《量子力学》考试知识点
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《量⼦⼒学》考试知识点
《量⼦⼒学》考试知识点
第⼀章：绪论―经典物理学的困难
考核知识点：
（⼀）、经典物理学困难的实例
（⼆）、微观粒⼦波－粒⼆象性
考核要求：
（⼀）、经典物理困难的实例
1.识记：紫外灾难、能量⼦、光电效应、康普顿效应。
2.领会：微观粒⼦的波－粒⼆象性、德布罗意波。
第⼆章：波函数和薛定谔⽅程
考核知识点：
（⼀）、波函数及波函数的统计解释
（⼆）、含时薛定谔⽅程
（三）、不含时薛定谔⽅程
考核要求：
（⼀）、波函数及波函数的统计解释
1.识记：波函数、波函数的⾃然条件、⾃由粒⼦平⾯波
2.领会：微观粒⼦状态的描述、Born⼏率解释、⼏率波、态叠加原理（⼆）、含时薛定谔⽅程
1.领会：薛定谔⽅程的建⽴、⼏率流密度，粒⼦数守恒定理
2.简明应⽤：量⼦⼒学的初值问题
（三）、不含时薛定谔⽅程
1. 领会：定态、定态性质
2. 简明应⽤：定态薛定谔⽅程
第三章：⼀维定态问题
⼀、考核知识点：
（⼀）、⼀维定态的⼀般性质
（⼆）、实例
⼆、考核要求：
1.领会：⼀维定态问题的⼀般性质、束缚态、波函数的连续性条件、反射系数、透射系数、完全透射、势垒贯穿、共振
2.简明应⽤：定态薛定谔⽅程的求解、
第四章量⼦⼒学中的⼒学量
⼀、考核知识点：
（⼀）、表⽰⼒学量算符的性质
（⼆）、厄密算符的本征值和本征函数
（三）、连续谱本征函数“归⼀化”
（四）、算符的共同本征函数
（五）、⼒学量的平均值随时间的变化
⼆、考核要求：
（⼀）、表⽰⼒学量算符的性质
1.识记：算符、⼒学量算符、对易关系
2.领会：算符的运算规则、算符的厄密共厄、厄密算符、厄密算符的性质、基本⼒学量算符的对易关系
（⼆）、厄密算符的本征值和本征函数
1.识记：本征⽅程、本征值、本征函数、正交归⼀完备性
2.领会：厄密算符的本征值和本征函数性质、坐标算符和动量算符的本征值问题、⼒学量可取值及测量⼏率、⼏率振幅。
（三）、连续谱本征函数“归⼀化”
1.领会：连续谱的归⼀化、箱归⼀化、本征函数的封闭性关系
（四）、⼒学量的平均值随时间的变化
1.识记：好量⼦数、能量－时间测不准关系
2.简明应⽤：⼒学量平均值随时间变化
第五章态和⼒学量的表象
⼀、考核知识点：（⼀）、表象变换，⼳正变换
（⼆）、平均值，本征⽅程和Schrodinger equation的矩阵形式
（三）、量⼦态的不同描述
⼆、考核要求：
（⼀）、表象变换，⼳正变换
1.领会：⼳正变换及其性质
2.简明应⽤：表象变换
（⼆）、平均值，本征⽅程和Schrodinger equation的矩阵形式
1.简明应⽤：平均值、本征⽅程和Schrodinger equation的矩阵形式
2.综合应⽤：利⽤算符矩阵表⽰求本征值和本征函数
（三）、量⼦态的不同描述
第六章：微扰理论
⼀、考核知识点:
（⼀）、定态微扰论
（⼆）、变分法
（三）、量⼦跃迁
⼆、考核要求:
（⼀）、定态微扰论
1.识记：微扰
2.领会：微扰论的思想
3.简明应⽤：简并态能级的⼀级，⼆级修正及零级近似波函数
4.综合应⽤：⾮简并定态能级的⼀级，⼆级修正、波函数的⼀级修正。（⼆）、变分法
1.领会：变分原理
2.简明应⽤：⽤Ritz变分法求体系基态能级及近似波函数
（三）、量⼦跃迁
1.识记：跃迁、跃迁⼏率、⾃发辐射、受激辐射、费⽶黄⾦规则
2.领会：跃迁理论与不含时微扰的关系
3.简明应⽤：简单微扰体系跃迁⼏率的计算、常微扰、周期微扰
第七章⾃旋与全同粒⼦
⼀、考核知识点：
（⼀）、电⼦⾃旋
（⼆）、总⾓动量
（三）、碱⾦属的双线结构
（四）、⾃旋单态和三重态
（五）、全同粒⼦交换不变性
⼆、考核要求：
（⼀）、电⼦⾃旋
1.识记：⾃旋存在的实验事实、⼆分量波函数
2.领会：电⼦⾃旋的内禀磁矩、对易关系、泡利表象、矩阵表⽰（泡利矩阵）、⾃旋态的表⽰
3.简明应⽤：考虑⾃旋后，状态和⼒学量的描述、考虑⾃旋后，电⼦在中⼼势场中的薛定谔⽅程
（⼆）、总⾓动量
1.识记：⾃旋－轨道耦合
2.领会：总⾓动量、⼒学量完全集22
(,,,)
z
H l j j的共同本征值问题（三）、碱⾦属的双线结构
1.领会：碱⾦属原⼦光谱的双线结构及反常塞曼效应的现象及形成原因（四）、⾃旋单态和三重态
1.领会：⾃旋单态和三重态
2.简明应⽤：在)
S,
S(z2
z1和)
S?,
S?(z
2表象中两⾃旋为2
1的粒⼦的⾃旋波函数
（五）、全同粒⼦交换不变性
1.领会：全同粒⼦体系与波函数的交换对称性、费⽶⼦和玻⾊⼦体系的描述、泡利不相容原理
2.简明应⽤：两全同粒⼦体系、全同粒⼦体系波函数的结构
1、波函数与薛定谔⽅程
理解波函数的统计解释，态迭加原理，薛定鄂⽅程，粒⼦流密度和粒⼦数守恒定律
定态薛定谔⽅程。掌握⼀维⽆限深势阱，线性谐振⼦。
2、⼒学量的算符表⽰
理解算符与⼒学量的关系。掌握动量算符和⾓动量算符，厄⽶算符本征函数的正交性，算符的对易关系，两⼒学量同时有确定值的条件测不准关系，⼒学量平均值随时间的变化守恒定律。
氢原⼦
3、态和⼒学量的表象
理解态的表象，掌握算符的矩阵表⽰，量⼦⼒学公式的矩阵表述
么正变换，了解狄喇克符号，线性谐振⼦与占有数表象。
4、定态近似⽅法
掌握⾮简并定态微扰理论，简并情况下的微扰理论，理解薛定鄂⽅程的
变分原理及变分法。
5、含时微扰论
掌握与时间有关的微扰理论，跃迁⼏率，光的发散和吸收及选择定则。
6、⾃旋与⾓动量
理解电⼦⾃旋，掌握电⼦的⾃旋算符和⾃旋函数。
7、全同粒⼦体系
理解两个⾓动量的耦合，光谱的精细结构和全同粒⼦的特性。掌握全同粒⼦体系的波函数，泡利原理，两个电⼦的⾃旋函数。了解氦原⼦（微扰法）。
周世勋，《量⼦⼒学教程》，⾼等教育出版社，1979年第 1 版
曾谨⾔，《量⼦⼒学教程》，科学出版社，20XX年版
参考书⽬：《量⼦⼒学导论》，北京⼤学出版社，曾谨⾔
我认为考试前要清楚报考单位对《量⼦⼒学》这门课的基本要求以及主要考查内容是什么，应当按照其要求出发，有⽬的性、针对性的进⾏的复习。中科院《量⼦⼒学》考试的重点是要求熟练把握波函数的物理解释，薛定谔⽅程的建⽴、基本性质和精确的以及⼀些重要的近似求解⽅法，理解这些解的物理意义，熟悉其实际的应⽤。把握量⼦⼒学中⼀些⾮凡的现象和问题的处理⽅法，包括⼒学量的算符表⽰、对易关系、不确定度关系、态和⼒学量的表象、电⼦的⾃旋、粒⼦的全同性、泡利原理、量⼦跃迁及光的发射与吸收的半经典处理⽅法等，并具有综合运⽤所学知识分析问题和解决问题的能⼒。再者，中科院对量⼦⼒学这门课考查主要包括以下9⼤内容：①波函数和薛定谔⽅程②⼀维势场中的粒⼦③⼒学量⽤算符表⽰④中⼼⼒场⑤量⼦⼒学的⑥⾃旋⑦定态问题的近似⽅法⑧量⼦跃迁⑨多体问题，复习过程中应当主要对这些内容下功夫。
第⼀阶段：⾸先按照中科院硕⼠研究⽣⼊学考试《量⼦⼒学》考试⼤纲中的要求将参考书⽬看了⼀遍。中科院《量⼦⼒学考试⼤纲》中指定的参考书⽬是《量⼦⼒学教程》，这本书是由曾谨⾔编著的。此阶段看书以理解为主，不必纠缠于细节，将不懂的知识点做上记号。
第⼆阶段：我对⼤纲中要求了解的内容，熟练把握的内容以及理解的内容进⾏了分类，并且按相关要求对将这门课进⾏了第⼆轮复习。另外我认为在这⼀遍复习中⼀定要把历年试题弄到⼿并且仔细分析，因为真题体现了命题单位的出题特点以及出题趋势等。另外，我认为真题要⽐⼤纲更有⽤，因为从⼤纲中看不出的有价值的东西可以从真题中得到。当然，需要注重的是，单纯把握真题也是不理智的做法，假如⼀个考⽣仅仅把握了历年真题的内容，那么考试后他会得出这样⼀个结论：今年的题真偏。其实，不是题偏，⽽是他没有把参考书上的东西完全把握好。所以在这个阶段中我仍然以看指定的参考书为主，着重解决了在第⼀遍复习中留下的疑问和在做真题中⾃⼰不会的题⽬。对了，此轮复习⼀定要做⼀份笔记，将主要内容归纳出⼀份⽐较简洁的提纲，以便于下轮复习。
第三阶段：将专业课过第三遍，这⼀轮注重结合上⼀轮的笔记和提纲有重点的，系统的理解和记忆，由于专业课要求答的深⼊，所以可以找⼀些专业⽅⾯的期刊杂志来看下，扩⼤下⾃⼰的视野范围。这⼀阶段⼤家也可以找些习题集来做下，不断巩固⾃⼰把握了的知识点。
第四阶段：这⼀轮要将参考书快速翻⼏遍，以便对整个知识体系有全⾯的把握并且牢记于⼼，同时要进⾏查缺补漏，不要放过⼀个疑点，要注重的是此时不能执着于细⼩的知识点，要懂得抓⼤放⼩，把握最重要的知识点。另外可以根据对历年试题的分析以及对本年度的专业考试做出⼀些猜测，并对考试的时间安排及如何进⾏考中⼼理调节做下演
练。
（中科⼤2003）
⼀、试证明：
（1）投影算符||n n P ><=是厄密算符；它在任意态>ψ|中的平均值是正
定的，即0||>≥
（2）设>ψ|是归⼀化波函数，对于线性厄密算符A 以下等式成⽴ >??<+>=<>
A
i H A dt A d i
],[。 证明：（1）因为 P n n n n P =><=><=++|||)(| 所以 P 是厄密算符
或***||||||||>=<><>>=<><>=<
0|||||||2≥><>=><>=<
（2）因为 >>=<
ψψψψψψt A
t A A t dtA d ??+??+??=
,,, 再由S-eq 得 tA
i H A d t
A d i ??+=
],[ 或 因为?=dx A A ψψ* 所以
+-=??++-=??+??+??=dx t A dx HA AH i dx t A
dx AH i dx HA i dx t
A
dx t A dx A t dt A d ψψψψψψψψψψψψψψψψ********)(111
即 t
A
i H A d t
A d i ??+=
],[ ⼆、对于⼀维谐振⼦，求消灭算符a 的本征态>α|，将其表⽰成各能
量本征态>n |的线性叠加。已知>->=1|.|n n n a 。 解： 设 ∑∞
=>>=0||n n n C α
由于 >>=ααα||a 且利⽤ >->=1|.|n n n a
得 ∑∑∞
=∞
=>-=>>=0
1|||n n n n n n C n a C a α∑∞
=>=0
|n n n C α
以
|1-'='
1-=
n n C n
C α
依次递推得 0!
C n C n
n α=
由归⼀化条件 ∑∑
==>=
n
n
n
n C C 1!
|22
2
α
αα
因为
2
!
2α
α
e
n n
n
=∑
δαi e e
C ?=-2
2
10 δ为实数，可取为0=δ
所以 ∑
∞
=->>=0
