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（备战中考）中考数学深度复习讲义（教案+中考真题+模拟试题+单元测试）尺规作图◆考点聚焦1．掌握基本作图，尺规作图的要求与步骤．2．利用基本作图工具画三角形、四边形、圆以及简单几何体的三视图，•对简单的作图能叙述作法．3．运用基本作图、结合相关的数学知识（平移、旋转、对称、•位似）等进行简单的图案设计．4．运用基本作图解决实际问题．◆备考兵法1．熟练掌握基本作图．2．在画几何体的三视图时，要注意其要求，•即“长对正”“高平齐”“宽相等”．3．认真分析题意，善于把实际问题转化为基本作图．◆识记巩固1．尺规作图的定义：_____________．2．基本作图包括：_______，_______，________，________，_______．3．三角形三边的垂直平分线的交点叫三角形的外心，•三角形三内角平分线的交点叫三角形的内心，外心到三角形的_______的距离相等，内心到三角形_______的距离相等．识记巩固参考答案:1．限定只能使用圆规和没有刻度的直尺作图2．作线段作角作线段的垂直平分线过一点作已知直线的垂线作角平分线3．顶点三边◆典例解析例1(2011重庆綦江，19，6分)为了推进农村新型合作医疗制度改革,准备在某镇新建一个医疗点P，使P到该镇所属A村、B村、C村的村委会所在地的距离都相等(A、B、C不在同一直线上，地理位置如下图），请你用尺规作图的方法确定点P的位置.要求:写出已知、求作；不写作法，保留作图痕迹．解：已知：求作：【答案】：解：已知：A、B、C三点不在同一直线上.求作：一点P，使PA＝PB＝PC.(或经过A 、B 、C 三点的外接圆圆心P )正确作出任意两条线段的垂直平分线，并标出交点P例2如图，已知∠AOB ，OA=OB ，点E 在OB 边上，四边形AEBF 是矩形．请你只用无刻度的直尺在图中画∠AOB 的平分线（请保留画图痕迹）．解析连结AB ．因为OA=OB ，因此△ABO 为等腰三角形．要作出∠AOB 的平分线，•只要确定出AB 的中点即可．因AEBF 为矩形，因此连结AB ，EF ，相交于M ．根据矩形的性质，M 即为AB 的中点．连结OM ，射线OM 即为所求的角平分线．例3台球是一项高雅的体育运动，其中包含了许多物理学，几何学知识．如图是一个台球桌，目标球F 与本球E 之间有一个G 球阻挡，现在击球者想通过击打E 球先撞击球台的AB 边，经过一次反弹后再撞击F 球，他应将E 球打到AB 边上的哪一点？•请在图中用尺规作图这一点H ，并作出E 球的运行路线（不写画法，保留作图痕迹）．解析作点E 关于直线AB 的对称点E 1，连结E 1F ，E 1F 与AB 相交于点H ，球E•的运动路线是EH →HF ．[来源:中.考.资.源.网]点评本例是把实际问题通过抽象，把求H 点的问题先转化为作E•点关于直线AB 的对称点问题加以解决．数学课程标准对尺规作图提出了明确要求，是中考的重要内容之一，在复习时要掌握基本作图，要善于把具体问题的作图转化为基本作图．•学会对作图问题进行分析，归纳，掌握画法．2011年真题一、选择题1.（2011浙江绍兴，8，4分）如图，在ABC ∆中，分别以点A 和点B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于点,M N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD .若ADC ∆的周长为10，7AB =，则ABC ∆的周长为（）A.7B.14C.17D.20【答案】C三、解答题1.（2011江苏扬州，26,10分）已知，如图，在Rt △ABC 中，∠C=90o ，∠BAC 的角平分线AD 交BC 边于D 。
尺规作图尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图五种基本作图：1、作一条线段等于已知线段；2、作一个角等于已知角；3、作已知线段的垂直平分线；4、作已知角的角平分线；5、过一点作已知直线的垂线；题目一：作一条线段等于已知线段。
已知：如图，线段 a . 求作：线段AB，使AB = a . 作法：①作射线AP ；②在射线AP 上截取AB=a . 则线段AB 就是所求作的图形。
题目二：作已知线段的中点。
已知：如图，线段MN. 求作：点O ，使MO=NO （即O 是MN 的中点）作法：①分别以M、N 为圆心，大于1/2MN 的相同线段为半径画弧，两弧相交于P，Q ；②连接PQ 交MN 于O ．则点O 就是所求作的ＭＮ的中点。
（试问：PQ 与ＭＮ有何关系？）题目三：作已知角的角平分线。
已知：如图，∠AOB ，求作：射线OP, 使∠ AOP ＝∠ BOP （即OP 平分∠ AOB ）作法：①以O 为圆心，任意长度为半径画弧，分别交OA ，OB 于M，N；②分别以M 、Ｎ为圆心，大于1/2MN 的相同线段为半径画弧，两弧交∠ AOB 内于Ｐ；③作射线OP。
则射线OP 就是∠AOB 的角平分线。
题目四：作一个角等于已知角。
（请自己写出“已知”“求作”并作出图形，不写作法）题目五：已知三边作三角形。
已知：如图，线段a，b，c.求作：△ ABC ，使AB = c ，AC = b ，BC = a. 作法：① 作线段AB = c ；② 以 A 为圆心 b 为半径作弧，以 B 为圆心a 为半径作弧与前弧相交于C；③连接AC ，BC 。
则△ABC 就是所求作的三角形。
题目六：已知两边及夹角作三角形。
已知：如图，线段m ，n, ∠ . 求作：△ABC，使∠A= ∠ ，AB=m ，AC=n. 作法：① 作∠ A= ∠ ；② 在AB 上截取AB=m ,AC=n ；③连接BC 。
则△ABC 就是所求作的三角形。
题目七：已知两角及夹边作三角形已知：如图，∠ ，∠ ，线段m .求作：△ABC，使∠A= ∠，∠ B= ∠,AB=m.作法：① 作线段AB=m ；② 在AB 的同旁作∠ A= ∠ ，作∠ B=∠∠A 与∠B 的另一边相交于C则△ABC 就是所求作的图形（三角形）一、尺规基本作图归纳1、作一条线段等于已知线段；2、作一个角等于已知角；3、作角的平分线；4、作线段的中垂线；5、已知三边 ,两边和其夹角或两角和其夹边作三角形 ;6、已知底边和底边上的高作等腰三角形；7、过直线上一点作直线的垂线；8、过直线外一点作直线的垂线 .例题：1、如图 ,有一破残的轮片 ,现要制作一个与原轮片同样大小的圆形零件 ,请你根据所学的有关知识 ,设计一种方案 ,确定这个圆形零件的半径 .2、 如图:107国道OA 和320国道 OB 在某市相交于点 O,在∠AOB 的内部有工厂 C 和D,现要修建一个货站 P,使P 到OA 、 OB 的距离相等且 PC=PD, 用尺规作出货站 P 的位置 （不写作法 ,保留作图痕迹 ,写出结论 ）3、要求到三条公路的距离相等，问满足要求的加油站地址有几种情况？A公路两两个加油站，6、过直线外一点 A 作圆 O的切线4、过点 C 作一条线平行于 AB ；5、过不在同一直线上的三点 A 、 B 、C 作圆 O ；二、几何画图 ：1、只利用一把有刻度的直尺 ,用度量的方法 ,按下列要求画图 : 1）画等腰三角形 ABC 的对称轴 : 2）画∠ AOB 的对称轴2、有一个未知圆心的圆形工件 .现只允许用一块三角板（注：不允许用三角板上的刻度）画出该工件表面上的一条直径并定出圆心 .要求在图上保留画图痕迹，写出画法 .3、某校有一个正方形的花坛，现要将它分成形状和面积都相同的四块种上不同颜色的花卉，请你帮助设计至少三种不同的 方案，分别画在下面正方形图形上（用尺规作图或画图均可，但要尽可能准确些、美观些） ．4、某村一块若干亩土地的图形是Δ ABC ，现决定把这块土地平均分给四位 “花农”种植，请你帮他们分一分，提供至少两种 分法。
中考数学专题练习尺规作图知识归纳一尺规作图1．定义只用没有刻度的和作图叫做尺规作图．2．步骤①根据给出的条件和求作的图形,写出已知和求作部分；②分析作图的方法和过程；③用直尺和圆规进行作图；④写出作法步骤,即作法．二五种基本作图1．作一条线段等于已知线段；2．作一个角等于已知角；3．作已知角的平分线；4．过一点作已知直线的垂线；5．作已知线段的垂直平分线．三基本作图的应用1．利用基本作图作三角形1已知三边作三角形；2已知两边及其夹角作三角形；3已知两角及其夹边作三角形；4已知底边及底边上的高作等腰三角形；5已知一直角边和斜边作直角三角形．2．与圆有关的尺规作图1过不在同一直线上的三点作圆即三角形的外接圆．2作三角形的内切圆．基础检测1．如图,在平面直角坐标系中,以O 为圆心,适当长为半径画弧,交x 轴于点M ,交y 轴于点N ,再分别以点M 、N 为圆心,大于MN 的长为半径画弧,两弧在第二象限交于点P ．若点P 的坐标为2a ,b +1,则a 与b 的数量关系为A ．a =bB ．2a +b =﹣1C ．2a ﹣b =1D ．2a +b =12.如图,已知△ABC ,以点B 为圆心,AC 长为半径画弧；以点C 为圆心,AB 长为半径画弧,两弧交于点D ,且点A ,点D 在BC 异侧,连结AD ,量一量线段AD 的长,约为A ．2.5cmB ．3.0cmC ．3.5cmD ．4.0cm3.如图,已知△ABC,∠BAC=90°,请用尺规过点A 作一条直线,使其将△ABC 分成两个相似的三角形保留作图痕迹,不写作法4.如图,在边长为1的正方形网格中,△ABC 的顶点均在格点上,点A 、B 的坐标分别是A4,3、B4,1,把△ABC 绕点C 逆时针旋转90°后得到△A 1B 1C ．1画出△A 1B 1C,直接写出点A 1、B 1的坐标；2求在旋转过程中,△ABC 所扫过的面积．5．如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的12×12网格中,给出了四边形ABCD 的两条边AB 与BC,且四边形ABCD 是一个轴对称图形,其对称轴为直线AC ．1试在图中标出点D,并画出该四边形的另两条边；2将四边形ABCD 向下平移5个单位,画出平移后得到的四边形A′B′C′D′．6．已知：线段a 及∠ACB．求作：⊙O,使⊙O 在∠ACB 的内部,CO=a,且⊙O 与∠ACB 的两边分别相切．7．如图,OA=2,以点A 为圆心,1为半径画⊙A 与OA 的延长线交于点C,过点A 画OA 的垂线,垂线与⊙A 的一个交点为B,连接BC1线段BC 的长等于 ； 2请在图中按下列要求逐一操作,并回答问题：①以点 为圆心,以线段的长为半径画弧,与射线BA 交于点D,使线段OD 的长等于A B C②连OD,在OD上画出点P,使OP得长等于,请写出画法,并说明理由．达标检测一、选择题1．如图,在△ABC中,∠B=55°,∠C=30°,分别以点A和点C为圆心,大于AC的长为半径画弧,两弧相交于点M,N,作直线MN,交BC于点D,连接AD,则∠BAD的度数为A．65° B．60° C．55° D．45°2.如图,已知钝角△ABC,依下列步骤尺规作图,并保留作图痕迹.步骤1：以C为圆心,CA为半径画弧错误!；步骤2：以B为圆心,BA为半径画弧错误!,将弧错误!于点D；步骤3：连接AD,交BC延长线于点H.下列叙述正确的是第10题图A．BH垂直分分线段AD B．AC平分∠BAD=BC·AH D．AB=ADC．S△ABC二、填空题3.如图,已知线段AB,分别以点A和点B为圆心,大于AB的长为半径作弧,两弧相交于C、D两点,作直线CD交AB于点E,在直线CD上任取一点F,连接FA,FB．若FA=5,则FB= ．4.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以A为圆心,任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N,再分别以M、N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧交于点P,连结AP并延长交BC于点D,则下列说法中正确的是 ;①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3．三、解答题5.12分图1是某公交公司1路车从起点站A站途经B站和C站,最终到达终点站D站的格点站路线图．8×8的格点图是由边长为1的小正方形组成1求1路车从A站到D站所走的路程精确到；2在图2、图3和图4的网格中各画出一种从A站到D站的路线图．要求：①与图1路线不同、路程相同；②途中必须经过两个格点站；③所画路线图不重复6.7分图1、图2是两张形状和大小完全相同的方格纸,方格纸中每个小正方形的边长均为1,线段AC 的两个端点均在小正方形的顶点上．1如图1,点P在小正方形的顶点上,在图1中作出点P关于直线AC的对称点Q,连接AQ、QC、CP、PA,并直接写出四边形AQCP的周长；2在图2中画出一个以线段AC为对角线、面积为6的矩形ABCD,且点B和点D均在小正方形的顶点上．7.如图,已知△ABC,∠BAC=90°,请用尺规过点A作一条直线,使其将△ABC分成两个相似的三角形保留作图痕迹,不写作法8.如图,已知BD是矩形ABCD的对角线．1用直尺和圆规作线段BD的垂直平分线,分别交AD、BC于E、F保留作图痕迹,不写作法和证明．2连结BE,DF,问四边形BEDF是什么四边形请说明理由．9.如图,方格中,每个小正方形的边长都是单位1,△ABC在平面直角坐标系中的位置如图．1画出将△ABC向右平移2个单位得到△A1B1C1；2画出将△ABC绕点O顺时针方向旋转90°得到的△A2B2C2；3求△A1B1C1与△A2B2C2重合部分的面积．知识归纳答案一尺规作图1．定义只用没有刻度的直尺和圆规作图叫做尺规作图．2．步骤①根据给出的条件和求作的图形,写出已知和求作部分；②分析作图的方法和过程；③用直尺和圆规进行作图；④写出作法步骤,即作法．二五种基本作图1．作一条线段等于已知线段；2．作一个角等于已知角；3．作已知角的平分线；4．过一点作已知直线的垂线；5．作已知线段的垂直平分线．三基本作图的应用1．利用基本作图作三角形1已知三边作三角形；2已知两边及其夹角作三角形；3已知两角及其夹边作三角形；4已知底边及底边上的高作等腰三角形；5已知一直角边和斜边作直角三角形．2．与圆有关的尺规作图1过不在同一直线上的三点作圆即三角形的外接圆．2作三角形的内切圆．基础检测答案1．如图,在平面直角坐标系中,以O 为圆心,适当长为半径画弧,交x 轴于点M ,交y 轴于点N ,再分别以点M 、N 为圆心,大于MN 的长为半径画弧,两弧在第二象限交于点P ．若点P 的坐标为2a ,b +1,则a 与b 的数量关系为A ．a =bB ．2a +b =﹣1C ．2a ﹣b =1D ．2a +b =1解析作图—基本作图；坐标与图形性质；角平分线的性质．根据作图过程可得P 在第二象限角平分线上,有角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得|2a |=|b +1|,再根据P 点所在象限可得横纵坐标的和为0,进而得到a 与b 的数量关系．解答解：根据作图方法可得点P 在第二象限角平分线上,则P 点横纵坐标的和为0,故2a +b +1=0,整理得：2a +b =﹣1,故选：B ．点评此题主要考查了每个象限内点的坐标特点,以及角平分线的性质,关键是掌握各象限角平分线上的点的坐标特点|横坐标|=|纵坐标|．2.如图,已知△ABC ,以点B 为圆心,AC 长为半径画弧；以点C 为圆心,AB 长为半径画弧,两弧交于点D ,且点A ,点D 在BC 异侧,连结AD ,量一量线段AD 的长,约为A ．2.5cmB ．3.0cmC ．3.5cmD ．4.0cm答案B解析首先根据题意画出图形,由“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”,可A B C知四边形ABCD是平行四边形,再根据平行四边形的性质对角线相等,得出AD＝BC．最后利用刻度尺进行测量即可．方法指导此题主要考查了复杂作图以及平行四边形的判定和性质,关键是正确理解题意,画出图形．3.如图,已知△ABC,∠BAC=90°,请用尺规过点A作一条直线,使其将△ABC分成两个相似的三角形保留作图痕迹,不写作法考点作图—相似变换．分析过点A作AD⊥BC于D,利用等角的余角相等可得到∠BAD=∠C,则可判断△ABD与△CAD相似．解答解：如图,AD为所作．4. 8分如图,在边长为1的正方形网格中,△ABC的顶点均在格点上,点A、B的坐标分别是A4,3、B4,1,把△ABC绕点C逆时针旋转90°后得到△A1B1C．1画出△A1B1C,直接写出点A1、B1的坐标；2求在旋转过程中,△ABC所扫过的面积．考点作图-旋转变换；扇形面积的计算．分析1根据旋转中心方向及角度找出点A、B的对应点A1、B1的位置,然后顺次连接即可,根据A、B的坐标建立坐标系,据此写出点A1、B1的坐标；2利用勾股定理求出AC的长,根据△ABC扫过的面积等于扇形CAA1的面积与△ABC的面积和,然后列式进行计算即可．解答解：1所求作△A1B1C如图所示：由A4,3、B4,1可建立如图所示坐标系,则点A1的坐标为﹣1,4,点B1的坐标为1,4；2∵AC===,∠ACA1=90°∴在旋转过程中,△ABC所扫过的面积为：S扇形CAA1+S△ABC=+×3×2=+3．5．8分如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的12×12网格中,给出了四边形ABCD的两条边AB与BC,且四边形ABCD是一个轴对称图形,其对称轴为直线AC．1试在图中标出点D,并画出该四边形的另两条边；2将四边形ABCD向下平移5个单位,画出平移后得到的四边形A′B′C′D′．考点作图-平移变换．分析1画出点B关于直线AC的对称点D即可解决问题．2将四边形ABCD各个点向下平移5个单位即可得到四边形A′B′C′D′．解答解：1点D以及四边形ABCD另两条边如图所示．2得到的四边形A′B′C′D′如图所示．6．2016.山东省青岛市,4分已知：线段a及∠ACB．求作：⊙O,使⊙O在∠ACB的内部,CO=a,且⊙O与∠ACB的两边分别相切．考点作图—复杂作图．分析首先作出∠ACB的平分线CD,再截取CO=a得出圆心O,作OE⊥CA,由角平分线的性质和切线的判定作出圆即可．解答解：①作∠ACB的平分线CD,②在CD上截取CO=a,③作OE⊥CA于E,以O我圆心,OE长为半径作圆；如图所示：⊙O即为所求．7．如图,OA=2,以点A为圆心,1为半径画⊙A与OA的延长线交于点C,过点A画OA的垂线,垂线与⊙A 的一个交点为B,连接BC1线段BC的长等于；2请在图中按下列要求逐一操作,并回答问题：①以点 A 为圆心,以线段BC 的长为半径画弧,与射线BA交于点D,使线段OD的长等于②连OD,在OD上画出点P,使OP得长等于,请写出画法,并说明理由．考点作图—复杂作图．分析1由圆的半径为1,可得出AB=AC=1,结合勾股定理即可得出结论；2①结合勾股定理求出AD的长度,从而找出点D的位置,根据画图的步骤,完成图形即可；②根据线段的三等分点的画法,结合OA=2AC,即可得出结论．解答解：1在Rt△BAC中,AB=AC=1,∠BAC=90°,∴BC==．故答案为：．2①在Rt△OAD中,OA=2,OD=,∠OAD=90°,∴AD===BC．∴以点A为圆心,以线段BC的长为半径画弧,与射线BA交于点D,使线段OD的长等于．依此画出图形,如图1所示．故答案为：A；BC．②∵OD=,OP=,OC=OA+AC=3,OA=2,∴．故作法如下：连接CD,过点A作AP∥CD交OD于点P,P点即是所要找的点．依此画出图形,如图2所示．达标检测答案一、选择题1．如图,在△ABC中,∠B=55°,∠C=30°,分别以点A和点C为圆心,大于AC的长为半径画弧,两弧相交于点M,N,作直线MN,交BC于点D,连接AD,则∠BAD的度数为A．65° B．60° C．55° D．45°考点线段垂直平分线的性质．分析根据线段垂直平分线的性质得到AD=DC,根据等腰三角形的性质得到∠C=∠DAC,求得∠DAC=30°,根据三角形的内角和得到∠BAC=95°,即可得到结论．解答解：由题意可得：MN是AC的垂直平分线,则AD=DC,故∠C=∠DAC,∵∠C=30°,∴∠DAC=30°,∵∠B=55°,∴∠BAC=95°,∴∠BAD=∠BAC﹣∠CAD=65°,故选A．点评此题主要考查了线段垂直平分线的性质,三角形的内角和,正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．2.如图,已知钝角△ABC,依下列步骤尺规作图,并保留作图痕迹.步骤1：以C为圆心,CA为半径画弧错误!；步骤2：以B为圆心,BA为半径画弧错误!,将弧错误!于点D；步骤3：连接AD,交BC延长线于点H.下列叙述正确的是第10题图A．BH垂直分分线段AD B．AC平分∠BAD=BC·AH D．AB=ADC．S△ABC答案：A解析：AD相当于一个弦,BH、CH⊥AD；B、D两项不一定；C项面积应除以2;知识点：尺规作图二、填空题3.如图,已知线段AB,分别以点A和点B为圆心,大于AB的长为半径作弧,两弧相交于C、D两点,作直线CD交AB于点E,在直线CD上任取一点F,连接FA,FB．若FA=5,则FB= 5 ．考点作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．分析根据线段垂直平分线的作法可知直线CD是线段AB的垂直平分线,利用线段垂直平分线性质即可解决问题．解答解：由题意直线CD是线段AB的垂直平分线,∵点F在直线CD上,∴FA=FB,∵FA=5,∴FB=5．故答案为5．4.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以A为圆心,任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N,再分别以M、N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧交于点P,连结AP并延长交BC于点D,则下列说法中正确的是 ;①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3．解析①根据作图的过程可以判定AD是∠BAC的角平分线；②利用角平分线的定义可以推知∠CAD=30°,则由直角三角形的性质来求∠ADC的度数；③利用等角对等边可以证得△ADB的等腰三角形,由等腰三角形的“三合一”的性质可以证明点D在AB的中垂线上；④利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积之比．解答解：①根据作图的过程可知,AD是∠BAC的平分线．故①正确；②如图,∵在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,∴∠CAB=60°．又∵AD是∠BAC的平分线,∴∠1=∠2=∠CAB=30°,∴∠3=90°﹣∠2=60°,即∠ADC=60°．故②正确；③∵∠1=∠B=30°,∴AD=BD,∴点D在AB的中垂线上．故③正确；④∵如图,在直角△ACD中,∠2=30°,∴CD=AD,∴BC=CD+BD=AD+AD=AD,S△DAC=ACCD=ACAD．∴S△ABC=ACBC=ACAD=ACAD,∴S△DAC：S△ABC=ACAD： ACAD=1：3．故④正确．综上所述,正确的结论是：①②③④．点评本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图﹣基本作图．解题时,需要熟悉等腰三角形的判定与性质．三、解答题5.12分图1是某公交公司1路车从起点站A站途经B站和C站,最终到达终点站D站的格点站路线图．8×8的格点图是由边长为1的小正方形组成1求1路车从A站到D站所走的路程精确到；2在图2、图3和图4的网格中各画出一种从A站到D站的路线图．要求：①与图1路线不同、路程相同；②途中必须经过两个格点站；③所画路线图不重复考点作图—应用与设计作图；勾股定理的应用．分析1先根据网格求得AB、BC、CD三条线段的长,再相加求得所走的路程的近似值；2根据轴对称、平移或中心对称等图形的变换进行作图即可．解答解：1根据图1可得：,,CD=3∴A站到B站的路程=≈；2从A站到D站的路线图如下：6.7分图1、图2是两张形状和大小完全相同的方格纸,方格纸中每个小正方形的边长均为1,线段AC 的两个端点均在小正方形的顶点上．1如图1,点P在小正方形的顶点上,在图1中作出点P关于直线AC的对称点Q,连接AQ、QC、CP、PA,并直接写出四边形AQCP的周长；2在图2中画出一个以线段AC为对角线、面积为6的矩形ABCD,且点B和点D均在小正方形的顶点上．考点作图-轴对称变换．分析1直接利用网格结合勾股定理得出符合题意的答案；2直接利用网格结合矩形的性质以及勾股定理得出答案．解答解：1如图1所示：四边形AQCP即为所求,它的周长为：4×=4；2如图2所示：四边形ABCD即为所求．7.如图,已知△ABC,∠BAC=90°,请用尺规过点A作一条直线,使其将△ABC分成两个相似的三角形保留作图痕迹,不写作法考点作图—相似变换．分析过点A作AD⊥BC于D,利用等角的余角相等可得到∠BAD=∠C,则可判断△ABD与△CAD相似．解答解：如图,AD为所作．8.如图,已知BD是矩形ABCD的对角线．1用直尺和圆规作线段BD的垂直平分线,分别交AD、BC于E、F保留作图痕迹,不写作法和证明．2连结BE,DF,问四边形BEDF是什么四边形请说明理由．考点矩形的性质；作图—基本作图．分析1分别以B、D为圆心,比BD的一半长为半径画弧,交于两点,确定出垂直平分线即可；2连接BE,DF,四边形BEDF为菱形,理由为：由EF垂直平分BD,得到BE=DE,∠DEF=∠BEF,再由AD与BC平行,得到一对内错角相等,等量代换及等角对等边得到BE=BF,再由BF=DF,等量代换得到四条边相等,即可得证．解答解：1如图所示,EF为所求直线；2四边形BEDF为菱形,理由为：证明：∵EF垂直平分BD,∴BE=DE,∠DEF=∠BEF,∵AD∥BC,∴∠DEF=∠BFE,∴∠BEF=∠BFE,∴BE=BF,∵BF=DF,∴BE=ED=DF=BF,∴四边形BEDF为菱形．9．如图,方格中,每个小正方形的边长都是单位1,△ABC在平面直角坐标系中的位置如图．1画出将△ABC向右平移2个单位得到△A1B1C1；2画出将△ABC绕点O顺时针方向旋转90°得到的△A2B2C2；3求△A1B1C1与△A2B2C2重合部分的面积．考点作图-旋转变换；作图-平移变换．分析1将△ABC向右平移2个单位即可得到△A1B1C1．2将△ABC绕点O顺时针方向旋转90°即可得到的△A2B2C2．3B2C2与A1B1相交于点E,B2A2与A1B1相交于点F,如图,求出直线A1B1,B2C2,A2B2,列出方程组求出点E、F 坐标即可解决问题．解答解：1如图,△A1B1C1为所作；2如图,△A2B2C2为所作；3B2C2与A1B1相交于点E,B2A2与A1B1相交于点F,如图,∵B20,1,C22,3,B11,0,A12,5,A25,0,∴直线A1B1为y=5x﹣5,直线B2C2为y=x+1,直线A2B2为y=﹣x+1,由解得,∴点E,,由解得,∴点F,．∴S△BEF=1509676．∴△A1B1C1与△A2B2C2重合部分的面积为．。
第四节尺规作图课标呈现——指引方向1．能用尺规完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线：过一点作已知直线的垂线．2．会利用基本作图作三角形：已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形：已知底边及底边上的高线作等腰三角形：已知一直角边和斜边作直角三角形．3．会利用基本作图完成：过不在同一直线上的三点作圆：作三角形的外接圆、内切圆：作圆的内接正方形和正六边形．4．在尺规作图中，了解作图的原理，保留作图的痕迹，不要求写出作法，考点梳理——夯实基础1．网格作图：利用平移、旋转、轴对称、中心对称、位似在网格中作图称为网格作图2．尺规作图(1)尺规作图的定义：在几何里把限定用没有刻度的直尺和圆规来画图，称为尺规作图，最基本最常用的尺规作图，称为基本作图．(2)五种基本尺规作图：①作一条线段等于已知线段；②作一个角等于已知角：③作一个角的角平分线：④作线段的垂直平分线：⑤经过一点作已知直线的垂线．(3)尺规作图的步骤：①已知：写出已知的线段和角，画出图形：②求作：求作什么图形，它符合什么条件，一一具体化：③作法：应用五种基本作图，叙述时不需要重述基本作图的过程，但图中必须保留基本作图的痕迹：④证明：为了验证所作图形的正确性，把图作出后，根据有关的定义、定理等并结合作法证明所作图形完全符合题设条件，⑤对所作图形下结论．(4)作三角形：①已知三边作三角形；②已知两边及其夹角作三角形：③已知两角及其夹边作三角形：④已知底边及底边上的高作等腰三角形．(5)探究如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆．考点精析——专题突破【例1】（2016四川巴中）如图，方格中，每个小正方形的边长都是单位1，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图，请根据条件画出变换后的三角形．(1)将△ABC向有平移2个单位得到△A1B1C1；(2)与△ABC关于x轴对称的图形△A2B2C2．(3)与△ABC关于原点对称的图形△A3B3C3.【例2】（2016四川凉山州）如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A(4，3)、B(4，1)，把△ABC绕点C逆时针旋转90°后得到△A1B1C．(1)画出△A1B1C，直接写出点A1、B1的坐标；(2)求在旋转过程中，△ABC所扫过的面积．【例3】（2016育才）两个城镇A、B与两条公路ME，MF位置如图所示，其中ME是东西方向的公路．现电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路ME，MF的距离也必须相等，且在∠FME的内部，那么点C应选在何处？请在图中，用尺规作图找出符合条件的点C．（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹）1．（2015浙江舟山）数掌活动课上，四位同学围绕作图问题：“如图，已知直线l和l外一点P，用直尺和网规作直线PQ，使PQ⊥l于点Q”．分别作出了下列四个图形．其中作法错误的是 ( )2．（2016湖北宜昌）任意一条线段EF，其垂直平分线的尺规作图痕迹如图所示，若连接EH、HF、FG，GE，则下列结论中，不一定正确的是 ( )A．△EGH为等腰三角形B．△EGF为等边三角形C．四边形EGFH为菱形D．△EHF为等腰三角形第2题3．（2016吉林长春）如图，在△ABC中，AB>AC，按以下步骤作图：分别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D;连结CD．若AB=6，AC=4，则△ACD的周长为．第3题4．已知：如图，∠α，∠β，线段m.求作：△ABC，使∠A=∠α，∠B=∠β，AB=m．第4题A组基础训练一、选择题1.（2015河北）如图，已知△ABC（AC<BC）,用尺规在BC上确定一点P，使PA+PC=BC，则符合要求的作图痕迹是 ( )第1题2．（2016重庆育才）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A'O'B′=∠AOB 的依据是 ( )A．SASB．ASAC．SSSD．AAS第2题3．（2016西大附中）如图，小红在作线段AB的垂直平分线时，是这样操作的：分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径画弧，相交于点C，D，则直线CD即为所求．连结AC，BC，AD，BD，根据她的作图方法可知，四边形ADBC一定是 ( )A．矩形B．菱形C．正方形D．等腰梯形第3题4．（2016河北）如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹，步骤1：以C为圆心，CA为半径画弧①；步骤2：以B为圆心，BA为半径画弧②，与弧①交于点D；步骤3：连接AD，交BC延长线于点H。
总复习：图形的变换【考纲要求】1.通过具体实例认识轴对称、平移、旋转，探索它们的基本性质；2.能够按要求作出简单平面图形经过轴对称、平移、旋转后的图形，能作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；3.探索基本图形（等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆）的轴对称性质及其相关性质.4.探索图形之间的变换关系（轴对称、平移、旋转及其组合）；5.利用轴对称、平移、旋转及其组合进行图案设计；认识和欣赏轴对称、平移、旋转在现实生活中的应用.【知识网络】【考点梳理】考点一、平移变换1.平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小．【要点进阶】（1）平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，本讲的平移是指平面图形在同一平面内的变换；（2）图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离，这两个要素是图形平移的依据；（3）图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变了位置，而不改变图形的大小，这个特征是得出图形平移的基本性质的依据．2．平移的基本性质：由平移的概念知，经过平移，图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离，平移不改变图形的形状和大小，因此平移具有下列性质：经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应角相等．【要点进阶】（1）要注意正确找出“对应线段，对应角”，从而正确表达基本性质的特征；（2）“对应点所连的线段平行且相等”，这个基本性质既可作为平移图形之间的性质，又可作为平移作图的依据．考点二、轴对称变换1．轴对称与轴对称图形轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也叫做这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的对应点，叫做对称点. 轴对称图形：把一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形.2．轴对称变换的性质①关于直线对称的两个图形是全等图形.②如果两个图形关于某直线对称，对称轴是对应点连线的垂直平分线.③两个图形关于某直线对称，如果它们对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上.④如果两个图形的对应点连线被同一直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称.3．轴对称作图步骤①找出已知图形的关键点，过关键点作对称轴的垂线，并延长至2倍，得到各点的对称点．②按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形.４．翻折变换：图形翻折问题是近年来中考的一个热点，其实质是轴对称问题，折叠重合部分必全等，折痕所在直线就是这两个全等形的对称轴，互相重合的两点（对称点）连线必被折痕垂直平分.【要点进阶】翻折的规律是，折叠部分的图形，折叠前后，关于折痕成轴对称，两图形全等，折叠图形中有相似三角形，常用勾股定理.考点三、旋转变换1．旋转概念：把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转.点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角.２．旋转变换的性质图形通过旋转，图形中每一点都绕着旋转中心沿相同的方向旋转了同样大小的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等，旋转过程中，图形的形状、大小都没有发生变化.３．旋转作图步骤①分析题目要求，找出旋转中心，确定旋转角.②分析所作图形，找出构成图形的关键点.③沿一定的方向，按一定的角度、旋转各顶点和旋转中心所连线段,从而作出图形中各关键点的对应点.④按原图形连结方式顺次连结各对应点.【要点进阶】１．图形变换与图案设计的基本步骤①确定图案的设计主题及要求；②分析设计图案所给定的基本图案；③利用平移、旋转、轴对称对基本图案进行变换，实现由基本图案到各部分图案的有机组合；④对图案进行修饰，完成图案.2．平移、旋转和轴对称之间的联系一个图形沿两条平行直线翻折（轴对称）两次相当于一次平移，沿不平行的两条直线翻折两次相当于一次旋转，其旋转角等于两直线交角的2倍.【典型例题】类型一、平移变换例1.如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A′C′D′．（1）证明△A′AD′≌△CC′B；（2）若∠ACB=30°，试问当点C′在线段AC上的什么位置时，四边形ABC′D′是菱形，并请说明理由．例2．操作与探究：（1）对数轴上的点P进行如下操作：先把点P表示的数乘以13，再把所得数对应的点向右平移1个单位，得到点P的对应点P′．点A，B在数轴上，对线段AB上的每个点进行上述操作后得到线段A′B′，其中点A，B的对应点分别为A′，B′．如图1，若点A表示的数是-3，则点A′表示的数是________；若点B′表示的数是2，则点B表示的数是_____；已知线段AB上的点E经过上述操作后得到的对应点E′与点E重合，则点E表示的数是__________．（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，对正方形ABCD及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的横、纵坐标都乘以同一个实数a，将得到的点先向右平移m个单位，再向上平移n个单位（m＞0，n＞0），得到正方形A′B′C′D′及其内部的点，其中点A，B的对应点分别为A′，B′．已知正方形ABCD内部的一个点F经过上述操作后得到的对应点F′与点F重合，求点F的坐标．举一反三：【变式】如图，若将边长为cm 2的两个互相重合的正方形纸片沿对角线AC 翻折成等腰直角三角形后，再抽出一个等腰直角三角形沿AC 移动，若重叠部分PC A ' 的面积是21cm ，则移动的距离'AA 等于 .类型二、轴对称变换例3．如图，矩形ABCD 中，AB=6，BC=8，点E 是射线CB 上的一个动点，把△DCE 沿DE 折叠，点C 的对应点为C′．（1）若点C′刚好落在对角线BD 上时，BC′= ；（2）若点C′刚好落在线段AB 的垂直平分线上时，求CE 的长； （3）若点C′刚好落在线段AD 的垂直平分线上时，求CE 的长．举一反三：【变式】如图所示，有一块面积为1的正方形纸片ABCD ，M 、N 分别为AD 、BC 的边上中点，将C 点折至MN 上，落在P 点的位置，折痕为BQ ，连接PQ ． （1）求MP 的长；（2）求证：以PQ 为边长的正方形的面积等于13.例4.已知：矩形纸片ABCD 中，AB=26厘米，5.18=BC 厘米，点E 在AD 上，且6=AE 厘米，点P 是AB 边上一动点，按如下操作：步骤一，折叠纸片，使点P 与点E 重合，展开纸片得折痕MN （如图（1）所示）； 步骤二，过点P 作,AB PT ⊥交MN 所在的直线于点Q ，连结QE （如图（2）所示）； （1）无论点P 在AB 边上任何位置，都有PQ QE （填“＞”、“=”、“＜”号 ） （2）如图（3）所示，将矩形纸片ABCD 放在直角坐标系中，按上述步骤一、二进行操作： ①当点P 在A 点时，PT 与MN 交于点,1Q ,1Q 点的坐标是（ ， ）； ②当6=PA 厘米时，PT 与MN 交于点2Q ，2Q 点的坐标是（ ， ）； ③当12=PA 厘米时，在图（3）中画出MN ，PT （不要求写画法）并求出MN 与PT 的交点3Q 的坐标；（3）点P 在在运动过程中，PT 与MN 形成一系列的交点,1Q 2Q ，3Q …观察，猜想：众多的交点形成的图象是什么？并直接写出该图象的函数表达式.（1） （2）（3）类型三、旋转变换例5.已知，△ABC 为直角三角形，∠ACB=90°，点P 是射线CB 上一点（点P 不与点B 、C 重合），线段AP 绕点A 顺时针旋转90°得到线段AQ ，连接QB 交射线AC 于点M.（1）如图①，当AC=BC ，点P 在线段CB 上时，线段PB 、CM 的数量关系是 ；（2）如图②，当AC=BC ，点P 在线段CB 的延长线时，（1）中的结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由． （3）如图③，若，点P 在线段CB 的延长线上，CM=2，AP=13，求△ABP 的面积．A BCDPEMN BC（P ） （A ） BCDE xN 1QO6 12 18 24 612 18 2Qy例6 .如图①，小慧同学把一个正三角形纸片（即△OAB）放在直线l1上，OA边与直线l1重合，然后将三角形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转120°，此时点O运动到了点O1处，点B运动到了点B1处；小慧又将三角形纸片AO1B1绕点B1按顺时针方向旋转120°，此时点A运动到了点A1处，点O1运动到了点O2处（即顶点O经过上述两次旋转到达O2处）．OO和小慧还发现：三角形纸片在上述两次旋转的过程中，顶点O运动所形成的图形是两段圆弧，即1OO，顶点O所经过的路程是这两段圆弧的长度之和，并且这两段圆弧与直线l1围成的图形面积等于12扇形AOO1的面积、△AO1B1的面积和扇形B1O1O2的面积之和．小慧进行类比研究：如图②，她把边长为1的正方形纸片OABC放在直线l2上，OA边与直线l2重合，然后将正方形纸片绕着顶点^按顺时针方向旋转90°，此时点O运动到了点O1处（即点B处），点C运动到了点C1处，点B运动到了点B1处；小慧又将正方形纸片AO1C1B1绕顶点B1按顺时针方向旋转90°，……，按上述方法经过若干次旋转后．她提出了如下问题：问题①：若正方形纸片OABC接上述方法经过3次旋转，求顶点O经过的路程，并求顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积；若正方形纸片OA BC按上述方法经过5次旋转，求顶点O经过的路程；问题②：正方形纸片OABC按上述方法经过多少次旋转，顶点O经过的路程是_______________?请你解答上述两个问题．举一反三：【变式】 如图，等腰梯形MNPQ 的上底长为2，腰长为3，一个底角为60°．正方形ABCD 的边长为1，它的一边AD 在MN 上，且顶点A 与M 重合．现将正方形ABCD 在梯形的外面沿边MN 、NP 、PQ 进行翻滚，翻滚到有一个顶点与Q 重合即停止滚动．(1)请在所给的图中，用尺规画出点A 在正方形整个翻滚过程中所经过的路线图；(2)求正方形在整个翻滚过程中点A 所经过的路线与梯形MNPQ 的三边MN 、NP 、PQ 所围成图形的面积S ．BPA(M)QNDC【巩固练习】 一、选择题1．有下列四个说法，其中正确说法的个数是（ ） ①图形旋转时，位置保持不变的点只有旋转中心；②图形旋转时，图形上的每一个点都绕着旋转中心旋转了相同的角度； ③图形旋转时，对应点与旋转中心的距离相等；④图形旋转时，对应线段相等，对应角相等，图形的形状和大小都没有发生变化． A. 1个 B.2个 C. 3个 D.4个2.在旋转过程中，确定一个三角形旋转的位置所需的条件是（ ）. ①三角形原来的位置；②旋转中心；③三角形的形状；④旋转角． A ．①②④ B ．①②③ C ．②③④ D ．①③④3.如图，折叠直角三角形ABC 纸片，使两锐角顶点A 、C 重合，设折痕为DE.若AB=4，BC=3，则BD 的值是（ ）A ．78 B ．1 C ．98 D ．234.如图是一个旋转对称图形，要使它旋转后与自身重合，至少应将它绕中心逆时针方向旋转的度数为（ ）.A 、30°B 、60°C 、120°D 、180°5.如图,把矩形纸条ABCD 沿EF GH ，同时折叠，B C ，两点恰好落在AD 边的P 点处，若90FPH =∠，8PF =，6PH =，则矩形ABCD 的边BC 长为（ ）.A.20B.22C.24D.30第4题 第5题6．如图,正方形硬纸片ABCD 的边长是4，点E 、F 分别是AB 、BC 的中点，若沿左图中的虚线剪开，拼 成如下图的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是（ ）. A ．2 B ．4 C ．8 D ．10二、填空题7.如图，在Rt △A BC 中，∠A CB ＝90°，AB=5，AC=3，点D 是BC 上一动点，连结AD ，将△ADC 沿AD 折叠，点C 落在点C '，连结C ’D 交AB 于点E ，连结BC ’.当△BC ’D 是直角三角形时，DE 的长为 ．8.在Rt ∆ABC 中，∠A <∠B，CM 是斜边AB 上的中线，将∆ACM 沿直线CM 折叠，点A 落在点D 处，如果CD 恰好与AB 垂直，那么∠A 等于 度.第7题 第8题9.在Rt ABC △中，903BAC AB M ∠==°，，为边BC 上的点，连结AM （如图所示）．如果将ABM △沿直线AM 翻折后，点B 恰好落在边AC 的中点处，那么点M 到AC 的距离是 ．10.如图，在∆ABC 中，MN//AC ，直线MN 将∆ABC 分割成面积相等的两部分，将∆BMN 沿直线MN 翻折，点B 恰好落在点E 处，联结AE ，若AE//CN ，则AE:NC= .第9题 第10题11.如图，将一张矩形纸片ABCD 沿着过点A 的折痕翻折，使点B 落在AD 边上的点F ，折痕交BC 于点E ，将折叠后的纸片再次沿着另一条过点A 的折痕翻折，点E 恰好与点D 重合，此时折痕交DC 于点G ，则CG ：GD 的值为 ．12.如图,在计算机屏幕上有一个矩形画刷ABCD ，它的边AB ＝l ，．把ABCD 以点B 为中心按顺时针方向旋转60°，则被这个画刷着色的面积为________.三、解答题13. 如图（1）所示，一张三角形纸片ABC ，6,8,90==︒=∠BC AC ACB .沿斜边AB 的中线CD 把这线纸片剪成11D AC ∆和22D BC ∆两个三角形如图（2）所示.将纸片11D AC ∆沿直线B D 2（AB ）方向平移（点B D D A ,,,21始终在同一条直线上），当点1D 与点B 重合时，停止平移，在平移的过程中，11D C 与2BC 交于点E ，1AC 与222,BC D C 分别交于点F ，P.（1）当11D AC ∆平移到如图（3）所示的位置时，猜想图中E D 1与F D 2的数量关系，并证明你的猜想.（2）设平移距离12,D D 为x ，11D AC ∆与22D BC ∆重叠部分的面积为y ，请写出y 与x 的函数关系式，以及自变量x 的取值范围；（3）对于（2）中的结论是否存在这样的x ，使得重叠部分面积等于原ABC ∆纸片面积的41？若存在，请求出x 的值；若不存在，请说明理由.14.如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE，将△EDC 绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．（1）问题发现①当α=0°时，= ；②当α=180°时，= ．（2）拓展探究试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．（3）问题解决当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长．15.如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线＝－＋交折线OAB于点E．（1）记△ODE的面积为S，求S与的函数关系式；（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1，试探究O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.16．已知抛物线经过点 A(0，4)、B(1，4)、C(3，2)，与x轴正半轴交于点D．(1)求此抛物线的解析式及点D的坐标；(2)在x轴上求一点E，使得△BCE是以BC为底边的等腰三角形；(3)在(2)的条件下，过线段ED上动点P作直线PF//BC，与BE、CE分别交于点F、G，将△EFG沿FG 翻折得到△E′FG．设P(x，0)，△E′FG与四边形FGCB重叠部分的面积为S，求S与x的函数关系式及自变量x的取值范围．。
