浅谈“反证法”在高中数学的应用

中学数学教学中的反证法在生活中，我们都有这样的常识，去掉大米中的砂粒，有两种方法.一种是直接从大米中把砂粒一粒一粒地拣出来；一种是用间接的方法――淘洗法，把砂粒残留下来.这两种方法虽然形式不同，但结果却是一样的，都能达到去掉砂粒的目的.有时用直接方法很困难，而用间接方法却容易得多.牛顿曾说：“反证法是数学家最精当的武器之一.”当一些命题不易从正面直接证明时，就可考虑用反证法.一、反证法的基本概念1.反证法的定义法国数学家阿达玛对反证法的实质做了如下概括：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾.”这是对反证法的极好概括.其实反证法也称作归谬法。

反证法适合一些正面证明比较困难，但是否定则比较简单的题目，在高中数学中的应用较为广泛，在解决一些较难问题的时候，反证法能体现其优越性.2.反证法的基本思想反证法的基本思想就是否定之否定，这种基本思想可以用下面的公式表示：“否定→推理→矛盾→肯定”，即从否定结论开始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定.3.反证法的逻辑依据通过以上三个步骤，为什么能肯定原命题正确呢？其逻辑根据就在于形成逻辑的两个基本规律：“排中律”和“矛盾律”.在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A或者非A”，这就是逻辑思维中的“排中律”.反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以“否定的结论”必为假.再根据“排中律”，结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真.所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的，反证法是可信的.二、反证法的步骤用反证法证题一般分为三个步骤：1.反设.假设原命题的结论不成立；2.归谬.从这个结论出发，经过推理论证，得出矛盾；3.结论.由矛盾判定假设不成立，从而肯定原命题的结论正确.即：否定结论→推导出矛盾→结论成立.三、反证法的种类1.归谬反证.结论的反面只有一种情形，只要把它驳倒，就能达到证题目的.2.穷举反证.结论的反面不止一种情形，必须将它们逐一驳倒，才能达到证题目的.四、反证法的典型例题例1：已知：AB，CD是圆内非直径的俩弦（如图），求证：AB与CD不能互相平分.证明：假设AB与CD互相平分与点M，则由已知条件AB，CD均非圆O直径，可以判定M不是圆心O，联结OA，OB，OM.因为OA=OB，M是AB中点，所以OM⊥AB（等腰三角形底边上的中线垂直于底边）.同理可得：OM⊥CD，从而过点M有两条直线AB，CD都垂直于OM.这与已知的定理相矛盾.故AB与CD不能互相平分.五、反证法的使用条件任何方法都有它成立的条件，也都有它适用的范围.离开了条件超越了范围就会犯错误，同样，问题解决也就没有那么容易.因此，我们应该学会正确使用反证法解题.虽然用反证法证明，逻辑推理严谨而清晰，论证自然流畅，可谓是干净利落，快速而可行，是一种很积极的证明方法，而且用反证法证题还有很多优点：如思想选择的余地大、推理方便等.但是并不是什么题目都适合用反证法解决.例2：如果对任何正数p，二次方程ax+bx+c+p=0的两个根是正实数，则系数a=0，试证之.分析：看了本题的证明过程似乎很合理，但其实第三步，即肯定原结论成立的论证错了.因为，本题的题设条件为对任意正数p，y=0有两个正实数根，结论是a=0，但本题的题设条件与结论是矛盾的；当a=0时，二次方程就变成了一次方程bx+c+p=0，此一次方程在b≠0时，对于任何正数p，它只有一个根；在b=0时，仅当p=-c>0的条件下，它有无数个根，否则无根，但总之不会有两个根.题设条件和结论矛盾.因此，本题不能反证法来处理.若原题改为“如果对于任何正数p，只存在正实根，则系数a=0”，就能用反证法证明.因此，对于下列命题，较适用反证法解决.（1）至多至少型命题；（2）唯一性命题；（3）否定型命题；（4）明显型命题；（5）此前无定理可以引用的命题.例3：设a，b都是正数，求证：（a-b）/a≤ln（a/b）≤（a-b）/b.证明：反设ln（a/b）≤（a-b）/b不成立，便有ln（a/b）≥（a-b）/b，由对称性知：ln（b/a）≥（b-a）/a，相加得：ln（a/b）+ln（b/a）>（a-b）/b+（b-a）/a即：0>（a-b）/a≥0这一矛盾说明ln（a/b）≤（a-b）/b即：ln（b/a）≥（a-b）/b交换位置：ln（a/b）≥（a-b）/b合并得：（a-b）/a≤ln（a/b）≤（a-b）/b反证法是数学中的一种重要的证明方法.牛顿曾说：“反证法是数学家最精当的武器之一.”它是从命题的否定结论出发，通过正确的逻辑定理推理导出矛盾，从而证明原命题的正确性的一种重要方法.反证法之所以有效是因为它对结论的否定实际上增加了论证的条件，多一个条件，这对发现正确的解题思路是有帮助的.对于具体、简单的命题；或者直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，通过逆向思维，从结论入手进行反面思考，问题就能迎刃而解.在现代数学中，反证法已成为最常用和最有效的解决问题的方法之一.。

论“反证法”在高中数学中的应用
陈兵
【期刊名称】《数理化解题研究：高中版》
【年(卷),期】2013(000)004
【摘要】高中数学具有较强的逻辑性与规律性，我们解决问题时往往从正面人手，难免会遇到思维障碍或者困难．如果我们另辟蹊径，逆向思维，问题也许就迎刃而解．反证法就是一种典型逆向数学思维，在数学中应用较广．
【总页数】1页(P13-13)
【作者】陈兵
【作者单位】江苏省金湖中学,211600
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.高中数学中反证法的应用研究 [J], 徐衢;
2.高中数学解题中的反证法应用初探 [J], 宋泽
3.例谈反证法在高中数学解题中的应用 [J], 谷小溪;
4.谈反证法在高中数学中的应用 [J], 朱兵
5.谈反证法在高中数学中的应用 [J], 朱兵
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反证法在高中数学中的应用牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一。

”它是指从与命题的结论相反的假设出发，经过正确的推理，推出与已知证明的定理，公理，定义或题设相矛盾的结果，这样就证明了与结论相反的假设不能成立，从而肯定了原来的结论成立。

一般来说，反证法常用来正面证明或求解有困难，情况多或复杂，而逆否命题是比较浅显的题目，问题可能解决的十分干脆。

利用反证法求解时必须结合其它的知识和方法综合考查，由于它应用的广泛性和它在中学数学与高考的突出作用，它已成为一种重要的解题思想，倍受命题者青睐，本文就反证法思想在解题中的应用加以分类解析，旨在探索题型规律，揭示解题方法.1在简易逻辑中的应用例1设,,x y R ∈ :8,:2p x y q x +≠≠或 6,y ≠则p 是q 的（ ）A ． 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C.充要条件 D . 既不充分也不必要条件分析直接判断总感觉模凌两可，若从反证法的思想考虑逆否命题，简洁清晰。

解析因为 “:2q x ⌝=且6y =”是“:8p x y ⌝+=”的充分不必要条件，所以p 是q 充分不必要条件。

点评在简易逻辑中，当原问题是否定形式的命题，且直接证明或求解较为困难时，考虑逆否命题可化难为易，简洁清晰。

2在平面向量中的应用例2（2011上海理17）设12345,,,,A A A A A 是空间中给定的5个不同的点，则使123450MA MA MA MA MA ++++= 成立的点M 的个数为（ ）.A ．0 B.1 C.5 D.10分析先用向量加法意义说明这样的点是存在的，再用反证法证明这样的点是唯一的。

解析由123450MA MA MA MA MA ++++= 得，()123451,5O M O A O A O A O A =++++ 由向量加法法则知存在这样的点;M 下面用反证法证明点M 的个数是唯一的，假设满足条件的点除M 外还有点,N 那么123450MA MA MA MA MA ++++= ①，123450NA NA NA NA NA ++++= ②，①-②得50,MN = 则N 点与M 点重合，与假设矛盾.所以满足条件的点M 只有一个.点评涉及唯一性问题的证明时，利用反证法可以有效的突破解题困境，使问题处理的简洁流畅。

【高考地位】 反证法是高中数学的一种重要的证明方法，在不等式和立体几何的证明中经常用到，在高考题中也经常出现。

它是数学学习中一种很重要的证题方法. 反证法证题的步骤大致分为三步：（1）反设：作出与求证的结论相反的假设；（2）归谬：由反设出发，导出矛盾结果；（3）作出结论：证明了反设不能成立，从而证明了所求证的结论成立.其中，导出矛盾是关键，通常有以下几种途径：与已知矛盾，与公理、定理矛盾，与假设矛盾，自相矛盾等.【方法点评】类型一 证明“至多”或“至少”问题 使用情景：证明“至多”或“至少”问题． 解题模板：第一步 首先假设命题不成立；第二步 然后根据已知或者规律推导出矛盾；第三步 最后得出结论.例1. 若,x y ∈{正整数}，且2x y +>。

求证：12x y +<或12y x+<中至少有一个成立。

【变式演练1】若下列方程：x 2＋4ax －4a ＋3＝0， x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0, x 2＋2ax －2a ＝0至少有一个方程有实根。

则实数a 的取值范围为________。

类型二 证明“不可能”问题使用情景：证明“不可能”问题．解题模板：第一步 首先假设命题不成立；第二步 然后根据已知或者规律推导出矛盾；第三步 最后得出结论.例2.给定实数0a a ≠，，且1a ≠，设函数11()1x y x x ax a-=∈≠-R ，且，求证：经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于x 轴．【变式演练2】如图，设SA 、SB 是圆锥SO 的两条母线，O 是底面圆心，C 是SB 上一点。

求证：AC 与平面SOB 不垂直。

类型三 证明“存在性”或“唯一性”问题使用情景：证明“存在性”或“唯一性”问题．解题模板：第一步 首先假设命题不成立；第二步 然后根据已知或者规律推导出矛盾；第三步 最后得出结论.例3.求证：方程512x=的解是唯一的．【变式演练3】用反证法证明数学命题时，首先应该做出与命题结论相反的假设．否定“自然数c b a ,,中恰有一个偶数”时正确的假设为（）A ．自然数c b a ,,都是奇数B ．自然数c b a ,,都是偶数C ．自然数c b a ,,中至少有两个偶数D ．自然数c b a ,,中至少有两个偶数或都是奇数【高考再现】1. 【2016高考山东文数】观察下列等式：22π2π4(sin )(sin )12333--+=⨯⨯； 2222π2π3π4π4(sin )(sin )(sin )(sin )2355553----+++=⨯⨯； 2222π2π3π6π4(sin )(sin )(sin )(sin )3477773----+++⋅⋅⋅+=⨯⨯； 2222π2π3π8π4(sin )(sin )(sin )(sin )4599993----+++⋅⋅⋅+=⨯⨯； ……照此规律，2222π2π3π2π(sin)(sin )(sin )(sin )21212121n n n n n ----+++⋅⋅⋅+=++++_________．2. 【2015高考广东，理8】若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值（ ）A ．大于5 B. 等于5 C. 至多等于4 D. 至多等于33.【2014山东.理4】 用反证法证明命题“设b a ,为实数，则方程02=++b ax x 至少有一个实根”时，要做的假设是（ ）A.方程02=++b ax x 没有实根B.方程02=++b ax x 至多有一个实根C.方程02=++b ax x 至多有两个实根D.方程02=++b ax x 恰好有两个实根4. 【2015高考北京，理20】已知数列{}n a 满足：*1a ∈N ，136a ≤，且121823618n n n n n a a a a a +⎧=⎨->⎩，≤，，()12n =，，…． 记集合{}*|n M a n =∈N ．（Ⅰ）若16a =，写出集合M 的所有元素；（Ⅱ）若集合M 存在一个元素是3的倍数，证明：M 的所有元素都是3的倍数； （Ⅲ）求集合M 的元素个数的最大值．【反馈练习】1．【2015-2016学年陕西延川县中学高二下学期期末数学（文）试卷】用反证法证明“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定是（ ）A ．有两个内角是钝角B ．有三个内角是钝角C ．至少有两个内角是钝角D ．没有一个内角是钝角2．【2016-2017学年江西南昌市高三新课标一轮复习一数学试卷】用反证法证明命题“设3()3||()f x x x a a R =+-∈为实数，则方程()0f x =至少有一个实根”时，要做的假设是（ ）A ．方程()f x 没有实根B ．方程()0f x =至多有一个实根C ．方程()0f x =至多有两个实根D ．方程()0f x =恰好有两个实根3．【2016-2017河北武邑中学高二上周考9.25理数学试卷】 在用反证法证明命题“已知()0,2a b c ∈、、，求证()()()222a b b c c a ---、、不可能都大于1”时，反证时假设正确的是（ ）A ．假设()()()222a b b c c a ---、、都小于1B ．假设()()()222a b b c c a ---、、都大于1C ．假设()()()222a b b c c a ---、、都不大于1D ．以上都不对4．【2015-2016学年山东枣庄三中高二6月调查数学（理）试卷】用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（ ）A. 假设三内角都不大于60度B. 假设三内角都大于60度C. 假设三内角至多有一个大于60度D. 假设三内角至多有两个大于60度5．【2015-2016学年福建晋江平山中学高二下学期期中数学（文）试卷】用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”正确的反设为A ．a ，b ，c 中至少有两个偶数B ．a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数C ．a ，b ，c 都是奇数D ．a ，b ，c 都是偶数6．【2016-2017河北武邑中学高二上周考9.25理数学试卷】已知二次函数()()20f x ax bx c a =++>的图象与x 轴有两个不同的交点，若()0f c =，且0x c <<时，()0f x >．（1）证明：1a是()0f x =的一个根； （2）试比较1a 与c 的大小； （3）证明：21b -<<-．7．【2015-2016学年山东曲阜师大附中高二下学期期中数学（理）试卷】（167225>（2）110,0,2,.b a a b a b a b++>>+>已知且求证：和中至少有一个小于28．【2015-2016学年江苏连云港东海县房山高级中学高二下期中文数学试卷】用反证法证明命题“三角形的3个内角中至少有2个锐角”时，假设的内容是。

高中数学：反证法的应用设{a n }是公比为q 的等比数列．(1)推导{a n }的前n 项和公式；(2)设q ≠1，证明数列{a n ＋1}不是等比数列．解：(1)设{a n }的前n 项和为S n ，当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1，①qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n ，②①－②得，(1－q )S n ＝a 1－a 1q n ，∴S n ＝a 1(1－q n )1－q， ∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q ，q ≠1.(2)证明：假设{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k ∈N *， (a k ＋1＋1)2＝(a k ＋1)(a k ＋2＋1)，a 2k ＋1＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1，a 21q 2k ＋2a 1q k ＝a 1qk －1·a 1q k ＋1＋a 1q k －1＋a 1q k ＋1， ∵a 1≠0，∴2q k ＝q k －1＋q k ＋1.∵q ≠0，∴q 2－2q ＋1＝0，∴q ＝1，这与已知矛盾．∴假设不成立，故{a n ＋1}不是等比数列．1.反证法的应用策略(1)反证法的适用范围：当一个命题的结论是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法求证．(2)反证法关键：是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是①与已知条件矛盾；②与假设矛盾；③与定义、公理、定理矛盾；④与事实矛盾等方面．2．反证法证明问题的3步骤若f (x )的定义域为[a ，b ]，值域为[a ，b ](a ＜b )，则称函数f (x )是[a ，b ]上的“四维光军”函数．(1)设g (x )＝12x 2－x ＋32是[1，b ]上的“四维光军”函数，求常数b的值；(2)是否存在常数a ，b (a ＞－2)，使函数h (x )＝1x ＋2是区间[a ，b ]上的“四维光军”函数？若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)由已知得g (x )＝12(x －1)2＋1，其图象的对称轴为x ＝1，区间[1，b ]在对称轴的右边，所以函数在区间[1，b ]上单调递增．由“四维光军”函数的定义可知，g (1)＝1，g (b )＝b ，即12b 2－b ＋32＝b ，解得b ＝1或b ＝3.因为b ＞1，所以b ＝3.(2)假设函数h (x )＝1x ＋2在区间[a ，b ](a ＞－2)上是“四维光军”函数，因为h (x )＝1x ＋2在区间(－2，＋∞)上单调递减， 所以有⎩⎪⎨⎪⎧ h (a )＝b ，h (b )＝a ，即⎩⎨⎧ 1a ＋2＝b ，1b ＋2＝a ，解得a ＝b ，这与已知矛盾．故不存在．。

浅谈反证法在解题中的应用作者：童其林来源：《中学数学杂志(高中版)》2015年第02期反证法是一种间接证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.用反证法证明命题一般有三个步骤：（1）反设：作出与求证结论相反的假设；（2）归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；（3）结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立.反证法不但在初等数学中有着广泛的应用，而且在高等数学中也具有特殊作用.数学中的一些重要结论，从最基本的性质、定理，到某些难度较大的世界名题，往往是用反证法证明的.简单地说，正面证明繁琐或困难时宜用反证法；具体地讲，当所证命题的结论为否定形式、含有“至多”、“至少”等不确定词或“存在性”、“唯一性”问题通常用反证法证明.下面我们举例说明.1证明否定性命题即结论以“没有……”“不是……”“不能……”等形式出现的命题，直接证法一般不易入手，而反证法有希望成功.例1（2013年北京卷（文））直线y=kx+m（m≠0）与椭圆W：x24+y2=1相交于A，C两点，O是坐标原点.（1）当点B的坐标为（0，1），且四边形OABC为菱形时，求AC的长.（2）当点B在W上且不是W的顶点时，证明四边形OABC不可能为菱形.解（1）|AC|=23.（2）假设四边形OABC为菱形.因为点B不是W的顶点，且AC⊥OB，所以k≠0.由x2+4y2=4，y=kx+m，消y并整理得（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0.设A（x1，y1），C（x2，y2），则x1+x22=-4km1+4k2，y1+y22=k·x1+x22+m=m1+4k2，所以AC的中点为M-4km1+4k2，m1+4k2.因为M为AC和OB的交点，且m≠0，k≠0，所以直线OB的斜率为-14k.因为k·-14k≠-1，所以AC与OB不垂直.所以四边形OABC不是菱形，与假设矛盾.所以当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能是菱形.点评假设是反证法的基础，应用假设是反证法的基本手段，得到矛盾是反证法的目的，利用反证法证明时，一定要回到结论上去.例2求证：.抛物线上任意四点所组成的四边形不可能是平行四边形.证明如图，设抛物线方程为y2=ax（a>0），A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）是抛物线上不同的四点，则有kAB=ay2+y1，kBC=ay3+y2，kCD=ay3+y4，kDA=ay1+y4.假设ABCD是平行四边形，则kAB=kCD，kBC=kDA，从而得y1=y3，y2=y4，进而得x1=x3，x2=x4，于是A、C重合，B、D重合，这与A，B，C，D是抛物线上不同的四点的假设相矛盾.故ABCD不可能是平行四边形.点评也可假设我们常设的抛物线方程y2=2px（p>0），或其它形式的抛物线方程.2证明限定式命题即结论中含有“至多”、“至少”、“不多于”或“最多”等词语的命题.例3若x、y都是正实数，且x+y>2，求证：1+xy证明假设1+xy0且y>0，所以1+x≥2y，且1+y≥2x，两式相加得，2+x+y≥2x+2y，所以x+y≤2.这与已知x+y>2相矛盾，因此1+xy点评注意反证法的格式，正确推理论证，同时注意易错点.3证明“正难则反”的命题这类命题仅从已知条件出发，能推出什么所知甚少，往往感到无从入手，如果用反证法，添加新的假设（结论的反面），就可以得到较多的条件，从而使命题的证明简洁明了.例4设函数f（x）的定义域是[0，1]，f（0）=f（1），且对任意的x1，x2∈[0，1]，x1≠x2，均有f（x2）-f（x1）分析若用直接法，需分类讨论，于是可考虑使用反证法.证明（反证法）假设x1，x2∈[0，1]，x1≠x2，使得f（x2）-f（x1）≥1.不妨设x1>x2，则1≤f（x2）-f（x1）=|[f（x2）-f（0）]+[f（0）-f（x1）]|≤f（x2）-f（0）+f（0）-f（x1）所以0这与假设矛盾，故原命题成立.点评当命题“结论反面”比“结论”更明确具体时，可采用反证法.本题结论的反面只有一种情况，故推翻此种情况就达到证明目的，本题运用了f（x2）-f（x1）=|[f（x2）-f（0）]+[f（0）-f（x1）]|≤f（x2）-f（0）+f（0）-f（x1）.例5（2010年湖北卷（文））设函数f（x）=13x3-a2x2+bx+c，其中a>0，曲线y=f（x）在点P（0，f（0））处的切线方程为y=1.（Ⅰ）确定b、c的值；（Ⅱ）设曲线y=f（x）在点（x1，f（x1））及（x2，f（x2））处的切线都过点（0，2），证明：当x1≠x2时，f′（x1）≠f′（x2）；（Ⅲ）若过点（0，2）可作曲线y=f（x）的三条不同切线，求a的取值范围.解（Ⅰ）b=0，c=1.（Ⅱ）f（x）=13x3-a2x2+bx+c，f′（x）=x2-ax.由于点（t，f（t））处的切线方程为y-f （t）=f′（t）（x-t），而点（0，2）在切线上，所以2-f（t）=f′（t）（-t），化简得23t3-a2t2+1=0，即t满足的方程为23t3-a2t2+1=0.下面用反证法证明.假设f′（x1）=f′（x2），由于曲线y=f（x）在点（x1，f（x1））及（x2，f（x2））处的切线都过点（0，2），则下列等式成立：23x31-a2x21+1=0，23x32-a2x22+1=0，x21-ax1=x22-ax2.由x21-ax1=x22-ax2，得x1+x2=a，化简方程组得x21+x1x2+x22=34a2①又x21+x1x2+x22=（x1+x2）2-x1x2=a2-x1（a-x1）=（x1-a2）2+34a2≥34a2，故由①可得x1=x2=a2，这与x1≠x2相矛盾，所以f′（x1）≠f′（x2）.（Ⅲ）略.4证明存在性命题此类命题中，结论常常是开放的，需要考生自己探究并证明.注意“存在”就是“至少有一个”，其反面是“一个没有”.例6（2011年陕西卷（理））设函数f（x）定义在（0，+∞）上，f（1）=0，导函数f′（x）=1x，g（x）=f（x）+f′（x）.（1）求g（x）的单调区间和最小值；（2）讨论g（x）与g（1x）的大小关系；（3）是否存在x0>0，使得|g（x）-g（x0）|0成立？若存在，求出x0的取值范围；若不存在，请说明理由.分析（1）先求出原函数f（x），再求得g（x），然后利用导数判断函数的单调性（单调区间），并求出最小值；（2）作差法比较，构造一个新的函数，利用导数判断函数的单调性，并由单调性判断函数的正负；（3）存在性问题通常采用假设存在，然后进行求解；注意利用前两问的结论.解（1）（0，1）是函数g（x）的减区间，（1，+∞）是函数g（x）的增区间，g（x）的最小值是g（1）=1.（2）当0g（1x），当x>1时，g（x）（3）满足条件的x0不存在.证明如下：证法一：假设存在x0>0，使|g（x）-g（x0）|0成立，由（1）知f（x）=lnx，g（x）=lnx+1x，即对任意x>0，有lnx但对上述x0，取x1=eg（x0）时，有lnx1=g（x0），这与（*）左边不等式矛盾，因此，不存在x0>0，使|g（x）-g（x0）|0成立.证法二：假设存在x0>0，使|g（x）-g（x0）|0成立.又知，g（x）的最小值为g（1）=1.又g（x）=lnx+1x>lnx，而x>1时，lnx的值域为（0，+∞），所以x≥1时，g（x）的值域为[1，+∞），从而可取一个x1>1，使g（x1）≥g（x0）+1，即g（x1）-g（x0）≥1，故|g（x1）-g（x0）|≥1>1x1，与假设矛盾.所以不存在x0>0，使|g（x）-g（x0）|0成立.点评归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从假设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木.例7对于直线l：y=kx+1，是否存在这样的实数k，使得l与双曲线C：3x2-y2=1的交点A、B关于直线y=ax（a为常数）对称？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.解析不存在满足条件的k值.证明（反证法）假设存在实数k，使得A、B关于直线y=ax对称，设A（x1，y1）、B （x2，y2）则ka=-1，（1）y1+y2=k（x1+k2）+2，（2）y1+y22=ax1+x22，（3）由y=kx+1，y2=3x2-1（3-k2）x2-2kx-2=0（4）由（2）、（3）有a（x1+x2）=k（x1+x2）+2.（5）由（4）知x1+x2=2k3-k2，代入（5）整理得：ak=-3与（1）矛盾.故不存在实数k，使得A、B关于直线y=ax对称.5证明唯一性命题此类问题中结论的反面不是唯一的，至少有两个不同者，由此推出矛盾，来否定不唯一，从而肯定唯一.例8试证明：在平面上所有通过点（2，0）的直线中，至少通过两个有理点（有理点指坐标x，y均为有理数的点）的直线有一条且只有一条.解析先证存在性.因为直线y=0显然通过点（2，0），且直线y=0至少通过两个有理点，例如它通过（0，0）和（1，0）.这说明满足条件的直线有一条.再证唯一性.假设除了直线y=0外还存在一条直线y=kx+b（k≠0或b≠0）通过点（2，0），且该直线通过有理点A（x1，y1）与B（x2，y2），其中x1、y1、x2、y2均为有理数.因为直线y=kx+b通过点（2，0），所以b=-2k，于是y=k（x-2），且k≠0.又直线通过A （x1，y1）与B（x2，y2）两点，所以y1=k（x1-2）①，y=k（x-2）②①-②，得y1-y2=k（x1-x2）③因为A，B是两个不同的点，且k≠0，所以x1≠x2，y1≠y2，由③，得k=y1-y2x1-x2，则k是不等于零的有理数.由①，得2=x1-y1k.此式的左边是无理数，右边是有理数，出现了矛盾.所以，平面上通过点（2，0）的直线中，至少通过两个有理点的直线只有一条.综上所述，满足题设条件的直线有一条且只有一条.点评唯一性命题的证明问题，可考虑用反证法.“惟一”就是“有且只有一个”，其反面是“至少有两个”.例9已知函数f（x）=ln（1+ex）-x（x∈R），有下列性质：“若x∈a，b，则存在x0∈a，b使得f（b）-f（a）b-a=f′（x0）”成立.（1）利用这个性质证明x0唯一；（2）设A，B，C是函数f（x）=ln（1+ex）-x（x∈R）图像上三个不同的点，求证：△ABC是钝角三角形.证明（1）假设存在x0′，x0∈（a，b），且x0′≠x0，使得f（b）-f（a）=（b-a）f′（x0），①f（b）-f（a）=（b-a）f′（x0′）.②①-②得，（b-a）f′（x0）=（b-a）f′（x′0）.因为b>a，b-a≠0，所以f′（x0）=f′（x0′）.因为f′（x）=ex1+ex-1=-11+ex，记g（x）=f′（x）=-11+ex，所以g′（x）=ex1+ex>0，f′（x）是[a，b]上的单调增函数，所以x0=x0′，这与x0≠x0′矛盾，即x0是唯一的.（2）略.牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一.”作为武器，在数学教材中，都有反证法的渗透，特别是在推理与证明的内容里也有较多反证法的例题和习题，所以高考中出些有关反证法的问题，是容易理解的，也是非常有必要的.作者简介童其林，男，1963年10月生，中学高级教师，福建省特级教师，龙岩市杰出人民教师，曾有200余篇文章发表，主要从事教学管理研究与数学教学研究.。

例谈反证法在解题中的应用反证法是一种间接证法.它是数学学习中一种很重要的证题方法.反证法证题的步骤大致分为三步：（1）反设：作出与求证的结论相反的假设；（2）归谬：由反设出发，导出矛盾结果；（3）作出结论：证明了反设不能成立，从而证明了所求证的结论成立.其中，导出矛盾是关键，通常有以下几种途径：与已知矛盾，与公理、定理矛盾，与假设矛盾，自相矛盾等.一、证明“至多”或“至少”问题例１ 已知函数()f x 对其定义域内的任意两个实数a b ，，当a b <时，都有()()f a f b <．求证：至多有一个实数x 使得()0f x =．证明：假设存在两个不等实数12x x ，，使得12()()0f x f x ==．()* 不妨设12x x <，由条件可知12()()f x f x <，与()*式矛盾．故至多有一个实数x 使得()0f x =．二、证明“不可能”问题例2 给定实数0a a ≠，，且1a ≠，设函数11()1x y x x ax a -=∈≠-R ，且，求证：经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于x 轴．证明：假设函数图象上存在两点12M M ，，使得直线12M M 平行于x 轴． 设111222()()M x y M x y ，，，且12x x ≠．由120M M k =， 得212121212121111110(1)(1)x x y y ax ax a x x x x ax ax -------===----， 解得1a =．与已知1a ≠矛盾．故经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于x 轴.例3 双曲线1xy =的两支为12C C ，，正三角形PQR 的三顶点位于此双曲线上．求证：P Q R ，，不可能在双曲线的同一支上． 证明：假设正三角形的三顶点P Q R ，，位于双曲线同一支如1C 上，其坐标分别为112233()()()x y x y x y ，，，，，，不妨设1230x x x <<<，则一定有1230y y y >>>． 于是222PQ QR PR ++222222122313122313[()()()][()()()]x x x x x x y y y y y y =-+---+-+--- 21232122()()2()()0x x x x y y y y --+--<． 因此，222PQ QR PR +<．这说明PQR △是钝角三角形，与PQR △为正三角形矛盾．故P Q R ，，不可能在双曲线的同一支上．三、证明“存在性”或“唯一性”问题例4 已知函数2()f x ax bx c =++的图象过点(10)-，．问是否存在常数a b c ，，，使不等式21()(1)2x f x x +≤≤对一切实数x 都成立？若存在，求出a b c ，，的值；若不存在，说明理由．解：假设存在符合条件的a b c ，，．()f x ∵的图象过(10)-，，(1)0f -=∴，即0a b c -+=．又21()(1)2x f x x +∵≤≤对一切实数都成立，令1x =，则211(11)12a b c +++=≤≤．1a b c ++=∴，12b =∴，12a c +=．211()22f x ax a ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭∴．。

数理化解题研究2021年第01期总第494期谈反证法在高中数学中的应用朱兵（江苏省徐州经济技术开发区高级中学221131）摘 要:反证法是数学中应用广泛的一种重要的间接证明方法.本文通过举例，说明应用反证法解题的步骤，并总结了适合运用反证法解题的题型.关键词：高中数学；反证法；应用中图分类号：G632 文献标识码:A 用反证法证明命题是先假定“结论不成立",并将其 作为推理的已知条件,进行正确的逻辑推理,就会推出矛 盾,这个矛盾是通过与已知条件矛盾、与公理或定理矛盾的方式暴露出来的.这个矛盾是如何造成的呢？推理是 没有错误的，而且已知条件、公理或定理也没有错误，那么唯一有错误的地方就是我们开始所作的假设•“结论不 成立”与“结论成立”必然有一个正确.既然“结论不成 立”有错误,就能肯定结论必然正确.《普通高中课程标准实验教科书・数学（选修2 -2）》第90页对反证法有明确的定义•从数学思想方法的角度来看，反证法是一种化归与整合的思想，体现了“正 难则反”的化归•下面从高中数学解题方法角度对反证法和其它方法进行对比研究.例]设a , b , c 都是正数,则三个数a + }, b +丄,cA. 都大于 2B. 至少有一个大于 2C.至少有一个不小于2D.至少有一个不大于2解法1 （特殊值法）取a = b = c = 1,则a + -b = b +b丄=c +丄=2,排除A,B ；再取a = b = c = £,贝」a +当=bc a 2 b+ 丄 =c + 丄=手，排除 D.故选 C.c a 2文章编号：1008 -0333 （2021）01 -0056 -02解法2 （反证法）根据均值不等式,a +丄M2, b +a]M2,c + 1 M2.所以 a + b + c + 1 + ] + 1 M6（当且仅bc a b c当a = b = c = 1时，上式取“二”号）.假设三个数a + +,b +丄,c +丄均小于2,则它们的b c a和（a +亠）+ （b +丄）+ （c +丄）＜6,与上述结论明显矛bca盾，所以假设不成立•所以三个数a + £, b +丄,c +丄中b c a至少有一个不小于2.点评（1）本题为开放性结论,可进行解法多样性的 训练，既可用特殊值法,又可以用反证法进行求解.（2）应用反证法解题的步骤为：假设:作出与结论相反的假设；推理:将假设作为条件,并由此通过逻辑推理推导出 矛盾；结论：根据矛盾,说明假设不成立，从而原命题成立.例2给定实数a 满足a H0且a H1,函数y =兰二2a% - 1（其中% e R 且％H 丄）.a求证:经过这个函数图象上任意两个不同点的直线收稿日期：2020 -10 -05作者简介：朱兵（1984. 11 -），男，江苏省徐州人，本科，中学一级教师，从事高中数学教学研究.— 56—2021年第01期总第494期数理化解题研究不平行于%轴.证法1(反证法)设M](%],y]),M2(%2』2)是函数图象上任意两个不同的点，则%]丰%2•假设直线M]M2平行于%轴,贝V必有y2-y2,即%%—]-%%—.%%1-1%%2-1整理，得％(%2-%2)-%2-%2•因为％2工%2,所以%-1,这与已知“%H1”矛盾，所以假设不成立,原命题成立.证法2(综合法)令M](%],y]),M2(%2』2)是函数图象上任意两个不同的点，则%]丰%2•所以鶴他-%1三%1-1%2-1%%1-1%%2-1%-1%1—%2 (%%]—1)(%%2—1)因为%H1,所以鶴他H0.所以结论成立.点评采用反证法,假设“平行”后得出矛盾,从而推翻假设•在数学问题中，“平行”的等价转化方式很多，易于下手，例如可通过斜率相等、向量平行、坐标运算等角度转化，但“不平行”的局限性比较多.例3设｛%」是公比为q的等比数列•设q H1,证明数列｛%re+1｝不是等比数列•解法1(反证法、特殊值法)假设｛%re+1｝是等比数列,则%]+1,%2+1,%3+1成等比.所以(%2+1)2-(%1+1)(%3+1)•所以(%1q+1)2-(%1+1)(%1q2+1)•化简，得q2-2q+1-0.解得q-1,这与已知矛盾•所以假设不成立，即数列｛%n+1｝不是等比数列•解法2(反证法)假设｛%re+1｝是等比数列，则对任意的k e N+,(%fc+i+1)2二(%+1)(%+2+1)•即%2+1+2%k+1+1-%k%k+2+%k+%k+2+1•22k k k—1k+1k—1k+1即卩%]q+2%]q-%]q•%]q+%]q+%]q•因为％]工0,所以2q-q-1+q+1•因为q H0,所以q2-2q+1-0.解得q-1,这与已知矛盾•所以假设不成立，故｛%re+1｝不是等比数列.点评(1)解法1,2都应用了反证法,但是解法1利用特殊的三项推导出矛盾，而解法2利用一般的三项推导出矛盾，两者相比较，解法1的计算要简洁得多.(2)反证法一般适用于下列情况：直接证明较困难的命题；需要分成很多种情况进行分类讨论的命题；结论中含有“至少”“至多”“唯一”“有无穷多个”等词语的命题；命题的结论为“否定形式”•例4求证:平面外一条直线与平面内一条直线平行,则这条直线与这个平面平行(线面平行的判定定理)•已知：如图1,%U a,b U a,%〃b.求证：％//a.证明直接证明只能用线面平行的定义，不太容易，所以用反证法.假设直线%与平面a不平行，由图1%U a,则它必与平面a相交,设%A a-P,按点P的位置分为两种情况论述：(1)若点P e b,则%A b-P，与已知%/b矛盾；(2)若P柱b,根据异面直线的定义，则直线%,b异面,也与已知％/b矛盾.综上所证,假设不成立.所以原命题成立.点评(1)对一些直接证明不容易的试题,可用反证法，例如本例中若直接证明,必须要证明直线与平面无公共点，这很难证明，所以用反证法更好.(2)应用反证法解答时,要注意书写必须规范，特别是开始必须写出“假设……”•(3)反证法推导出的矛盾一般有下列情形：直接与假设矛盾；与已知条件矛盾；与数学定义矛盾；与公理或定理矛盾；推出结果自相矛盾•参考文献：[1]戴威伦.反证法在高中数学解题中的妙用[J].数学学习与研究，2016(20)：134-135.[2]张少东.高中数学中反证法的具体运用[J].考试周刊，2011(25)：70-71.[责任编辑:李璟]—57—。