重庆南开中学2021年3月份高一数学试卷与答案

2020-2021学年重庆市南开中学高一上学期期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分） 1.设函数y =√x −1的定义域为M ，集合N ={y|y =x 2,x ∈R}，则M ∩N =( )A. ⌀B. NC. (1,+∞)D. M2.已知命题p ：14≤2x ≤12，命题q ：x +1x ∈[−52,−2]，则下列说法正确的是( )A. p 是q 的充要条件B. p 是q 的充分不必要条件C. p 是q 的必要不充分条件D. p 是q 的既不充分也不必要条件3.设f 0(x)=|x|−10，f n (x)=|f n−1(x)|−1(n ∈N ∗)，则函数y =f 20(x)的零点个数为( )A. 19B. 20C. 31D. 224.圆锥的表面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为( )A. 120B. 150C. 180D. 2405.设，，，则的大小关系是( )A.B. C.D.6.已知函数f(x)=sin(2x +φ)(ω>0,|φ|<π2)，将函数y =f(x)的图象向左平移3π8个单位后，得到的图象关于y 轴对称，那么函数y =f(x)的图象( )A. 关于直线x =π8对称 B. 关于点(π8,0)对称 C. 关于直线x =−π16对称D. 关于点(−π16,0)对称7.已知f(x)=ax 3+bx 2+cx 是定义在[a −1,2a]上的奇函数，则a +b =( )A. −13B. 13C. 12D. −128.下列命题正确的是( )A. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，则a >b 是cosA <cosB 的充要条件B. 已知p ：1x+1>0，则¬p ：1x+1≤0C. 命题p ：对任意的x ∈R ，x 2+x +1>0，则¬p ：对任意的x ∈R ，x 2+x +1≤0D. 存在实数x ∈R ，使sinx +cosx =π2成立二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.已知函数f(x)=x a图象经过点(9,3)，则下列结论正确的有()A. f(x)为偶函数B. f(x)为增函数C. 若x>1，则f(x)>1D. 若x1>x2>0，则f(x1+x22)>f(x1)+f(x2)210.函数f(x)=log a|x−1|在(0,1)上是减函数，那么()A. f(x)在(1,+∞)上递增且无最大值B. f(x)在(1,+∞)上递减且无最小值C. f(x)的图象关于直线x=1对称D. ∃a=2020，满足f(x)在(0,1)上是减函数11.设函数f(x)=sin(ωx−π6)(ω>0)，已知f(x)在[0,π]有且仅有3个零点，对于下列4个说法正确的是()A. 在(0,π)上存在x1，x2，满足f(x1)−f(x2)=2B. f(x)在(0,π)有且仅有1个最大值点C. f(x)在(0,π2)单调递增D. ω的取值范围是[136,19 6)12.关于函数f(x)=|ln|2−x||，下列描述正确的有()A. 函数f(x)在区间(1,2)上单调递增B. 函数f(x)的图象关于直线x=2对称C. 若x1≠x2，但f(x1)=f(x2)，则x1+x2=4D. 方程f(x)=0有且仅有两个不同的实数根三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.幂函数f(x)图象过点A(2,√2)，则f(4)的值为______ ．14.设x，y∈R+，且满足4x+y=40，则lgx+lgy的最大值是______ ．15.若x=π6是函数f(x)=3sin2x+acos2x的一条对称轴，则函数f(x)的最大值是______．16.若对任意的x∈[1,4]，关于x的不等式|x2−ax+4|≤2x恒成立，则实数a的取值范围是______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.设函数f(x)=sinxcos(x+π3)+√34，x∈R．(1)设α,β∈[0,π2]，f(α2+π12)=526,f(β2−5π12)=−310，求sin(α−β)的值．(2)△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列；且a+c=6，f(B2)=√34，求△ABC的面积．18.2016年，某厂计划生产某种产品，已知生产该产品的总成本y(万元)与总产量x(吨)之间的关系可表示为y=x210−2x+90．(1)当x=40时，求该产品每吨的生产成本；(2)若该产品每吨的出厂价为6万元，求该厂2016年获得利润的最大值．19.计算：(1)12lg2+√(lg√2)2−lg2+1−3√a9⋅√a−3÷3√a13√a7，其中a>0(2)sin420°cos750°+sin(−690°)cos(−660°)20.计算或解答(12分)(1)计算：(2)求的值域21. 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的图象的一部分如图所示．(1)求f(x)的解析式；(2)当x∈(π3,5π6)时，求函数f(x)的值域．22. 已知函数f(x)={−x 3+x2(x>1)alnx(x≤1)．(1)求f(x)在[−1,e](e为自然对数的底数)上的最大值；(2)对任意给定的正实数a，曲线y=f(x)上是否存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？参考答案及解析1.答案：D解析：本题考查集合的交集的运算，注意运用函数的定义域的求法和值域的求法，考查运算能力，属于基础题．运用函数的定义域的求法和值域的求法，化简集合M，N，再由交集的定义即可得到所求集合．解：函数y=√x−1的定义域为M，可得M={x|x−1≥0}={x|x≥1}，集合N={y|y=x2,x∈R}={y|y≥0}，则M∩N=[1,+∞)=M，故选D．2.答案：B解析：解：∵命题p：14≤2 x≤12，∴命题P：−2≤x≤−1，∵命题q：x+1x ∈[−52,−2]，∴−2≤x≤−12，∴p是q的充分不必要条件，故选B．由题设知：命题p：−2≤x≤−1，命题q：−2≤x≤−12，由此得到p是q的充分不必要条件，本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．3.答案：C解析：解：依题意，令f0(x)=0，则|x|−10=0，∴x有2个解±10；当f1(x)=0时，即|f0(x)|−1=0，∴|x|−10=±1，即x有4个解：±9、±11；当f2(x)=0时，即|f1(x)|−1=0，∴|f0(x)|−1=±1，即|x|−10=0、±2，∴x有6个解：±8、±10、±12；…当f9(x)=0时，x有20个解：±1、±3、±5、±7、±9、±11、±13、±15、±17、±19；当f10(x)=0时，x有21个解：0、±2、±4、±6、±8、±10、±12、±14、±16、±18、±20；当f11(x)=0时，x有22个解：±1、±3、±5、±7、±9、±11、±13、±15、±17、±19、±21；当f12(x)=0时，x有23个解：0、±2、±4、±6、±8、±10、±12、±14、±16、±18、±20、±22；∴当0≤n≤9时，y=f n(x)=0时的解的个数为2(n+1)=2n+2个，当n≥10时，y=f n(x)=0时的解的个数为21+(n−10)=11+n个，∴函数y=f20(x)的零点个数为11+20=31个．附：y=f20(x)=0，即f20(x)=|f19(x)|−1=0，即f19(x)=|f18(x)|−1=±1，即f18(x)=|f17(x)|−1=0、2，即f17(x)=|f16(x)|−1=±1、3，即f16(x)=|f15(x)|−1=0、2、4，即f15(x)=|f14(x)|−1=±1、3、5，即f14(x)=|f13(x)|−1=0、2、4、6，即f13(x)=|f12(x)|−1=±1、3、5、7，即f12(x)=|f11(x)|−1=0、2、4、6、8，即f11(x)=|f10(x)|−1=±1、3、5、7、9，即f10(x)=|f9(x)|−1=0、2、4、6、8、10，即f9(x)=|f8(x)|−1=±1、3、5、7、9、11，即f8(x)=|f7(x)|−1=0、2、4、6、8、10、12，即f7(x)=|f6(x)|−1=±1、3、5、7、9、11、13，即f6(x)=|f5(x)|−1=0、2、4、6、8、10、12、14，即f5(x)=|f4(x)|−1=±1、3、5、7、9、11、13、15，即f4(x)=|f3(x)|−1=0、2、4、6、8、10、12、14、16，即f3(x)=|f2(x)|−1=±1、3、5、7、9、11、13、15、17，即f2(x)=|f1(x)|−1=0、2、4、6、8、10、12、14、16、18，即f1(x)=|f0(x)|−1=±1、3、5、7、9、11、13、15、17、19，即f0(x)=|x|−10=0、±2、±4、±6、±8、±10、12、14、16、18、20，解得：x =0、±2、±4、±6、±8、±10、±12、±14、±16、±18、±20、±22、±24、±26、±28、±30，∴函数y =f 20(x)的零点个数为31个， 故选：C ．令f n (x)=|f n−1(x)|−1=0，则|f n−1(x)|=1，问题转化为方程|f n−1(x)|=1的根的个数，找出规律：当0≤n ≤9时y =f n (x)=0时的解的个数为2(n +1)=2n +2个、当n ≥10时y =f n (x)=0时的解的个数为21+(n −10)=11+n 个，进而可得结论．本题考查求函数零点的个数，注意条件中的递推关系，属于中档题．4.答案：C解析：解析：本题考查圆锥的表面积，侧面展开图，扇形面积即平面几何知识． 设圆锥底面半径为母线长为侧面展开图扇形的圆心角为；根据条件得，即根据扇形面积公式得故选C5.答案：D解析：试题分析：由对数函数的性质知：，所以答案选．考点：1.指数大小比较；2.对数函数的性质．6.答案：B解析：解：函数f(x)=sin(2x +φ)(ω>0,|φ|<π2)，将函数y =f(x)的图象向左平移3π8个单位后，得到g(x)=sin(2x +3π4+φ)的图象，由于函数g(x)的图象关于y 轴对称，且|φ|<π2)， 所以φ=−π4． 故f(x)=sin(2x −π4).当x =π8时，f(π8)=0，故A 错误，B 正确； 当x =−π16时，f(−π16)=sin(−3π8)≠1，故C 、D 错误．故选：B ．直接利用函数的平移变换求出函数f(x)的关系式，进一步利用函数的性质求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题，7.答案：B解析：根据奇函数的定义域关于原点对称，可求出a值，进而根据奇函数满足f(−x)=−f(x)，可求出b值，进而得到答案．本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，其中熟练掌握奇函数的定义域关于原点对称，满足f(−x)=−f(x)，是解答的关键．解：∵奇函数f(x)=ax3+bx2+cx的定义域[a−1,2a]关于原点对称，故a−1+2a=0，，解得：a=13又∵奇函数满足f(−x)=−f(x)，即−ax3+bx2−cx=−(ax3+bx2+cx)=−ax3−bx2−cx，∴b=0，∴a+b=1，3故选：B8.答案：A解析：本题考查充要条件的性质和应用，解题时要注意余弦函数单调性的合理运用，全称命题与特称命题的相互转化．要注意两点：1)全称命题变为特称命题；2)只对结论进行否定．选项A因为A、B是三角形的内角，所以A、B∈(0,π)，在(0,π)上，y=cosx是减函数．由此知△ABC 中，“A>B”⇔“cosA<cosB”，即可得答案；选项B，根据命题的否定求解可知不正确；选项C，根据命题“对任意的x∈R，x2+x+1>0”是全称命题，其否定是对应的特称命题，从而得出答案．>√2，从而可得结论．选项D，sinx+cosx的最大值为√2，而π2解：对于A，在△ABC中，a>b⇔A>B⇔cosA<cosB，可得a>b是cosA<cosB的充要条件，A正确．对于B，p：x>−1，则¬p：x≤−1，而11+x≤0的解集是x<−1，B不正确；对于C，命题p：对任意的x∈R，x2+x+1>0，则¬p：存在x∈R，x2+x+1≤0，C不正确；对于D，sinx+cosx=√2sin(x+45°)最大值为√2，∵π2>√2，∴D不正确．故选：A．9.答案：BCD解析：本题考查幂函数的性质，涉及函数奇偶性、单调性的性质，属于中档题．根据题意，将(9,3)代入函数的解析式，求出a的值，即可得函数的解析式，由此依次分析选项，即可得答案．解：根据题意，函数f(x)=x a图象经过点(9,3)，则3=9a，则a=12，则f(x)=x12=√x，据此分析选项：对于A，f(x)是非奇非偶函数，A错误，对于B，f(x)是增函数，B正确，对于C，若x>1，必有f(x)=√x>1，C正确，对于D，f(x)=√x，若x1>x2>0，f(x1+x22)>f(x1)+f(x2)2，等价于√x1+x22>√x1+√x22，等价于x1+x22>x1+x2+2√x1x24，等价于x1+x2>2√x1x2，成立，D正确．故选：BCD．10.答案：ACD解析：解：∵函数f(x)=log a|x−1|在(0,1)上是减函数，∴f(x)=log a(1−x)在(0,1)上是减函数，而y=1−x是减函数，则a>1，∴当x∈(1,+∞)时，f(x)=log a|x−1|=log a(x−1)，y=x−1是增函数，而a>1，则f(x)在(1,+∞)上单调递增，且无最大值，故A正确，B错误，f(2−x)=log a |2−x −1|=log a |x −1|=f(x)， ∴f(x)的图象关于直线x =1对称，故C 正确；由a >1可知，∃a =2020，满足f(x)在(0,1)上是减函数，故D 正确． 故选：ACD ．先根据函数f(x)=log a |x −1|在(0,1)上是减函数，求出a 的范围，然后根据复合函数的单调性可知f(x)在(1,+∞)上的单调性和最值，从而判断选项A ，B ；计算f(2−x)=f(x)即可判断选项C ；由a 的取值范围即可判断选项D ．本题主要考查对数函数图象与性质，考查复合函数的单调性，属于中档题．11.答案：AD解析：解：画出大致图象如下图，当x =0时y =sin(−π6)=−12而ω>0， 所以x >0时小区间递增， 函数在[0,π]仅有3个零点时，则π的位置在C ～D 之间(包括C ，不包括D)， 令f(x)=sin(ωx −π6)=0，则ωx −π6=kπ得，x =(π6+kπ)⋅1ω (k ∈z)，y 轴右侧第一个点横坐标为π6ω，周期T =2πω，所以π6ω+T ≤π<π6ω+32T ⇒π6ω+2πω≤π<π6ω+32⋅2πω⇒136≤ω<196，所以D 正确．在[0,π]区间上，函数达到最大值和最小值，所以存在x 1，x 2，满足f(x 1)−f(x 2)=2，所以A 正确， 由大致图象得，可能有两个最大值，B 不一定正确； 因为ω最小值为136，所以0<x <π2时，−π6<ωx −π6<11π12∉(−π2,π2)，所以x ∈(0,π2)，函数f(x)不单调递增， 所以C 不正确． 故选：AD ．T+|OA|]，再由题意根据在区间[0,π]有3个零点画出大致图象，可得区间长度π介于周期[T+|OA|,32用ω表示周期，得ω的范围．本题考查三角函数图象及周期的计算，由有且仅有3个零点来得区间长度π的大致位置，进而解ω的)单调性．此题属于中难档题．范围，再判断区间(0,π212.答案：ABD解析：解：根据函数f(x)=|ln|2−x||，画出图象得：根据函数的图象，对于A：函数的单调递增区间为(1,2)和(3,+∞)，故A正确；对于B：函数的图象关于x=2对称，故B正确；对于C：当y=m(m>0)，函数的图象有四个交点，满足x1+x2+x3+x4=4，但是x1+x2=4不一定存在，故C错误；对于D：根据函数的图象，方程f(x)=0有且仅有两个不同的实数根，即x=1或3，故D正确．故选：ABD．直接利用函数的图象和函数的性质，单调性，对称性和函数的零点和方程的根的应用判定A、B、C、D的结论．本题考查的知识要点：函数的图象和性质，函授的单调性函数的图象和零点及方程的根，函数的对称性的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．13.答案：2解析：解：设幂函数f(x)=x a∵f(x)的图象过点(2,√2)∴2a=√2=212∴a=12∴f(x)=x12∴f(4)=412=2故答案为：2先由已知条件求幂函数的解析式，再求f(4)本题考查求幂函数的解析式和函数值，要注意根式与指数幂的互化．属简单题14.答案：2解析：解：4x⋅y≤(4x+y2)2=400当且仅当4x=y=20时取“=”∴xy≤100，∴lgx+lgy=lgxy≤lg100=2．故答案为：2利用对数的运算法则转化成真数为乘积形式，然后利用基本不等式求最值即可．本题主要主要考查了对数的运算法则，以及基本不等式的应用，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．．15.答案：2√213解析：解：∵f(x)=3sin2x+acos2x=√9+a2sin(2x+θ)(其中tanθ=a3)，又x=π6是函数的一条对称轴，∴2×π6+θ=π2+kπ，即θ=π6+kπ，k∈Z．由a=3tanθ=3tan(π6+kπ)=tanπ6=√33，得√9+a2=√9+13=2√213．∴函数f(x)的最大值是2√213．故答案为：2√213．根据条件化简f(x)，然后由已知求出θ得到a值，则函数的最值可求．本题考查三角函数值的恒等变换应用，正弦型函数的图象和性质，是中档题．16.答案：[3,6]解析：本题考查了含有绝对值的不等式恒成立应用问题，也考查了构造法与转化思想及函数思想，是中档题．去掉绝对值，不等式化为x +4x −2≤a ≤x +4x +2；设f(x)=x +4x −2，x ∈[1,4]，求出f(x)的最大值；设g(x)=x +4x +2，x ∈[1,4]，求出g(x)的最小值；从而得出实数a 的取值范围．解：不等式|x 2−ax +4|≤2x 化为−2x ≤x 2−ax +4≤2x ，即−x 2−2x −4≤−ax ≤−x 2+2x −4；由x ∈[1,4]，知−x <0，所以x +4x −2≤a ≤x +4x +2；设f(x)=x +4x −2，x ∈[1,4]，则f(x)的最大值为f(4)=4+1−2=3；设g(x)=x +4x +2，x ∈[1,4]，则g(x)的最小值为g(2)=2+2+2=6；所以实数a 的取值范围是3≤a ≤6．故答案为：[3,6]．17.答案：解：(1)f(x)=sinx(12cosx −√32sinx)+√34=14sin2x −√32⋅1−cos2x 2+√34=12sin(2x +π3)， ∴f(α2+π12)=12sin(α+π2)=12sinα=526， 即sinα=513；f(β2−5π12)=12sin(β−π2)=−12cosβ=−310，即sinβ=35，∵α，β∈[0,π2]，∴cosα=1213，cosβ=45，则sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ=1665；(2)∵f(B 2)=12sin(B +π3)=√34，即sin(B +π3)=√32， ∴B +π3=2π3，即B =π3，又a、b、c成等比数列，∴b2=ac，由余弦定理知12=a2+c2−b22ac=(a+c)2−3ac2ac=36−3ac2ac，即ac=9，则△ABC的面积S=12acsinB=9√34．解析：(1)f(x)解析式利用两角和与差的余弦函数公式化简，整理为一个角的正弦函数，确定出sinα与sinβ的值，进而求出cosα与cosβ的值，原式利用两角和与差的正弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值；(2)由f(B2)=√34求出B的度数，由a，b，c成等比数列，利用等比数列的性质得到b2=ac，利用余弦定理列出关系式，将cosB以及b2=ac代入求出ac的值，再由sinB的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．此题考查了余弦定理，两角和与差的余弦函数公式，等比数列的性质，以及三角形面积公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．18.答案：解：(1)该产品每吨的生产成本yx =x10+90x−2，当x=40时，yx =4010+9040−2=4.25万元；(2)L=6x−(x210−2x+90)=−0.1(x−40)2+70，∴x=40万元时，最大利润为70万元．解析：(1)该产品每吨的生产成本yx =x10+90x−2，x=40代入，即可求该产品每吨的生产成本；(2)利润是销售额减成本，利用配方法，即可求该厂2016年获得利润的最大值．本题考查了利润函数模型的应用，考查学生的计算能力，正确建立函数关系式是关键．19.答案：解：(1)原式=lg√2+√(lg√2−1)2−3a92a−32÷3a132a−72=lg√2+1−lg√2−√a33÷√a33=1−1=0．(2)sin420°cos750°+sin(−690°)cos(−660°)=sin60°⋅cos30°+sin30°cos60°=√32⋅√32+12⋅12=1．解析：(1)利用对数、分数指数幂的运算性质，化简所给的式子，可得结果．(2)由题意利用诱导公式求得所给式子的值．本题主要考查对数、分数指数幂的运算性质，诱导公式的应用，属于基础题．20.答案：(1)；(2)(−1,1)．解析：解：(1)原式=；(2)由， 得，解得−1<y <1． 故 的值域为(−1,1)．21.答案：解：(1)根据函数f(x)=Asin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)的图象的一部分，可得A =2， 再根据34⋅2πω=5π12−(−π3)，∴ω=2． 结合五点法作图可得2×5π12+φ=π2，∴φ=−π3，故f(x)=2sin(2x −π3).(2)当x ∈(π3,5π6)时，2x −π3∈(π3,4π3)，sin(2x −π3)∈(−√32,1]，f(x)=2sin(2x −π3)∈(−√3,2]， 即f(x)的值域为(−√3,2]．解析：(1)由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．(2)由题意利用正弦函数的定义域和值域，得出结论．本题主要考查由函数y =Asin(ωx +φ)的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．22.答案：解：(Ⅰ)因为f(x)=f(x)={x 3+x 2(x <1)alnx(x ≤1)1当−1≤x <1时，f′(x)=−x(3x −2)，解f′(x)>0得0<x <23：解f′(x)<0得−1<x <0或23<x <1∴f(x)在(−1,0)和(23,1)上单减，在(0,23)上单增，从而f(x)在x =23处取得极大值f 23)=427又∵f(−1)=2，f(1)=0，∴f(x)在[−1,1)上的最大值为2．当1≤x ≤e 时，f(x)=alnx ，当a ≤0时，f(x)≤0；当a >0时，f(x)在[1,e]单调递增；∴f(x)在[1,e]上的最大值为a ．∴当a ≥2时，f(x)在[−1,e]上的最大值为a ；当a <2时，f(x)在[−1,e]上的最大值为2．(Ⅱ)假设曲线y =f(x)上存在两点P ，Q 满足题意，则P ，Q 只能在y 轴两侧，不妨设P(t,f(t))(t >0)，则Q(−t,t 3+t 2)，且t ≠1∵△POQ 是以O 为直角顶点的直角三角形∴OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即−t 2+f(t)(t 3+t 2)=0(∗) 是否存在P ，Q 等价于方程(∗)是否有解．①若0<t <1，则f(x)=−t 3+t 2，代入方程(∗)得：−t 2+(−t 3+t 2)(t 3+t 2)=0， 即：t 4−t 2+1=0，而此方程无实数解，②当t >1时，∴f(t)=alnt ，代入方程(∗)得：−t 2+alnt ⋅(t 3+t 2)=0，即：1a =(t +1)lnt设ℎ(x)=(x +1)lnx(x ≥1)，则ℎ′(x)=lnx +1x +1>0在[1,+∞)恒成立．∴ℎ(x)在[1,+∞)上单调递增，从而ℎ(x)≥ℎ(1)=0，则ℎ(x)的值域为[0,+∞)．∴当a >0时，方1a =(t +1)lnt 有解，即方程(∗)有解．∴对任意给定的正实数a ，曲线y =f(x)上总存在两点P ，Q ，使得△POQ 是以O 为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上．解析：(I)由f(x)={−x 3+x 2,x <1alnx,x ≥1知，当−1≤x <1时，f′(x)=−3x 2+2x =−3x(x −23)，令f′(x)=0得x =0或x =23，当x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况列表知f(x)在[−1,1)上的最大值为2.当1≤x≤2时，f(x)=alnx.当a≤0时，f(x)≤0，f(x)最大值为0；当a>0时，f(x)在[1,e]上单调递增．当a≤2时，f(x)在区间[−1,e]上的最大值为2；当a>2时，f(x)在区间[−1,e]上的最大值为a．(II)假设曲线y=f(x)上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在y轴两侧．设P(t,f(t))(t>0)，则Q(−t,t3+t2)，显然t≠1.由此入手能得到对任意给定的正实数a，曲线y=f(x)上存在两点P、Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上．本题考查导数的性质和应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件．解答关键是利用导数求闭区间上函数的最值．。

重庆市2021届高三下学期3月联考数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}2450|17R A x x B x x x A B =<<=--≤⋂=，，（）（ ） A ．57（，） B ．15（，） C ．11-（，） D ．1157-⋃（，）（，） 2．已知复数24,aibi a b R i+=-∈,，则a b +=（ ） A ．2 B ．2- C ．4 D ．6 3．已知()2sin 3sin 2ππαα⎛⎫-=+⎪⎝⎭，则2221sin sin cos 2ααα--=（ ）A ．513 B ．513- C ．513- D ．113 4．函数()cos 1xf x x =-的部分图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．5．构建德智体美劳全面培养的教育体系是我国教育一直以来努力的方向．某中学积极响应党的号召，开展各项有益于德智体美劳全面发展的活动．如图所示的是该校高三（1）、（2）班两个班级在某次活动中的德智体美劳的评价得分对照图（得分越高，说明该项教育越好）．下列说法正确的是（ ）A ．高三（2）班五项评价得分的极差为1.5B ．除体育外，高三（1）班的各项评价得分均高于高三（2）班对应的得分C ．高三（1）班五项评价得分的平均数比高三（2）班五项评价得分的平均数要高D ．各项评价得分中，这两班的体育得分相差最大6．已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，P 为C 在第一象限上一点，若PF 的中点到y 轴的距离为3，则直线PF 的斜率为（ ）A B ． C ．2 D ．47．设12,F F 是双曲线22:148x y C -=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 的左支上，且11OF OP F P OP OPOP⋅⋅+=12PF E 的面积为（ ）A ．8B ．C ．4D ．8．中国古典乐器一般按“八音”分类，这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最早见于 《周礼·春官·大师》．八音分为“金、石、土、革、丝、木、匏、竹”，其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器．某同学安排了包括“土、匏、竹”在内的六种乐器的学习，每种乐器安排一节，连排六节，并要求“土”与“匏”相邻排课，但均不与“竹”相邻排课，且“丝”不能排在第一节，则不同的排课方式的种数为（ ）A ．960B ．1024C ．1296D ．2021二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．函数()2cos 2sin 1f x x x x =-+的图象向右平移24π个单位长度后得到函数()g x 的图象，对于函数()g x ，下列说法正确的是（ ）A ．()g x 的最小正周期为πB ．()g x 的图象关于直线524x π=对称 C ．()g x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 D ．()g x 的图象关于点13,024π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称 10．攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代称攒尖，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑，园林建筑．下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥．已知此正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为θ，这个角接近30︒，若取30θ=︒红米，则（ ）A ．正四棱锥的底面边长为6米B ．正四棱锥的底面边长为3米C ．正四棱锥的侧面积为D ．正四棱锥的侧面积为11．新学期到来，某大学开出了新课“烹饪选修课”，面向2020级本科生开放．该校学生小华选完内容后，其他三位同学根据小华的兴趣爱好对他选择的内容进行猜测．甲说：小华选的不是川菜干烧大虾，选的是烹制中式面食．乙说：小华选的不是烹制中式面食，选的是烹制西式点心．丙说：小华选的不是烹制中式面食，也不是家常菜青椒土豆丝．已知三人中有一个人说的全对，有一个人说的对了一半，剩下的一个人说的全不对，由此推断小华选择的内容（ ）A ．可能是家常菜青椒土豆丝B ．可能是川菜干烧大虾C ．可能是烹制西式点心D ．可能是烹制中式面食12．已知函数()22,21ln 1,1x x f x x x e+-≤≤⎧=⎨-<≤⎩,若关于x 的方程()f x m =恰有两个不同解1212x x x x <，（），则()()212x x f x -的取值可能是（ ）A ．3-B ．1-C ．0D ．2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．已知平面向量34a =（，），非零向量b 满足b a ⊥，则b =_____．（答案不唯一，写出满足条件的一个向量坐标即可）14．已知0044a b a b >>+=，，，则49a b+的最小值为_______． 15．已知函数()2ln f x ax x =+满足()()0112lim23x f f x x →--=，则曲线()y f x =在点11,22f ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线斜率为__________．16．在正四棱锥P ABCD -=，若四棱锥P ABCD -的体积为2563，则该四棱锥外接球的体积为_________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）已知各项均为正数的等差数列{}n a 的公差为4，其前n 项和为n S ，且22a 为23S S ，的等比中项．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设14n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 18．（12分）设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足3cos cos 5a Bb Ac -=． （1）求tan tan AB的值； （2）若点D 为边AB 的中点，105AB CD ==，，求BC 的值． 19．（12分）为了树立和践行绿水青山就是金山银山的理念，加强环境的治理和生态的修复，某市在其辖区内某一个县的27个行政村中各随机选择农田土壤样本一份，对样本中的铅、镉、铬等重金属的含量进行了检测，并按照国家土壤重金属污染评价级标准（清洁、尚清洁、轻度污染、中度污染、重度污染）进行分级，绘制了如图所示的条形图．（1）从轻度污染以上（包括轻度污染）的行政村中按分层抽样的方法抽取6个，求在轻度、中度、重度污染的行政村中分别抽取的个数；（2）规定：轻度污染记污染度为1，中度污染记污染度为2，重度污染记污染度为3．从（1）中抽取的6个行政村中任选3个，污染度的得分之和记为X ，求X 的数学期望．20．（12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是等边三角形，D 是AC 的中点．（1）证明：1//AB 平面1BC D ．（2）若12AA AB =，求二面角11B AC C --的余弦值．21．（12分）已知椭圆2222:10x y C a b a b +=>>（）的左、右焦点分别为12,F F ，离心率为2,且点⎝⎭在C 上． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设过2F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，若11103AF BF ⋅=，求AB ． 22．（12分）已知函数()()xf x x m e =+．（1）若()f x 在(],1-∞上是减函数，求实数m 的取值范围；（2）当0m =时，若对任意的()()()0,,ln 2x nx nx f x ∈+∞≤恒成立，求实数n 的取值范围．高三数学试卷参考答案1．A 【解析】本题考查集合的运算，考查运算求解能力． 因为{}1|5B x x =-≤≤，所以{}57R A B x x ⋂=<<（）． 2．D 【解析】本题考查复数的概念与运算，考查运算求解能力．因为24aibi i+=-，所以246ai b i a b +=++=，． 3．B 【解析】本题考查三角恒等变换，考查运算求解能力．由2sin3sin 2ππαα-=+（）（），得2sin 3cos αα=，所以3tan 2α=， 从而222222221sin sin cos cos tan tan 11sin sin 2cos 2sin cos tan 113αααααααααααα------===-++ 4．D 【解析】本题考查函数的图象与性质，考查推理论证能力． 因为cos 10x -≠，所以()f x 的定义域为{}2,x x k k Zπ≠∈，则0x ≠，故排除C ；而()()()cos 1cos 1x xf x f x x x ---===----，所以()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，故排除B ；当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()cos 10,0cos 1x x f x x -<=<-，所以排除A ．故选D ．5．C 【解析】本题考查统计图表的相关知识，考查数据处理能力和应用意识．对于A ，高三（2）班德智体美劳各项得分依次为9.5，9，9.5，9，8.5，所以极差为9.58.51-=，A 错误；对于B ，两班的德育分相等，B 错误；对于D ，两班的劳育得分相差最大，D 错误，从而C 正确． 6．B 【解析】本题考查抛物线的定义，考查化归与转化的数学思想．由抛物线的定义知PF 的中点到y 轴的距离等于32PF=，又26PF xp =+=，解得4xp =，代入抛物线方程可得4P （．因为F 点的坐标为20（，），所以直线PF =7．A 【解析】本题考查双曲线的几何性质，考查数形结合的数学思想和运算求解能力．由11OF OP F P OP OPOP⋅⋅+=可得OP =不妨设()()12,F F -，所以1212OP F F =，所以点P 在以12F F 为直径的圆上，即12PF F 是以P 为直角顶点的直角三角形，故2221212PF PF F F +=，即222148PF PF +=．又1224PF PF a -==，所以22212121212162482PF PF PF PF PF PF PF PF =-=+-=-，解得1216PF PF =，所以1212182PF F SPF PF ==． 8．C 【解析】本题考查排列组合知识的应用，考查数据处理能力和应用意识．排课可分为以下两大类：（1）“丝”被选中：不同的方式种数为22322222142344223720N C A A A C A A A =-=种；（2）“丝”不被选中：不同的方式种数为323224234576N C A A A ==种．故共有7205761296N =+=种． 9．ABD 【解析】本题考查三角函数的图象与性质，考查运算求解能力．因为()2cos 2sin 12sin 26f x x x x x π⎛⎫=-+=+⎪⎝⎭，其图象向右平移24π个单位长度后得到函数()2sin 22sin 224612g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，所以()g x 的最小正周期为π，A 正确；当524x π=时，2122x ππ+=，B 正确；当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，572,121212x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，()g x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增是不正确的，C 错误；当1324x π=-时，212x ππ+=-，函数()g x 的图象关于点13,024π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，D 正确．10．AC 【解析】本题考查立体几何知识，考查空间想象能力．如图，在正四棱锥S ABCD -中，O 为正方形ABCD 的中心，SH AB ⊥，设底面边长为2a ．因为30SHO ∠=︒，所以OH a OS SH ===，，．在Rt SAH 中，22213a a ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，所以3a =，底面边长为6米，1642S =⨯⨯=11．BD 【解析】本题考查逻辑推理知识，考查推理论证能力．若小华选择的是家常菜青椒土豆丝，则甲对一半，乙对一半，丙对一半，不满足条件，排除； 若小华选择的是川菜干烧大虾，则甲全不对，乙对一半，丙全对，满足条件； 若小华选择的是烹制西式点心，则甲对一半，乙全对，丙全对，不满足条件，排除； 若小华选择的是烹制中式面食，则甲全对，乙全不对，丙对一半，满足条件． 故小华选择的可能是川菜干烧大虾或者烹制中式面食，所以选BD ．12．BC 【解析】本题考查导数的综合应用，考查化归与转化的数学思想与推理论证能力．因为f x m =（）的两根为1212x x x x <,（），所以(]1122,,1,02m m x x e m +-==∈-，从而()()211212222m m m m x x f x e m me m ++-⎛⎫-=-=-+ ⎪⎝⎭．令()(]121,1,02x g x xe x x x +=-+∈-，则()()(]111,1,0x g x x e x x +'=+-+∈-因为(]1,0x ∈-，所以1010110x x e e x ++>>=-+>，，，所以()0g x '>在(]1,0-上恒成立，从而()g x 在(]1,0-上单调递增．又()()500,12g g =-=-，所以()5,02g x ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，即()()212x x f x -⋅的取值范围是5,02⎛⎤- ⎥⎝⎦，故选BC ．13．43-（,），答案不唯一 【解析】本题考查平面向量的垂直，考查运算求解能力． 设,b x y =（），因为b a ⊥，所以340x y +=，可取43b =-（，）．14．16 【解析】本题考查均值不等式的应用，考查运算求解能力．因为()491491169169440,2444b a b a a b a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以4916a b +≥．15．3 【解析】本题考查导数的概念及几何意义，考查运算求解能力．由()()0112lim23x f f x x →--=，可得()()0121lim 32x f x f x →--=-，因为()12f x ax x'=+，所以()121=3f a '=+，即1a =，则()2ln f x x x =+，所以()112,32f x x f x ⎛⎫''=+= ⎪⎝⎭．16．5003π【解析】本题考查四棱锥的外接球问题，考查空间想象能力和运算3求解能力．如图，作PH ⊥平面ABCD ，垂足为H ．连接BD ，则H 为BD 的中点．设2m AB =，则10m 2m PB PA BH ===，，从而22PH m =，故四棱锥P ABCD -的体积为()321822562m 22m 333m ⨯⨯==，解得22m =．由题意可知正四棱锥P ABCD -外接球的球心O 在PH 上，连接OB ．设正四棱锥P ABCD -外接球的半径为R ，则2222R BH OH PH OH =+=-（），解得5R =，故该四棱锥外接球的体积为3450033R ππ=．17．解：（1）因为数列{}n a 是公差为4的等差数列， 所以()()2121311324,22,3+4342a a S a S a a ⨯=+=+=⨯=+． 2分 又22234a S S =，所以()()()21114a 4624a a +=++，即()()11420a a +-=，解得12a =或14a =-（舍去）， 4分所以24142n a n n =+-=-（）． 5分 （2）因为()()1441142424242n n n b a a n n n n +===--+-+， 7分 所以121n n n T b b b b -=++⋯++111111112661046424242n n n n =-+-+⋯+-+----+ 8分 11242n =-+ 9分 21nn =+ 10分 评分细则：法二：（1）因为数列{}n a 是公差为4的等差数列，且22a 为23S S ，的等比中项，所以22234a S S =，从而222243a S a =⋅． 2分因为20a >，所以2243a S =，即1144324a a +=+（）（）， 3分解得12a =， 4分所以24142n a n n =+-=-（）． 5分 （2）第二问解法同上．18．解：（1）3cos cos 5a Bb Ac -=，所以2222223225c a b b c a a b c ca bc +-+-⋅-⋅=， 2分 即22235a b c -=． 3分 又222222tan sin cos 2tan cos sin 2a c b a A A B ac b c aB A B bbc+-⋅==+-⋅． 4分 所以22222222tan 854tan 52A a c b c B b c a c +-==⨯=+- 5分 （2）作AB 边上的高CE ，垂足为E （图略），因为tan tan CE CE A B AE BE ==，，所以tan tan A BEB AE= 7分 又tan 4tan AB=，所以4BE AE =． 8分 因为点D 为边AB 的中点，10AB =，所以523BD AE DE ===，，． 9分在直角三角形CDE 中，5CD =，所以4CE ==． 11分 在直角三角形BCE 中，8BE =，所以BC == 12分 评分细则：（1）第一问中，应用正弦定理或余弦定理得出部分关键结论的给2至3分，全部正确的得5分． （2）第二问中，写到tan tan A BE B AE=这一步累计得7分，写出4BE AE =累计得8分，算出4CE ==累计得11分，算出BC ==12分． （3）其他情况根据评分标准依步骤给分．19．解：（1）轻度污染以上（包括轻度污染）的行政村共96318++=个， 1分 所以从轻度污染的行政村中抽取69318⨯=个，从中度污染的行政村中抽取66218⨯=个，从重度污染的行政村中抽取63118⨯=个． 4分 （2）X 的所有可能取值为3，4，5，6，7． 5分33631320C P X C ===（）, 6分 2132363410C C P X C ===（）， 7分212332363510C C C P X C +===（）， 8分 1132363610C C P X C ===（）． 9分22361720C P X C ===（） 10分 所以X 的分布列为11分 所以()133313456752010101020E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 12分 评分细则：（1）第一问中，分别算出所抽取的轻度污染、中度污染、重度污染行政村的个数各得1分．（2）第二问中，写出X 的所有可能取值得1分，每算出一个概率得1分，最后算出()5E X =，累计得12分．（3）其他情况根据评分标准按步骤给分． 20．（1）证明：记11B C BC E ⋂=，连接DE ．由直棱柱的性质可知四边形11BCC B 是矩形，则E 为1B C 的中点． 1分 因为D 是AC 的中点，所以1//DE AB ． 2分 因为1AB ⊄平面1BC D DE ⊂，平面1BC D ，所以1//AB 平面1BC D 4分 （2）解：因为底面ABC 是等边三角形，D 是AC 的中点，所以BD AC ⊥，由直棱柱的性质可知平面ABC ⊥平面11ACC A ，则BD ⊥平面11ACC A ． 5分取11A C 的中点F ，连接DF ，则DB DC DF ，，两两垂直，故以D 为原点，分别以DB DC DF ，，的方向为x ，y ，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -．设2AB =，则()())101001004A C B -,,,,,,,，从而()()0,2,0,3,1,4AC AB ==6分设平面1AB C 的法向量为n x y x =（,,），则120340n AC y n AB x yz ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩，令4x =．得(4,0,n =． 8分 平面1ACC 的一个法向量为100m =（，，），9分 则cos ,1919m n m n m n ⋅===． 11分 设二面角11B AC C --为θ，由图可知θ为锐角，则419cos cos ,19m n θ==． 12分 评分细则：（1）第一问中，没有写出1AB ⊄平面1BC D ，直接得到1//AB 平面1BC D ，不予扣分．（2）第二问中，可以用传统做法，先找出二面角11B AC C --的平面角θ，结合题中的等量关系，由余弦定理求出cos θ，即得出二面角11B AC C --的余弦值，只要计算正确，不予扣分．若空间直角坐标系建立不同，只要建系正确，计算正确，不予扣分． （3）若用其他解法，参照评分标准按步骤给分．21．解：（1）因为椭圆C 过点,33⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭，所以2241133a b +=．① ·1分 又椭圆C 的离心率为2，所以2212c a =， 2分故2222222112b ac c a a a -==-=．② 3分 联立①②得22224113312a b b a ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得2221a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，故椭圆C 的标准方程为2212x y +=． 5分 （2）当直线l的斜率不存在时，2112b AF BF a ===，所以1111023AF BF ⋅=≠， 6分 故直线l 的斜率存在，设直线()()()1122:1,,l y k x A x y B x y =-,,．联立()22112y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理得()2222214220k x k x k +-+-=，则22121222422,2121k k x x x x k k -+==++ 7分1AF ====9分同理1BF =． 10分 因为()2121211242182102423x x x x k AF BF k ++++⋅===+，解得21k =， 11分所以113AF BF +==，又因为11AF BF AB ++=，所以AB =． 12分 评分细则：（1）第一问共5分，将点33⎛-⎝⎭代入椭圆方程，得1分，得出c a =得1分，转化为a ，b 之间的关系得1分，联立方程得1分，正确写出椭圆的标准方程得1分．（2）第二问总共7分，未讨论直线l 斜率不存在的情况，直接设直线:1l y k x =-（）扣1分，联立方程并由韦达定理求出1212x x x x +，的式子得1分，求得1AF =得2分，同理得出1BF =得1分，求出21k =得1分，求出3AB =得1分． （3）第二问中，直线l 的方程为也可以设为1x my =+，参照上述步骤酌情给分．22．解：（1）因为()()xf x x m e =+，所以()()1xf x x m e '=++ 1分令()0f x '≤，得1x m ≤--，则()f x 的单调递减区间为(]1m -∞--， 3分 因为()f x 在(]1-∞，上是减函数，所以11m --≥，解得2m ≤-，即m 的取值范围是(]2-∞-， 5分 （2）由()()ln 2nx nx f x ≤，得()22ln xxenx nx ≥．因为00x n >>，，所以22ln ln 0xe x n n --≥对于任意的0x ∈+∞（，）恒成立． 6分 设22ln ln ,0,0x h x e x n x n n =-->>（），则241x h x e n x'=-（）．因为函数2xy e =和1y x=-在0+∞（，）上均为单调递增函数，所以函数()h x '在0+∞（，）上单调递增． 当0x →时，'0h x <（）；当x →+∞时，'0h x >（）．故存在00x ∈+∞（，），使得()0200410x h x e n x '=-=，即020212x e n x = 8分 当()00x x ∈，时，'0h x <（）；当0x x ∈+∞（，）时，'0h x >（）．所以h x （）在00x （，）上单调递减，在0x +∞（，）上单调递增，故02min 000021ln ln ln ln 02x h x h x e x n x n n x ==--=--≥（）（）恒成立． 9分 又由020410x e n x -=，得0204x n x e =， 所以()0000122ln 2ln 202h x x x x =---≥恒成立． 10分 因为122y x x=-和2ln y x =-在0+∞（，）上单调递减， 所以函数0h x （）在0+∞（，）上单调递减． 因为102h ⎛⎫=⎪⎝⎭，所以010,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦11分 因为函数4y x =和2xy e =在0+∞（，））上单调递增，且2400xx e >>，． 所以函数0204x n x e=在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，所以02m e <≤，即实数n 的取值范围是(]0,2e ． 12分 评分细则：法二：（1）同上面解法（1）．（2）对任意的()()()0,,ln 2x nx nx f x ∈+∞≤恒成立，即()2ln 2xnx nx xe≤恒成立，亦即()()ln 2ln 2nx x enx xe ≤恒成立 6分因为xf x xe =（），所以()()1x f x x e '=+，易知()x f x xe =在0+∞（，）上单调递增，且在,0-∞（）上()<0f x ，所以ln 2nx x ≤（），即2xe n x ≤对任意的0x ∈+∞（，）恒成立 8分 令()()20x e g x x x=>，则()()2221xx eg x x -'=． 9分当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，'0g x <（）；当1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，'0g x >（）．则()g x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()min 122g x g e ⎛⎫==⎪⎝⎭， 11分 所以2n e ≤，显然0n >，故实数n 的取值范围是(]0,2e 12分。

重庆市2021-2022高一数学3月联考试题（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由一元一次不等式的解法求得集合B，由交集运算求出，得到结果。

【详解】由题意得，，又，所以，故选C【点睛】本题考查集合的交集运算，属基础题2.（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知利用诱导公式和特殊三角函数值求解即可.【详解】.【点睛】本题考查了诱导公式，考查了特殊角的三角函数值在三角函数化简中的应用，属于基础题.3.已知向量，，且，则（）A. -3B. 3C. -6D. 6【答案】A【解析】【分析】利用向量数量积的坐标运算计算即可.【详解】因为，，所以，则.【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标运算，属于基础题.4.若点在角的终边上，且，则（）A. 25B.C. 24D.【答案】D【解析】【分析】利用任意角的三角函数的定义，得到=，求解即可得到m的值.【详解】因为点在角的终边上，所以，则.【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，属于基础题.5.函数（，且）的图象恒过点（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】令真数为1，则可得到定点坐标.【详解】真数为1时，对数为0，所以令x=2，则f（x）=1，所以函数的图象过定点. 【点睛】本题主要考查了对数函数恒过定点问题，属于基础题.6.要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A. 向左平移个单位长度B. 向左平移个单位长度C. 向右平移个单位长度D. 向右平移个单位长度【答案】B【解析】【分析】由，结合函数图象“左加右减”的平移法则，即可得解. 【详解】因为，所以要得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位长度.【点睛】本题主要考查了三角函数的平移变换，解题是注意三角函数名是否一致，平移变换是否是针对自变量“”而言，属于基础题.7.函数的零点所在的区间是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据零点存在性定理，结合即可得解.【详解】因为单调递增，且，，所以的零点所在的区间是.【点睛】本题主要考查了零点存在性定理的应用，属于基础题.8.已知向量与的夹角为，且，则在方向上的投影为（）A. 1B.C.D.【答案】C【解析】【分析】在方向上的投影为，进而利用向量数量积的运算法则求解即可.【详解】因为向量与的夹角为，且，所以，则在方向上的投影为.【点睛】本题主要考查了向量投影的计算问题，利用定义求解数量积，属于基础题.9.已知，，则（）A. 3B. 1C.D.【答案】D【解析】【分析】由条件得，进而利用指数的运算法则直接求解即可.【详解】因为，所以，则.【点睛】本题主要考查了指数和对数的运算法则，考查了计算能力，属于基础题.10.已知函数，若的最小正周期为，且，则的解析式为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由辅助角公式可得，根据，可求出=1，又为奇函数，所以，结合的范围，即可求得结果。

1 2
x
π 3
，下列说法正确的是（
）
A．函数的周期为 2π
B．
π 3
,
0
是函数
y
f
x 的一个对称中
心
C． 2π 是函数 y f x 的一个周期
D．不等式 f x 3 的解集为
2kπ,
π 3
2kπ
,k
Z
11．已知定义在 R 上的函数 f x 的图像关于 1, 0 中心对称，则下列说法一定正确的是
A． 的值为 2π 3
B．
f
x
在
7π 18
,
π 18
单调递增
C．
f
10
f
10π 9
f
2π 3
D．若方程
f
ax
f
x (a
0 ，且 a
1)
在
0,
4π 9 内至少有
3
个不同的根，则实数
a
的取值范围是
5 2
,
三、填空题
试卷第 2页，共 4页
13．命题 p : x 0, 2 x x 1 0 的否定是
．
14．南朝乐府民歌《子夜四时歌》之夏歌曰：“叠扇放床上，企想远风来；轻袖佛华妆，
窈窕登高台”，中国传统折扇有着极其深厚的文化底蕴．如图所示，展开的折扇可看作
是从一个扇形，某艺术节展示活动中，小李同学打算利用一条 2 米长的紫色丝带围成一
个扇形展示框，则该展示框的面积最大值为
．
15．若不等式 2a sinx acosx 0 对 x R 恒成立，则实数 a 的取值范围是
A．
a
a
53
B．
a
a

2021年重庆市南开中学高考数学第五次质检试卷（3月份）一、单项选择题（共12小题）.1．已知a，b∈R，集合A＝{a+5，a2﹣1}，B＝{a，b}，若A∩B＝{3}，则A∪B＝（）A．{﹣2，3}B．{2，3}C．{2，3，5}D．{2，3，7}2．已知i是虚数单位，若复数，其中a，b为实数，则|a+bi|的值为（）A．B．10C．D．23．设m是直线，α、β是两个不同的平面，且α⊥β，则“m∥β”是“m⊥α”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．二项式的展开式中，常数项为（）A．﹣672B．672C．﹣84D．845．将函数（ω＞0）的图象向左平移个单位后所得函数的图象关于直线对称，则当ω取最小值时，函数f（x）的最小正周期为（）A．3πB．2πC．D．6．已知函数，则＝（）A．B．C．﹣2D．7．过抛物线C：y2＝4x的焦点F作倾斜角为的直线l交C于A、B两点，以C的准线上一点M为圆心作圆M经过A、B两点，则圆M的面积为（）A．96πB．48πC．32πD．16π8．已知实数a、b，满足a＝log23+log64，3a+4a＝5b，则关于a、b下列判断正确的是（）A．a＜b＜2B．b＜a＜2C．2＜a＜b D．2＜b＜a二、多项选择题：本题共4小题．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9．“读书破万卷，下笔如有神”、“腹有诗书气自华”，读书不仅能丰富知识、开阔视野，还能陶冶情操．但是随着学业内容的增加、升学压力的增大，学生的课外阅读也受到较大的影响．某小学为了了解学生的课外阅读情况，计划从四、五、六三个年级的学生中抽出总数的10%进行调查，已知四、五、六三个年级的学生人数之比为9：7：10，则下列说法正确的是（）A．应该采用系统抽样的方法B．应该采用分层抽样的方法C．每个学生被抽到的概率为D．若样本中五年级的学生比六年级的学生少12人，则三个年级的学生总共有1140人10．设平面向量，，均为非零向量，则下列命题中正确的是（）A．若，则B．若，则与同向C．若，则D．若，则11．设集合S是由一些复数组成的一个非空集合，如果∀a，b∈S，总有a+b，a﹣b，a•b∈S，则称S是一个数环．例如：整数集Z，有理数集Q，实数集R，复数集C都是数环．则下列命题正确的是（）A．集合S＝{2n|n∈Z}是一个数环B．集合是一个数环C．对任意两个数环S、T，S∩T都不是空集D．对任意两个数环S、T、S∩T都是数环12．已知图1中的正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，体积为2，去掉其侧棱，再将上底面绕上下底面的中心所在直线逆时针旋转180°后，添上侧棱，得到图2所示的几何体，则下列说法正确的是（）A．A2B2∥平面ABCB．C．四边形ABA2B2为正方形D．正三棱柱ABC﹣A1B1C1与几何体ABCA2B2C2的外接球的体积相等三、填空题（共4小题）.13．已知双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y＝2x，则该双曲线的离心率为．14．已知向量，，若，则tan2θ＝．15．李华应聘一家上市公司，规则是从备选的10道题中抽取4道题测试，答对3道题及以上就可以进入面试．李华可以答对这10道题目中的6道题．若李华第一道题就答对了，则李华进入面试的概率为．16．毕达哥拉斯树是由毕达哥拉斯根据“勾股定理”所画出来的一个可以无限重复的图形，也叫“勾股树”，是由一个等腰直角三角形分别以它的每一条边向外作正方形而得到．现按照这种思想，以一个内角为30°、斜边长为2个单位的直角三角形的每一条边向外作正方形得到“类勾股树”，图1为第1代“类勾股树”，重复图1的作法得到第2代“类（如图2），如此继续．则第2代“类勾股树”上的所有正方形的面积之和为；勾股树”第n（n∈N*）代“类勾股树”上的所有正方形的面积之和为．四、解答题：本题共6小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在条件①（a﹣b）（sin A+sin B）＝c（sin C﹣sin B）；②b sin＝a sin B；③cos2A﹣cos2B＝2sin C（sin B﹣sin C）中任选一个，补充以下问题并解答：如图所示，△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，____，且BC＝3，D在AC 上，AB＝AD．（1）若BD＝2，求sin∠ACB；（2）若BD＝2CD，求AC长．18．已知S n为等差数列{a n}的前n项和．（1）求证：a n+12≥a n a n+2；（2）若a2＝3，a3是a1和S3的等差中项，设，T n为数列{b n}的前n项和，求证：T n＜．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，梯形ABCD满足AB∥CD，∠BCD＝90°，且PD＝AD＝DC＝2，AB＝3，E为PC中点，，．（1）求证：D，E，F，G四点共面；（2）求四面体D﹣EFC的体积．20．2020年是脱贫攻坚的收宫之年，国务院扶贫办确定的贫困县已全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大胜利，为我国全面建成小康社会，实现第一个百年目标打下了坚实基础．在扶贫政策的大力支持下，某县汽车配件厂经营得十分红火，不仅解决了就业也为脱贫作出了重大贡献．现该厂为了了解其主打产品的质量，从流水线上随机抽取200件该产品，统计其质量指数并绘制频率分布直方图（如图1）：根据经验，产品的质量指数在[50，70）的称为A类产品，在[70，90）的称为B类产品，在[90，110]的称为C类产品，A、B、C三类产品的销售利润分别为每件3、7、11（单位：元）．以这200件产品的质量指数位于各区间的频率代替产品的质量指数位于该区间的概率．（1）求每件产品的平均销售利润；（2）该厂为了解年营销费用x（单位：万元）对年销售量y（单位：万件）的影响，对近5年的年营销费用x i和年销售量y i（i＝1，2，3，4，5）数据做了初步处理，得到的散点图（如图2）及一些统计量的值．，，，，其中u i＝lnx i，v i＝lny i，，．根据散点图判断，y＝a•x b可以作为年销售量y（万件）关于年营销费用x（万元）的回归方程．（ⅰ）建立y关于x的回归方程；（ⅱ）若该厂规定企业最终收益为销售利润减去营销费用以及和营销费用等额的员工奖金，请你用（ⅰ）所求的回归方程估计该厂应投入多少营销费，才能使得该产品一年的最终收益达到最大？参考公式和参考数据：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（u n，v n），其回归直线＝+u的斜率和截距的最小二乘估计分别为，，e4.159＝64．21．已知为椭圆C1：＝1（a＞b＞0）上一点，过点D作抛物线C2：x2＝4y的两条切线，切点分别为A，B．（1）求AB所在直线方程；（2）若直线AB与椭圆C1相交于P，Q两点，O为坐标原点，设直线PQ，DP，DQ的斜率分别为k，k1，k2，是否存在符合条件的椭圆使得k1+k2＝8k成立？若存在，求出椭圆方程；若不存在，请说明理由．22．已知函数f（x）＝x﹣lnx﹣a（a∈R）．（1）讨论函数f（x）的零点个数；（2）当a＞1时，实数x0为函数f（x）的小于1的零点，求证：①；②．参考答案一、单项选择题（共12小题）.1．已知a，b∈R，集合A＝{a+5，a2﹣1}，B＝{a，b}，若A∩B＝{3}，则A∪B＝（）A．{﹣2，3}B．{2，3}C．{2，3，5}D．{2，3，7}解：∵A＝{a+5，a2﹣1}，B＝{a，b}，若A∩B＝{3}，则3∈A且3∈B，若a+5＝3，则a＝﹣2，此时a2﹣1＝3，集合A违背集合中元素的互异性；若a2﹣1＝3，则a＝±2，a＝﹣2时集合A违背集合中元素的互异性，故a＝2，此时A＝{7，3}，B＝{2，3}，则A∪B＝{2，3，7}．故选：D．2．已知i是虚数单位，若复数，其中a，b为实数，则|a+bi|的值为（）A．B．10C．D．2【解答】由得a﹣i＝（1﹣2i）（b+i）＝b﹣2bi+i+2，即a﹣i＝（b+2）+（1﹣2b）i，故得所以，故选：A．3．设m是直线，α、β是两个不同的平面，且α⊥β，则“m∥β”是“m⊥α”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：由m∥β，α⊥β，能够得到m⊥α或m∥α或m在平面α内，不能够推出m⊥α，反之，由m⊥α，α⊥β，不一定得到m∥β，m可能在β内．∴“m∥β”是“m⊥α”的既不充分也不必要条件．故选：D．4．二项式的展开式中，常数项为（）A．﹣672B．672C．﹣84D．84解：二项式的展开式的通项是T r+1＝（）9﹣r（﹣）r＝（﹣）r •29﹣r•，令＝0，解得r＝3．故二项式的展开式中的常数项是T4＝•（﹣）3•29﹣3＝﹣672．故选：A．5．将函数（ω＞0）的图象向左平移个单位后所得函数的图象关于直线对称，则当ω取最小值时，函数f（x）的最小正周期为（）A．3πB．2πC．D．解：将函数（ω＞0）的图象向左平移个单位后所得函数为，因为g（x）的图象关于直线对称，则有，解得，因为ω＞0，所以ω的最小值为，故函数f（x）的最小正周期为．故选：A．6．已知函数，则＝（）A．B．C．﹣2D．解：根据题意，函数，当x＞1时，f（x）＝﹣f（x﹣1），则当x＞2时，f（x）＝﹣f（x﹣1）＝f（x﹣2），则f（）＝f（504+1+）＝f（1+）＝﹣f（），f（）＝＝2，则f（）＝﹣2，故选：C．7．过抛物线C：y2＝4x的焦点F作倾斜角为的直线l交C于A、B两点，以C的准线上一点M为圆心作圆M经过A、B两点，则圆M的面积为（）A．96πB．48πC．32πD．16π解：抛物线C：y2＝4x的焦点F（1，0），其准线为x＝﹣1，设A（x1，y1），B（x2，y2），∵直线l过点F且斜角为，∴直线l的方程为y＝﹣x+1，联立方程组，消y可得x2﹣6x+1＝0，∴x1+x2＝6，x1x2＝1，∴y1+y2＝﹣（x1+x2）+2＝﹣4，作AB的垂直平分线MD，垂足为D，∴D（，）即D（3，﹣2），∴直线MD的方程为y+2＝x﹣3，即y＝x﹣5，联立，解得x＝﹣1，y＝﹣6，即M（﹣1，﹣6），解方程x2﹣6x+1＝0可得A（3﹣2，2﹣2），∴圆M的半径r2＝|MA|2＝（3﹣2+1）2+（2﹣2+6）2＝48，∴圆M的面积为48π．故选：B．8．已知实数a、b，满足a＝log23+log64，3a+4a＝5b，则关于a、b下列判断正确的是（）A．a＜b＜2B．b＜a＜2C．2＜a＜b D．2＜b＜a解：先比较a与2的大小，因为log23＞1，所以，所以a﹣2＝log23+log64﹣2＝log23+﹣2＝＞0，即a＞2，故排除A，B，再比较b与2 的大小，易得，当b＝2时，由3a+4a＝5b，得a＝2与a＞2矛盾，舍去，故a＞2，则有3a+4a＝5b，得b＞2，令f（x）＝3x+4x﹣5x，x＞2，令t＝x﹣2，则x＝t+2，故g（t）＝9×3t+16×4t﹣25×5t＜25•4t﹣25•5t＜0，故3a+4a＝5b＜5a，从而2＜b＜a．故选：D．二、多项选择题：本题共4小题．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9．“读书破万卷，下笔如有神”、“腹有诗书气自华”，读书不仅能丰富知识、开阔视野，还能陶冶情操．但是随着学业内容的增加、升学压力的增大，学生的课外阅读也受到较大的影响．某小学为了了解学生的课外阅读情况，计划从四、五、六三个年级的学生中抽出总数的10%进行调查，已知四、五、六三个年级的学生人数之比为9：7：10，则下列说法正确的是（）A．应该采用系统抽样的方法B．应该采用分层抽样的方法C．每个学生被抽到的概率为D．若样本中五年级的学生比六年级的学生少12人，则三个年级的学生总共有1140人解：因为四、五、六三个年级的学生人数各不相等，故应该采取分层抽样，故A错误，B 正确；利用频率表示概率，根据计划从四、五、六三个年级的学生中抽出总数的10%进行调查，可得每个学生被抽到的概率为，故C正确；设四、五、六三个年级的学生人数之比为9x，7x，10x，由样本中五年级的学生比六年级的学生少12人，可得10x﹣7x＝12，解得x＝4，故样本容量为（9+7+10）×4＝104，于是可估计三个年级的学生总共有1040人，故D错误．故选：BC．10．设平面向量，，均为非零向量，则下列命题中正确的是（）A．若，则B．若，则与同向C．若，则D．若，则解：当＝时，显然不一定成立，A错误；若，则向量夹角θ＝0或π，与同向或反向，B错误；若，两边平方得，＝0，即，C正确；若，则＝，其中，，根据向量共线定理得，，D正确．故选：CD．11．设集合S是由一些复数组成的一个非空集合，如果∀a，b∈S，总有a+b，a﹣b，a•b∈S，则称S是一个数环．例如：整数集Z，有理数集Q，实数集R，复数集C都是数环．则下列命题正确的是（）A．集合S＝{2n|n∈Z}是一个数环B．集合是一个数环C．对任意两个数环S、T，S∩T都不是空集D．对任意两个数环S、T、S∩T都是数环解：对于A：设a，b∈S，则a＝2n1，b＝2n2，n1∈Z，n2∈Z，于是a+b＝2（n1+n2），a﹣b＝2（n1﹣n2），ab＝2（2n1n2），n1+n2∈Z，n1﹣n2∈Z，2n1•n2∈Z，即有a+b，a﹣b．a •b∈S，故S是一个数环，故A正确；对于B：设a，b∈S，则a＝，b＝，n1∈Z，n2∈Z，则，显然∉Z，故S不是一个数环，故B错误；对于C：对于任意一个数环，取a＝b，则0＝a﹣b，必在此环中，故0一定是S∩T中，S∩T都不是空集，故C正确；对于D：设a，b∈S∩T，因S是一个数环，故a+b，a﹣b，a•b∈S，而T是一个数环，故a+b，a﹣b，a•b∈T，所以a+b，a﹣b，a•b∈S∩T，故S∩T是数环，故D正确．故选：ACD．12．已知图1中的正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，体积为2，去掉其侧棱，再将上底面绕上下底面的中心所在直线逆时针旋转180°后，添上侧棱，得到图2所示的几何体，则下列说法正确的是（）A．A2B2∥平面ABCB．C．四边形ABA2B2为正方形D．正三棱柱ABC﹣A1B1C1与几何体ABCA2B2C2的外接球的体积相等解：对于A：因旋转前后，A1，B1，C1，A2，B2，C2，共面，由棱柱的性质得知：平面A2B2C2∥平面ABC，从而A2B2∥平面ABC，故A正确；对于B：因棱柱体积，解得，设H为B2在平面ABC上的射影，如图所示：则：点H在BO的延长线上，且OH＝OB＝，又，从而AH＝AO＝BO，所以，故B错误；对于C：因为A2B2∥A1B1∥AB，且A1B1＝A2B2＝AB，故四边形ABB2A2为平行四边形，由对称性可知：AA2＝BB2，又AB2＝AB＝2，所以四边形ABA2B2为正方形，故C正确；对于D：因旋转前后正三棱柱ABC﹣A1B1C1与几何体ABCA2B2C2的外接球都是是以OO2为直径的球G上，故球的体积相等，故D正确．故选：ACD．三、填空题：本题共4小题．13．已知双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y＝2x，则该双曲线的离心率为．解：由题意可知双曲线的渐近线方程为y＝，∴，∴＝，故答案为：．14．已知向量，，若，则tan2θ＝．解：因为向量，，且，所以sinθ﹣cosθ﹣3sinθ＝0，即，所以．故答案为：．15．李华应聘一家上市公司，规则是从备选的10道题中抽取4道题测试，答对3道题及以上就可以进入面试．李华可以答对这10道题目中的6道题．若李华第一道题就答对了，则李华进入面试的概率为．解：从备选的10道题中抽取4道题测试，答对3道题及以上就可以进入面试．李华可以答对这10道题目中的6道题．若李华第一道题就答对了，则李华进入面试的情况为：李华可以答对剩下9道题目中的5道题，且李华抽取3题，至少答对2道题，∴李华进入面试的概率为：P＝+＝．故答案为：．16．毕达哥拉斯树是由毕达哥拉斯根据“勾股定理”所画出来的一个可以无限重复的图形，也叫“勾股树”，是由一个等腰直角三角形分别以它的每一条边向外作正方形而得到．现按照这种思想，以一个内角为30°、斜边长为2个单位的直角三角形的每一条边向外作正方形得到“类勾股树”，图1为第1代“类勾股树”，重复图1的作法得到第2代“类勾股树”（如图2），如此继续．则第2代“类勾股树”上的所有正方形的面积之和为12；第n（n∈N*）代“类勾股树”上的所有正方形的面积之和为4n+4．解：记a n表示第n代“类勾股树”上的所有正方形的面积之和，则a1＝8，第2代“类勾股树”在第1代的最上面的每佣正方形上各增加两个小正方形，由勾股定理知，增加的两个小正方形的面积之和恰好等于原来的正方形的面积，∴a2﹣a1＝4，以此类推，故{a n}是以8为首项，公差为4的等差数列，∴a n＝8+（n﹣1）×4＝4n+4．故答案为：4n+4．四、解答题：本题共6小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在条件①（a﹣b）（sin A+sin B）＝c（sin C﹣sin B）；②b sin＝a sin B；③cos2A﹣cos2B＝2sin C（sin B﹣sin C）中任选一个，补充以下问题并解答：如图所示，△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，____，且BC＝3，D在AC 上，AB＝AD．（1）若BD＝2，求sin∠ACB；（2）若BD＝2CD，求AC长．解：选①（a﹣b）（sin A+sin B）＝c（sin C﹣sin B），由正弦定理得，（a﹣b）（a+b）＝c（c﹣b），整理得，b2+c2﹣a2＝bc，由余弦定理得，cos A＝＝，由A为三角形内角得，A＝；选②b sin＝a sin B，由B+C＝π﹣A得，sin B sin（）＝sin A sin B，因为sin B＞0，所以sin（）＝sin A，即cos＝sin A＝2sin cos，由于cos＞0，所以2sin＝1，即sin＝，故A＝；选③cos2A﹣cos2B＝2sin C（sin B﹣sin C），所以1﹣2sin2A﹣1+2sin2B＝2sin C（sin B﹣sin C），整理得，sin2B+sin2C﹣sin2A＝sin B sin C，由正弦定理得，b2+c2﹣a2＝bc，由余弦定理得，cos A＝＝，由A为三角形内角得，A＝；（1）因为A＝，BD＝2，且AB＝AD，所以△ABD为等边三角形，所以∠BDC＝120°，BD＝2，BC＝3，△BDC中，由正弦定理得，，即＝，所以sin∠ACB＝sin∠BCD＝；（2）设DC＝x，则AD＝AB＝BD＝2x，AC＝3x，△ABC中，由余弦定理得，cos60°＝＝，故x＝，AC＝．18．已知S n为等差数列{a n}的前n项和．（1）求证：a n+12≥a n a n+2；（2）若a2＝3，a3是a1和S3的等差中项，设，T n为数列{b n}的前n项和，求证：T n＜．【解答】证明：（1）∵数列{a n}为等差数列，∴2a n+1＝a n+a n+2，得＝≥4a n a n+2，∴，当且仅当a n＝a n+2时等号成立，故a n+12≥a n a n+2；（2）设公差为d，∵a3是a1和S3的等差中项，∴2（a1+2d）＝a1+3a1+3d，得d＝2a1，又a2＝3，∴a1+d＝3a1＝3，得a1＝1，d＝2，∴a n＝a1+（n﹣1）d＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，∴＝＝，∴T n＝b1+b2+…+b n＝＝＜．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，梯形ABCD满足AB∥CD，∠BCD＝90°，且PD＝AD＝DC＝2，AB＝3，E为PC中点，，．（1）求证：D，E，F，G四点共面；（2）求四面体D﹣EFC的体积．解：（1）取FB的中点H，连接CH，GH，由题知G，H分别为PA，PB的三等分点，所以GH∥AB，GH＝AB，又AB∥CD，AB＝3，CD＝2，所以GH∥CD，GH＝CD，所以CDGH为平行四边形，所以DG∥CH，另一方面，E，F分别为PH，PC的中点，所以EF∥CH，则DG∥EF，所以D，E，F，G四点共面；（2）由PD⊥平面ABCD得PD⊥BC，又由题知BC⊥CD，PD∩CD＝D，所以BC⊥平面PCD，而DE⊂平面PCD，所以BC⊥DE，另一方面，在三角形PDC中，PD＝DC＝2，E为PC中点，所以DE⊥PC，BC∩PC＝C，从而DE⊥平面PBC，在梯形ABCD中，BC＝，PC＝，故Rt△PBC中，S△EFC＝S△PBC＝，所以四面体D﹣EFC的体积V＝S△EFC•DE＝．20．2020年是脱贫攻坚的收宫之年，国务院扶贫办确定的贫困县已全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大胜利，为我国全面建成小康社会，实现第一个百年目标打下了坚实基础．在扶贫政策的大力支持下，某县汽车配件厂经营得十分红火，不仅解决了就业也为脱贫作出了重大贡献．现该厂为了了解其主打产品的质量，从流水线上随机抽取200件该产品，统计其质量指数并绘制频率分布直方图（如图1）：根据经验，产品的质量指数在[50，70）的称为A类产品，在[70，90）的称为B类产品，在[90，110]的称为C类产品，A、B、C三类产品的销售利润分别为每件3、7、11（单位：元）．以这200件产品的质量指数位于各区间的频率代替产品的质量指数位于该区间的概率．（1）求每件产品的平均销售利润；（2）该厂为了解年营销费用x（单位：万元）对年销售量y（单位：万件）的影响，对近5年的年营销费用x i和年销售量y i（i＝1，2，3，4，5）数据做了初步处理，得到的散点图（如图2）及一些统计量的值．，，，，其中u i＝lnx i，v i＝lny i，，．根据散点图判断，y＝a•x b可以作为年销售量y（万件）关于年营销费用x（万元）的回归方程．（ⅰ）建立y关于x的回归方程；（ⅱ）若该厂规定企业最终收益为销售利润减去营销费用以及和营销费用等额的员工奖金，请你用（ⅰ）所求的回归方程估计该厂应投入多少营销费，才能使得该产品一年的最终收益达到最大？参考公式和参考数据：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（u n，v n），其回归直线＝+u的斜率和截距的最小二乘估计分别为，，e4.159＝64．解：（1）由题知，产品为A，B，C类产品的频率（概率）分别为0.15，0.45，0.4，记每件产品的销售利润为ξ，则ξ的分布列为ξ3711p0.150.450.4每件产品的平均销售利润Eξ＝3×0.15+7×0.45+11×0.4＝8（元）．（2）（ⅰ）由y＝a•x b，得lny＝blnx+lna，令u＝lnx，v＝lny，c＝lna，则v＝bu+c，所以＝＝＝0.25，所以＝﹣＝﹣0.25×＝4.159．所以＝0.25u+4.159，所以ln＝0.25lnx+4.159，所以＝e4.159x，即＝64x．（ⅱ）设年收益为z万元，则z＝（Eξ）y﹣2x＝8×64x﹣2x，令x＝t，所以z＝f（t）＝8×64t﹣2t4，所以f′（t）＝8×64﹣8t3，所以f′（t）＝0，得t＝4，当t∈（0，4）时，f′（t）＞0，f（t）单调递增，当t∈（4，+∞）时，f′（t）＜0，f（t）单调递减，所以z max＝f（x）max＝f（4）＝768，此时x＝256，即当投入256万元营消费，能使得该产品一年的最终收益达到最大，最大值为768万元．21．已知为椭圆C1：＝1（a＞b＞0）上一点，过点D作抛物线C2：x2＝4y的两条切线，切点分别为A，B．（1）求AB所在直线方程；（2）若直线AB与椭圆C1相交于P，Q两点，O为坐标原点，设直线PQ，DP，DQ的斜率分别为k，k1，k2，是否存在符合条件的椭圆使得k1+k2＝8k成立？若存在，求出椭圆方程；若不存在，请说明理由．解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），由x2＝4y，得y＝，则y′＝，故抛物线在A点处的切线方程为，即，可得，①同理可得抛物线在B点处的切线方程为，②将点D（，﹣3）代入①②得：x1﹣y1+3＝0，x2﹣y2+3＝0．∴AB所在直线方程为x﹣y+3＝0；（2）设P（x3，y3），Q（x4，y4），联立，得（b2+a2）x2+6a2x+9a2﹣a2b2＝0（*）．∴，，＝8k PQ＝8k AB＝8，∴（x3+3）x4+（x4+3）x3＝8x3x4，得x3+x4＝2x3x4，代入根与系数的关系，可得，化简得b2＝12．又点在椭圆上，可得，得a2＝48，此时（*）的判别式大于0，符合题意，故存在符合条件的椭圆，使得k1+k2＝8k成立．22．已知函数f（x）＝x﹣lnx﹣a（a∈R）．（1）讨论函数f（x）的零点个数；（2）当a＞1时，实数x0为函数f（x）的小于1的零点，求证：①；②．解：（1）f′（x）＝1﹣（x＞0），令f′（x）＝0得x＝1，所以在x∈（0，1）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减，在x∈（1，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以f（x）min＝f（1）＝1﹣a，当a＜1时，f（x）＞0，函数f（x）没有零点，当a＝1时，函数f（x）有一个零点x＝1，当a＞1时，f（1）＜0，且x→0时，f（x）→+∞；x→+∞时，f（x）→+∞，故函数有两个零点．（2）由（1）知当a＞1时，f（x）有两个零点，设x0为较小的零点，即0＜x0＜1，且a＝x0﹣lnx0＝lne+ln＝ln（e），所以e a＝e，①要证x0++1＜e a，即证x0++1＜e，即证e＞x02+x0+1（x0∈（0，1）），令φ（x）＝e x﹣x2﹣x﹣1（0＜x＜1），所以φ′（x）＝e x﹣x﹣1，φ″（x）＝e x﹣1，所以φ″（x）＞0，所以φ′（x）在（0，1）上单调递增，所以φ′（x）＞φ′（0）＝0，所以φ（x）在（0，1）上单调递增，所以φ（x）＞φ（0）＝0（0＜x＜1），所以e＞x02+x0+1成立．②解法一：因为a＞1，所以lna＞0，所以2a﹣lna＜2a，故要证＞2a﹣lna，即可证＞2a，即证x0+＞2（x0﹣lnx0），也即证2lnx0+﹣x0＞0（0＜x0＜1），令h（x）＝2lnx+﹣x，所以h′（x）＝﹣﹣1＝＝＜0，所以h（x）在（0，1）单调递减，所以h（x）＞h（1）＝0，所以2lnx0+﹣x0＞0（0＜x0＜1），令h（x）＝2lnx+﹣x，所以h′（x）＝﹣﹣1＝＝＜0，所以h（x）在（0，1）上单调递减，所以h（x）＞h（1）＝0，所以2lnx0+﹣x0＞0（0＜x0＜1）成立，从而原不等式得证．解法二：要证＞2a﹣lna，即证x0+﹣2（x0﹣lnx0）+ln（x0﹣lnx0）＞0，即证﹣x0+2lnx0+ln（x0+ln）＞0，也即证（﹣ln）﹣[（x0+ln）﹣ln（x0+ln）＞0，令t＝，则t＞1，故只需证（t﹣lnt）＞（+lnt）﹣ln（+lnt）成立，即需f（t）＞f（+lnt）成立即可，注意到（+lnt）′＝﹣＝＞0，所以+lnt＞1，由于f（x）在x∈（1，+∞）上单调递增，只需t＞+lnt（t＞1）成立即可，令m（t）＝t﹣﹣lnt，所以m′（t）＝1+﹣＝，显然m′（t）＞0恒成立，所以m（t）＞m（1）＝0，所以t＞+lnt（t＞1）成立，从而原不等式得证．。

重庆南开中学高2021级高一上半期考试数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个备选项中，只有一个是符合题目要求的。

1、设集合A={-1,1,2}，集合B={x|x ∈A 且2-x ∉A}，则B=（ ）A.{-1}B.{2}C.{-1,2}D.{1,2}2、函数11)3(-+-=x x x y 的定义域为（ ）A. [0,3]B.[1,3]C.[3,+ ∞]D.(1,3]3、下列各组的两个函数为相等函数的是（ ）A.)1)(1()(,11)(+-=+-=x x x g x x x fB.52)(,)()52(2-==-x x g x f xC.11)(,11)(22++=+-=x x xx g xx fD.)()(24)(,)(t tx x g x x f ==4、已知函数5a f ,12)121(=-=-）（且x x f ，则a=（ ）A.21- B.21C.2D.15、函数123+-=x xy 的图像为（ ）6、已知函数f （x ）是R 上的奇函数，当x>0时，f （x ）==+-）（则21-f ,4x x （）A.-1B.0C.1D.237、函数的值域为)3,43(,132)(-∈+-=x x x x f （ ）A.[-2,0)B.(-3,0)C.[-825,0)D.[-827,0)8、已知f （x ）是奇函数且在R 上的单调递减，若方程0)()1(2=-++x m f f x 只有一个实数解，则实数m 的值是（ ）A.87-B.83-C.41D.81 9、已知开口向上的二次函数f （x ）对任意x ∈R 都满足f （3-x ）=f （x ），若f （x ）在区间 （a ，2a-1）上单调递减，则实数a 的取值范围为（ ）A.（45,∞-]B.（45,1]C.[-23,+∞) D.（2,∞-] 10、已知f （x ）是定义在（-+∞∞,）上的偶函数，若f （x ）对任意的x 1，x 2∈[0,+∞)（x 1≠x 2）都满足01-x 2f -1x f ,0)()(2121<+>--）（）（则不等式x x x f x f 的解集为（ ） A.（0,2） B.（-2,∞+） C.（-0,∞）),2(+∞⋃ D.（-2,-∞）11、已知函数f （x ）=mx x g m x m x =-+-+)(,4)4(22若存在实数x ，使得f （x ）与g （x ）均不是正数，则实数m 的取值范围是（ ）A.m 4≥B.-24≤≤mC.2≥mD.13-≤≤-m12、已知函数⎩⎨⎧<≥+=0x x -0x x -)(x x 22，，x f ，若关于x 的不等式[]恰有一个整数解，0)(22)(<-+b x f x af 则实数a 的最大值为（ ）A.2B.4C.6D.8二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

x 1 x 1
x 1 x 1
由分母递增知
g x 递减，
g
x
max
g
1
2，
所以
1 2
a1
2
1
1 2
2
a1
1 2
a
1 2
．
5
16．
2
【解析】 f x 为奇函数，由 f 1 f 1 a 1 ，
注意不能用 f 0 0 ，联立两个函数的方程，消去 2x 得到关于 y 的二次方程
2 y2 2m 3 y m 1 0 ，有两个根 y1 和 y2 ，
19．已知函数
f
x
ex x
a
1 x
ln
x
a
1 ．
（1）讨论 f x 的单调性；
（2）若 f x 存在极小值，且极小值大于 a ，求实数 a 的取值范围．
20．重庆作为新兴的“网红城市”，有很多风靡网络的“网红景点”，近几年每年都有大量游客来重庆参观
1
旅游．为了更合理的配置旅游资源，管理部门对首次来重庆旅游的游客进行了问卷调查．据统计，其中 的
相互独立，则应如何定价才能使得每天的平均利润最大？
21．已知椭圆
E
:
x2 a2
y2 b2
1a
b
0 上任意一点到其左右焦点 F1 、 F2 的距离之和均为 4，且椭圆的中
心 O 到直线 bx ay ab 0 的距离为 2 3 ． 3
（1）求椭圆 E 的方程； （2）已知以椭圆右顶点 A 为直角顶点的动直角三角形斜边端点 B 、C 落在椭圆 E 上，求动直角 △ABC 面
（2）设 g x f x t 3t x t x t 4 3t ，
则 g x 0 在2, 4 上恒成立，

重庆南开中学校高2023级数学测试12.27本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分,满分150分,考试时间120分钟.第I 卷(选择题共60分)一､选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.930°表示成α+2kπ(k ∈Z)的形式,则|α|的最小值为()5.6A π 2.3B π.3C π.6D π 2.集合{|1804518090,}k k k Z αα︒︒︒︒⋅+≤≤⋅+∈中的角所表示的范围(阴影部分)是()3.函数()1xf x e x =++零点所在的区间是(A.(0,1)B.(-1,0)C.(-2,-1)D.(1,2)4.当θ∈(0,π)时,若53cos(),65πθ-=-tan()6πθ+的值为() 4.3A4.3B - 3.4C 3.4D -5.已知f(x)是定义在R 上的偶函数,在[0,+∞)上是增函数,若12(sin ),7a f π=52(cos ),(t n 7a )7b f c f ππ==则() A.a>b>cB.c>a>bC.b>a>cD.c>b>a6.已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数,对任意的x ∈R 都有33()(),22f x f x +=-当3(,0)2x ∈-时, 12()log (1)f x x =-,则f(2017)+f(2019)=A.1B.2C.-1D.-27.已知角x 的终边上一点的坐标为55(sin,cos ).66ππ则角x 的最小正值为() 5.6A π 5.3A π .611C π 2.3D π8.已知函数2|ln |,0,()43,0,x x f x x x x >⎧=⎨++≤⎩若函数g(x)=[f(x)]2-4f(x)+m+1恰有8个零点,则m 的取值范围是()A.(1,3)B.(2,3)C.(1,3]D.[2,3)二､选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求｡全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分｡9.已知函数2()lg()f x x ax =-+在区间3[1,]2上单调递减,则a 的取值可以是( )A.3B.22.log 3C3.2D 10.已知3sin cos ,4θθ+=且θ∈(0,π),则() A.tanθ<0B.sin cos θθ-=C.sinθcosθ<0D.sin 3θ+cos 3θ>011.已知实数a,b,c 满足a>b>l>c>0,则下列结论正确的是().a bA c c >.log log a b B c c > 1313.log C a a <2233.a D b <12.已知函数22|log |,0()log |1|,0x x f x x x >⎧=⎨-+≤⎩.若1234()()()()f x f x f x f x ===且1234,x x x x >>>则下列结论正确的有1234.0A x x x x +++< 1234.0B x x x x +++>1244.1C x x x x ≥1144.01D x x x x <<第II 卷(非选择题共90分)三､填空题:本大题4个小题,每小题5分,共20分.各题答案必须填写在答题卡上相应位置(只填结果,不写过程).13.已知扇形的圆心角为2,3π扇形的面积为3π,则该扇形的弧长为____. 14.已知函数()(0,1)xf x a b a a =+>≠的定义域和值域都是[-1,0],则a+b=____..15.已知2sinα-cosα=0,则2sin 2sin cos ααα-=____.16.已知关于x 的不等式21log ()02m mx x -+>在[1,2]上恒成立,则实数m 的取值范围为_____.四､解答题:本大题6个小题,共70分.各题解答必须答在答题卡上(必须写出必要的文字说明､演算步骤或推理过程).17.已知3sin()cos()tan()cos()222().sin(2)tan()sin()a f πππαπαααπααπαπ--++=----- (1)化简f(α).(2)若α是第三象限角,且31cos(),25a π-=求f(α).18.化简下列各式:2log 342233(2)log 9log 2log 3log 342-++⋅.19.已知关于x的方程221)20x x m -+=的两根为sinθ和cosθ(θ∈(0,π)),求(1)m 的值;sin cos (2)11tan 1tan θθθθ+--的值; (3)方程的两根及此时θ的值.20.已知函数4()l )4g(,xf xx -+=其中x ∈(-4,4) (1)判断并证明函数f(x)的奇偶性;(2)是否存在这样的负实数k ､使22(cos )(cos )0f k f k R θθθ-+-≥∈对一切恒成立,若存在,试求出k 取值的集合;若不存在,说明理由.21.园林管理处拟在公园某区域规划建设一半径为r 米,圆心角为θ(弧度)的扇形观景水池,其中O 为扇形AOB 的圆心,同时紧贴水池周边建设一圈理想的无宽度步道.要求总预算费用不超过24万元,水池造价为每平米400元,步道造价为每米1000元.(1)当r 和θ分别为多少时,可使得广场面积最大,并求出最大面积; (2)若要求步道长为105米,则可设计出的水池最大面积是多少.22.已知a ∈R ,函数,2()log [(3)34]f x a x a =-+- (1)当a=2时,解不等式,1()0f x<;(2)若函数2(4)y f x x =-的值域为R,求a 的取值范围;(3)若关于x 的方程21()log (2)0f x a x-+=的解集中恰好只有一个元素,求a 的取值范围.。

2021-2022学年重庆市南开中学校高一下学期期中数学试题一、单选题 1．已知复数52iz =+（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．1- B ．2 C ．i - D ．i【答案】A【分析】根据复数的概念及复数的除法即可求解. 【详解】()()()()52i 52i 52i 2i 2i 2i 5z --====-++-， 所以z 的虚部为1-. 故选：A.2．若向量a ，b 满足||2a =，||2b =，2a b ⋅=，则||a b -=（ ） A ．2 B ．2C ．23D ．4【答案】B【分析】利用平面向量数量积的运算性质可求得a b -的值. 【详解】由题意可得()22222222222a b a b a a b b -=-=-⋅+=-⨯+=.故选：B.3．两个体积分别为1V ，2V 的几何体夹在两个平行平面之间，任意一个平行于这两个平面的平面截这两个几何体，截得的截面面积分别为1S ，2S ，则“12V V =”是“12S S ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【分析】由祖暅原理，再结合充分条件，必要条件的定义即可求解． 【详解】解：根据祖暅原理，①由12S S ，得到12V V =，∴必要性成立，②由12V V =，则1S ，2S 不一定相等，例如两个完全相同的棱锥，分别正置和倒置，∴充分性不成立，12V V ∴=是12S S 的必要不充分条件，故选：B ．4．如图，在△ABC 中，3AB AD =，CE ED =，设AB a =，AC b =，则AE =（ ）A ．1132a b +B ．1142a b +C ．1152a b +D ．1162a b +【答案】D【分析】根据向量的加法法则，即可求解. 【详解】解：由题意得：11111112223262AE AD AC AB AC a b =+=⨯+=+， 故选：D.5．现将函数()sin 2f x x =的图象向右平移6π个单位长度，再将所得的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的解析式为（ ）A ．sin 3x π⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．sin 6x π⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．sin 43x π⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．sin 46x π⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A【分析】根据三角函数相位平移和周期变换特点得到函数解析式.【详解】()sin 2f x x =向右平移6π个单位长度得sin 2sin(2)63y x x ππ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，再将所得图像上所有点横坐标变为原来倍，纵坐标不变，得：sin()3y x π=-，所以()sin()3g x x π=-故答案为：A6． ABC 中，2cos2cos22sin B C A ->，则 ABC 的形状为（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定【答案】C【分析】先利用二倍角公式化简得到化简得222sin sin sin +<B C A ，进而得到2220-+<c a b ，再利用余弦定理判断.【详解】解：因为在 ABC 中，2cos2cos22sin B C A ->，所以()2222cos 12cos 12sin --->C A B ，化简得222sin sin sin +<B C A ， 即2220-+<c a b ，所以222cos 02-=+<a c b A bc， 因为,2A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以 ABC 的形状为钝角三角形，故选：C7．已知函数()2sin 3f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间[]0,2π上恰有3个零点，则正实数ω的取值范围是( )A ．1723,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．1117,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．513,36⎫⎡⎪⎢⎣⎭D ．75,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【分析】根据0>ω，[]0,2x π∈，得,2333x πππωπω⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，结合正弦函数图像，确定23ππω-的位置范围即可求出ω的范围﹒【详解】∵0>ω，[]0,2x π∈，∴,2333x πππωπω⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦， 函数()2sin 3f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间[]0,2π上恰有3个零点，则如图，2275363233ππωπωππωπ⎧-⎪⎪⇒<⎨⎪-<⎪⎩﹒故选：D ．8．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱AB ，BC 的中点，过1A ，E ，F 三点的平面将正方体分割成两部分，两部分的体积分别为1V ，()212V V V <，则12:V V =（ ）A ．519B ．524C ．717D ．724【答案】C【分析】结合台体体积公式、正方体体积公式求得正确答案. 【详解】由于11////EF AC AC ，所以11,,,E F C A 共面， 111BEFB AC ，所以111BEF B A C -是台体，设正方体的边长为2，111111117111122222322223BEF B A C V -⎛⎫=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭， 所以127737172223V V ==⨯⨯-.故选：C二、多选题9．下列关于复数z 的运算结论，正确的有（ ） A ．2z z z ⋅= B ．22z z = C ．1212z z z z ⋅=⋅ D ．1212z z z z +≤+【答案】ACD【分析】设出复数直接计算可得.【详解】记111222i i i z a b z a b z a b =+=+=+，，，则i z a b =- 则222(i)(i)=z z a b a b a b z ⋅=+-+=，A 正确； 因为2222(i)2i z a b a b ab =+=-+，故B 错误； 因为12112212121221(i)(i)=()i z z a b a b a a b b a b a b ⋅=++-++，所以2222222222121212122112122112()()z z a a b b a b a b a a a b a b b b ⋅=-++=+++ 又22222222222212112212122112()()z z a b a b a a a b a b b b ⋅=++=+++，故C 正确； 222222212121212121212()()22z z a a b b a a b b a a b b +=+++=+++++2222222221211221122()2()()z z a b a b a b a b +=++++++因为2222222222221122121221122()()2a b a b a a a b a b b b ++=+++ 22221212121212122222a a a a b b b b a a b b ≥++=+所以1212z z z z +≤+，D 正确. 故选：ACD10．如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，12CC =，点E ，F ，G 分别为棱CD ，1DD ，1CC 的中点，则下列结论中正确的有( )A ．11AB 与FG 共面 B ．AE 与11AC 异面C ．1AG ∥平面AEFD ．该正四棱柱外接球的表面积为8π【答案】ABC【分析】证明11//A B FG 即可判断A ；连接11AC A C 、，证明AE 与11A C 分别是两个互相平行的平面里面的不平行直线即可判断B ；取1AA 的中点为H ，连接,HF HD AF CH AF HD I ⋂=、、、，连接IE ，证明1//A G //CH EI 即可判断C ；根据长方体外接球球心为体对角线中点即可计算长方体外接球半径，从而计算其外接球表面积，从而判断D ．【详解】①1//DD 1CC ，且11,DD CC F =是1DD 中点，G 是1CC 中点， 1//FD ∴1GC ，且11FD GC =，∴四边形11C D FG 是平行四边形，//FG ∴1111,//C D C D 1111,//A B A B ∴11,FG A B ∴与FG 共面，故A 正确；②连接111,//AC AC AA 、111,,CC AA CC =∴四边形11ACC A 为平行四边形， 11//A C ∴AC ，ACAE A =，故AE 与11A C 不平行，而AE ⊂平面11,ABCD AC ⊂平面1111D C B A ，平面//ABCD 面1111D C B A ， 11AC ∴和AE 互为异面直线，故B 正确；③取1AA 的中点为H ，连接,HF HD AF CH AF HD I ⋂=、、、，连接IE . 1//AA 111,,DD AA DD H =是1AA 中点，F 是1DD 中点，//AH ∴DF ，且,AH DF =∴四边形ADFH 是平行四边形， I ∴是DH 的中点，又E 是CD 中点，∴在CDH △中，//EI CH ．1//AA 111,,CC AA CC H =是1AA 中点，G 是1CC 中点， 1//A H ∴1,,CG A H CG =∴四边形1A HCG 是平行四边形，//CH ∴1A G ，/EI /∴1,A G EI ⊂平面1,AEF AG ⊄平面1//,AEF A G ∴平面AEF ，故C 正确．④设该四棱柱外接球半径为R ，则22222(2)11246R R =++⇒=， 故该正四棱柱外接球的表面积为246R ππ=，故D 错误． 故选：ABC.11．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则下列结论正确的有( )A ．若4b =，3sin 4A =，3sin 5B =，则5a = B ．若2bc a =，则3A π≥C ．若4b =，60A =︒，5a =则△ABC 有唯一解 D．若a =23A π≤ 【答案】ACD【分析】根据正弦定理可解A ，根据余弦定理和基本不等式可判断BD ，根据余弦定理解三角形可判断C ．【详解】A 选项：根据正弦定理得，43sin 53sin sin sin 45a b b a A A B B=⇒=⋅=⨯=，故A 正确；B 选项：根据余弦定理得，2222cos a b c bc A =+-，∵2bc a =， ∴22222cos a b c a A =+-，∴222222222221cos 2222b c a bc a a a A a a a +---===， ()0,A π∈，0,3A π⎛⎤∴∈ ⎥⎝⎦，故B 错误；C 选项：由余弦定理得，2222cos a b c bc A =+-，即212516242c c =+-⨯⋅⋅，即2490c c --=，方程Δ0>，设方程两根为12c c 、，∵1290c c =-<，124c c =，∴方程只有一个正根，即c 边有唯一取值，故三角形有唯一解，故C 正确； D 选项：根据余弦定理得，2222cos a b cbc A =+-，∵a = ∴2222cos b c bc A =+-⎝⎭， ∴22222222126261()cos 22()2222b c b c b c bc bc bc b c A bc bc b c bc bc bc +-++==--=-++，当且仅当b ＝c 时取等号，∵()0,A π∈，203A π∴<，故D 正确． 故选：ACD ．12．已知平面向量满足1a =，2b =，22c b a b a --=-，则以下说法正确的是（） A ．2b a = B ．13a b +≤≤C ．若0a b ⋅=，则c a -的最大值是D ．c a ⋅的取值范围是[]4,5- 【答案】BCD【分析】由题意当2b a =时，4=0c a -，由已知不能确定4=0c a -，判断A;利用绝对值不等式性质可判断B;建立直角坐标系，利用坐标运算表示出42c a -=结合三角函数性质，判断C;作图分析可得向量c 对应的点轨迹为圆，利用圆的性质，结合数量积的几何意义，可判断D.【详解】A 选项：当2b a =时， 22=0c b a b a --=-，即4=0c a -，由已知不能确定4=0c a -是否成立，故A 错误；B 选项：3a b a b ++=≤，||||||||1a b a b +≥-=，B 选项正确： 对于C,因为0a b ⋅=，故以向量a ，b 起点为坐标原点，a 方向为y 轴正方向，b 方向为x 轴正方向，建立坐标系,则()0,1a =，()2,0b =，设(),c x y =， 由()22c a b b a -+=-， 得()()22228x y -+-=，设2x θ=+，2y θ=+，[0,2]θπ∈ ， ()(),12,1c a x y θθ-=-=++，则42c a -=其中2cos ))θθθθθϕ+=+=+，(sin ϕϕ== ，故θθ+≤2πθϕ+=时取等号，故410c a -≤C 选项正确；D 选项：以b ，2a 邻边作平行四边形OADB 为菱形，2,OA a OB b == ， 2AB b a =-，2OD b a =+，设OC c = ，由题目条件，可知点C 的轨迹是以D 为圆心，2r b a AB =-=为半径的圆． 设AOD θ∠=，则4cos OD θ=，4sin AB θ=，所求的cos c c a θ⋅=，即为c 在a 上的投影， 如图所示，延长OA 交点C 的轨迹于F ,作DE AF ⊥ , 当C 为图中两条切线的切点时，取得最大值、最小值，()2maxcos 4cos 4sin c a OE BF OD r θθθ⋅=+=+=+22154sin sin 14(sin )524θθθ⎡⎤⎡⎤=-++=--+≤⎣⎦⎢⎥⎣⎦=，当1sin 2θ=时取等号， 同理，可得()22mincos 4cos 4sin 4sin 44sin c dOD r θθθθθ⋅-=-=-+=-2154(sin )424θ⎡⎤=-++≥-⎢⎥⎣⎦，当sin 1θ= 时取等号，故[]4,5c a ⋅∈-，故D 选项正确， 故选：BCD三、填空题13．在ABC 中，,,a b c 是角,,A B C 所对的边长，若sin :sin :sin 4:5:6A B C =，则cos C ________．【答案】18【分析】由正弦定理得到::4:5:6a b c =，设ABC 的三边分别为4,5,6，结合余弦定理，即可求解.【详解】由sin :sin :sin 4:5:6A B C =，由正弦定理可得::4:5:6a b c =， 可设ABC 的三边分别为4,5,6a b c ===，由余弦定理可得2222224561cos 22458a b c C ab +-+-===⨯⨯， 故答案为：18.14．如图，△ABC 中，90A ∠=︒，2AB AC ==，点M 为边BC 的中点，点N 为边AB 的中点，则AM CN ⋅=_________．【答案】－1【分析】用AB AC 、作为基底表示出AM CN 、即可根据数量积的运算律计算． 【详解】()()()()111224AM CN AB AC CB CA AB AC AB AC AC ⋅=+⋅+=+⋅-- ()()()()()22211112||2|||414444AB AC AB AC AB AC AC =+⋅-=-=⨯-=⨯-=-． 故答案为：－1．15．某同学欲为台灯更换一种环保材料的灯罩，如图所示，该灯罩是一个有上底面无下底面的圆台．经测量，灯罩的上底面直径为18 cm ，下底面直径为34 cm ，灯罩的侧面展开图是一个圆心角为23π的扇环，则新灯罩所需环保材料的面积为_________2cm (结果保置π)．【答案】705π【分析】作出圆台轴截面图像和侧面展开图，找到边长对应关系，根据扇形面积和圆的面积计算公式即可计算． 【详解】如图为圆台轴截面：如图为圆台侧面展开图：圆台上底面半径为19r =，下底面半径为217r =，1112323r l r ππ==，2222323r l r ππ==， 则扇环面积为：()()()222222112211213333179624r l rl r r r r r r ππππππ-=⋅-⋅=-=-=，则新灯罩所需环保材料的面积为：()22162462481705cm r πππππ+=+=．故答案为：705π．16．△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，满足()2221cos cos 0A c ac C b a --+-=，点D 、E 分别在边AC 、BC 上，2AD CD =，若2BD =，则△ABC 的面积的最大值为_________． 33【分析】根据条件结合余弦定理和三角恒等变换得出角A ,在ABD △中由余弦定理求出AD AB ⋅的最大值，从而得出答案.【详解】由()2221cos cos 0A c ac C b a --+-=可得2222cos cos c b a ac C c A +-=+即22cos cos cos bc A ac C c A =+,即22sin sin cos sin sin cos sin cos B C A A C C C A =+ 由0C π<<则sin 0C ≠，所以()2sin cos sin cos sin cos sin sin B A A C C A A C B =+=+= 即2sin cos sin B A B =,由0B π<<则sin 0B ≠, 1cos 2A =, 又0A π<<,所以3A π=在ABD △中, 2222cos BD AB AD AB AD A =+-⋅⋅所以22222224233333AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=+-⋅≥⋅⋅-⋅=⋅ ⎪⎝⎭所以6AB AC ⋅≤，当且仅当23AB AC =时等号成立. 由13333sin 62442ABCSAB AC A AB AC =⋅=⋅≤⨯=所以△ABC 的面积的最大值为332故答案为：332四、解答题17．已知z 为虚数，z 为z 的共轭复数，满足2i 3z z =⋅-，其中i 为虚数单位． (1)求z z ⋅ (2)若5mz -m 的值． 【答案】(1)5 (2)5m =【分析】（1）设()i ,z a b a b R =+∈，根据2i 3z z =⋅-，利用复数相等求解； （2）先化简5mz 5mz 为纯虚数求解. 【详解】(1)解：设()i ,z a b a b R =+∈，则i z a b =-， 由题意得：()()2i i i 3a b a b +=--，即22i 3i +=-+a b b a ，则232a b b a =-⎧⎨=⎩，解得21a b =-⎧⎨=-⎩， 所以()()2i 2i 5⋅=---+=z z ；(2)∵()552552i 2i ⎫⎫=--=--+⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭mz m m m ， 且5mz 为纯虚数， ∴252050m m ⎧-=⎪⎪⎨⎫⎪-≠⎪⎪⎪⎝⎭⎩，∴m =18．已知平面直角坐标系xOy 中，有三个不同的点A ，B ，C ，其中()0,2A ，()3,1B ，(),C x y ． (1)若2AC BC =，求点C 的坐标；(2)若CA CB ⊥，且OC AB =，求OC AB ⋅． 【答案】(1)()6,0； (2)0﹒【分析】(1)根据向量线性运算的坐标表示即可列方程求解；(2)向量垂直，数量积为零，据此求出C 的坐标，再根据向量数量积坐标表示即可求解． 【详解】(1)∵(),2AC x y =-，()3,1BC x y =--，∴()()23622210x x x AC BC y y y ⎧=-=⎧⎪=⇒⇒⎨⎨-=-=⎪⎩⎩，即C 的坐标为()6,0C ．(2)∵(),2CA x y =--，()3,1CB x y =--，由2222·0332010CACBx y x y OC AB x y ⎧=⎧+--+=⎪⇒⎨⎨=+=⎩⎪⎩， 解得：13x y =⎧⎨=⎩或31x y =⎧⎨=⎩，又∵A ，B ，C 为三个不同的点，13x y =⎧⎨=⎩，∴()1,3OC =，()3,1AB =-， ∴0OC AB ⋅=．19．已知平面向量()cos sin a x x x =-，()cos sin ,2cos b x x x =+，设函数()f x a b =⋅．(1)求函数()y f x =图象的对称轴；(2)若方程()f x m =在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有两个不相等的实数根，求实数m 的取值范围．【答案】(1)()62k x k Z ππ=+∈ (2)()1,2m ∈【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标表示及三角恒等变换公式将函数化简，再结合正弦函数的性质计算可得；（2）由x 的取值范围，求出26x π+的范围，即可求出函数的单调区间，依题意可得()y f x =与y m =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有两个不同的交点，即可得解；【详解】(1)解：因为()cos sin a x x x =-，()cos sin ,2cos b x x x =+，且()f x a b =⋅，所以()()()cos sin cos sin cos f x a b x x x x x x =⋅=-++22cos sin cos x x x x =-+cos 22x x =12cos 222x x ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ 2sin 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭即()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当()262x k k Z πππ+=+∈时，解得()62k x k Z ππ=+∈， 所以对称轴()62k x k Z ππ=+∈． (2)解：当02x π<<时，72666x πππ<+<， 令2662x πππ<+≤，解得06x π<≤，即函数在0,6π⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增，令72266x πππ<+<，解得62x ππ<<，即函数在,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，又()02sin 16f π⎛⎫== ⎪⎝⎭，2sin 22666f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2sin 22sin 12266f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵()f x m =在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有两个不相等的实数根，即()y f x =与y m =有两个不同的交点， ∴()1,2m ∈．20．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，已知sin 20a B A =． (1)求角B 的大小；(2)给出三个条件：①b =②3a c +=+③cos sin c C A =，从中选出两个作为已知条件，求△ABC 的面积． 【答案】(1)6B π=【分析】（1）由正弦定理统一为三角函数化简可得；（2）选①②利用余弦定理可求出ac ，再由面积公式求解；选①③由余弦定理及正弦定理转化为关于c 的方程求解即可得c ，再得出a ，由三角形面积公式求解；选②③由正弦定理转化为三角形边的方程，再联立已知即可求出ac ，由面积公式求解.【详解】(1)∵sin 2sin 0a B A =，∴2sin cos sin 0a B B A =∴2cos 0ab B =，从而()cos B 0πB =∈， ∴6B π=(2)若选①②：已知b =3a c +=+1）可知6B π=，由余弦定理可得22222cos 32a c b B a c ac +-==⇒+=∴()223a c ac +-=，即((2323ac +-=．解得ac =1sin 2ABCSac B ==若选①③：已知b =sin sin c C A =．由余弦定理可得22222cos 32a c b B a c ac +-==⇒+=∵sin sin c C A =，∴2c a =．∴43230c c +-=，即(30c c c +=∴c =∴3a =，∴1sin 2ABCSac B ==若选②③：已知3a c +=sin sin c C A = ∵sin sin c C A =，∴2c a =．23a c c a ⎧+=+⎪⎨=⎪⎩3c a ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩∴1sin 2ABCSac B ==21．“方舱医院”原为解放军野战机动医疗系统中的一种，是可以移动的模块化卫生医疗平台，一般由医疗功能区、病房区、技术保障区等部分构成，具有紧急救治、外科处置、临床检验等多方面功能．某市有一块三角形地块，因疫情所需，当地政府现紧急划拨该地块为方舱医院建设用地．如图所示，2km AB BC AC ===，D 是BC 中点，E 、F 分别在AB 、AC 上，△CDF 拟建成技术保障区，四边形AEDF 拟建成病房区，△BDE 拟建成医疗功能区，DE 和DF 拟建成专用快速通道，90EDF ∠=︒，记CDF θ∠=(1)若30θ=︒，求病房区所在四边形AEDF 的面积；(2)当θ取何值时，可使快速通道E -D -F 的路程最短？最短路程是多少？ 【答案】53(2)45θ=︒，最短路程326【分析】（1）根据已知条件中的几何关系可知，DCF 是直角三角形、BDE 是等边三角形 ，分别求出线段的长，再进行面积求解即可；（2）在△BDE 中和△CDF 中分别表示出DE 、DF ，表示出快速通道E -D -F 的路程，再运用三角恒等变换公式进行化简，最后从函数值域的角度求最值. 【详解】(1)30θ=︒，则Rt DCF △中，1DC =，12CF =，3DF =； BDE 为等边三角形，1BD DE BE ===，DE AC ∥，四边形AEDF 为直角梯形，其面积为：13353122AEDP S ⎛=+= ⎝⎭(2)在△BDE 中，由正弦定理：()()sin60sin 30sin 90DE BD BEθθ==︒︒+︒- 在△CDF 中，由正弦定理；()sin60sin sin 120DF CF CDθθ==︒︒-所以()()sin603sin 30DE θ︒==︒+()()sin603sin 120DF θ︒==- ()()()()33311sin 120sin 30E D F l θθ--⎫==+⎪⎪︒-︒+⎝⎭()()()()()31sin cos sin 120sin 303333sin cos 2sin 30sin 12022332sin cos sin21θθθθθθθθθθθ++⎫︒-+︒+++==⎪⎪︒+︒-⎛⎫⎝⎭++ ⎪⎝⎭sin cos 2sin 1,24t πθθθ⎛⎫⎡⎤=+=+∈ ⎪⎣⎦⎝⎭，则22sin cos 1t θθ=- ()23333122331122t l t t tθ++==-⎛⎫-+- ⎪-⎝⎭在1,2t ⎡⎤∈⎣⎦上单调递减，所以当2t =即45θ=︒时，取最小值326l =-.22．如图，圆柱1OO 的轴截面ABCD 为正方形，2AB =，EF 是圆柱上异于AD ，BC 的母线，P ，Q 分别为线段BF ，ED 上的点．(1)若P ，Q 分别为BF ，ED 的中点，证明：//PQ 平面CDF ； (2)若1BP DQ CFPF QE DF==≤，求图中所示多面体FDQPC 的体积V 的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2)最大值12．【分析】（1）连接CE ，根据圆柱的性质可得四边形BEFC 为平行四边形，即可得到P 为CE 的中点，从而得到//PQ CD ，即可得证；（2）设CDF θ∠=，0,4πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，即可得到2sin CF θ=，2cos DF θ=，再根据比例关系，表示出DCF S △，PCF S △，表示出三棱锥Q CFD -与三棱锥Q PCF -的高，根据锥体的体积公式得到22tan 1sin 23tan 1(tan 1)CDFPQ Q CFD Q DCF V V V θθθθ--⎛⎫=+=+ ⎪++⎝⎭，令tan ,01x x θ=<≤，则1141132CDFPQx x V x x x x ++=⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，再令113u x x =++≥，根据函数的性质求出最大值；【详解】(1)证明：如图连接CE ，根据圆柱的性质可得//BC EF 且BC EF =，所以四边形BEFC 为平行四边形， 因为P 为BF 的中点，所以P 为CE 的中点，又Q 为ED 的中点，所以//PQ CD ， 因为PQ ⊄平面CDF ，CD ⊂平面CDF ， 所以//PQ 平面CDF ，(2)解：Rt CDF 中，设CDF θ∠=，0,4πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则2sin CF θ=，2cos DF θ=，所以2sin tan 12cos BP DQ CF PF QE DF θθθ====≤， 所以12sin cos sin 22DCFS CF DF θθθ=⋅==， 1112sin 2sin 2tan 12tan 1tan 1PCFBCF SSθθθθθ=⋅=⨯⨯⨯=+++设三棱锥Q CFD -高为h ，设三棱锥Q PCF -高为s ， 由比例关系，可知tan 2tan tan 1tan 1h EF θθθθ=⋅=++，21ta 1co n 1tan s s DF θθθ=⋅=++ 所以，12sin 2tan 33tan 1Q CFDCFD V S h θθθ-=⋅=+，()212sin 233tan 1Q PCF PCF V S s θθ-=⋅=+22tan 1sin 23tan 1(tan 1)CDFPQ Q CFD Q DCF V V V θθθθ--⎛⎫=+=+ ⎪++⎝⎭ ∵22tan sin 2tan 1θθθ=+∴()()222tan tan tan 1431tan (tan 1)CDFPQV θθθθθ++=++ ∵设tan ,01x x θ=<≤∴()()()222111441133112CDFPQ x x x x x V x x x x x x ++++==⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 令113u x x=++≥，当且仅当1x =时取等号，则()()244411311313CDFPQ u u V u u u u u===-+--又CDFPQ V 关于u 在[)3,+∞上单调递减，∴当3u =，即1x =，即45θ=︒时，CDFPQ V 取到最大值12．。

天津市南开中学2021届高三上学期第三次月考数学试卷（含答案解析）高考真题高考模拟高中联考期中试卷期末考试月考试卷学业水平同步练习天津市南开中学2021届高三上学期第三次月考数学试卷（含答案解析）1 设集合，集合，则A∩B=（）A. B. C. D.【答案解析】 B分析：根据已知条件，直接求集合的交集即可.解答：因为，，，故选：B．2 下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是（）A. y＝B. y＝C. y＝D. y＝【答案解析】 A分析：画出每个函数的图象，即得解.解答：y＝＝，y＝＝，y＝，y＝，它们的图象如图所示:由图象知，只有y＝在(0，＋∞)上单调递增．故选：A.点拨：本题主要考查函数的图象和单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3 函数，图象大致为（）A. B.C. D.【答案解析】 D分析：根据函数的奇偶性和函数图像上的特殊点对选项进行排除，由此得出正确选项.解答：，故函数为奇函数，图像关于原点对称，排除选项.由排除选项.由，排除C选项，故本小题选D.点拨：本小题主要考查函数图像的识别，考查函数的奇偶性的判断方法，属于基础题.4 已知公差不为0的等差数列{an}的首项，若，，成等比数列，则{an}的前5项之和为（）A. －23B. －25C. －43D. －45【答案解析】 D分析：首先根据题意得到，解得，再计算即可.解答：根据题意，，，成等比数列，即，则有，解可得或（舍，则的前5项之和.故选：D点拨：本题主要考查等差数列的前项和，同时考查了等比中项，属于简单题.5 设，，，则a，b，c的大小关系为（）A. B.C. D.【答案解析】 B分析：分别判断，和，再代入计算，可得.解答：因为，所以；又因为，所以；又，所以，所以.故选：B.6 椭圆的焦距为4，则m的值为（）A. 1B. 7C. 1或17D. 7或11【答案解析】 D分析：对椭圆的焦点位置进行分类讨论，结合已知条件可得出关于的等式，进而可求得的值. 解答：在椭圆中，由已知可得，解得.若椭圆的焦点在轴上，可得，解得；若椭圆的焦点在轴上，可得，解得.因此，或.故选：D.7 以下命题正确的是（）A. 命题“任意，”的否定为“存在，”B. 设等比数列的前n项和为，则“”是“公比”的充要条件C. 若对于任意实数λ，有，则向量，不共线D. “直线与平行”是直线与垂直”的充分非必要条件【答案解析】 D分析：根据全称命题的否定为特称命题判断A选项；举反例判断B选项；若对于任意实数λ，非零向量满足，则向量，不共线，C错误；分别根据两直线的平行、垂直关系求出k的值，然后判断两命题之间的关系.解答：命题“任意，”的否定为“存在，”，A错误；，当，n为奇数时有，B错误；若，为零向量，对于任意实数λ，有，但共线，C错误；两直线平行则，解得或1，当时两直线重合不满足条件，所以；由两直线垂直可得，解得或1. 所以“直线与平行”是直线与垂直”的充分非必要条件，D正确.故选：D8 已知函数.给出下列结论：①的最小正周期为；②点是曲线的对称中心；③把函数的图像上所有点向左平移个单位长度，得到函数的图像.其中所有正确结论的序号是（）A. ①B. ①③C. ②③D. ①②③【答案解析】 B分析：本题首先可通过周期计算公式得出①正确，然后求出曲线的对称中心即可判断出②错误，最后通过三角函数的图像变换以及诱导公式判断出③正确.解答：①：函数的最小正周期，①正确；②：，即，则曲线的对称中心为，点不是曲线的对称中心，②错误；③：函数的图像上所有点向左平移个单位长度，得到函数的图像，因为，所以③正确，故选：B.点拨：关键点点睛：本题考查三角函数的周期性、对称性、图像变换以及诱导公式的应用，函数向左平移个单位，得到，然后横坐标缩小倍，得到，再然后向上平移个单位，可以得到，考查推理能力，是中档题.9 已知函数，若方程有且只有三个不同的实数根，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案解析】 D分析：先将有且只有三个不同的实数根转化为两函数有三个交点的问题，结合函数图像，即可求出结果.解答：由得，即，设，,的顶点在直线上，而与的交点坐标为,,联立,可得,由，得，结合函数，的图像可得，要使有且只有三个不同的实数根，只需.故选D.点拨：本题主要考查函数与方程的应用，通常情况下，需要构造函数，结合函数的单调性和图像来处理，属于中档试题.10 i是虚数单位，纯虚数z满足，则实数m的值为________.【答案解析】 2分析：利用复数的除法运算将复数z整理为的形式，再根据z为纯虚数则实部为零求解m. 解答：为纯虚数，，解得.故答案为：211 在的展开式中，常数项是________.【答案解析】 60分析：由二项式定理可得二项式展开式的通项公式，令，运算即可得解.解答：二项式的展开式的通项公式为，令，解得，所以的二项展开式中，常数项为.故答案为：12 已知点和圆C：，则P在圆C________(填内､外或上)，以P为圆心且和圆C内切的圆的方程为________________.【答案解析】外；分析：根据点P距圆心的距离可判断点与圆的位置关系，两圆内切则大圆半径为圆心距加小圆半径. 解答：，P在圆C外，设以P为圆心且和圆C内切的圆的方程为，即，以P为圆心且和圆C内切的圆的方程为.故答案为：外；13 已知向量和的夹角为60°，，，则的值为________.【答案解析】分析：由已知求得，又由，求得，，从而利用，代入可求得答案．解答：因为，所以，又，所以，又向量和的夹角为，所以，得，所以，故答案为：．14 已知，，且，则的最小值为________.【答案解析】分析：利用换元法，设，，所以，再根据基本不等式中“1”的代换，即可求出．解答：设，，所以．故，当且仅当时取等号，即时取等号．故答案为：．点拨：本题解题关键是通过换元法设，，转化为常见基本不等式模型，在的条件下求的最小值，从而顺利求解．15 已知.设函数若关于x的不等式恒成立，则a的取值范围为________.【答案解析】分析：欲利用单调性求值域，确定将，，分成三类讨论，又根据具体情况，在每一类情况下又细分，讨论出符合恒成立的a的取值范围.解答：（1）当时，，的值域为，则恒成立，故成立（2）当时，当，单调递减，故此时.当时，，当时，单调递增；当时，单调递减①当时，在上单调递增.此时的值域为，恒成立②当时，在时，取得最小值当时，，则恒成立当时，.此时若即时，，此时不符合题意故，恒成立，（3）当时，时，为单调递增的一次函数，.时在上为增函数，值域为要有意义，则此时，.,故因此，恒成立综上所述，故答案为：点拨：（1）分段函数问题中参数值影响变形时，往往要分类讨论，需有明确的标准、全面的考虑，注意小分类要求交，大综合要求并.（2）求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求．（3）分段函数的最值的求法：先求每一段的最大（小）值，再把每一段的最大（小）值比较，即得到函数的最大（小）值.16 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，，. （1）求角C的大小；（2）求的值；（3）求的值.【答案解析】（1）30°；（2）；（3）.分析：（1）利用余弦定理求解即可.（2）利用正弦定理求解即可.（3）首先计算，从而得到，，再计算的值即可.解答：（1）由余弦定理，得，又因为，所以.（2）由（1），有，由正弦定理，得.（3）解：由，知A为锐角，故，进而，，所以.17 如图，在四棱锥中，侧棱底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，，，，.（1）设点M为棱的中点，求证：平面；（2）求异面直线和所成角的余弦值；（3）棱SB上是否存在点N，使得平面平面？若存在，求出的长；若不存在，说明理由.【答案解析】（1）证明见解析；（2）；（3）存在，的长为.分析：（1）建立适当的空间直角坐标系，利用向量证明从而证明线面平行；（2）求出向量、的坐标，代入即可求解；（3）设，用表示出点N的坐标，求出平面SBC、平面ANC的法向量，由题意知则，即可带入坐标求得从而求得.解答：（1）证明：以点A为坐标原点，向量，，的方向分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系.易知，，，，，，.设点P为中点，则有，，，又因为平面，平面，所以平面.（2）由，，得.所以，异面直线和所成角的余弦值为.（3）由（1）中知，设平面的法向量为，有，进而，不妨设，得，易知分别为平面ABCD、平面ABS的法向量，，平面ABCD与平面SBC不垂直，，平面ABS与平面SBC不垂直，所以点N不在棱SB的端点处，依题意，设，()，可得.设平面的法向量为，有，进而，不妨设，得.由题意知，，则，解得.此时，.18 设数列{an}是公比为正整数的等比数列，满足，.设数列{bn}满足，.（1）求{an}的通项公式；（2）求证：数列是等差数列，并求{bn}的通项公式；（3）记，.求证：.【答案解析】（1）；（2）证明见解析，；（3）证明见解析.分析：（1）由，解得首项和公比可得答案；（2）由，可得进而求得答案；（3），用裂项相消可得证明.解答：（1）设数列的公比为q，有解得所以.（2）证明：，又因为，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，其通项公式为，进而，.（3）由（1）、（2）知，，所以，所以.点拨：方法点睛：本题考查了分析问题、解决问题的能力，解答的关键是利用等比数列的通项公式、由递推数列求证等差数列、利用裂项相消求和，考查了推理与运算能力.19 已知椭圆C：()的离心率，且点在椭圆上. （1）求椭圆C的方程；（2）若椭圆C的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆位于x轴上方的部分，直线AB与y 轴交于点D，点E是y轴上一点，满足，直线与椭圆C交于点G.若的面积为，求直线AB的方程.【答案解析】（1）；（2）.分析：（1）由离心率及过的点和之间的关系求出椭圆的标准方程；（2）由（1）得的坐标，设直线的方程，与椭圆联立得的坐标，由题意得点的坐标，再由题意得的坐标，表示出面积，求得的值，得到直线的方程.解答：（1）由已知，有，解得，所以椭圆C的方程为；（2）由（1）知，，.设直线的方程为()，其与椭圆C的交点满足方程组消去y得到，解得.在直线的方程中，令，解得，即得.设，由题意，有，解得. 进而得到直线的方程为，其与椭圆C的交点满足方程组消去x得到，解得，进而.由上述过程可得，，点G到直线的距离为.因此，，化简得，解得，所以直线的方程为.点拨：思路点睛：该题考查的是有关直线与椭圆的问题，解题思路如下：（1）根据题意，结合椭圆的性质，结合之间的关系求得椭圆方程；（2）根据题意，设出直线的方程，将其与椭圆方程联立消元，根据题中所给的条件，建立相应的等量关系，求得结果.20 已知函数，.（1）若，求函数的最大值；（2）若，（i）求过原点且与曲线相切的直线方程；（ii）设，为方程()的解，求证：.【答案解析】（1）0；（2）（i）；（ii）证明见解析.分析：（1）当时，，求导.分析导函数的正负，得出原函数的单调性，从而求函数的最大值.（2）（i）记.设切点，求得过点P处的切线方程为.由已知解得，代入可得其切线方程；（ii）构造函数，求导，令，求导得，可得单调递增.又由，得出单调性，从而可得证.解答：解：（1）当时，，.当时，有，则单调递增；当时，有，则单调递减.因此，存在极大值，也即函数的最大值，所以函数的最大值为.（2）（i）记.取曲线上一点，则P处的切线方程为.由题意，有，即，变形后得到方程.记函数，由，知为增函数，故.将其代入切线方程，故所求切线方程.（ii）构造函数，则，令，则.有，故单调递增.又，因此当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以，.由题意，.不妨设，由前述知，，即.所以.点拨：方法点睛：1、利用导数证明不等式或解决不等式恒成立问题,关键是把不等式变形后构造恰当的函数，然后用导数判断该函数的单调性或求出最值，达到证明不等式的目的；2、利用导数解决不等式恒成立问题，应特别注意区间端点是否取得到；3、学会观察不等式与函数的内在联系，学会变主元构造函数再利用导数证明不等式.。

重庆南开中学高2021级高三第一次质量检测数学试题一、单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{A y y ==，111B x x ⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭，则A B ⋂=（ ）． A ．(]1,1-B ．[)1,1-C ．()0,+∞D ．[]0,12．已知()()1i i 0a a +->（i 为虚数单位），则实数a 等于（ ）． A ．1B ．1-C ．1±D ．03．命题“0x ∀>，()ln 1x x +<”的否定是（ ）． A ．0x ∀>，均有()ln 1x x +≥B ．0x ∀≤，均有()ln 1x x +≥C ．00x ∃>，使得()00ln 1x x +≥D ．00x ∃≤，使得()00ln 1x x +≥4．下列函数中，值域为[)0,+∞且在定义域上为单调递增函数的是（ ）． A ．()2ln 1y x =+B ．34y x =C ．2x xy e e-=+-D ．2121x x y -=+5．已知函数()2xf x e x =--，则下列区间中含()f x 零点的是（ ）． A ．()2,1--B ．()1,0-C ．()0,1D ．()f x6．已知()()()ln 1ln 1f x x x =++-，若()()21f a f a -<，则实数a 的取值范围为（ ）． A ．()1,1,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭B ．()1,00,3⎛⎫-∞⋃ ⎪⎝⎭C ．()0,1D ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭7．“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等物理声学作用，激起水波，形成涌泉。

声音越大，涌起的泉水越高。

已知听到的声强m 与标准声调0m （0m 约为1210-，单位：2W m ）之比的常用对数称作声强的声强级，记作L （贝尔），即lgmL m =，取贝尔的10倍作为响度的常用单位，简称为分贝。

重庆南开中学高2024级高一（上）期中考试数学试题本试卷分第 Ⅰ 卷(选择题)和第 Ⅱ 卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟. 第 Ⅰ 卷和第 Ⅱ 卷都答在答题卷上.第 Ⅰ 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题8个小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求，答案请涂写在机读卡上．1. 已知集合{}|5U x N x *=∈≤，{}0, 1, 2, 3A =，{}2, 3, 5B =，则()U A C B =（ ）A ．∅B ．{}1C ．{}1, 2D ．{}2, 32. 命题“21, 10x x x ∀>++>”的否定为（ ）A ．21, 10x x x ∀≤++≤B ． 21, 10x x x ∃≤++≤C ．21, 10x x x ∀>++≤D ． 21, 10x x x ∃>++≤3. 已知集合{}|11A x x =-≤≤，{}|11B y y =-≤≤，则下列图象中，能表示从集合A 到集合B 的一个函数的为（ ）ABCD4. 设a R ∈，则“2a ≥”是“24a ≥”的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不必要也不充分条件5. 已知函数()22f x x ax =++在区间(),3-∞-上单调递减，则实数a 的取值范围为（ ）A ．3a =B ．3a ≤C ．6a ≤D ．6a ≥6. 函数()f x x =- ） A ．(], 2-∞ B ．[)2, +∞ C ．()2, +∞ D ．(, 2)-∞7. 已知集合{}1, 2, 3A =，集合{}2, 3, 4, 5B =，集合C 满足A C ≠∅且C B ⊆，则满足条件的集合C 的个数为（ ） A ．8 B ．12C ．16D ．248. 已知定义在(8, 8)-上的奇函数()f x 在[0, 8)上单调递增，则关于x 的不等式0)()2(32>+-x f x x f 的解集为（ ）A ．()0, 1B ．(2, 0)(1, 4)-C ．(2, 0)(1, )-+∞D ．(2, 0)(1, 2)-二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 9. 已知, , a b c R ∈，若a b >，0c >，则下列关系式中恒成立的有（ ）A ．22ac bc >B ．330a b ->C ． a b >D ．2211c ca b <++ 10. 下列四组函数中是相同函数的有（ ）A ．()1, f n n n N =+∈；()1, g x x x Z =-∈B ．x x f =)(；2)(x x g =C ． ()f x=2()g t =D ． ()f x =()g x =11. 设函数()243f x x x =-+，()2g x ax =-（a R ∈），则下列说法正确的有（ ）A ．函数y =的单调递减区间为(), 2-∞ B ．若函数()()y f x g x =+为偶函数，则4a =C ．若函数y =R ，则[2, 6]a ∈D ．[]10, 3x ∀∈，[]21, 2x ∃∈，使得()()12f x g x ≥，则1a ≤12. 群论是代数学中一门很重要的理论，我们熟知的一元五次及以上的方程没有根式解就可以群论的知识证明，群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设G 是一个非空集合，“”是G 上的一个代数运算，若满足：①,,,a b c G ∀∈有()()a b c a b c =；②e G ∃∈，使得a G ∀∈，有e a a e a ==； ③,a G b G ∀∈∃∈，使a b b a e ==，则称G 关于“”构成一个群，则下列说法正确的有（ ） A ．{1, 1}G =-关于数的乘法构成群 B ．有理数集关于数的乘法构成群 C ．{2|}G m m Z =∈关于数的加法构成群D ．|,}G m n Z =∈关于数的加法构成群第 Ⅱ 卷(非选择题 共90分)三、填空题：本大题4个小题，每小题5分，共20分. 各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果，不写过程）.13. 为庆祝中国共产党成立100周年，某校举办了“永远跟党走”文艺汇演活动. 已知高一（1）班参演了两个节目，20名同学合唱了歌曲《没有共产党就没有新中国》，10名同学表演了诗朗诵《党的赞歌》. 其中，两个节目都参加的有5名同学. 则这个班表演节目的共有____________人.14. 已知29,3,()2,3x x a R f x x a x ⎧->⎪∈=⎨-+≤⎪⎩，若(()5,f f =，则a =____________.15. 设函数()4324211x x x x f x x x -+-+=++，若函数()f x 在R 上的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=____________.16. 设函数()22f x x x a =++，若关于x 的不等式()()0f f x <的解集为空集，则实数a 的取值范围为____________.四、解答题：本大题6个小题，共70分. 各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）.17. （10分）设全集U R =，集合{}240A x x x a =++=，{}220B x x bx =+-=. （1）若集合A 恰有一个元素，求实数a 的值； （2）若(){}2U C A B =，(){}3U C B A =-，求A B .18. （12分）集合103x A x x ⎧-⎫=<⎨⎬+⎩⎭，{}23B x x =-<，{}2,C x m x m m R =<<-∈. （1）求A B ；（2）现有三个条件：①B C C =，②B C =∅，③条件:p x C ∈，:q x B ∈，若p 是q 的充分不必要条件. 在这三个条件中任选一个填到横线上，并解答本题. 选择多个条件作答时，按第一选择给分.已知 ，求实数m 的取值范围.19. （12分）已知定义在R 上的函数()f x 满足：22()()2f x f x x --=+. （1）求函数()f x 的表达式；（2）若函数()()()g x f x ax a R =-∈在区间[]1, 2-上最小值为1，求实数a 的值.20.（12分）2019年7月，教育部出台《关于深化教育教学改革全面提高义务教育质量的意见》，正式提出“五育并举”的教育方针，要求各级各类学校开足开好劳动教育课. 为此，某中学在校内开辟了种植园区，供学生劳动使用. 为保障同学们种植的作物更好地成长，学校准备采购一批优质种子. 某商家在售的优质种子，原价每千克100元，为了促销，准备对购买量大的客户执行团购优惠活动. 购买量没达到20千克时，依然按原单价执行；购买量达到或超过20千克时，超出部分每多一千克，则购买的所有产品单价每千克降低1元. 比如购买21.5千克，则所有的21.5千克均按98.5元单价执行. 另外商家规定一次性最大购买量不超过60千克.（1）求购买该种子x 千克花费的总费用y （元）关于x 的函数；（2）学校采购该种子时，幸运的获得了一张900元代金券，在购买产品总量不少于20千克时，可用来一次性抵扣900元. 那么，在购买量不超过60千克且花掉代金券的前提下，采购该批种子每千克的平均花费在什么范围？21.（12分）设二次函数()f x 满足()13f =-，且关于x 的不等式()0f x <的解集为(0, 4).（1）求函数()f x 的解析式；（2）若关于x 的方程()10mf x x -+=在区间()0, 2上有解，求实数m 的取值范围．22.（12分）已知定义在(0, )+∞上的函数()f x 满足：①(3)0f =；②()()(), 0, 2x y f xy f x f y ∀>=++； ③当()0, 1x ∈时，()2f x <-. （1）求19f ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）求证：函数()f x 在()0, +∞上单调递增；（3）若实数0>a ，()194fff a f ⎛⎫+<- ⎪⎝⎭在10, 2a x +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上恒成立，求a 的取值范围.重庆南开中学2021-2022年度（上）高2024级期中考试数学试题答案一、选择题（单选）13. 2514. 4 15. 216. ⎫+∞⎪⎪⎣⎭四、解答题17. 【答案】（1）4a = （2）{}3, 1, 2A B =--【解析】（1）()1card A = 1640a ∴∆=-= 解得：4a =（2）(){}{}22 2|20U C A B B x x bx =∴∈=+-= 42201b b ∴+-=⇒=-又(){}{}23 3|40U C B A A x x x a =-∴-∈=++= 91203a a ∴-+=⇒=即{}{}2|4301,3A x x x =++==-- {}{}2|201,2B x x x =--==-检验：(){}2U C A B = ，(){}3 U C B A =-{}3, 1, 2A B ∴=--18. 【答案】（1）{}|11AB x x =-<<（2）选①：[)1,m ∈-+∞；选②[)1,m ∈+∞；选③[)1,m ∈-+∞ 【解析】（1）()()101303x x x x -<⇔-+<+ 解得：()3,1x ∈- {}|31A x x ∴=-<<23323x x -<⇔-<-<解得：()1,5x ∈-{}|15B x x ∴=-<< {}|11A B x x ∴=-<<（2）选①：B C C = C B ∴⊆当C =∅即21m m m ≥-⇒≥时，满足题意；当C ≠∅即21m m m <-⇒<时，1125m m m ≥-⎧⇒≥-⎨-≤⎩；∴综上：[)1,m ∈-+∞.选②：当C =∅即21m m m ≥-⇒≥时，满足题意；当C ≠∅即21m m m <-⇒<时，21m -≤-或1m ≥，m ∈∅ 综上：[)1,m ∈+∞ 选③：由题：C B Ü.当C =∅即21m m m ≥-⇒≥时，满足题意；当C ≠∅即21m m m <-⇒<时，1125m m m ≥-⎧⇒≥-⎨-≤⎩； ∴综上：[)1,m ∈-+∞.19. 【答案】（1）2()2f x x =+ （2）2a =±【解析】（1）将22()()2f x f x x --=+①中x 换成x -可得：22()()2f x f x x --=+②联立①②可解得：2()2f x x =+（2）由（1）可得：2()2g x x ax =-+，易知()g x 开口向上且关于2ax =对称 1 当1,2a≤-即2a ≤-时，()g x 在区间[1,2]-上单调递增 min ()(1)312g x g a a =-=+=⇒=-满足题意2 当12,2a -<<即24a -<<时，()g x 在[1,]2a -上单调递减，在[,2]2a上单调递增2min()()2122()24a a g x g a a ==-=⇒==-或舍3 当2,2a≥即4a ≥时，()g x 在区间[1,2]-上单调递减 min 5()(2)621[4,)2g x g a a ==-=⇒=∉+∞，舍去 综上：2a =±.20. 【答案】（1）2100,020120,2060x x y x x x ≤<⎧=⎨-+≤≤⎩（2）[45,60] 【解析】（1）当020x ≤<时，100y x =；当2060x ≤≤时，2[100(20)]120y x x x x =--=-+；2100,020120,2060x x y x x x ≤<⎧∴=⎨-+≤≤⎩.（2）设购买种子每千克的平均花费为()f x ，则由题可知2060x ≤≤；此时2120900900()120()x x f x x x x-+-==-+.当30x =时，900y x x =+取得最小值60；当60x =时，900y x x=+取得最大值75； ∴当2060x ≤≤时，900y x x=+的值域为[60,75]； 故()f x 值域为[45,60]，即购买种子每千克平均花费在[45,60]元. 21. 【答案】（1）2()4f x x x =- （2）1(,)4m ∈-+∞ 【解析】（1）由题可设()(0)(4)(0)f x a x x a =--≠，又(1)331f a a =-=-⇒=， 2()4f x x x ∴=-（2）由221()10(4)14x mf x x m x x x m x x--+=⇔-=-⇔=-在(0,2)x ∈上有解，① 当1x =时，0m =，符合题意； ② 当(0,1)(1,2)x ∈时，令1t x =-，则(1,0)(0,1)t ∈-，213232t m t t t t==----，设3() 2 ( (1,0)(0,1) )h t t t t =--∈-；()h t 在(1,0)-，(0,1)上单调递增，∴()h t 值域为(,4)(0,)-∞+∞. ∴1()y h t =值域为1(,0)(0,)4-+∞综上，当1(,)4m ∈-+∞时原方程有解. 22. 【答案】（1）6)91(-=f （2）证明见解析 （3）1≥a【解析】（1）取3==y x 得，22)3(2)9(=+=f f取1==y x 得，2)1(,2)1(2)1(-=+=f f f 取919==y x ，得，,22)91()9()1(-=++=f f f 6)91(-=f .（2）任取210x x <<，令212,x x y x x ==得：()()11222x f x f x f x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭因为210x x <<，所以2)(),1,0(2121-<∈x xf x x ,所以()()112220x f x f x f x ⎛⎫-=+< ⎪⎝⎭，故函数()f x 在()0, +∞上单调递增. （3）方法一：(9)2f =，所以()92ff f ff f ++=++=所以(14f x f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭， 由（2）知)(x f单调递增，则14x a <，（*） 定义域0,0>->x a x，此时14a 也为正 由题，在)21,0(+∈a x 上有定义，则1,21≥≤+a a a令t =222x ax a t -+=,)21,0(+∈a x ，则]4,0(,21222a x ax a a a ∈-≤+<，所以]2,(222a a x ax a t ∈-+=，]2,(a a t ∈（*）式可化为)41(22+<-t a a t 即02322<--a at t 在]2,(a a t ∈恒成立设a at t t g 232)(2--=，只需,0)2(0)(⎪⎩⎪⎨⎧<≤a g a g 解得321>a综上，1≥a .方法二：()194f a x a f⎛⎫- ⎪⎝⎭()14f a f⎫=+⎪⎭()14fff a f ⎫∴+<+⎪⎭(★)在1(0,)2a +恒成立即可， 由题，在)21,0(+∈a x 上有定义，则12a a +≤， 1a ∴≥， 下证：当1a ≥时，(★)式在区间1(0,)2a +上均成立 ()()222111210222a a a aa a +-+--∴-==≥，,a <≤又14a x -<，且)(x f 单调递增，()14fff a f ⎫∴+<+⎪⎭ ，即1a ≥时，(★)式成立.综上，1≥a。

重庆市南开中学2021年高中数学立体几何多选题100含解析一、立体几何多选题1．如图①，矩形ABCD 的边2BC =，设AB x =，0x >，三角形BCM 为等边三角形，沿BC 将三角形BCM 折起，构成四棱锥M ABCD -如图②，则下列说法正确的有（ ）A ．若T 为BC 中点，则在线段MC 上存在点P ，使得//PD 平面MATB ．当)3,2x ∈时，则在翻折过程中，不存在某个位置满足平面MAD ⊥平面ABCDC ．若使点M 在平面ABCD 内的射影落在线段AD 上，则此时该四棱锥的体积最大值为1 D ．若1x =，且当点M 在平面ABCD 内的射影点H 落在线段AD 上时，三棱锥M HAB -6322++【答案】BCD 【分析】对于A ，延长AT 与DC 的延长线交于点N ，此时，DP 与MN 必有交点； 对于B ，取AD 的中点H ，表示出2223MH MT HT x --，验证当)3,2x ∈时，无解即可； 对于C ，利用体积公式21233V x x =⨯⨯-，借助基本不等式求最值即可； 对于D ，要求外接球半径与内切球半径，找外接圆的圆心，又内接圆半径为2323r =++【详解】对于A ，如图，延长AT 与DC 的延长线交于点N ，则面ATM ⋂面()MDC N MN =．此时，DP 与MN 必有交点，则DP 与面ATM 相交，故A 错误； 对于B ，取AD 的中点H ，连接MH ，则MH AD ⊥．若面MAD ⊥面ABCD ，则有2223MH MT HT x =-=- 当)3,2x ∈时，无解，所以在翻折过程中，不存在某个位置满足平面MAD ⊥平面ABCD故B 正确；对于C ，由题可知，此时面MAD ⊥面ABCD ，由B 可知，(3x ∈，所以()22222221223232331333232x x V x x x x ⎛⎫+-⎛⎫=⨯⨯-=-≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当223x x =-，即6x =时等号成立．故C 正确； 对于D ，由题可知，此时面MAD ⊥面ABCD ，且2MH =因为AHB ，MHB 都是直角三角形，所以M ABH -底面外接圆的圆心是中点，所以1R =，由等体积法，可求得内接圆半径为2323r =++，故61322R r ++=，故D 正确．故选：BCD ． 【点睛】本题从多个角度深度考查了立体几何的相关内容，注意辅助线的作法，以及求内接圆半径的公式、基本不等式、构造函数等核心思想．2．如图，直三棱柱11,ABC A B C -，ABC 为等腰直角三角形，AB BC ⊥，且12AC AA ==，E ，F 分别是AC ，11A C 的中点，D ，M 分别是1AA ，1BB 上的两个动点，则（ ）A ．FM 与BD 一定是异面直线B ．三棱锥D MEF -的体积为定值14C ．直线11B C 与BD 所成角为2π D ．若D 为1AA 中点，则四棱锥1D BB FE -的外接球体积为556【答案】CD【分析】A 当特殊情况M 与B 重合有FM 与BD 相交且共面；B 根据线面垂直、面面垂直判定可证面1BEFB ⊥面11ACC A ，可知EMFS、D 到面1BEFB 的距离，可求D EMF V -；C 根据线面垂直的判定及性质即可确定11B C 与BD 所成角；D 由面面垂直、勾股、矩形性质等确定外接球半径，进而求体积，即可判断各项的正误. 【详解】A ：当M 与B 重合时，FM 与BD 相交且共面，错误； B ：由题意知：BE AC ⊥，AC EF ⊥且BEEF E =，则AC ⊥面1BEFB ，又AC ⊂面11ACC A ，面1BEFB ⋂面11ACC A EF =，所以面1BEFB ⊥面11ACC A ，又1121122EMFSEF BE =⋅⋅=⨯⨯=，D 到面1BEFB 的距离为1h =，所以1133D EMF EMFV h S-=⋅⋅=，错误； C ：由AB BC ⊥，1BC B B ⊥，1B BAB B =，所以BC ⊥面11ABB A ，又11//BC B C ，即11B C ⊥面11ABB A ，而BD ⊂面11ABB A ，则11BD B C ⊥，正确；D ：由B 中，面1BEFB ⊥面11ACC A ，即面DEF ⊥面1BEFB ，则D 到面1BEFB 的距离为1h =，又D 为1AA 中点，若1,BF EB 交点为O ，G 为EF 中点，连接,,OG GD OD ，则OG GD ⊥，故225OD OG GD =+=，由矩形的性质知：152OB OE OF OB ====，令四棱锥1D BB FE -的外接球半径为R ，则5R =，所以四棱锥1D BB FE -的外接球体积为354356V R π==，正确. 故选：CD. 【点睛】关键点点睛：利用线面、面面关系确定几何体的高，结合棱锥体积公式求体积，根据线面垂直、勾股定理及矩形性质确定外接球半径，结合球体体积公式求体积.3．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -，中，E 为棱1CC 上的中点，F 为棱1AA 上的点，且满足1:1:2A F FA =，点F ，B ，E ，G ，H 为过三点B ，E ，F 的平面BMN 与正方体1111ABCD A B C D -的棱的交点，则下列说法正确的是（ ）A ．//HF BEB ．三棱锥的体积14B BMN V -=C ．直线MN 与平面11A B BA 所成的角为45︒D ．11:1:3D G GC = 【答案】ABD 【分析】面面平行性质定理可得出A 正确；等体积法求得B 正确；直线MN 与平面11A B BA 所成的角为1B MN ∠，求其正切值不等于1即可得出C 错误；利用面面平行性质定理和中位线求出11,D G GC 长度即可得出D 正确. 【详解】解：对于A.在正方体1111ABCD A B C D -中平面11//ADA D 平面11BCB C ， 又平面11ADA D 平面BMN HF =，平面11BCB C ⋂平面BMN BE =，有平面与平面平行的性质定理可得//HF BE ，故正确； 对于B.因为1:1:2A F FA =，所以111332B M A B ==， 又E 为棱1CC 上的中点，所以14B N =, 所以1111234432B BMN N B BM V V --⎛⎫==⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，故正确； 对于C.由题意及图形可判定直线MN 与平面11A B BA 所成的角为1B MN ∠， 结合B 选项可得1114tan 13B N B MN B M ∠==≠，故错误； 对于D.同A 选项证明方法一样可证的11//GC B M ，因为E 为棱1CC 上的中点，1C 为棱1B N 上的中点，所以1113=22GC B M = 所以11G=2D ，所以11:1:3D G GC =，故正确. 故选：ABD 【点睛】求体积的常用方法：（1）直接法：对于规则的几何体，利用相关公式直接计算；（2）等体积法：选择合适的底面来求几何体体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面进行等体积变换；（3）割补法：首先把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算.4．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，线段11B D 上有两个动点,E F ，且1EF =，以下结论正确的有（ ）A ．AC BE ⊥B ．异面直线,AE BF 所成的角为定值C ．点A 到平面BEF 的距离为定值D ．三棱锥A BEF -的体积是定值 【答案】ACD 【详解】由AC BD ⊥，1AC DD ⊥可证AC ⊥平面11D DBB ，从而AC BE ⊥，故A 正确； 取特例，当E 与1D 重合时，F 是F '，AE 即1AD ，1AD 平行1BC ，异面直线,AE BF '所成的角是1C BF '∠，当F 与1B 重合时，E 是E '，BF 即1BB ，异面直线,AE BF '所成的角是1A AE '∠，可知1C BF '∠与1A AE '∠不相等，故异面直线,AE BF 所成的角不是定值，故B 错误；连结BD 交AC 于O ，又AC ⊥平面11D DBB ，点A 到平面11BDD B 的距离是2=AO ，也即点A 到平面BEF 的距离是22，故C 正确； 2=AO 为三棱锥A BEF -的高，又1111224BEF S =⨯⨯=△，故三棱锥A BEF -的体积为112234224⨯⨯=为定值，D 正确. 故选：ACD 【点睛】求空间中点到平面的距离常见方法为： （1）定义法：直接作平面的垂线，求垂线；（2）等体积法：不作垂线，通过等体积法间接求点到面的距离； （3）向量法：计算斜线在平面的法向量上的投影即可.5．如图，已知四棱锥P ABCD -所有棱长均为4，点M 是侧棱PC 上的一个动点（不与点,P C 重合），若过点M 且垂直于PC 的截面将该四棱锥分成两部分，则下列结论正确的是（ ）A ．截面的形状可能为三角形、四边形、五边形B ．截面和底面ABCD 所成的锐二面角为4πC ．当1PM =时，截面的面积为52D ．当2PM =时，记被截面分成的两个几何体的体积分别为()1212,>V V V V ，则123=V V 【答案】BCD 【分析】点M 是侧棱PC 上的一个动点，根据其不同位置，对选项逐一进行判断即可. 【详解】A 选项中，如图，连接BD ，当M 是PC 中点时，2MC =，由题意知三角形PDC 与三角形PBC 都是边长为4的正三角形，所以DM PC ⊥,BM BC ⊥，又DM ，BM 在面MBD 内，且相交，所以PC ⊥平面PBD ，三角形MBD 即为过点M 且垂直于PC 的截面，此时是三角形，点M 向下移动时，2MC <，如图，仍是三角形；若点M 由中点位置向上移动，2MC >，在平面PDC 内作EM PC ⊥，交PD 于E ，在平面PBC 内作FM PC ⊥交PB 于F ，平面MEF 交平面PAD 于EG ，交PAB 于FH ，即交平面ABCD 于GH ，则五边形MEGHF 即为过点M 且垂直于PC 的截面，此时是五边形； 故截面的形状可能为三角形、五边形，A 错误；B 选项中，因为截面总与PC 垂直，所以不同位置的截面均平行，截面与平面ABCD 所成的锐角为定值，不妨取M 是中点，连接AC ，BD ，MB ，MD ，设AC ，BD 交点是N ，连接PN ，由题意知，四边形ABCD 是边长为4的菱形，BD AC ⊥，因为MB =MD ，所以MN BD ⊥，故MNC ∠是截面与平面ABCD 所成的锐角，过点M 作MQ AC ⊥，垂足Q.在三角形PAC中，MN =2，NQ=2，故在直角三角形MNQ 中，2cos 2NQ MNC MN ∠==，故4MNC π∠=，故B 正确；C 选项中，当PM =1时，M 是PC 中点，如图，五边形MEGHF 即为过点M 且垂直于PC 的截面，依题意，直角三角形PME 中，2cos PMPE EPM==∠，故E 为PD 的中点，同理，F是PB 的中点，则EF 是三角形PBD 的中位线，1222EF BD ==，G ，H 分别在,AD AB 的中点上，证明如下，当G ，H ，也是中点时，1//,2GH BD GH BD =，有//,22GH EF GH EF ==，四边形EFHG 是平行四边形.依题意，三角形PAC 中4,42PA PC AC ===，故PA PC ⊥，故PC GE ⊥，易见，正四棱锥中BD ⊥平面PAC ，故BD PC ⊥，GH PC ∴⊥，因为 ,GE GH 均在平面EFHG 内，且相交，所以PC ⊥平面EFHG ，故此时平面EFHG 和平面MEF 即同一平面.又BD ⊥平面PAC ，有GH ⊥面平面PAC ，GH GM ⊥，根据对称性有GH GE ⊥，四边形EFHG 是矩形. 即五边形MEGHF 即为过点M 且垂直于PC 的截面，平面图如下:依题意，22GH EF ==2EG FG ==，三角形高为()()22321h =-=，面积是122122⨯=，四边形面积是22242=，故截面面积是52 故C 正确；D 选项中，若PM =2，看B 选项中的图可知，21124M BCD P BCD P ABCD V V V V ---===，故剩余部分134P ABCD V V -=，所以123=V V ，故D 正确.故选：BCD. 【点睛】本题考查了棱锥的截面问题，考查了二面角、体积等计算问题，属于难题.6．在长方体1111ABCD A B C D -中，AB =12AD AA ==，P 、Q 、R 分别是AB 、1BB 、1A C 上的动点，下列结论正确的是（ ）A ．对于任意给定的点P ，存在点Q 使得1D P CQ ⊥B ．对于任意给定的点Q ，存在点R 使得1D R CQ ⊥C ．当1AR A C ⊥时，1ARD R ⊥D ．当113AC A R =时，1//D R 平面1BDC 【答案】ABCD 【分析】本题先建立空间直角坐标系，再运用空间向量在立体几何中的应用逐一判断即可. 【详解】如图所示，建立空间直角坐标系，设(2,,0)P a，0a ⎡∈⎣，(2,)Q b ，[]0,2b ∈，设11A R AC λ=，得到(22,,22)R λλ--，[]0,1λ∈. 1(2,,2)D P a =-，(2,0,)CQ b =，142D P CQ b ⋅=-，当2b =时，1D P CQ ⊥，A 正确；1(22,2)D R λλ=--，12(22)2D R CQ b λλ⋅=--，取22bλ=+时，1D R CQ ⊥，B 正确；1AR A C ⊥，则1(2,22)(2)412440AR AC λλλλλ⋅=--⋅--=+-+=，解得：15λ=，此时12282()()05555AR D R ---⋅=⋅=，1AR D R ⊥，C 正确；113AC A R =，则44()33R，142()33D R =-，设平面1BDC 的法向量为(,,)n x y z =，则100n BD n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，解得(3,n =-，故10n D R ⋅=，故1//D R 平面1BDC ，D 正确.故选：ABCD.【点睛】本题考查了空间向量在立体几何中的应用，是偏难题.7．（多选题）在四面体P ABC -中，以上说法正确的有（ ）A ．若1233AD AC AB =+，则可知3BC BD = B ．若Q 为△ABC 的重心，则111333PQ PA PB PC =++ C ．若0PA BC =，0PC AB =，则0PB AC =D ．若四面体P ABC -各棱长都为2，M N ，分别为,PA BC 的中点，则1MN =【答案】ABC【分析】作出四面体P ABC -直观图，在每个三角形中利用向量的线性运算可得.【详解】对于A ，1233AD AC AB =+，32AD AC AB ∴=+，22AD AB AC AD ∴-=- ， 2BD DC ∴=，3BD BD DC BC ∴=+=即3BD BC ∴=，故A 正确；对于B ，Q 为△ABC 的重心，则0QA QB QC ++=，33PQ QA QB QC PQ ∴+++=()()()3PQ QA PQ QB PQ QC PQ ∴+++++=,3PA PB PC PQ ∴++= 即111333PQ PA PB PC ∴=++，故B 正确； 对于C ，若0PA BC =，0PC AB =，则0PA BC PC AB +=，()0PA BC PC AC CB ∴++=,0PA BC PC AC PC CB ∴++=0PA BC PC AC PC BC ∴+-=,()0PA PC BC PC AC ∴-+=0CA BC PC AC ∴+=,0AC CB PC AC ∴+=()0AC PC CB ∴+=，0AC PB ∴=，故C 正确；对于D ，111()()222MN PN PM PB PC PA PB PC PA ∴=-=+-=+- 1122MN PB PC PA PA PB PC ∴=+-=-- 222222PA PB PC PA PB PC PA PB PA PC PC PB --=++--+22211122222222222222222=++-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= 2MN ∴=，故D 错误.故选：ABC【点睛】用已知向量表示某一向量的三个关键点(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．(3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立．8．如图，线段AB 为圆O 的直径，点E ，F 在圆O 上，//EF AB ，矩形ABCD 所在平面和圆O 所在平面垂直，且2AB =，1EF AD ==，则下述正确的是（ ）A ．//OF 平面BCEB ．BF ⊥平面ADFC ．点A 到平面CDFED ．三棱锥C BEF -【答案】ABC【分析】由1EF OB ==，//EF OB ，易证//OF 平面BCE ，A 正确；B ， 由所矩形ABCD 所在平面和圆O 所在平面垂直， 易证AD ⊥平面ABEF ，所以AD BF ⊥，由线段AB 为圆O 的直径，所以BF FA ⊥，易证故B 正确.C ，由C DAF A CDF V V --=可求点A 到平面CDFE 的距离为7，C 正确. D ，确定线段DB 的中点M 是三棱锥C BEF -外接球心，进一步可求其体积，可判断D 错误.【详解】解：1EF OB ==，//EF OB ，四边形OFEB 为平行四边形，所以//OF BE ， OF ⊄平面BCE ，BE ⊂平面BCE ，所以//OF 平面BCE ，故A 正确.线段AB 为圆O 的直径，所以BF FA ⊥，矩形ABCD 所在平面和圆O 所在平面垂直，平面ABCD平面ABEF AB =，AD ⊂平面 ABCD ，所以AD ⊥平面ABEF ，BF ⊂平面ABEF ，所以AD BF ⊥AD ⊂平面ADF ，AF ⊂平面ADF ，AD AF A =，所以BF ⊥平面ADF ，故B 正确.1OF OE EF ===，OFE △是正三角形，所以1EF BE AF ===，//DA BC ，所以BC ⊥平面ABEF ，BC BF ⊥，BF =2CF ==，DF ===2AB CD ==，CDF 是等腰三角形，CDF 的边DF 上的高2==，1222CDF S =⨯=△， //DA BC ，AD ⊂平面ADF ，BC ⊄平面ADF ，//BC平面ADF ，点C 到平面ADF 的距离为BF =111122DAF S =⨯⨯=△，C DAF A CDF V V --=， 设点A 到平面CDFE 的距离为h ，1133ADF CFD S FB S h ⨯⨯=⨯⨯△△，111733232h ⨯⨯=⨯⨯， 所以217h =，故C 正确. 取DB 的中点M ，则//MO AD ，12MO =，所以MO ⊥平面CDFE ，所以215122ME MF MB MC ⎛⎫====+= ⎪⎝⎭所以M 是三棱锥C BEF -外接球的球心，其半径5， 三棱锥C BEF -外接球的体积为33445553326V r πππ⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，故D 错误， 故选：ABC.【点睛】综合考查线面平行与垂直的判断，求点面距离以及三棱锥的外接球的体积求法，难题.9．如图四棱锥P ABCD -，平面PAD ⊥平面ABCD ，侧面PAD 是边长为26的正三角形，底面ABCD 为矩形，23CD =，点Q 是PD 的中点，则下列结论正确的是（ ）A ．CQ ⊥平面PADB ．PC 与平面AQC 所成角的余弦值为223C ．三棱锥B ACQ -的体积为D ．四棱锥Q ABCD -外接球的内接正四面体的表面积为【答案】BD【分析】取AD 的中点O ，BC 的中点E ，连接,OE OP ，则由已知可得OP ⊥平面 ABCD ，而底面ABCD 为矩形，所以以O 为坐标原点，分别以,,OD OE OP 所在的直线为x 轴，y 轴 ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量依次求解即可.【详解】解：取AD 的中点O ，BC 的中点E ，连接,OE OP ，因为三角形PAD 为等边三角形，所以OP AD ⊥,因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以OP ⊥平面 ABCD ，因为AD OE ⊥，所以,,OD OE OP 两两垂直，所以，如下图，以O 为坐标原点，分别以,,OD OE OP 所在的直线为x 轴，y 轴 ，z 轴，建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(O D A ，(P C B ，因为点Q 是PD的中点，所以Q ， 平面PAD 的一个法向量为(0,1,0)m =，6(22QC =-，显然 m 与QC 不共线， 所以CQ 与平面PAD 不垂直，所以A 不正确；3632(6,23,32),(,0,),(26,22PC AQ AC =-==， 设平面AQC 的法向量为(,,)n x y z =，则 360260n AQ x z nAC ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩，令=1x ，则y z ==， 所以(1,2,n =-，设PC 与平面AQC 所成角为θ，则21sin 36n PCn PC θ⋅===， 所以cos θ=，所以B 正确；三棱锥B ACQ -的体积为 1132B ACQ Q ABC ABC V V S OP --==⋅ 1112326326322=⨯⨯⨯⨯⨯=， 所以C 不正确；设四棱锥Q ABCD -外接球的球心为(0,3,)M a ，则MQ MD =，所以()()()22222263236322a a ⎛⎫⎛⎫++-=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得0a =，即(0,3,0)M 为矩形ABCD 对角线的交点，所以四棱锥Q ABCD -外接球的半径为3，设四棱锥Q ABCD -外接球的内接正四面体的棱长为x ，将四面体拓展成正方体，其中正四面体棱为正方体面的对角线，故正方体的棱长为22x ，所以222362x ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，得224x =， 所以正四面体的表面积为2342434x ⨯=，所以D 正确. 故选：BD【点睛】此题考查线面垂直，线面角，棱锥的体积，棱锥的外接球等知识，综合性强，考查了计算能力，属于较难题.10．如图，1111ABCD A B C D -为正方体，下列结论中正确的是（ ）A ．11A C ⊥平面11BB D DB ．1BD ⊥平面1ACBC ．1BD 与底面11BCC B 2D ．过点1A 与异面直线AD 与1CB 成60角的直线有2条【答案】ABD【分析】由直线与平面垂直的判定判断A 与B ；求解1BD 与底面11BCC B 所成角的正切值判断C ；利用空间向量法可判断D ．【详解】对于A 选项，如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，1BB ⊥平面1111D C B A ，11A C ⊂平面1111D C B A ，则111BB A C ⊥，由于四边形1111D C B A 为正方形，则1111AC B D ⊥， 1111BB B D B =，因此，11A C ⊥平面11BB D D ，故A 正确；对于B 选项，在正方体1111ABCD A B C D -中，1DD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，1AC DD ∴⊥，因为四边形ABCD 为正方形，所以，AC BD ⊥，1D DD BD =，AC ∴⊥平面11BB D D ，1BD ⊂平面11BB D D ，1AC BD ∴⊥，同理可得11BD B C ⊥， 1ACB C C =，1BD ∴⊥平面1ACB ，故B 正确； 对于C 选项，由11C D ⊥平面11BCC B ，得11C BD ∠为1BD 与平面11BCC B 所成角， 且111112tan 2C D C BD BC ∠==，故C 错误； 对于D 选项，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则()1,0,0A 、()0,0,0D 、()0,1,0C 、()11,1,1B ，()1,0,0DA =，()11,0,1CB =，设过点1A 且与直线DA 、1CB 所成角的直线的方向向量为()1,,m y z =， 则221cos ,21DA mDA m DA m y z ⋅<>===⋅++， 1122111cos ,221CB m z CB m CB m y z ⋅+<>===⋅⋅++， 整理可得2222341y z y z z ⎧+=⎨=++⎩，消去y 并整理得2210z z +-=，解得12z =-12z =-由已知可得3z ≤，所以，12z =-+22y =±因此，过点1A 与异面直线AD 与1CB 成60角的直线有2条，D 选项正确.故选：ABD.【点睛】方法点睛：证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法（若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面），解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形（或给出线段长度，经计算满足勾股定理）、直角梯形等等．。