4 测试管柱的力学分析测试管柱在井筒中要受到各种外力的作用，如内外压力、重力、井壁的反力等的作用。
这些作用力与温度共同作用在测试管柱上，造成管柱的变形，如拉伸变形和屈曲变形等，以及在测试管柱中产生内力，如轴向力、弯矩等。
如果这些变形或内力过大，就可能对测试管柱产生损坏。
在不同的操作中，这些外力是不同的。
因而，各种工况所产生的内力也不尽相同。
例如，下放测试管柱时，测试管柱受的外力为重力和完井液对管柱的浮力，上部则由钻机大钩吊着；在坐封时，大钩逐步加上钻压，即松弛力，使封隔器坐封；在开井时，测试管柱中有天然气流过，因而测试管柱内外压力会发生变化，此外，测试管柱的温度变化会使管柱伸长。
因此，在分析时必须根据不同工况进行具体分析。
管柱在受到外力作用时产生变形，根据不同的内力，变形有所不同。
众所周知，当管柱的轴向力是受拉时，管柱只是伸长，而当管柱的轴向力是受压时，除了轴向缩短外，对于这种长细比很大的管柱，管柱还会产生屈曲变形。
屈曲变形反过来又会影响内力。
因此，对测试管柱在井筒中的力学分析有助于合理地设计测试管柱及其测试操作。
在本章中，我们研究井眼中管柱的受力分析、受压部分的屈曲分析和测试管柱的强度分析。
4.1 测试管柱各工况的受力分析在地层测试过程中，需要进行测试管柱的下放（简称为下钻）、用低比重流体替代测试管柱中的流体（简称为低替）、封隔器坐封（简称为坐封）、打开井口关井阀诱喷（简称为开井）、井下关井阀关井（简称为1关）、井口关井阀关井（简称为2关）、高比重泥浆循环压井（由井口油管将高比重泥浆压入，从环形空间流出；简称为循环）或高比重泥浆反循环压井（由井口环形空间将高比重泥浆压入，从油管流出；简称为反循环）和压裂与酸化（简称为高挤酸）等操作。
在这些操作中，测试管柱受力是不一样的。
下面我们根据不同工况分析测试管柱的受力情况。
4.1.1 下钻完 测试管柱在下放的过程中，井眼中存在有完井液。
测试管柱此时受有重力、悬挂力和液体的作用力（浮力）。
设井眼垂直，测试管柱全长为l ，从井口沿井眼中心垂直向下建立坐标系，深度坐标为z ，参见图4－1。
重力均匀作用在测试管柱整个深度范围，微长d z 的管柱所受的重力d Q 为z g Q d d ρ= (4－1) 式中： ρ为单位长度测试管柱的质量，kg/m ；g 为重力加速度，m/s 2。
悬挂力P 直接作用在测试管柱的顶部。
悬挂力的大小按下式计算Vg Lg P γρ-= (4－2) 式中： γ为完井液密度，kg/m 3；L 为测试管柱长度，m 。
V 为测试管柱浸入井筒完井液的体积，m 3。
浮力与测试管柱的下放深度成正比。
当下放到深度z = l 时，测试管柱受的浮力F b 作用在测试管柱的底部，其大小为glA F γ=b (4－3) 式中： A 为测试管柱底部的面积，m 2。
对于组合测试管柱，即由不同截面积组成的测试管柱，各段管柱分别计算该段管柱的浮力。
假设组合管柱的某一分界面位于深度z = l 1的地方，则应在此分界面上加上一个向上的集中力F 1图4－1 下钻测试管柱受力图)(2111A A gl F -=γ (4－4) 式中： A 1为组合管柱分界面以上段底部的面积，m 2；A 2为组合管柱分界面以下段顶部的面积，m 2。
4.1.2 低替进行低比重液体替换操作时，测试管柱仍然是由大钩悬挂，作用在测试管柱上的重力不变。
悬挂力P 由平衡方程计算出。
低替时，从井口油管内将低比重液体压入井中，井中多余完井液从井口的环空处流出。
低替载荷最大时是低替完成的时候。
此时，在测试管柱内充满低比重液体，环空中则仍有完井液占据。
测试管柱在井底的压力应等于环空在井底的压力。
由于测试管柱中低替液比重小于完井液的比重，在测试管柱的井口必须加上压力pgl p )(21γγ-=(4－5) 式中： γ 1为完井液的密度，kg/m 3；γ 2为低替液的密度，kg/m 3；假设组合管柱的某一分界面位于深度z = l 1的地方，则应在此分界面上加上一个向上的集中力F 12121111')('A p gl A gl F +-=γγ (4－6) 式中： )('22211O O r r A -=π，m 2；1O r 和2O r 分别为测试管柱分界面上段的外半径和下段外半径，m 。
)('2221i 2i r r A -=π，m 2；1i r 和2i r 分别为测试管柱分界面下段的外半径和上段外半径，m 。
图4－2测试管柱坐封受力图4.1.3 坐封坐封是在低替之后进行的操作。
坐封操作时，通过旋转测试管柱使封隔器动作，再将大钩往下放，封隔器坐封。
大钩松弛力越大，封隔器坐封力也越大。
作用在测试管柱上的载荷除了低替的载荷外，还有封隔器上作用有坐封力。
在封隔器以下的测试管柱的重量已经通过封隔器传递到套管上，因此，对封隔器以上的测试管柱已经不再起作用。
坐封后，封隔器成为固定支点，坐封以后各操作封隔器以上测试管柱的变形以此为基准计算。
一般来说，封隔器坐封力大小与井口松弛力的大小并不相同，原因是大钩在下放的过程中，下部的管柱因受压而进入螺旋屈曲，测试管柱与井壁接触，一部分力被摩擦力抵消。
在计算封隔器坐封力时，必须考虑测试管柱的螺旋屈曲。
封隔器的坐封力与井口松弛高度的距离的关系在下节中导出。
4.1.4 射孔坐封之后，通过油管加压或通过环空加压进行射孔，建立起油层与测试管柱之间的通道，诱导油气由测试管柱喷出。
射孔操作与坐封操作不同的是，在射孔时，在井口测试管柱中或在环空中施加井口压力。
该压力的大小必须能使射孔枪动作。
4.1.5 开井射孔之后，建立起油气流的通道。
储油层的油气流在地层压力的驱动下流入封隔器下套管口袋中，并经由测试管柱流出。
如第三章所述，流体在流过测试管柱时，压力和温度要发生变化，变化的规律由一组非线性微分方程描述。
开井后在测试管柱上，外部压力仍然维持坐封时的状态，测试管柱的内部压力和测试管柱的温度需要用数值方法求出（见第三章）。
测试管柱内流体的压力和温度变化使得测试管柱的变形产生变化。
4.1.6 井下关井阀关井开井以后第一次关井一般采用井下关井阀关井。
通过在井口的环空加压使得井下关井阀动作，从而达到关井的目的。
关井后，地层油气流通过测试管柱流出井口的途径被阻断，测试管柱中的流体密度仍然保持开井时的密度，井口测试管柱压力减为零。
由于流量减为零，井底的流压逐渐增加，作用在关井阀上的压力将使封隔器受很大的向上的力。
4.1.7井口关井阀关井当最后关井时，采用井口关井阀进行关井操作。
关井后，井中测试管柱中的流体密度仍然保持开井时的密度。
由于流量为零，井口的压力进一步升高，直到井底的流压恢复到地层压力。
4.2 考虑摩擦井眼中杆柱屈曲方程的建立4.2.1 无摩擦井眼中管柱的屈曲方程假设测试管柱和井眼内壁摩擦力可以忽略，管柱是均匀的（无接头），井眼垂直，管柱无初始弯曲内力。
设井眼中心线向下为x 轴，y 轴、z 轴如图4－3所示，井眼的半径为c R ，杆柱的半径为t R ，杆柱受压发生螺旋屈曲后，其轴线上任一点必在以井眼中心为轴线，半径为t c R R r -=的圆柱面上，圆柱面的矢径为k j i r θθcos sin )(r r x x ++= (4－7)微元体x d 作用有内力++=j i R y x F F x )(k z F ，内力矩i M x M x =)(k j z y M M ++及图4－3 井眼与测试管柱的几何关系z分布外力fk j i f θθμcos sin )(N N q N +--=(4－8) 其中： q 为单位长度杆柱重量(N/m)；N 为井壁对杆柱的法向支反力(N/m)。
微元体的静力平衡方程为 f R=x d d ，x x d d d d rR M⨯=(4－9) 即 q N x F -=μd d x ，θsin d d y N x F -=，θcos d d zN x F=(4－10) x F F r x M d d )cos sin (d d z y xθθθ-=(4－11) x r F F x M d dcosd d x z y θ+=(4－12) y x zd dsin d d F x r F x M -=θ(4－13) 式(4－10)中： μ为管柱与井筒内壁之间的滑动摩擦系数。
井眼的约束使屈曲变形仍在弹性小变形范围内，梁假设仍起作用，因此2222y d cos d d d x EJr x z EJ M θ-==(4－14) 2222z d sin d d d x EJr x y EJ M θ-=-=(4－15)上二式中：E 为管柱材料的弹性模量，MPa ；J 为管柱的截面惯性模量，m 4。
根据方程(4－10)至(4－15)，用Maple 软件，可导出杆柱在垂直井眼中的屈曲方程， Maple 程序如下：mz:=-EJ*r*diff(sin(th(x)),x$2);Fy:=-diff(mz,x)+Fx(x)*r*diff(sin(th(x)),x);my:=-EJ*r*diff(cos(th(x)),x$2);Fz:=diff(my,x)-Fx(x)*r*diff(cos(th(x)),x);N:=diff(Fz,x)*cos(th(x))-diff(Fy,x)*sin(th(x));simplify(N);dFz:=diff(Fz,x);eq:=dFz-N*cos(th(x));simplify(eq);运行后，得到垂直井眼中的屈曲方程： 0d d d d 6d d d d d d d d 22244x 22x =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x x EJ x x F x F θθθθθ (4－16)反力N 的表达式为 ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛=4222332d d d d 3d d d d 4d d x x x x EJ x F r N x θθθθθ (4－17)以及弯矩M 的表达式 22242z 2y d d d d ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=x x EJr M M M θθ (4－18)在方程(4－16)中，如果假设轴向力为常量，则方程左边的第二项为零，屈曲方程可简化为： 0d d d d 6d d d d 2224422=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x x F EJ x x θθθθ (4－19)4.2.2 有摩擦屈曲方程的解根据方程(4－19)，Lubinski 等得出了井眼中管柱的等重、与井壁无摩擦的螺旋屈曲解[1]。
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<>⎪⎭⎫ ⎝⎛-=qL F EJq rF qL F qL L F EJ r u 0200028,214 (4－20)式中： F 0为管柱的轴向载荷，N ；L 为管柱的长度，m 。
