 12+a 222+a 323+⋯+an 2n 的值．。

2020年普通高等学校招生全国统一考试——江苏数学Ⅰ参考公式：柱体的体积V ＝Sh ，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．已知集合A ＝{－1，0，1，2}，B ＝{0，2，3}，则A ∩B ＝▲________． 答案：{0，2}2．已知i 是虚数单位，则复数z ＝(1＋i )(2－i )的实部是▲________． 答案：3解析：因为复数z ＝(1＋i )(2－i )＝2－i ＋2i －i 2＝3＋i ，所以复数的实部为3．3．已知一组数据4，2a ，3－a ，5，6的平均数为4，则a 的值是▲________． 答案：2解析：由题得4＋2a ＋3－a ＋5＋6＝20，解得a ＝2．4．将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是▲________． 答案：19解析：基本事件总数为6×6＝36个，点数和为5的基本事件有(1，4)，(4，1)，(2，3)，(3，2)，共4个，所以概率为436＝19．5．如图是一个算法流程图，若输出y 的值为－2，则输入x 的值是▲________． 答案：－3解析：由于2x ＞0，所以y ＝x ＋1＝－2，得x ＝－3．6．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a 2－y 25＝1(a ＞0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，则该双曲线的离心率是▲________． 答案：32解析：由题得5a ＝52，得a ＝2，所以c ＝a 2＋b 2＝3，所以双曲线的离心率为c a ＝32．7．已知y ＝f (x )是奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 23，则f (－8)的值是▲________．答案：－4解析：f (－8)＝－f (8)＝－823＝－4．8．已知sin 2(π4＋α)＝23，则sin2α的值是▲________．答案：13解析：因为sin 2(π4＋α)＝(22cos α＋22sin α)2＝12(1＋sin2α)＝23，所以sin2α＝13．9．如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2cm ，高为2cm ，内孔半轻为0.5cm ，则此六角螺帽毛坯的体积是▲________cm ． 答案：123－π2解析：正六棱柱体积为6×34×22×2＝123，圆柱体积为π(12)2·2＝π2，所求几何体体积为123－π2．10．将函数y ＝3sin(2x ＋π4)的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是▲________． 答案：x ＝－5π24解析：平移得y ＝3sin[2(x －π6)＋π4]＝3sin(2x －π12)，令2x －π12＝π2＋k π，得x ＝7π24＋k π2(k ∈Z )．当k ＝－1时，x ＝－5π24是与y 轴最近的对称轴．11．设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列．已知数列{a n ＋b n }的前n 项和S n ＝n 2－n ＋2n －1(n ∈N *)，则d ＋q 的值是▲________． 答案：4解析：易知等差数列{a n }的前n 项和为n 2－n ，故d ＝2．等比数列{b n }的前n 项和为2n －1，故q ＝2． 故d ＋q ＝4．12．已知5x 2y 2＋y 4＝1(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2的最小值是▲________． 答案：45解析：因为5x 2y 2＋y 4＝1，所以y ≠0且x 2＝1－y 45y2．于是x 2＋y 2＝1－y 45y 2＋y 2＝15y 2＋4y 25≥215y 2·4y 25＝45，当且仅当15y 2＝4y 25，即x 2＝310，y 2＝12时取等号．所以x 2＋y 2的最小值为45．法二：4＝(5x 2＋y 2)4y 2≤(5x 2＋y 2＋4y 22)2＝25(x 2＋y 2)24，得x 2＋y 2≥45．13．在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝3，∠BAC ＝90º，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP ＝9．若P A →＝m PB →＋(32－m )PC →(m 为常数)，则CD 的长度是▲________．答案：0或185解析：设P A →＝λPD →(λ＞0)，因为P A →＝m PB →＋(32－m )PC →，所以λPD →＝m PB →＋(32－m )PC →，即PD →＝mλPB →＋(32－m )λPC →．因为B ，D ，C 三点共线，所以m λ＋(32－m )λ＝1，故λ＝32．因为AP ＝9，所以AD ＝3，因此△ACD 为等腰三角形或C ，D 重合．若△ACD 为等腰三角形，作AE ⊥BC 于E ，故E 为CD 中点，由等面积法得AE ＝125，由勾股定理得CE ＝DE ＝95，所以CD ＝185．若C ，D 重合，则CD ＝0． 所以，CD 的长度为0或185．14．在平面直角坐标系xOy 中，已知P (32，0)，A ，B 是圆C ：x 2＋(y －12)2＝36上的两个动点，满足P A ＝PB ，则△P AB 面积的最大值是▲________． 答案：10 5解析：因为P A ＝PB ，易得PC ⊥AB ．设圆心C 到直线AB 距离为d ，则|AB |＝236－d 2，|PC |＝34＋14＝1，S △P AB ＝12·AB ·d P －AB ≤12·236－d 2·max{d －1，1－d ，d ＋1}＝12·236－d 2·(d ＋1)＝(36－d 2)(d ＋1)2． 令y ＝(36－d 2)(d ＋1)2(0≤d ＜6)，由y'＝2(d ＋1)(－2d 2－d ＋36)＝0，得d ＝4． 当0≤d ＜4时，y'＞0，y (x )递增；当4＜d ＜6时，y'＜0，y (x )递减． 因此当d ＝4时，y max ＝500，故(S △P AB )max ＝105．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，B 1C ⊥平面ABC ，E ，F 分别是AC ，B 1C 的中点．(1)求证：EF ∥平面AB 1C 1； (2)求证：平面AB 1C ⊥平面ABB 1．解析：(1)因为E ，F 分别是AC ，B 1C 的中点，所以EF ∥AB 1．又EF ⊄平面AB 1C 1，AB 1⊂平面AB 1C 1，所以EF ∥平面AB 1C 1． (2)因为B 1C ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以B 1C ⊥AB ．又AB ⊥AC ，AC ∩B 1C ＝C ，所以AB ⊥平面AB 1C ． 因为AB ⊂平面ABB 1，所以平面AB 1C ⊥平面ABB 1．16．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝3，c ＝2，B ＝45º．(1)求sin C 的值；(2)在边BC 上取一点D ，使得cos ∠ADC ＝－45，求tan ∠DAC 的值．解析：(1)由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝9＋2－2×3×2×22＝5，所以b ＝5．由正弦定理得c sin C ＝b sin B ，故sin C ＝c sin B b ＝55．(2)由于cos ∠ADC ＝－45，∠ADC ∈(π2，π)，所以sin ∠ADC ＝1－cos 2∠ADC ＝35．易知C ∈(0，π2)，所以cos C ＝1－sin 2C ＝255．所以sin ∠DAC ＝sin(π－∠DAC )＝sin(∠ADC ＋∠C )＝sin ∠ADC ·cos C ＋cos ∠ADC ·sin C ＝35×255＋(－45)×55＝2525． 因为∠DAC ∈(0，π2)，所以cos ∠DAC ＝1－sin 2∠DAC ＝11525．于是，tan ∠DAC ＝sin ∠DAC cos ∠DAC ＝211．17．某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O 在水平线MN 上、桥AB 与MN 平行，OO'为铅垂线(O'在AB 上)．经测量，左侧曲线AO 上任一点D 到MN 的距离h 1(米)与D 到OO'的距离a (米)之间满足关系式h 1＝140a 2；右侧曲线BO 上任一点F 到MN 的距离h 2(米)与F 到OO'的距离b (米)之间满足关系式h 2＝－1800b 3＋6b ．已知点B 到OO'的距离为40米．(1)求桥AB 的长度；(2)计划在谷底两侧建造平行于OO'的桥墩CD 和EF ，且CE 为80米，其中C ，E 在AB 上(不包括端点)．桥墩EF 每米造价k (万元)、桥墩CD 每米造价32k (万元)(k＞0)．问O'E 为多少米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低?解析：(1)当b ＝40时，OO'＝－1800×403＋6×40＝160，又140|O'A |2＝OO'＝160，所以|O'A |＝80．所以|AB |＝|O'A |＋|O'B |＝80＋40＝120米． (2)设|O'E |＝x ，总造价为f (x )万元．f (x )＝k (160＋1800x 3－6x )＋32k [160－140(80－x )2]＝k (160＋1800x 3－380x 2)(0＜x ＜40)，由f'(x )＝k (3800x 2－680x )＝0，得x ＝20(0舍去)．当0＜x ＜20时，f'(x )＜0，f (x )递减；当20＜x ＜40时，f'(x )＞0，f (x )递增．因此当x ＝20时，f (x )取最小值．答：当O'E ＝20米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低．18．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．(1)求△AF 1F 2的周长；(2)在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP →·QP →的最小值；(3)设点M 在椭圆E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为S 1，S 2，若S 2＝3S 1，求点M 的坐标．解析：(1)因为椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1，所以a ＝2，c ＝1，所以△AF 1F 2的周长为2a ＋2c ＝6．(2)设P (x 0，0)，x 0≠1，Q (4，y Q )．易得A (1，32)．所以OP →·QP →＝(x 0，0)·(x 0－4，－y Q )＝(x 0－4)x 0＝(x 0－2)2－4≥－4，当且仅当x 0＝2时取等号． 所以OP →·QP →的最小值为－4．(3)设M (x 1，y 1)，点M 到直线AB 的距离为d ．因为A (1，32)，F 1(－1，0)，所以直线AF 1的方程为y ＝34(x ＋1)，即3x －4y ＋3＝0，因此点O到直线AB 的距离为35．因为S 2＝3S 1，12|AB |·d M －AB ＝3×12×|AB |×35，所以d M －AB ＝95＝|3x 1－4y 1＋3|5，得3x 1－4y 1＋12＝0或3x 1－4y 1－6＝0．由⎩⎪⎨⎪⎧3x 1－4y1＋12＝0，x 124＋y 123＝1，得7x 2＋24x ＋32＝0，此方程无解；由⎩⎪⎨⎪⎧3x 1－4y 1－6＝0，x 124＋y 123＝1，得7x 2－12x －4＝0，解得M (2，0)或(－27，－127)．19．已知关于x 的函数y ＝f (x )，y ＝g (x )与h (x )＝kx ＋b (k ，b ∈R )在区间D 上恒有f (x )≥h (x )≥g (x )．(1)若f (x )＝x 2＋2x ，g (x )＝－x 2＋2x ，D ＝(－∞，＋∞)，求h (x )的表达式； (2)若f (x )＝x 2－x ＋1，g (x )＝k ln x ，h (x )＝kx －k ，D ＝(0，＋∞)，求k 的取值范围；(3)若f (x )＝x 4－2x 2，g (x )＝4x 2－8，h (x )＝4(t 3－t )x －3t 4＋2t 2(0＜|t |≤2)，D ＝[m ，n ]⊆[－2，2]，求证：n －m ≤7．解析：(1)由题得－x 2＋2x ≤kx ＋b ≤x 2＋2x 对任意的x ∈R 恒成立．令x ＝0，则0≤b ≤0，所以b ＝0．由kx ≤x 2＋2x ，即x 2＋(2－k )x ≥0对任意的x ∈R 恒成立，所以Δ＝(2－k )2≤0，因此k ＝2． 此时也满足－x 2＋2x ≤2x 对任意的x ∈R 恒成立． 所以h (x )＝2x ．(2)令F (x )＝h (x )－g (x )＝k (x －1－ln x )(x ＞0)，则F (1)＝0，由题得F (x )≥F (1)恒成立．易得F'(x )＝k ·x －1x．若k ＜0，则F (x )在(0，1)上递增，在(1，＋∞)上递减，则F (x )≤F (1)＝0，不合题意． 当k ＝0时，F (x )＝F (1)＝0，h (x )＝g (x )，符合题意．当k ＞0时，F (x )在(0，1)上递减，在(1，＋∞)上递增，则F (x )≥F (1)＝0，符合题意． 综上，k ≥0．又f (x )－h (x )＝x 2－x ＋1－(kx －k )＝x 2－(k ＋1)x ＋(k ＋1)≥0．当x ＝k ＋12＜0，即k ＜－1时，y ＝x 2－(k ＋1)x ＋k ＋1在(0，＋∞)为增函数，因为y (0)＝k ＋1＜0，不合题意．当x ＝k ＋12＝0，即k ＝－1时，f (x )－h (x )＝x 2≥0，符合题意．当x ＝k ＋12＞0，即k ＞－1时，应有Δ＝(k ＋1)2－4(k ＋1)≤0，解得－1＜k ≤3．综上，k 的取值范围是k ∈[0，3]．(3)由题得x 4－2x 2≥4(t 3－t )x －3t 4＋2t 2≥4x 2－8对任意x ∈[m ，n ]⊆[－2，2]恒成立．x 4－2x 2≥4(t 3－t )x －3t 4＋2t 2对任意x ∈[m ，n ]⊆[－2，2]恒成立， 等价于(x －t )2(x 2＋2tx ＋3t 2－2)≥0对任意x ∈[m ，n ]⊆[－2，2]恒成立， 故x 2＋2tx ＋3t 2－2≥0对任意x ∈[m ，n ]⊆[－2，2]恒成立．令M (x )＝x 2＋2tx ＋3t 2－2．当Δ＝－8t 2＋8＞0，即0＜t 2＜1时，对称轴x ＝－t ∈(－1，1)，记M (x )的两个零点为x 1＜x 2，此时n －m ≤max{2－x 2，x 1－(－2)}≤max{2－(－t )，(－t )－(－2)}＝max{2±t }≤2＋|t |＜2＋1＜7．当Δ＝－8t 2＋8≤0，即1≤t 2≤2时，M (x )≥0对x ∈R 恒成立． 而4x 2－8≤4(t 3－t )x －3t 4＋2t 2对任意的x ∈[m ，n ]⊆[－2，2]恒成立， 等价于4x 2－4(t 3－t )x ＋(3t 2＋4)(t 2－2)≤0对任意的x ∈[m ，n ]⊆[－2，2]恒成立．记4x 2－4(t 3－t )x ＋(3t 2＋4)(t 2－2)＝0的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝t 3－t ，x 1·x 2＝3t 4－2t 2－84，所以n －m ＝|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝t 6－5t 4＋3t 2＋8．令λ＝t 2∈[1，2]，则n －m ＝λ3－5λ2＋3λ＋8．记P (λ)＝λ3－5λ2＋3λ＋8，λ∈[1，2]，P'(λ)＝3λ2－10λ＋3＝(λ－3)(3λ－1)，所以当λ∈[1，2]时，P'(λ)＜0，P (λ)递减，所以P (λ)max ＝P (1)＝7．所以(n －m )max ＝7，即n －m ≤7．20．已知数列{a n }(n ∈N *)的首项a 1＝1，前n 项和为S n ．设λ与k 是常数，若对一切正整数n ，均有Sn ＋11k －S n 1k＝λa n ＋11k 成立，则称此数列为“λ－k ”数列．(1)若等差数列{a n }是“λ－1”数列，求λ的值； (2)若数列{a n }是“33－2”数列，且a n ＞0，求数列{a n }的通项公式； (3)对于给定的λ，是否存在三个不同的数列{a n }为“λ－3”数列，且a n ≥0?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．解析：(1)若等差数列{a n }是“λ－1”数列，则S n ＋1－S n ＝λa n ＋1，即a n ＋1＝λa n ＋1．因为a n 不恒为0，所以λ＝1． (2)因为S n ＋112－S n 12＝33a n ＋112，所以(S n ＋112－S n 12)2＝13(S n ＋1－S n )＝13(S n ＋112－S n 12)(S n ＋112＋S n 12)． 因为a n ＞0，所以S n ＋1＞S n ，因此S n ＋112－S n 12＞0，于是S n ＋112－S n 12＝13(S n ＋112＋S n 12)，即S n ＋112＝2S n 12，所以S n ＋1＝4S n ．因为S 1＝a 1＝1，所以S n ＝4n －1，a n ＝4n －1－4n －2＝3·4n －2，n ≥2．所以a n ＝⎩⎨⎧1，n ＝1，3·4n －2，n ≥2．(3)假设存在三个不同的数列{a n }为“λ－3”数列，且a n ≥0．由S n ＋113－S n 13＝λa n ＋113，得(S n ＋113－S n 13)3＝λ3(S n ＋1－S n )，所以S n ＋113＝S n 13或(S n ＋113－S n 13)2＝λ3(S n ＋123＋S n 23＋S n ＋113S n 13)，即S n ＋1＝S n 或(λ3－1)Sn ＋123＋(λ3－1)S n 23＋(λ3＋2)S n ＋113S n 13＝0．由S n ＋1＝S n ，得a n ＝⎩⎨⎧1，n ＝1，0，n ≥2．因为存在三个不同的数列{a n }为“λ－3”数列，且a n ≥0，所以(λ3－1)S n ＋123＋(λ3－1)S n 23＋(λ3＋2)S n ＋113S n 13＝0(λ≠1)有两个不等的正根．(λ3－1)S n ＋123＋(λ3－1)S n 23＋(λ3＋2)S n ＋113S n 13＝0(λ≠1)可转化为(λ3－1)S n ＋123S n 23＋(λ3－1)＋(λ3＋2)S n ＋113S n 13＝0(λ≠1)，不妨设(S n ＋1S n )13＝x (x ＞0)，则(λ3－1)x 2＋(λ3＋2)x ＋(λ3－1)＝0(λ≠1)有两个不等正根，设f (x )＝(λ3－1)x 2＋(λ3＋2)x ＋(λ3－1)＝0(λ≠1)．①当λ＜1时，令Δ＝(λ3＋2)2－4(λ3－1)2＞0，得0＜λ3＜4，故0＜λ＜1，此时f (0)＝λ3－1＜0，对称轴x ＝－(λ3＋2)2(λ3－1)＞0，满足题意．②当λ＞1时，令Δ＝(λ3＋2)2－4(λ3－1)2＞0，得0＜λ3＜4，故1＜λ＜34，此时f (0)＝λ3－1＞0，对称轴x ＝－(λ3＋2)2(λ3－1)＜0，此情况有两个不等负根，不满足题意，舍去．综上，0＜λ＜1．数学Ⅱ(附加题)[选做题]本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，．并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4－2：矩阵与变换] 21．平面上点A (2，－1)在矩阵M ＝⎣⎡⎦⎤a 1 －1b 对应的变换作用下得到点B (3，－4)．(1)求实数a ，b 的值； (2)求矩阵M 的逆矩阵M －1．解析：(1)由题得⎣⎡⎦⎤ a 1 －1 b ⎣⎡⎦⎤2－1＝⎣⎡⎦⎤ 3－4，所以⎩⎨⎧2a －1＝3，－2－b ＝－4，解得a ＝2，b ＝2．(2)设M －1＝⎣⎡⎦⎤m n c d ，则MM －1＝⎣⎡⎦⎤2m ＋c 2n ＋d －m ＋2c －n ＋2d ＝⎣⎡⎦⎤1 00 1，所以⎩⎨⎧2m ＋c ＝1，2n ＋d ＝0，－m ＋2c ＝0，－n ＋2d ＝1，解得m ＝25，n ＝－15，c ＝15，d ＝25，所以M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤25 －1515 25．B ．[选修4－4：坐标系与参数方程]22．在极坐标系中，已知点A (ρ1，π3)在直线l ：ρcos θ＝2上，点B (ρ2，π6)在圆C ：ρ＝4sin θ上(其中ρ≥0，0≤θ＜2π)．(1)求ρ1，ρ2的值；(2)求出直线l 与圆C 的公共点的极坐标．解析：(1)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系。

2020年高三全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ一、耐心填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．）1.已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则A B =_____.【答案】{}0,2【解析】【分析】根据集合的交集即可计算.【详解】∵{}1,0,1,2A =-,{}0,2,3B =∴{}0,2A B =故答案为：{}0,2.【点睛】本题考查了交集及其运算，是基础题型．2.已知i 是虚数单位，则复数(1i)(2i)z =+-的实部是_____.【答案】3【解析】【分析】根据复数的运算法则，化简即可求得实部的值.【详解】∵复数()()12z i i =+-∴2223z i i i i =-+-=+∴复数的实部为3.故答案为：3.【点睛】本题考查复数的基本概念，是基础题．3.已知一组数据4,2,3,5,6a a -的平均数为4，则a 的值是_____.【答案】2【解析】【分析】根据平均数的公式进行求解即可．【详解】∵数据4,2,3,5,6a a -的平均数为4∴4235620a a ++-++=，即2a =.故答案为：2.【点睛】本题主要考查平均数的计算和应用，比较基础．4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____. 【答案】19【解析】【分析】分别求出基本事件总数，点数和为5的种数，再根据概率公式解答即可．【详解】根据题意可得基本事件数总为6636⨯=个.点数和为5的基本事件有()1,4，()4,1，()2,3，()3,2共4个.∴出现向上的点数和为5的概率为41369P ==. 故答案为：19. 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 5.如图是一个算法流程图，若输出y 的值为2-，则输入x 的值是_____.【答案】3-【解析】【分析】根据指数函数的性质，判断出1y x =+，由此求得x 的值.【详解】由于20x >，所以12y x =+=-，解得3x =-.故答案为：3-【点睛】本小题主要考查根据程序框图输出结果求输入值，考查指数函数的性质，属于基础题.6.在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22x a ﹣25y =1(a ＞0)的一条渐近线方程为y=2x ，则该双曲线的离心率是____. 【答案】32【解析】【分析】根据渐近线方程求得a ，由此求得c ，进而求得双曲线的离心率.【详解】双曲线22215x y a -=，故b =由于双曲线的一条渐近线方程为y x =，即2b a a =⇒=，所以3c =，所以双曲线的离心率为32c a =. 故答案为：32【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线，考查双曲线离心率的求法，属于基础题. 7.已知y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，( f 的值是____.【答案】4-【解析】【分析】先求(8)f ，再根据奇函数求(8)f -【详解】23(8)84f ==，因为()f x 为奇函数，所以(8)(8)4f f -=-=-故答案为：4-【点睛】本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题.8.已知2sin ()4πα+ =23，则sin 2α的值是____. 【答案】13【解析】 【分析】 直接按照两角和正弦公式展开，再平方即得结果.【详解】221sin ()(cos )(1sin 2)4222παααα+=+=+121(1sin 2)sin 2233αα∴+=∴= 故答案为：13【点睛】本题考查两角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题.9.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm ，高为2 cm ，内孔半轻为0.5 cm ，则此六角螺帽毛坯的体积是____cm.【答案】1232π【解析】 【分析】 先求正六棱柱体积，再求圆柱体积，相减得结果. 【详解】正六棱柱体积为23622=1234⨯⨯⨯ 圆柱体积为21()222ππ⋅= 所求几何体体积为1232π-故答案为： 1232π【点睛】本题考查正六棱柱体积、圆柱体积，考查基本分析求解能力，属基础题.10.将函数y =πsin(2)43x ﹢的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是____.【答案】524x π=-【解析】【分析】先根据图象变换得解析式，再求对称轴方程，最后确定结果.【详解】3sin[2()]3sin(2)6412y x x πππ=-+=-72()()122242k x k k Z x k Z πππππ-=+∈∴=+∈ 当1k =-时524x π=-故答案为：524x π=- 【点睛】本题考查三角函数图象变换、正弦函数对称轴，考查基本分析求解能力，属基础题.11.设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列．已知数列{a n +b n }的前n 项和221()n n S n n n +=-+-∈N ，则d +q 的值是_______．【答案】4【解析】【分析】结合等差数列和等比数列前n 项和公式的特点，分别求得{}{},n n a b 的公差和公比，由此求得d q +.【详解】设等差数列{n a 1q ≠.等差数列{}n a 的前n 等比数列{}n b 的前n 项和公式为依题意n n n S P Q =+，即通过对比系数可知111212211d d a q b q⎧=⎪⎪⎪-=-⎪⎨⎪=⎪⎪=-⎪-⎩⇒112021d a q b =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩，故4d q +=. 故答案为：4【点睛】本小题主要考查等差数列和等比数列的前n 项和公式，属于中档题.12.已知22451(,)x y y x y R +=∈，则22xy +的最小值是_______． 【答案】45【解析】【分析】根据题设条件可得42215yxy-=，可得4222222114+555y yx y yy y-+=+=，利用基本不等式即可求解.【详解】∵22451x y y+=∴0y ≠且42215yxy-=∴422222222114144+2555555y y yx y yy y y-+=+=≥⋅=，当且仅当221455yy=，即2231,102x y==时取等号.∴22x y+的最小值为45.故答案为：45.【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.13.在△ABC中，43=90AB AC BAC==︒，，∠，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若3()2PA mPB m PC=+-（m为常数），则CD的长度是________．【答案】185【解析】【分析】根据题设条件可设()0PA PDλλ=>，结合32PA mPB m PC⎛⎫=+-⎪⎝⎭与,,B D C三点共线，可求得λ，再根据勾股定理求出BC，然后根据余弦定理即可求解.【详解】∵,,A D P三点共线，∴可设()0PA PDλλ=>，∵32PA mPB m PC⎛⎫=+-⎪⎝⎭，∴32PD mPB m PCλ⎛⎫=+-⎪⎝⎭，即32mmPD PB PCλλ⎛⎫-⎪⎝⎭=+，若0m ≠且32m ≠，则,,B D C 三点共线， ∴321m m λλ⎛⎫- ⎪⎝⎭+=，即32λ=， ∵9AP =，∴3AD =，∵4AB =,3AC =,90BAC ∠=︒，∴5BC =，设CD x =，CDA θ∠=，则5BD x =-，BDA πθ∠=-. ∴根据余弦定理可得222cos 26AD CD AC x AD CD θ+-==⋅，()()()222257cos 265x AD BD AB AD BD x πθ--+--==⋅-， ∵()cos cos 0θπθ+-=， ∴()()2570665x x x --+=-，解得185x =， ∴CD 5当m =32PA PC =，,C D 重合，此时CD 的长度为0， 当m =时，32PA PB =，,B D 重合，此时12PA =，不合题意，舍去. 【点睛】本题考查了平面向量知识的应用、余弦定理的应用以及求解运算能力，解答本题的关键是设出()0PA PD λλ=>．14.在平面直角坐标系xOy 中，已知0)P ，A ，B 是圆C ：221()362x y+-=上的两个动点，满足PA PB =，则△P AB 面积的最大值是__________．【答案】【解析】【分析】根据条件得PC AB ⊥,再用圆心到直线距离表示三角形PAB 面积，最后利用导数求最大值.【详解】PA PB PC AB =∴⊥设圆心C 到直线AB 距离为d ，则||1AB PC ==所以2221236(1)(36)(1)2PAB S d d d d ≤⋅-+=-+ 令222(36)(1)(06)2(1)(236)04y d d d y d d d d '=-+≤<∴=+--+=∴=（负值舍去）当04d ≤<时，0y '>；当46d ≤<时，0y '≤，因此当4d =时，y 取最大值，即PAB S取最大值为105，故答案为：105【点睛】本题考查垂径定理、利用导数求最值，考查综合分析求解能力，属中档题. 二、精心解答题：(本大题共6小题，共计90分，)15.在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，B 1C ⊥平面ABC ，E ，F 分别是AC ，B 1C 的中点．（1）求证：EF ∥平面AB 1C 1；（2）求证：平面AB 1C ⊥平面ABB 1．【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析.【解析】【分析】（1）通过证明1//EF AB ，来证得//EF 平面11AB C .（2）通过证明AB ⊥平面1AB C ，来证得平面1AB C ⊥平面1ABB .【详解】（1）由于,E F 分别是1,AC B C 的中点，所以1//EF AB .由于EF ⊂/平面11AB C ,1AB ⊂平面11AB C ，所以//EF 平面11AB C .（2）由于1B C ⊥平面ABC ，AB 平面ABC ，所以1B C AB ⊥.由于1,AB AC AC B C C ⊥⋂=，所以AB ⊥平面1AB C ,由于AB 平面1ABB ，所以平面1AB C ⊥平面1ABB .【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，属于中档题.16.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3,2,45a c B ===︒．（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值． 【答案】（1）5sin C =；（2）2tan 11DAC ∠=. 【解析】【分析】 （1）利用余弦定理求得b ，利用正弦定理求得sin C .（2）根据cos ADC ∠的值，求得sin ADC ∠的值，由（1）求得cos C 的值，从而求得sin ,cos DAC DAC ∠∠的值，进而求得tan DAC ∠的值.【详解】（1）由余弦定理得22222cos 9223252b ac ac B =+-=+-⨯=，所以5b =由正弦定理得sin 5sin sin sin 5c b c B C C B b =⇒==. （2）由于4cos 5ADC ∠=-，,2ADC ππ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以23sin 1cos 5ADC ADC ∠=-∠=.2020年高考（江苏卷） 由于,2ADC ππ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以225cos 1sin 5C C =-=.所以()sin sin DAC DAC π∠=-∠()sin ADC C =∠+∠sin cos cos sin ADC C ADC C =∠⋅+∠⋅3254525555525⎛⎫=⨯+-⨯= ⎪⎝⎭. 由于0,2DAC π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以2115cos 1sin 25DAC DAC ∠=-∠=. 所以sin 2tan cos 11DAC DAC DAC ∠∠==∠.【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角恒等变换，属于中档题.17.某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O 在水平线MN 上、桥AB 与MN 平行，OO '为铅垂线(O '在AB 上).经测量，左侧曲线AO 上任一点D 到MN 的距离1h (米)与D 到OO '的距离a (米)之间满足关系式21140h a =；右侧曲线BO 上任一点F 到MN 的距离2h (米)与F 到OO '的距离b (米)之间满足关系式3216800h b b =-+.已知点B 到OO '的距离为40米.（1）求桥AB 的长度；（2）计划在谷底两侧建造平行于OO '的桥墩CD 和EF ，且CE 为80米，其中C ，E 在AB 上(不包括端点).桥墩EF 每米造价k (万元)、桥墩CD 每米造价32k (万元)(k >0).问O E '为多少米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低?【答案】（1）120米（2）20O E '=米【解析】【分析】（1）根据A,B 高度一致列方程求得结果；（2）根据题意列总造价的函数关系式，利用导数求最值，即得结果. 【详解】（1）由题意得2311||40640||8040800O A O A ''=-⨯+⨯∴= ||||||8040120AB O A O B ''∴=+=+=米（2）设总造价为()f x 万元，21||8016040O O '=⨯=，设||O E x '=， 32131()(1606)[160(80)],(040)800240f x k x x k x x =+-+--<<3221336()(160),()()0208008080080f x k x x f x k x x x '∴=+-∴=-=∴=(0舍去)当020x <<时，()0f x '<；当2040x <<时，()0f x '>，因此当20x 时，()f x 取最小值，答：当20O E '=米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低.【点睛】本题考查实际成本问题、利用导数求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.18.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求△AF 1F 2的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅的最小值； （3）设点M 在椭圆E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为S 1，S 2，若S 2=3S 1，求点M 的坐标． 【答案】（1）6；（2）-4；（3）()2,0M 或212,77⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆定义可得124AF AF +=，从而可求出12AF F △的周长；（2）设()0,0P x ，根据点A 在椭圆E 上，且在第一象限，212AF F F ⊥，求出31,2A ⎛⎫⎪⎝⎭，根据准线方程得Q 点坐标，再根据向量坐标公式，结合二次函数性质即可出最小值；（3）设出设()11,M x y ，点M 到直线AB 的距离为d ，由点O 到直线AB 的距离与213S S =，可推出95d =，根据点到直线的距离公式，以及()11,M x y 满足椭圆方程，解方程组即可求得坐标.【详解】（1）∵椭圆E 的方程为22143x y +=∴()11,0F -,()21,0F 由椭圆定义可得：124AF AF +=. ∴12AF F △的周长为426+=（2，根据题意可得01x ≠.∵点A 上，且在第一象限，212AF F F ⊥ ∴A ⎛ ⎝∴(Q Q ∴()()()()200000,04,4244Q OP QP x x y x x x ⋅=⋅--=-=--≥-，当且仅当02x =时取等号.∴OP QP ⋅的最小值为4-.（3）设()11,M x y ，点M 到直线AB 的距离为d .∵31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()11,0F - ∴直线1AF 的方程为()314y x =+ ∵点O 到直线AB 的距离为35，213S S =∴2113133252S S AB AB d ==⨯⨯⨯=⋅∴95d =∴113439x y -+=①∵2211143x y +=②∴联立①②解得1120x y =⎧⎨=⎩，1127127x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. ∴()2,0M 或212,77⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了椭圆的定义，直线与椭圆相交问题、点到直线距离公式的运用，熟悉运用公式以及根据2S =是解答本题的关键. 19.(),()f x y g x ==与()(,)h x kx b k b =+∈R()f x ．（1()22()g x x x D =-+=∞-∞+，，，求h (x )的表达式；（2 ln ,()()(0) g k x h kx k D x x ==-=+∞，，，，求（3()2242() (48 () 4 3 2g x x h x t t x t t =-=--+， ，求证：n m -【答案】（1）()2h x x =；（2）[]0,3k ∈；（3）证明详见解析 【解析】 【分析】（1）求得()f x 与()g x 的公共点，并求得过该点的公切线方程，由此求得()h x 的表达式.（2）先由()()0h x g x -≥，求得k 的一个取值范围，再由()()0f x h x -≥，求得k 的另一个取值范围，从而求得k 的取值范围.（3）先由()()f x h x ≥，求得t 的取值范围，由方程()()0g x h x -=的两个根，求得n m -的表达式，利用导数证得不等式成立.【详解】（1）由题设有2222x x kx b x x -+≤+≤+对任意的x ∈R 恒成立.令0x =，则00b ≤≤，所以0b =.因此22kx x x ≤+即()220x k x +-≥对任意的x ∈R 恒成立，所以()220k ∆=-≤，因此2k =. 故()2h x x =.（2）令()()()()()1ln 0F x h x g x k x x x =-=-->，()01F =. 又()1x F x k x-'=⋅. 若k 0<，则()F x 在0,1上递增，在1,上递减，则()()10F x F ≤=，即()()0h x g x -≤，不符合题意.当0k =时，()()()()()0,F x h x g x h x g x =-==，符合题意. 当0k >时， ()F x 在0,1上递减，在1,上递增，则()()10F x F ≥=，即(h ，符合题意. 由(()1f x kx k +--()()2110x k x k =-+++≥当x =1<-时，()211y x k x k =-+++在0,为增函数，因为10+<，故存在()00,x ∈+∞，使()()0f x h x -<，不符合题意. 当102k x +==，即1k =-时，()()20f x h x x -=≥，符合题意. 当102k x +=>，即1k >-时，则需()()21410kk ∆=+-+≤，解得13k -<≤. 综上所述，k 的取值范围是[]0,3k ∈.（3）因为()423422243248x x t t x t tx -≥--+≥-对任意[,][x m n ∈⊂恒成立，()423422432x x tt x t t -≥--+对任意[,][x m n ∈⊂恒成立，等价于()222()2320x t xtx t -++-≥对任意[,][x m n ∈⊂恒成立.故222320x tx t ++-≥对任意[,][x m n ∈⊂恒成立 令22()232M x x tx t =++-，当201t <<，2880,11t t ∆=-+>-<-<，此时1n m t -≤<<， 当212t ≤≤，2880t ∆=-+≤，但()234248432x t t x t t -≥--+对任意的[,][x m n ∈⊂恒成立.等价于()()()2322443420x t t x t t --++-≤对任意的[,][x m n ∈⊂恒成立.()()()2322443420x t t x t t --++-=的两根为12,x x ，则4231212328,4t t x x t t x x --+=-⋅=，所以12=n m x x --==.令[]2,1,2t λλ=∈，则n m -=[])51,2∈，()()()23103331P λλλλλ'=-+=--，所以λλ递减，()()max 17P P λ==. 所以(【点睛】本小题主要考查利用的导数求切线方程，考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查利用导数证明不等式，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.20.已知数列{}*()∈n a n N 的首项a 1=1，前n 项和为S n ．设λ与k 是常数，若对一切正整数n ，均有11111k k kn n n S S a λ++-=成立，则称此数列为“λ–k ”数列．（1）若等差数列{}n a 是“λ–1”数列，求λ的值；（2）若数列{}n a 是2-”数列，且a n ＞0，求数列{}n a 的通项公式；（3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列{}n a 为“λ–3”数列，且a n ≥0?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由， 【答案】（1）1（2）21,134,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩（3）01λ<<【解析】 【分析】（1）根据定义得+11n n n S S a λ+-=，再根据和项与通项关系化简得11n n a a λ++=，最后根据数列不为零数列得结果；（2）根据定义得111222+1+1()3n n n n S S S S -=-，根据平方差公式化简得+1=4n n S S ，求得n S ，即得n a ； （3）根据定义得111333+11n n n SS a λ+-=，利用立方差公式化简得两个方程，再根据方程解的个数确定参数满足的条件，解得结果【详解】（1）+111111101n n n n n n S S a a a a a λλλ++++-=∴==∴≡∴=/（2）11221100n n n n n a S S S S ++>∴>∴->111222)n n S S -(n n S S ∴1124n n n n S S S -∴∴= 11S a ==4n -1224434,2n n n n a n ---∴=-=⋅≥21,134,2n n n a n -=⎧∴=⎨⋅≥⎩（3）假设存在三个不同的数列{}n a 为"3"λ-数列.111113333333+11+1+1()()n n n n n n n S S a S S S S λλ+-=∴-=- 1133+1n nS S ∴=或11221123333333+1+1+1()()n n n n n n SS S S S S λ-=+++1n n S S ∴=或22113333333+1+1(1)(1)(2)0n n n n S S S S λλλ-+-++=∵对于给定的λ，存在三个不同的数列{}n a 为"3"λ-数列，且0n a ≥1,10,2n n a n =⎧∴=⎨≥⎩或()22113333333+1+1(1)(1)(2)01n n n nS S S S λλλλ-+-++=≠有两个不等的正根.()22113333333+1+1(1)(1)(2)01n n n n S S SS λλλλ-+-++=≠可转化为()2133333+1+12133(1)(2)(1)01n n nnS S S S λλλλ-++-+=≠，不妨设()1310n n S x x S +⎛⎫=> ⎪⎝⎭，则()3233(1)(2)(1)01x x λλλλ-+++-=≠有两个不等正根，设()()3233(1)(2)(1)01f x x x λλλλ=-+++-=≠.① 当1λ<时，32323(2)4(1)004λλλ∆=+-->⇒<<，即01λ<<，此时()3010f λ=-<，33(2)02(1)x λλ+=->-对，满足题意.② 当1λ>时，32323(2)4(1)004λλλ∆=+-->⇒<<，即1λ<<()3010f λ=->，33(2)02(1)x λλ+=-<-对，此情况有两个不等负根，不满足题意舍去.综上，01λ<<【点睛】本题考查数列新定义、由和项求通项、一元二次方程实根分步，考查综合分析求解能力，属难题.数学Ⅱ(附加题)【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-2：矩阵与变换]21.平面上点(2,1)A -在矩阵11a b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M 对应的变换作用下得到点(3,4)B -． （1）求实数a ，b 的值； （2）求矩阵M 的逆矩阵1M -．【答案】（1）22a b =⎧⎨=⎩；（2）121 5512 55M -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 【解析】 【分析】（1）根据变换写出具体的矩阵关系式，然后进行矩阵的计算可得出实数,a b 的值； （2）设出逆矩阵，由定义得到方程，即可求解.【详解】（1）∵平面上点()2,1A -在矩阵 11 a M b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦对应的变换作用下得到点()3,4B -∴ 1 2 31 14a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦∴21324a b -=⎧⎨--=-⎩，解得22a b =⎧⎨=⎩（2）设1m n Mc d -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则12 2 1 0=2 20 1m c n d MM m c n d -++⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-+-+⎣⎦⎣⎦∴21202021m c n d m c n d +=⎧⎪+=⎪⎨-+=⎪⎪-+=⎩，解得251515m n c ⎧=⎪⎪⎪=-⎪⎨⎪=⎪∴1M -【点睛】本题考查矩阵变换的应用，考查逆矩阵的求法，解题时要认真审题，属于基础题．B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在极坐标系中，已知点1π(,)3A ρ在直线:cos 2l ρθ=上，点2π(,)6B ρ在圆:4sinC ρθ=上（其中0ρ≥，02θπ≤<）． （1）求1ρ，2ρ的值（2）求出直线l 与圆C 的公共点的极坐标． 【答案】（1）1242ρρ==，（2）)4π【解析】 【分析】(1)将A,B 点坐标代入即得结果；（2）联立直线与圆极坐标方程，解得结果. 【详解】（1）以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，11cos2,43πρρ=∴=，因为点B 为直线6πθ=上，故其直角坐标方程为3y x =， 又4sin ρθ=对应的圆的直角坐标方程为：2240x y y +-=，由22340y x x y y ⎧=⎪⎨⎪+-=⎩解得00x y ==⎧⎨⎩或1x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 对应的点为())0,0,，故对应的极径为20ρ=或22ρ=.（2）cos 2,4sin ,4sin cos 2,sin 21ρθρθθθθ==∴=∴=，5[0,2),,44ππθπθ∈∴=， 当4πθ=时ρ= 当5πθ=时0ρ=-<，舍；即所求交点坐标为当),4π【点睛】本题考查极坐标方程及其交点，考查基本分析求解能力，属基础题.C ．[：不等式选讲]23.设x 2|1|||4x x ++≤． 【分析】根据绝对值定义化为三个方程组，解得结果 【详解】1224x x x <-⎧⎨---≤⎩或10224x x x -≤≤⎧⎨+-≤⎩或0224x x x >⎧⎨++≤⎩21x ∴-≤<-或10x -≤≤或203x <≤所以解集为22,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查分类讨论解含绝对值不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24.在三棱锥A —BCD 中，已知CB =CD=5,BD =2，O 为BD 的中点，AO ⊥平面BCD ，AO =2，E 为AC 的中点．（1）求直线AB 与DE 所成角的余弦值； （2）若点F 在BC 上，满足BF =14BC ，设二面角F —DE —C 的大小为θ，求sin θ的值． 【答案】（1）15（2）239 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量数量积求直线向量夹角，即得结果；（2）先求两个平面法向量，根据向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系得结果.详解】（1）连,COBC CD BO OD CO BD ==∴⊥以,,OB OC OA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,2),(1,0,0),(0,2,0),(1,0,0)(0,1,1)A B C D E -∴15(1,0,2),(1,1,1)cos ,1553AB DE AB DE ∴=-=∴<>==-2020年高考（江苏卷）从而直线AB 与DE所成角的余弦值为15（2）设平面DEC 一个法向量为1(,,),n x y z =11200(1,2,0),00x y n DC DC x y z n DE ⎧+=⋅=⎧⎪=∴⎨⎨++=⋅=⎪⎩⎩ 令112,1(2,1,1)y x z n =∴=-=∴=-设平面DEF 一个法向量为2111(,,),n x y z =11221117100171(,,0),4244200x y n DF DF DB BF DB BC n DE x y z ⎧⎧+=⋅=⎪⎪=+=+=∴⎨⎨⋅=⎪⎩⎪++=⎩ 令111272,5(2,7,5)y x z n =-∴==∴=-cos ∴因此【点睛】本题考查利用向量求线线角与二面角，考查基本分析求解能力，属中档题.25.个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X n ，恰有2个黑球的概率为p n ，恰有1个黑球的概率为q n ．（1）求p 1·q 1和p 2·q 2； （2）求2p n +q n 与2p n-1+q n-1的递推关系式和X n 的数学期望E (X n )(用n 表示) ．【答案】（1）112212716,,332727p q p q ====；；（2）()111222+33n n n n p q p q --+=+ 【解析】【分析】（1）直接根据操作，根据古典概型概率公式可得结果；（2）根据操作，依次求n n p q ，，即得递推关系，构造等比数列求得2n n p q +，最后根据数学期望公式求结果.【详解】（1）11131232,333333p q ⨯⨯====⨯⨯，2020年高考（江苏卷）211131211227++3333333927p p q ⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯， 211231122222516+0+3333333927q p q ⨯⨯+⨯=⨯⨯+=⨯⨯=⨯⨯. （2）1111131212++333339n n n n n p p q p q ----⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯， 111112*********+(1)+33333393n n n n n n q p q p q q -----⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯+--⨯=-⨯⨯⨯， 因此112122+333n n n n p q p q --+=+， 从而11111212(2+),21(2+1)333n n n n n n n n p q p q p q p q ----+=+∴+-=-， 即1111121(2+1),2133n n n n n n p q p q p q -+-=-∴+=+. 又n X 的分布列为。