台湾地区高考数学试题特色赏析

6如魏学款学2019年第6期台湾地区高考多项式函数试题考点评析及思考钟劲松(湖南教育出版社，湖南长沙410007)I i i1刖旨多项式(Polynomials)函数作为高中课程标准中的一项重要的知识内容,大陆地区学生在初中阶段学习一次、二次函数的基础上，高中阶段主要对三次函数进行学习，学习内容包括能利用导数求三次函数的极值以及给定闭区间的最大值、最小值,利用导数研究三次函数的图像和性质，体会导数与单调性、极值、最大(小)值的关系等等•台湾地区课程纲要则对多项式及多项式函数的要求颇高，具体内容为多项式的运算与应用——乘法、除法(包括除式为一次式的综合除法)，除法原理(含余数定理、因式定理)及其应用；实系数多项式的代数基本定理、虚根成对定理，插值多项式(次数不超过三次)函数及其应用，多项式函数的微积分等等.本文从台湾地区近5年高考中有关多项式的试题中选取若干题,按照考查的主要知识点进行分类，每个知识点选取1-2道经典题进行分析并解答，从中体会台湾地区高考命题者是如何对多项式内容进行命题,感受其试题的风格与特点,让读者从中受到启发•本文末尾还对台湾地区高考试题特色进行了总结，并对我国教材编写提出了一点意见，不当之处，敬请同行指正.2基本定理余数定理:对任意多项式P(%),P(%)除以(x-a)的余数为P(a).因式定理：(x-a)是多项式P(%)的因式当且仅当P(a)=0.上面两个关于多项式函数的重要定理，证明非常简单，利用多项式的带余除法即可证明•这两个定理对于解题非常关键，有着重要的应用.3考点评析3.1多项式函数定理的综合应用台湾高考试题中运用多项式函数定理主要包括:实系数多项式的代数基本定理、余数定理、因式定理、虚根成对定理等等.另外，还包括多项式的运算法则：多项式的带余除法、一次式的综合除法、插值多项式(次数不超过三次)等等，综合度较高，需要考生具备一定的分析和解决问题的能力，还需要一定的运算求解能力.试题1设实系数多项式/&)满足/(1+ i)=5与/<i)=10(其中i=/二lj,且/(勿除以(x2-2x+2)(x2+1)的余式为g(x).请选出正确的选项.(1)g(1+i)=5；(2)/(-i)=10；(3)g(%)除以/-2x+2的余式是一次多项式；(4)g&)除以x2-2x+2的商式是2x+l；(5)g(x)=2x3-lx2+2%+3.解析:根据题意,不妨设/(x)=h(x)(x2-2x+2)(/+1)+g(x), .................................................................(*)其中g(%)的次数W3.因为/(1+i)=5,当％= 1+i时-2%+2=0,将乞=1+i代入(* )式可得g(l+i)=5,故选项(1)正确.对于选项(2),因为/(i)=10,所以％=i是F(%)=f(x)-10=0的一个解.令F(x)= /(x)-10,根据多项式函数的虚根成对定理,同样％=_i也是F(x)=0的一个解，所以有F(-i)=0.因为x2+1=(-i)2+1=0,即F(_i)=A_i)_10=O+g(-i)_10=0,只能推导岀g(-i)=10,故选项(2)错误;对于选2019年第6期6-41项(3),显然余式g仏)的最高次数不高于3次，且％=1土i分别是方程g(x)=5的两根，同样，%=±i也是方程g(x)=10的两个根，可设g(x)=ax3+bx2+ex+d,利用g(1土i)=5, g(±i)=10可以求得a=2,6=_3,c=2,d= 7,所以,g(%)=2x3-3x2+2x+7=(x2-2x+2)(2x+1)+5.因此,g(E除以%2-2x+2的余式是一常数，故选项(3)错误.故选项(4)正确，选项(3)、(5)均错误.点评:本题考查了多项式的带余除法、虚根成对定理，关键是求出g(x)的表达式之后，选项(3)、(4)、(5)就可以选择或者排除了.本题考查了考生一定的运算能力.试题2假设多项式/(%)=2-2x+ 4x(%-1)+x(x-1)(x-2)g(x)，其中gO)为一实系数多项式•请选出一定正确的选项.(1)/(%)有&-1)的因式；(2)/(x)没有仏+1)的因式；(3)/(%)被&-2)除的余数等于6；(4)0不是/(x)=0的根；(5)通过(0,/(0)),(1,/(1)),(2, /(2))的最低次插值多项式为2-2x+ 4%(%-1).解析:对于选项(1),通过观察，也可以利用因式定理,/仏)有(X-1)的因式，故选项(1)正确.对于选项(2),假设/&)有(%+1)的因式，则x=-1是y=/(%)的一个零点.因为/(x)=4x2-6x+2+x(x-1)(x-2)g(x).若/(-1)=0,则]2-6g(-1)=0,从而g(-1)= 2.因为不能判断g(-1)是否为2,所以也就不能判定/仏)没有(％+1)的因式，故选项(2)错误.对于选项(3),因为/(%)被(x-2)除的余数，即2-2x+4x(X-l)被(％-2)除的余数，又因为2-2x+4x(x-1)=4x2-6x+ 2 -(4x+2)(x-2)+6,所以J(%)被(%-2)除的余数为6,也可以根据余数定理，余数R= /(2)=6,故选项(3)正确.对于选项(4),若0是/(%)=0的根，则有/(0)=0,而/(0)=2,所以%=0不是念)=0的根，故选项(4)正确.对于选项(5),显然，当x=0,1,2时屁)的最后一项％(%-1)(%-2)g(x)的函数值均为0,所以/(0)=2,/(1)=0,/(2)=6,通过(0, /(0)),(1,/(1)),(2,/(2))三点的最低次插值多项式为2-2%+4x(x-1),即二次多项式4/-6x+2,故选项(5)正确.点评:本题通过给出一多项式函数，判断其因式、余数、根和通过不在同一直线上三点的最低次插值多项式•部分选项可以根据余数定理和因式定理算出，也可以通过观察，比较各个部分是否含有共同的因式等等，本题运算量不大，考查了考生的观察能力.3.2多项式函数与其他知识结合多项式函数是简单的连续函数，它是平滑的，它的导函数也必定是多项式函数，利用微积分基本定理可以求得多项式函数在某闭区间的定积分•台湾地区高考试题通常将多项式函数与数列、极限、导数和微积分等综合起来，重点考查考生对数学概念本质的理解、掌握和运用的能力，能够根据多项式读取某些关键信息，如在关于原点对称的积分区间上，奇函数的定积分值为0等等,可以大大简化计算.试题3设卩仏)为一实系数多项式，其各项系数均大于或等于0.在坐标平面上，已知对所有的t三1,函数y=]9(x),y=~1~x2的图像与直线x=l,x^t所围成的有界区域的面积为r+r+r+1+c(其中c为常数).(1)试说明p&)>-i-x2对所有的％M i均成立；(2)设t>1，试求J(-1-%2)血；(3)试求C；(4)试求p(x).简析:(1)因为P&)的各项系数均大于或等于0,所以p仏)M0(%M0),而y=-1-x2在无论％取何值时』<0,所以p(x)>-1-x2对所有的尤M1均成立.(2)[(一1_/)山=(-x-|[=?4-----t----・336-42欽学款学2019年第6期(3)设p(%)=ax2,+bx2+ex+d.因为J[p(x)-(-1-%2)]dx=『+『+/+£+c,而J[p(%)+1+x2]d%=J[ax3+(b+1)%2+ex+(d+1)]dx,所以，有—x+"+打3+_L x2+(/+])%]「4327J I i =t4 +t3+t2+t+C,即a4b+13c2./]八—t H---------1H-----1+(d+1)i—432=r+户+12+1+c.根据多项式恒等可得，Q二4,b二2,C二2,d二0,因此C=-中--y-(J+1)=-4.(4)p(x)=4x3+2x2+2x.点评:本题考查了定积分的几何意义和微积分基本定理，特别是原函数是四次多项式时，其导函数为三次多项式，故可设P&)= a/+bx2+ex+d.通过多项式恒等，利用其对应项系数相等可以求得C值，本题的解决需要考生具有一定的分析问题和运算求解的能力.3.3多项式函数图像的运用台湾地区高考试题中非常注重利用多项式函数的图像来解决问题，考查考生能否根据题干信息大致勾勒出函数图像的大致形状，再根据图像的形状和性质解决问题，考查考生灵活运用知识的能力，特别是根据函数图像判断零点、极值点(驻点)、拐点(反曲点)和函数图像的凹凸性.试题4已知一个n次实系数多项式/(”)满足下列性质：当*< 0时，广(％)<0且/"(%)>0；当0<X<1时<0且厂(％)<0；当1<%<4时<0且f'\x)>0；当％>4时>0且>0.请选出正确的选项.(1)f(2)>f⑶;(2)_/(%)在％=4时有最小值；(3)/(%)的图像只有一个反曲点；(4)"可能为3；(5)/(x)的最高次项系数必为正.解析:本题是一道与多项式有关的题，根据多项式的有关性质刻画函数y-/(x)的大致图像，由函数的一阶导数和二阶导数的正、负表示函数图像的性质可知：当/'(%)<0时，表示函数的图像在所给的区间内单调递减;当广(％)>0时，表示函数y=/(%)的图像在所给的区间内单调递增•当r(x)>0时，表示y=/(%)的图像是下凸的；当/"(X)<0时,表示y=/(%)的图像是上凸的.根据多项式/5)满足的性质，绘制如图1对于选项(1)，当1<%<4时,y=/"(x)> 0可得为增函数，所以f(2)<f(3),故选项(1)错误.对于选项(2),根据图像可知，/(%)在x= 4处取最小值，故选项(2)正确.对于选项(3),/(%)的图像有两个反曲点，分别为”=0,1,故选项(3)错误.对于选项(4),因为任意一个三次函数的反曲点只有1个，所以，"不可能为3,故(4)错误.对于选项(5),/(%)的最高次项系数必为正•若为负，则当X—>+8时,/(%)T■-8,与%>4时/"(E单调递增矛盾，故最高次项系数不可能为负，所以选项(5)错误.点评:本题的关键是正确理解函数的一阶导数和二阶导数的几何意义,能够根据在某个区间的导数(一阶、二阶)的正负大致勾勒出多2019年第6期欽学教学6-铝项式函数的图像,再根据图像判断选项正误.选项（5）考查了考生的分析问题的能力.4几点思考本文主要讨论了台湾地区多项式函数在高考中的考点，没有收集关于三次多项式的试题进行分析和点评，有关三次函数问题将另文说明•纵观上述4道题的解析可知，台湾高考试题有如下几个方面的特点：偏重对基本概念和知识的考查.比如对多项式函数的积分,考查微积分基本定理的概念和本质，同时考查多项式函数的一阶、二阶导数的正负对图像的单调性和凹凸性的影响等等•重点考查多项式函数中的相关概念、定理的本质意义•值得注意的是，台湾地区高考中的有些名词与我国大陆地区不同，例如我们将二阶导数为0的点称为函数图像的拐点，而台湾地区则称为“反曲点”.重点考查多项式函数中重要的定理的掌握和运用，比如对多项式除法、代数基本定理、因式定理、余数定理、虚根成对定理和最低插值多项式的考查•试题均可以借助上述几个定理，并加以简单的运算和推理，即可以得出正确的选项./r**//"w,（上接第6-4页）的基础上,通过演绎推理，形成了学科体系.向量及其运算体系诞生了一门新的分支学科——向量几何,它为立体几何的研究带来代数方法.（2）品读项武义先生对向量几何的评价向量代数乃是空间结构的全面而且美妙的代数，而空间的基本性质和基本定理的运用则转化为其运算律的系统运用•这就是学习向量几何,并用以探索大自然所要达到的境界！关注综合知识的考查，重点考查能力.有些试题将不同的知识与多项式函数进行整合,比如数列、极限、微积分、不等式等•综合考查考生将不同知识之间互相嫁接、互相转化的能力，考查考生运用数学思想和数学方法分析、解决问题的能力以及用数学语言表达的能力.突出通性通法.台湾地区教材，视多项式函数图像的了解和勾勒为一重要知识内容.台湾地区的试题则是根据导数以及一些相关给定信息勾勒岀大致图像,然后根据图像讨论问题,且这种解题的方法可以推广到更高次的函数，绘制其函数图像.实际上，在解题过程中，如果不需要计算具体的零点、拐点、驻点的值,而只需要通过勾勒简单图像时,对多项式进行因式分解和分析就显得特别重要.函数是中学阶段的一个重要内容,多项式函数是一类重要的函数,可以在我们的教科书中增加多项式的带余除法、综合除法、余数定理、因式定理、多项式的插值公式等等•原因有二，一是余式、因式定理的证明本来就非常简单,根据综合除法即可证明;二是可以更加全面、深刻地理解和掌握多项式函数知识，为进一步的学习做好铺垫，做好高中到大学的衔接.z**/rx/设计说明：关注学科视角——提升学科认识层次：关注学科发展的视角，给立体几何引进向量及其运算体系•本段设计从向量法到向量几何，引导学生对向量几何学产生初步认识，从学科角度提升认识层次.关注文化品悟一一提高数学鉴赏能力：通过品读项武义先生对向量几何的评价,提升对向量代数的认识,提高数学鉴赏能力.3.8作业（略）.。

台湾高考数学试题台湾高考数学试题是台湾地区中学生所参加的一项重要考试，与大陆高考数学试题存在相似之处，但也有其独特之处。

本文将介绍台湾高考数学试题的特点以及一些常见的题型。

一、选择题在台湾高考数学试题中，选择题被广泛采用。

选择题分为单选题和多选题两种类型。

学生需要根据题目给出的信息，选出一个或多个正确答案。

例如：1.已知函数f(x)=2x+1，若f(3)=k，求k的值。

A. 6B. 7C. 8D. 92.若ΔABC中,∠B=90°,AB=3,AC=4,则BC的值为：A. 5B. 7C. 9D. 12二、填空题填空题在台湾高考数学试题中也占有一定的比重。

学生需要根据题目所给的条件，填写出正确的答案。

例如：1.设x=2，y=-3，则3x-2y的值为______。

2.已知函数f(x)=4x-5，则f(3)的值为______。

三、解答题解答题是台湾高考数学试题中相对较难的部分。

学生需要根据所给的问题，采用合适的数学方法进行推导和计算，最终得出正确的结果。

例如：1.已知等差数列的第一项是3，公差为2，求该等差数列的前10项的和。

2.已知直角三角形的斜边长为5cm，一条直角边长为3cm，求另一条直角边长。

四、画图题画图题在台湾高考数学试题中也很常见。

学生需要根据给出的条件，利用几何知识将图形绘制出来，并回答相应的问题。

例如：1.已知矩形的长是5cm，宽是3cm，求该矩形的面积。

2.已知正方形的边长是6cm，求该正方形的周长。

总结：台湾高考数学试题涵盖了选择题、填空题、解答题和画图题等多种题型，要求学生灵活运用所学知识和技巧，能够准确理解题意并正确解答问题。

通过参加这些试题的练习，学生有助于提高数学思维能力和解题能力，为进一步的学习和发展打下坚实的基础。

这些试题既考察学生对知识的掌握程度，又注重培养学生的推理和思考能力，促使学生在数学学习中不断进步。

台湾省2024高三冲刺（高考数学）统编版考试(评估卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有( )A．2人B．3人C．4人D．5人第(2)题已知集合，，则（）A．B．C．D．第(3)题函数的大致图象可能是（）A．B．C．D．第(4)题展开式中的常数项是（）A．B．C．D．第(5)题已知，，，则（）A．B．C．D．第(6)题已知函数的图象经过点，若函数在区间上有3个极值点，下列说法错误的是（）A．在区间上有2个极大值点B．在区间上有3个零点C．的取值范围为D ．在上单调递增第(7)题若集合，则（）A．B．C．D．第(8)题已知实数满足约束条件，则的最大值为（）A．B．15C．4D．19二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知定义在上的函数，对于给定集合，若，当时都有，则称是“封闭”函数.则下列命题正确的是（）A．是“封闭”函数B．定义在上的函数都是“封闭”函数C．若是“封闭”函数，则一定是“封闭”函数D．若是“封闭”函数，则不一定是“封闭”函数第(2)题如图，几何体的底面是边长为6的正方形底面，，则（）A．当时，该几何体的体积为45B．当时，该几何体为台体C ．当时，在该几何体内放置一个表面积为S的球，则S的最大值为D．当点到直线距离最大时，则第(3)题已知抛物线的焦点为，，是抛物线上两点，则下列结论正确的是（）A．点的坐标为B．若直线过点，则C．若，则的最小值为D．若，则线段的中点到轴的距离为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知正四棱台中，，若该四棱台的体积为，则这个四棱台的表面积为__________．第(2)题在平行四边形中，，，点在边上，满足，则向量在向量上的投影向量为________（请用表示）；若，点，分别为线段，上的动点，满足，则的最小值为________．第(3)题已知，，则__________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知抛物线上任意一点满足的最小值为1（为焦点）．(1)求的方程；(2)过点的直线经过点且与抛物线交于两点，请探索三者之间的关系，并证明．第(2)题根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量（百千克）与某种液体肥料每亩使用量（千克）之间对应数据的散点图，如图所示．(1)请从相关系数（精确到）的角度分析，能否用线性回归模型拟合与的关系（若，则线性相关程度很强，可用线性回归模型拟合）；(2)建立关于的线性回归方程，并用其估计当该种液体肥料每亩使用量为千克时，该蔬菜基地西红柿亩产量的增加量约为多少百千克？参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，相关系数，参考数据：第(3)题已知函数.（1）当时，解关于的不等式；（2）当时，求的最小值.第(4)题已知函数有三个零点.(1)求的取值范围；(2)设函数的三个零点由小到大依次是.证明：.第(5)题已知关于的不等式有解.（1）求实数的最大值；（2）若，，均为正实数，且满足.证明：.。

台湾地区高考数学试题特色赏析作者：郝保国来源：《教学管理与教育研究》2016年第18期摘要：台湾地区大学招生每年设有两次大的考试，单选题与多选题并存、突出试题的现代数学背景、试题贴近日常生活、凸显能力立意的主旨、与其他学科知识相互渗透和有机融入文化的元素是其考试试题的六大特色。

该文结合台湾地区近五年来的高考数学试题，来具体阐述台湾地区高考试题的特色。

关键词：台湾地区高考数学试题特色台湾地区针对大学招生每年有两次大的考试。

一是每年1、2月份的大学学科能力测试（简称“学测”），二是每年7月初的指定科目考试（简称“指考”）。

“指考”数学考试分数学甲（理科程度）与数学乙（文科程度）。

学生如果通过“学测”没能被理想的大学提前录取，他们还可参加“指考”，寻求第二次被理想大学录取的机会。

台湾地区学生在大型国际测试项目TIMSS和PISA中，成绩一向名列前茅，这说明台湾的数学教育质量非同一般。

本文以台湾近五年高考数学试题为分析文本，来探究、赏析岛内高考数学试题的特色。

特色1：单选题与多选题并存“学测”数学试卷由单选题、多选题、选填题三类题型构成，用时100分钟，总分100分；“指考”试卷也包括了这三类题型，且多了两个解答题，用时80分钟，总分100分。

单选题与多选题都有5个选择支，多选题在大陆高考试题中很少出现。

以2016年而言，“学测”试题中多选题7个，占分35分；“指考”数学甲试题中多选题3个，占分24分；数学乙试题中多选题5个，占分40分。

可见多选题占分不少。

分析：这个题如果分类讨论去绝对值符号，就比较麻烦。

考虑到、的几何意义：分别表示点x到点0、5的距离。

这样（1）、（4）是不可能的，有实数解应选（2）、（3）、（5）。

台湾选择题突出核心数学概念，强化基础知识与基本技能的考查；有些问题依托数学模型，注重数学思想方法的考查；有些问题学生可凭借数学直感、类比、归纳可以解决，考查学生的合情推理能力。

台湾选择题一般客观性强，可信度高，具有较好的甄别和选拔功能。

2011年台湾区第二次高考数学乙 试题与参考答案第壹部分﹕选择题（单选题﹑多选题及选填题共占76分） 一﹑单选题（12分）说明﹕第1题至第2题﹐每题5个选项﹐其中只有1个是正确的选项﹐画记在答案卡之「解答栏」﹒各题答对得6分﹐未作答﹑答错﹑或画记多于1个选项者﹐该题以零分计算﹒( )1. 符号()P C 代表事件C 发生的机率﹐符号()|P C D 代表在事件D 发生的条件下﹐事件C 发生的机率﹒今设,A B 为样本空间中的两个事件﹐已知()()0.6P A P B ==﹒请选出正确的选项﹒ (1)()1P A B ⋃= (2)()0.2P A B ⋂= (3)()|1P A B = (4)()()||P A B P B A = (5),A B 是独立事件﹒( )2. 如图﹐平面上五个大小相同的圆圈用四根长度相同的线段连接成十字形﹐其中任意两相邻线段均互相垂直﹒今欲将其中两个圆圈着上蓝色﹐其它圆圈着上红色﹐并规定在着好色之后将图形绕十字形的中心旋转产生的各种着色法均视为同一种﹐试问共有几种着色法﹖ (1)3 (2)6 (3)10 (4)20 (5)32﹒二﹑多选题（32分）说明﹕第3题至第6题﹐每题有4个选项﹐其中至少有1个是正确的选项﹒选出正确选项﹐画记在答案卡之「解答栏」﹒各题之选项独立判定﹒所有选项均答对者﹐得8分﹔答错1个选项者﹐得4分﹔所有选项均未作答或答错多于1个选项者﹐该题以零分计算﹒( )3. 某种疾病有甲﹑乙﹑丙三种检测方法﹒若受检者检测反应为阳性﹐以符号「+」表示﹐反之则记为「-」﹒一个受检者接受三种检测方法呈现之结果共有18,,A A 八种不同的可能情况﹐例如事件1A 表示该受检者以三种方法检测反应皆为阳性﹐其余类推（如下表）﹕以18,,P A P A 分别代表事件18,,A A 发生之机率﹒请问下列哪些选项是正确的﹖(1)()()()1212P A A P A P A ⋃=+(2)以方法乙检测结果为阳性的机率是()()()()1246P A P A P A P A +++ (3)以方法甲与方法乙检测﹐结果一致的机率是()()12P A P A + (4)以方法甲﹑乙﹑丙检测﹐结果一致的机率是()1P A ﹒( )4. 某训练班招收100名学员﹐以报到先后顺序赋予1到100的学号﹒开训一个月之后﹐班主任计划从100位学员中抽出50位来参加时事测验﹒他拟定了四个抽签方案﹕方案一﹕在1到50号中﹐随机抽出25位学员﹔同时在51到100号中﹐也随机抽出25位学员﹐共50位学员参加测验方案二﹕在1到60号中﹐随机抽出32位学员﹔同时在61到100号中﹐也随机抽出18位学员﹐共50位学员参加测验方案三﹕将100位学员平均分成50组﹔在每组2人中﹐随机抽出1人﹐共50位学员参加测验 方案四﹕掷一粒公正的骰子﹕如果出现的点数是偶数﹐则由学号是偶数的学员参加测验﹔反之﹐则由学号是奇数的学员参加测验请选出正确的选项﹒(1)方案一中﹐每位学员被抽中的机率相等 (2)方案二中﹐每位学员被抽中的机率相等(3)方案三中﹐每位学员被抽中的机率相等(4)方案四中﹐每位学员被抽中的机率相等﹒( )5. 设(),r π为函数2log y x =图形上之一点﹐其中π为圆周率﹐r 为一实数﹒请问下列哪些选项是正确的﹖(1)(),r π为函数2x y =图形上之一点(2)(),r π-为函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭图形上之一点(3)1,r π⎛⎫⎪⎝⎭为函数12log y x =图形上之一点 (4)(),2r π为函数4x y =图形上之一点﹒( )6. 某校数学复习考有400位同学参加﹐评分后校方将此400位同学依总分由高到低排序﹕前100人为A 组﹐次100人为B 组﹐再次100人为C 组﹐最后100人为D 组﹒校方进一步逐题分析同学答题情形﹐将各组在填充第一题（考排列组合）和填充第二题（考空间概念）的答对率列表如下﹕(1)第一题答错的同学﹐不可能属于B 组(2)从第二题答错的同学中随机抽出一人﹐此人属于B 组的机率大于0.5 (3)全体同学第一题的答对率比全体同学第二题的答对率高15%(4)从C 组同学中随机抽出一人﹐此人第一﹑二题都答对的机率不可能大于0.3﹒三﹑选填题（32分）说明﹕第A 至第D 题为选填题﹐请在答案卡的「解答栏」之列号（7-15）中标示答案﹒每一题完全答对得8分﹐答错不倒扣﹐未完全答对不给分﹒A. 设()532224f x x x x x =-+--﹐()43232g x x x x x =++++﹐()h x 为()f x 与()g x 的最高公因式且最高次项系数为1﹐则()1h 与()2h 的乘积为 ○7○8 ﹒B. 为讲解信赖区间与信心水平﹐数学老师请全班40位同学使用老师提供的随机数表模拟投掷均匀铜板16次﹒模拟的过程如下﹕随机指定给每位同学随机数表的某一列﹐该列从左到右有16个数字﹔如果数字为0,1,2,3,4时﹐对应投掷铜板得到正面﹔而数字为5,6,7,8,9时﹐对应投掷得到反面﹒某同学拿到的一列数字依序为﹕0612 9683 4251 9138该同学计算铜板出现正面的机率在95%信心水平下的信赖区间﹕ˆp p ⎡⎢-+⎢⎢⎣﹒则该同学所得到的结果中﹐=﹒ （化为最简根式）C. 坐标平面上有一面积为40的凸四边形﹐其四个顶点的坐标按逆时针方向依序为()0,0﹑()4,2﹑(),2x x 及()2,6﹐则x = ○11○12 ﹒ D. 一线性规划问题的可行解区域为坐标平面上由点()0,30A ﹑()18,27B ﹑()20,0C ﹑()2,3D 所围成的平行四边形及其内部﹒已知目标函数ax by +（其中,a b 为常数）在D 点有最小值48﹐则此目标函数在同个可行解区域的最大值为 ○13○14○15 ﹒第贰部分﹕非选择题（占24分）说明﹕本大题共有二题计算证明题﹐答案务必写在答案卷上﹐并于题号栏标明题号（一﹑二）与子题号((1)﹑(2))﹐同时必须写出演算过程或理由﹐否则将予扣分﹒务必使用笔尖较粗之黑色墨水的笔书写﹐且不得使用铅笔﹒每题配分标于题末﹒ 一﹑设,a b 为实数﹒已知坐标平面上满足联立不等式620x y x y x y y ax b+≥⎧⎪+≤⎪⎨-≥⎪⎪≥-⎩ 的区域是一个菱形﹒(1) 试求此菱形之边长﹒（4分）(2) 试求,a b ﹒（8分）二﹑设a b A c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭为二阶实系数方阵﹒(1) 当A 为转移矩阵时﹐试叙述实数a ﹑b ﹑c ﹑d 须满足的条件﹒（6分）(2) 试证﹕当A 为转移矩阵时﹐2A 也是转移矩阵（式中2A 代表A 与A 的乘积）﹒（6分）第壹部分﹕选择题 一﹑单选题 1.(4) 2.(1) 二﹑多选题3.(1)(2)4.(1)(3)(4)5.(1)(2)(3)6.(3)(4) 三﹑选填题A.48B.32C.10D.432第贰部分﹕非选择题一﹑(1)(2)2a =﹐b =二﹑(1),,,a b c d 都大于或等于0﹐且1a c +=﹐1b d +=﹒ (2)略﹒第壹部分﹕选择题 一﹑单选题1. 出处﹕选修(I) 第一章 机率与统计(II) 解析﹕依题意﹐只能推得()00.6P A B ≤⋂≤﹐而()P A B ⋂的值不确定﹒(1) 因为()()()()()1.2P A B P A P B P A B P A B ⋃=+-⋂=-⋂﹐所以()P A B ⋃的值不确定﹒ (2) ()P A B ⋂的值不确定﹒(3) 因为()()()()|0.6P A B P A B P A B P B ⋂⋂==﹐所以()|P A B 的值不确定﹒(4) 因为()()()|P A B P A B P B ⋂=﹐()()()|P A B P B A P A ⋂=﹐且()()0.6P A P B ==﹐所以()()||P A B P B A =﹒(5) 因为等式()()()P A B P A P B ⋂=⋅不确定成立﹐所以,A B 不确定是独立事件﹒ 故选(4)﹒ 2. 出处﹕第四册 第二章 排列﹑组合解析﹕依中心的颜色分二种情形讨论如下﹕(1) 中心涂蓝色﹕只有下列1种涂法﹒(2) 中心涂红色﹕有下列2种涂法﹒因此﹐共有123+=种涂法﹒故选(1)﹒二﹑多选题3. 出处﹕选修(I) 第一章 机率与统计(II) 解析﹕依题意﹐得知{}128,,,A A A 为样本空间S 的一组分割﹐即这八个事件两两互斥且128A A A S⋃⋃⋃=﹒(1) 因为()()120P A A P ⋂=∅=﹐所以()()()()()()12121212P A A P A P A P A A P A P A ⋃=+-⋂=+﹒ (2) 因为两两互斥﹐所以乙结果为阳性的机率为()()()()()12461246P A A A A P A P A P A P A ⋃⋃⋃=+++﹒ (3) 因为两两互斥﹐所以甲与乙结果一致的机率为()()()()()12781278P A A A A P A P A P A P A ⋃⋃⋃=+++﹒ (4) 因为两两互斥﹐所以甲﹑乙与丙结果一致的机率为 ()()()1818P A A P A P A ⋃=+﹒故选(1)(2)﹒ 4. 出处﹕第四册 第三章 机率与统计(I)解析﹕方案一﹕每人被抽中的机率均为251502=﹒ 方案二﹕在1号到60号中﹐每人被抽中的机率为3286015=﹐ 在61号到100号中﹐每人被抽中的机率为1894020=﹐ 即每人被抽中的机率不相等﹒方案三﹕每人被抽中的机率均为12﹒方案四﹕每人被抽中的机率均为12﹒故选(1)(3)(4)﹒因为(),r π为2log y x =图形上一点﹐所以2log r π=﹐即2r π=﹒ (1) 因为2r π=﹐所以(),r π为2x y =图形上一点﹒(2) 因为122r r π-⎛⎫== ⎪⎝⎭﹐所以(),r π-为12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭图形上一点﹒(3) 因为1121221log log log r πππ--===﹐所以1,r π⎛⎫⎪⎝⎭为12log y x =图形上一点﹒ (4) 因为()2224222rrrππ===≠﹐所以点(),2r π不在4x y =图形上﹒故选(1)(2)(3)﹒ 6. 出处﹕第四册 第三章 机率与统计(I)解析﹕(1) 因为B 组第一题答对率不是100%﹐所以第一题答错的同学有可能属于B 组﹒(2) 因为A ﹐B ﹐C ﹐D 四组答错第二题的人数分别是0﹐20﹐70﹐100﹐所以随机抽出一人﹐此人属于B组的机率为2020.50207010019=<+++﹒(3) 因为全体第一题与第二题答对率分别为 11008070202702740040040P +++===﹐2100803002102140040040P +++===﹐所以122721315%404020P P -=-==﹒ (4) 因为在C 组中﹐两题都答对的最大值为30%﹐即30人﹐所以从C 组中随机抽出一人﹐此人两题都答对的机率不可能大于300.3100=﹒ 故选(3)(4)﹒三﹑选填题A. 出处﹕第一册 第三章 多项式 解析﹕将()f x 与()g x 辗转相除如下（采分离系数法）： 得()f x 与()g x 的最高公因式为()3322x x x x ---=-++﹒因为()h x 为最高公因式且最高次项系数为1﹐所以3()2h x x x =++﹒ 故()(1)241248h h ⨯=⨯=﹒101224+-+--11132++++12144----- 11132----- 1012-+--11- 11132++++ 1012+++ 1012+++ 1012+++11--因为模拟掷铜板16次得9次正面﹐所以16n=﹐916p=﹒故3232===﹒C. 出处﹕选修(I)第二章矩阵解析﹕因为凸四边形的面积为40﹐所以OAB△面积OBC+△面积40=﹒利用三角形面积公式﹐得0010011142121402221261x xx x+=11624022x x⇒+=340x x⇒+=（因为0x>）440x⇒=解得10x=﹒D. 出处﹕选修(I)第三章不等式解析﹕因为在()2,3D点有最小值2348a b+=﹐所以由并行线法得知﹐在()18,27B点有最大值()1827923948432a b a b+=+=⨯=﹒第贰部分﹕非选择题一﹑出处﹕选修(I)第三章不等式解析﹕(1)因为不等式的区域是一个菱形﹐所以其图形如右图所示﹒又分别解206x yx y-=⎧⎨+=⎩与20x yx y-=⎧⎨+=⎩﹐得()2,4A与()0,0O﹒因此﹐菱形的边长为OA===(2) 因为//OA BC ﹐且直线20x y -=的斜率为2﹐所以直线y ax b =-的斜率2a =﹒解20y x b x y =-⎧⎨+=⎩﹐得,33b b C ⎛⎫- ⎪⎝⎭﹒再由菱形的边长为OC ==22209b ⇒=290b ⇒=﹒又因为0b >﹐所以b =﹒故2,a b ==二﹑出处﹕选修(I) 第二章 矩阵 解析﹕(1) 根据转移矩阵的定义﹐得知条件为,,,a b c d 都大于或等于0﹐且1,1a c b d +=+=﹒ (2) 根据矩阵乘积的定义﹐得222a b a b a bcab bd A c d c d ac cdbc d ⎡⎤++⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦﹒ 因为,,,a b c d 都大于或等于0﹐所以2A 的每一个元都是大于或等于0﹒而且由1,1a c b d +=+=﹐得()()()()21a bc ac cd a a c c b d a c +++=+++=+=﹐ ()()()()21ab bd bc d b a c d b d b d +++=+++=+=﹒故当A 为转移矩阵时﹐2A 也是转移矩阵﹒。

台湾省高考真题答案解析近年来，高考成为了台湾省学子们读书的重中之重。

面对繁重的课业压力和竞争激烈的考试环境，考生们都迫切希望了解自己的成绩和答题情况。

本文将对几个典型的台湾省高考真题进行解析，帮助考生们更好地了解自己的成绩和提高答题技巧。

一、语文卷解析语文卷一直被认为是考生们面临的第一大挑战。

去年的一道阅读理解题引起了广泛的讨论。

题目要求考生根据文章内容回答问题，文章描述的是一所中学书法比赛的情景。

该题的难点在于其中涉及了一些古诗词的引用，考生们需要对这些古文有所了解才能作出准确的答案。

此外，语文卷还有写作题，去年的一道写作题备受考生们关注。

题目是关于“环境保护”的话题，要求考生展开想象，以多角度、多层次的方式阐述自己的观点。

这道题目考察了考生的写作思维和逻辑能力。

二、数学卷解析数学卷一直是台湾省高考最考验学生逻辑思维和运算能力的科目之一。

去年的数学卷中，一道关于平行线性质的题目引发了热议。

该题要求考生用恰当的方法证明两条平行线之间的角相等。

由于这道题目在很多教材中并没有详细讲解，所以对于很多考生来说是一道难题。

在数学卷中，还有一道应用题备受考生关注。

该题是关于投资的问题，要求考生计算在不同投资方案下的收益率。

这道题目考察了考生的计算能力和分析问题的能力。

三、英语卷解析英语卷一直是很多考生们的强项，但也有一些题目需要特别注意。

去年的英语卷中，一道关于语法的填空题引起了广泛的讨论。

该题要求考生根据句子的语境选择适当的词汇填空，考察考生对词汇的掌握和句子结构的理解。

此外，英语卷还有一道阅读理解题备受关注。

该题是关于环境问题的文章，要求考生根据文章内容回答问题。

这道题目考察了考生的阅读能力和理解能力。

总结起来，台湾省高考的真题解析旨在帮助考生们了解自己的成绩和提高答题技巧。

每一年的真题都有一定的难点，考生们在备考过程中要重点关注这些问题，并结合自己的实际情况进行准备。

最重要的是，考生们要保持良好的心态，相信自己的实力，才能取得好成绩。

台湾省2024高三冲刺（高考数学）统编版真题(提分卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题设复数，则（ ）A．1B．2C．D．第(2)题已知i是虚数单位，若是实数，则实数（）A．2B．-2C．1D．-1第(3)题用分层抽样的方法从某社区的500名男居民和700名女居民中选取12人参与社区服务满意度调研，则女居民比男居民多选取（）A．8人B．6人C．4人D．2人第(4)题已知为第二象限角，，则.A．B．C．D．第(5)题函数的最小正周期是（）A．B．C．D．第(6)题为：的焦点，点在曲线上，且在第一象限，若，且直线斜率为，则的面积（）A．1B．C．2D．第(7)题在如图所示的实验装置中，两个正方形框架，的边长都为1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子，分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记．则下列结论错误的是（）A ．该模型外接球的半径为B．当时，的长度最小C．异面直线与所成的角为60°D．平面第(8)题已知，，则下列选项正确的是（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅里叶，法国欧塞尔人，著名数学家、物理学家．他发现任何周期函数都可以用正弦函数或余弦函数构成的无穷级数来表示，如定义在R上的函数，当时，有，则（）．A．函数的最小正周期为B ．点是函数图象的对称中心C．D．第(2)题已知异面直线与直线，所成角为，平面与平面所成的二面角为，直线与平面所成的角为，点为平面、外一定点，则下列结论正确的是（）A．过点且与直线、所成角均为的直线有3条B．过点且与平面、所成角都是的直线有4条C．过点作与平面成角的直线，可以作无数条D．过点作与平面成角，且与直线成的直线，可以作3条第(3)题设，是两个平面，，是两条直线，下列命题正确的是（）A．如果，，那么.B．如果，，那么.C．如果，，，那么.D．如果内有两条相交直线与平行，那么.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知椭圆为参数，，的焦点分别、，点为椭圆的上顶点，直线与椭圆的另一个交点为．若，则椭圆的普通方程为 __．第(2)题在二项式的展开式中，系数为有理数的项的个数是_____.第(3)题二次函数的图象经过坐标原点，若其导函数为，则________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知点是平面直角坐标系中异于原点的一个动点，过点且与轴垂直的直线与直线交于点，且向量与向量垂直.（1）求点的轨迹方程；（2）设位于第一象限，以为直径的圆与轴相交于点，且，求的值.第(2)题已知函数．(1)求曲线在处的切线方程；(2)设函数，求的单调区间．第(3)题已知椭圆C：＝1的左焦点为F，右顶点为A，离心率为，M为椭圆C上一动点，面积的最大值为．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点M的直线l：y=kx+1与椭圆C的另一个交点为N，P为线段MN的中点，射线OP与椭圆交于点D．点Q为直线OP上一动点，且，求证：点Q到x轴距离为定值．第(4)题已知数列前项和为，且，，等差数列满足：，.（1）求数列，的通项公式；（2）设，证明：，.第(5)题已知函数.（1）当时，是否存在唯一的，使得？并说明理由.（2）讨论的极值点的个数.。

2011年台湾区第二次高考数学甲 试题与参考答案第壹部分﹔选择题（单选题、多选题及选填题共占76分） 一﹑单选题（24分）说明﹔第1题至第4题﹐每题5个选项﹐其中只有1个是最适当的选项﹐画记在答案卡之「解答栏」﹒各题答对得6分﹐未作答、答错、或画记多于1个选项者﹐该题以零分计算﹒ ( )1. 考虑坐标平面上满足25xy=的点(),P x y ﹐试问下列哪一个选项是错误的﹕(1)()0,0是一个可能的P 点 (2)()lo g 5,lo g 2是一个可能的P 点 (3)点(),P x y 满足0xy ≥(4)所有可能的点(),P x y 构成的图形为一直线 (5)点P 的x ﹐y 坐标可以同时为正整数﹒( )2. 将1﹑2﹑3﹑4四个数字随机填入右方22⨯的方格中﹐每个方格中恰填一数字﹐但数字可重复使用﹒试问事件「A 方格的数字大于B 方格的数字﹑且C 方格的数字大于D 方格的数字」的机率为多少﹕ (1)116(2)964(3)2564(4)9256(5)25256﹒( )3. 将一圆的六个等分点分成两组相间的三点﹐它们所构成的两个正三角形扣除内部六条线段后可以形成一正六角星﹐如图所示的正六角星是以原点O 为中心﹐其中x ﹐y 分别为原点O到两个顶点的向量﹒若将原点O 到正六角星12个顶点的向量﹐都写成为a x b y + 的形式﹐则a b+的最大值为何﹕(1)2 (2)3 (3)4 (4)5 (5)6﹒( )4. 设f 为实系数三次多项式函数﹒已知五个方程式的相异实根个数如下表所述﹔关于f 的极小值α(1)α不存在 (2)2010α-<<- (3)100α-<< (4)010α<< (5)1020α<<﹒注﹔极小值是指相对极小值﹐或称为局部极小值﹒二﹑多选题（24分）说明﹔第5题至第7题﹐每题有4个选项﹐其中至少有1个是正确的选项﹒选出正确选项﹐画记在答案卡之「解答栏」﹒各题之选项独立判定﹐所有选项均答对者﹐得8分﹐答错1个选项者﹐得4分﹐所有选项均未作答或答错多于1个选项者﹐该题以零分计算﹒ ( )5.设49a Ab ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦﹑67B cd ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦﹒已知310215A B ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦且A 的行列式之值为2﹐试问下列哪些选项是正确的﹕ (1)942a b-=- (2)24a c =- (3)15d =-(4)41094901b a a b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦﹒( )6. 假设两地之间的通话费﹐第一个半分钟是5元﹐之后每半分钟是2元﹐不满半分钟以半分钟计算﹐则t 分钟的通话费()C t 公式如下（单位元）﹓()[]5212C t t =--﹐其中[]x 表示小于或等于x 的最大整数﹐例如﹔[]3.53=﹐[]3.14-=-﹐[]55-=-等﹒试问下列哪些选项是正确的﹕(1)10分钟的通话费是43元 (2)在0t ≥时﹐[][]1221t t -=--恒成立 (3)()10.5lim 45t C t →=(4)()11.2lim 49t C t →=﹒( )7. 在坐标空间中﹐有一边长为2﹑中心在原点O 的正立方体﹐且各棱边都与三坐标平面平行或垂直﹐如图所示﹒已知()1,1,0A -﹑()0,1,1B -﹑()1,0,1C -这三点都是某平面E 和正立方体棱边的交点﹒试问下列哪些点也是平面E 和正立方体棱边的交点﹕ (1)11,,122⎛⎫-⎪⎝⎭(2)()1,1,0- (3)()0,1,1-- (4)()2,1,1-﹒三﹑选填题（28分）说明﹔第A 题至第D 题为选填题﹐将答案画记在答案卡之「解答栏」所标示的列号（8 – 15）内﹒每一题完全答对得7分﹐答错不倒扣﹓未完全答对不给分﹒ A. 如图所示﹐P Q R S 为一给定的矩形﹐长12P Q=﹑宽5Q R =﹐而△A B C 为等腰三角形﹐其中A BA C=﹐P ﹑Q 在B C 边上﹐R ﹑S 分别在C A ﹑A B 边上﹐则当△A B C中B C 边上的高为 ○8○9 时﹐△A B C 的面积为最小﹒ B. 某手机公司共有甲﹑乙﹑丙三个生产线﹐依据统计﹐甲﹑乙﹑丙所制造的手机中分别有5%﹐3%﹐3%是瑕疵品﹒若公司希望在全部的瑕疵品中﹐由甲生产线所制造的比例不得超过512﹐则甲生产线所制造的手机数量可占全部手机产量的百分比至多为 ○10○11 %﹒ C. 坐标平面上﹐已知函数()342f x x x =+-的图形以()1,3A 为切点的切线为L ﹐则以切线L 及曲线()y fx =为界所围成区域的面积为 ○12○13 ﹒D. 坐标空间中﹐若平面:1Eax by cz ++=满足以下三条件﹔(1)平面E 与平面:1Fx y z ++=有一夹角为30︒﹐(2)点()1,1,1A 到平面E 的距离等于3﹐ (3)0a b c++>﹐则a b c ++的值为﹒（化成最简分数）第贰部分﹔非选择题（占24分）说明﹔本大题共有二题计算证明题﹐答案务必写在答案卷上﹐并于题号栏标明题号(一﹑二)与子题号((1)﹑(2))﹐同时必须写出演算过程或理由﹐否则将予扣分﹒务必使用笔尖较粗之黑色墨水的笔书写﹐且不得使用铅笔﹒每题配分标于题末﹒ 一﹑已知实系数三次多项式函数()yfx =的最高次项系数为12﹐其图形与水平线25y =交于相异的三点()0,25﹐()1,25及()2,25﹒ (1)试求曲线()yfx =图形上的反曲点坐标﹒（6分）(2)试求定积分()20fx d x ⎰之值﹒（6分）二﹑(1)试求所有满足()32lo g 1241201x x x -+-≥的x值之范围﹒（6分）(2)试证﹔当322πθπ≤≤时﹐cos 1sin 33θθ+≥﹒（6分）○14 ○15第壹部分﹔选择题 一﹑单选题1.(5)2.(2)3.(4)4.(3) 二﹑多选题5.(1)(3)6.(1)(4)7.(2) 三﹑选填题A. 10B. 30C. 27D.13第贰部分﹔非选择题 一﹑(1)()1,25 (2)50 二﹑(1)15x ≤≤或6x≥ (2)略第壹部分﹔选择题 一﹑单选题1. 出处﹔第二册 第一章 指数与对数 解析﹔ 将25xy=两边取lo g ﹐得log 2log 5xy=﹐即log 2log 5x y =﹒(1) 因为()(),0,0x y =满足25xy=﹐所以()0,0是一个可能的P 点﹒(2) 因为()(),log 5,log 2x y =满足log 2log 5x y =﹐所以()log 5,log 2是一个可能的P 点﹒ (3) 由log 2log 5x y =﹐知x 与y 同号﹐所以0xy≥﹒(4) 因为(),P x y 满足()()log 2log 50x y -=﹐所以(),P x y 构成的图形为一直线﹒(5) 若,x y 同时为正整数﹐则2x 为偶数﹐5y 为奇数﹐这与25xy=矛盾﹒因此﹐,x y 不可以同时为正整数﹒ 故选(5)﹒2. 出处﹔第四册 第三章 机率与统计(I) 解析﹔因为将4个相异数字可重复的填入4个方格中﹐所以样本空间共有44256=个元素﹒设填入A ,B 两方格的数字分别为,a b ﹐且ab>﹒此时数对(),a b 有以下6种情形﹔()()()()()()2,1,3,1,3,2,4,1,4,2,4,3﹒ 同理﹐填入C ,D 两方格的数字也有6种情形﹒ 因此﹐所求机率为66925664⨯=﹒故选(2)﹒3. 出处﹔第三册 第一章 向量 解析﹔因为想求a b +的最大值﹐所以考虑右图中的6个顶点之向量即可﹒讨论如下﹔ (1) 因为O A x= ﹐所以()(),1,0a b =﹒ (2) 因为3O B O F F B y x =+=+ ﹐所以()(),3,1a b =﹒ (3) 因为2O C O F F C y x =+=+ ﹐所以()(),2,1a b =﹒(4) 因为223O D O F F E E D y x O C y x y x y x⎛⎫=++=++=+++=+ ⎪⎝⎭﹐所以()(),3,2a b =﹒(5)因为O E O F F E y x =+=+ ﹐所以()(),1,1a b =﹒(6)因为O F y = ﹐所以()(),0,1a b =﹒因此﹐a b +的最大值为325+=﹒故选(4)﹒4. 出处﹔选修(II) 第二章 导函数的应用 解析﹔ 「方程式()0()f x k f x k-=⇔=的相异实根数」等于「函数()yf x =与水平线yk=两图形的交点数﹒」依题意可得两图形的略图有以下两种情形﹔ (1) 当()f x 的最高次项系数为正时﹔ (2) 当()f x 的最高次项系数为负时﹔因为极小值点A 位于两水平线0y =与10y =-之间﹐所以其y 坐标α（即极小值）的范围为 100α-<<﹒故选(3)﹒二﹑多选题5. 出处﹔选修(I) 第二章 矩阵 解析﹔(1) 因为()det 2A =﹐所以492b a-=﹐即942a b-=-﹒(2) 利用矩阵乘积的定义﹐得467242895463a a c a d A B b cd b cb d ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦﹒因为310215A B⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦﹐所以根据矩阵相等的定义﹐得2432128101854256631548a c a c a d a d b c b c b d b d +==-⎧⎧⎪⎪+==-⎪⎪⇒⎨⎨+=-=-⎪⎪⎪⎪+==-⎩⎩ ●❍⏹(3) 由②÷④﹐得3388a a bb=⇒=﹐代入①﹐得27428b b -=-165b ⇒=﹒代入⑤﹐得1648155d d =-⇒=-﹒(4) 因为11942b a A--⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦﹐且1A AI-=﹐所以410194912b a a b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦﹐即4102029490102b a a b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦﹒故选(1)(3)﹒6. 出处﹔选修(II) 第一章 多项式函数的极限与导数 解析﹔ (1) ()[][]()105212105219521943C =--⨯=--=-⨯-=﹒(2) 错﹐例如﹔当0.10t =≥时﹐[][]120.80t -==﹐[][]()210.811t --=--=--=﹒此时[][]1221t t -=--不成立﹒(3) 因为()()10.5lim 522147t C t +→=-⨯-=﹐()()10.5lim 522045t C t -→=-⨯-=﹐即()()10.510.5lim lim t t C t C t +-→→≠﹐所以()10.5lim t C t →不存在﹒(4)()()11.2lim 522249t C t →=-⨯-=﹒故选(1)(4)﹒7. 出处﹔第三册 第二章 空间向量 解析﹔因为外积A B A C ⨯=()()1,2,12,1,1--⨯-()3,3,3=﹐所以()1,1,1是平面E 的一个法向量﹒又因为E 过点()1,1,0A -﹐所以:0E x y z ++=﹒因为P 是三个平面:0E x y z ++=﹐1x =与1z =-的共同交点﹐所以解011x y z x z ++=⎧⎪=⎨⎪=-⎩﹐得()1,0,1P -﹒ 同理﹐解011x y z x y ++=⎧⎪=-⎨⎪=⎩﹐得()1,1,0Q -﹒解011x y z y z ++=⎧⎪=-⎨⎪=⎩﹐得()0,1,1R -﹒ 因此﹐平面E 和棱边除,,A B C 外的另三个交点为()1,0,1P -﹐()1,1,0Q -﹐()0,1,1R -﹒故选(2)﹒三﹑选填题A. 出处﹔选修(I) 第三章 不等式 解析﹔设B C 边上的高为x ﹐2B C y=（x ﹐0y >）﹐则A B C △的面积为22y x xy⋅=﹒因为AH C△～A T R△﹐所以565656x x x xy y x y xyy-=⇒=-⇒+=﹒利用算几不等式﹐得226530120224x yxy x y xy xy +≥⇒≥≥⇒≥﹒当65xy=时等号成立﹒解联立方程式6565x yx y xy=⎧⎨+=⎩得10,12xy ==﹒故当B C 边上的高10x =时﹐A B C△的面积xy 有最小值120（平方单位）﹒B. 出处﹔选修(I) 第三章 不等式 解析﹔设甲乙丙三生产线制造的手机占全部手机的产量分别为%,%x y 与%z （x ﹐y ﹐0z ≥）﹐且100x y z ++=﹒依题意﹐可列得%5%5%5%%3%%3%12x x y z ⨯≤⨯+⨯+⨯⇒()555312x x y z ≤++()555310012xx x ⇒≤+-55300212x x⇒≤+两边同乘()123002x +﹐得 6015001030x x x ≤+⇒≤﹒故甲生产线制造的手机占全部手机产量至多30%﹒C. 出处﹔选修(II) 第三章 多项式函数的积分解析﹔ 函数()f x 的导函数为()2121f x x '=+﹒因为切线L 的斜率为(1)13f '=﹐所以:313(1)L y x -=-﹐即:1310L yx =-﹒解联立方程式3421310y x x y x ⎧=+-⎨=-⎩﹐得341280x x -+=3320x x ⇒-+=()()2120x x ⇒-+=2x ⇒=-或1﹐即切线L 与曲线()yf x =交于()1,3A 与()2,36B --两点﹒又在区间[]2,1-上﹐3421310x x x +-≥-都成立﹒故所求区域面积为()()()132421310x x x d x -+---⎰()1324128xx d x-=-+⎰()142268x x x -=-+()32427=--=﹒D. 出处﹔第三册 第二章 空间向量 解析﹔由(1)知﹐两平面的法向量(),,a b c 与()1,1,1的夹角为30︒或150︒﹐由两向量夹角公式﹐得2=±a b c ⇒++=±又由(3)﹔0a b c ++>﹐得a b c++=﹐即()23a b c =++﹒ ○1 再由(2)3=﹐即1a b c ++-=± ○2 将○1代入○2﹐得()12a b c a b c ++-=±++﹒解得1a b c ++=-或13﹒因为0a b c ++>﹐所以13a b c++=﹒第贰部分﹔非选择题一﹑出处﹔选修(II) 第三章 多项式函数的积分解析﹔ (1)因为三次函数()f x 的最高次项系数为12﹐且(0)(1)(2)25f f f ===﹐所以()()()()1201225f x x x x =---+3212362425x x x =-++﹒计算f ' (x )与f '' (x )﹐得2()367224f x x x '=-+﹐()7272f x x ''=-﹒当()0f x ''=时﹐解得1x =﹒故反曲点为()()1,(1)1,25f =﹒(2)()22320()12362425f x d x xx x d x=-++⎰⎰()24323121225x x x x =-++50050=-=﹒二﹑出处﹔选修(I) 第三章 不等式解析﹔ (1)()32lo g 1241201x x x -+-≥ ()32lo g 124120lo g 10x x x ⇒-+-≥3212412010x x x ⇒-+-≥321241300x x x ⇒-+-≥()()()1560x x x ⇒---≥15x ⇒≤≤或6x ≥﹒又当15x ≤≤或6x≥时﹐32321241201241300x x x x x x -+->-+-≥﹐ 即真数32124120x x x -+-为正数﹐符合对数的定义﹒故满足原不等式的x 值之范围为15x ≤≤或6x≥﹒(2)将sin cos θθ-化为正弦函数的形式﹐得s i n c o s θθ-11s4πθθθ⎫⎛⎫=-=- ⎪⎪⎝⎭⎭﹒因为322πθπ≤≤﹐即57444πππθ≤-≤﹐所以1sin 4πθ⎛⎫-≤-≤-⎪⎝⎭因此﹐14πθ⎛⎫≤-≤- ⎪⎝⎭﹐即sin cos 1θθ≤-≤-﹒由sin cos 1θθ-≤-﹐整理得 cos 1sin θθ≥+﹒又因为底数31>﹐所以cos 1sin 33θθ+≥﹒。

台湾省2024高三冲刺（高考数学）统编版考试(提分卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知椭圆为左､右焦点，为椭圆上一点，，直线经过点.若点关于的对称点在线段的延长线上，则的离心率是（）A．B．C．D．第(2)题函数的部分图象如图所示，是等腰直角三角形，其中两点为图象与轴的交点，为图象的最高点，且，则（）A．B．C．D．第(3)题已知，则的大小关系是（）A．B．C．D．第(4)题已知函数，若函数有且只有3个零点，则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．第(5)题已知直线和直线，拋物线上一动点到直线直线的距离之和的最小值是（）A．2B．3C．D．第(6)题已知，则（）A．B．C．D．第(7)题下图为某四面体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．B．C．D．第(8)题某批农产品的质量（单位：千克）服从正态分布，且其中质量大于0.7的数量等于质量小于0.4的数量，则下列四部分中（）A．质量小于0.4的农产品数量最多B．质量大于1.09的农产品数量最多C．质量大于0.7的农产品数量最多D．质量小于0.55的农产品数量最多二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知函数的定义域为，且，，则（）A．B．为奇函数C．3是函数的周期D．第(2)题已知函数，且对恒成立，则（）A．B ．的图象关于点对称C．若方程在上有2个实数解，则D．的图象与直线恰有5个交点第(3)题设随机变量的分布列如下：123 (20222023)…则下列说法正确的是（）A．当为等差数列时，B．数列的通项公式可能为C ．当数列满足时，D．当数列满足时，三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题的展开式中含项的系数为______．（用数字作答）第(2)题已知数列满足，其中，则数列的前项和为______.第(3)题若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围为___________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题欧拉（1707-1783），他是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式，从而建立了三角函数和指数函数的关系，若将其中的取作就得到了欧拉恒等式，它是令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来，两个超越数——自然对数的底数，圆周率，两个单位——虚数单位和自然数单位，以及被称为人类伟大发现之一的，数学家评价它是“上帝创造的公式”，请你根据欧拉公式：，解决以下问题：(1)将复数表示成（，为虚数单位）的形式；(2)求的最大值；(3)若，则，这里，称为的一个次单位根，简称单位根．类比立方差公式，我们可以获得，复数，，求的值．第(2)题在平面直角坐标系中，双曲线的离心率为，实轴长为4.(1)求C的方程；(2)如图，点A为双曲线的下顶点，直线l过点且垂直于y轴（P位于原点与上顶点之间），过P的直线交C于G，H两点，直线AG，AH分别与l交于M，N两点，若O，A，N，M四点共圆，求点P的坐标.第(3)题已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为，第一象限的点为双曲线上一点，若的平分线与轴交于点，且．(1)求双曲线的标准方程；(2)过作直线的垂线，垂足为，若四边形的面积为，的面积为，求的取值范围．第(4)题如图所示，矩形中，，.、分别在线段和上，，将矩形沿折起.记折起后的矩形为，且平面平面.(1)求证：平面；(2)若，求证：；(3)求四面体体积的最大值第(5)题已知集合，或.（1）若，求的取值范围；（2）若，求的取值范围.。

2018年台湾地区指考（数学）试题特色赏析
作者：钟劲松
来源：《中学数学杂志(高中版)》2019年第03期
1;指定科目考试介绍
2018年台湾地区指定科目考试（简称“指考”，相当于大陆的高考）于7月1日至3日进行，其中数学学科分为数学甲（自然组）和数学乙（人文组）.指定科目考试测验范围以高一、高二、高三的必修及选修课程纲要为准，成绩采用百分制，用于大学考试入学招生.各校系可依其特色及需求，就十个考科（国文、英文、数学甲、数学乙、历史、地理、公民与社会、物理、化学、生物）当中，指定某些考科，以考试成绩选才;而考生则依个人兴趣与能
力，就其志愿校系所指定的考試科目，自由选择应考，即“校系指定，考生选考”的双向选择.。