江苏省2020年高考数学压轴卷含解析

2020届江苏省高考数学押题卷数学I一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分．请把答案写在答题纸的指定位置上．1．已知集合{|02}A x x =<<，{|11}B x x =-<<，则A B =U ．2．设复数z 满足(1i)i z ⋅-=（其中i 为虚数单位），则z 的模为 ．3．一组数据3，x ，5，6，7的均值为5，则方差为 ．4．右图是一个算法的伪代码，其输出的结果为 ．5．袋中有形状、大小都相同的5只球，其中2只白球，3只红球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色相同的概率为 ．6．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，AB =3，AA 1=2，P ，M 分别为BD 1，B 1C 1上的点． 若112BP PD =，则三棱锥M -PBC 的体积为______．7．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一个焦点到一条渐近线的距离为2a ，则该双曲线的离心率为 ．8． 若将函数f (x )的图象向右平移π6个单位后得到函数()π4sin 23y x =-的图象，则()π4f =______． 9． 已知函数()f x 是R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋m (m 为常数)，则2(log 5)f -的值为______．10．已知函数2()e (1)x f x x ax =++的单调减区间为()ln ln e e b a ，，则a b 的值为______． 11．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ：y ＝2x 上在第一象限内的点，B (5，0)，以AB 为直径的 圆C 与直线l 交于另一点D ．若AB ⊥CD ，则点A 的横坐标为 ．12．设H 为三角形ABC 的垂心，且3450HA HB HC ++=u u u r u u u r u u u r r ，则cos BHC ∠= ．13．已知函数f (x )满足1()+()x f x f x e'=，且f (0)=1，则函数[]21()3()()2g x f x f x =-的零点个数是 ．14．若数列{}n a 满足21321111222n n a a a a a a --<-<<-<L L ，则称数列{}n a 为“差半递增”数列．若数列{}n a 为“差半递增”数列，其前n 项的和为n S ，且满足221()n n S a t n N *=+-∈，则实数t 的取值范围为 ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出 文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）在三棱锥S —ABC 中，平面SAB ⊥平面SBC ，AB ⊥BC ，AS ＝AB ，过A 作AF ⊥SB ，垂足为F ，点E ，G 分别是棱SA ，SC 的中点．（1）求证：平面EFG ‖平面ABC ．（2）求证：BC ⊥SA ．16．（本小题满分14分）已知△ABC 的内角的对边分别为a 、b 、c ．（1）若π3B =，b =，△ABC 的面积S ，求a+c 值； （2）若()22cos C BA BC AB AC c ⋅+⋅=u u u v u u u v u u u v u u u v ，求角C ．椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的离心率为13，左焦点F 到直线l ：x ＝9的距离为10， 圆G ：(x －1)2+y 2＝1．（1）求椭圆的方程；（2）若P 是椭圆上任意一点，EH 为圆G ：(x －1)2+y 2＝1的任一直径，求PE PH ⋅u u u r u u u r 的取值 范围；（3）是否存在以椭圆上点M 为圆心的圆M ，使得圆M 上任意一点N 作圆G 的切线，切点为T ，都满足NF NT =M 的方程；若不存在，请说明理由．18．（本小题满分16分）如图，在某商业区周边有两条公路1l 和2l ，在点O 处交汇；该商业区为圆心角π3， 半径3km 的扇形．现规划在该商业区外修建一条公路AB ，与12l l 、分别交于A B 、，要求AB 与扇形弧相切，切点T 不在12l l 、上．（1）设km,km,OA a OB b == 试用,a b 表示新建公路AB 的长度，求出,a b 满足的关系式，并写出,a b 的范围；（2）设α=∠AOT ，试用α表示新建公路AB 的长度，并且确定A B 、的位置，使得新建公路AB 的长度最短．已知函数f (x )＝x 3－x +2x ．（1）求函数y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；（2）令g (x )2ln x +，若函数y ＝g (x )在(e ，+∞)内有极值，求实数a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，对任意t ∈(1，+∞)，s ∈(0，1)，求证：1()()e 2eg t g s ->+- ．20．（本小题满分16分）已知数列{a n }，{b n }满足，2S n ＝(a n +2)b n ，其中n S 是数列{a n }的前n 项和．（1）若数列{a n }是首项为23，公比为13-的等比数列，求数列{b n }的通项公式； （2）若b n ＝n ，a 2＝3，求证：数列{a n }满足a n +a n +2＝2a n +1，并写出数列{a n }的通项公式；（3）在（2）的条件下，设 n n na cb =．试问，数列{c n }中的任意一项是否总可以表示成该数列其他两项之积？若可以，请证明之；若不可以，请说明理由．数学Ⅱ（附加题）满分40分考试时间30分钟21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，每小题10分．若多做，则按作答的前两题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．B．（选修4－2：矩阵与变换）已知线性变换T1是按逆时针方向旋转90︒的旋转变换，其对应的矩阵为M，线性变换T2：2,3x xy y'=⎧⎨'=⎩对应的矩阵为N．（1）写出矩阵M、N；（2）若直线l在矩阵NM对应的变换作用下得到方程为y＝x的直线，求直线l的方程．C．选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的参数方程为,2sinxyαα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α∈R，α为参数），曲线C2的极坐标方程为cos sin50ρθθ-=．（1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）设P为曲线C1上一点，Q曲线C2上一点，求线段PQ的最小值．【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1，AB＝2，AA1＝1，直线BD与平面AA1B1B所成的角为30︒，AE垂直BD于点E、F为A1B1的中点．（1）求异面直线AE与BF所成角的余弦值；（2）求平面BDF与平面AA1B1B所成二面角（锐角）的余弦值．23．（本小题满分10分）设集合S＝{1，2，3，…，n}（n≥5，n∈N*），集合A＝{a1，a2，a3}满足a1＜a2＜a3，且a3－a2≤2，A⊆S．（1）若n = 6，求满足条件的集合A的个数；（2）对任意的满足条件的n及A，求集合A的个数．。

江苏省2020年高考名师押题信息卷数 学2020.6.29Ⅰ卷一. 填空题：本大题共14小题，每小题5分共计70分1．设集合A ＝{x |（x +1）（x ﹣2）＜0}，集合B ＝{x |1＜x ＜3}，则A ∪B ＝__________．2．i 是虚数单位，则|2+i 1−i|的值为__________． 3．若执行如图所示的算法流程图，则输出的结果是__________．4．（如图是一组样本数据的频率分布直方图，则依据图形中的数据，可以估计总体的平均数与中位数分别是__________5．有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为__________．6.已知cos 6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭_____________.7．设S n 是等比数列{a n }的前n 项的和，S 3，S 9，S 6成等差数列，则a 2+a 5a 8的值为__________．8．在平面直角坐标系xoy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条准线与两条渐近线恰能围成一个等边三角形，则该双曲线的离心率为______．9．在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 两点在圆x 2+y 2＝1上，若直线x +y −√6=0上存在点C ，使△ABC 是边长为1的等边三角形，则点C 的横坐标是__________．10．如图，是一个四棱锥的平面展开图，其中间是边长为2的正方形，上面三角形是等边三角形，左、右三角形是等腰直角三角形，则此四棱锥的体积为__________．11．已知函数f （x ）＝x 2﹣2x +3a ，g （x ）=2x−1．若对∀x 1∈[0，3]，总∃x 2∈[2，3]，使得f （x 1）≤g （x 2）成立，则实数a 的取值集合为__________． 12．在ABC ∆中，3,2,AB AC D ==为边BC 上一点．若25,3AB AD AC AD ⋅=⋅=-u u u v u u u v u u u v u u u v ，则AB AC ⋅u u u v u u u v 的值为_________．13．已知向量()1,3a =v ，(),1b x y =-v 且//a b v v ，若实数,x y 均为正数，则31x y+最小值是______ 14．已知f （x ）是R 上的偶函数，且f(x)={3x ，0≤x ＜1(13)x +1，x ≥1，若关于x 的方程f 2（x ）﹣mf （x ）＝0有三个不相等的实数根，则m 的取值范围__________．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15. (本小题满分14分)已知函数()221()cos sin cos ()2f x x x x x x R =+-∈. (1)求()f x 的单调递增区间.(2)在ΔABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若f (A )=1，c =10，cosB =17，求ΔABC 的中线AD 的长.16. (本小题满分14分)如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，四边形ABCD 为平行四边形，∠BAP ＝∠CDP ＝90°，E 为PC 中点． （Ⅰ）求证：AP ∥平面EBD ；（Ⅱ）若△P AD 是正三角形，且P A ＝AB ．（i ）当点M 在线段P A 上什么位置时，有DM ⊥平面P AB ；（ii ）在（i ）的条件下，点N 在线段PB 什么位置时，有平面DMN ⊥平面PBC ．17. (本小题满分14分) 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的下顶点为B ，点,M N 是椭圆上异于点B 的动点，直线,BM BN 分别与x 轴交于点,P Q ，且点Q 是线段OP 的中点．当点N 运动到点处时，点Q 的坐标为(,0)3． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线MN 交y 轴于点D ，当点,M N 均在y 轴右侧，且2DN NM =u u u v u u u u v时，求直线BM 的方程．。

2020年江苏省高考数学压轴试卷（6月份）一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合，，则______．2.已知复数，则______．3.某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为______．4.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为______．5.已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程是______．6.某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为________．7.已知点P在抛物线上运动，F为抛物线的焦点，点A的坐标为，则的最小值是______．8.已知，都是锐角，，，则的值等于______．9.在体积为9的斜三棱柱中，S是上的一点，的体积为2，则三棱锥的体积为______10.在等差数列中，，则数列的前11项和等于______ ．11.如图，三棱锥中，已知平面ABC，是边长为2的正三角形，E为PC的中点．若直线AE与平面PBC所成角的正弦值为，则PA的长为______．12.如图，在四边形ABCD中，，点M，N分别是边AD，BC的中点，延长BA和CD交MN的延长线于不同的两点P，Q，则的值为______．13.已知函数，若有两个零点，，则的取值范围______．14.在中，记角A，B，C所对的边分别是a，b，c，面积为S，则的最大值为______．二、解答题（本大题共11小题，共142.0分）15.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，求a的值；若，求周长的取值范围．16.如图，在直三棱柱中，，D，E分别是AB，AC的中点．求证：平面；求证：平面平面．17.如图所示，为美化环境，拟在四边形ABCD空地上修建两条道路EA和ED，将四边形分成三个区域，种植不同品种的花草，其中点E在边BC的三等分处靠近B点，百米，，，百米，．求区域的面积；为便于花草种植，现拟过C点铺设一条水管CH至道路ED上，求当水管CH最短时的长．18.己知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，P是椭圆C上的一个动点，且面积的最大值为．求椭圆C的方程；设斜率不为零的直线与椭圆C的另一个交点为Q，且PQ的垂直平分线交y轴于点，求直线PQ的斜率．19.数列的前n项和记为，且，数列是公比为q的等比数列，它的前n项和记为若，且存在不小于3的正整数k，m，使若，，求，证明：数列为等差数列；若，是否存在整数m，k，使，若存在，求出m，k的值；若不存在，说明理由．20.已知函数．当时，求函数的图象在处的切线方程；若对任意，不等式恒成立，求a的取值范围；若存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求a的取值范围．21.求椭圆C：在矩阵对应的变换作用下所得曲线的方程．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数，以原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．求曲线C的极坐标方程；在平面直角坐标系xOy中，，，M是曲线C上任意一点，求面积的最小值．23.已知x，y，z均为正数，且，求证：．24.厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品．若厂家库房中视为数量足够多的每件产品合格的概率为，从中任意取出3件进行检验，求至少有2件是合格品的概率；若厂家发给商家20件产品，其中有4不合格，按合同规定商家从这20件产品中任取2件，都进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收．求该商家可能检验出的不合格产品的件数的分布列，并求该商家拒收这批产品的概率．25.已知数列满足，，其中m为常数，．求m，的值；猜想数列的通项公式，并证明．-------- 答案与解析 --------1.答案：解析：【分析】利用交集定义直接求解．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．【解答】解：集合，，．故答案为：．2.答案：解析：解：复数，则，故答案为：．利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.答案：8解析：解：高一年级有30名学生，在高一年级的学生中抽取了6名，每个个体被抽到的概率是高二年级有40名学生，要抽取人，故答案为：8首先根据高一年级的总人数和抽取的人数，求出每个个体被抽到的概率，根据在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，利用这个概率乘以高二的学生数，得到高二要抽取的人数．本题考查分层抽样，在分层抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，是基础题．4.答案：205解析：解：模拟程序语言的运行过程，得：，满足条件，执行循环体，满足条件，执行循环体，满足条件，执行循环体，满足条件，执行循环体，此时，不满足条件，退出循环，输出S的值为205．故答案为：205．根据已知中的程序代码，可知本程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析各个变量的变化规律，可得答案．本题考查了程序语言的应用问题，解题时应模拟程序语言的运行过程，以便得出输出的结果，是基础题目．5.答案：解析：解：由已知可知离心率，，即，双曲线焦点在y轴，渐近线方程为，即．故答案为：．利用双曲线的离心率求出a，b关系，然后求解渐近线方程即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．6.答案：解析：【分析】由于学校有两个食堂，不妨令他们分别为食堂A、食堂B，则甲、乙、丙三名学生选择每一个食堂的概率均为，代入相互独立事件的概率乘法公式，即可求出他们同在食堂A用餐的概率，同理，可求出他们同在食堂B用餐的概率，然后结合互斥事件概率加法公式，即可得到答案．本小题主要考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，要想计算一个事件的概率，首先我们要分析这个事件是分类的分几类还是分步的分几步，然后再利用加法原理和乘法原理进行求解．【解答】解：甲、乙、丙三名学生选择每一个食堂的概率均为，则他们同时选中A食堂的概率为：；他们同时选中B食堂的概率也为：；故们在同一个食堂用餐的概率故答案为：7.答案：7解析：【分析】本题考查抛物线的定义，考查抛物线的性质，属于基础题．过P作准线l，交l于D，求得抛物线的焦点坐标，根据抛物线的定义，可得：当A，P，D三点共线时，取最小值．【解答】解：抛物线的焦点，准线l：，过P作准线l，交l于D，由抛物线的定义：，当且仅当A，P，D三点共线时，取最小值，最小值为，故答案为7．8.答案：解析：【分析】此题考查了同角三角函数间的基本关系，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键，同时注意角度的范围．由，都是锐角，得出的范围，由和的值，利用同角三角函数间的基本关系分别求出和的值，然后把所求式子的角变为，利用两角和与差的正弦函数公式化简，把各自的值代入即可求出值．【解答】解：，都是锐角，，又，，，，则．故答案为：9.答案：1解析：解：如图，设三棱柱的底面积为，高为h，则，，再设S到底面ABC的距离为，则，得，，则S到上底面的距离为．三棱锥的体积为．故答案为：1．由已知棱柱体积与棱锥体积可得S到下底面距离与棱柱高的关系，进一步得到S到上底面距离与棱锥高的关系，则答案可求．本题考查棱柱、棱锥体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．10.答案：132解析：解：等差数列中，，即，，，．故答案为：132．由已知条件，利用等差数列的通项公式推导出，由此利用等差数列的前n项和公式能求出．本题考查数列的前11项和的求法，是基础题，解题时要熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式．11.答案：2或解析：解：以A为原点，在平面ABC内过A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，设，则0，，2，，0，，1，，1，，1，，，2，，设平面PBC的法向量y，，则，取，得a，，直线AE与平面PBC所成角的正弦值为，，解得或．的长为2或．故答案为：2或．以A为原点，在平面ABC内过A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出PA的长．本题考查线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．12.答案：0解析：解：设，，，则，，，，，，，，，，，又，，故答案为：0．建立坐标系，设，，，求出和的坐标，即可得出结论．本题考查了平面向量的数量积运算，建立坐标系可使运算较简单．13.答案：解析：解：当时，，则，，当时，，则，，综上可知，，令，得，依题意，有两个根，，不妨设，当时，，当时，，令，则，，设，则，在上单调递减，，的取值范围为．故答案为：．分析可知，，则有两个根，，令，则，故，再构造函数，利用导数求其取值范围即可．本题考查函数零点与方程根的关系，考查利用导数研究函数的最值，考查转化思想及运算求解能力，属于较难题目．14.答案：解析：解：因为，当且仅当时取得等号，令，，故，因为，且，故可得点表示的平面区域是半圆弧上的点，如下图所示：目标函数，表示圆弧上一点到点点的斜率，数形结合可知，当且仅当目标函数过点，即时，取得最小值；故可得又，故可得，当且仅当，，也即三角形为等边三角形时，取得最大值．故答案为：．由已知可得，令，，可得，数形结合可知，又，可得，当且仅当，，也即三角形为等边三角形时，取得最大值．本题考查三角形中边角互化、面积以及利用基本不等式求最值时，代数式的变形技巧，本题的难点一是不会建立已知条件与目标式之间的关系；二是式子结构较复杂不会变形，三角函数与基本不等式交汇一直是高考考查的热点，也是难点，属于难题．15.答案：解：中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，利用三角函数关系式的展开式整理得，，，利用正弦定理得，解得．由得，，所以，整理得．所以三角形的周长为，，由于，故，所以所以三角形的周长的范围为．解析：直接利用三家函数关系式的变换和正弦定理的应用求出结果．利用的结论和正弦定理及正弦型函数的性质的应用求出三角形的周长的范围．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力16.答案：证明：因为D，E分别是AB，AC的中点，所以，分又因为在三棱柱中，，所以分又平面，平面，所以平面分在直三棱柱中，底面ABC，又底面ABC，所以分又，，所以，分又，平面，且，所以平面分又平面，所以平面平面分解析：证明，即可证明平面；证明平面，即可证明平面平面．本题考查线面平行、线面垂直、面面垂直的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．17.答案：解：由题意得：，，，在中，，，解得百米分平方百米．分记，在中，，即，，，分当时，水管长最短，在中，百米分解析：由余弦定理求出百米，由此能求出区域的面积．记，在中，，求出，，当时，水管长最短，由此能求出当水管CH最短时的长．本题考查三角形面积的求法，考查线段长的最小值的求法，考查余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．18.答案：解：因为椭圆离心率为，当P为C的短轴顶点时，的面积有最大值，所以，所以，故椭圆C的方程为：设直线PQ的方程为，当时，代入，得：，设，，线段PQ的中点为，，，即因为，则，所以，化简得，解得或．解析：因为椭圆离心率为，当P为C的短轴顶点时，的面积有最大值，由此列方程组可解得a，b，c．设直线PQ的方程为，当时，代入，得：，得到PQ的中点N的坐标后利用，则，所以，可解得．本题考查了椭圆的性质，属中档题．19.答案：解：由，得，，，；由，得，两式相减，得，，，两式相减，得，数列为等差数列；由题意，得，，，，，，且，，又，且为奇数，时，是整数，此时，，．解析：本题考查了等差中项和等差数学的证明，考查了方程思想和运算能力，属难题．根据，和，取，可直接求出；由，得，利用作差法可得，从而证明数列为等差数列；根据，可得关于m，k的方程，再由m，k为整数，可最终得到m，k的值．20.答案：解：时，，，则，又，故函数在处的切线方程为，即；，故，且，，，当即时，在恒成立，故在递增，故时，，故满足条件；当时，即时，由，得，，当时，，则在递减，故当时，，这与时，恒成立矛盾，故不满足条件，综上，a的范围是；当时，区间恒成立，故在递增，故不存在极值，故不满足条件，当时，，故函数的定义域是，由，得，，列表如下：x00递增极大值递减极小值递增由于在递减，此时极大值大于极小值，不合题意，故不满足条件；当时，由，解得：，列表如下：x2递减极小值递增此时仅存在极小值，不合题意，故时满足题意，当时，函数的定义域是，且，，列表如下：x00递增极大值递减递减极小值递增故存在极大值和极小值，此时，，故，，，，故，即，故满足题意，综上，a的范围是解析：代入a的值，根据以及，求出切线方程即可；求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，结合函数恒成立确定a的范围即可；通过讨论a的范围，结合函数的单调性结合函数的极值确定a的范围即可．本题考查了函数的单调性，极值，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．21.答案：解：设是曲线上的任意一点，它是椭圆上的点在矩阵对应变换作用下的对应点，则：即：，所以代入椭圆，得到．解析：直接利用矩阵的变换的应用，伸缩变换的应用求出结果．本题考查的知识要点：矩阵的变换的应用，伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．22.答案：解：曲线C的参数方程为为参数，曲线C的直角坐标方程为，将，代入得曲线C的极坐标方程为：．设点到直线AB：的距离为d，则，当时，d有最小值，．所以面积的最小值．解析：本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查三角形的面积的最小值的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．曲线C的参数方程消去参数得到曲线C的直角坐标方程，由此能求出曲线C的极坐标方程．设点到直线AB：的距离，求出d有最小值，由此能滶出面积的最小值．23.答案：证明：因为x，y，z均为正数，所以，，均为正数，由柯西不等式得，当且仅当时，等式成立．因为，所以，所以．解析：由x，y，z均为正数，运用柯西不等式和不等式的性质，即可得证；本题考查不等式的证明，注意运用柯西不等式和不等式的性质，考查推理和运算能力，属于中档题．24.答案：解：“从中任意取出3件进行检验，至少有2件是合格品”记为事件A，其中包含两个基本事件“恰有2件合格”和“3件都合格”，．该商家可能检验出不合格产品数，可能的取值为0，1，2，，，，的分布列为：012P因为只有件都合格时才接收这批产品，故商家拒收这批产品的对立事件为商家任取2件产品检验都合格，记“商家拒收”为事件B，则，商家拒收这批产品的概率为．解析：“从中任意取出3件进行检验，至少有2件是合格品”记为事件A，其中包含两个基本事件“恰有2件合格”和“3件都合格”，由此能求出至少有2件是合格品的概率．该商家可能检验出不合格产品数，可能的取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列；只有2件都合格时才接收这批产品，从而商家拒收这批产品的对立事件为商家任取2件产品检验都合格，由此能求出商家拒收这批产品的概率．本题考查概率、离散型别随机变量的分布列的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．25.答案：解：因为，所以，所以，此时；猜想：，用数学归纳法证明如下：当时，由可知结论成立，假设时结论成立，则有，则时，，由得：，又，于是，所以，故时结论也成立，由得，，解析：由，可求出，此时；猜想：，用数学归纳法证明即可．本题主要考查数列的递推式，以及数学归纳法，是中档题．。

2020南通名师高考原创卷压轴卷数学 (含附加题)数学I参考公式:圆柱的侧面积S= 2πrl,其中r 为底面半径,l 为母线长.球的面积24,S R π=其中R 为球的半径.一、填空题:本大题共14小题，每小题5分,共70分.1.已知集合A={x|2x -4<0} ,B= {x|log 2x>-1},则A∩B=___2.若复数z 满足(1-2i)z=5(其中i 为虚数单位) ,则z 的模是___3.右图是一个算法流程图,若输人3πθ=−，则输出的y 的值是___4.用系统抽样方法从400名学生中抽取容量为40的样本,将400名学生随机地编号为1~400, 按编号顺序平均分成40个组(1~10号,11~20号,......391~400号).若第1组中用抽签的方法确定抽出的号码为3,则第10组抽取的号码是____5.将分别写有“中”“国”“梦”的3张卡片随机排序，则能组成“中国梦”的概率是_____6.已知a 1(0,),cos()233ππα∈+=，则cos(2)6πα+的值是____ 7.已知数列{}n a 是公差为d 的等差数列，n S 是其前n 项和，若47103115,62a a a S ++==,则d 的值是____8.在△ABC 中,,3B AC π==若△ABC ABC 的周长是_____ 9.制作一个如图所示的密封饮料罐，需要将一个高为9 cm,底面直径为6 cm 的圆柱体的底部改为内凹的半球面，则该密封饮料罐的表面积为____cm².10.在平面直角坐标系xOy 中12,F F 分别是双曲线2221(0,0)zx y a b a b−=>>的左、右焦点,过1F 作圆222x y a +=的切线l 与双曲线的右支交于点P,且22()0OP OF F P +⋅= ，则该双曲线的离心率是____11.在平面直角坐标系xOy 中,C 为直线x-2y=0在第一象限内的点,以C 为圆心的圆C 与y 轴相切,且截x 轴所得弦长为则圆C 的标准方程为____12. 已知正三角形ABC 的边长为EF 为△ABC 的外接圆O 的一条直径,点M 在△ABC 的边上运动,则ME MF ⋅ 的最小值是____13.已知函数f(x)的定义域为(0, +∞),f(1)=0,且()()f x xf x ′<在(0,+∞)内恒成立(()f x ′为f(x)的导函数),则关于t 的不等式f(t)<0的解集为____ 14. 已知x,y ∈R ,且x+y>0,则2232x xy y x y++++的最小值为___ 二、解答题:本大题共6小题，共计90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

江苏省2020年高考数学压轴卷（含解析）一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．已知集合{|02}A x x =<<，{|1}B x x =>，则A B =I ______ 2．已知复数(1)(2),z i i =+-则｜z ｜＝ ．3．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为______.4．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为____．5．在平面直角坐标亲xOy 中，若双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的离心率为32，则该双曲线的渐近线方程为______.6．某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为__________．7．已知点P 在抛物线28y x =上运动，F 为抛物线的焦点，点A 的坐标为(5,2)，则PA PF +的最小值是______．8．已知,αβ都是锐角，45sin ,cos()513ααβ=+=，则sin β=_____ 9．在体积为9的斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，S 是C 1C 上的一点，S —ABC 的体积为2，则三 棱锥S —A 1B 1C 1的体积为___．10．在等差数列{}n a 中，912162a a =+，则数列{}n a 的前11项和11S =____________. 11．三棱锥P ABC -中，已知PA ⊥平面ABC ，ABC n 是边长为2的正三角形，E 为PC 的中点，若直线AE 与平面PBC 所成角的正弦值为42，则PA 的长为_____. 12．如图，在四边形ABCD 中，1AB CD ==，点,M N 分别是边,AD BC 的中点，延长BA和CD 交NM 的延长线于不同．．的两点,P Q ，则·()PQ AB DC -u u u v u u u v u u u v的值为_________．13．已知函数()ln ,11,12x x f x xx ≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩，若()()()1F x f f x m =++有两个零点12,x x ，则12x x 的取值范围______.14．在ABC V 中，记角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，面积为S ，则22Sa bc+的最大值为______.二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2A π≠，sin 26cos sin b A A B =.（1）求a 的值； （2）若3A π=，求ABC ∆周长的取值范围.16．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，BC AC ⊥，D ,E 分别是AB ,AC 的中点．（1）求证：11B C ∥平面1A DE；（2）求证：平面1A DE ⊥平面11ACC A ．17．如图所示，为美化环境，拟在四边形ABCD 空地上修建两条道路EA 和ED ，将四边形分成三个区域，种植不同品种的花草，其中点E 在边BC 的三等分点处（靠近B 点），3BC =百米，BC CD ⊥，120ABC ∠=o ，21EA =60AED ∠=o .（1）求ABE △区域的面积；（2）为便于花草种植，现拟过C 点铺设一条水管CH 至道路ED 上，求水管CH 最短时的长．18．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，点P是椭圆C 上的一个动点，且12PF F ∆3. （1）求椭圆C 的方程；（2）设斜率不为零的直线2PF 与椭圆C 的另一个交点为Q ，且PQ 的垂直平分线交y 轴于点1(0,)8T ，求直线PQ 的斜率.19．已知数列{}n a 的前n 项和记为n A ，且()12n n n a a A +=，数列{}n b 是公比为q 的等比数列，它的前n 项和记为n B .若110a b =≠，且存在不小于3的正整数k ，m ，使得k m a b =. （1）若11a =，35a =，求2a 的值； （2）求证：数列{}n a 是等差数列；（3）若2q =，是否存在整数m ，k ，使得86k m A B =，若存在，求出m ，k 的值；若不存在，请说明理由.20．已知()22ln 12x f x x x a-=--+，0a >.（1）当2a =时，求函数()f x 图象在1x =处的切线方程；（2）若对任意[)1,x ∈+∞，不等式()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围； （3）若()f x 存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求a 的取值范围.数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A ，B ，C 三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修42：矩阵与变换)求椭圆22:1164x y C +=在矩阵104102A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下所得曲线C '的方程.B. (选修44：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3242x cos y sin θθ=+⎧⎨=+⎩，（θ为参数），以原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）在平面直角坐标系xOy 中，A （﹣2，0），B （0，﹣2），M 是曲线C 上任意一点，求△ABM 面积的最小值．C. (选修45：不等式选讲) 已知x ，y ，z 均为正数，且1113112x y y z ++≤+++，求证：4910x y z ++≥.【必做题】 第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22．厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品．（1）若厂家库房中（视为数量足够多）的每件产品合格的概率为 0.7，从中任意取出 3件进行检验，求至少有2 件是合格品的概率；（2）若厂家发给商家20 件产品，其中有4不合格，按合同规定 商家从这20 件产品中任取2件，都进行检验，只有2 件都合格时才接收这批产品，否则拒收．求该商家可能检验出的不合格产品的件数ξ的分布列，并求该商家拒收这批产品的概率．23．已知数列{}n a 满足123*12323,N 2222nn n n n nn n C C C C a m n ++++=++++⋯+∈，其中m 为常数，24a =. （1）求1, m a 的值（2）猜想数列{}n a 的通项公式，并证明.参考答案及解析1.【答案】{|12}x x << 【解析】因为集合{|02}A x x =<<，{|1}B x x =>， 所以{|12}A B x x =<<I .故答案为：{|12}x x <<2．【解析】12z i i =+-==3．【答案】8【解析】设样本容量为N ，则306,14,70N N ⨯== 高二所抽人数为4014870⨯=. 故答案为：8 4．【答案】205【解析】模拟程序语言，运行过程，可得1I =, 满足条件100I <，执行循环体3,9I S ==； 满足条件100I <，执行循环体5,13I S ==；L L满足条件100I <，执行循环体99,201I S ==；满足条件100I <，执行循环体101,21013205I S ==⨯+=， 此时，不满足条件100I <，退出循环，输出S 的值为205， 故答案为205.5．【答案】y = 【解析】由已知可知离心率32c e a ==，2222294c a b a a +==，即2254b a =.∵双曲线22221x y a b-=的焦点在x 轴上∴该双曲线的渐近线方程为b y x a =±，即y x =.故答案为：y =. 6．【答案】14【解析】由题意，三名学生各自随机选择两个食堂中的一个用餐的情况共有2228⨯⨯=（种），其中他们在同一个食堂用餐的情况有2种，根据古典概型概率的计算公式得，所求概率为2184=. 7．【答案】7【解析】PA PF +55272A L Pd -≥=+=+= 8．【答案】1665【解析】∵,αβ都是锐角，∴(0,)αβπ+∈， 又45sin ,cos()513ααβ=+=， ∴3cos 5α=，12sin()13αβ+=， ∴sin sin[()]sin()cos cos()sin βαβααβααβα=+-=+-+123541613513565=⨯-⨯=． 故答案为1665． 9．【答案】1【解析】设三棱柱111ABC A B C -的底面积为'S ，高为h ， 则9'9'S h S h==，， 再设S 到底面ABC 的距离为'h ，则1''23S h =，得19'23h h⋅⋅=， 所以'23h h =， 则S 到上底面111A B C 的距离为13h ，所以三棱锥111S A B C -的体积为111'91339S h ⋅=⋅=． 故答案为1． 10．【答案】132【解析】 由a 912=a 12+6，得2a 9﹣a 12＝12， 即2a 1+16d ﹣a 1﹣11d ＝12，∴a 1+5d ＝12，a 6＝12． 则S 11＝11a 6＝11×12＝132． 故答案为：132 11．【答案】2或3【解析】设F 是BC 的中点，连接sin cos 210k k ρθρθ-+-=，PA ⊥Q 平面ABC ，PA BC ∴⊥， ABC ∆Q 为正三角形，BC AF ∴⊥，BC ∴⊥平面PAF ，在平面PAF 内作AH PF ⊥， 则BC AH ⊥，AH ∴⊥平面PBC ，连接EH ，则AEH ∠是AE 与平面PBC 所成的角， 设PA m =，在直角三角形PAF 中，AH PF PA AF ⋅=⋅， 求得233PA AF mAH PF m ⋅==+，211422AE PC m ==+， AE ∵平面PBC 所成的角的正弦值为427， 223423sin 142mAH m AEH AE m +∴∠===+,解得2m =或3m =，即PA 的长为2或3，故答案为2或3. 12．【答案】0【解析】如图，连AC ，取AC 的中点E ，连ME ，NE ，则,ME NE 分别为,ADC CAB ∆∆的中位线，所以11,22EN AB ME DC ==u u u v u u u v u u u v u u u v ,所以1()2MN ME EN DC AB =+=+u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ． 由PQ uuu v 与MN u u u u r共线， 所以()PQ MN R λλ=∈u u u v u u u u v，故()()()()2PQ AB DC MN AB DC AB DC AB DC u u u v u u u v u u u v u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v λλ⋅-=⋅-=+⋅-22()02AB DC λ=-=u u uv u u u v ． 答案：013．【答案】(e -∞【解析】当1x ≥时,()ln 0f x x =≥, ()11f x ∴+≥, [()1]ln(()1)f f x f x ∴+=+,当131()1()1[()1]ln(()1)222x x f x f x f f x f x <=->+>+=+，，，, 综上可知：()()()1ln(()1)0F x f f x m f x m =++=++=,则()1mf x e-+=，()1mf x e-=-有两个根1x ，2x ,(不妨设)12x x <,当1x ≥时,2ln 1mx e -=-，当1x <时,1112m x e --=-, 令112mt e-=->,则2ln x t =，2tx e =，112x t -=，122x t =-，12(22)t x x e t ∴=-，12t >, 设()(22)tg t e t =-，12t >, 所以()2tg t te '=-, 1,()02t g t '⎛⎫∈+∞< ⎪⎝⎭，，函数()g t 单调递减, 1()2g t g ⎛⎫∴<=⎪⎝⎭()g x ∴的值域为(-∞, 12x x ∴取值范围为(-∞,故答案为：(-∞.14．【解析】因为22Sa bc +2211222222bcsinAsinA b c b c bccosA bc cosA c b==⨯+-+++-142sinA cosA ≤-⨯-(当且仅当b c =时取得等号)令,sinA y cosA x ==， 故22S a bc +142y x ≤-⨯-，因为221x y +=，且0y >， 故可得点(),x y 表示的平面区域是半圆弧上的点，如下图所示：目标函数2yz x =-，表示圆弧上一点到点()2,0A 点的斜率， 数形结合可知，当且仅当目标函数过点132H ⎛ ⎝⎭，即60A =︒时，取得最小值3 故可得3[2y z x =∈-， 又22S a bc +142y x ≤-⨯-，故可得22S a bc +1334312≤-⨯-=. 当且仅当60,A b c =︒=，也即三角形为等边三角形时，取得最大值.故答案为：312. 15．【答案】（1）3；（2）(]6,9.【解析】（1）由sin 26cos sin b A A B =及二倍角公式得sin 3sin b A B =， 又sin sin a bA B=即sin sin b A a B =，所以3a =； （2）由正弦定理得sin 23sin a B b B A ==，sin 23sin a Cc C A==ABC ∆周长：23232332323sin()3a b c B C B B π++=++=++- 33323sin 36sin 26B B B π⎫⎛⎫=+=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭， 又因为2(0,)3B π∈，所以1sin (,1]2B ∈. 因此ABC ∆周长的取值范围是(]6,9.16．【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析【解析】证明：（1）因为D ,E 分别是AB ,AC 的中点，所以//DE BC ， ...........2分 又因为在三棱柱111ABC A B C -中，11//B C BC，所以11//B C DE. ...............4分 又11B C ⊄平面1A DE，DE ⊂平面1A DE ，所以11B C ∥平面1A DE. ...............6分（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥底面ABC ，又DE ⊂底面ABC ，所以1CC DE⊥. .............8分又BC AC ⊥，//DE BC ，所以DE AC ⊥， ..........10分 又1,CC AC ⊂平面11ACC A ，且1CC AC C=I ，所以DE ⊥平面11ACC A . ...............12分又DE ⊂平面1A DE，所以平面1A DE ⊥平面11ACC A ． ............14分17．【答案】（1平方百米；（2）7百米. 【解析】（1）由题知1,120,BE ABC EA =∠==o在ABE V 中，由余弦定理得2222cos AE AB BE AB BE ABE =+-⋅∠，即2211AB AB =++，所以4AB =百米所以11sin 4122ABE S AB BE ABE V =⋅⋅∠=⨯⨯=.（2）记AEB α∠=，在ABE V 中，sin sin AB AE ABEα=∠，即4sin α=，所以sin ,cos 77αα===，当CH DE ⊥时，水管CH 最短， 在Rt ECH V 中，2π2π2πsin 2sin 2sin cos 2cos sin 333CH CE HEC ααα⎛⎫=∠=-=- ⎪⎝⎭=7百米.18．【答案】（1）22143x y +=（2）12或32【解析】 (1)因为椭圆离心率为12，当P 为C 的短轴顶点时，12PF F △.所以22212122c a a b c c b ⎧=⎪⎪=+⎨⎪⎪⨯⨯=⎩，所以21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩C 的方程为:22143x y +=.（2）设直线PQ 的方程为()1y k x =-，当0k ≠时，()1y k x =-代入22143x y +=，得:()22223484120k x k x k +-+-=.设()()1122,,,P x y Q x y ，线段PQ 的中点为()00,N x y ，212024234x x k x k +==+，()1200231234y y k y k x k +-==-=+ 即22243,3434k k N k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭因为TN PQ ⊥，则1TN PQ k k ⋅=-，所以222314381443k k k k k --+⋅=-+，化简得24830k k -+=，解得12k =或32k =，即直线PQ 的斜率为12或32.19．【答案】（1）23a =（2）见解析（3）存在8,340m k ==满足题意。

江苏省高考压轴卷数学数学I（满分160分，考试时间120分钟）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．已知集合U={1，2，3，4，5}，A={3，4}，B={1，4，5}，则A∪（∁U B）= ．2．已知x＞0，若（x﹣i）2是纯虚数（其中i为虚数单位），则x= ．3．某单位有老人20人，中年人120人，青年人100人，现采用分层抽样的方法从所有人中抽取一个容量为n的样本，已知青年人抽取的人数为10人，则n= ．4．双曲线=1的右焦点与左准线之间的距离是．5．函数f（x）=的定义域为．6．执行如图所示的程序框图，若输入a=27，则输出的值b= ．7．满足等式cos2x﹣1=3cosx（x∈10，π]）的x值为．8．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a3=4，S9﹣S6=27，则S10= ．9．男队有号码1，2，3的三名乒乓球运动员，女队有号码为1，2，3，4的四名乒乓球运动员，现两队各出一名运动员比赛一场，则出场的两名运动员号码不同的概率为．10．以一个圆柱的下底面为底面，并以圆柱的上底面圆心为顶点作圆锥，若所得的圆锥底面半径等于圆锥的高，则圆锥的侧面积与圆柱的侧面积之比为为 ． 11．在△ABC 中，∠C=45°，O 是△ABC 的外心，若，则m+n 的取值范围为 ．12．已知抛物线x 2=2py （p ＞0）的焦点F 是椭圆的一个焦点，若P ，Q 是椭圆与抛物线的公共点，且直线PQ 经过焦点F ，则该椭圆的离心率为 ． 13．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2=3b 2+3c 2﹣2bcsinA ，则C= ．14．若函数在区间11，2]上单调递增，则实数a 的取值范围是 ．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明 或演算步骤）15．（本小题满分14分）已知向量)sin ,(),,(cos αα21=-=n m ，其中),(20πα∈，且n m ⊥．（1）求α2cos 的值； （2）若1010=-)sin(βα，且),(20πβ∈，求角β的值．16．（本小题满分14分）在长方体1111D C B A ABCD -中，121AA EC BC AB ===． （1）求证：//1AC 平面BDE ； （2）求证：⊥E A 1平面BDE ．17．（本小题满分14分）如图，某公园有三条观光大道AC BC AB ,,围成直角三角形，其中直角边m BC 200=，斜边m AB 400=．现有甲、乙、丙三位小朋友分别在AC BC AB ,,大道上嬉戏，所在位 置分别记为点F E D ,,．（1）若甲乙都以每分钟m 100的速度从点B 出发在各自的大道上奔走，到大道的另一端 时即停，乙比甲迟分钟出发，当乙出发分钟后，求此时甲乙两人之间的距离； （2）设θ=∠CEF ，乙丙之间的距离是甲乙之间距离的倍，且3π=∠DEF ，请将甲乙之间的距离y 表示为的函数，并求甲乙之间的最小距离．18．（本小题满分16分）已知椭圆)(:012222>>=+b a b y a x C 的离心率为23，且点),(213-在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线交椭圆C 于Q P ,两点，线段PQ 的中点为H ，O 为坐标原点，且1=OH ， 求POQ ∆面积的最大值．19．（本小题满分16分）已知*∈N n ，数列{}n a 的各项均为正数，前项和为n S ，且2121==a a ,，设n n n a a b 212+=-．（1）若数列{}n b 是公比为的等比数列，求n S 2；（2）若对任意*∈N n ，22na S n n +=恒成立，求数列{}n a 的通项公式；（3）若)(1232-=nn S ，数列{}1+n n a a 也为等比数列，求数列的{}n a 通项公式．20．（本小题满分16分）已知函数x x x f ln )(=，)()(12-=x x g λ（λ为常数）．（1）若函数)(x f y =与函数)(x g y =在1=x 处有相同的切线，求实数λ的值； （2）若21=λ，且1≥x ，证明：)()(x g x f ≤；（3）若对任意),[+∞∈1x ，不等式恒)()(x g x f ≤成立，求实数λ的取值范围．数学附加题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）21. 【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答题卡指．．．．定区域．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A .1选修4-1：几何证明选讲]如图，过圆O 外一点P 作圆O 的切线PA ，切点为A ，连接OP 与圆O 交于点C ，过点C 作圆O 作AP 的垂线，垂足为D ，若PA=25，PC ：PO=1：3，求CD 的长．B.1选修4-2：矩阵与变换]（共1小题，满分10分） 已知矩阵，列向量，若AX=B ，直接写出A ﹣1，并求出X ．C.1选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分0分）在平面直角坐标系中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知圆4sin()6πρθ=+被射线θ=θ0（ρ≥0，θ0为常数，且0(0,)2πθ∈）所截得的弦长为23，求θ0的值．D.1选修4-5：不等式选讲]已知x ＞0，y ＞0，且2x+y=6，求4x 2+y 2的最小值．【必做题】第22题．第23题．每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22.（本小题满分10分）如图，以正四棱锥V ﹣ABCD 的底面中心O 为坐标原点建立空间直角坐标系O ﹣xyz ，其中Ox∥BC ，Oy ∥AB ，E 为VC 中点，正四棱锥的底面边长为2a ，高为h ，且有15cos ,49BE DE <>=-u u u r u u u r ．（1）求ha的值； （2）求二面角B ﹣VC ﹣D 的余弦值．23.（本小题满分10分）对一个量用两种方法分别算一次，由结果相同构造等式，这种方法称为“算两次”的思想方法．利用这种方法，结合二项式定理，可以得到很多有趣的组合恒等式．例如：考察恒等式（1+x ）2n=（1+x ）n（1+x ）n（n ∈N *），左边x n的系数为C 2n n，而右边（1+x ）n（1+x ）n=（C n 0+C n 1x+…+C n n x n）（C n 0+C n 1x+…+C n n x n），x n的系数为C n 0C n n+C n 1C nn ﹣1+…+C n nC n 0=（C n 0）2+（C n 1）2+…+（C n n）2，因此可得到组合恒等式C 2n n=（C n 0）2+（C n 1）2+…+（C n n）2．（1）根据恒等式（1+x ）m+n =（1+x ）m （1+x ）n （m ，n ∈N *）两边x k（其中k ∈N ，k ≤m ，k ≤n ）的系数相同，直接写出一个恒等式；（2）利用算两次的思想方法或其他方法证明：222202n k n k k n n k n k C C C ⎡⎤⎢⎥⎣⎦-=∑⋅⋅=，其中2n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦是指不超过2n的最大整数．江苏高考押题卷 数学答案解析1．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先求出C U B={2，3}，再利用并集定义能求出A ∪（∁U B ）．【答案】{2，3，4}【解答】∵集合U={1，2，3，4，5}，A={3，4}，B={1，4，5}，∴C U B={2，3}， A ∪（∁U B ）={2，3，4}． 故答案为：{2，3，4}．2．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】x ＞0，（x ﹣i ）2=x 2﹣1﹣2xi 纯虚数（其中i 为虚数单位），可得x 2﹣1=0，﹣2x ≠0，x ＞0，解出即可得出．【答案】1【解答】x ＞0，（x ﹣i ）2=x 2﹣1﹣2xi 纯虚数（其中i 为虚数单位）， ∴x 2﹣1=0，﹣2x ≠0，x ＞0，解得x=1．故答案为：1．3．【考点】分层抽样方法．【分析】先求三层的比例，然后求得青年人中抽取总人数的比例，从而求出抽取样本容量．【答案】24【解答】由题意，因为20：120：100=1：6：5，所以青年人中抽取总人数的=，故n=10÷=24．故答案为：24．4．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的a，b，c，可得右焦点坐标和左准线方程，由点到直线的距离公式可得所求值．【答案】5【解答】双曲线=1的a=2，b=2，c==4，可得右焦点（4，0）与左准线方程x=﹣即x=﹣1，即右焦点与左准线之间的距离是4﹣（﹣1）=5．故答案为：5．5．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据二次根式的定义可知1﹣x≥0且根据对数函数定义得x+2＞0，联立求出解集即可．【答案】（﹣2，1]【解答】因为f（x）=，根据二次根式定义得1﹣x≥0①，根据对数函数定义得x+2＞0②联立①②解得：﹣2＜x≤1故答案为（﹣2，1]6．【考点】程序框图．【分析】根据已知中的程序框图可得，该程序的功能是计算并输出变量b的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【答案】13【解答】当a=27时，执行循环体b=9，不满足退出循环的条件，故a=9；当a=9时，执行循环体b=3，不满足退出循环的条件，故a=3；当a=3时，执行循环体b=1，不满足退出循环的条件，故a=1；当a=1时，执行循环体b=，满足退出循环的条件，故输出的b值为，故答案为：7．【考点】二倍角的余弦．【分析】利用二倍角的余弦公式解方程求得cosx的值，从而结合x∈10，π]，求得x的值．【答案】【解答】∵等式cos2x﹣1=3cosx（x∈10，π]），即2cos2x﹣2=3cosx，即2cos2x﹣3cosx﹣2=0，求得cosx=2（舍去），或cosx=﹣，∴x=，故答案为：．8．【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的前n项和公式及通项公式列出方程组，求出首项及公差，由此能求出前10项和．【答案】65【解答】∵S n为等差数列{a n}的前n项和，a3=4，S9﹣S6=27，∴，解得a1=2，d=1，∴S10=10×2+=65．故答案为：65．9．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】出场的两名运动员号码不同的对立事件是出场的两名运动员号码相同，由此利用对立事件概率计算公式能求出出场的两名运动员号码不同的概率．【答案】【解答】男队有号码1，2，3的三名乒乓球运动员，女队有号码为1，2，3，4的四名乒乓球运动员，现两队各出一名运动员比赛一场，基本事件总数n=3×4=12，出场的两名运动员号码不同的对立事件是出场的两名运动员号码相同，∴出场的两名运动员号码不同的概率p=1﹣=．故答案为：．10．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】由题意设出圆锥的底面半径，求出圆锥的侧面积，求出圆柱的侧面积即可得到圆柱的侧积面与圆锥的侧面积之比．【答案】【解答】设圆锥的底面半径为r，由题意圆锥底面半径等于圆锥的高，可知圆锥的侧面积为：πr•r=πr2．圆柱的侧面积为：2πr•r=2πr2．所以圆柱的侧积面与圆锥的侧面积之比为：πr2：2πr2=．故答案为：．11．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】利用已知条件，得∠AOB=90°，两边平方，则m2+n2=1结合基本不等式，即可求得结论．【答案】1﹣，1]【解答】设圆的半径为1，则由题意m、n不能同时为正，∴m+n≤1…①∵∠C=45°，O是△ABC的外心，∴∠AOB=90°两边平方即可得出1=m2+n2+2mncos∠AOB⇒m2+n2=1…②，∵，…③，由①②③得﹣．故答案为：1﹣，1]12．【考点】抛物线的简单性质．【分析】由题意，p=2c，P（，c），即P（2c，c），代入椭圆方程，可得=1，由此即可求出椭圆的离心率．【答案】【解答】由题意，p=2c，P（，c），即P（2c，c）代入椭圆方程，可得=1，整理可得e4﹣6e2+1=0，∵0＜e＜1，∴e=．故答案为．13．【考点】余弦定理．【分析】利用余弦定理与不等式结合的思想求解a，b，c的关系．即可求解C的值．【答案】【解答】根据a2=3b2+3c2﹣2bcsinA…①余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA…②由①﹣②可得：2b2+c2=2bcsinA﹣2bccosA化简：b2+c2=bcsinA﹣bccosA⇔b 2+c 2=2bcsin （A ）∵b 2+c 2≥2bc ， ∴sin （A ）=1 ∴A=，此时b 2+c 2=2bc ， 故得b=c ，即B=C ， ∴C==．故答案为：．14．【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】去掉绝对值，根据f ′（x ）≥0，得到a 的范围即可． 【答案】1﹣，]【解答】f （x ）=；∵x ∈11，2]； ∴a ≤时，f （x ）=，f ′（x ）=；由f ′（x ）≥0；解得：a ≥﹣≥﹣，即﹣≤a ≤时，f ′（x ）≥0，f （x ）在11，2]上单调递增；即a 的取值范围是：1﹣，]．故答案为：1﹣，]．15. 【考点】向量数量积, 同角三角函数平方关系, 二倍角公式【解析】法一（1）由m ⊥n 得，2cos sin 0αα-=，sin 2cos αα=， ……2分代入22cos sin 1αα+=，25cos 1α=且π(0)2α∈，，π(0)2β∈，，则cos α=sin α， ……4分则223cos22cos 1215αα=-=⨯-=-. ……6分 （2）由π(0)2α∈，，π(0)2β∈，得，ππ()22αβ-∈-，.因sin()αβ-，则cos()αβ-= ……9分 则sin sin[()]sin cos()cos sin()βααβααβααβ=--=---=……12分 因π(0)2β∈，，则π4β=. ……14分法二（1）由m ⊥ n 得，2cos sin 0αα-=，tan 2α=， ……2分 故22222222cos sin 1tan 143cos2cos sin cos sin 1tan 145ααααααααα---=-====-+++.……4分 （2）由（1）知，2cos sin 0αα-=，且22cos sin 1αα+=，π(0)2α∈，，π(0)2β∈，，则sin α=，cos α= ……6分 由π(0)2α∈，，π(0)2β∈，得，ππ()22αβ-∈-，.因sin()αβ-，则cos()αβ-= ……9分 则sin sin[()]sin cos()cos sin()βααβααβααβ=--=---==……12分 因π(0)2β∈，，则π4β=. ……14分【思路点睛】在求角的某个三角函数值时，应注意根据条件选择恰当的函数，尽量做到所选函数在确定角的范围内为一对一函数。

绝密★启封前2020江苏省高考压轴卷数 学一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．已知集合{|02}A x x =<<，{|1}B x x =>，则A B =______2．已知复数(1)(2),z i i =+-则｜z ｜＝ ．3．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为______.4．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为____．5．在平面直角坐标亲xOy 中，若双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的离心率为32，则该双曲线的渐近线方程为______.6．某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为__________．7．已知点P 在抛物线28y x =上运动，F 为抛物线的焦点，点A 的坐标为(5,2)，则PA PF +的最小值是______．8．已知,αβ都是锐角，45sin ,cos()513ααβ=+=，则sin β=_____ 9．在体积为9的斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，S 是C 1C 上的一点，S —ABC 的体积为2，则三棱锥S —A 1B 1C 1的体积为___．10．在等差数列{}n a 中，912162a a =+，则数列{}n a 的前11项和11S =____________. 11．三棱锥P ABC -中，已知PA ⊥平面ABC ，ABC 是边长为2的正三角形，E 为PC 的中点，若直线AE 与平面PBC所成角的正弦值为7，则PA 的长为_____. 12．如图，在四边形ABCD 中，1AB CD ==，点,M N 分别是边,AD BC 的中点，延长BA 和CD 交NM 的延长线于不同．．的两点,P Q ，则·()PQ AB DC -的值为_________．13．已知函数()ln ,11,12x x f x xx ≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩，若()()()1F x f f x m =++有两个零点12,x x ，则12x x 的取值范围______.14．在ABC 中，记角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，面积为S ，则22Sa bc+的最大值为______.二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2A π≠，sin 26cos sin b A A B =.（1）求a 的值；（2）若3A π=，求ABC ∆周长的取值范围.16．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，BC AC ⊥，D ,E 分别是AB ,AC 的中点．（1）求证：11B C ∥平面1A DE；（2）求证：平面1A DE ⊥平面11ACC A ．17．如图所示，为美化环境，拟在四边形ABCD 空地上修建两条道路EA 和ED ，将四边形分成三个区域，种植不同品种的花草，其中点E 在边BC 的三等分点处（靠近B 点），3BC =百米，BC CD ⊥，120ABC ∠=，EA =60AED ∠=.（1）求ABE △区域的面积；（2）为便于花草种植，现拟过C 点铺设一条水管CH 至道路ED 上，求水管CH 最短时的长．18．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，点P是椭圆C 上的一个动点，且12PF F ∆. （1）求椭圆C 的方程；（2）设斜率不为零的直线2PF 与椭圆C 的另一个交点为Q ，且PQ 的垂直平分线交y 轴于点1(0,)8T ，求直线PQ 的斜率.19．已知数列{}n a 的前n 项和记为n A ，且()12n n n a a A +=，数列{}n b 是公比为q 的等比数列，它的前n 项和记为n B .若110a b =≠，且存在不小于3的正整数k ，m ，使得k m a b =. （1）若11a =，35a =，求2a 的值； （2）求证：数列{}n a 是等差数列； （3）若2q，是否存在整数m ，k ，使得86k m A B =，若存在，求出m ，k 的值；若不存在，请说明理由.20．已知()22ln 12x f x x x a-=--+，0a >.（1）当2a =时，求函数()f x 图象在1x =处的切线方程；（2）若对任意[)1,x ∈+∞，不等式()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围； （3）若()f x 存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求a 的取值范围.数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A，B，C三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修42：矩阵与变换)求椭圆22:1164x yC+=在矩阵1412A⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下所得曲线C'的方程.B. (选修44：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为3242x cosy sinθθ=+⎧⎨=+⎩，（θ为参数），以原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣2，0），B（0，﹣2），M是曲线C上任意一点，求△ABM面积的最小值．C. (选修45：不等式选讲)已知x，y，z均为正数，且1113112x y y z++≤+++，求证：4910x y z++≥.【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22．厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品．（1）若厂家库房中（视为数量足够多）的每件产品合格的概率为0.7，从中任意取出3件进行检验，求至少有2件是合格品的概率；（2）若厂家发给商家20件产品，其中有4不合格，按合同规定商家从这20件产品中任取2件，都进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收．求该商家可能检验出的不合格产品的件数ξ的分布列，并求该商家拒收这批产品的概率．23．已知数列{}n a 满足123*12323,N 2222n n n n n nn n C C C C a m n ++++=++++⋯+∈，其中m 为常数，24a =. （1）求1, m a 的值（2）猜想数列{}n a 的通项公式，并证明.参考答案及解析1.【答案】{|12}x x << 【解析】因为集合{|02}A x x =<<，{|1}B x x =>， 所以{|12}AB x x =<<.故答案为：{|12}x x <<2．【解析】12z i i =+-==3．【答案】8【解析】设样本容量为N ，则306,14,70N N ⨯== 高二所抽人数为4014870⨯=. 故答案为：8 4．【答案】205【解析】模拟程序语言，运行过程，可得1I =, 满足条件100I <，执行循环体3,9I S ==； 满足条件100I <，执行循环体5,13I S ==；满足条件100I <，执行循环体99,201I S ==；满足条件100I <，执行循环体101,21013205I S ==⨯+=， 此时，不满足条件100I <，退出循环，输出S 的值为205， 故答案为205.5．【答案】y x = 【解析】由已知可知离心率32c e a ==，2222294c a b a a +==，即2254b a =.∵双曲线22221x y a b-=的焦点在x 轴上∴该双曲线的渐近线方程为b y x a =±，即2y x =±.故答案为：y =. 6．【答案】14【解析】由题意，三名学生各自随机选择两个食堂中的一个用餐的情况共有2228⨯⨯=（种），其中他们在同一个食堂用餐的情况有2种，根据古典概型概率的计算公式得，所求概率为2184=. 7．【答案】7【解析】PA PF +55272A L Pd -≥=+=+= 8．【答案】1665【解析】∵,αβ都是锐角，∴(0,)αβπ+∈， 又45sin ,cos()513ααβ=+=， ∴3cos 5α=，12sin()13αβ+=， ∴sin sin[()]sin()cos cos()sin βαβααβααβα=+-=+-+123541613513565=⨯-⨯=． 故答案为1665． 9．【答案】1【解析】设三棱柱111ABC A B C -的底面积为'S ，高为h ，则9'9'S h S h==，， 再设S 到底面ABC 的距离为'h ，则1''23S h =，得19'23h h⋅⋅=， 所以'23h h =， 则S 到上底面111A B C 的距离为13h ， 所以三棱锥111S A B C -的体积为111'91339S h ⋅=⋅=． 故答案为1． 10．【答案】132【解析】 由a 912=a 12+6，得2a 9﹣a 12＝12， 即2a 1+16d ﹣a 1﹣11d ＝12，∴a 1+5d ＝12，a 6＝12． 则S 11＝11a 6＝11×12＝132． 故答案为：13211．【答案】2【解析】设F 是BC 的中点，连接sin cos 210k k ρθρθ-+-=，PA ⊥平面ABC ，PA BC ∴⊥， ABC ∆为正三角形，BC AF ∴⊥，BC ∴⊥平面PAF ，在平面PAF 内作AH PF ⊥，则BC AH ⊥，AH ∴⊥平面PBC ，连接EH ，则AEH ∠是AE 与平面PBC 所成的角， 设PA m =，在直角三角形PAF 中，AH PF PA AF ⋅=⋅，求得PA AF AH PF ⋅==，12AE PC == AE ∵平面PBC所成的角的正弦值为7，sin 7AH AEH AE ∴∠===,解得2m =或m =，即PA 的长为2212．【答案】0【解析】如图，连AC ，取AC 的中点E ，连ME ，NE ，则,ME NE 分别为,ADC CAB ∆∆的中位线，所以11,22EN AB ME DC ==, 所以1()2MN ME EN DC AB =+=+．由PQ 与MN 共线， 所以()PQ MN R λλ=∈，故()()()()2PQ AB DC MN AB DC AB DC ABDC λλ⋅-=⋅-=+⋅-22()02AB DC λ=-=．答案：013．【答案】(),e -∞【解析】当1x ≥时,()ln 0f x x =≥, ()11f x ∴+≥, [()1]ln(()1)f f x f x ∴+=+,当131()1()1[()1]ln(()1)222x x f x f x f f x f x <=->+>+=+，，，, 综上可知：()()()1ln(()1)0F x f f x m f x m =++=++=,则()1mf x e-+=，()1mf x e-=-有两个根1x ，2x ,(不妨设)12x x <,当1x ≥时,2ln 1mx e -=-，当1x <时,1112m x e --=-, 令112mt e-=->,则2ln x t =，2t x e =，112x t -=，122x t =-，12(22)t x x e t ∴=-，12t >, 设()(22)tg t e t =-，12t >, 所以()2tg t te '=-, 1,()02t g t '⎛⎫∈+∞< ⎪⎝⎭，，函数()g t 单调递减, 1()2g t g ⎛⎫∴<=⎪⎝⎭()g x ∴的值域为(-∞, 12x x ∴取值范围为(-∞,故答案为：(-∞.14．【解析】因为22S a bc +2211222222bcsinAsinA b c b c bccosA bc cosA c b==⨯+-+++- 142sinA cosA ≤-⨯-(当且仅当b c =时取得等号)令,sinA y cosA x ==， 故22S a bc +142y x ≤-⨯-，因为221x y +=，且0y >，故可得点(),x y 表示的平面区域是半圆弧上的点，如下图所示：目标函数2yz x =-，表示圆弧上一点到点()2,0A 点的斜率，数形结合可知，当且仅当目标函数过点12H ⎛ ⎝⎭，即60A =︒时，取得最小值故可得[2y z x =∈-，又22S a bc +142y x ≤-⨯-，故可得22S a bc +14≤-⨯=. 当且仅当60,A b c =︒=，也即三角形为等边三角形时，取得最大值.. 15．【答案】（1）3；（2）(]6,9.【解析】（1）由sin 26cos sin b A A B =及二倍角公式得sin 3sin b A B =， 又sin sin a bA B=即sin sin b A a B =，所以3a =；（2）由正弦定理得sin sin a B b B A ==，sin sin a Cc C A==ABC ∆周长：233sin()3a b c B C B B π++=++=++-33sin 36sin 226B B B π⎫⎛⎫=++=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭， 又因为2(0,)3B π∈，所以1sin (,1]2B ∈.因此ABC ∆周长的取值范围是(]6,9. 16．【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析【解析】证明：（1）因为D ,E 分别是AB ,AC 的中点，所以//DE BC ， ...........2分 又因为在三棱柱111ABC A B C -中，11//B C BC，所以11//B C DE. ...............4分 又11B C ⊄平面1A DE，DE ⊂平面1A DE，所以11B C ∥平面1A DE. ...............6分（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥底面ABC ，又DE ⊂底面ABC ，所以1CC DE⊥. .............8分又BC AC ⊥，//DE BC ，所以DE AC ⊥， ..........10分 又1,CC AC ⊂平面11ACC A ，且1CC AC C=，所以DE ⊥平面11ACC A . ...............12分又DE ⊂平面1A DE，所以平面1A DE ⊥平面11ACC A ． ............14分17．【答案】（1（2）7百米. 【解析】（1）由题知1,120,BE ABC EA =∠==在ABE 中，由余弦定理得2222cos AE AB BE AB BE ABE =+-⋅∠，即2211AB AB =++，所以4AB =百米所以11sin 4122ABESAB BE ABE =⋅⋅∠=⨯⨯=.（2）记AEB α∠=，在ABE 中，sin sin AB AE ABEα=∠，即4sin α=，所以sin 7αα===， 当CH DE ⊥时，水管CH 最短，在Rt ECH 中，2π2π2πsin 2sin 2sin cos 2cos sin 333CH CE HEC ααα⎛⎫=∠=-=-⎪⎝⎭=7百米. 18．【答案】（1）22143x y +=（2）12或32【解析】 (1)因为椭圆离心率为12，当P 为C 的短轴顶点时，12PF F △所以22212122c a a b c c b ⎧=⎪⎪=+⎨⎪⎪⨯⨯=⎩，所以21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩C 的方程为:22143x y +=.（2）设直线PQ 的方程为()1y k x =-，当0k ≠时，()1y k x =-代入22143x y +=，得:()22223484120k x k x k +-+-=.设()()1122,,,P x y Q x y ，线段PQ 的中点为()00,N x y ，212024234x x k x k +==+，()1200231234y y k y k x k +-==-=+ 即22243,3434k k N k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭因为TN PQ ⊥，则1TN PQ k k ⋅=-，所以222314381443k k k k k --+⋅=-+，化简得24830k k -+=，解得12k =或32k ，即直线PQ 的斜率为12或32.19．【答案】（1）23a =（2）见解析（3）存在8,340m k ==满足题意。

江苏省2020年高考数学压轴卷（含解析）注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求1．本试卷共4页，包含填空题（第1题～第14题）、解析题（第15题～第20题）．本卷满分为160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上指定位置作答，在其它位置作答一律无效．4．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．参考公式：球体的体积公式：V＝334Rπ，其中为球体的半径．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．全集12{}345U＝，，，，，集合134{}}35{A B＝，，，＝，，则UA B⋂（）ð═．2．已知i是虚数单位，若12i a i a R+∈（﹣)(）＝，，则a＝．3．我国古代数学算经十书之一的《九章算术》一哀分问题：今有北乡八千一百人，西乡九千人，南乡五千四百人，凡三乡，发役五百，意思是用分层抽样的方法从这三个乡中抽出500人服役，则北乡比南乡多抽人．4．如图是一个算法的流程图，则输出y的取值范围是．5．已知函数22353log(1)3x xf xx x-⎧-<⎨-+≥⎩（）＝，若f（m）＝﹣6，则f（m﹣61）＝．6．已知f （x ）＝sin （x ﹣1），若p ∈{1，3，5，7}，则f （p ）≤0的概率为 ． 7．已知函数f （x ）＝2sin （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜2π）的部分图象如图所示，则f （76π）的值为 ．8．已知A ，B 分别是双曲线2212x y C m ：-＝的左、右顶点，P （3，4）为C 上一点，则△PAB 的外接圆的标准方程为 ．9．已知f （x ）是R 上的偶函数，且当x ≥0时，f （x ）＝|x 2﹣3x |，则不等式f （x ﹣2）≤2的解集为 ．10．若函数f （x ）＝a 1nx ，（a ∈R ）与函数g （x ）＝x ，在公共点处有共同的切线，则实数a 的值为 ．11．设A ，B 在圆x 2+y 2＝4上运动，且23AB ＝，点P 在直线3x +4y ﹣15＝0上运动．则|PA PB |+u u u r u u u r的最小值是 ．12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝23π，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，BD ＝1，则a +c 的最小值为 ．13．如图，点D 为△ABC 的边BC 上一点，2BD DC =u u u r u u u r，E n （n ∈N ）为AC 上一列点，且满足：11414n n n n n E A E D E a B a +=+u u u u r u u u u ru u u u r （﹣）﹣5，其中实数列{a n }满足4a n ﹣1≠0，且a 1＝2，则111a -+211a -+311a -+…+11n a -＝ ．14．已知函数2910(1)e ,023xx x f x x x ⎧++<⎪⎨⎪-≥⎩（）＝+6,x 0，其中e 是自然对数的底数．若集合{x ∈Z|x（f （x ）﹣m ）≥0}中有且仅有4个元素，则整数m 的个数为 ．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解析应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内）15．(本小题满分14分) 如图，在直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，已知点M 为棱BC 上异于B ，C 的一点．（1）若M 为BC 中点，求证：A 1C ∥平面AB 1M ； （2）若平面AB 1M ⊥平面BB 1C 1C ，求证：AM ⊥BC ．16.（本小题满分14分）已知12(,),(0,cos(),.2273πππαπβαβαβ∈∈-=+=), （1）求22sin αβ（﹣）的值； （2）求cos α的值．17．(本小题满分14分) 学校拟在一块三角形边角地上建外籍教室和留学生公寓楼，如图，已知△ABC 中，∠C ＝2π，∠CBA ＝θ，BC ＝a ．在它的内接正方形DEFG 中建房，其余部分绿化，假设△ABC 的面积为S ，正方形DEFG 的面积为T ． （1）用a ，θ表示S 和T ； （2）设f （θ）＝TS，试求f （θ）的最大值P ；18.(本小题满分16分) 已知椭圆22221x y C a b：+＝0a b （＞＞）的离心率为22，短轴长为22（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）如图，经过椭圆左项点A 且斜率为k （k ≠0）直线l 与C 交于A ，B 两点，交y 轴于点E ，点P 为线段AB 的中点，若点E 关于x 轴的对称点为H ，过点E 作与OP （O 为坐标原点）垂直的直线交直线AH 于点M ，且△APM 面积为23，求k 的值．19．(本小题满分16分) 已知函数()212ln 2f x x x ax a R =+-∈，． （1）当3a =时，求函数()f x 的极值；（2）设函数()f x 在0x x =处的切线方程为()y g x =，若函数()()y f x g x =-是()0+∞，上的单调增函数，求0x 的值；（3）是否存在一条直线与函数()y f x =的图象相切于两个不同的点？并说明理由． 20．(本小题满分16分) 已知集合A ＝a 1，a 2，a 3，…，a n ，其中a i ∈R （1≤i ≤n ，n ＞2），l （A ）表示和a i +a j （1≤i ＜j ≤n ）中所有不同值的个数．（Ⅰ）设集合P ＝2，4，6，8，Q ＝2，4，8，16，分别求l （P ）和l （Q ）； （Ⅱ）若集合A ＝2，4，8， (2)，求证：(1)()2n n l A -=； （Ⅲ）l A （）是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由？ 数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．请在答题卡．．．指定区域内．．．．．作答．解析应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修4—1：几何证明选讲如图，已知AB为半圆O的直径，点C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过点B作BD CD⊥于点D. 求证：2BC BA BD=⋅．B．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵=a bMc d⎡⎤⎢⎥⎣⎦，10=12N⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦，且()11402MN-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦，求矩阵M．C．选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为2{2x ty t==--（t为参数）．在极坐标系中（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，极轴与x轴的非负半轴重合），圆C的方程为42cos4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，求直线l被圆C截得的弦长．D．选修4—5：不等式选讲已知正实数x y z、、，满足3x y z xyz++=，求xy yz xz++的最小值．注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共2页，均为非选择题（第21~23题）。

2020年江苏省高考压轴卷一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．已知集合{|02}A x x =<<，{|1}B x x =>，则A B =______2．已知复数(1)(2),z i i =+-则｜z ｜＝ ．3．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为______.4．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为____．5．在平面直角坐标亲xOy 中，若双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的离心率为32，则该双曲线的渐近线方程为______.6．某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为__________．7．已知点P 在抛物线28y x =上运动，F 为抛物线的焦点，点A 的坐标为(5,2)，则PA PF +的最小值是______．8．已知,αβ都是锐角，45sin ,cos()513ααβ=+=，则sin β=_____ 9．在体积为9的斜三棱柱ABC—A 1B 1C 1中，S 是C 1C 上的一点，S—ABC 的体积为2，则三棱锥S—A 1B 1C 1的体积为___．10．在等差数列{}n a 中，912162a a =+，则数列{}n a 的前11项和11S =____________.11．三棱锥P ABC -中，已知PA ⊥平面ABC ，ABC 是边长为2的正三角形，E 为PC 的中点，若直线AE 与平面PBC，则PA 的长为_____. 12．如图，在四边形ABCD 中，1AB CD ==，点,M N 分别是边,AD BC 的中点，延长BA 和CD 交NM 的延长线于不同．．的两点,P Q ，则·()PQ AB DC -的值为_________．13．已知函数()ln ,11,12x x f x xx ≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩，若()()()1F x f f x m =++有两个零点12,x x ，则12x x 的取值范围______. 14．在ABC 中，记角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，面积为S ，则22Sa bc+的最大值为______.二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2A π≠，sin26cos sin b A A B =.（1）求a 的值； （2）若3A π=，求ABC ∆周长的取值范围.16．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，BC AC ⊥，D ,E 分别是AB ,AC 的中点．（1）求证：11B C ∥平面1A DE；（2）求证：平面1A DE 平面11ACC A ．17．如图所示，为美化环境，拟在四边形ABCD 空地上修建两条道路EA 和ED ，将四边形分成三个区域，种植不同品种的花草，其中点E 在边BC 的三等分点处（靠近B 点），3BC =百米，BC CD ⊥，120ABC ∠=，EA =60AED ∠=.（1）求ABE △区域的面积；（2）为便于花草种植，现拟过C 点铺设一条水管CH 至道路ED 上，求水管CH 最短时的长．18．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，点P是椭圆C 上的一个动点，且12PF F ∆. （1）求椭圆C 的方程；（2）设斜率不为零的直线2PF 与椭圆C 的另一个交点为Q ，且PQ 的垂直平分线交y 轴于点1(0,)8T ，求直线PQ 的斜率.19．已知数列{}n a 的前n 项和记为n A ，且()12n n n a a A +=，数列{}n b 是公比为q 的等比数列，它的前n 项和记为n B .若110a b =≠，且存在不小于3的正整数k ，m ，使得k m a b =.（1）若11a =，35a =，求2a 的值； （2）求证：数列{}n a 是等差数列； （3）若2q，是否存在整数m ，k ，使得86k m A B =，若存在，求出m ，k 的值；若不存在，请说明理由.20．已知()22ln 12x f x x x a-=--+，0a >.（1）当2a =时，求函数()f x 图象在1x =处的切线方程；（2）若对任意[)1,x ∈+∞，不等式()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围；（3）若()f x 存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求a 的取值范围.——★ 参 考 答 案 ★——1.『答案』{|12}x x <<『解析』因为集合{|02}A x x =<<，{|1}B x x =>，所以{|12}AB x x =<<.故『答案』为：{|12}x x <<2．『解析』12z i i =+-==3．『答案』8『解析』设样本容量为N ，则306,14,70N N ⨯== 高二所抽人数为4014870⨯=. 故『答案』为：8 4．『答案』205『解析』模拟程序语言，运行过程，可得1I =, 满足条件100I <，执行循环体3,9I S ==； 满足条件100I <，执行循环体5,13I S ==；满足条件100I <，执行循环体99,201I S ==；满足条件100I <，执行循环体101,21013205I S ==⨯+=， 此时，不满足条件100I <，退出循环，输出S 的值为205， 故『答案』为205.5．『答案』y x = 『解析』由已知可知离心率32c e a ==，2222294c a b a a +==，即2254b a =. ∵双曲线22221x y a b-=的焦点在x 轴上∴该双曲线的渐近线方程为b y x a =±，即y x =.故『答案』为：y x =. 6．『答案』14『解析』由题意，三名学生各自随机选择两个食堂中的一个用餐的情况共有2228⨯⨯=（种），其中他们在同一个食堂用餐的情况有2种，根据古典概型概率的计算公式得，所求概率为2184=. 7．『答案』7『解析』PA PF +55272A L Pd -≥=+=+= 8．『答案』1665『解析』∵,αβ都是锐角，∴(0,)αβπ+∈， 又45sin ,cos()513ααβ=+=， ∴3cos 5α=，12sin()13αβ+=， ∴sin sin[()]sin()cos cos()sin βαβααβααβα=+-=+-+123541613513565=⨯-⨯=． 故『答案』为1665． 9．『答案』1『解析』设三棱柱111ABC A B C -的底面积为'S ，高为h ， 则9'9'S h S h==，， 再设S 到底面ABC 的距离为'h ，则1''23S h =，得19'23h h⋅⋅=，所以'23h h =， 则S 到上底面111A B C 的距离为13h ， 所以三棱锥111S A B C -的体积为111'91339S h ⋅=⋅=． 故『答案』为1． 10．『答案』132『解析』由a 912=a 12+6，得2a 9﹣a 12＝12， 即2a 1+16d ﹣a 1﹣11d ＝12，∴a 1+5d ＝12，a 6＝12． 则S 11＝11a 6＝11×12＝132． 故『答案』为：13211．『答案』2『解析』设F 是BC 的中点，连接sin cos 210k k ρθρθ-+-=，PA ⊥平面ABC ，PA BC ∴⊥，ABC ∆为正三角形，BC AF ∴⊥，BC ∴⊥平面PAF ，在平面PAF 内作AH PF ⊥， 则BC AH ⊥，AH ∴⊥平面PBC ，连接EH ，则AEH ∠是AE 与平面PBC 所成的角， 设PA m =，在直角三角形PAF 中，AH PF PA AF ⋅=⋅，求得PA AF AH PF ⋅==，12AE PC == AE ∵平面PBC，sin AH AEH AE ∴∠===,解得2m =或m =，即PA 的长为2『答案』为2. 12．『答案』0『解析』如图，连AC ，取AC 的中点E ，连ME ，NE ，则,ME NE 分别为,ADC CAB ∆∆的中位线，所以11,22EN AB ME DC ==, 所以1()2MN ME EN DC AB =+=+．由PQ 与MN 共线， 所以()PQ MN R λλ=∈，故()()()()2PQ AB DC MN AB DC AB DC AB DC λλ⋅-=⋅-=+⋅-22()02AB DC λ=-=．『答案』013．『答案』(-∞『解析』当1x ≥时,()ln 0f x x =≥, ()11f x ∴+≥, [()1]ln(()1)f f x f x ∴+=+,当131()1()1[()1]ln(()1)222x x f x f x f f x f x <=->+>+=+，，，, 综上可知：()()()1ln(()1)0F x f f x m f x m =++=++=,则()1mf x e-+=，()1mf x e-=-有两个根1x ，2x ,(不妨设)12x x <,当1x ≥时,2ln 1mx e -=-，当1x <时,1112m x e --=-, 令112mt e-=->,则2ln x t =，2t x e =，112x t -=，122x t =-，12(22)t x x e t ∴=-，12t >, 设()(22)tg t e t =-，12t >, 所以()2t g t te '=-, 1,()02t g t '⎛⎫∈+∞< ⎪⎝⎭，，函数()g t 单调递减,1()2g t g ⎛⎫∴<=⎪⎝⎭()g x ∴的值域为(-∞, 12x x ∴取值范围为(-∞,故『答案』为：(-∞.14．『答案』『解析』因为22Sa bc +2211222222bcsinAsinA b c b c bccosA bc cosAc b==⨯+-+++- 142sinA cosA ≤-⨯-(当且仅当b c =时取得等号)令,sinA y cosA x ==， 故22S a bc +142y x ≤-⨯-，因为221x y +=，且0y >， 故可得点(),x y 表示的平面区域是半圆弧上的点，如下图所示：目标函数2yz x =-，表示圆弧上一点到点()2,0A 点的斜率，数形结合可知，当且仅当目标函数过点12H ⎛ ⎝⎭，即60A =︒时，取得最小值故可得[2y z x =∈-，又22S a bc +142y x ≤-⨯-，故可得22S a bc +14≤-⨯=. 当且仅当60,A b c =︒=，也即三角形为等边三角形时，取得最大值.故『答案』为：12. 15．『答案』（1）3；（2）(]6,9. 『解析』（1）由sin26cos sin b A A B =及二倍角公式得sin 3sin b A B =， 又sin sin a bA B=即sin sin b A a B =，所以3a =；（2）由正弦定理得sin sin a B b B A ==，sin sin a Cc C A==ABC ∆周长：233sin()3a b c B C B B π++=++=++-33sin 36sin 26B B B π⎫⎛⎫=++=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭， 又因为2(0,)3B π∈，所以1sin (,1]2B ∈. 因此ABC ∆周长的取值范围是(]6,9.16．『答案』（Ⅰ）详见『解析』（Ⅱ）详见『解析』『解析』证明：（1）因为D ,E 分别是AB ,AC 的中点，所以//DE BC ， ...........2分 又因为在三棱柱111ABC A B C -中，11//B C BC，所以11//B C DE. ...............4分 又11B C ⊄平面1A DE，DE ⊂平面1A DE，所以11B C ∥平面1A DE. ...............6分（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥底面ABC ，又DE ⊂底面ABC ，所以1CC DE⊥. .............8分又BC AC ⊥，//DE BC ，所以DE AC ⊥， ..........10分又1,CC AC ⊂平面11ACC A ，且1CC AC C=，所以DE ⊥平面11ACC A . ...............12分又DE ⊂平面1A DE，所以平面1A DE ⊥平面11ACC A ． ............14分17．『答案』（1（2）7百米. 『解析』（1）由题知1,120,BE ABC EA =∠==在ABE 中，由余弦定理得2222cos AE AB BE AB BE ABE =+-⋅∠，即2211AB AB =++，所以4AB =百米所以11sin 41222ABESAB BE ABE =⋅⋅∠=⨯⨯⨯=.（2）记AEB α∠=，在ABE 中，sin sin AB AE ABEα=∠，即4sin α=，所以sin αα===， 当CHDE ⊥时，水管CH 最短，在Rt ECH中，2π2π2πsin2sin2sin cos2cos sin333CH CE HECααα⎛⎫=∠=-=-⎪⎝⎭= .18．『答案』（1）22143x y+=（2）12或32『解析』(1)因为椭圆离心率为12，当P为C的短轴顶点时，12PF F△.所以22212122caa b cc b⎧=⎪⎪=+⎨⎪⎪⨯⨯=⎩，所以21abc=⎧⎪=⎨⎪=⎩C的方程为:22143x y+=.（2）设直线PQ的方程为()1y k x=-，当0k≠时，()1y k x=-代入22143x y+=，得:()22223484120k x k x k+-+-=.设()()1122,,,P x y Q x y，线段PQ的中点为()00,N x y，212024234x x kxk+==+，()1200231234y y ky k xk+-==-=+即22243,3434k kNk k⎛⎫-⎪++⎝⎭因为TN PQ⊥，则1TN PQk k⋅=-，所以222314381443kk kkk--+⋅=-+，化简得24830k k-+=，解得12k=或32k，即直线PQ的斜率为12或32.19．『答案』（1）23a=（2）见『解析』（3）存在8,340m k==满足题意。

绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，均为非选择题(第1题~第20题，共20题)。

本卷满分为160分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.参考公式：柱体的体积V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．． 1.已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则A B =_____.2.已知i 是虚数单位，则复数(1i)(2i)z =+-的实部是_____.3.已知一组数据4,2,3,5,6a a -的平均数为4，则a 的值是_____.4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____.5.如图是一个算法流程图，若输出y 的值为2-，则输入x 的值是_____.6.在平面直角坐标系xOy中，若双曲线22x a ﹣25y =1(a ＞0)的一条渐近线方程为y=52x ，则该双曲线的离心率是____.7.已知y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，()23 f x x = ，则f (-8)的值是____.8.已知2sin ()4πα+ =23，则sin 2α的值是____. 9.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm ，高为2 cm ，内孔半轻为0.5 cm ，则此六角螺帽毛坯的体积是____cm.10.将函数y =πsin(2)43x ﹢的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是____.11.设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列．已知数列{a n +b n }的前n 项和221()n n S n n n +=-+-∈N ，则d +q 的值是_______．12.已知22451(,)x y y x y R +=∈，则22x y +的最小值是_______．13.在△ABC 中，43=90AB AC BAC ==︒，，∠，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP =9，若3()2PA mPB m PC =+-（m 为常数），则CD 的长度是________．14.在平面直角坐标系xOy 中，已知3(0)P ，A ，B 是圆C ：221()362x y +-=上的两个动点，满足PA PB =，则△PAB 面积的最大值是__________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，B 1C ⊥平面ABC ，E ，F 分别是AC ，B 1C 的中点．（1）求证：EF∥平面AB1C1；（2）求证：平面AB1C⊥平面ABB1．16.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3,2,45a c B===︒．（1）求sin C的值；（2）在边BC上取一点D，使得4cos5ADC∠=-，求tan DAC∠的值．17.某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O 在水平线MN 上、桥AB 与MN 平行，OO '为铅垂线(O '在AB 上).经测量，左侧曲线AO 上任一点D 到MN 的距离1h (米)与D 到OO '的距离a (米)之间满足关系式21140h a =；右侧曲线BO 上任一点F 到MN 的距离2h (米)与F 到OO '的距离b (米)之间满足关系式3216800h b b =-+.已知点B 到OO '的距离为40米.（1）求桥AB 的长度；（2）计划在谷底两侧建造平行于OO '的桥墩CD 和EF ，且CE 为80米，其中C ，E 在AB 上(不包括端点).桥墩EF 每米造价k (万元)、桥墩CD 每米造价32k (万元)(k >0).问O E '为多少米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低?18.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求△AF 1F 2的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅的最小值；（3）设点M 在椭圆E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为S 1，S 2，若S 2=3S 1，求点M 的坐标．19.已知关于x 的函数(),()y f x y g x ==与()(,)h x kx b k b =+∈R 在区间D 上恒有()()()f x h x g x ≥≥．（1）若()()222 2()f x x x g x x x D =+=-+=∞-∞+，，，，求h (x )的表达式； （2）若2 1 ln ,()()()(0) x x g k x h kx k D f x x x =-+==-=+∞，，，，求k 的取值范围；（3）若()422242() 2() (48 () 4 3 02 f x x x g x x h x t t x t t t =-=-=--+<，，，[] , D m n =⊆⎡⎣，求证：n m -20.已知数列{}*()∈n a n N 的首项a 1=1，前n 项和为S n ．设λ与k 是常数，若对一切正整数n ，均有11111k k kn n n S S a λ++-=成立，则称此数列为“λ–k ”数列． （1）若等差数列{}n a 是“λ–1”数列，求λ的值；（2）若数列{}n a 2”数列，且a n ＞0，求数列{}n a 的通项公式；（3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列{}n a 为“λ–3”数列，且a n ≥0?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由，数学Ⅱ(附加题)【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4-2：矩阵与变换]21.平面上点(2,1)A -在矩阵11a b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M 对应的变换作用下得到点(3,4)B -． （1）求实数a ，b 的值；（2）求矩阵M 的逆矩阵1M -．B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在极坐标系中，已知点1π(,)3A ρ在直线:cos 2l ρθ=上，点2π(,)6B ρ在圆:4sinC ρθ=上（其中0ρ≥，02θπ≤<）． （1）求1ρ，2ρ的值（2）求出直线l 与圆C 的公共点的极坐标．C ．[选修4-5：不等式选讲]23.设x ∈R ，解不等式2|1|||4x x ++≤．【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24.在三棱锥A—BCD中，已知CB=CD=5,BD=2，O为BD的中点，AO⊥平面BCD，AO=2，E为AC的中点．（1）求直线AB与DE所成角的余弦值；（2）若点F在BC上，满足BF=14BC，设二面角F—DE—C的大小为θ，求sinθ的值．25.甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X n，恰有2个黑球的概率为p n，恰有1个黑球的概率为q n．（1）求p1·q1和p2·q2；（2）求2p n+q n与2p n-1+q n-1的递推关系式和X n的数学期望E(X n)(用n表示) ．绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，均为非选择题(第1题~第20题，共20题)。