高考数学(苏教,理科)复习第十一章 计数原理、概率、随机变量及其分布第四节 离散型随机变量及其分布列

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第十一章 计数原理与概率、随机变量及其分布

第一节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理

两个计数原理

完成一件事的策略 完成这件事共有的方法

分类加法

计数原理 有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法 N＝m＋n种不同的方法

分步乘法

计数原理 需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法 N＝m×n种不同的方法

(1)每类方法都能独立完成这件事，它是独立的、一次的，且每次得到的是最后结果，只需一种方法就可完成这件事.

(2)各类方法之间是互斥的、并列的、独立的.

(1)每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，只有各个步骤都完成了才能完成这件事.

(2)各步之间是相互依存的，并且既不能重复也不能遗漏.

二、常用结论

1.完成一件事可以有n类不同方案，各类方案相互独立，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法……在第n类方案中有mn种不同的方法.那么，完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法.

2.完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法.那么，完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法.

考点一 分类加法计数原理

1.在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为________.

解析：按十位数字分类，十位可为1,2,3,4,5,6,7,8，共分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别有8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个，则共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36个两位数. 2

答案：36

2.如图，从A到O有________种不同的走法(不重复过一点).

解析：分3类：第一类，直接由A到O，有1种走法；

第二类，中间过一个点，有A→B→O和A→C→O 2种不同的走法；

- 1 - 第一节 两个计数原理

☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆

考纲要求 真题举例 命题角度

1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理，能正确区分“类”和“步”；

2.能利用两个原理解决一些简单的实际问题。 2016，全国卷Ⅱ，5,5分(乘法计数原理)

2016，全国卷Ⅲ，12,5分(加法计数原理)

2014，福建卷，10,5分(乘法计数原理) 1.两个计数原理一般不单独命题，常与排列、组合交汇考查；

2.题型以选择题、填空题为主，要求相对较低。

微知识 小题练

自|主|排|查

两个计数原理：

完成一件事的策略 完成这件事共有的方法

分类加法计数原理 有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法„在n类中有mn种不同方法 N＝m1＋m2＋„＋mn种不同的方法

分步乘法计数原理 需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法„做第n步有mn种不同方法 N＝m1·m2·„·mn种不同的方法

微点提醒

1．分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任意一种方法都可以完成这件事。

2．分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才能完成。

小|题|快|练

一 、走进教材

1．(选修2－3P12A组T2改编)如图，从A城到B城有3条路；从B城到D城有4条路；从- 2 - A城到C城有4条路，从C城到D城有5条路，则某旅客从A城到D城共有________条不同的路线。

【解析】 不同路线共有3×4＋4×5＝32(条)。

【答案】 32

2．(选修2－3P10练习T1改编)乘积(a＋b＋c)(d＋e＋f＋h)(i＋j＋k＋l＋m)展开后共有________项。

【解析】 由(a＋b＋c)(d＋e＋f＋h)(i＋j＋k＋l＋m)展开式各项都是从每个因式中选一个字母的乘积，由分步乘法计数原理可得：其展开式共有3×4×5＝60(项)。

- 1 - §11.8 条件概率、n次独立重复试验与二项分布

考纲展示►

1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念．

2．理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题．

考点1 条件概率

条件概率

(1)定义

设A，B为两个事件，且P(A)>0，称P(B|A)＝PABPA为在事件A发生条件下，事件B发生的条件概率．

(2)性质

①0≤P(B|A)≤1；

②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．

条件概率的性质．

(1)有界性：0≤P(B|A)≤1.( )

(2)可加性：如果B和C为互斥事件，则P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．( )

[典题1] (1)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A：“取到的2个数之和为偶数”，事件B：“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝( )

A.18 B.14 C.25 D.12

(2)1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，则两次都取到红球的概率是( ) - 2 - A.1127 B.1124 C.827 D.924

[点石成金] 条件概率的两种求解方法

(1)定义法：先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝PABPA求P(B|A)．

(2)基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件AB所包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝nABnA.

考点2 事件的相互独立性

(1)定义：设A，B为两个事件，如果P(AB)＝________，则称事件A与事件B相互独立．

(2)性质：若事件A与B相互独立，则A与B、A与B、A与B也都相互独立，P(B|A)＝________，P(A|B)＝________.

[典题2] 为了分流地铁高峰的压力，某市发改委通过听众会，决定实施低峰优惠票价制度．不超过22千米的地铁票价如下表：

1 第2讲 排列与组合

[考纲解读]

理解排列组合的概念及排列数与组合数公式，并能用其解决一些简单的实际问题．(重点)

[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点命题方向. 预测2020年将会考查：①有条件限制的排列组合问题；②排列组合与其他知识的综合问题. 试题以客观题的形式呈现，难度不大，属中、低档题型.

1．排列与组合的概念

2．排列数与组合数

(1)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的□01所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用□02Amn表示．

(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的□03所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用□04Cmn表示．

3．排列数、组合数的公式及性质 2

4．常用结论

(1)①Amn＝(n－m＋1)Am－1n；

②Amn＝nn－mAmn－1；

③Amn＝nAm－1n－1.

(2)①nAnn＝An＋1n＋1－Ann；

②Amn＋1＝Amn＋mAm－1n.

(3)1！＋2·2！＋3·3！＋…＋n·n！＝(n＋1)！－1.

(4)①Cmn＝n－m＋1mCm－1n；

②Cmn＝nn－mCmn－1；

③Cmn＝nmCm－1n－1.

(5)①kCkn＝nCk－1n－1；

②Crr＋Crr＋1＋Crr＋2＋…＋Crn＝Cr＋1n＋1.

1．概念辨析

(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．( )

(2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序．( )

(3)从2,4,6,8任取两个数，分别作对数“log□□”的底数、真数，有多少个不同的对数值？此题属于排列问题．( )

(4)甲、乙、丙、丁四个好朋友相互发微信，共有多少条微信？此题属于组合问题．( )

(5)若组合式Cxn＝Cmn，则x＝m成立．( ) 3 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×