相似三角形（模型-辅助线）
一、本章概述
相似作为几何学习的一个重要内容，大量的出现在中考试卷中，它与勾股定理和锐角三角形函数并列为初中几何计算三大工具。
本章重点讲解相似的几个模型，如A字形，8字形，一线三等角等模型。
二、知识回顾
1、图形的相似
（1）相似图形：形状相同的图形叫做相似图形
（2）相似多边形：对应角相等，对应边的比相等。
相似多边形对应边的比为相似比。
2.相似三角形
（3）平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等。
（4）相似三角形的判定
①预备定理：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段的比相等。
②判定定理：
平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
③传递性定理：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，
那么这两个三角形相似。
（5）相似三角形的性质
①相似三角形的对应角相等，对应边成比例
②相似三角形的周长的比等于相似比；对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方。
3.位似
（6）多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。
（7）在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k。
1.相似基本模型
一、本节概述
本节重点讲解“A”字形和“8”字形的应用和构造方法，这两个模型是相似三角形中最为基础的两个模型，但应用十分广泛。
1.“A”字形相似
2. ”8”字形相似
二、典例精析
能力目标：
1.熟练掌握正A型相似和正8型相似模型：
2.借助平行线构造正A型相似和正8型相似模型解决相关问题。
【例1】已知：图下图，AD
（1）若E为AD的中点，射线CE交AB于F，则
（2）若E为AD上一点，且,射线CE交AB于F，则
思维探究：
方法一：
通过平行线构造相似
解：过A点作AP//BC交CF于点P,
“8”字模型APCD
方法二：过A作AH//CF交BC延长线于H，则
方法三：作DK//CF交AB于K,
则
方法四：作DM//AB交CF于M，则AF=DM,
( 2 ) 构造平行线，通过线段比解决问题
作BP//AD交CF于点P,
大家可尝试过其他点作平行线，解答中用了A点和D点，其它的同学们自己尝试。
【例2】如图，BD、CE为△ABC的高，求证：∠AED=∠ACB.
思路分析：求证相等的两角，在如图所示的了两个三角形中，符合“斜A”相似模型，只要证明它们相似即可，且证明它们相似只能用边的比例关系，而边的比例关系可以通过另一对相似三角形得到。
思维探究：
通过相似求出比例关系
证明：
通过“斜”A相似证明等角。
方法总结：
通过相似证明等角是证明等角的一种常用方法，当发现“斜A”相似模型后，首先要想到利用相似证明等角。
【例3】已知：如图,在O中,CD过圆心O,且CD⊥AB,垂足为D,过点C任作一弦CF交O于F,交AB于E. 求证：CB2=CF⋅CE.
思路分析：求证的是一条线段的平方等于两条线段的积，结合它们的位置可以考虑构造“似”A相似模型。
思维探究：
连接FB构造“似A即可，需要找到一组
等角。
证明：连接BF、AC,
通过垂经定理、圆周角定理转化条件
证明相似，进而得到结论。
方法总结：本题的关键是对平方关系转化，因此熟练掌握“似A”相似模型很有必要。
三、成果检测
1. 如图,在直角梯形ABCD中,DC∥AB,∠DAB=90,AC⊥BC,AC=BC,∠ABC的平分线分别交AD、AC于点E,F,则的值是( )
A. B. C. D.
答案：
2. 如图，在四边形ABCD中，AB=AD，AC与BD交于点E，∠ADB=∠ACB.
(2)若AB⊥AC，AE:EC=1:2，F是BC中点，求证：四边形ABFD是菱形。
答案：
答案：
5. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90，AC=8，BC=6，CD⊥AB于点D. 点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止。
设运动时间为t秒。
答案：
2.双垂线模型
一、本节概述
本节重点讲解“双垂线模型”的应用和构造方法，记住这个模型的一些常见结论，在解题中会起到很好的效果，
双垂线模型：如图中有两个直角标记，故称之为“双垂线模型”，会得到以下结论：
( 1 )角的关系：
( 2 )
( 3 )射影定理：
( 4 )等积变换：
请尝试证明上述结论
二、典例精析
能力目标：
1.熟练掌握双垂线模型；
2.识别利用、双垂线模型
【例1】如图,已知△ABC中,AD,BF为BC,AC边上的高,过D作AB的垂线交AB 于E,交BF于G,交AC的延长线于H,求证：DE2=EG⋅EH.
思路分析：求证中涉及到的线段，其所在的三角形不能直接得到所求的结论，因此要进行转化，DE恰好在“双垂直”模型中，因此,所求转成
,
思维探究：
通过双垂直模型转化DE。
证明：
利用相似三角形得到比例关系，进而转化为乘积关系。
方法总结：本题利用双垂线转化线段的平法关系，是解题的关键。
【例2】如图四边形ABCD是矩形，AB=2,,求EF与EG的数量关
系。
思路分析：求EF与EG的数量关系，只要将它们放入方程中求出即可，由于AB=2,E是AC中点，因此可以考虑构造中位线，进而出现双垂直模型。
思维探究：
构造中位线。
解：取BC的中点H,连接EH,
四边形ABCD是矩形，
EF与EG的关系，
利用双垂线模型面积关系
整理方程得到关系，
方法总结：本题利用“双垂直”模型的面积关系，当然也可以利用相似关系解决这个问题，留给同学们自己思考。
3.一线三等角
一、本节概述
本节重点讲解“一线三等角”模型的应用和构造方法，这个模型的构造通常出现在综合性较强的压轴题中。
模型一：
如图，若，会得到以下结论：
（1）
（2
请尝试证明上述结论
模型二：
如图是一线三等角的另一种形式，有着类似的结论
我们会发现，其实前面学习的勾股弦图只是一线三等角的一种特殊情况。
二、典例精析
知识点1：一线三等角
能力目标：
1.熟练掌握一线三等角模型
2.识别、利用简单的一线三等角模型解决问题
【例1】如图，AB=4AD=4,点P在边BC(不与B、C点
重合)上移动，且保持则AE的最小值是。
思维探索：
求出相关量
解：
求AE的最小值等价于求CE的最大值，利用函数关系式求最值。
方法总结：本题是非常明显的“一线三等角”模型，直接利用即可。
【例2】在四边形ABCD中，,BC=4,
CD=6,则AC=
思维探究：
由于可尝试构造一线三等角
解：
方法总结：有两个等角时，可尝试构造“一线三等角”
【例3】,D是斜边AB的中点，E是
BC边上一动点，连接DE、AE，当时，求CE的长。
思维探究：
解：
通过“一线三等角”构造相似三角形
利用相似三角形的性质解出所求。
方法总结：本题为知道一角构造“一线三等角”，难度较大。
根据模型二构造一线三等角
【例4AB=AC,D是底边BC上一点，E是线段AD上一点，且
,则DB与DC的数量关系为。
思维探究：
解:
通过“一线三等角”构造全等三角形，
三、成果检测
1. 已知：如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=10,F是AD上一点,CF⊥EF于点F交AB于点E,CD:CF=1:
2.求AE的长。
答案：
2. 如图,AB=4,射线BM和AB互相垂直,点D是AB上的一个动点,点E在射线BM上,2BE=DB,作EF⊥DE并截取EF=DE,连结AF并延长交射线BM于点C. 设BE=x,BC=y,则y关于x的函数解析式是( )
A. B. C. D.
答案：A
3. 如图,在矩形AOBC中,点A的坐标是(−2,1),点C的纵坐标是4,则B. C两点的坐标分别是( )
答案：
过点A作AD⊥x轴于点D,过点B作BE⊥x轴于点E,过点C作CF∥y轴,过点A 作AF∥x轴，交点为F，延长CA交x轴于点H，
4. 如图1,在等腰直角△ABC中,∠BAC=90,AB=AC=2,点E是BC边上一点,∠DEF=45且角的两边分别与边AB，射线CA交于点P，Q.
(1)如图2，若点E为BC中点，将∠DEF绕着点E逆时针旋转，DE与边AB交于点P，EF与CA的延长线交于点Q.设BP为x，CQ为y，试求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)如图3,点E在边BC上沿B到C的方向运动(不与B,C重合)，且DE始终经过点A，EF与边AC交于Q点。
探究：在∠DEF运动过程中，△AEQ能否构成等腰三角形，若能，求出BE的长；若不能，请说明理由。
答案：
如图1,若在四边形ABCD的边AB上任取一点E(点E与点A,B不重合)，分别连
结ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相
似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；如果这三个三角形都
相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点。
解决问题：
(1)如图1,若∠A=∠B=∠DEC=55，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB 上的相似点，并说明理由；
(2)如图2,在矩形ABCD中,AB=5,BC=2,且A,B,C,D四点均在正方形网格(网格中每个小正方形的边长为1)的格点(即每个小正方形的顶点)上，试在图2中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E；
拓展探究：
(3)如图3,将矩形ABCD沿CM折叠,使点D落在AB边上的点E处。
若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点,请直接写出BC：AB的值。
答案：
答案：。
