中考数学《二次函数与一次函数的综合应用》专项练习题(带答案)

第 1 页 共 13 中考数学《二次函数与一次函数的综合应用》专项练习题（带答案）

一、单选题

1．如图，在平面直角坐标系中，𝑦=−34𝑥2+94𝑥+3与𝑥轴交于A，B两点（𝐴在𝐵的左侧），与𝑦轴交于点𝐶，点𝑃是𝐵𝐶上方抛物线上一点，连结𝐴𝑃交𝐵𝐶于点𝐷，连结AC，CP，记△𝐴𝐶𝐷的面积为𝑆1，△𝑃𝐶𝐷的面积为𝑆2，则𝑆1𝑆2的最小值为（ ）

A．43 B．53 C．54 D．1

2．若b＜0，则一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系内的图象可能是（ ）

A． B． .

C． D．

3．在直角坐标系中，函数y= 3x与y= －x2+1的图像大致是（ ）

A． B．

第 2 页 共 13 C． D．

4．函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图所示，有以下结论：

①b2﹣4c＞0；②b+c+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．

其中正确的个数为( )

A．1 B．2 C．3 D．4

5．如图，在平面直角坐标系中，过点A且与x轴平行的直线交抛物线y＝ 13 （x+1）2于B，C两点，若线段BC的长为6，则点A的坐标为（ ）

A．（0，1） B．（0，4.5） C．（0，3） D．（0，6）

6．函数 𝑦=𝑘𝑥 与 𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 的图象如图所示，则 𝑦=𝑘𝑥−𝑏 的大致图象为（ ）

第 3 页 共 13 A． B．

C． D．

7．如图，已知抛物线y1=-2x2+2，直线y2=2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2．例如：当x=1时，y1=0，y2=4，y1＜y2，此时M=0．下列判断：

①M的最大值是2；②使得M=1的x值是−12或√22．其中正确的说法是（ ）

A．只有 ① B．只有②

C．①②都正确 D．①②都不正确

8．一次函数 𝑦=𝑎𝑥+𝑏(𝑎≠0) 与二次函数 𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥(𝑎≠0) 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）

A． B．

C． D．

9．根据下表中的二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的对应值，可判断二次函数的图象与x轴

( )

第 4 页 共 13

A．只有一个交点

B．有两个交点，且它们分别在y轴两侧

C．有两个交点，且它们均在y轴同侧

D．无交点

10．如图，一次函数𝑦1=𝑘𝑥+𝑛(𝑘≠0)与二次函数𝑦2=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠0)的图象相交于A(-1，5)、B(9，2)两点，则关于𝑥的不等式𝑘𝑥+𝑛≥𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐的解集为( )

A．−1≤𝑥≤9 B．−1≤𝑥<9 C．−1<𝑥≤9 D．𝑥≤−1或𝑥≥9

11．割圆术是我国古代数学家刘徽创造的一种求周长和面积的方法：随着圆内接正多边形边数的增加，它的周长和面积越来越接近圆周长和圆面积，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”．刘徽就是大胆地应用了以直代曲、无限趋近的思想方法求出了圆周率．请你也用这个方法求出二次函数 y=14(𝑥−4)2的图象与两坐标轴所围成的图形最接近的面积是（ ）

A．5 B．225 C．4 D．17﹣4π

12．如图,抛物线 𝑦=12𝑥2+72𝑥+3 与直线 𝑦=−12𝑥−12 交于 𝐴,𝐵 两点,点C为y轴上点,当 △𝐴𝐵𝐶 周长最短时;周长的值为（ ）

A．√73+5√3 B．√73+3√5 C．√43+3√5 D．√43+5√3

二、填空题

13．如图所示，直线y=mx+n与抛物线y=ax2+bx+c交于A(-1，p)，B(4，q)两点，则关于x的不等式mx+n

第 5 页 共 13

14．如图，已知抛物线y1=﹣x2+1，直线y2=﹣x+1，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1，y2．若y1≠y2，取y1，y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2．例如：当x=2时，y1=﹣3，y2=﹣1，y1＜y2，此时M=﹣3．下列判断中：

①当x＜0或x＞1时，y1＜y2；②当x＜0时，M=y1；③使得M= 14 的x的值是﹣ √32 或 34 ；④对任意x的值，式子 √(𝑀−1)2 =1﹣M总成立．

其中正确的是 （填上所有正确的结论）

15．已知二次函数y1=ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2=kx+b（k≠0）的图象相交于点A（﹣2，4），B（8，2）（如图所示），则能使y1＞y2成立的x的取值范围是 ．

16．如图，抛物线 𝑦=𝑎𝑥2 与直线 𝑦=𝑏𝑥+𝑐 的两个交点坐标分别为 𝐴(−2,4) ， 𝐵(1,1) ，则关于x的方程 𝑎𝑥2−𝑏𝑥−𝑐=0 的解为 .

17．如图，抛物线y=﹣2x2+8x﹣6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y=x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是 .

第 6 页 共 13

18．如图，抛物线y=ax2经过矩形OABC的顶点B，交对角线AC于点D．则 𝐴𝐷𝐴𝐶 的值为 ．

三、综合题

19．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，求抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于A、B两点．

（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；

（2）在该抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；

（3）设点P为该抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，直接写出使△BPC为直角三角形的点P的坐标．

（提示：若平面直角坐标系内有两点P（x1，y1）、Q（x2，y2），则线段PQ的长度PQ=

√(𝑥1−𝑥2)2+(𝑦1−𝑦2)2 ）．

20．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2－4x－5与x轴分别交于A、B（A在B的左边），与y轴交于点C，直线AP与y轴正半轴交于点M，交抛物线于点P，直线AQ与y轴负半轴交于点N，交抛物线于点Q，且OM＝ON，过P、Q作直线l

第 7 页 共 13

（1）探究与猜想：

① 取点M(0，1)，直接写出直线l的解析式；

取点M(0，2)，直接写出直线l的解析式.

② 猜想：

我们猜想直线l的解析式y＝kx＋b中，k总为定值，定值k为 ，请取M的纵坐标为n，验证你的猜想

（2）如图2，连接BP、BQ．若△ABP的面积等于△ABQ的面积的3倍，试求出直线l的解析式

21．如图，抛物线 𝑦=𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 与 𝑥 轴交于 𝐴(−1,0) 和 𝐵(3,0) 两点，交 𝑦 轴于点 𝐸 .

（1）求此抛物线的解析式.

（2）若直线 𝑦=𝑥+1 与抛物线交于 𝐴 、 𝐷 两点，与 𝑦 轴交于点 𝐹 ，连接 𝐷𝐸 ，求 𝛥𝐴𝐷𝐸

的面积.

22．已知二次函数y=﹣x2+4x+m．

第 8 页 共 13 （1）如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；

（2）如图，二次函数的图象过点A（6，0），与y轴交于点B，点p是二次函数对称轴上的一个动点，当PB+PA的值最小时，求p的坐标

（3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．

23．如图二次函数 的图象经过A（－1，0）和B（3，0）两点，且交 𝑦 轴于点C．

（1）试确定 、 的值；

（2）若点M为此抛物线的顶点，求△MBC的面积．

24．如图，在平面直角坐标系内，已知直线y=x+4与x轴、y轴分别相交于点A和点C，抛物线y=x2+kx+k﹣1图象过点A和点C，抛物线与x轴的另一交点是B

（1）求出此抛物线的解析式、对称轴以及B点坐标；

（2）若在y轴负半轴上存在点D，能使得以A、C、D为顶点的三角形与△ABC相似，请求出点D的坐标．

第 9 页 共 13 参考答案

1．【答案】C

2．【答案】B

3．【答案】D

4．【答案】B

5．【答案】C

6．【答案】D

7．【答案】C

8．【答案】C

9．【答案】B

10．【答案】A

11．【答案】A

12．【答案】B

13．【答案】-1

14．【答案】①②③④

15．【答案】x＜﹣2或x＞8.

16．【答案】𝑥1=−2

17．【答案】﹣3＜m＜﹣ 158

18．【答案】√5−12

19．【答案】（1）解：A（1，0）关于x=﹣1的对称点是（﹣3，0）

则B的坐标是（﹣3，0）

根据题意得： {−3𝑚+𝑛=0𝑛=3

解得 {𝑚=1𝑛=3

则直线的解析式是y=x+3；

根据题意得：

解得： {9𝑎−3𝑏+𝑐=0𝑎+𝑏+𝑐=0𝑐=3

则抛物线的解析式是y=﹣x2﹣2x+3

（2）解：设直线BC与对称轴x＝−1的交点为M，则此时MA＋MC的值最小．

把x＝−1代入直线y＝x＋3得，y＝−1＋3＝2

∴M（−1，2）

即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（−1，2）；

第 10 页 共 13 （3）解：如图，设P（−1，t）

又∵B（−3，0），C（0，3）

∴BC2＝18，PB2＝（−1＋3）2＋t2＝4＋t2，PC2＝（−1）2＋（t−3）2＝t2−6t＋10

①若点B为直角顶点，则BC2＋PB2＝PC2即：18＋4＋t2＝t2−6t＋10解之得：t＝−2；

②若点C为直角顶点，则BC2＋PC2＝PB2即：18＋t2−6t＋10＝4＋t2解之得：t＝4

③若点P为直角顶点，则PB2＋PC2＝BC2即：4＋t2＋t2−6t＋10＝18解之得：t1＝ 3+√172 ，t2＝

3−√172 ；

∴P的坐标是（﹣1， 3+√172 ）或（﹣1， 3−√172 ）或（﹣1，4）或（﹣1，﹣2）．

20．【答案】（1）PQ：y＝6x－29；PQ：y＝6x－26；6

（2）解：∵S△ABP＝3S△ABQ∴yP＝－3yQ∴kxP＋b＝－3(kxQ＋b) ∵k＝6 ∴6xP＋18xQ＝－b

∴6(5＋n)＋18(5－n)＝4b，解得b＝3n－30

∵xP·xQ＝－(5＋b)＝－5－3n＋30＝(5＋n)(5－n)，解得n＝3 ∴P(8，27)

∴直线PQ的解析式为y＝6x－21

21．【答案】（1）解：∵抛物线 𝑦=𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 与 𝑥 轴交于 𝐴(−1,0) 和 𝐵(3,0) 两点

∴{1−𝑏+𝑐=09+3𝑏+𝑐=0 ，解得： {𝑏=−2𝑐=−3