高数函数与极限习题[1]

第一章 函数与极限一.选择题1. )(x f =112+-x x 的定义域是 【C 】（A ）[-1，1] （B ）[-1，1） （C ）（-1，1] (D)（-1，1） 2. 函数x1sin y =是 【C 】（A ）单调函数 （B ）偶函数 （C ）有界函数 （D ）周期函数3.下列)(x f 和)(x ϕ表示同一个函数的是 【B 】 (A)222)1()(,1)(x x x x f -=-=ϕ (B)x x x x f 22cos sin )(,1)(+==ϕ (C))sin(arcsin )(,)(x x x x f ==ϕ (D) )arccos(cos )(,)(x x x x f ==ϕ4.函数()13cos 2+=x y 的复合过程是 【D 】 （A ）x y 2cos = 13+=x u (B)2u y = ()13cos +=x u （C ）u y cos = 2v u = 13+=x v (D)2u y = v u cos = 13+=x v5.设221)1(xx xx f +=+，则 【B 】 (A) 1)(+=x x f (B)2)(2-=x x f (C)x x x f 1)(+= (D)xx f 11)(+=6. 若)x (f 在0x x =连续，)x (g 在0x x =不连续，则)x (g )x (f +在0x x =必不连续【C 】（A ）连续 (B) 不连续 （C ）不确定其连续性7. 设数列{}n x ，若lim n n x A B →∞=>，则有 【D 】 （A ）n ∀，n x B > （B ）N ∃，,n n N x B ∍>>有 （C ）n ∀，n x B ≤ (D) 0N ∃>，,n n N x B ∍>>有8.设()cos 2x f x x e =+-则当x →0时，正确的是 【A 】 （A ）)(x f 与x 是等价无穷小 （B ）)(x f 与x 同阶但非等价无穷小 （C ）)(x f 是比x 高阶的无穷小 (D) )(x f 是比x 低阶的无穷小9.)0(0+x f 与)0(0-x f 的极限都存在是函数)(x f 在0x x =处有极限的 【A 】 （A ） 必要条件 （B ） 充分条件 （C ） 充要条件 （D ）既非充分又非必要10.sin ,0()0,01cos ,0xx x x f x x x x x ⎧+<⎪⎪==⎨⎪⎪>⎩则0=x 是)(x f 的 【C 】（A ） 连续点 （B ） 可去间断点 （C ） 跳跃间断点 （D ） 振荡间断点11.设函数⎩⎨⎧≥+<=0,0,)(x x a x e x f x 是),(+∞-∞上的连续函数，则=a 【B 】（A ） 0 （B ） 1 （C ） －1 （D ） 2二.填空题 1. 函数1131arcsin +--=x x y 的定义域为 （-1,4 ] .2.函数22()(1)x f x x -=-，当→x 1 时是无穷大量.3．设函数)(x f =1,30,⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩1||1||>≤x x ，则)]([x f f = 1/3 .4. =→xxx 3sin 5sin lim3/5 . 5． 10lim ()(1)3x x x f x →=-= e -1/3. 6. 若,32lim22=-+-→x ax x x 则a = 2 . 7.若)(x f y =在点0x 连续，则00[()()]lim x x f x f x →-= 0 .8.设3()33xx f x x kx <⎧=⎨-≥⎩ ,当k = 6 时,)(x f 在3=x 连续. 9．若0x x →时，)x (g ~)x (f ，0)x (f ≠，则=-→)x (f )x (g )x (f limxx 0 . 10. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-+-<+-=0210)1(cos 1)(22x x x x x x x x x f 则x = -1 是)(x f 的第一类间断点，x = -2 是)(x f 的第二类间断点.三.计算题1. 222ln(1)lim 4x x x x →+--. 解 22222ln(1)22ln(21)limlim 4424x x x x x →→+-+-==--- 2. 213lim21-++--→x x xx x .解1111x x x x →→→→====3. 33lim3--→x x x . 解333x x x →→→== 4. xx x sec 22)cos 1(lim +→π. 解 12sec 22cos 22lim(1cos )lim[(1cos )]xx x x x x e ππ→→+=+=5. 11656)2(lim ++++-∞→n n nn n .解 111111(2)6[(2)6]/600056[56]/601lim lim n n n n n n n n n n n n ++++++-+-++===+++→∞→∞6. 32tan(3)sin(3)limx x x →--.解 332tan(3)2(3)2sin(3)(3)limlim x x x x x x →→--==---7. )sin()11)(1ln(lima x a x a x ax --+-+-→.解()1ln(1)020()1lim x a x ax a x a x a →→-+-===- 8. limx →∞)111)(110()110(......)13()12()1(2222--++++++++x x x x x x .解 limx →∞2222(1)(21)(31)......(101)123101(101)(111)1102x x x x x x ++++++++++++==--9.xx x ee x-+∞→+cos lim.解2cos cos limlim 01x x x xx x x e xe e e ---→+∞→+∞==++ 10.xx xx x sin tan lim 0--→ .解 00tan (sin cos )limlimsin (sin )cos x x x x x x x x x x x x→→--=-- 四：证明题1.设()f x 在]1,0[上连续，[0,1]x ∀∈，0()1f x ≤≤， 求证：]1,0[∈ξ∃,()f ξξ=. 证 设()()F x f x x =-, 0()1f x ≤≤, 而(0)(0)00F f =-≥,()(1)10F x f =-≤又 ()f x 在]1,0[上连续,由零点存在定理知: 存在()0,1ξ∈, 使得()f ξξ=.4.试证方程3223230x x x -+-=在区间[1,2]至少有一根. 证 设()f x =322323x x x -+-因为()f x 在区间[1,2]上连续,且(1)2f =-,(2)5f =, 由零点存在定理知: 存在()1,2ξ∈, 使得()0f ξ=,即3223230ξξξ-+-=. 第二章 导数与微分 一. 选择题:1.如果函数()f x 在点x 处可导，则()f x '等于 【 】（A ）0()()lim x f x x f x x ∆→-∆-∆ （B ）0()()lim 2x f x x f x x x∆→-∆-+∆∆ （C ）0()()lim x f x x f x x ∆→-∆--∆ （Ｄ）0()()lim x f x x f x x x∆→+∆--∆∆ 2.若函数()f x 在点0x 不连续，则()f x 在0x 【 】（A ）必不可导； （B ）必定可导；（C ）不一定可导； （D ）必无定义. 3.函数()sin g x x x =在0x =处 【 】（A ）不连续 （B ）可导 （C ）不可导 （Ｄ）二阶导数存在4.设32()ln f x x x =+，则()(1)f '= 【 】)A (21)B (21- )C (0 )D ( 1 5.已知2()sin()f x ax =，则()f a '等于 【 】（A ）2cos ax （B ）232cos a a （C ）22cos x ax （D ）23cos a a 6.设函数()f x 在点0x 处可导，且0()0f x '>，则曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切 线与x 轴 【 】 （A ）平行 （B ）与x 轴的夹角为钝角（C ）垂直 （D ） 与x 轴的夹角为锐角7.曲线上任意一点的切线在两坐标轴的截距之和为【 】(A)2a (B)12a (C) 1a(D) a 8.设函数23,x y =则(4)(0)y = 【 】（A ） 42 （B ） 43 （C ） 4(2ln3) （D ） 4(3ln2) 9.若函数()f x 为可微函数，则dy 【 】 (A ）与x ∆无关 （B ）为x ∆的线性函数 (C ）当0x ∆→时为x ∆的高阶无穷小 （D ）与x ∆为等价无穷小 10.设函数()y f x =在点0x 处可导，当自变量x 由0x 增加到0x x +∆时，记y ∆为()f x的增量，dy 为()f x 的微分，0lim x y dyx∆→∆-∆等于 【 】 (A ）-1 （B ）0 （C ）1 （D ）∞二.填空题 1.若极限()()limx af x f a x a→--存在，则lim ()_______________x a f x →= 2.设0()1f x '=,则000(2)()limh f x h f x h→--= 3.设x x g x f x ln )(,e )(==，求[])(''x g f =___________________4.椭圆2212516x y +=在点(5,2)N 处的切线方程为5.曲线35y x x =-+在点(0,5)M 处的法线方程为6.若)(u f 可导，则)(sin x f y =的导数为7.如果2,0()(1),0ax e x f x b x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩处处可导，那末______,________a b == 8.设()y x 是由方程e e y x xy -=所确定的隐函数，则(0)______y '=. 9.设arctan x y e =,则dy = 10.设2(sin3)x dy e x dx =+,则__________y = 三.计算题: 1.设y =求dy dx .2.设1arctan1x y x +=-,求dy dx. 3.=求dydx.4. 设()y y x =由参数方程2sin -arctan x t y t t⎧=⎨=⎩确定,求y '.5.设ln(y x =，求y ''.6.设ln y x x =,求()n y .7. arcsin3xy x =+dy 求. 8.设()y y x =是由20xy e y x +-=所确定的函数,求dy . 9. 设0'()3f x =-，求000()(2)limh f x h f x h h→+--.10.常数a 为何值时，两曲线3y ax =和ln y x =相切？并写出它们的公切线方程。

高数函数与极限复习题一、选择题1. 函数 \( f(x) = \frac{1}{x} \) 在 \( x = 0 \) 处的极限存在吗？A. 存在，为 0B. 存在，为无穷大C. 不存在D. 不确定2. 已知 \( \lim_{x \to 1} (x^2 - 1) = 0 \)，那么 \( \lim_{x \to 1} \frac{1}{x-1} \) 的值是：A. 0B. 1C. 无穷大D. 不存在3. 函数 \( g(x) = x^3 - 3x \) 在 \( x = 1 \) 处的导数是：A. 0B. 1C. -1D. 3二、填空题4. 函数 \( f(x) = \sin(x) \) 在 \( x = \frac{\pi}{2} \) 处的极限是 \_\_\_\_\_。

5. 函数 \( h(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1} \) 在 \( x = 1 \) 处的极限是 \_\_\_\_\_。

6. 函数 \( \phi(x) = \frac{\sin(x)}{x} \) 在 \( x = 0 \) 处的极限是 \_\_\_\_\_。

三、简答题7. 解释函数连续性的定义，并给出一个函数连续的例子。

8. 描述极限存在的必要条件，并给出一个反例。

四、计算题9. 计算极限 \( \lim_{x \to 2} (3x^2 - 5x + 2) \)。

10. 求函数 \( f(x) = \sqrt{x} \) 在 \( x = 4 \) 处的导数，并解释其几何意义。

五、证明题11. 证明函数 \( f(x) = x^2 \) 在 \( x = 0 \) 处连续。

12. 证明 \( \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0 \)。

六、综合题13. 给定函数 \( y = x^3 - 2x^2 + x - 3 \)，求其在 \( x = 1 \) 处的极限，并讨论其连续性。

随堂练习 一第一章 函数与极限一、填空题1、432lim23=-+-→x kx x x ，则k= 。

2、函数xxy sin =有间断点 ，其中 为其可去间断点。

3、若当0≠x 时 ，xxx f 2sin )(= ，且0)(=x x f 在处连续 ，则=)0(f 。

4、=++++∞→352352)23)(1(limx x x x x x 。

5、3)21(lim -∞→=+e nknn ，则k= 。

6、函数23122+--=x x x y 的间断点是 。

7、当+∞→x 时，x1是比3-+x 8、当0→x 时，无穷小x --11与x 相比较是 无穷小。

9、函数xe y 1=在x=0处是第 类间断点。

10、设113--=x x y ，则x=1为y 的 间断点。

11、已知33=⎪⎭⎫⎝⎛πf ，则当a 为 时，函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处连续。

12、设⎪⎩⎪⎨⎧>+<=0)1(02sin )(1x ax x xxx f x 若)(lim 0x f x →存在 ，则a= 。

13、设⎩⎨⎧>≤+=0,cos 0,)(x x x a x x f 在0=x 连续 ，则常数a= 。

二、计算题1、计算下列极限 （1）)2141211(lim n n ++++∞→ ； （2）2)1(321lim nn n -++++∞→ ；（3）35lim 22-+→x x x ； （4）112lim 221-+-→x x x x（5）)12)(11(lim 2xx x -+∞→ ； （6）x x x 1sin lim 20→ ；（7）xx x x +---→131lim21； （8）)1(lim 2x x x x -++∞→ ；2、计算下列极限 （1）x wx x sin lim0→ ； （2）xxx 5sin 2sin lim 0→ ； （3）x x x cot lim 0→ ；（4）x x x x )1(lim +∞→ ； （5）1)11(lim -∞→-+x x x x ； （6）x x x 1)1(lim -→ ； 3、比较无穷小的阶（1）32220x x x x x --→与，时 ； （2）)1(21112x x x --→与，时 ； (3)当0→x 时 ， 232-+xx与x 。

第一章 函数与极限部分习题答案§1 映射与函数一、填空题：1、224>-<<-x x 或2、)01(1ln>>-=x x x y 3、奇函数 4、41 §2 数列的极限一、填空题：1、不存在 2、必要 3、1二、计算题：1、0 2、1 3、21§3 函数的极限一、填空题：1、 充要 2、1 3、1；不存在 二、计算题：1、 6 2、21 3、62- 4、（1）：1；（2）：-1；（3）：不存在§4 无穷小和无穷大二、计算题：1、0 2、1 3、2§5 极限的运算法则一、计算题：1、-11 2、32 3、214、-15、236、17、528、1二、计算：a=2; b=-8 三、计算；a=1; b=-1§6 极限存在准则 两个重要极限一、填空题：1、0；1；1；0 2、1-e ；2e ；3e ；2e ；二、计算题：1、0； 2、2； 3、2； 4、2e ； 5、 3-e ； 6、6-e ；三、计算：1§7无穷小的比较一、 计算题：1、2； 2、32； 3、0； 4、1 二、 计算题；3=α§8函数的连续性与间断点一、 填空题：1、充要； 2、可去；二、不连续，跳跃间断点 三、跳跃间断点 四、41=a §9连续函数的运算与初等函数的连续性一、计算题；∞,21,31；二、1、2ln π2、1；3、0；4、1三、计算a=1； b=-1第一章自测题一、填空题：1、0≠x，1，-1； 2、0； 3、0； 4、2； 5、21三、计算题：1、2 x ； 2、1； 3、1； 4、3e ； 5、； 6、41； 7、1； 8、1四、计算；a=1； 23-=b§ 2.1 二、 )(a φ；三、 4311;33x ---；四、460;470x y x y --=++=；五、连续且可导。

§2.2 二、2,e e ππ--； 三、（1； （2）；(3)1tan 221111(cos sin sec )x e x x x x-+；（4）22sin 2[(sin )(cos )]x f x f x -。

第一章 函数与极限§1 函数必作习题P16－18 4 (5) (6) (8)，6，8，9，11，16，17必交习题一、一列火车以初速度0v ，等加速度a 出站，当速度达到1v 后，火车按等速运动前进；从出站经过T 时间后，又以等减速度a 2进站，直至停止。

(1) 写出火车速度v 与时间t 的函数关系式；(2) 作出函数)(t v v =的图形。

二、 证明函数12+=x x y 在),(+∞-∞内是有界的。

三、判断下列函数的奇偶性： (1)x x x f 1sin)(2= ；(2)1212)(+-=x x x f ；(3))1ln()(2++=x x x f 。

四、 证明：若)(x f 为奇函数，且在0=x 有定义，则0)0(=f 。

§2 初等函数必作习题P31－33 1，8，9，10，16，17必交习题一、 设)(x f 的定义域是]1,0[，求下列函数的定义域：(1))(x e f ；(2))(ln x f ；(3))(arcsin x f ；(4))(cos x f 。

二、(1)设)1ln()(2x x x f +=，求)(x e f -；(2)设23)1(2+-=+x x x f ，求)(x f ；(3)设x x f -=11)(，求)]([x f f ，})(1{x f f 。

)1,0(≠≠x x三、设)(x f 是x 的二次函数，且1)0(=f ，x x f x f 2)()1(=-+，求)(x f 。

四、设⎩⎨⎧>+≤-=0,20,2)(x x x x x f ，⎩⎨⎧>-≤=0,0,)(2x x x x x g ，求)]([x g f 。

P42 3 (3) (4)，4，5，6必交习题一、 写出下列数列的前五项 (1)3sin 31n n x n =；(2)n n n n x n ++++++=22212111 ；(3)nx n x n n n)1(1211122-=+++=-， 。

高数函数与极限练习题一、函数的基本概念1. 判断下列函数的单调性：(1) f(x) = 3x + 4(2) g(x) = 2x^2 + 5x + 1(3) h(x) = e^x x2. 求下列函数的定义域：(4) f(x) = √(x^2 9)(5) g(x) = 1 / (x 2)(6) h(x) = ln(x^2 4)3. 判断下列函数的奇偶性：(7) f(x) = x^3 3x(8) g(x) = sin(x) + cos(x)(9) h(x) = e^x e^(x)二、极限的计算4. 计算下列极限：(10) lim(x→0) (sin(x) / x)(11) lim(x→1) (x^2 1) / (x 1)(12) lim(x→+∞) (1 / x^2 1 / x)5. 讨论下列极限的存在性：(13) lim(x→0) (sin(1/x))(14) lim(x→0) (x^2 / sin(x))(15) lim(x→+∞) (x ln(x))6. 计算下列极限：(16) lim(x→0) (e^x 1) / x(17) lim(x→+∞) (x^2 + x + 1) / (2x^2 + 3x 1)(18) lim(x→∞) (x^3 + 3x^2 + 2x + 1) / (x^4 + 4x^3 + 3x^2)三、无穷小与无穷大7. 判断下列表达式的无穷小性质：(19) sin(x) x(20) 1 cos(x)(21) e^x 1 x8. 判断下列表达式的无穷大性质：(22) 1 / (x 1)(23) ln(1 / x)(24) x^2 e^x (x > 0)四、连续性与间断点9. 讨论下列函数的连续性：(25) f(x) = |x 1|(26) g(x) = { x^2, x < 0; 1, x ≥ 0 }(27) h(x) = { sin(x), x ≠ 0; 1, x = 0 }10. 求下列函数的间断点：(28) f(x) = 1 / (x^2 1)(29) g(x) = √(1 cos(x))(30) h(x) = ln|x^2 4|五、综合题11. 设函数f(x) = x^2 2x + 3，求lim(x→+∞) f(x)。

高等数学第一章函数与极限试题一. 选择题1.设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，""N M ⇔表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有（A ） F(x)是偶函数⇔f(x)是奇函数. （B ） F(x)是奇函数⇔f(x)是偶函数. （C ） F(x)是周期函数⇔f(x)是周期函数. （D ） F(x)是单调函数⇔f(x)是单调函数 2．设函数,11)(1-=-x xe xf 则 （A ） x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B ） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点（C ） x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点. （D ） x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点.3．设f (x)=xx 1-，x ≠0,1,则f [)(1x f ]= ( )A ） 1－xB ） x-11C ） X1 D ） x4．下列各式正确的是 ( )A ） lim 0+→x )x1 +1(x=1 B ） lim 0+→x )x1+1(x=eC ） lim ∞→x )x1 1－(x=-e D ） lim ∞→x )x1 +1(x-=e5．已知9)(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ( )。

A.1；B.∞；C.3ln ；D.3ln 2。

6．极限：=+-∞→xx x x )11(lim ( )A.1；B.∞；C.2-e ；D.2e7．极限：∞→x lim 332xx +=（ ）A.1；B.∞；C.0；D.2．8．极限：xx x 11lim 0-+→=（ ） A.0； B.∞； C21； D.2．9. 极限：)(lim 2x x x x -+∞+→=（ ） A.0； B.∞； C.2； D.21．10．极限: xx x x 2sin sin tan lim 30-→=（ ） A.0； B.∞； C.161； D.16．二. 填空题11．极限12sinlim 2+∞→x xx x = . 12. lim 0→x xarctanx =_______________.13. 若)(x f y =在点0x 连续，则)]()([lim 0→-0x f x f x x =_______________；14. =→xxxx 5sin lim 0___________； 15. =-∞→n n n)21(lim _________________； 16. 若函数23122+--=x x x y ，则它的间断点是___________________17. 绝对值函数 ==x x f )(⎪⎩⎪⎨⎧<-=>.0,;0,0;0,x x x x x()()x x x x f 25lg 12-+-+=其定义域是 ,值域是18. 符号函数 ==x x f sgn )(⎪⎩⎪⎨⎧<-=>.0,1;0,0;0,1x x x其定义域是 ，值域是三个点的集合19. 无穷小量是 20. 函数)(x f y =在点x0 连续，要求函数yf (x) 满足的三个条件是三. 计算题21.求).111(lim 0x ex xx --+-→ 22.设f(e 1-x )=3x-2,求f(x)(其中x>0); 23.求lim 2　x →(3－x)25--x x ;24.求lim ∞→　x (11-+x x )x; 25.求lim　x →)3(2tan sin 22x x x x +26. 已知9)(lim =-+∞→xx ax a x ，求a 的值； 27. 计算极限nnnn 1)321(lim ++∞→ 28.求它的定义域。

1第一章函数、极限与连续一、选择题1．函数)(x f 的定义域为[]10，，则函数51()51(-++x f x f 的定义域是（）.A．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-54,51B．⎥⎦⎤⎢⎣⎡56,51C．⎦⎤⎢⎣⎡54,51D．[]1,02．已知函数()62+x f 的定义域为[)4,3-，则函数)(x f 的定义域是（）.A．[)4,3-B．[)14,0C．[]14,0D．⎪⎭⎫⎢⎣⎡--1,293．函数211ln ++-=x xy 的定义域是（）.A．1≠x B．2-≥x C．2-≥x 且1≠x D．[)1,2-4．下列函数)(x f 与)(x g 是相同函数的是（）.A．11)(+⋅-=x x x f ，1)(2-=x x g B．2)(π=x f ，x x x g arccos arcsin )(+=C．x x x f 22tan sec )(-=，1)(=x g D．1)(=x f ，x x x g 22cos sin )(+=5．下列函数)(x f 与)(x g 是相同函数的是（）.A．x x g x x f lg 2)(,lg )(2==B．2)(,)(x x g x x f ==C．33341)(,)(-=-=x x x g x x x f D．xx x g x f 22tan sec )(,1)(-==6．若1)1(2-=-x x f ，则)(x f =（）.A．2)1(+x x B．2)1(-x x C．)2(+x x D．)1(2-x x 7．设xx f cos 2)(=，xx g sin 21)(⎪⎭⎫⎝⎛=，在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛20π，内成立（）.A．)(x f 是增函数，)(x g 是减函数B．)(x f 是减函数，)(x g 是增函数C．)(x f 和)(x g 都是减函数D．)(x f 和)(x g 都是增函数28．函数)1lg()1lg(22x x x x y -++++=（）.A．是奇函数B．是偶函数C．是非奇非偶函数D．既是偶函数，也是奇函数9．下列函数中（）是奇函数.A．1cos sin +-=x x y B．2xx a a y -+=C．2211x x y +-=D．)1)(1(+-=x x x y 10．函数x x x f sin )(2=的图形（）.A．关于x 轴对称B．关于y 轴对称C．关于原点对称D．关于直线x y =对称11．下列函数中，（）是奇函数.A．2ln(1)x +B．)x C．sin x x D．x xe e-+12．若()f x 是奇函数，且对任意实数x ，有(2)()f x f x +=，则必有(1)f =（）.A．1-B．0C．1D．213．偶函数的定义域一定是（）.A．包含原点的区间B．关于原点对称 C.),(+∞-∞D．以上三种说法都不对14．若)(x f 是奇函数，)(x ϕ是偶函数，且)]([x f ϕ有意义，则)]([x f ϕ是（）.A．偶函数B．奇函数C．非奇非偶函数D．奇函数或偶函数15．函数xx f 1sin )(=是其定义域内的什么函数（）.A．周期函数B．单调函数C．有界函数D．无界函数16．若()f x 在(,)-∞+∞内单调增加，()x ϕ是单调减少，则[()]f x ϕ在(,)-∞+∞内（）.A．单调增加B．单调减少C．不是单调函数D．无法判定单调性17．函数xxe e y -+=的图形对称于直线（）.A．y x=B．y x=-C．0x =D．0y =318．下列函数中周期为π的是（）.A．xy 2sin =B．xy 4cos = C.xy πsin 1+= D.()2cos -=x y 19．下列函数是周期函数的是（）.A．)sin()(2x x f =B．xx f 1cos)(=C．xx f πcos )(=D．xx f 1sin)(=20．设1cos )(-=x x f 的定义域和周期分别为（）.A．πππ2,,22=∈+=T Z k k x B．ππ2,,2=∈=T Z k k x C．ππ=∈=T Z k k x ,,D．πππ=∈+=T Z k k x ,,221．下列结论不正确的是（）.A．基本初等函数在其定义域内是连续的B．基本初等函数在其定义区间内是连续的C．初等函数在其定义域内是连续的D．初等函数在其定义区间内是连续的22．下列说法正确的是（）.A．无穷小的和仍为无穷小B．无穷大的和仍为无穷大C．有界函数与无穷大的乘积仍为无穷大D．收敛数列必有界23．下列说法不正确的是（）.A．两个无穷小的积仍为无穷小B．两个无穷小的商仍为无穷小C．有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小D．在同一变化过程中，无穷大的倒数为无穷小24．若无穷小量α与β是等价的无穷小，则αβ-是（）无穷小.A．与β同阶不等价的B．与β等价的C．比β低阶的D．比β高阶的25．当0→x 时，4x x +是32x x +的（）.A．高阶无穷小B．低阶无穷小C．同阶无穷小D．等价无穷小26．当0→x 时，x x sin 2-是x 的（）.A．高阶无穷小B．低阶无穷小C．同阶无穷小但不等价D．等价无穷小27．设232)(-+=xxx f ，则当0=x 时，有（）.4A．)(x f 与x 是等价无穷小B．)(x f 是x 同阶但非等价无穷小C．)(x f 是比x 高阶的无穷小D．)(x f 是比x 低阶的无穷小28．设x x f -=1)(，31)(x x g -=，则当1→x 时（）.A．)(x f 是比)(x g 高阶的无穷小B．)(x f 是比)(x g 低阶的无穷小C．)(x f 与)(x g 是同阶但不等价的无穷小D．)(x f 与)(x g 是等价无穷小29．当0→x 时，与x 不是等价无穷小量的是（）.A．2sin xx -B．xx 2sin -C．3tan x x -D．xx -sin 30．当0→x 时，下列函数为无穷小量的是（）.A．x x sin B．xx sin 2+C．)1ln(1x x+D．12-x 31．当0→x 时，是无穷大量的有（）.A．xx 1sin 1B．xx sin C．2xD．xx 21-32．当0→x 时，下列函数不是无穷小量的是（）.A．x x x x tan cos 2-B．21sin xx C．x x x sin 3+D．xx )1ln(2+33．下列等式正确的是（）.A．1sin lim=∞→x xx B．11sinlim =∞→xx C．11sinlim =∞→xx x D．11sin lim=∞→xx x 34．设函数()f x 在闭区间[1,1]-上连续，则下列说法正确的是（）.A．1lim ()x f x →+必存在B．1lim ()x f x →必存在C．1lim ()x f x →-必存在D．1lim ()x f x →-必存在35．=→xx 102lim （）.A.0B．∞+C．∞D．不存在36．下列各式中正确的是（）.A.0cos lim0=→xxx B．1cos lim0=→xxx C．0cos lim=∞→xxx D．1cos lim=∞→xxx537．若(sin )3cos 2f x x =-，则(cos )f x =（）.A．3sin 2x+B．32sin 2x-C．3cos 2x+D．3cos 2x -38．设21()arcsin 3lim ()1x x f x f x x x→∞=++，则lim ()x f x →∞等于（）.A．2B．21C．2-D．21-39．设x xx f )31()2(-=-，则=∞→)(lim x f x （）.A．1e-B．2e-C．3e-D．3e40．极限lim sinx x xπ→∞=（）.A．1B．πC．2eD．不存在41．当0x →时，1xe 的极限是（）.A．0B．+∞C．-∞D．不存在42．当5x →时，5()5x f x x -=-的极限是（）.A．0B．∞C．1D．不存在43．设x x x f 21)(-=，则=→)(lim 0x f x （）.A．1B．不存在C．2eD．2e-44．若0→x 时，kx x x ~2sin sin 2-，则=k （）.A．1B．2C．3D．445．若52lim22=-++→x bax x x ，则（）.A．1=a ，6=b B．1-=a ，6-=b C．1=a ，6-=b D．1-=a ，6=b 46．=+-∞→x x xx arctan 1lim （）.A．2πB．2π-C．1D．不存在647．=+→xx x )1ln(lim0（）.A．1-B．1C．∞D．不存在但非∞48．已知22lim 222=--++→x x bax x x ，则b a ,的值是（）.A．8,2-==b a B．b a ,2=为任意值C．2,8=-=b a D．b a ,均为任意值49．=-+-+++∞→11)2(3)2(3lim n n nn n （）.A．31B．31-C．∞D．050．xx x x 1011lim ⎪⎭⎫⎝⎛+-→的值等于（）.A．2eB．2e-C．1D．∞51．设xx g x3e 1)(2-=，当0≠x 时，)()(x g x f =，若)(x f 在0=x 处连续，则)0(f 的值是（）.A．0B．32-C．1D．3152．设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+=>-=0,1sin 0,10,1e )(2x a x x x x x x f x 在点0=x 处连续，则常数=a （）.A．1-B．1C．2-D．253．若)(x f 在点0x 点连续，则=+→)2(sin lim 00h x f h （）.A．)2(sin 0h x f +B．)(sin 0x f C．)(sin 0x f D．不存在54．函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=0,210,cos 1)(42x x x x xx f 的间断点有（）.7A．3个B．1个C．0个D．2个55．设0=x 是⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=<+=0,1sin 0,00,11)(1x x x x x ex f x 的（）.A．跳跃间断点B．可去间断点C．第二类间断点D．连续点56．11)(11+-=xxe e xf ，则0=x 是)(x f 的（）.A．可去间断点B．跳跃间断点C．第二类间断点D．连续点二、填空题57．函数xxx f -+=11ln21)(的定义域是_________．58．函数2ln arcsin +=x xy 的定义域为_________．59．函数xx y 1arctan3+-=的定义域是_________．60．设)(x f 的定义域[]1,0=D ，则)(sin x f 的定义域_________．61．若函数()f x 的定义域为[1,0]-，则函数(cos )f x 的定义域为_________．62．若函数()f x 的定义域为[0,1]，则函数(arctan 2)f x 的定义域为_________．63．设2(1)32f x x x +=-+，则f =_________．64．函数nn x a y 12)(-=的反函数是_________．65．函数)0(≠-++=bc ad dcx bax y 的反函数是_________．66．函数x y 3sin 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤-66ππx 的反函数是_________．867．函数3arccos2xy =的反函数是_________．68．______28153lim 233=+-++∞→n n n n n n ．69．_______43867lim 22=+-+∞→n n n n ．70．⎪⎭⎫⎝⎛++++∞→n n 21...41211lim =_________．71．2)1(...321limnn n -++++∞→=_________．72．35)3)(2)(1(limn n n n n +++∞→=_________．73．_______lim 2210=+→x x x e．74．_______1lim432=-+++∞→nn n n n n ．75．_______43...21lim 2=++++∞→nn nn ．76．_______1!!sin lim=+∞→n n n ．77．=⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→πππn n n n n n 222...221lim _________．78.设012lim 2=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--++∞→b ax x x x x ，则=a _________，=b _________．79．_______4421lim 22=⎪⎭⎫ ⎝⎛---→x x x ．80．_______2)2sin(lim22=---→x x x x ．81．_______63sin lim=∞→xxx ．982．m n x x x )(sin )sin(lim 0→（m n ,为正整数，且m n >）=．83．_______1cos 1lim 20=--→x e x x ．84．_______4tan 8arcsin lim0=→xxx ．85．_______81221lim 32=⎪⎭⎫ ⎝⎛---→x x x ．86．xxx x 30sin sin tan lim-→=．87．)1(lim 2x x x x -++∞→=．88．)1sin 1)(11(tan sin lim32-+-+-→x x xx x =．89．若2)1sin(1lim 21=--+→x ax x x ，则_________=a ．90．若0x →时函数tan sin x x -与nmx 是等价无穷小，则=m ，n =．91．当∞→x 时，函数)(x f 与21x是等价无穷小，则_______)(3lim 2=∞→x f x x ．92．当0→x 时，函数112-+ax 与x 2sin 是等价无穷小，则_______=a ．93．当∞→x 时，函数)(x f 与x4是等价无穷小，则_______)(2lim =∞→x xf x ．94．若1x →时，2(1)1mx x --是比1x -高阶的无穷小，则m 的取值范围是．95．11232lim +∞→⎪⎭⎫⎝⎛++x x x x =_________．96．40)21(lim -→=-e x x kx ，则_________=k ．1097．nn n x x f ⎪⎭⎫⎝⎛+=∞→sin 1lim )(，则=')(x f ．98．4lim e a x a x xx =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+∞→，则_______=a ．99．_______1lim 23=⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→x x x x ．100．如果201cos ()3lim ()x xf x f x x→-=+，则0lim ()x f x →=．101．设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+≤+=1,10,0,2)(2x bx x a x x x x f 在),(+∞-∞内连续，则___________,==b a ．102．)(lim 2)sin 21()(031x f x x f x x→++=，求()=x f ．103．如果201cos ()3lim ()x xf x f x x→-=+，则0lim ()x f x →=．104．设2211xx x x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛-，则=)(x f ．105．函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=010,1sin 1)(x x xx x f 的连续区间是．106．若函数()⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+=0,21ln 0,)(12x x x x a x f x 在0=x 处连续，则=a ．107.极限02sin 3lim[sin]x x x x x→+=．108.极限3sin 2lim[sin ]x xx x x→∞+=．109．若⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=-0,0,316sin )(3x a x x e x x f ax 在0=x 连续，则_______=a ．110．函数⎪⎩⎪⎨⎧><<-±===2,420,42,0,2)(2x x x x x x f 的间断点有_________个．111．函数653)(2+--=x x x x f 的第二类间断点是_________．112．函数)5)(32(86)(22-----=x x x x x x f 的间断点是．113．设⎪⎩⎪⎨⎧≤+>=,0,,0,1sin )(2x x a x x x x f 要使)(x f 在),(+∞-∞内连续，则=a ．114．设⎪⎩⎪⎨⎧<+=>+=0,20,0,)(2x b x x a x e x x f 在点0=x 处连续，则=a ，=b ．115．设⎪⎩⎪⎨⎧≤>=0,0,3sin )(x x x x x x f ，则点0=x 是)(x f 的第类间断点．116．设⎪⎩⎪⎨⎧≤<-+>=-,01),1ln(,0,)(11x x x e x f x 则点0=x 是)(x f 的第类间断点；点1=x 是)(x f 的第类间断点．117．若函数=)(x ϕ，则函数)(x f 为奇函数这里⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<=>++=0, )( 0, 0 0 ),1ln()(2x x x x x x x f ϕ118．⎩⎨⎧<-≥=00 )(22x x x x x f ，则)(x f 是（奇/偶）函数.119．⎩⎨⎧>+≤-=0 10 1)(x x x x x f ，则)(x f 是（奇/偶）函数.三、计算题120．设函数1)1(2++=x x x f 0>x ，求)(x f ．121．设函数2211xx x x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+，求)(x f ．122．设xx f -=11)(，求))((x f f ．123．设23)1(2+-=+x x x f ，求)(x f ．124．已知x x g xx f -==1)(,1)(，求))((x g f ．125．设x x x f 2)1(2-=-，求)1(+x f ．126．求函数321)(2-+=x x x f 的连续区间．127．设函数)(x f 的定义域为)0,1(-，求函数)1(2-x f 的定义域．128．设x xx f +=12arccos )(，求其定义域．129．设)(x f 的定义域为[]1,0，求)(cos x f 的定义域．130．已知⎩⎨⎧≤<≤≤=+21,210,)1(2x x x x x ϕ，求)(x ϕ．131．设⎩⎨⎧<+≥+=0,40,12)(2x x x x x f ，求)1(-x f ．132．判断函数x x x f 32(32()(-++=的奇偶性．133．判断11-+=x x a a x y 的奇偶性．134．设)21121)(()(-+=x x f x F ，已知)(x f 为奇函数，判断)(x F 的奇偶性．135．求函数x x y 44sin cos -=的周期．136．求函数2cos sin x x y +=的周期．137．求函数x y 3sin 2=)66(ππ<<-x 的反函数．138．求函数)1ln(2-+=x x y 的反函数．139．xx x 3113sin lim +-∞→．140．633lim 6--+→x x x ．141．2203)1ln(lim x x x +→．142．x xx 4cos 12sin 1lim 4-+→π．143．2321lim 4--+→x x x ．144．123lim 221-+-→x x x x ．145．25273lim 33+-++∞→x x x x x ．146．)cos 3(11lim 32x x x x +++∞→．147．2021cos lim x x x -→．148．2021lim x ex x -→．149．3222......21lim nn n +++∞→．150．)3(lim 2x x x x -++∞→．151．xx x ln 1lim 21-→．152．20cos 1lim x x x -→．153．38231lim x x x +---→．154．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⨯+⨯∞→)12)(12(1...531311lim n n n ．155．n n 11lim +∞→．156．114sin lim 0-+→x xx ．157．)(lim 22x x x x x --++∞→．158．156223lim 22+-++∞→n n n n n ．159．nx mxx sin sin lim 0→．160．⎪⎭⎫ ⎝⎛-→x x x x ln ln 1lim 1．161．145lim 1---→x xx x ．162．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→11lim 31x x x ．163．xx x --→πππ1cos )(lim ．164．20cos 1lim x mx x -→．165．11sinlim -+∞→x x x x x ．166．)15(lim 323x x x x -+-∞→．167．)cos 1(cos 1lim 0x x x x --+→．168．28lim 38--→x x x ．169．n n n 31...9131121...41211lim ++++++++∞→．170．xx x x x 6sin 4cos lim ++∞→．171．)1(lim 2x x x x -+∞→．172．⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+→114sin lim 0x x x ．173．174lim 22++→x x x ．174．2220)1()41ln(lim x x e x -+→．175．115)2(5)2(lim ++∞→+-+-n n nn n ．176．xx e 1011lim +→．177．若123lim 22=-+-→x ax x x ，求a ．178．已知01lim 2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+∞→b ax x x x ，其中a ，b 是常数，求a ，b ．179．已知),0()1(lim 2017∞≠≠=--∞→A n n n k k n ，求k 的值．180．计算⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++++∞→n n n n n n n n n 2222211lim .181．已知5312)(22+++-=bx x ax x f ，当∞→x 时，求a 和b 的值使)(x f 为无穷小量．182．当0→x ，比较函数22)(-+=x x e x f 与x 是否为同阶无穷小．183．已知82lim 3=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→x x a x a x ，求a ．184．()xx x sec 32cos 1lim +→π．185．11212lim +∞→⎪⎭⎫⎝⎛-+x x x x ．186．26311lim -∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x 187．xx x x 311lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→．188．21232lim +∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x x x ．189．xx x tan 2)(sin lim π→．190．已知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<=>+=0,sin 10,0,1sin )(x x x x p x q x x x f 在点0=x 处极限存在，求p 和q 的值．191．求函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=0,210,cos 1)(42x x x x xx f 的间断点的个数．192．判断函数111)(--=x x ex f 的间断点及其类型．193．判断函数xx x f 1cos)(=的间断点及其类型．194．设)(x f 在点0=x 处连续，且⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=0,0,cos 1)(2x a x x x x f ，求a ．195．求函数xxy sin =的间断点及类型．196．求函数)1()(22--=x x xx x f 的间断点．197．证明方程019323=+--x x x 至少有一个小于1的正根．198．判断函数122+=x y 的单调性．199．已知⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<⎪⎭⎫ ⎝⎛-=>+--=0,110,0,1)1(2sin )(2x x x b x a e e x f x x x 在点0=x 处连续，求a 和b 的值．200．设函数⎩⎨⎧≥+<=0,0,)(x x a x e x f x 在),(+∞-∞内连续，求a ．201．设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤---+=>+=01,110,00,)1ln()(x x xx x x x x x f ，判断其间断点及类型．202．设xe xf x 1)(-=，判断其间断点及类型．203．设⎪⎩⎪⎨⎧≤<-+>=-01),1ln(0)(,11x x x e x f x ，判断)(x f 的间断点及其类型．204．求曲线65222+-=x x x y 的渐近线．205．求xex f -+=1111)(的间断点并判断其类型．206．设⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>++=<=0,)21ln(0,0,sin 1sin )(2x a xx x b x x x x x f ，求b a ,的值使其在),(+∞-∞内连续．207．设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<=<<-=-21,1,210,1ln )(1x e x x x xx f x ，（1）求)(x f 的定义域（2）判断间断点1=x 的类型，如何改变定义使)(x f 在这点连续？208．判断函数x x y ln +=在区间),0(+∞内的单调性．第一章函数、极限与连续1..54,51:15101510⎥⎦⎤⎢⎣⎡⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-≤≤+≤D x x 选C2.43<≤-x ，826<≤-x ，14620<+≤x 。