第十一章 连续时间随机增长模型本章的扩展是在跨时的连续增长模型中引入不确定性，并讨论不确定性下的Ricardian Equivalence 问题。
第一节 一个基本的随机跨时模型1．1 基本框架假定一个有代表性的消费者在(t,t+dt)期间的消费为C(t)dt 。
他的目标是极大化他的终生的期望效用： (11.1) dt C U e E t )(0⎰∞-β 0)(,0)(<''>'C U C U约束条件为随机的积累方程：(11.2) dT iBdt dY dK dB -+=+ 其中B(t)为t 时的实际政府债券；K(t)为t 时的资本存量；dY 为(t,t+dt)期间的产出；dT 为(t,t+dt)期间的税率；i 为t 时债券的实际利率。
初始的债券和资本分别为：00,K B 。
假定产出服从如下的随机过程：(11.3) 0)(,0)(,)()(<''>'+=K F K F dy K H dt K F dY左边的第一项F （K ）是每单位时间的平均产出率。
随机项dy 表示生产率冲击，并假定它是暂时独立、正态分布的，随机过程的期望为0，方差为dt y 2σ。
税收服从如下的随机过程： (11.4) dv dt t T t dT +=)()(其中Tdt 为(t,t+dt)期间的平均税收水平，dv 是随机部分，假定它是暂时独立、正态分布的，随机过程的期望为0，方差为dt v 2σ。
我们把总债券和资本记为： (11.5) K B W +≡ 相应的资产组合比例为 (11.6) WB n W K n ≡-≡1, 因此，把方程(.3) (.4) (.5) (.6)代入方程(.2)，则有代表性消费者的最优化问题可表示为： (11.7) dt C U e E t )(0⎰∞-βs.t.(11.8) dv dy nW H dt t T C W n i nW F dW -+---+=)()]()1()([ 并且 00)0(;)0(W W n n ==为了解这一最优化问题，我们定义价值函数dt C U e E t W V tt )(max ),(⎰∞-=β并定义现值价值函数为 t tt s e t W V ds C U e Et W J ββ),()(max ),()(⎰∞--==为方便起见，我们把财富积累的随机过程表示为 dv dy nW H dv dy K H dw -=-≡)()( 因此有 (11.9)22222v yv y w H H σσσσ+-=由连续随机模型的随机Hamilton-Jacobi-Bellman 方程为： (11.10)⎭⎬⎫⎩⎨⎧+---++=-----t WW w t W t t t e t W J nW e t W J T C W n i nW F e C U e t W J ββββσ),()(21),(])1()([)(max ),(2进一步整理为0)()(21)(])1()([)()(max 2,=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+---++∂∂+-W J nW W J T C W n i nW F t J W J C U WW w W n C σβ则相应的一阶条件为： (11.11) W J C U =')((11.12) 0][])([2=-⋅'+-'WW yv y W J H H J i nW F σσ方程(.11)是通常的一阶最优条件，它表示消费的边际效用等于财富的边际效用。
