高中数学 第一章 集合 1.2 集合之间的关系与运算 1.2.2 集合的运算教案 新人教B版必修1

1 1．2.2 集合的运算

整体设计

教学分析

课本从学生熟悉的集合出发，结合实例，引入集合间的运算，同时，结合相关内容介绍补集和全集等概念．在安排这部分内容时，课本继续注重体现逻辑思考的方法，如归纳等．

值得注意的问题：在全集和补集的教学中，应注意利用Venn图的直观作用，帮助学生理解补集的概念，并能够用Venn图进行求补集的运算．

三维目标

1．理解两个集合的并集与交集、全集的含义，掌握求两个简单集合的交集与并集的方法，会求给定子集的补集，感受集合作为一种语言，在表示数学内容时的简洁和准确，进一步提高归纳的能力．

2．通过观察和类比，借助Venn图理解集合的基本运算．体会直观图示对理解抽象概念的作用，培养数形结合的思想．

重点难点

教学重点：交集与并集，全集与补集的概念．

教学难点：理解交集与并集的概念，以及符号之间的区别与联系．

课时安排

2课时

教学过程

第1课时

导入新课

思路1.我们知道，实数有加法运算，两个实数可以相加，例如5＋3＝8.类比实数的加法运算，集合是否也可以“相加”呢？教师直接点出课题．

思路2.请同学们考察下列各个集合，你能说出集合C与集合A、B之间的关系吗？

(1)A＝{1,3,5}，B＝{2,4,6}，C＝{1,2,3,4,5,6}；

(2)A＝{x|x是有理数}，B＝{x|x是无理数}，C＝{x|x是实数}．

引导学生通过观察、归纳、思考和交流，得出结论．教师强调集合也有运算，这就是我们本节课所要学习的内容．

思路3.(1)①如下图甲和乙所示，观察两个图的阴影部分，它们分别同集合A、集合B有什么关系？

②观察集合A与B与集合C＝{1,2,3,4}之间的关系．

(2)①已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，写出由集合A，B中的所有元素组成的集合C.

②已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|x＜0}，在数轴上表示出集合A与B，并写出由集合A与B中的所有元素组成的集合C. 2 学生思考交流并回答，教师直接指出这就是本节课学习的课题：集合的运算．

推进新课

新知探究

提出问题

①通过上述问题中集合A与B与集合C之间的关系，类比实数的加法运算，你发现了什么？

②用文字语言来叙述上述问题中，集合A与B与集合C之间的关系．

③用数学符号来叙述上述问题中，集合A与B与集合C之间的关系．

④试用Venn图表示A∪B＝C.

⑤请给出集合的并集定义．

⑥求集合的并集是集合间的一种运算，那么，集合间还有其他运算吗？

请同学们考察下面的问题，集合A与B与集合C之间有什么关系？

(ⅰ)A＝{2,4,6,8,10}，B＝{3,5,8,12}，C＝{8}；

(ⅱ)A＝{x|x是国兴中学2007年9月入学的高一年级女同学}，B＝{x|x是国兴中学2007年9月入学的高一年级男同学}，C＝{x|x是国兴中学2007年9月入学的高一年级同学}．

⑦类比集合的并集，请给出集合的交集定义，并分别用三种不同的语言形式来表达．

活动：先让学生思考或讨论问题，然后再回答，经教师提示、点拨，并对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路，主要引导学生发现集合的并集和交集运算并能用数学符号来刻画，用Venn图来显示．

讨论结果：①集合之间也可以相加，也可以进行运算，但是为了不和实数的运算相混淆，规定这种运算不叫集合的加法，而是叫做求集合的并集．集合C叫集合A与B的并集，记为A∪B＝C，读作A并B.

②所有属于集合A或属于集合B的元素组成了集合C.

③C＝{x|x∈A，或x∈B}．

④如下图所示．

⑤一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集．其含义用符号表示为A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．

⑥集合之间还可以求它们的公共元素组成集合的运算，这种运算叫求集合的交集，记作A∩B，读作A交B.(ⅰ)A∩B＝C，(ⅱ)A∪B＝C.

⑦一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集．

其含义用符号表示为：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．

用Venn图表示，如下图所示．

应用示例

思路1

例1 设A＝{4,5,6,8}，B＝{3,5,7,8}，求A∪B，A∩B.

活动：让学生回顾集合的表示法和交集、并集的含义，由于本例题难度较小，让学生自己解决，重点是总结集合运算的方法．根据集合并集、交集的含义，借助于Venn图写出．观察这两个集合中的元素，或用Venn图来表示，如下图所示． 3

解：A∪B＝{4,5,6,8}∪{3,5,7,8}＝{3,4,5,6,7,8}．

A∩B＝{4,5,6,8}∩{3,5,7,8}＝{5,8}．

点评：本题主要考查集合的并集和交集．用列举法表示的集合，运算时常利用Venn图或直接观察得到结果．本题易错解为A∪B＝{3,4,5,5,6,7,8,8}．其原因是忽视了集合元素的互异性．解决集合问题要遵守集合元素的三条性质.

变式训练

1．集合M＝{1,2,3}，N＝{－1,5,6,7}，则M∪N＝________，M∩N＝________.

答案：{－1,1,2,3,5,6,7} 

2．集合P＝{1,2,3，m}，M＝{m2,3}，P∪M＝{1,2,3，m}，则m＝________.

解析：由题意得m2＝1或2或m，解得m＝－1,1，2，－2，0.因m＝1不合题意，故舍去．

答案：－1，2，－2，0

3．求下列每对集合的交集：

(1)A＝{x|x2＋2x－3＝0}，B＝{x|x2＋4x＋3＝0}；

(2)C＝{1,3,5,7}，D＝{2,4,6,8}．

解：(1)A∩B＝{1，－3}∩{－1，－3}＝{－3}；(2)C∩D＝

4.已知Q＝{x|x是有理数}，Z＝{x|x是整数}，求Q∪Z.

解：Q∪Z＝{x|x是有理数}∪{x|x是整数}＝{x|x是有理数}＝Q.

4

例2 设A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|1＜x＜3}，求A∪B，A∩B.

活动：学生回顾集合的表示法和并集、交集的含义．利用数轴，将A、B分别表示出来，则阴影部分即为所求．用数轴表示描述法表示的数集．

解：将A＝{x|－1＜x＜2}及B＝{x|1＜x＜3}在数轴上表示出来，如下图所示的阴影部分即为所求．

由图得A∪B＝{x|－1＜x＜2}∪{x|1＜x＜3}＝{x|－1＜x＜3}，

A∩B＝{x|－1＜x＜2}∩{x|1＜x＜3}＝{x|1＜x＜2}．

点评：本类题主要考查集合的并集和交集．用描述法表示的数集，运算时常利用数轴来计算结果.

变式训练

1．设A＝{x|2x－4＜2}，B＝{x|2x－4＞0}，求A∪B，A∩B.

答案：A∪B＝R，A∩B＝{x|2＜x＜3}．

2．设A＝{x|2x－4＝2}，B＝{x|2x－4＝0}，求A∪B，A∩B.

答案：A∪B＝{3,2}，A∩B＝．

3．设A＝{x|x是奇数}，B＝{x|x是偶数}，求A∩Z，B∩Z，A∩B.

解：A∩Z＝{x|x是奇数}∩{x|x是整数}＝{x|x是奇数}＝A，

B∩Z＝{x|x是偶数}∩{x|x是整数}＝{x|x是偶数}＝B，

A∩B＝{x|x是奇数}∩{x|x是偶数}＝．

4．已知A＝{(x，y)|4x＋y＝6}，B＝{(x，y)|3x＋2y＝7}，求A∩B.

分析：集合A和B的元素是有序实数对(x，y)，A，B的交集即为方程组 4x＋y＝6，3x＋2y＝7的解集．

解：A∩B＝{(x，y)|4x＋y＝6}∩{(x，y)|3x＋2y＝7}＝{(x，y)|{ 4x＋y＝63x＋2y＋7}＝{(1,2)}．

5．已知A＝{x|x是等腰三角形}，B＝{x|x是直角三角形}，求A∩B.

解：A∩B＝{x|x是等腰三角形}∩{x|x是直角三角形}＝{x|x是等腰直角三角形}.

思路2

例1 A＝{x|x＜5}，B＝{x|x＞0}，C＝{x|x≥10}，则A∩B，B∪C，A∩B∩C分别是什么？

活动：学生先思考集合中元素特征，明确集合中的元素．将集合中元素利用数形结合在数轴上找到，那么运算结果的寻求就容易进行．这三个集合都是用描述法表示的数集，求集合的并集和交集的关键是找出它们的公共元素和所有元素．

解：因A＝{x|x＜5}，B＝{x|x＞0}，C＝{x|x≥10}，在数轴上表示，如下图所示，所以A∩B＝{x|0＜x＜5}，B∪C＝{x|x＞0}，A∩B∩C＝．

点评：本题主要考查集合的交集和并集．求集合的并集和交集时，①明确集合中的元素； 5 ②依据并集和交集的含义，借助于直观(数轴或Venn图)写出结果.

变式训练

1．设A＝{x|x＝2n，n∈N＋}，B＝{x|x＝2n，n∈N}，求A∩B，A∪B.

解：对任意m∈A，则有m＝2n＝2·2n－1，n∈N＋，因n∈N＋，故n－1∈N，有2n－1∈N，那么m∈B，即对任意m∈A有m∈B，所以AB.

而10∈B但10A，即AB，那么A∩B＝A，A∪B＝B.

2．求满足{1,2}∪B＝{1,2,3}的集合B的个数．

解：满足{1,2}∪B＝{1,2,3}的集合B一定含有元素3，B＝{3}；还可含1或2其中一个，有{1,3}，{2,3}；还可含1和2，即{1,2,3}，那么共有4个满足条件的集合B.

3．设A＝{－4,2，a－1，a2}，B＝{9，a－5,1－a}，已知A∩B＝{9}，求a.

解：因A∩B＝{9}，则9∈A，a－1＝9或a2＝9，

a＝10或a＝±3，

当a＝10时，a－5＝5,1－a＝－9；

当a＝3时，a－1＝2不合题意；

当a＝－3时，a－1＝－4不合题意．

故a＝10，此时A＝{－4,2,9,100}，B＝{9,5，－9}，满足A∩B＝{9}．

4．设集合A＝{x|2x＋1＜3}，B＝{x|－3＜x＜2}，则A∩B等于… ( )

A．{x|－3＜x＜1} B．{x|1＜x＜2}

C．{x|x＞－3} D．{x|x＜1}

解析：集合A＝{x|2x＋1＜3}＝{x|x＜1}，观察或由数轴得A∩B＝{x|－3＜x＜1}．

答案：A

例2 设集合A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，a∈R}，若A∩B＝B，求a的值．

活动：明确集合A、B中的元素，教师和学生共同探讨满足A∩B＝B的集合A、B的关系．集合A是方程x2＋4x＝0的解集，可以发现，BA，通过分类讨论集合B是否为空集来求a的值．利用集合的表示法来认识集合A、B均是方程的解集，通过画Venn图发现集合A、B的关系，从数轴上分析求得a的值．

解：由题意得A＝{－4,0}．∵A∩B＝B，∴BA.∴B＝或B≠．

当B＝时，即关于x的方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0无实数解，

则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＜0，解得a＜－1.

当B≠时，若集合B仅含有一个元素，则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，解得a＝－1，

此时，B＝{x|x2＝0}＝{0}A，即a＝－1符合题意．

若集合B含有两个元素，则这两个元素是－4、0，