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如何表示四则运算作者：来源：《阅读与作文（英语初中版）》2008年第08期同学们读了这篇文章，会感到用英语表示四则运算并不难。
大家学了以后，可以自己练习，也可以两人互练。
四则运算包括加法、减法、乘法和除法。
“做算术”是do sums.1. 加法 (addition) 与加法相关的词汇有：加数(addend), 加号(plus sign/plus) 与和数/和(sum)。
表示“加”，可以用动词add,介词plus,和连词and。
常见的表达方法有：1) 8+2 = ? 八加二得/等于多少？a. What' s eight plus two?b. How much is eight plus two?2) 8 + 2 = 10 八加二得/等于十。
a. Eight plus two is/makes ten.b. Eight and two is/makes ten.c. Eight plus two is equal to ten.d. Eight plus two equals ten.e. If you add eight and/to two, you get ten.f. Add eight and/to two, and you' 11 get ten.3) 8 + 2 = ? 八加二的和是多少？What' s the sum of eight and two?4) 8+2= 10 八加二的和为十。
The sum of eight and two is ten.5)那里需要有个加号。
You need a plus sign/plus there.6)那里应该有个加号。
There should be a plus sign/plus there.2. 减法 (subtraction) 与减法相关的词汇有：减数 (subtrahend). 减号 (minus sign/minus)与数/差(difference)。
山西高二高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.若，则下列不等式成立的是（）A．B．C．D．2.的值是（）A．B．C．D．3.已知角的终边与单位圆交于点，则的值为（）A．B．C．D．4.已知向量，则（）A．B．C．D．5.设是等差数列的前项和，已知，则等于（）A．13B．35C．49D．636.同时具有性质“①最小正周期是；②图象关于直线对称；③在上是增函数”的一个函数是（）A．B．C．D．7.若不等式的解集为，则的值为 ( )A．B．C．D．8.已知，那么的值为（）A．B．C．D．9.下列各函数中，最小值为的是（）A．B．C．D．10.在边长为1的正中，，是边的两个三等分点（靠近于点），等于（）A．B．C．D．11.在中，若，则下面等式一定成立的为（）A．B．C．D．12.已知和4的等比中项为，且，则的最小值为（）A．4B．5C．6D．8二、填空题1.已知为等比数列，，，则_____________2.在所在平面上有一点，满足，则与的面积比为___________3.已知函数的部分图象如图所示，则__________________4.某人要利用无人机测量河流的宽度，如图，从无人机处测得正前方河流的两岸，的俯角分别为，，此时无人机的高是60米，则河流的宽度等于____________米三、解答题1.已知函数.（1）求函数的单调递增区间；（2）若将函数的图像向右平移个单位，再将各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图像，求函数的解析式并求其图像的对称轴方程.2.已知.（1）若，求的坐标；（2）若与的夹角为，求.3.在中，角的对边分别为，面积为，已知.(1)求证：；(2)若，，求.4.已知数列的前项和，且是2与的等差中项.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.5.已知向量，，函数，.（1）若的最小值为-1，求实数的值；（2）是否存在实数，使函数，有四个不同的零点？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.山西高二高中数学月考试卷答案及解析一、选择题1.若，则下列不等式成立的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】.则，故A不正确；，故B正确；,故C不正确；故D不正确.故选B.2.的值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】.故选C.3.已知角的终边与单位圆交于点，则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题,4.已知向量，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】向量，，满足.所以.故选C.5.设是等差数列的前项和，已知，则等于（）A．13B．35C．49D．63【答案】C【解析】依题意有，解得，所以.【考点】等差数列的基本概念.【易错点晴】本题主要考查等差数列的基本概念. 在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为和等基本量，通过建立方程(组)获得解．即等差数列的通项公式及前项和公式，共涉及五个量，知其中三个就能求另外两个,即知三求二，多利用方程组的思想，体现了用方程的思想解决问题,注意要弄准它们的值.运用方程的思想解等差数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量、，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算．6.同时具有性质“①最小正周期是；②图象关于直线对称；③在上是增函数”的一个函数是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】A. ,周期,不成立；B. ，,函数单调递减，不成立；C. ，，时，，是对称轴，，函数单增，成立；D. ，时，，，不是对称轴，不成立.故选：C.7.若不等式的解集为，则的值为 ( )A．B．C．D．【答案】B【解析】∵x=-1,是方程ax2+bx+1=0的两根，又,∴a=-3,b=-2.∴a+b=-5.本题选择B选项.点睛：“三个二次”间关系，其实质是抓住二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与横轴的交点、二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集的端点值、二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根是同一个问题．解决与之相关的问题时，可利用函数与方程思想、化归思想将问题转化，结合二次函数的图象来解决．8.已知，那么的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】已知，.故选A.9.下列各函数中，最小值为的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】A. ,当时函数无最小值；B. ，,当时,函数有最小值;C. ,,所以当时函数无最小值；D. ，，当时，函数有最小值4.点睛：在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.10.在边长为1的正中，，是边的两个三等分点（靠近于点），等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】如图，，是边的两个三等分点，故选C.【考点】平面向量数量积的运算11.在中，若，则下面等式一定成立的为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】在中，，，，，故选12.已知和4的等比中项为，且，则的最小值为（）A．4B．5C．6D．8【答案】A【解析】由和4的等比中项为可得，则，，故选A.二、填空题1.已知为等比数列，，，则_____________【答案】-7【解析】∵为等比数列,,，∴，∴,是方程x2−2x−8=0的两个根，解方程x2−2x−8=0,得=−2,=4或=4,=−2，∴或，解得或，∴2.在所在平面上有一点，满足，则与的面积比为___________【答案】【解析】∴即，即，即，∴并且方向一样，|BC|=3|AP|，如果AP和AC夹角为θ，那么BC和AC的夹角也是θ，，，所以3.已知函数的部分图象如图所示，则__________________【答案】【解析】根据函数的部分图象，可得再根据五点法作图可得，∵0<φ<π,∴φ=，点睛：已知函数的图象求解析式(1).(2)由函数的周期求(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求.4.某人要利用无人机测量河流的宽度，如图，从无人机处测得正前方河流的两岸，的俯角分别为，，此时无人机的高是60米，则河流的宽度等于____________米【答案】米【解析】如图由图可知,∠DAB=15°，∵tan15°=tan(45°−30°)=2−.在Rt△ADB中，又AD=60，∴DB=AD⋅tan15°=60×(2−)=120−60.在Rt△ADC中,∠DAC=60∘，AD=60，∴DC=AD⋅tan60°=60.∴BC=DC−DB=60−(120−60)=120−1)(m).∴河流的宽度BC等于120(−1)米.三、解答题1.已知函数.（1）求函数的单调递增区间；（2）若将函数的图像向右平移个单位，再将各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图像，求函数的解析式并求其图像的对称轴方程.【答案】（1）；（2），对称轴方程为：.【解析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，得出结论．（2）利用的图象变换规律求得的解析式，再利用正弦函数的对称轴方程求得对称轴方程试题解析：（1）令，解得所以的单调增区间为:.（2）由已知，对称轴方程为：2.已知.（1）若，求的坐标；（2）若与的夹角为，求.【答案】（1）或；（2）.【解析】（1）利用向量共线定理、数量积运算性质即可得出．（2）利用数量积运算性质即可的．试题解析：（1）∵，∴，与共线的单位向量为.∵，∴或.（2）∵，∴，∴，∴.点睛：平面向量中涉及有关模长的问题时，常用到的通法是将模长进行平方，利用向量数量积的知识进行解答，很快就能得出答案；另外，向量是一个工具型的知识，具备代数和几何特征，在做这类问题时可以使用数形结合的思想，会加快解题速度.3.在中，角的对边分别为，面积为，已知.(1)求证：；(2)若，，求.【答案】(1) 见解析；(2).【解析】（1）本问主要考查二倍角公式及正弦定理的变形应用，首先将已知化为，再根据正弦定理变形，即边角互化，易得，整理得，即，所以有；（2）根据已知条件中的，先求出的值，然后根据三角形面积公式，可以求出的值，再根据余弦定理，以及，于是可以建立得出关于的方程，易求的值.试题解析：(1)由条件：，由于：，所以：，即：. (2)，所以：.，.又：，由，所以：，所以：.4.已知数列的前项和，且是2与的等差中项.（1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和.【答案】(1) a n ＝2n ;(2) T n ＝3－.【解析】(1)由前n 项和与通项公式的关系可得数列的通项公式是a n ＝2n ;(2)错位相减可得数列的前项和T n ＝3－. 试题解析：（1）∵a n 是2与S n 的等差中项， ∴2a n ＝2＋S n ， ①∴2a n －1＝2＋S n －1，(n ≥2) ②①－②得，2a n －2a n －1＝S n －S n －1＝a n ， 即＝2(n ≥2)．在①式中，令n ＝1得，a 1＝2．∴数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列， ∴a n ＝2n . （2）b n ＝＝．所以T n ＝＋＋＋…＋＋， ① 则T n ＝＋＋＋…＋＋， ②①－②得，T n ＝＋＋＋＋…＋－ ＝＋2(＋＋＋…＋)－＝＋2×－＝－．所以T n ＝3－．5.已知向量，，函数，.（1）若的最小值为-1，求实数的值；（2）是否存在实数，使函数，有四个不同的零点？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用向量数量积的公式化简函数即可．（2）求出函数的表达式，利用换元法结合一元二次函数的最值性质进行讨论求解即可．（3）由=0得到方程的根，利用三角函数的性质进行求解即可．试题解析：（1）∵，，∴，∵∴，，令，∴∵，对称轴为，①当即时，当时，∴舍，②当即时，当时，∴，③当即是，当时，∴舍，综上，.（2）令，即，∴或，∵，有四个不同的零点，∴方程和在上共有四个不同的实根，∴∴∴.。
2024年下半年教师资格考试高中数学学科知识与教学能力测试试题及答案解析一、单项选择题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）1.题目：若函数f(x) = x^3 - 3x^2 + ax + b 在x = 1 处取得极值，则a 的值为( )A. 0B. 1C. 3D. -3答案：C解析：首先求函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + ax + b 的导数。
f’(x) = 3x^2 - 6x + a由于函数在 x = 1 处取得极值，根据极值的性质，函数在该点的导数为0。
f’(1) = 3(1)^2 - 6(1) + a = 0即 3 - 6 + a = 0解得 a = 3。
2.题目：已知函数f(x) = sin(2x + φ) (0 < φ < π) 的图象关于直线x = π/6 对称，则φ的值为( )A. π/6B. π/3C. 2π/3D. 5π/6答案：B解析：由于正弦函数f(x) = sin(2x + φ) 的图象关于直线x = π/6 对称，根据正弦函数的对称性，有：2 (π/6) + φ = kπ + π/2,其中k ∈ Z化简得：φ = kπ + π/6但由于0 < φ < π，唯一满足条件的是φ = π/3。
3.题目：若直线y = kx + 1 与圆x^2 + y^2 - 2x - 4y = 0 相交于M, N 两点，且OM⊥ ON (O 为坐标原点)，则k 的值为( )A. 1B. -1C. 7 或-1D. 7答案：D解析：首先，将圆的方程 x^2 + y^2 - 2x - 4y = 0 化为标准形式：(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 5圆心为O’(1, 2)，半径为√5。
设交点 M(x1, y1), N(x2, y2)，联立直线和圆的方程：{ y = kx + 1{ x^2 + y^2 - 2x - 4y = 0消去 y，得到关于 x 的二次方程，并利用韦达定理求出 x1 + x2 和 x1x2。
贵州省2019年高考数学试卷(理科)以及答案解析绝密★启用前贵州省2019年高考理科数学试卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.（5分）已知集合A={-1,1,2}，B={x|x²≤1}，则A∩B=（）A。
{-1,1} B。
{0,1} C。
{-1,1} D。
{0,1,2}2.（5分）若z(1+i)=2i，则z=（）A。
-1-i B。
-1+i C。
1-i D。
1+i3.（5分）《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著。
某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该学校学生总数比值的估计值为（）A。
0.5 B。
0.6 C。
0.7 D。
0.84.（5分）(1+2x²)(1+x)⁴的展开式中x³的系数为（）A。
12 B。
16 C。
20 D。
245.（5分）已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a₅=3a₃+4a₁，则a₃=（）A。
16 B。
8 C。
4 D。
26.（5分）已知曲线y=aex+xlnx在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b，则（）A。
a=e，b=-1 B。
a=e，b=1 C。
a=e¹，b=1- D。
a=e¹，b=-1-7.（5分）函数y=在[-6,6]的图象大致为（）A。
点积与叉积运算向量运算是线性代数中重要的概念，其中点积和叉积运算是两种常见且有广泛应用的向量运算。
本文将详细介绍点积和叉积的定义、性质以及它们在几何、物理等领域的应用。
一、点积的定义与性质点积，又称内积或数量积，是两个向量之间的一种运算。
对于二维向量(a1, a2)和(b1, b2)，点积的定义如下：a ·b = a1 * b1 + a2 * b2对于三维向量(a1, a2, a3)和(b1, b2, b3)，点积的定义如下：a ·b = a1 * b1 + a2 * b2 + a3 * b3点积具有以下性质：1. 交换律：a · b = b · a2. 分配律：a · (b + c) = a · b + a · c3. 结合律：k(a · b) = (ka) · b = a · (kb)，其中k是一个标量4. 点积与向量长度的关系：a · b = |a| * |b| * cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和b的长度，θ表示a和b之间的夹角二、点积的应用点积在几何、物理等领域有广泛的应用。
下面分别介绍点积在几何和物理中的应用。
1. 几何应用（1）计算向量的长度：根据点积与向量长度的关系式，可以通过计算点积得到向量的长度。
（2）计算向量之间的夹角：根据点积与向量长度的关系式，可以求解两个向量之间的夹角。
（3）判断两个向量的正交性：如果两个向量的点积为0，则它们垂直或正交。
（4）判断两个向量的夹角关系：根据点积与向量长度的关系式，可以判断两个向量之间的夹角大小与夹角余弦的关系。
2. 物理应用（1）计算力的功：当力F作用在物体上并产生位移s时，力的功定义为W = F · s。
其中，F表示力向量，s表示位移向量，·表示点积运算。
（2）求解力的投影：根据点积与向量长度的关系式，可以将一个向量分解为另一个向量在该向量方向上的投影和垂直于该向量方向上的分量。
-。
b与a的差b a．向量加法的性质〔运算律〕②结合律+的模一般地不等于a的模加b的模，而有a b a ba b+≤+，即三角形两边之和大于等于第三向量与数的乘法Array、向量的定义：向量a与数m的乘积是一个向量，它的模等于m a，方向与a相同〔假设反〔假设m<0〕。
、向量与数量乘法的性质(运算律)②分配律≠，则向量b平行于a得充分必要条件是：存在唯一实数λ，使b=λa。
a0在实际问题中，有些向量与其起点有关，有些向量与其起点无关。
由于一切向量的共性是它们都有大小和方向，所以在数学上我们研究与起点无关的向量，并称这种向量为自由向量〔以后简称向量〕，即只考虑向量的大小和方向，而不管它的起点在什么地方。
当遇到与起点有关的向量时〔例如，谈到某一质点的运动速度时，这速度就是与所考虑的那一质点的位置有关的向量〕，可在一般原则下作特别处理。
上的射影。
投影向量的定义：AB 的始点A B ''就定义AB 在轴u 上的投影向量。
向量在轴上的投影：向量A B ''在轴AB 在轴u 上的投影，记为投影AB 。
向量在轴上的投影性质：性质1〔投影定理〕AB =cos AB ϕ与向量AB 的夹角。
推论：相等矢量在同一轴上的射影相等。
性质2：Prj(12a a +)=Prj 1a +Prj 2a 。
性质2可推广到有限个向量的情形。
性质3：Prj u λa =λPrj u a 。
向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标：向量a 在坐标轴上的投影向量,,y z i a j a k 称为向量在坐标轴上的分向量。
向量a 在三条坐标轴上的投影,y z a a 叫做向量的坐标，记为：a ={,,x y a a 由向量在轴上的投影定义，a 在直角坐标系Oxyz 中的坐标{,,x y z a a a a ，由此可知，向量的投影具有与坐标相同的性质。
利用向量的坐标，可得向量的加法、减法以及向量与数的乘法的运算如下：a ={,x y a a ，{,,}x y zb b b b =利用向量加法的交换律与结合律，以及向量与数乘法的结合律与分配律，有{,x y z z a b a b b a b +=+++{x a b a b -=-{,}x y a a a λλλ=由此可见，对向量进行加、减及与数相乘，只须对向量的各个坐标分别进行相应的数量运算就行了。
