高中数学人教A版选修2-1同步练习：3.1.1空间向量及其加减运算
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第三章 3.1.1空间向量及其加减运算
一、选择题
1．下列命题中，正确的有( )
(1)若A、B、C、D是不共线的四点，则AB→＝DC→是四边形ABCD是平行四边形的充要条件；
(2)若a＝b，b＝c，则a＝c；
(3)向量a、b相等的充要条件是 |a|＝|b|a∥b；
(4)|a|＝|b|是向量a＝b的必要不充分条件；
(5)AB→＝CD→的充要条件是A与C重合，B与D重合．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[答案] C
[解析] (1)正确．∵AB→＝DC→，
∴|AB→|＝|DC→|且AB→∥CD→.
又∵A、B、C、D不共线，∴四边形ABCD是平行四边形．
反之，在▱ABCD中，AB→＝DC→.
(2)正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同．
∵b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同．故a＝c.
(3)不正确．由a∥b，知a与b方向相同或相反．
(4)正确．a＝b⇒|a|＝|b|，|a|＝|b|⇒/ a＝b.
(5)不正确．由AB→＝CD→，知|AB→|＝|CD→|，且AB→与CD→同向．故选C.
2．空间任意四个点A、B、C、D，则DA→＋CD→－CB→等于( )
A.DB→ B．AC→
C.AB→ D.BA→
[答案] D
[解析] 解法1：DA→＋CD→－CB→＝(CD→＋DA→)－CB→
＝CA→－CB→＝BA→.
解法2：DA→＋CD→－CB→＝DA→＋(CD→－CB→) ＝DA→＋BD→＝BA→.
3．已知空间向量AB→、BC→、CD→、AD→，则下列结论正确的是( )
A.AB→＝BC→＋CD→ B．AB→－DC→＋BC→＝AD→
C.AD→＝AB→＋BC→＋DC→ D.BC→＝BD→－DC→
[答案] B
[解析] 根据向量加减法运算可得B正确．
4．如图所示，平行四边形ABCD的对角线交点是O，则下列等式成立的是(
)
A.OA→＋OB→＝AB→ B.OA→＋OB→＝BA→
C.AO→－OB→＝AB→ D.OA→－OB→＝CD→
[答案] D
[解析] OA→－OB→＝BA→＝CD→，故选D.
5．在平行六面体ABCD—A′B′C′D′中，与向量AA′→相等的向量(不含AA ′→)的个数是( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[答案] C
[解析] 利用向量相等的定义求解．
6．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式中运算的结果为向量AC1→的共有(
)
①AB→＋BC→＋CC1→ ②AA1→＋B1C1→＋D1C1→
③AB→－C1C→＋B1C1→ ④AA1→＋DC→＋B1C1→
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[答案] D
[解析] 根据空间向量的加法法则以及正方体的性质，逐一进行判断：①AB→＋BC→＋CC1→＝AC→＋CC1→＝AC1→； ②AA1→＋B1C1→＋D1C1→＝AD1→＋D1C1→＝AC1；
③AB→－C1C→＋B1C1→＝AB1→＋B1C1→＝AC1→；
④AA1→＋DC→＋B1C1→＝AB1→＋B1C1→＝AC1→；
所以，所给四个式子的运算结果都是AC1→.
二、填空题
7．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，若CA→＝a，CB→＝b，CC1→＝c，则A1B→＝__________.
[答案] b－c－a
[解析] A1B→＝CB→－CA1→＝CB→－(CA→＋CC1→)＝b－(a＋c)＝b－c－a.
8．化简(AB→－CD→)－(AC→－BD→)＝__________.
[答案] 0
[解析] 方法1：(利用相反向量的关系转化为加法运算)
(AB→－CD→)－(AC→－BD→)＝AB→－CD→－AC→＋BD→
＝AB→＋DC→＋CA→＋BD→＝AB→＋BD→＋DC→＋CA→＝0.
方法2：(利用向量的减法运算法则求解)
(AB→－CD→)－(AC→－BD→)
＝(AB→－AC→)＋BD→－CD→
＝CB→＋BD→－CD→＝CD→－CD→＝0.
三、解答题
9.如图所示的是平行六面体ABCD—A1B1C1D1，化简下列各式．
(1)AB→＋AD→＋AA1→；
(2)DD1→－AB→＋BC→.
[解析] (1)AB→＋AD→＋AA1→＝AB→＋BC→＋CC1→＝AC1→.
(2)DD1→－AB→＋BC→＝DD1→－(AB→－AD→)＝DD1→－DB→＝BD1→.
10.在四棱柱ABCD—A′B′C′D′中，底面ABCD为矩形，化简下列各式．
(1)AB→＋BB′→－D′A′→＋D′D→－BC→； (2)AC′→－AC→＋AD→－AA′→.
[解析] (1)原式＝AB→＋AA′→＋AD→－AA′→－AD→＝AB→.
(2)原式＝CC′→＋AD→－AA′→＝AD→.
一、选择题
11．已知正方形ABCD的边长为1，设AB→＝a，BC→＝b，AC→＝c，则|a＋b＋c|等于( )
A．0 B．3
C．2＋2 D．22
[答案] D
[解析] 利用向量加法的平行四边形法则结合正方形性质求解，|a＋b＋c|＝2|AC→|＝22.
12．给出下列命题：
①将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆；
②若空间向量a、b满足|a|＝|b|，则a＝b；
③若空间向量m、n、p满足m＝n，n＝p，则m＝p；
④空间中任意两个单位向量必相等；
⑤零向量没有方向．
其中假命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] D
[解析] ①假命题．将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点时，它们的终点将构成一个球面，而不是一个圆；
②假命题．根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但②中向量a与b的方向不一定相同；
③真命题．向量的相等满足递推规律；
④假命题．空间中任意两个单位向量模长均为1，但方向不一定相同，所以不一定相等，故④错；
⑤假命题．零向量的方向是任意的．
13．空间四边形ABCD中，若E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边上的中点，则下列各式中成立的是( )
A.EB→＋BF→＋EH→＋GH→＝0
B.EB→＋FC→＋EH→＋GE→＝0 C.EF→＋FG→＋EH→＋GH→＝0
D.EF→－FB→＋CG→＋GH→＝0
[答案] B
[解析] EB→＋FC→＝EB→＋BF→＝EF→，
EH→＋GE→＝GH→，
易证四边形EFGH为平行四边形，
故EF→＋GH→＝0，故选B.
14．如果向量AB→，AC→，BC→满足|AB→|＝|AC→|＋|BC→|，则( )
A.AB→＝AC→＋BC→ B．AB→＝－AC→－BC→
C.AC→与BC→同向 D.AC→与CB→同向
[答案] D
二、填空题
15．已知空间四边形ABCD，连接AC、BD，设M、N分别是BC、CD的中点，则MN→用AB→、AC→、AD→表示的结果为________________________________．
[答案] 12(AD→－AB→)
[解析] MN→＝12BD→＝12(AD→－AB→)
16．已知平行六面体ABCD—A′B′C′D′，则下列四式中：
①AB→－CB→＝AC→；
②AC′→＝AB→＋B′C′→＋CC′→；
③AA′→＝CC′→；
④AB→＋BB′→＋BC→＋C′C→＝AC′→.
正确的是__________．
[答案] ①②③ [解析] AB→－CB→＝AB→＋BC→＝AC→，①正确；AB→＋B′C′→＋CC′→＝AB→＋BC→＋CC′→＝AC′→，②正确；③显然正确；∵AB→＋BB′→＋BC→＝AC′→，∴④不正确．
三、解答题
17.如图，在空间四边形ABCD中，AB的中点为E，DC的中点为F，证明EF→＝12(AD→＋BC→)．
[证明] 证法1：设AC的中点为G，连接EG，FG.
∵E，F分别为AB，CD的中点，
∴GF→＝12AD→，EG→＝12BC→.
故EF→＝EG→＋GF→＝12(AD→＋BC→)．
证法2：∵E、F分别为AB、CD的中点，
∴EA→＋EB→＝0，DF→＋CF→＝0，
∵EF→＝EA→＋AD→＋DF→，EF→＝EB→＋BC→＋CF→，
∴2EF→＝AD→＋BC→，∴EF→＝12(AD→＋BC→)．
证法3：∵E、F分别为AB、CD的中点，
∴GE→＝12(GA→＋GB→)，GF→＝12(GC→＋GD→)，
∴EF→＝GF→－GE→＝12(GC→＋GD→－GA→－GB→)
＝12[(GC→－GB→)＋(GD→－GA→)]＝12(BC→＋AD→)．
