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七年级数学下册辅导
1. 教材知识点：帮助学生复习和理解数学教材中的知识点，例如代数、几何、数据分析等。
2. 作业辅导：检查学生的作业，解答他们在作业中遇到的问题，并帮助他们掌握正确的解题方法。
3. 练习题巩固：提供适量的练习题，让学生通过练习来加深对知识点的理解和掌握。
4. 数学思维培养：引导学生学会分析问题、解决问题的方法，培养他们的数学思维能力。
5. 学习方法指导：教授学生有效的学习方法，如如何做笔记、如何总结归纳等。
6. 与老师沟通：鼓励学生与老师保持沟通，及时反馈学习中遇到的问题。
7. 激发兴趣：通过有趣的数学故事、游戏等方式，激发学生对数学的兴趣。
第一讲 二元一次方程组（一）一、知识点1、二元一次方程的概念含有两个未知数，并且未知项（含有未知数的项）的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程.它有三个必备条件：（1）含有两个未知数；（2）未知项的次数都是1；（3）方程须是整式方程.关于x 、y 的二元一次方程的一般形式是c by ax =+（a 、b 、c 均为常数且0≠ab ）.类似地，含有n 个未知数（整数1≥n ），并且未知项（含有未知数的项）的次数都是1的整式方程叫做n 元一次方程.2、二元一次方程组的解的概念使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值叫做二元一次方程的一个解. 二元一次方程一般会有无数个解.3、二元一次方程组的概念 含有两个未知数，并且未知项的次数都是1的整式方程组叫做二元一次方程组. 它有三个必备条件：（1）含有两个未知数；（2）未知项的次数都是1；（3）方程组须是整式方程组.应注意的是，这些条件是对整个方程组而言的，而不是对其中的每一个方程而言.因此，一方面，两个二元一次方程不一定能组成一个二元一次方程组,比如⎩⎨⎧=-=+21z y y x 就不是二元一次方程组；另一方面，组成二元一次方程组的方程不一定是二元一次方程，比如⎩⎨⎧==21y x 就可以看作一个简单的二元一次方程组.类似地，含有n 个未知数（整数1≥n ），并且未知项的次数都是1的整式方程组叫做n 元一次方程.4、二元一次方程组的解的概念对于由两个二元一次方程组成的方程组而言，两个方程的公共解叫做这个二元一次方程组的解.一般地，满足一次方程组的所有方程的一组未知数的值，叫做这个一次方程组的解.5、二元一次方程组的解法求一次方程组解的过程称为解一次方程组.解一次方程组的基本思想是：消元.比如可以通过消元将二元一次方程组转化为一元一次方程来解，可以把多元一次方程组通过消元转化为二元一次方程组或一元一次方程来解.一次方程组的基本解法有：代入消元法、加减消元法.当然，对于一些特殊的一次方程组，我们还可以探索一些特殊的解法 二、例题讲解例1 解方程组例2 若关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+k y x ,k y x 95的解也是二元一次方程632=+y x 的解，则k 的值为（ ）A ．43-B ．43C ．34D ．34-例3 已知3252372a c c b b a -=-=+, 则c b a cb a 65223+--+的值等于 .三、巩固练习1．如果x ，y 满足2x +3y =15，6x +13y =41，则x +2y 的值是 ．A ．5B ．7C ．215D ． 9 2、二元一次方程组34,231x y x y +=⎧⎨-=-⎩．的解是（ ）A ．11.x y =⎧⎨=⎩，B ．11.x y =-⎧⎨=-⎩，C ．22.x y =-⎧⎨=⎩，D ．21.x y =-⎧⎨=-⎩，3、如果|21||25|0x y x y -++--=，则x y +的值为 ．4、如果关于x y 、的二元一次方程组316215x ay x by -=⎧⎨+=⎩的解是71x y =⎧⎨=⎩，那么关于x y 、的二元一次方程组3()()162()()15x y a x y x y b x y +--=⎧⎨++-=⎩的解是 ．5 解下列三元一次方程组：（1） （2）6 读一读：解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+1412723yxyx解：设n y m x ==1,1，则原方程组可化为⎩⎨⎧=-=+142723n m n m ，解得⎩⎨⎧-==45n m ，∴41,51-==y x ，∴原方程组的解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==4151y x ．试一试：请利用上述方法解方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+13231125yxyx7 已知0332=--+c b a ，0443=--+c b a ，1-≠c 求13222---++-c b a c b a 的值．8.当m 取何整数值时，方程组⎩⎨⎧=+=+1442y x my x 的解x 和y 都是整数？四、作业 1、若==++++++++=x acc xbc b x ab a x abc 则,2010111,12、若8,553==a a ，并且对所有正整数n ，有==++++200121,7a a a a n n n 则3、已知方程组⎩⎨⎧=+-=+-032032z y x z y x 则=z y x ::4、已知关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧+=+=+15332k y x ky x 的解是非负整数，则k 的值是5、已知关于x 、y 的二元一次方程()()02521=-+++-a y a x a ，无论a 为何值，这个方程必定有一个固定的解，则此解为6、解方程组（1）⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-+-421621y x y x （2）⎪⎩⎪⎨⎧-=--=++=+-74212523032z y x z y x z y x第二讲 二元一次方程组（二）一 知识点对于方程组（其中不同时为0，不同时为0）解的情况：如果时，方程组有唯一解；如果时，方程组无解； 如果时，方程组有无数解。
新人教版七年级数学下册知识点归纳
本文档旨在为七年级学生提供数学下册知识点的简洁归纳，方便学生进行研究和复。
第一章有理数
有理数基础知识
- 有理数的概念及表示方法
- 有理数的大小关系及比较
- 有理数的加减运算法则
有理数的乘除法
- 正数、负数、0之间的乘除
- 有理数的乘方
- 有理数的开方
第二章代数式
代数式的基本概念
- 代数式的定义及基本元素- 代数式的分类及例子
- 代数式的值及求值
代数式的运算
- 代数式的加减运算
- 代数式的乘除运算
- 代数式的乘方运算
第三章方程与不等式方程的基本概念
- 方程的定义及基本元素- 方程与等式的关系
- 一元一次方程的解法
不等式的基本概念
- 不等式的定义及基本元素
- 不等式的性质及解法
- 一元一次不等式的解法
第四章图形的认识
图形的基本概念
- 点、线、面的区别及联系
- 基本图形的名称及性质
- 平面图形的分类及例子
视图与投影
- 视图的基本概念及种类
- 正视图和俯视图的概念和绘制方法- 投影的基本概念及种类
第五章几何变换
平移
- 平移的定义及性质- 平移的向量表示- 平移的作用及实例
旋转
- 旋转的定义及性质- 旋转的角度表示- 旋转的作用及实例
对称
- 对称的定义及性质- 对称的种类及例子- 对称的作用及实例
以上为新人教版七年级数学下册的知识点归纳。
希望本文档能够帮助同学们更好地掌握数学知识，取得更好的研究成绩。
新人教版七年级数学下册全册教案（新教材）特别说明：本教案为最新人教版教材（改版后）配套教案，各单元教学内容如下：第五章相交线与平行线第八章二元一次方程组5.1 相交线 8.1 二元一次方程组5.2 平行线及其判定 8.2 消元——解二元一次方程组5.3 平行线的性质 8.3 实际问题与二元一次方程组5.4 平移 8.4 三元一次方程组的解法第六章实数第九章不等式与不等式组6.1 平方根 9.1 不等式6.2 立方根 9.2 一元一次不等式6.3 实数 9.3 一元一次不等式组第七章平面直角坐标系第十章数据的收集、整理与描述7.1 平面直角坐标系 10.1 统计调查7.2 坐标方法的简单应用 10.2 直方图10.3 课题学习从数据谈节水12课题：5.1.1 相交线【学习目标】1.了解两条直线相交所构成的角，理解并掌握对顶角、邻补角的概念和性质。
2.理解对顶角性质的推导过程，并会用这个性质进行简单的计算。
3.通过辨别对顶角与邻补角，培养识图的能力。
【学习重点】邻补角和对顶角的概念及对顶角相等的性质。
【学习难点】在较复杂的图形中准确辨认对顶角和邻补角。
【自主学习】1.阅读课本P 1图片及文字，了解本章要学习哪些知识?应学会哪些数学方法?培养哪些良好习惯?,2.准备一张纸片和一把剪刀，用剪刀将纸片剪开,观察剪纸过程,握紧把手时, 随着两个把手之间的角逐渐变小,剪刀两刀刃之间的角引发了什么变化? . 如果改变用力方向,将两个把手之间的角逐渐变大,剪刀两刀刃之间的角又发生什么了变化? .3.如果把剪刀的构造看作是两条相交的直线, 剪纸过程就关系到两条相交直线所成的角的问题, 阅读课本P 2内容,探讨两条相交线所成的角有哪些?各有什么特征?【合作探究】1.画直线AB 、CD 相交于点O,并说出图中4个角,两两相配共能组成几对角? 各对角的位置关系如何?根据不同的位置怎么将它们分类?例如:（1）∠AOC 和∠BOC 有一条公共边．．．．．OC ，它们的另一边互为 ，称这两个角互为 。
数学人教版七年级下册知识点归纳
在数学人教版七年级下册中，我们学习了许多重要的数学知识点，这些知识点为我们进一步学习数学打下了坚实的基础。
以下是本册教材中的核心知识点归纳：
1. 整式的运算：我们学习了整式的加减、乘除以及乘方等基本运算规则。
掌握了合并同类项的方法，以及如何使用分配律进行整式的乘法运算。
2. 因式分解：我们学习了提取公因式法和公式法进行因式分解，这有助于我们简化复杂的多项式表达式，为解决高阶方程做准备。
3. 分式：本册教材中，我们开始接触分式的概念，学习了分式的加减乘除运算，以及分式的基本性质和化简方法。
4. 二元一次方程组：我们学习了如何解二元一次方程组，包括代入消元法和加减消元法。
这些方法帮助我们找到方程组的解，即满足所有方程的变量值。
5. 不等式与不等式组：我们了解了不等式的基本性质，学习了如何解一元一次不等式和不等式组。
这包括了如何找到不等式的解集，以及如何通过数轴表示解集。
6. 平面直角坐标系：我们学习了平面直角坐标系的基本概念，包括坐标轴、坐标点以及坐标平面上的点的坐标表示方法。
7. 一次函数：我们探讨了一次函数的图像和性质，学习了如何根据函数表达式绘制函数图像，以及如何通过图像解决实际问题。
8. 数据的收集与处理：我们学习了数据的收集、整理和描述方法，包括统计表、条形图、折线图和扇形图等数据表示方式。
9. 概率初步：我们初步接触了概率的概念，学习了如何计算简单事件的概率，以及如何使用概率解决一些实际问题。
通过这些知识点的学习，我们不仅掌握了数学的基本技能，还培养了解决问题的逻辑思维能力。
这些知识点将在我们的数学学习旅程中发挥重要作用。
2024年人教版初中数学七年级下册教案全册一、教学内容1. 第五章：相交线与平行线1.1 探索直线交点1.2 平行线的判定与性质1.3 平行线的应用2. 第六章：平面几何初步2.1 角的概念与性质2.2 三角形的分类与性质2.3 四边形的性质与判定3. 第七章：一元一次不等式与不等式组3.1 不等式的概念与性质3.2 一元一次不等式的解法3.3 不等式组的解法与应用4. 第八章：实数4.1 实数的概念与分类4.2 实数的运算4.3 实数与数轴二、教学目标1. 理解并掌握相交线、平行线的性质与判定方法，能够解决实际问题。
2. 掌握平面几何图形（角、三角形、四边形）的性质、分类与判定，培养空间想象能力。
3. 学会一元一次不等式与不等式组的解法，能够解决实际问题，提高逻辑思维能力。
4. 理解实数的概念，掌握实数的运算方法，培养运算能力。
三、教学难点与重点1. 教学难点：平行线的判定与性质、三角形与四边形的性质与判定、一元一次不等式与不等式组的解法、实数的概念与运算。
2. 教学重点：相交线与平行线的性质、平面几何图形的性质与判定、不等式的解法、实数的运算。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体教学设备、黑板、粉笔、几何模型。
2. 学具：直尺、圆规、量角器、练习本、笔。
五、教学过程1. 导入：通过实践情景引入，激发学生学习兴趣。
1.1 以生活中的实例（如斑马线、操场跑道等）引入相交线与平行线的概念。
1.2 通过观察几何模型，引导学生发现三角形、四边形的性质。
1.3 以实际问题的形式，让学生感受不等式与实数的应用。
2. 新课导入：讲解新课内容，阐述重点与难点。
2.1 利用多媒体教学设备，展示相交线、平行线的性质与判定方法。
2.2 通过例题讲解，让学生掌握平面几何图形的性质与判定。
2.3 结合实际例题，引导学生学会一元一次不等式与不等式组的解法。
2.4 通过实数的运算练习，让学生掌握实数的概念与运算方法。
3. 随堂练习：巩固所学知识，检验学习效果。
初一数学下册辅导教程初一数学下册辅导教程一、引言初一数学下册是学生在初中阶段的数学学习的重要阶段，本册主要学习数的整除性、配置均等性和分析数值关系等内容。
以下将从各方面为同学们介绍一些辅导方法和技巧，希望能够帮助同学们更好地掌握数学知识。
二、数的整除性1.整除概念整除是指一个数能被另一个数整除，也即能够恰好地分成若干个相同的数，其中一个数称为被除数，另一个数称为除数。
同学们在学习整除时，应当深刻理解整除的概念，真正明白整除的含义。
2.整除的判定方法（1）列举法：将除数的倍数逐个列举出来，观察是否能够找到等于被除数的数。
（2）除法法则：用被除数除以除数，如果余数为0，则可以判定整除。
3.如何判定一个数是否整除另一个数初一数学下册中涉及到了判断一个数是否整除另一个数的问题，这需要同学们掌握数的因式分解和最大公约数的相关知识，可以通过将两个数进行因式分解，然后对比两个数的因子，判断是否有相同的因子。
另外，还可以使用最大公约数的方法，如果两个数的最大公约数等于其中一个数，那么该数可以整除另一个数。
三、配置均等性1.配置均等性的概念配置均等性指的是在某种排列下，两个数或两个式子的值是相等的。
简单来说，就是将两个数或两个式子重新排列，但其值保持不变。
2.配置均等性的应用配置均等性主要应用于解方程和解不等式的过程中。
同学们需要在解题过程中灵活运用配置均等性的知识，通过对式子中数的重新排列，将问题转化为更简单的形式，从而更容易求解。
四、分析数值关系1.数值关系的概念数值关系是指数与数之间的对应关系。
同学们在初一数学下册中需要学习如何根据数值关系进行求解问题，包括直接比较、间接比较和解读数值关系。
2.数值关系的应用数值关系的应用主要包括比例、百分数和利率等内容。
同学们需要通过实际问题中的数值关系，灵活运用百分比、比例等概念，解决与商业、消费以及经济有关的实际问题。
五、总结初一数学下册的辅导教程主要涵盖了数的整除性、配置均等性和分析数值关系等内容。
2018 年新人教版初一数学下学期辅导讲义第六章实数一、知识总结（一）平方根与立方根1、平方根（ 1）定义：一般地，如果一个数的平方等于 a ，那么这个数叫做 a 的平方根，也叫做二次方根。
（ 2）表示：非负数 a 的平方根记作±a，读作“正负根号 a”，（ a 叫做被开方数）（ 3）性质：正数的平方根有两个，且互为相反数；0 的平方根为 0 ；负数的没有平方根。
（ 4）开平方：求平方根的运算叫做开平方。
Ⅰ、平方根是开平方的结果；Ⅱ、开平方与平方互为逆运算。
2、算术平方根（1 ）定义：正数 a 的正的平方根a 叫做a的算术平方根，0的算术平方根是0。
（2 ）性质：（ 1 ）一个数 a 的算术平方根具有非负性；即：a≥ 0 恒成立。
（2 ）正数的算术平方根只有 1 个，且为正数； 0 的算术平方根是 0 ；负数的没有算术平方根。
3、立方根：（ 1 ）定义：一般地，如果一个数的立方等于 a ，那么这个数叫做 a 的立方根，也叫做三次方根。
（ 2 ）表示： a 的立方根记作 3 a，读作“三次根号 a ”（ a 叫做被开方数， 3 叫根指数）（ 3 ）性质：正数的立方根是 1 个正数；负数的立方根是 1 个负数； 0 的立方根是0 。
（二）实数1、无理数：无限不循环的小数。
（一个无理数与若干有理数之间的运算结果还是无理数）2、实数：有理数和无理数统称为实数。
3、实数分类：（ 1 ）按定义分（略）（2 ）按正负性分（略）4、实数与数轴上的点一一对应。
5、实数的相反数、绝对值、倒数：（与有理数的相反数、绝对值、倒数意义类似）6、实数的运算：实数与有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，正数及零可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算，而且有理数的运算法则和运算律对于实数仍然适用。
7 、实数大小：（ 1 ）正数 > 0 >负数；（2）两个负数相比，绝对值大的反而小；绝对值小的反而大。
人教版初一下册数学知识点汇总作为一位资深教师，对人教版初一下册数学的知识点有着深入的理解和全面的掌握。
以下是针对该册书的详细知识点汇总，旨在帮助学生系统复习和巩固所学内容。
一、相交线与平行线1. 相交线两条直线相交会形成4个角。
其中，相邻的两个角称为邻补角，相对的两个角称为对顶角。
•邻补角：两个角有一条公共边，且它们的另一条边互为反向延长线。
邻补角的性质是互补，即它们的角度和为180度。
•对顶角：两个角有一个公共顶点，且一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线。
对顶角的性质是相等，即它们的角度相等。
2. 垂线当两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直。
•垂线：垂直是相交的一种特殊情形，两条直线垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线。
•垂足：两条垂线的交点叫垂足。
•垂线特点：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
•点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫点到直线的距离。
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
3. 同位角、内错角、同旁内角两条直线被第三条直线所截，会形成8个角。
根据它们的位置关系，可以分为同位角、内错角和同旁内角。
•同位角：在两条直线的同一旁，第三条直线的同一侧的两个角叫同位角。
•内错角：在两条直线内部，位于第三条直线两侧的两个角叫内错角。
•同旁内角：在两条直线内部，位于第三条直线同侧的两个角叫同旁内角。
4. 平行线及其判定平行线是指两条不相交的直线。
•平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
•平行公理推论：平行于同一直线的两条直线互相平行。
•平行线的判定：•两条平行线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。
•两条平行线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。
•两条平行线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。
•在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行。
5. 平行线的性质•两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。
七年级下册辅导资料第12讲与相交有关概念及平行线的判定考点·方法·破译1．了解在平面，两条直线的两种位置关系：相交与平行.2．掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、错角、中旁角的定义，并能用图形或几何符号表示它们.3．掌握直线平行的条件，并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关系.经典·考题·赏析【例1】如图，三条直线AB、CD、EF相交于点O，一共构成哪几对对顶角？一共构成哪几对邻补角？【解法指导】⑴对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角.⑵对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线.⑶邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线.有6对对顶角. 12对邻补角.【变式题组】01．如右图所示，直线AB、CD、EF相交于P、Q、R，则：⑴∠ARC的对顶角是 . 邻补角是 .⑵中有几对对顶角，几对邻补角？02．当两条直线相交于一点时，共有2对对顶角；当三条直线相交于一点时，共有6对对顶角；当四条直线相交于一点时，共有12对对顶角.问：当有100条直线相交于一点时共有对顶角.【例２】如图所示，点O是直线AB上一点，OE、OF分别平分∠BOC、∠AOC．⑴求∠EOF的度数；⑵写出∠BOE的余角及补角.【解法指导】解这类求角大小的问题，要根据所涉及的角的定义，以及各角的数量关系，把它们转化为代数式从而求解；【解】⑴∵OE、OF平分∠BOC、∠AOC∴∠EOC＝21∠BOC，∠FOC＝21∠AOC∴∠EOF＝∠EOC＋∠FOC＝21∠BOC＋21∠AOC＝()AOCBOC∠+∠21又∵∠BOC＋∠AOC＝180°∴∠EOF＝21×180°＝90°⑵∠BOE的余角是：∠COF、∠AOF；∠BOE的补角是：∠AOE.【变式题组】01．如图，已知直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC，且∠EOC＝100°，则∠BOD的度数是（）A．20°B．40°C．50°D．80°02．（）已知∠1＝∠2＝∠3＝62°，则∠4＝ .【例３】如图，直线l1、l2相交于点O，A、B分别是l1、l2上的点，试用三角尺完成下列作图：⑴经过点A画直线l2的垂线.⑵画出表示点B到直线l1的垂线段.【解法指导】垂线是一条直线，垂线段是一条线段.【变式题组】01．P为直线l外一点，A、B、C是直线l上三点，且PA＝4cm，PB＝5cm，PC＝6cm，则点P到直线l的距离为（）A．4cm B． 5cm C．不大于4cm D．不小于6cm02 如图，一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶，M、N为位于公路两侧的村庄；⑴设汽车行驶到路AB上点P的位置时距离村庄M最近.行驶到AB上点Q的位置时，距离村庄N最近，请在图中的公路上分别画出点P、Q的位置.⑵当汽车从A出发向B行驶的过程中，在的路上距离M村越来越近..在的路上距离村庄N越来越近，而距离村庄Ｍ越来越远.【例４】如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥CD，OF⊥AB，∠DOF＝65°，求∠BOE和∠AOC的度数.【解法指导】图形的定义现可以作为判定图形的依据，也可以作为该图形具备的性质，由图可得：∠AOF＝90°，OF⊥AB．【变式题组】01．如图，若EO⊥AB于O，直线CD过点O，∠EOD︰∠EOB＝1︰3，求∠AOC、∠AOE的度数.02．如图，O为直线AB上一点，∠BOC＝3∠AOC，OC平分∠AOD．⑴求∠AOC的度数；⑵试说明OD与AB的位置关系. 03．如图，已知AB⊥BC于B，DB⊥EB于B，并且∠CBE︰∠ABD＝1︰2，请作出∠CBE的对顶角，并求其度数.【例５】如图，指出下列各组角是哪两条直线被哪一条直线所截而得到的，并说出它们的名称：∠1和∠2：∠1和∠3：∠1和∠6：∠2和∠6：∠2和∠4：∠3和∠5：∠3和∠4：【解法指导】正确辩认同位角、错角、同旁角的思路是：首先弄清所判断的是哪两个角，其次是找到这两个角公共边所在的直线即截线，其余两条边所在的直线就是被截的两条直线，最后确定它们的名称.【变式题组】01．如图，平行直线AB、CD与相交直线EF，GH相交，图中的同旁角共有（）A．4对B．8对C．12对D．16对02．如图，找出图中标出的各角的同位角、错角和同旁角. 03．如图，按各组角的位置判断错误的是（）A．∠1和∠2是同旁角B．∠3和∠4是错角C．∠5和∠6是同旁角D．∠5和∠7是同旁角【例６】如图，根据下列条件，可推得哪两条直线平行？并说明理由•⑴∠CBD＝∠ADB；⑵∠BCD＋∠ADC＝180°⑶∠ACD＝∠BAC【解法指导】图中有即即有同旁角，有“”即有错角.【解法指导】⑴由∠CBD＝∠ADB，可推得AD∥BC；根据错角相等，两直线平行.⑵由∠BCD＋∠ADC＝180°，可推得AD∥BC；根据同旁角互补，两直线平行.⑶由∠ACD＝∠BAC可推得AB∥DC；根据错角相等，两直线平行.【变式题组】01．如图，推理填空.⑴∵∠A＝∠（已知）∴AC∥ED（）⑵∵∠C＝∠（已知）∴AC∥ED（）⑶∵∠A＝∠（已知）∴AB∥DF（）02．如图，AD平分∠BAC，EF平分∠DEC，且∠1＝∠2，试说明DE与AB的位置关系.解：∵AD是∠BAC的平分线（已知）∴∠BAC＝2∠1（角平分线定义）又∵EF平分∠DEC（已知）∴（）又∵∠1＝∠2（已知）∴（）∴AB∥DE（）03．如图，已知AE平分∠CAB，CE平分∠ACD．∠CAE＋∠ACE＝90°，求证：AB ∥CD．04．如图，已知∠ABC＝∠ACB，BE平分∠ABC，CD平分∠ACB，∠EBF＝∠EFB，求证：CD∥EF.C【例７】如图⑴，平面有六条两两不平行的直线，试证：在所有的交角中，至少有一个角小于31°.【解法指导】如图⑵，我们可以将所有的直线移动后，使它们相交于同一点，此时的图形为图⑵.证明：假设图⑵中的12个角中的每一个角都不小于31°则12×31°＝372°＞360°这与一周角等于360°矛盾所以这12个角中至少有一个角小于31°【变式题组】01．平面有18条两两不平行的直线，试证：在所有的交角中至少有一个角小于11°.02．在同一平面有2010条直线a1,a2,…，a2010,如果a1⊥a2,a2∥a3，a3⊥a4，a4∥a5……那么a1与a2010的位置关系是 .03．已知n（n＞2）个点P1，P2，P3…Pn.在同一平面没有任何三点在同一直线上，设S n表示过这几个点中的任意两个点所作的所有直线的条数，显然：S2＝1，S3＝3，S4＝6，∴S5＝10…则Sn＝ .演练巩固·反馈提高01．如图，∠EAC＝∠ADB＝90°.下列说确的是（）A．α的余角只有∠B B．α的邻补角是∠DACC．∠ACF是α的余角D．α与∠ACF互补02．如图，已知直线AB、CD被直线EF所截，则∠EMB的同位角为（）A．∠AMF B．∠BMF C．∠ENC D．∠END03．下列语句中正确的是（）A．在同一平面，一条直线只有一条垂线B．过直线上一点的直线只有一条C．过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条D．垂线段就是点到直线的距离04．如图，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，则下列结论中，正确的个数有（）①AB⊥AC②AD与AC互相垂直③点C到AB的垂线段是线段AB④线段AB的长度是点B到AC的距离⑤垂线段BA是点B到AC的距离⑥AD＞BDA．0 B．2 C．4 D．605．点A、B、C是直线l上的三点，点P是直线l外一点，且PA＝4cm，PB＝5cm，PC＝6cm，则点P到直线l的距离是（）A．4cm B．5cm C．小于4cm D．不大于4cm06．将一副直角三角板按图所示的方法旋转（直角顶点重合），则∠AOB＋∠DOC ＝ . 07．如图，矩形ABCD沿EF对折，且∠DEF＝72°，则∠AEG＝ .08．在同一平面，若直线a1∥a2,a2⊥a3,a3∥a4,…则a1a10.（a1与a10不重合）09．如图所示，直线a、b被直线c所截，现给出下列四个条件：①∠1＝∠5，②∠1＝∠7，③∠2＋∠3＝180°，④∠4＝∠7，其中能判断a∥b的条件的序号是 .10．在同一平面两条直线的位置关系有 .11．如图，已知BE平分∠ABD，DE平分∠CDB，且∠E＝∠ABE＋∠EDC．试说明AB∥CD？12．如图，已知BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，∠1＝∠2，那么直线AB与CD的位置关系如何？13．如图，推理填空：⑴∵∠A＝（已知）∴AC∥ED（）⑵∵∠2＝（已知）∴AC∥ED（）⑶∵∠A＋＝180°（已知）∴AB∥FD．14．如图，请你填上一个适当的条件使AD∥BC．培优升级·奥赛检测01．平面图上互不重合的三条直线的交点的个数是（）A．1，3 B．0，1，3 C．0，2，3 D．0，1，2，302．平面上有10条直线，其中4条是互相平行的，那么这10条直线最多能把平面分成（）部分.A．60 B．55 C．50 D．4503．平面上有六个点，每两点都连成一条直线，问除了原来的6个点之外，这些直线最多还有（）个交点.A．35 B．40 C．45 D．5504．如图，图上有6个点，作两两连线时，圆最多有__________________交点.05．如图是某施工队一破损的图纸，已知a、b是一个角的两边，现在要在图纸上画一条与这个角的平分线平行的直线，请你帮助这个施工队画出这条平行线，并证明你的正确性. 06．平面上三条直线相互间的交点的个数是（）A．3 B．1或3 C．1或2或3 D．不一定是1，2，307．请你在平面上画出6条直线（没有三条共点）使得它们中的每条直线都恰好与另三条直线相交，并简单说明画法？08．平面上有10条直线，无任何三条交于一点，要使它们出现31个交点，怎么安排才能办到？09．如图，在一个正方体的2个面上画了两条对角线AB、AC，那么两条对角线的夹角等于（）A．60°B．75°C．90°D．135°10．在同一平面有9条直线如何安排才能满足下面的两个条件？⑴任意两条直线都有交点； ⑵总共有29个交点.第13讲 平行线的性质及其应用考点·方法·破译1．掌握平行线的性质，正确理解平行线的判定与性质定理之间的区别和联系；2．初步了解命题，命题的构成，真假命题、定理；3．灵活运用平行线的判定和性质解决角的计算与证明，确定两直线的位置关系，感受转化思想在解决数学问题中的灵活应用.经典·考题·赏析【例１】如图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ， BC ∥AD ，∠A ＝38°，求∠C 的度数.【解法指导】两条直线平行，同位角相等；两条直线平行，错角相等；两条直线平行，同旁角互补.平行线的性质是推导角关系的重要依据之一，必须正确识别图形的特征，看清截线，识别角的关系式关键.【解】：∵AB ∥CD BC ∥AD∴∠A ＋∠B ＝180° ∠B ＋∠C ＝180°(两条直线平行，同旁角互补) ∴∠A ＝∠C ∵∠A ＝38° ∴∠C ＝38°【变式题组】01．如图，已知AD ∥BC ，点E 在BD 的延长线上，若∠ADE ＝155°，则∠DBC 的度数为（ ）A ．155°B ．50°C ．45°D ．25°02．（）如图，直线l 1 ∥ l 2,∠1＝55°，∠2＝65°，则∠3为（ ）A ． 50°B ． 55°C ． 60°D ．65°03．如图，已知FC ∥AB ∥DE ，∠α：∠D ：∠B ＝2: 3: 4, 试求∠α、∠D 、∠B的度数.【例２】如图，已知AB ∥CD ∥EF ，GC ⊥CF ，∠B ＝60°，∠EFC ＝45°，求∠BCG 的度数.【解法指导】平行线的性质与对顶角、邻补角、垂直和角平分线相结合，可求各种位置的角的度数，但注意看清角的位置.【解】∵AB∥CD∥EF∴∠B＝∠BCD∠F＝∠FCD(两条直线平行，错角相等)又∵∠B＝60°∠EFC＝45°∴∠BCD＝60°∠FCD＝45°又∵GC⊥CF∴∠GCF＝90°（垂直定理）∴∠GCD＝90°－45°＝45°∴∠BCG ＝60°－45°＝15°【变式题组】01．如图，已知AF∥BC, 且AF平分∠EAB，∠B＝48°，则∠C的的度数＝_______________02.如图,已知∠ABC＋∠ACB＝120°，BO、CO分别∠ABC、∠ACB，DE过点O与BC平行，则∠BOC＝___________03．如图，已知AB∥ MP∥CD, MN平分∠AMD，∠A＝40°，∠D＝50°，求∠NMP 的度数.【例３】如图，已知∠1＝∠2，∠C＝∠D．求证：∠A＝∠F.【解法指导】因果转化，综合运用.逆向思维：要证明∠A＝∠F，即要证明DF∥AC．要证明DF∥AC, 即要证明∠D＋∠DBC＝180°，即：∠C＋∠DBC＝180°；要证明∠C＋∠DBC＝180°即要证明DB∥EC．要证明DB∥EC即要证明∠1＝∠3.证明：∵∠1＝∠2，∠2＝∠3（对顶角相等）所以∠1＝∠3 ∴DB∥EC（同位角相等•两直线平行）∴∠DBC＋∠C＝180°（两直线平行，同旁角互补）∵∠C＝∠D ∴∠DBC＋∠D＝180°∴DF∥AC（同旁角，互补两直线平行）∴∠A ＝∠F（两直线平行，错角相等）【变式题组】01．如图，已知AC∥FG，∠1＝∠2，求证：DE∥FG02．如图，已知∠1＋∠2＝180°，∠3＝∠B．求证：∠AED＝∠ACB03．如图，两平面镜α、β的夹角θ，入射光线AO平行于β入射到α上，经两次反射后的出射光线O′B平行于α，则角θ等于_________.【例４】如图，已知EG⊥BC，AD⊥BC，∠1＝∠3.求证：AD平分∠BAC．【解法指导】抓住题中给出的条件的目的，仔细分析条件给我们带来的结论，对于不能直接直接得出结论的条件，要准确把握住这些条件的意图.（题目中的：∠1＝∠3）证明：∵EG⊥BC，AD⊥BC ∴∠EGC＝∠ADC＝90°（垂直定义）∴EG∥AD（同位角相等，两条直线平行）∵∠1＝∠3 ∴∠3＝∠BAD（两条直线平行，错角相等）∴AD平分∠BAC（角平分线定义）【变式题组】01．如图，若AE⊥BC于E，∠1＝∠2，求证：DC⊥BC．02．如图，在△ABC中，CE⊥AB于E,DF⊥AB于F, AC∥ED，CE平分∠ACB．求证：∠EDF＝∠BDF.3．已知如图，AB∥CD，∠B＝40°，CN是∠BCE的平分线. CM⊥CN，求：∠BCM 的度数.【例５】已知，如图，AB∥EF，求证：∠ABC＋∠BCF＋∠CFE＝360°【解法指导】从考虑360°这个特殊角入手展开联想，分析类比，联想周角.构造两个“平角”或构造两组“互补”的角.过点C作CD∥AB即把已知条件AB∥EF联系起来，这是关键.【证明】：过点C作CD∥AB∵CD∥AB∴∠1＋∠ABC＝180°(两直线平行，同旁角互补) 又∵AB∥EF，∴CD∥EF（平行于同一条直线的两直线平行）∴∠2＋∠CFE＝180°(两直线平行，同旁角互补) ∴∠ABC＋∠1＋∠2＋∠CFE＝180°＋180°＝360°即∠ABC＋∠BCF＋∠CFE＝360°【变式题组】01．如图，已知，AB∥CD，分别探究下面四个图形中∠APC和∠PAB、∠PCD的关系，请你从所得四个关系中选出任意一个，说明你探究的结论的正确性.结论：⑴____________________________ ⑵____________________________⑶____________________________ ⑷____________________________【例６】如图，已知，AB∥CD，则∠α、∠β、∠γ、∠ψ之间的关系是∠α＋∠γ＋∠ψ－∠β＝180°【解法指导】基本图形善于从复杂的图形中找到基本图形，运用基本图形的规律打开思路.【解】过点E作EH∥AB．过点F作FG∥AB．∵AB∥EH ∴∠α＝∠1（两直线平行，错角相等）又∵FG∥AB ∴EH∥FG（平行于同一条直线的两直线平行）∴∠2＝∠3 又∵AB∥CD∴FG∥CD（平行于同一条直线的两直线平行）∴∠ψ＋∠4＝180°（两直线平行，同旁角互补）∴∠α＋∠γ＋∠ψ－∠β＝∠1＋∠3＋∠4－ψ－∠1－∠2＝∠4＋ψ＝180°【变式题组】01．如图， AB∥EF，∠C＝90°，则∠α、∠β、∠γ的关系是（）A．∠β＝∠α＋∠γB．∠β＋∠α＋∠γ＝180°C．∠α＋∠β－∠γ＝90°D．∠β＋∠γ－∠α＝90°02．如图，已知，AB∥CD，∠ABE和∠CDE的平分线相交于点F，∠E＝140°，求∠BFD的度数.【例７】如图，平移三角形ABC，设点A移动到点A/，画出平移后的三角形A/B/C/.【解法指导】抓住平移作图的“四部曲”——定，找，移，连.⑴定：确定平移的方向和距离.⑵找：找出图形的关键点.⑶移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点.⑷连: 按原图形顺次连接对应点.【解】①连接AA/②过点B作AA/的平行线l ③在l截取BB/＝AA/,则点B/就是的B对应点，用同样的方法作出点C的对应点C/.连接A/B/，B/C/，C/A/就得到平移后的三角形A/B/C/.【变式题组】01．如图，把四边形ABCD按箭头所指的方向平移21cm，作出平移后的图形.02．如图,已知三角形ABC中，∠C＝90°, BC＝4，AC＝4，现将△ABC沿CB方向平移到△A/B/C/的位置，若平移距离为3, 求△ABC与△A/B/C/的重叠部分的面积.03．原来是重叠的两个直角三角形，将其中一个三角形沿着BC方向平移BE的距离，就得到此图形，求阴影部分的面积.（单位：厘米）演练巩固反馈提高01．如图，由A测B得方向是（）A．南偏东30°B．南偏东60°C．北偏西30°D．北偏西60°02．命题：①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③垂直于同一条直线的两直线平行；④平行于同一条直线的两直线垂直.其中的真命题的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个03．一个学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，两次拐弯的角度可能是（）A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30°B．第一次向右拐50°，第二次向左拐130°C．第一次向左拐50°，第二次向右拐130°D．第一次向左拐60°，第二次向左拐120°04．下列命题中，正确的是（）A．对顶角相等B．同位角相等C．错角相等D．同旁角互补05．学习了平行线后，小敏想出过直线外一点画这条直线的平行线的新方法，是通过折一半透明的纸得到的[如图⑴—⑷]从图中可知，小敏画平行线的依据有（）①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，错角相等；③同位角相等，两直线平行；④错角相等，两直线平行.A．①②B．②③C．③④D．①④06．在A、B两座工厂之间要修建一条笔直的公路，从A地测得B地的走向是南偏东52°.现A、B两地要同时开工，若干天后，公路准确对接，则B地所修公路的走向应该是（）A．北偏东52°B．南偏东52°C．西偏北52°D．北偏西38°07．下列几种运动中属于平移的有（）①水平运输带上的砖的运动；②笔直的高诉公路上行驶的汽车的运动（忽略车轮的转动）；③升降机上下做机械运动；④足球场上足球的运动.A．1种B．2种C．3种D．4种08．如图，网格中的房子图案正好处于网格右下角的位置.平移这个图案，使它正好位于左上角的位置（不能出格）09．观察图，哪个图是由图⑴平移而得到的（）10．如图，AD∥BC，AB∥CD，AE⊥BC，现将△ABE进行平移. 平移方向为射线AD 的方向. 平移距离为线段BC的长，则平移得到的三角形是图中（）图的阴影部分.11．判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例.⑴对顶角是相等的角；⑵相等的角是对顶角；⑶两个锐角的和是钝角；⑷同旁角互补，两直线平行.12．把下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并指出命题的真假.⑴互补的角是邻补角；⑵两个锐角的和是锐角；⑶直角都相等.13．如图，在湖边修一条公路.如果第一个拐弯处∠A＝120°，第二个拐弯处∠B ＝150°，第三个拐弯处∠C，这时道路CE恰好和道路AD平行，问∠C是多少度？并说明理由. 14．如图，一条河流两岸是平行的，当小船行驶到河中E点时，与两岸码头B、D 成64°角. 当小船行驶到河中F点时，看B点和D点的视线FB、FD恰好有∠1＝∠2，∠3＝∠4的关系. 你能说出此时点F与码头B、D所形成的角∠BFD的度数吗？15．如图，AB∥CD，∠1＝∠2，试说明∠E和∠F的关系.培优升级·奥赛检测01．如图，等边△ABC各边都被分成五等分，这样在△ABC能与△DEF完成重合的小三角形共有25个，那么在△ABC由△DEF平移得到的三角形共有（）个02．如图，一足球运动员在球场上点A处看到足球从B点沿着BO方向匀速滚来，运动员立即从A处以匀速直线奔跑前去拦截足球.若足球滚动的速度与该运动员奔跑的速度相同，请标出运动员的平移方向及最快能截住足球的位置.（运动员奔跑于足球滚动视为点的平移）03．如图，长方体的长AB＝4cm，宽BC＝3cm，高AA1＝2cm. 将AC平移到A1C1的位置上时，平移的距离是___________,平移的方向是___________.04．如图是图形的操作过程（五个矩形水平方向的边长均为a，竖直方向的边长为b）；将线段A1A2向右平移1个单位得到B1B2，得到封闭图形A1A2B2B1[即阴影部分如图⑴];将折现A1A2 A3向右平移1个单位得到B1B2B3，得到封闭图形A1A2 A3B3B2B1 [即阴影部分如图⑵];⑴在图⑶中，请你类似地画出一条有两个折点的直线，同样的向右平移1个单位，从而得到1个封闭图形，并画出阴影.⑵请你分别写出上述三个阴影部分的面积S1＝________, S2＝________, S3＝________.⑶联想与探究：如图⑷，在一矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路在任何地方的水平宽度都是1个单位），请你猜想空白部分草地面积是多少？05．一位模型赛车手遥控一辆赛车，先前进一半，然后原地逆时针旋转α°（0°＜α°＜180°），被称为一次操作，若5次后发现赛车回到出发点，则α°角为（）A．720°B．108°或144°C．144°D．720°或144°06．两条直线a、b互相平行，直线a上顺次有10个点A1、A2、…、A10，直线b 上顺次有10个点B1、B2、…、B9，将a上每一点与b上每一点相连可得线段.若没有三条线段相交于同一点，则这些选段的交点个数是（）A．90 B．1620 C．6480 D．200607．如图，已知AB∥CD，∠B＝100°，EF平分∠BEC，EG⊥EF. 求∠BEG和∠DEG.08．如图，AB∥CD，∠BAE＝30°，∠DCE＝60°，EF、EG三等分∠AEC．问：EF 与EG中有没有与AB平行的直线？为什么？09．如图，已知直线CB∥OA，∠C＝∠OAB＝100°，E、F在CB上，且满足∠FOB ＝∠AOB，OE平分∠COF.⑴求∠EOB的度数；⑵若平行移动AB，那么∠OBC：∠OFC的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值.⑶在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC＝∠OBA？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由.10．平面上有5条直线，其中任意两条都不平行，那么在这5条直线两两相交所成的角中，至少有一个角不超过36°,请说明理由.11．如图，正方形ABCD的边长为5,把它的对角线AC分成n段，以每一小段为对角线作小正方形，这n个小正方形的周长之和为多少？12．如图将面积为a2的小正方形和面积为b2的大正方形放在一起，用添补法如何求出阴影部分面积？第06讲实数考点·方法·破译1．平方根与立方根：若2x＝a(a≥0)则x叫做a的平方根，记为：a的平方根为x＝，其中a的平方根为xa的算术平方根．若x3＝a，则x叫做a的立方根．记为：a的立方根为x2．无限不循环小数叫做无理数，有理数和无理数统称实数．实数与数轴上的点一一对应．任何有理数都可以表示为分数pq（p、q是两个互质的整数，且q ≠0）的形式．3非负数：实数的绝对值，实数的偶次幂，非负数的算术平方根（或偶次方根）都是非负数．即a>0，2na≥0（n为正整数）≥0(a≥0) ．经典·考题·赏析【例1】若2m－4与3m－1是同一个数的平方根，求m的值．【解法指导】一个正数的平方根有两个，并且这两个数互为相反数．∵2m−4与3m−l是同一个数的平方根，∴2m−4 ＋3m−l＝0，5m＝5，m＝l．【变式题组】01．一个数的立方根与它的算术平方根相等，则这个数是____． 02．已知m+m 的平方根是____．03____．04．如图，有一个数值转化器，当输入的x 为64时，输出的y 是____．【例2】（全国竞赛）已知非零实数a 、b 满足24242a b a -++=，则a ＋b 等于( )A ．－1B ． 0C ．1D ．2有意义，∵a 、b 为非零实数，∴b 2>0∴a －3≥0a ≥3∵24242a b a -++=∴24242a b a -++=，∴20b ++=．∴()22030b a b +=⎧⎪⎨-=⎪⎩，∴32a b =⎧⎨=-⎩，故选C ．【变式题组】0l3b +＝0成立，则a b ＝____．02()230b -=，则ab的平方根是____． 03．（）若x 、y为实数，且20x +=，则2009x y ⎛⎫⎪⎝⎭的值为（ ）A ．1B ．－1C ．2D ．－204．已知x1x π-的值是( )A ．11π-B ．11π+C ．11π- D ．无法确定【例3】若a 、b都为有理效，且满足1a b -+=+a ＋b 的平方根．【解法指导】任何两个有理数的和、差、积、商（除数不为0）还是有理数，但两个无理数的和、差、积、商（除数不为0）不一定是无理数．∵1a b -+=+∴1a b -=⎧⎪=1a b -=⎧⎪=，∴1312a b =⎧⎨=⎩，a ＋b ＝12 ＋13＝25．∴a ＋b的平方根为：5==±． 【变式题组】01．（市竞赛题）已知m 、n2）m ＋(3－n ＋7＝0求m 、n ．02．（希望杯试题）设x 、y 都是有理数，且满足方程（123π+）x ＋（132π+）y −4−π＝0，则x −y ＝____．【例4】若a2的整数部分，b −1是9的平方根，且a b b a -=-，求a ＋b 的值．−2＝整数部分＋小数部分．整数部分估算可得2，则小数部分−2 −24．∵a ＝2，b −1＝±3 ，∴b ＝－2或4∵a b b a -=-．∴a <b ，∴a ＝2， b ＝4，即a ＋b ＝6．【变式题组】01．若3a ，3−b ，则a ＋b 的值为____．02a ，小数部分为ba ）·b ＝____．演练巩固 反馈提高0l ．下列说确的是( )A ．－2是(－2)2的算术平方根B ．3是－9的算术平方根C ． 16的平方根是±4D ．27的立方根是±302．设3a =-，b ＝ －2，52c =-，则a 、b 、c 的大小关系是( ) A ．a <b <c B ．a <c <b C ． b <a <c D ．c <a <b03．下列各组数中，互为相反数的是( )A ．－9与81的平方根B ．4与 364-C ．4与364D ．3与904．在实数1.414，2-，0.1•5•，5−16，π，3.1•4•，83125中无理数有( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ． 5个05．实数a 、b 在数轴上表示的位置如图所示，则( )A ．b >aB ．a b >C ． －a ＜bD ．－b >a06．现有四个无理数5，6，7，8，其中在2＋1与3＋1之间的有( )A ． 1个B ．2个C ． 3个D ．4个07．设m 是9的平方根，n ＝()23．则m ，n 的关系是( )A . m ＝±nB .m ＝nC .m ＝－nD .m n ≠08．（）如图，数轴上 A 、B 两点表示的数分别为－1和3，点B 关于点A 的对称点C ，则点C 所表示的数为( )A ．－23-B ．－13-C ．－2 ＋3D ．l ＋309．点A 在数轴上和原点相距5个单位，点B 在数轴上和原点相距3个单位，且点B 在点A 左边，则A 、B 之间的距离为____．10．用计算器探索：已知按一定规律排列的一组数：1，2，3…，19，20．如果从中选出若干个数，使它的和大于3，那么至少要选____个数．11．对于任意不相等的两个数a、b，定义一种运算※如下：a※b＝a b+，如3※2＝32+＝5．那么12.※4＝____．12．（中考题）已知a、b为两个连续整数，且a<7 <b，则a＋b＝____．13．对实数a、b，定义运算“*”，如下a*b＝()()22a b a bab a b⎧⎪⎨⎪⎩≥<，已知3*m＝36，则实数m＝____．14．设a是大于1的实数．若a，23a+，213a+在数轴上对应的点分别是A、B、C，则三点在数轴上从左自右的顺序是____．15.如图，直径为1的圆与数轴有唯一的公共点P．点P表示的实数为－1．如果该圆沿数轴正方向滚动一周后与数轴的公共点为P′，那么点P′所表示的数是____．16．已知整数x、y满足x＋2y＝50，求x、y．17．已知2a−1的平方根是±3，3a＋b−1的算术平方根是4，求a＋b＋1的立方根．18．小颖同学在电脑上做扇形滚动的游戏，如图有一圆心角为60°，半径为1个单位长的扇形放置在数轴上，当扇形在数轴上做无滑动的滚动时，当B点恰好落在数轴上时，(1)求此时B点所对的数；(2)求圆心O移动的路程．19．若b＋＋3l，且a＋11的算术平方根为m，4b＋1的立方根为n，求（mn−2）(3mn＋4)的平方根与立方根．20．若x、y为实数，且（x−y＋1）2的值．培优升级奥赛检测01．（荆州市八年级数学联赛试题）一个正数x的两个平方根分别是a＋1与a−3，则a值为( )A． 2 B．－1 C． 1 D． 002．( )A．0 B． 1C．1 D． 203−2的最小值为____．04．设a、b为有理数，且a、b满足等式a2＋3b＋21−，则a＋b＝____．05．若a b-＝1，且3a＝4b，则在数轴上表示a、b两数对应点的距离为____．06．已知实数a满足2009a a-=，则a− 20092＝_______．m满足关系式199y x=--，试确定m的值．08．（全国联赛）若a、b满足5b＝7，S＝3b，求S的取值围．09．（市初二年级竞赛试题）已知0<a<1，并且123303030a a a⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦2830a⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦2930a⎡⎤++⎢⎥⎣⎦18=，求[10a]的值[其中[x]表示不超过x的最大整数] ．10．（竞赛试题）已知实数a 、b 、x 、y 满足y21a =-，231x y b -=--，求22x ya b +++的值．第14讲平面直角坐标系（一）考点．方法．破译1．认识有序数对，认识平面直角坐标系．2．了解点与坐标的对应关系．3．会根据点的坐标特点，求图形的面积．经典．考题．赏析【例1】在坐标平面描出下列各点的位置．A(2，1)，B(1，2)，C(－1，2)，D(－2，－1)，E(0，3)，F(－3，0)【解法指导】从点的坐标的意义去思考，在描点时要注意点的坐标的有序性．【变式题组】01．第三象限的点P(x，y)，满足|x|＝5,2x＋|y|＝1，则点P得坐标是-_____________．02．在平面直角坐标系中，如果m.n＞０，那么（m, |n|）一定在____________象限.03．指出下列各点所在的象限或坐标轴．A(－3，0)，B(－2，－13)，C(2，12)，D(0,3)，E(π－3.14，3.14－π) 【例2】若点P(a，b)在第四象限，则点Q(―a，b―1)在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解法指导】∵P(a，b)在第四象限，∴a＞0，b＜0，∴－a＜0,b－１＜0,故选C．【变式题组】01．若点G(a，2－a)是第二象限的点，则a的取值围是（）A．a＜0 B．a＜2 C．0＜a＜2 B．a＜0或a ＞202．如果点P(3x－２，２－x)在第四象限，则x的取值围是____________．03．若点P(x，y)满足xy＞0，则点P在第______________象限．04．已知点P(2a－8，2－a)是第三象限的整点，则该点的坐标为___________．【例３】已知A点与点B(－3，4)关于x轴对称，求点A关于y轴对称的点的坐标．【解法指导】关于x轴对称的点的坐标的特点：横坐标(x)相等，纵坐标(y)互为相反数，关于y轴对称的点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标(y)相等．【变式题组】01．P(－1，3)关于x轴对称的点的坐标为____________．02．P(3，－2)关于y轴对称的点的坐标为____________．03．P(a，b)关于原点对称的点的坐标为____________．04．点A(－3，2m－１) 关于原点对称的点在第四象限，则m的取值围是____________．05．如果点Ｍ(a＋b，ab)在第二象限，那么点N(a，b) 关于y轴对称的点在第______象限．【例４】P(3，－4)，则点P到x轴的距离是____________．【解法指导】P(x，y)到x轴的距离是| y|，到y轴的距离是|x|．则P到轴的距离是|－4|＝4【变式题组】01．已知点P(3，5)，Q(6，－５)，则点P、Q到x轴的距离分别是_________，__________．P到y轴的距离是点Q到y轴的距离的________倍．02．若x轴上的点Ｐ到y轴的距离是3，则P点的坐标是__________．03．如果点B(m＋1，3m－5) 到x轴的距离与它到y轴的距离相等，求m的值．04．若点(5－a，a－3)在一、三象限的角平分线上，求a的值．05．已知两点A(－3，m)，B(n，4)，AB∥x轴，求m的值，并确定n的取值围．【例５】如图，平面直角坐标系中有A、B两点．(1)它们的坐标分别是___________，___________；(2)以A、B为相邻两个顶点的正方形的边长为_________；(3)求正方形的其他两个顶点C、D的坐标．【解法指导】平行x轴的直线上两点之间的距离是：两个点的横坐标的差得绝对值，平行y轴的直线上两点之间的距离是：两个点的纵坐标的差得绝对值．即：A(x1，y1)，B(x2，y2)，若AB∥x轴，则|AB|＝|x1－x2|；若AB∥y，则|AB|＝|y1－y2|，则(1)A(2，2)，B(2，－1)；(2)3；(3)C(5，2)，D(5，－1)或C(－1，2)，D(－1，－1)．【变式题组】01．如图，四边形ACBD是平行四边形，且AD∥x轴，说明，A、D两点的___________坐标相等，请你依据图形写出A、B、C、D四点的坐标分别是_________、_________、____________、____________．02．已知：A(0，4)，B(－3，0)，C(3，0)要画出平行四边形ABCD，请根据A、B、C三点的坐标，写出第四个顶点D的坐标，你的答案是唯一的吗？03．已知：A(0，4)，B(0，－1)，在坐标平面求作一点，使△ABC的面积为5，请写出点C的坐标规律．【例6】平面直角坐标系，已知点A(－3，－2)，B(0，3)，C(－3，2)，求△ABC的面积．【解法指导】(1)三角形的面积＝12×底×高．(2)通过三角形的顶点做平行于坐标轴的平行线将不规则的图形割补成规则图形，然后计算其面积．则Ｓ△ABC＝Ｓ△ABD＝Ｓ△BCD＝12·3·5－12·3·1＝6．【变式题组】01．在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(―3，―1)，B(1，3)，C(2，－3)，△ABC的面积．02．如图，已知A(－4，0)，B(－2，2)，C,0，－1)，D(1，0)，求四边形ABDC 的面积．。
