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第2节不等式的证明最新考纲通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法.知识梳理1.基本不等式 定理 1：如果 a ，b ∈R ，那么 a 2＋b 2≥ 2ab ，当且仅当 a ＝b 时，等号成立a ＋b 定理 2：如果 a ，b >0，那么 2≥ab ，当且仅当 a ＝b 时，等号成立，即两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均.3a ＋b ＋c abc 定理 3：如果 a ，b ，c ∈R ＋，那么等号成立. ≥ ，当且仅当 a ＝b ＝c 时， 32.不等式的证明方法(1)比较法①作差法(a ，b ∈R )：a －b >0⇔ a >b ；a －b <0⇔a <b ；a －b ＝0⇔a ＝b . ②作商法(a >0，b >0)： >1⇔a >b ；ab <1⇔a <b ；ab ＝1⇔a ＝b . a b(2)综合法与分析法①综合法：从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性推理论证质等，经过一系列的、而得出命题成立.综合法又叫顺推证充分条件法或由因导果法.②分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的，所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法.诊断自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)比较法最终要判断式子的符号得出结论.( )(2)综合法是从原因推导到结果的思维方法，它是从已知条件出发，经过逐步推理，最后达到待证的结论.( )(3)分析法又叫逆推证法或执果索因法，是从待证结论出发，一步一步地寻求结论成立的必要条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实.( )(4)使用反证法时，“反设”不能作为推理的条件应用.( ) 答案(1)× (2)√(3)× (4)×1 a 1 b 2.若 a >b >1，x ＝a ＋，y ＝b ＋，则 x 与 y 的大小关系是( )A.x >yB.x <yC.x ≥yD.x ≤yb －a （a －b ）（ab －1） 1 1解析 x －y ＝a ＋a －b ＋ ＝a －b ＋ a b ＝. b ab 由a >b >1得ab >1，a －b >0，（a －b ）（ab －1） 所以 >0，即 x －y >0，所以 x >y . ab 答案 A3.(选修4－5P23习题2.1T1改编)已知a ≥b >0，M ＝2a ＝2ab －a b，则M ，N 的大小关系为________. 解析 2a －b －(2ab －a b )＝2a (a －b )＋b (a －b )＝(a － 2 2 2 )(2a ＋b )＝(a －b )(a ＋b )(2a ＋b ). 因为a ≥b >0，所以a －b ≥0，a ＋b >0，2a ＋b >0，－b ，N33 2 2 3 3 2 2 2 2 b2 从而(a －b )(a ＋b )(2a ＋b )≥0，故2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b . 答案 M ≥N1 14.已知a>0，b>0且ln(a＋b)＝0，则＋的最小值是________.a b解析由题意得，a＋b＝1，a>0，b>0，1 1 1 1 b aa b b aa b12∴＋＝＋(a＋b)＝2＋＋≥2＋2 ·＝4.当且仅当a＝b＝时等号成立.a b a b1 1∴＋的最小值是4. a b答案 45.已知x>0，y>0，证明：(1＋x＋y )(1＋x＋y)≥9xy.2 2证明因为x>0，y>0，3 3所以1＋x＋y2≥3 xy2>0，1＋x2＋y≥3x2y>0，3 3故(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥3 xy2·3 x2y＝9xy.考点一比较法证明不等式【例1－1】 (2017·江苏卷)已知a ，b ，c ，d 为实数，且 a ＋b22 ＝4，c 2 ＋d 2 ＝16.试证明：ac ＋bd ≤8. ＋b )(c ＋d )－(ac ＋bd )＋b －(a ＋b －2acbd ＝(bc －ad )≥0， ＋d )≥(ac ＋bd ) ＝4，c ＋d ＝16. 因此(ac ＋bd )≤64，从而ac ＋bd ≤8. 证明∵(a 2 2 2 2 2 ＝a 2 2 c c 2 2 ＋a 2 2 d 2 ＋b 2 c 2 2 d 2 2 c2 2 d 2 ＋2acbd )＝b ＋a d 2 2 ∴(a 2 ＋b 2 )(c 2 2 2 ， 2 又a ＋b 2 2 2 2【例 1－2】 (一题多解)已知 a >0，b >0，求证： ab ＋ ba ≥ a ＋ b .证明法一因为 ab ＋ ba －( a＋ b )（ a ）3＋（ b ）3－（ a ＋ b ） ab （ a ＋ b ）（ a － b ）2 ，＝ ＝ ab ab （ a ＋ b ）（ a － b ）2 ∵a >0，b >0，∴ >0. ab因此 ab ＋ ba ≥ a ＋ b .a b ＋ b a a a ＋b b 法二由于 a ＋ b ＝ ab （ a＋ b ）（ a ＋ b ）（a － ab ＋b ） a ＋b 2 ab ＝ ab －1≥ －1＝1. ＝ ab （ a ＋ b ） ab 又 a >0，b >0， ab >0，所以 ab ＋ ba ≥ a＋ b .规律方法 1.作差(商)证明不等式，关键是对差(商)式进行合理的变形，特别注意作商证明不等式，不等式的两边应同号. 2.在例1－2证明中，法一采用局部通分，优化了解题过程；在法二中，利用不等式的性质，把证明a>b转化为证明>1(b>0).提醒在使用作商比较法时，要注意说明分母的符号.【训练 1】设 a ，b 是非负实数，求证：a 2＋b 2≥ ab (a＋b ). 证明因为 a 2＋b 2－ ab (a＋b )＝(a 2－a ab )＋(b 2－b ab )＝a a ( a － b )＋b b ( b －a )＝( a － b )(a a －b b )1 1 3 3(a 2－b 2)(a 2－b 2). 1 1 3 3 因为 a ≥0，b ≥0，所以不论 a ≥b ≥0，还是 0≤a ≤b ，都有 a 2－b 2与 a 2－号， 1 1 3 3所以(a 2－b 2)(a 2－b 2)≥0，所以 a 2＋b 2≥ ab (a ＋b ).考点二综合法证明不等式【例2－1】 (2017·全国Ⅱ卷)已知实数a >0，b >0，且a 3 ＋b ＝2.3证明：(1)(a ＋b )(a ＋b )≥4；5 5(2)a ＋b ≤2. 证明 (1)∵a >0，b >0，且a 则(a ＋b )(a ＋b )＝a ＋ab ＋a ＋ab (a ＋b ＋b)＝4＋ab (a ＋3a b ＋3ab 3 ＋b 3 ＝2.5 56 5 5 b ＋b6 ＝(a 3 ＋b 3 ) 2 －2a 3 b 3 2 4 4 ) ＝4＋ab (a 4 －2a 2 b 4 2 －b )≥4. 2 2 (2)因为(a ＋b ) 3 ＝a 3 2 2 ＋b 3 ＝2＋3ab (a ＋b ) 3（a ＋b ）2 3（a ＋b ）3 ≤2＋ (a ＋b )＝2＋ ，所以(a ＋b )3≤8，因此 a ＋b ≤2.4 411【例 2－2】 (2016·全国Ⅱ卷)已知函数 f (x )＝x － ＋x ＋ ，M 为不等式f (x )<2的2 2解集.(1)求 M ；(2)证明：当 a ，b ∈M 时，|a ＋b |<|1＋ab |. 1 2－2x ，x ≤－， 1 1 2 2 (1)解 f (x )＝ 1，－ <x <， 1 2x ，x ≥ . 2 1 2 当 x ≤－时，由 f (x )<2得－2x <2， 解得 x >－1，所以－1<x ≤－12；1 1 当－ <x <时，f (x )<2恒成立.2 21 2 1 2 当 x ≥时，由 f (x )<2得 2x <2，解得 x <1，所以 <x <1. 所以f (x )<2的解集M ＝{x |－1<x <1}.(2)证明由(1)知，当a ，b ∈M 时，－1<a <1，－1<b <1，从而(a ＋b )－(1＋ab )＝a ＋b －a－1 ＝(a －1)(1－b )<0， 所以(a ＋b ) <(1＋ab ) 2 2 2 2 b 2 22 2 2 2，因此|a ＋b |<|1＋ab |.规律方法 1.综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系.合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键.2.在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的.在运用这些性质时，要注意性质成立的前提条件.【训练2】(2018·石家庄调研)已知函数f(x)＝2|x＋1|＋|x－2|.(1)求f(x)的最小值m；2 2 2b c a(2)若a，b，c均为正实数，且满足a＋b＋c＝m，求证：＋＋≥3.a b c(1)解当x<－1时，f(x)＝－2(x＋1)－(x－2)＝－3x>3；当－1≤x≤2时，f(x)＝2(x＋1)－(x－2)＝x＋4，此时，3≤f(x)≤6；当x>2时，f(x)＝2(x＋1)＋(x－2)＝3x>6.综上可知，f(x)的最小值m＝3.(2)证明 a ，b ，c 均大于0，且a ＋b ＋c ＝3.2 2 2 2 2 2 b c a b c a ∵(a ＋b ＋c )＋＋＋ ＝a ＋ ＋b ＋ ＋c ＋a b c a b cb2 c 2 a 2 ≥2a ·a ＋ b ·b ＋ c ·c ＝2(a ＋b ＋c )(当且仅当 a ＝b ＝c ＝1时取“＝”)，2 2 2 2 2 2b c a b c a 所以＋＋≥a ＋b ＋c ，故＋＋≥3. a b c a b c考点三分析法证明不等式【例 3】已知 a >b >c ，且 a ＋b ＋c ＝0，求证： b 2－ac < 3a .证明由a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，知a >0，c <0.要证 b 2－ac < 3a ，只需证b ∵a ＋b ＋c ＝0，只需证b 只需证2a －ab －b >0， －ac <3a .2 22 ＋a (a ＋b )<3a ，2 2 2 只需证(a －b )(2a ＋b )>0，只需证(a －b )(a －c )>0.∵a >b >c ，∴a －b >0，a －c >0，∴(a －b )(a －c )>0显然成立，故原不等式成立.规律方法 1.当要证的不等式较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆.2.分析法证明的思路是“执果索因”，其框图表示为：Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件【训练3】(2018·福州八中质检)已知函数f(x)＝|x－1|.(1)解不等式f(x)＋f(x＋4)≥8；b(2)若|a|<1，|b|<1，且a≠0，求证：f(ab)>|a|f. a(1)解依题意，原不等式等价于|x－1|＋|x＋3|≥8.当x<－3时，则－2x－2≥8，解得x≤－5.当－3≤x≤1时，则4≥8不成立，不等式解集为∅.当x>1时，则2x＋2≥8，解得x≥3.所以不等式f(x)＋f(x＋4)≥8的解集为{x|x≥3或x≤－5}.b (2)证明要证 f (ab )>|a | f ，a 只需证|ab －1|>|b －a |，只需证(ab －1) 2 >(b －a ) 2 . ∵|a |<1，|b |<1，知a ∴(ab －1)－(b －a ) ＝(a －1)(b 故(ab －1) 2 <1，b 2 <1，2 2 ＝a －a 2 b 22 －b 2 ＋12 2 －1)>0. 2 >(b －a ) 2 成立.从而原不等式成立.。
