2011年 天津市大学数学竞赛试题参考解答 (理工类)
一. 填空题（本题15分，每小题3分）: 1. 设()f x 是连续函数, 且0()lim
41cos x f x x →=-, 则01()lim 1x x
f x x →⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭ 2
e .
2. 设223
()2
x f x ax b x +=
++- , 若 lim ()0,x f x →∞= 则 a =2,- b =4.- 3. 1e ln d x x x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭
⎰ e ln .x x C +
4. 设(,)f x y 是连续函数, 且(,)(,)d d ,D
f x y xy f x y x y =+⎰⎰
其中D 由x 轴、y 轴以及直线1x y +=围成,
则(,)f x y =
1
.12
xy +
5. 椭球面22221x y z ++=平行于平面20x y z -+=的切平面方程为
20x y z -++
= 和
20.x y z -+= 二. 选择题（本题15分，每小题3分）:
1. 设()(2)ln(1),f x x x =+- 则()f x 在0x =处
(A) (0)2f '=-, (B) (0)0f '=, (C) (0)2f '=, (D) 不可导. 答: (A) 2. 设函数()y f x =具有二阶导数, 且满足方程sin e 0.x y y '''+-=已知0()0,f x '=则
(A) ()f x 在0x 的某个邻域中单调增加, (B) ()f x 在0x 的某个邻域中单调增少, (C) ()f x 在0x 处取得极小值, (D) ()f x 在0x 处取得极大值. 答: ( C) 3. 图中曲线段的方程为()y f x =, 函数()f x 在区间[0,]a
()d a f x x '表示
(A) 直角三角形AOB 的面积, (B) 直角三角形AOC 的面积, (C) 曲边三角形AOB 的面积, (D) 曲边三角形AOC 的面积. 答: (D)
4. 设在区间 [,]a b 上的函数()0,f x > 且 ()0,f x '< ()0.f x ''> 令 1()d ,a
S f x x =⎰ 2()(),S f b b a =-
31
[()()](),2
S f a f b b a =+- 则
(A) 123,S S S << (B) 312,S S S << (C) 213,S S S << (D) 231.S S S << 答: (C )
5. 设 曲面22{(,,)|,01},x y z z x y z ∑==+≤≤取上侧为正, 1∑是 ∑在 0x ≥的部分, 则曲面积分 (A) d d 0,x y z ∑
=⎰⎰ (B) 1
d d 2d d .z x y z x y ∑∑=⎰⎰⎰⎰
(C) 1
22d d 2d d ,y y z y y z ∑
∑=⎰⎰⎰⎰ (D) 1
22d d 2d d ,x y z x y z ∑
∑=⎰⎰⎰⎰ 答: (B)
三. (6分) 设函数 ()2
02[(1)()d ]d 0sin 00x
t t u u t ,x ,f x x
,
x .
ϕ⎧-⎪≠=⎨
⎪=⎩⎰⎰ 其中函数ϕ处处连续. 讨论()f x 在0x =处的连续性及可导性.
解 2
2
2
[(1)()d ]d (1)()d lim ()lim
lim
2x x x x t x t u u t
x u u
f x x
x
ϕϕ→→→--==⎰⎰⎰
2
2
0()d ()d lim
lim
22x x x x x u u
u u
x x ϕϕ→→=-⎰⎰
202()
0lim
0(0)2
x x x f ϕ→⋅=-== 因此, ()f x 在0x =处连续.
200
300[(1)()d ]d ()(0)lim lim x
x x t t u u t f x f x x
ϕ→→--=⎰⎰ 2
020(1)()d lim 3x x x u u x ϕ→-=⎰ 22
00
2200()d ()d 11lim lim 33x x x x x u u u u x x
ϕϕ→→=-⎰⎰ 1(0)3ϕ=- 因此, ()f x 在0x =处可导, 且 1
(0)(0).
3f ϕ'=-
四. (6分) 设函数()x x t =由方程cos 0t x x +=确定, 又函数()y y x =由方程2e 1y xy --=确定, 求复合函数
(())y y x t =的导数
d d .t y t
=
解 方程cos 0t x x +=两边对t 求导 d d cos sin 0.d d x x x t x t t -⋅+=
当 t=0时, x=0, 故
000
d cos 1.d sin 1
t t x x x
t t x ====--=
方程2e 1y xy --= 两边对x 求导 2
d d
e 0.d d y y y
y x x x
-⋅--⋅= 当 0x =时,2,y = 故
02
2
d 2.d e
x y y x y
y x
x
==-==-=
因此,
00
d d d .d d d 2t x t y y
x
t x
t ====⋅
=- 五. (6分) 设函数()f x 在(,)-∞+∞上二阶可导，且0
()
lim
0x f x x
→=，记10()()x f xt dt ϕ'=⎰，求)(x ϕ的导数，并
讨论)(x ϕ'在0x =处的连续性.
解 由已知的极限知(0)0,(0)0,f f '== 从而有 10
(0)(0)d 0.f t ϕ'=
=⎰
当 0x ≠时, 1
10
0011()
()()()d()()d ,x f x x f x t dt f x t x t f u u x x x ϕ'''==
==⎰⎰⎰
从而有 ()
,0()0,
0.
f x x x x
x ϕ⎧≠⎪
=⎨⎪=⎩
因为
()
lim ()lim
0(0),x x f x x x
ϕϕ→→=== 所以, ()x ϕ在0x =处连续. 当 0x ≠时, 2
()()
(),xf x f x x x ϕ'-'=
在0x =处, 由(0)0,ϕ= 有 20
0()(0)
()()1
(0)lim
lim
lim (0)22x x x x f x f x f x
x x ϕϕϕ→→→'-'''==== 所以,
2()()
,0
()1(0),0.
2
xf x f x x x x f x ϕ'-⎧≠⎪⎪'=⎨
⎪''=⎪⎩
而
200000()()()()
lim ()lim
lim lim lim
2x x x x x f x f x f x f x x x x x x
ϕ→→→→→''''=-=- 001()1()(0)1
lim lim (0)(0),222
x x f x f x f f x x ϕ→→'''-'''====
故 ()x ϕ'在0x =处连续. 六. (7分) 设函数()y y x =在(,)-∞+∞上可导, 且满足: 22,(0)0.y x y y '=+=
(Ⅰ) 研究()y x 在区间(0,)+∞的单调性和曲线()y y x =的凹凸性.
(Ⅱ) 求极限 3
0()
lim
.
x y x x →
解 (Ⅰ) 当0x >时, 有
220,y x y '=+>
故 ()y x 在区间(0,)+∞单调增加. 从而当0x >时, 22y x y '=+也单调增加. 可见, 曲线()y y x =在区间
(0,)+∞向下凸.
(或当0x >时, 可得
222222()0.y x y y x y x y '''=+⋅=++> 可见, 曲线()y y x =在区间(0,)+∞向下凸. ) (Ⅱ) 由题设知, (0)(0)0.y y '== 应用洛必达法则
22
322000()()lim lim lim 33x x x y x y x x y x x x
→→→'+==
[]2
2
011111lim (0).33333
x y y x →⎛⎫'=+=+= ⎪⎝⎭
七. (7分) 设()f x 在[0,1]上具有连续导数, 且0()1,(0)0.f x f '<≤= 试证
2
1
1300()d ][()]d .
f x x f x x ⎡⎤≥⎢⎥⎣⎦⎰⎰
证 令 2
300()()d [()]d ,x x
F x f t t f t t ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 则 ()F x 在 [0,1]连续, 且对 (0,1)x ∈,
30
()2()
()d [()]x F x f x f t t f x '=-⎰
20()2()d ().x
f x f t t f x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦
⎰ 又由题设知, 当(0,1)x ∈时, ()0.f x > 令20
()2()d (),x g x f t t f x =-⎰
则()g x 在[0,1]上连续, 且
()2()[1()]0,(0,1),g x f x f x x ''=-≥∈
故有
()(0)0
(0,1).g x g x ≥=∈ 因此
()0,(0,1),F x x '≥∈
于是()F x 在[0,1]上单调增加, ()(0)0,[0,1].F x F x ≥=∈ 取1x =, 即得 2
1
1
300(1)()d [()]d 0.F f t t f t t ⎡⎤=-≥⎢⎥⎣
⎦
⎰⎰
所证结论成立.
八. (7分) 设函数()y f x =具有二阶导数, 且()0.f x ''> 直线a L 是曲线()y f x =上任意一点(,())a f a 处的切线, 其
中[0,1].a ∈ 记直线a L 与曲线()y f x =以及直线0,1x x ==所围成的图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积为().V a 试问a 为何值时()V a 取得最小值. 解 切线a L 的方程为 ()()(),y f a f a x a '-=- 即 ()()().y f a x af a f a ''=-+ 于是
10
()2[()()()()]d V a x f x f a x af a f a x π
''=-+-⎰
10112()d ()()().322a xf x x f a f a f a π⎡⎤
''=-+-⎢⎥⎣⎦
⎰
可见, ()V a 在[0,1]连续, 在(0,1)可导. 令 1()2[()()]()(32)0323a V a f a f a f a a π
π'''''''=-+=-=,
由于 ()0,f a ''> ()V a 在(0,1)内有唯一的驻点2
.3
a =
并且, 当 2(0,)3a ∈时, ()0V a '<; 当2(,1)3a ∈时, ()0,V a '> 因此, ()V a 在2
3
a =处取得最小值.
a
九. (7分) 计算
(sin )d (cos 1)d ,L
y y x x y y -+-⎰
其中L 为从点(0,0)O 沿圆周222x y x +=在第一象限部分到点
(1,1)A 的路径.
解 令 sin ,cos 1,P y y Q x y =-=- 则
cos (cos 1) 1.Q P
y y x y
∂∂-=--=∂∂ 取点(1,0).B 作有向直线段,OB 其方程为 0(y x =从0变到1).
作有向直线段,BA 其方程为 1(x y =从0变到1). 由曲线L 、有向直线段AB 和BO 形成的闭曲线记为
0L (沿顺时针方向), 0L 所围成的区域记为D , 则
(sin )d (cos 1)d L
y y x x y y -+-⎰
()((sin )d (cos 1)d )AB BO
L y y x x y y =---+-⎰⎰⎰
d (sin )d (cos 1)d D
BA
y y x x y y σ=-+-+-⎰⎰⎰
(sin )d (cos 1)d OB
y y x x y y +
-+-⎰
101(cos 1)d 04y y π=-+-+⎰ 1
sin1 1.4
π=-+-
十. (8分) 设（1）有向闭曲线Γ是由圆锥螺线 OA ：θθθθθ===z y x ,sin ,cos ，（θ从0变到2π）和有向直线段 AO 构成， 其中()0,0,
0O ， ()2,0,2A ππ；
（2）闭曲线Γ将其所在的圆锥面z =
∑是其中的有界部分.
（Ⅰ）如果()x z F -=,1, 表示一力场，求F
沿Γ所做的功W ；
（Ⅱ）如果()x z F -=,1,
表示流体的流速，求流体通过∑流向上侧的流量. (单位从略）
解（Ⅰ）作有向直线段,AO 其方程为 ⎩
⎨⎧==x z y 0
(x 从 2π变到0).
所求F
沿Γ所做的功为
d d d W z x y x z Γ
=
+-⎰
()(d d d )OA
AO
z x y x z =
++-⎰
⎰
()20
cos sin sin cos cos d πθθθθθθθθθθ=-++-⎡⎤⎣⎦⎰()0
2d x x x π+-⎰
220
(cos sin )d 0
πθθθθθ=
-+⎰
24π=.
（Ⅱ）Γ
所在的圆锥面方程为
z = ∑上任一点处向上的一个法向量为
(,,1)x y n z z =--=
∑在xOy 面上的投影区域为D , 在极坐标系下表示为: 0,02.r θθπ≤≤≤≤
故所求流体通过∑流向上侧的流量为
d d d d d d ()()d d x y z y z z x x x y z z z x x y ∑
∑⎡⎤Φ
=
+-=⋅-+--
⎣
⎦⎰⎰
⎰⎰ x
d d
x x x y
∑
⎛⎫
=---
⎪
⎪
⎝⎭
⎰⎰()
2
00
d2cos sin d
r r r
πθ
θθθ
=-+
⎰⎰
2
2
3
2
cos sin d
32
πθ
θθθθ
⎛⎫
=-+
⎪
⎝⎭
⎰26π-=.
注: (Ⅰ)的另一解法应用Stokes公式，可得
W2d d2d d
y
z x z x y
∑∑
==-
⎰⎰
⎰⎰2d x y
∑
=⎰⎰
22
2
000
sin
2d d sin d
r
r r
r
πθπ
θ
θθθθ
=-⋅=-
⎰⎰⎰24π
=.
十一. (8分) 设函数(,)
u u x y
=在心形线:1cos
L rθ
=+所围闭区域D上具有二阶连续偏导数, n是在曲线L上的点处指向曲线外侧的法向量(简称外法向),
u
n
∂
∂
是(,)
u x y沿L的外法向的方向导数, L取逆时针方向.
(Ⅰ) 证明: d d d.
L L
u u u
s x y
n y x
∂∂∂
=-+
∂∂∂
⎰⎰
(Ⅱ) 若
22
2
22
1,
u u
x y y
x y
∂∂
+=-+
∂∂
求d
L
u
s
n
∂
∂
⎰的值.
(Ⅰ) 证由方向导数的定义
d(cos sin)d.
L L
u u u
s s
n x y
αα
∂∂∂
=+
∂∂∂
⎰⎰
其中, α是n相对于x轴正向的转角.
设
1
α是L的切向量τ相对于x轴正向的转角, 则
1
,
2
π
αα
=+或
1
.
2
π
αα
=-故
11
d(sin cos)d.
L L
u u u
s s
n x y
αα
∂∂∂
=-
∂∂∂
⎰⎰
d d.
L
u u
x y
y x
∂∂
=-+
∂∂
⎰
(Ⅱ) 解应用格林公式
22
2
22
d ()d d(1)d d
D D
L
u u u
s x y x y y x y
n x y
∂∂∂
=+=-+
∂∂∂
⎰⎰⎰⎰⎰
由对称性
1cos
00
d1d d2d d
D
L
u
s x y x r r
n
πθ
+
∂
==
∂
⎰⎰⎰⎰⎰
2
3
(1cos)d.
2
π
θθπ
=+=
⎰
十二.(8分) 设圆222
x y y
+=含于椭圆
22
22
1
x y
a b
+=的内部, 且圆与椭圆相切于两点(即在这两点处圆与椭圆都有公共切线).
(Ⅰ) 求a与b满足的等式; (Ⅱ) 求a与b的值, 使椭圆的面积最小.
解 (Ⅰ) 根据条件可知, 切点不在y 轴上. 否则圆与椭圆只可能相切于一点. 设圆与椭圆相切于点00(,)x y , 则00(,)x y 既满足椭圆方程又满足圆方程, 且在00(,)x y 处椭圆的切线斜率等于圆的切线斜率, 即
2002001
b x x
a y y -=--. 注意到00,x ≠ 因此, 点00(,)x y 应满足 22
0022
2200022001(1)2(2)1
(3)
1
x y a b x y y b a y y ⎧
+=⎪⎪⎪
+=⎨
⎪⎪=
-⎪⎩
由(1)和(2)式, 得
222
2002
20.b a y y a b
--+= (4)
由 (3) 式得 2
022
.b y b a =- 代入(4) 式 2242
2222222
20.()b a b b a b b a b a
-⋅-+=-- 化简得 2
2
2
2
,b a b a
=- 或 22420.a b a b --= (5) (Ⅱ) 按题意, 需求椭圆面积S ab π=在约束条件 (5) 下的最小值.
构造函数2242(,,)().L a b ab a b a b λλ=+-- 令
2322242(24)0(6)(22)0
(7)0(8)
a b L b ab a L a a b b L a b a b λ
λλ⎧=+-=⎪
=+-=⎨⎪=--=⎩
(6) ·a − (7)·b , 并注意到 0λ≠, 可得 242b a =. 代入 (8) 式得
644220a a a --=, 故
2a =
从而
22
b == 由此问题的实际可知, 符合条件的椭圆面积的最小值存在,
因此当a b =
=, 此椭圆的面积最小.
前三届高数竞赛预赛试题（非数学类） （参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识， 适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。） 2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题（每小题5分，共20分） 1．计算=--++??y x y x x y y x D d d 1) 1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 解: 令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =??? ? ??-=， 令u t -=1，则21t u -= 2．设)(x f 是连续函数，且满足?--=2 022d )(3)(x x f x x f , 则= )(x f ____________. 解: 令?=2 0d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ， 解得34= A 。因此3 10 3)(2-=x x f 。 3．曲面22 22 -+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 解: 因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面2 2 22 -+=y x z 在),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故 )1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行，因此，由x z x =，y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====， 即1,200==y x ，又5)1,2(),(00==z y x z ，于是曲面022=-+z y x 在 )),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ，即 曲面 22 22 -+=y x z 平行平面 022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。 4．设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定，其中f 具有二阶导数，且
2011年 天津市大学数学竞赛试题参考解答 (理工类) 一. 填空题（本题15分，每小题3分）: 1. 设()f x 是连续函数, 且0()lim 41cos x f x x →=-, 则01()lim 1x x f x x →⎛ ⎫+= ⎪⎝ ⎭ 2 e . 2. 设223 ()2 x f x ax b x += ++- , 若 lim ()0,x f x →∞= 则 a =2,- b =4.- 3. 1e ln d x x x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ⎰ e ln .x x C + 4. 设(,)f x y 是连续函数, 且(,)(,)d d ,D f x y xy f x y x y =+⎰⎰ 其中D 由x 轴、y 轴以及直线1x y +=围成, 则(,)f x y = 1 .12 xy + 5. 椭球面22221x y z ++=平行于平面20x y z -+=的切平面方程为 20x y z -++ = 和 20.x y z -+= 二. 选择题（本题15分，每小题3分）: 1. 设()(2)ln(1),f x x x =+- 则()f x 在0x =处 (A) (0)2f '=-, (B) (0)0f '=, (C) (0)2f '=, (D) 不可导. 答: (A) 2. 设函数()y f x =具有二阶导数, 且满足方程sin e 0.x y y '''+-=已知0()0,f x '=则 (A) ()f x 在0x 的某个邻域中单调增加, (B) ()f x 在0x 的某个邻域中单调增少, (C) ()f x 在0x 处取得极小值, (D) ()f x 在0x 处取得极大值. 答: ( C) 3. 图中曲线段的方程为()y f x =, 函数()f x 在区间[0,]a ()d a f x x '表示 (A) 直角三角形AOB 的面积, (B) 直角三角形AOC 的面积, (C) 曲边三角形AOB 的面积, (D) 曲边三角形AOC 的面积. 答: (D) 4. 设在区间 [,]a b 上的函数()0,f x > 且 ()0,f x '< ()0.f x ''> 令 1()d ,a S f x x =⎰ 2()(),S f b b a =- 31 [()()](),2 S f a f b b a =+- 则 (A) 123,S S S << (B) 312,S S S << (C) 213,S S S << (D) 231.S S S << 答: (C ) 5. 设 曲面22{(,,)|,01},x y z z x y z ∑==+≤≤取上侧为正, 1∑是 ∑在 0x ≥的部分, 则曲面积分 (A) d d 0,x y z ∑ =⎰⎰ (B) 1 d d 2d d .z x y z x y ∑∑=⎰⎰⎰⎰ (C) 1 22d d 2d d ,y y z y y z ∑ ∑=⎰⎰⎰⎰ (D) 1 22d d 2d d ,x y z x y z ∑ ∑=⎰⎰⎰⎰ 答: (B)
高等数学竞赛试题 一、选择题 1. 下列命题中正确的命题有几个？…………………………………………………………（ A ） （1）无界变量必为无穷大量； (2) 有限多个无穷大量之和仍为无穷大量； （3）无穷大量必为无界变量； (4) 无穷大量与有界变量之积仍为无穷大量. (A) 1个； (B) 2个； (C) 3个； (D) 4个. 2. 设 1, 0()0, 0x f x x ≠?=?=?，1sin , 0() 1 , 0 x x g x x x ? ≠?=??=? 则0x =是间断点的函数是…………………………（ B ） (A) ()()f x g x +； (B) ()()f x g x -； (C) {}max (), ()f x g x ； (D) {}min (), ()f x g x .. 3. 设ξ为()arctan f x x =在[ 0, ]b 上应用拉格朗日中值定理的“中值”，则 2 2 lim b b ξ→=…………（ C ） (A) 1； (B) 1 2 ； (C) 1 3 ； (D) 14 . 4. 设() , ()f x g x 连续，当0→x 时，()f x 与()g x 为等价无穷小，令0()()x F x f x t dt =-?， 1 0() () G x x g xt dt =?, 则当0→x 时，() ()F x G x 是的 …………………………………… （ D ） (A) 高阶无穷小； (B) 低阶无穷小； (C) 同阶无穷小但非等价无穷小；(D) 等价无穷小. 5. 设),(y x f 在点)0,0(的某邻域内连续，且满足 2 20 (,)(0,0) lim 31sin cos x y f x y f x x y y →→-=-+--则),(y x f 在点) 0,0(处 …………………………………………………………………………………………… （ A ） (A) 取极大值； (B) 取极小值； (C) 无极值； (D) 不能确定是否有极值. 6. 设()f x 在(,)-∞+∞连续，且导函数()y f x '=的图形如图所示，则()f x 有……………… （ D ） (A) 1个极小值点与2个极大值点，无拐点； (B) 2个极小值点与1个极大值点，1个拐点； (C) 2个极小值点与2个极大值点, 无拐点； (D) 2个极小值点与2个极大值点，1个拐点. 7. 设f 有连续的一阶导数，则 (1,2) (0,0)()d ()d f x y x f x y y +++=? …………………………… （ B ） (A) 1 02() d f x x ?； (B) 3 () d f x x ?； (C) (3)(0)f f -； (D) 0 . 8. 设任意项级数 1 n n a ∞ =∑条件收敛，将其中的正项保留负项改为0所组成的级数记为1 n n b ∞ =∑, 将其中 的负项保留正项改为0所组成的级数记为1 n n c ∞=∑，则1 n n b ∞=∑与1 n n c ∞ =∑……………………（ B ） (A) 两者都收敛； (B) 两者都发散； (C)一个收敛一个发散； (D) 以上三种情况都 可能发生.
2011年天津市高考数学试卷（理科） 一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分） 1．（5分）i是虚数单位，复数=（） A．2+i B．2﹣i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i 2．（5分）设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的（） A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 3．（5分）阅读程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（5分）已知{a n}为等差数列，其公差为﹣2，且a7是a3与a9的等比中项，S n 为{a n}的前n项和，n∈N*，则S10的值为（） A．﹣110 B．﹣90 C．90 D．110 5．（5分）在的二项展开式中，x2的系数为（）A．B．C．D． 6．（5分）如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB=AD，2AB=BD，BC=2BD，则sinC的值为（）
A．B．C．D． 7．（5分）已知，则（） A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞a＞b 8．（5分）对实数a与b，定义新运算“?”：．设函数f（x）= （x2﹣2）?（x﹣x2），x∈R．若函数y=f（x）﹣c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是（） A．B． C． D． 二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分） 9．（5分）一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为． 10．（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则这个几何体的体积为m3． 11．（5分）已知抛物线C的参数方程为（t为参数），若斜率为1的直线 经过抛物线C的焦点，且与圆（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相切，则r=．12．（5分）如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DF=CF=，AF：FB：BE=4：2：1．若CE与圆相切，则CE的长为．
按2011年全国初中数学竞赛试题 考试时间2011年3月20日9︰30－11︰30满分150 答题时注意：1、用圆珠笔或钢笔作答2、解答书写时不要超过装订线3、草稿纸不上交。 一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分。每道小题的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1、设53 2 x -= ，则代数式(1)(2)(3)x x x x +++的值为（ C ） A ．0 B ．1 C ．－1 D ．2 2、对于任意实数,,,a b c d ，定义有序实数对(,)a b 与(,)c d 之间的运算“△”为： (,)(,)(,)a b c d ac bd ad bc ?=++。如果对于任意实数,u v ，都有(,)(,)(,)u v x y u v ?=，那么(,) x y 为（ B ）。 A ．(0,1) B ．(1,0) C ．(1,0)- D ．(0,1)- 3、已知,A B 是两个锐角，且满足225sin cos 4A B t +=，2223 cos sin 4 A B t +=，则实数t 所有可 能值的和为（ C ） A ．83- B ．53- C ．1 D ．11 3 4、如图，点,D E 分别在△ABC 的边AB ，AC 上，BE ，CD 相交于点F ，设1EADF S S 四边形＝， BDF 2S S ?＝，BCF 3S S ?＝，CEF 4S S ?＝，则13S S 与24S S 的大小关系为（ C ） A ．13S S ＜24S S B ．13S S ＝24S S C ．13S S ＞24S S D ．不能确定 5、设3333 1111 S 1232011 ＝＋＋＋＋，则4S 的整数部分等于（ A ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分） 6、两条直角边长分别是整数,a b （其中2011b <），斜边长是1b +的直角三角形的个数为31。 7、一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8。同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为5的概率是＿＿＿＿。9 1 8、如图，双曲线2 (0)y x x = >与矩形OABC 的边CB ，BA 分别交于点E ，F 且AF ＝BF ，连接EF ，则△OEF 的面积为＿＿＿＿＿；2 3 9、⊙O 的三个不同的内接正三角形将⊙O 分成的区域的个数为＿＿＿＿＿。28 A B C E D F y x C A B E F O
九江职业大学第一届“数学建模”选拔赛暨 《高等数学》竞赛试题 院系 班级 学号 姓名 一、单项选择题（每小题3分，共30分） 1 设函数f(x)=⎪⎩⎪ ⎨⎧≥++<0 x ,K x 2x 40x ,x x 3sin 2在x=0处连续，则K=( )。 A. 3 B. 2 C. 1 D. 3 1 2 ⎰ -=+1 16dx x sin 1x cos x （ ） A.2 π B.π C.1 D.0 3 设f （x ）=⎩ ⎨ ⎧<≥0x ,x sin 0x , x ，则)0(f '=（ ） A.-1 B.1 C.0 D.不存在 4 下列极限中不能应用洛必达法则的是( ) A.x x x ln lim +∞→ B.x x x 2cos lim ∞→ C.x x x -→1ln lim 1 D.x e x x ln lim -+∞ → 5 设f (x)是连续函数，且⎰=x x x dt t f 0 cos )(，则f (x)=( ) A.cos x-xsin x B.cos x+xsin x C.sin x-xcos x D.sin x+xcos x 6 设函数f(x)满足)x (f 0'=0, )x (f 1'不存在, 则（ ） A.x=x 0及x=x 1都是极值点 B.只有x=x 0是极值点 C.只有x=x 1是极值点 D.x=x 0与x=x 1都有可能不是极值点 7 设f(x)在[-a,a](a>0)上连续, 则⎰-=a a dx )x (f （ ）
A. 0 B. 2⎰a dx )x (f C.⎰-+a 0dx )]x (f )x (f [ D. ⎰--a dx )]x (f )x (f [ 8 设函数y=f(x)在点x 0的邻域V(x 0)内可导，如果∀x ∈V(x 0)有f(x)≥f(x 0)， 有（ ） A ．)(')('0x f x f ≥ B ．)()('0x f x f ≥ C ．0)('0=x f D ．0)('0>x f 9 设f(x)=x 15+3x 3-x+1,则f (16)（1）=（ ） A ．16! B ．15! C ．14! D ．0 10 =⎰])arctan ([67 3 dx x x dx d （ ） A. 5 B. 3 C. 7 D. 0 二、填空题（每空4分，共32分） 1 当x →0时，sin(2x 2)与ax 2是等价无究小，则a=___________ . 2 设函数f(x)=⎪⎩ ⎪ ⎨⎧=≠+000) 1ln(2x x x x ，则f '(0)=___________. 3 曲线y =x 3+3x 2-1的拐点为___________. 4 n 31 sin n 1lim 2 2n ∞ →= ___________. 5 设1)1(f =' 则⎥⎦ ⎤ ⎢⎣⎡--∞ →)1(f )x 11(f x lim x =___________. 6 曲线x 2+y 5-2xy=0在点(1、1)处的切线方程为 . 7 dx x x x ⎰ ++2 2 1)(arctan = . 8 曲线y =1 2 22-+-x x x 的垂直渐近线的方程是 . 三、计算题 （每题8分，共16分） 1. 计算⎰10 dx e x
高等数学竞赛试题 一、填空题(每小题2分，共12分) 1、函数 2 ln(1),0()(1)sin 2,0 x x x f x e x x βα⎧+≥⎪=⎨⎪-<⎩若若 在点0=x 处可导，则 ,αβ== 。 2、设x d x x f x x x f e ⎰ -=1 2 ) (2ln )(，则()f x =。 3、 22 1 (1)(arctan )dx x x +∞ = +⎰ 。 4、设二元函数(,)u x y 满足 22u x y y ∂=+∂，2(,)1u x x =，则(,)u x y =。 5、 由x y z 所确定的(,)z z x y =在点(1,0,1)-处的全微分为 。 6、过1123: 101x y z L ---==-且平行于221:211 x y z L +-==的平面方程为。 二、选择题(每小题2分，共12分) 1、把0x →+时的无穷小量⎰ = x dt t 0 2 cos α，⎰=2 tan x dt t β，⎰ =x dt t 0 3sin γ排列起 来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是( ) ()A γβα,,； ()B βγα,,； ()C γαβ,,； ()D αγβ,,。 2、设2,()0,x x f x x ⎧⎪=⎨⎪⎩若为有理数 若为无理数 ，则()f x 可导点的个数为( ) (A) 0； (B) 1； (C) 2； (D) 无穷。 3、设()f x 是(,)-∞+∞上可导的、周期为6π的函数，且满足0 ()() lim 1x f f x x ππ→--=-， 则曲线()y f x = 在(7,(7))f ππ处的切线斜率为( ) A 、2-； B 、0 ； C 、1-； D 、1。 4、设0a >，()t ϕ是正值连续函数，则曲线()()a a y f x x t t dt ϕ-== -⎰ ( )
2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 （请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”） B题交巡警服务平台的设置与调度 “有困难找警察”，是家喻户晓的一句流行语。警察肩负着刑事执法、治安管理、交通管理、服务群众四大职能。为了更有效地贯彻实施这些职能，需要在市区的一些交通要道和重要部位设置交巡警服务平台。每个交巡警服务平台的职能和警力配备基本相同。由于警务资源是有限的，如何根据城市的实际情况与需求合理地设置交巡警服务平台、分配各平台的管辖范围、调度警务资源是警务部门面临的一个实际课题。 试就某市设置交巡警服务平台的相关情况，建立数学模型分析研究下面的问题：（1）附件1中的附图1给出了该市中心城区A的交通网络和现有的20个交巡警服务平台的设置情况示意图，相关的数据信息见附件2。请为各交巡警服务平台分配管辖范围，使其在所管辖的范围内出现突发事件时，尽量能在3分钟内有交巡警（警车的时速为60km/h）到达事发地。 对于重大突发事件，需要调度全区20个交巡警服务平台的警力资源，对进出该区的13条交通要道实现快速全封锁。实际中一个平台的警力最多封锁一个路口，请给出该区交巡警服务平台警力合理的调度方案。 根据现有交巡警服务平台的工作量不均衡和有些地方出警时间过长的实际情况，拟在该区内再增加2至5个平台，请确定需要增加平台的具体个数和位置。 （2）针对全市（主城六区A，B，C，D，E，F）的具体情况，按照设置交巡警服务平台的原则和任务，分析研究该市现有交巡警服务平台设置方案（参见附件）的合理性。如果有明显不合理，请给出解决方案。 如果该市地点P（第32个节点）处发生了重大刑事案件，在案发3分钟后接到报警，犯罪嫌疑人已驾车逃跑。为了快速搜捕嫌疑犯，请给出调度全市交巡警服务平台警力资源的最佳围堵方案。
2011年天津市高考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分） 1．（5分）（2011•天津）i是虚数单位，复数=（） A．2+i B．2﹣i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i 【考点】复数代数形式的乘除运算． 【专题】数系的扩充和复数． 【分析】要求两个复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分子和分母上进行复数的乘法运算，最后结果要化简成最简形式． 【解答】解：复数===2﹣i 故选B． 【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算，是一个基础题，这种题目运算量不大，解题应用的原理也比较简单，是一个送分题目． 2．（5分）（2011•天津）设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的（） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【专题】简易逻辑． 【分析】由“x≥2且y≥2”推出“x2+y2≥4”可证明充分性；由满足“x2+y2≥4”可举出反例推翻“x≥2且y≥2”，则证明不必要性，综合可得答案． 【解答】解：若x≥2且y≥2，则x2≥4，y2≥4，所以x2+y2≥8，即x2+y2≥4； 若x2+y2≥4，则如（﹣2，﹣2）满足条件，但不满足x≥2且y≥2． 所以“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的充分而不必要条件． 故选A． 【点评】本题主要考查充分条件与必要条件的含义． 3．（5分）（2011•天津）阅读程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（）
A．3 B．4 C．5 D．6 【考点】程序框图． 【专题】算法和程序框图． 【分析】通过程序框图的要求，写出前四次循环的结果得到输出的值． 【解答】解：该程序框图是循环结构 经第一次循环得到i=1，a=2； 经第二次循环得到i=2，a=5； 经第三次循环得到i=3，a=16； 经第四次循环得到i=4，a=65满足判断框的条件，执行是，输出4 故选B 【点评】本题考查解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环结果，找规律． 4．（5分）（2011•天津）已知{a n}为等差数列，其公差为﹣2，且a7是a3与a9的等比中项，S n为{a n}的前n项和，n∈N*，则S10的值为（） A．﹣110 B．﹣90 C．90 D．110 【考点】等差数列的前n项和；等比数列的性质． 【专题】等差数列与等比数列． 【分析】通过a7是a3与a9的等比中项，公差为﹣2，求出 【解答】解：a7是a3与a9的等比中项，公差为﹣2，所以a72=a3•a9， ∵{a n}公差为﹣2， ∴a3=a7﹣4d=a7+8，a9=a7+2d=a7﹣4， 所以a72=（a7+8）（a7﹣4），所以a7=8，所以a1=20， 所以S10==110 故选D 【点评】本题是基础题，考查等差数列的前n项和，等比数列的应用，考查计算能力，常考题型． 5．（5分）（2011•天津）在的二项展开式中，x2的系数为（）A．B．C． D． 【考点】二项式定理． 【专题】二项式定理． 【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为2，求出展开式中，x2的系数，即得答案． 【解答】解：展开式的通项为T r+1=（﹣1）r22r﹣6C6r x3﹣r 令3﹣r=2得r=1 所以项展开式中，x2的系数为﹣ 故选C 【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．
前三届高数竞赛预赛试题非数学类 参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识,适当看一些辅导书 及相关题目,主要是一些各大高校的试题; 2009-2010年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题每小题5分 1．计算=--++⎰⎰y x y x x y y x D d d 1) 1ln()(16/15,其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 解: 令v x u y x ==+,,则v u y v x -==,,v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-=, ⎰ -=10 2 d 1u u u 令u t -=1,则21t u -= dt 2d t u -=,42221t t u +-=,)1)(1()1(2t t t u u +-=-, 2．设)(x f 是连续函数,且满足⎰--=2 2 2d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________. 解: 令⎰=2 d )(x x f A ,则23)(2--=A x x f , A A x A x A 24)2(28d )23(20 2-=+-=--= ⎰ , 解得34= A ;因此3 103)(2-=x x f ; 3．曲面22 22 -+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 解: 因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-,而曲面22 22 -+=y x z 在 ),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ,故) 1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与 ) 1,2,2(-平行,因此,由 x z x =, y z y 2=知 0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====, 即1,200==y x ,又5)1,2(),(00==z y x z ,于是曲面022=-+z y x 在 )),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ,即曲面 22 22-+=y x z 平行平面 022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x ; 4．设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定,其中f 具有二阶导数,且1≠'f ,则
中国大学生数学竞赛竞赛大纲 为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设,提高大学数学课程的教学水平,激励大学生学习数学的兴趣,发现和选拔数学创新人才,更好地实现“中国大学生数学竞赛”的目标,特制订本大纲; 一、竞赛的性质和参赛对象 “中国大学生数学竞赛”的目的是：激励大学生学习数学的兴趣,进一步推动高等学校数学课程的改革和建设,提高大学数学课程的教学水平,发现和选拔数学创新人才; “中国大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生; 二、竞赛的内容 “中国大学生数学竞赛”分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题; 中国大学生数学竞赛非数学专业类竞赛内容为大学本科理工科专业高等数学课程的教学内容,具体内容如下： 一、函数、极限、连续 1．函数的概念及表示法、简单应用问题的函数关系的建立. 2．函数的性质：有界性、单调性、周期性和奇偶性. 3．复合函数、反函数、分段函数和隐函数、基本初等函数的性质及其图形、初等函数. 4．数列极限与函数极限的定义及其性质、函数的左极限与右极限. 5．无穷小和无穷大的概念及其关系、无穷小的性质及无穷小的比较. 6．极限的四则运算、极限存在的单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限. 7．函数的连续性含左连续与右连续、函数间断点的类型. 8．连续函数的性质和初等函数的连续性. 9．闭区间上连续函数的性质有界性、最大值和最小值定理、介值定理. 二、一元函数微分学 1. 导数和微分的概念、导数的几何意义和物理意义、函数的可导性与连续性之间的关系、平面曲线的切线和法线.
2. 基本初等函数的导数、导数和微分的四则运算、一阶微分形式的不变性. 3. 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法. 4. 高阶导数的概念、分段函数的二阶导数、某些简单函数的n 阶导数. 5. 微分中值定理,包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理. 6. 洛必达L ’Hospital 法则与求未定式极限. 7. 函数的极值、函数单调性、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线水平、铅直和斜渐近线、函数图形的描绘. 8. 函数最大值和最小值及其简单应用. 9. 弧微分、曲率、曲率半径. 三、一元函数积分学 1. 原函数和不定积分的概念. 2. 不定积分的基本性质、基本积分公式. 3. 定积分的概念和基本性质、定积分中值定理、变上限定积分确定的函数及其导数、牛顿-莱布尼茨Newton-Leibniz 公式. 4. 不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法. 5. 有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分. 6. 广义积分. 7. 定积分的应用：平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力及函数的平均值． 四.常微分方程 1. 常微分方程的基本概念：微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等. 2. 变量可分离的微分方程、齐次微分方程、一阶线性微分方程、伯努利Bernoulli 方程、全微分方程. 3. 可用简单的变量代换求解的某些微分方程、可降阶的高阶微分方程： ),()n (x f y = ),,(y x f y '='' ),(y y f y '=''. 4. 线性微分方程解的性质及解的结构定理. 5. 二阶常系数齐次线性微分方程、高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程. 6. 简单的二阶常系数非齐次线性微分方程：自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数,以及它们的和与积 7. 欧拉Euler 方程. 8. 微分方程的简单应用 五、向量代数和空间解析几何 1. 向量的概念、向量的线性运算、向量的数量积和向量积、向量的混合积. 2. 两向量垂直、平行的条件、两向量的夹角. 3. 向量的坐标表达式及其运算、单位向量、方向数与方向余弦. 4. 曲面方程和空间曲线方程的概念、平面方程、直线方程. 5. 平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件、点到平面和点到直线的距离. 6. 球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程、常用的二次曲面方程及其图形.
高数竞赛预赛试题（非数学类） （参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书 及相关题目，主要是一些各大高校的试题。） 2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题（每小题5分，共20分） 1．计算=--++⎰⎰y x y x x y y x D d d 1) 1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 解: 令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 11 10 det d d =⎪⎪⎭ ⎫ ⎝ ⎛-=， v u u v u u u y x y x x y y x D D d d 1ln ln d d 1) 1ln()(⎰⎰⎰⎰--= --++ ⎰⎰⎰⎰----=---=10 2 1 00 0d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln ( u u u u u u u u u u v v u u v u u u u u ⎰ -=1 2 d 1u u u （*） 令u t -=1，则21t u -= dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-， ⎰+--=0 1 42d )21(2(*)t t t ⎰ +-=10 42d )21(2t t t 1516513 2 21 053= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t 2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰ -- =20 22d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________. 解: 令⎰ = 20 d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ， A A x A x A 24)2(28d )23(20 2-=+-=--= ⎰ , 解得34= A 。因此3 10 3)(2-=x x f 。 3．曲面22 22 -+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________.
2009年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 （非数学类） 一、填空题（每小题5分，共20分） (x+y)ln(1+ y xdy=____________，其中区域D由直线x+y=1与两) 1．计算⎰⎰ D -x-y 坐标轴所围成三角形区域. ⎛0 解令x+y=u,x=v，则x=v,y=u-v，dxdy=det 1 ⎝(x+y)ln(1+ y) ulnu-ulnv D 1⎫⎪dudv=dudv，⎪-1⎭ ⎰⎰ D -x-y xdy= ⎰⎰ 10 -u udv == ⎰(⎰ 10 ulnu-uulnu-uu 22 ⎰ u dv- u-u-u ⎰
u lnvdv)du - u(ulnu-u) du = ⎰ -u du （*） 令t= -u，则u=1-t2，du=-2tdt，u2=1-2t2+t4，u(1-u)=t2(1-t)(1+t)，2 4 (*)=-2⎰(1-2t+t)dt =2⎰ 10 2315⎤16⎡24 (1-2t+t)dt=2⎢t-t+t⎥= 3515⎣⎦0 2．设f(x)是连续函数，且满足f(x)=3x2- 解令A= A= ⎰ 20 f(x)dx-2, 则f(x)=____________. ⎰ 20 f(x)dx，则f(x)=3x-A-2， 2 ⎰ 20 (3x-A-2)dx=8-2(A+2)=4-2A, 2 解得A= 43
2 。因此f(x)=3x- 103 。 3．曲面z= x 2 2 +y-2平行平面2x+2y-z=0的切平面方程是__________. x 2 2 解因平面2x+2y-z=0的法向量为(2,2,-1)，而曲面z= 2 +y-2在 2 (x0,y0)处的法向量为(zx(x0,y0),zy(x0,y0),-1)，故(zx(x0,y0),zy(x0,y0),-1)与 (2,2,-1)平行，因此，由zx=x，zy=2y知2=zx(x0,y0)=x0,2=zy(x0,y0)=2y0， 即x0=2,y0=1，又z(x0,y0)=z(2,1)=5，于是曲面2x+2y-z=0在(x0,y0,z(x0,y0))处的切平面方程是2(x-2)+2(y-1)-(z-5)=0，即曲面z= 2x+2y-z=0的切平面方程是2x+2y-z-1=0。 x +y-2平行平面 4．设函数y=y(x)由方程xe则dydx 22 f(y) y =eln29确定，其中f具有二阶导数，且f'≠1， =________________. f(y) 解方程xe e =eln29的两边对x求导，得 y f(y)
2005年天津市大学数学竞赛试题参考答案 一、填空：（本题15分，每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。） 1．=+++-++∞ →x x x x x sin 1 14lim 2 2x 3 。 2．设函数)(x y y =由方程x y y x arctan 2 2 e =+所确定，则曲线)(x y y =在点)0,1(处的法线方程为 01=-+y x 。 3．设函数)(x f 连续，则=-⎰x t t x tf x 0 22d )(d d )(2x xf 。 4．设函数f 和g 都可微，()x,xy f u =，()xy x g v +=，则 =∂∂⋅∂∂x v x u ()g yf f y '⎪⎭⎫ ⎝⎛'+'+211 。 5． =-+⎰ -21 2 12 d 1arcsin sin x x x x x π6 3 1- 。 二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。） 1． 函数)(x f 在闭区间[1,2]上具有二阶导数，0)2()1(==f f ，f(x)x x F 2 )1()(-=，则)(x F ''在开区间(1,2)内 ( B ) （A ） 没有零点； （B ）至少有一个零点； （C ） 恰有两个零点； （D ）有且仅有一个零点。 2． 设函数)(x f 与)(x g 在开区间(a ,b )内可导，考虑如下的两个命题， ⑴ 若)()(x g x f >，则)()(x g x f '>'； ⑵ 若)()(x g x f '>'，则)()(x g x f >。 则（ A ） （A ）两个命题均不正确； （B ）两个命题均正确； （C ）命题⑴正确，命题⑵不正确； （D ）命题⑴不正确，命题⑵正确。 3． 设常数0>δ，在开区间()δδ,-内，恒有0)(，)(2>''≤x f x x f ，记⎰- = δ δx x f I d )(，则 （ C ） (A ) I < 0； (B ) I = 0； (C ) I > 0； (D ) I 非零，且其符号不确定。 4． ()()()1lim 2 1 -=--→a x a f x f x ，则)(x f 在x =a 处（ D ） （A ）导数存在，且0)(≠'a f ； （B ）导数不存在；
１ 2001年天津市大学数学竞赛试题参考答案 （理工类） 一 填空：（本题15分，每空3分。请将最终结果填在相应的横杠上面。） 1. 函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<-=， ，；，0cos 01 e )(22x x x a x x x f x 在（-∞，+∞）上连续，则a = 2 。 2. 设函数y = y (x ) 由方程0)cos(e =-+xy y x 所确定，则==0d x y x d - 。 3. 由曲线x x x y 223 ++-=与x 轴所围成的图形的面积A = 12 37 。 4. 设E 为闭区间[0，4π]上使被积函数有定义的所有点的集合，则 ⎰=E x x x d sin cos 3 8 。 5．设L 是顺时针方向的椭圆 14 22 =+y x ，其周长为l ，则() =++⎰L s y x xy d 422 4l 。 二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。） 1. 若0)(lim 0 u x x x =→ϕ且A u f =→)(lim u u ，则（ D ） （A ） )]([lim 0 x f x x ϕ→存在； （B ） A x f x x =→)]([lim 0 ϕ （C ） )]([lim 0 x f x x ϕ→不存在； （D ） A 、B 、C 均不正确。 2. 设⎰ =x x x x f sin 0 2d )sin()(，43)(x x x g +=，则当0→x 时，（ A ） （A ）)(x f 与)(x g 为同阶但非等价无穷小； （B ）)(x f 与)(x g 为等价无穷小； （C ） )(x f 是比)(x g 更高阶的无穷小； （D ）)(x f 是比)(x g 更低阶的无穷小。 3. 设函数 )(x f 对任意x 都满足)()1(x af x f =+，且b f =)0('，其中a 、b 均为非零常数，则) (x f 在x = 1处（ D ） （A ）不可导； （B ）可导，且a f =')1(； （C ）可导，且 b f =')1(； （D ）可导，且ab f =')1(。