独立性检验高考题

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新高考数学复习考点知识讲解

列联表与独立性检验

1、简单随机抽样得到了X和Y的抽样数据列联表

X Y

合计

Y=0 Y=1

X=0 a b ba

X=1 c d dc

合计 ca db dcban

2、基于小概率值的检验规则是：

当x2时，我们就推断0H不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过

当x2时，我们没有充分证据推断0H不成立，可以认为X和Y独立

这种利用2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为2独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验

3、应用独立性检验解决实际问题大致应包括以下几个主要环节：

（1）提出零假设0H：X和Y相互独立，并给出在问题中的解释；

（2）根据抽样数据整理出2×2列联表，计算2的值，并与临界值x比较

（3）根据检验规则得出推断结论

（4）在X和Y不独立的情况下，根据需要，通过比较相应的频率，分析X和Y间的影响规律 2 / 18

题型一 变量关系

例 1 为了判断两个分类变量X、Y是否有关系，应用独立性检验的方法算得2K的观测值为5，则下列说法中正确的是( )

A．有95%的把握认为“X和Y有关系”

B．有95%的把握认为“X和Y没有关系”

C．有99%的把握认为“X和Y有关系”

D．有99%的把握认为“X和Y没有关系”

【答案】A

【分析】

利用2K的观测值与临界值进行比较得解.

【详解】

因为2(3.841)0.050PK≥，53.841，所以有95%的把握认为“X和Y有关系”.

故选：A

若由一个22列联表中的数据计算得24.013K，那么有（ ）把握认为两个变量有关系. 知识典例

巩固练习 3 / 18

20PKk 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001

0k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879

独立性检验(历年高考)练习题

1.为了研究某班学生打篮球的喜好与性别是否相关，对60名学生进行了问卷调查，得到了如下的2×2列联表。现在有以下问题需要解决：

I）在喜欢打篮球的学生中，采用分层抽样的方法抽取6人，其中男生应该抽几个？

II）在上述抽样的6人中，恰好有一名女生的概率是多少？

III）是否可以有95%的把握认为喜欢打篮球与性别有关？请说明理由。

临界值表如下：

2.2014年山东省第二十三届运动会将在济宁举行，为了调查该市某校高中生是否愿意提供志愿者服务，使用简单随机抽样的方法对50名学生进行了调查，结果如下：

I）在愿意提供志愿者服务的学生中，采用分层抽样的方法抽取6人，其中男生应该抽几个？

II）在上述6人中，恰好有一名女生的概率是多少？

III）可以有99%的把握认为该校高中生是否愿意提供志愿者服务与性别有关吗？临界值表如下：

3.为了研究某市学生的百米跑成绩，按照男女比例随机抽取了50名学生进行测试，测试结果显示所有学生的成绩都在13秒到18秒之间。将测试结果按照以下方式分成了五组：

第一组：[13,14)

第二组：[14,15)

第三组：[15,16)

第四组：[16,17)

第五组：[17,18]

以下是按照上述分组方法得到的频率分布直方图：

现在有以下问题需要解决：

1）设m和n表示从第一组和第五组的所有学生中任意抽取的两名学生的百米测试成绩，即m,n∈[13,14)∪[17,18)，求事件“m-n>2”的概率；

2）根据规定，成绩小于16秒为达标。如果男女生使用相同的达标标准，则男女生达标情况如下表：

现在需要完成上表，并根据上表数据，判断是否可以有99%的把握认为“体育达标与性别有关”。

参考公式：n

ad-bc) K=，其中n=a+b+c+d。

a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

临界值表如下：

专题十一 概率与统计

第三十三讲 回归分析与独立性检验

一、选择题

1．（2017山东）为了研究某班学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为ˆˆˆybxa．已知101225iix，1011600iiy，ˆ4b．该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为

A．160 B．163 C．166 D．170

2．（2015福建）为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：

收入x（万元） 8．2 8．6 10．0

11．3 11．9

支出y（万元） 6．2 7．5 8．0 8．5 9．8

根据上表可得回归本线方程ˆˆˆybxa ，其中ˆˆˆ0.76,baybx ，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为

A．11．4万元 B．11．8万元 C．12．0万元 D．12．2万元

3．（2014重庆）已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本的平均数3x，3.5y，则由该观测数据算得的线性回归方程可能为

A．0.42.3yx B．22.4yx C．29.5yx D．0.34.4yx

4．（2014湖北）根据如下样本数据

x 3 4 5 6 7 8

y 4.0 2.5 0.5 0.5 2.0 3.0

得到的回归方程为ˆybxa，则

A．0a，0b B．0a，0b C．0a，0b D．0a，0b

5．（2012新课标）在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）（n≥2，x1,x2,…,xn不

全相等）的散点图中，若所有样本点（xi，yi）(i=1,2,…,n)都在直线112yx上，则这组样本数据的样本相关系数为

历年高考数学真题精选（按考点分类）

专题49独立性检验（学生版）

1. （2019•新课标I ）某商场为提高服务质量，随机调查了 50名男顾客和50名女顾客，每

位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：

满意不满意

男顾客4010

女顾客3020

（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；

（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？

(a + b)(c + d)(a + c)(Z7 + d)n{ad - be)2

P{K\.k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

2. （2018•新课标III）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任

务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成

两组，每组20人.第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式.根据 工人完成生产任务的工作时间（单位：加几）绘制了如下茎叶图：

第一种生产方式第二种生产方式8 65 5 6 8 99 7 6 2 701223456689877654332814 4 52 110 0 90

（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；

（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数相，并将完成生产任务所需时间超过根和

不超过根的工人数填入下面的列联表：

（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？超过根不超过根

第一种生产方式

第二种生产

方式(a + b)(c + d)(a + c)(b + d)n(ad - be)2

P{K\.k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

3. （2017•新课标H）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了 100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：依），其频率分布直方图如图:

养殖法的箱产量不低于501”，估计A的概率；