最新浙江省杭州市第二中学2020届高三上学期期中考试数学试题

江西省2025届九年级期中综合评估数学▶上册◀说明：共有六个大题，23个小题，满分120分，考试时间120分钟.一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填入题后括号内错选、多选或未选均不得分.1.若关于的函数是二次函数，则的值为（ ）A.1B.2C.0D.32.以下是几种化学物质的结构式，其中文字上方的结构式图案属于中心对称图形的是（ ）A.甲醛B.甲烷 C.水 D.乙酸3.已知关于的一元二次方程有一个根为，则另一根为（ ）A.7B.3C.D.4.如图，四边形是的内接四边形，连接，，若，则的度数是（ ）A. B. C. D.5.在平面直角坐标系中，将抛物线绕顶点旋转得到新抛物线，再将新抛物线沿轴翻折得到抛物线，则，，的值分别是（ ）A.2，，11B.2，，5C.，，11D.，8，56.某校计划举办劳动之星颁奖典礼，想在颁奖现场设计一个如图1所示的抛物线型拱门入口.要在拱门上顺次粘贴“劳”“动”“之”“保”（分别记作点，，，）四个大字，要求与地面平行，且，抛物线最高点的五角星（点）到的距离为，，，如图2所示，则点到的距离为（ ）图1 图221.124.1~x 31my x x =-+m x 2520x x m -+=2-7-3-ABCD O OA OC 86AOC ∠=︒ADC ∠94︒127︒136︒137︒285y ax x =-+P 180︒x22y x bx c =++a b c 8-8-2-8-2-A B C D BC BC AD ∥E BC 0.6m 2m BC =4m AD =C ADA. B. C. D.二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7.一元二次方程的解为______.8.在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______.9.如图，是半圆的直径，，为的中点，连接，，则的度数为______.10.《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立.甲行率七，乙行率三.乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲、乙行各几何.”大意是说：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步.乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇.那么相遇时，甲、乙各走了多远？设甲走了步（步为古代长度单位，类似于现在的米），根据题意可列方程：____________.（结果化为一般式）11.在平面直角坐标系中，若抛物线向左平移2个单位长度后经过点，则的最大值为______.12.如图，在矩形中，连接，，，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，，当时，的周长为______三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13.（1）解方程：.（2）如图，将绕点逆时针旋转得到，若，且于点，求的度数.14.某件夏天T 恤的售价为100元，因换季促销，在经过连续两次降价后，现售价为81元，求平均每次降价的百分率.15.自古以来，景德镇就是中国陶瓷文化的象征，生产的瓷器闻名四方，远销世界各地.如图，这是景德镇2m 1.8m 2.4m 1.5m290x -=()2,4-BC OAB AC =D AC OD BD BDO ∠x ()()220y a x c a =-+≠()1,6-ac ABCD AC 1AB =60BAC ∠=︒AB B ()0180a α︒<≤︒BP CP DP 12PCB BAC ∠=∠DPC △()()()2131x x x x +=++ABC △A 28︒AB C ''△40C ∠'=︒AB BC '⊥E BAC ∠生产的某种瓷碗正面的形状示意图，是的一部分，是的中点，连接，与弦交于点，连接，.已知，碗深，求的长.16.如图，是的直径，点，点在上，，，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）.（1）如图1，在上作一点，使得是以为底边的等腰三角形.（2）如图2，在上方作一点，使得为等边三角形.图1图217.在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴没有交点.（1）求的取值范围.（2）请直接写出抛物线顶点所在的象限.四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18.如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点.（1）求的值，并求出此抛物线的顶点坐标.（2）当时，请利用图象，直接写出的取值范围.（3）当时，请利用图象，直接写出的取值范围.19.如图，在中，，将绕点顺时针旋转，得到，连接，.（1）求证：点，，在同一条直线上.（2）若，，求的面积.AB O D AB OD AB C OA OB 18cm AB =6cm CD =OA AB O C D O 60COA ∠=︒OD AB ⊥OD E OCE △OC AB F ABF △214y x x c =-++x c 222y x xc c c =-+-24y x mx =-++()3,4A -m 20x -≤≤y 0y ≤x ABC △135BCA ︒∠=ACB △A 90︒ADE △CD CE B C D 2BC=AC =CDE △20.某主播销售一种商品，已知这种商品的成本价为20元/个，规定销售价格不低于成本价，且不高于成本价的2倍，通过前几天的销售发现，该商品每天的销售量（单位：个）与销售价格（单位：元/个）之间满足一次函数关系，部分对应数据如下表：/（元/个） (23252811)/个…540500440…（1）求出关于的函数关系式，并直接写出的取值范围.（2）求销售该商品每天的最大利润.五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21.追本溯源题（1）来自课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并解答题（2）.（1）如图1，，比较与的长度，并证明你的结论.方法应用（2）如图2，，是的两条弦，点，分别在，上，连接，，且，是的中点.①求证：.②若圆心到的距离为3，的半径是6，求的长.图1 图222.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点和点（点在点的左侧），与轴相交于点，点与点关于轴对称，为该抛物线上一点，连接，，，.（1）求该抛物线的解析式.（2）若的面积与的面积相等，请直接写出点的横坐标.y x x y y x x AD BC = AB CDMB MD O A C MBMD AB CD AB CD =M AC BM DM =O DM O DM 25y x bx =-++x A ()5,0B A B y C D A y E AC CD DE BE BDE △ACD △E（3）当点在第一象限时，连接，设的面积为，求的最大值.六、解答题（本大题共12分）23.综合与实践如图，是等边内一点，，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，连接.初步感知（1）如图1，的延长线与交于点，求的度数.特例应用（2）如图2，作点关于的对称点，若点在的角平分线上.①当点与点重合时，的长为______；②当点与点不重合时，判断四边形的形状，并证明.拓展延伸（3）如图2，在（2）的条件下，取的中点，记为，当点从点运动到点时，请直接写出点运动的路径长.图1图2E CE ECD △S S P ABC △2AB =CP CP C 60︒CE AE BP AE Q AQB ∠E ACF P ABC △BD P F BP P F BPEF FPG P B D G江西省2025届九年级期中综合评估数学参考答案1.B2.C3.A4.D5.A 提示：由旋转和翻折可知，，抛物线的顶点的坐标为.点关于轴的对称点的坐标为，最后得到的抛物线的解析式为，.故选A.6.B 提示：建立如图所示的平面直角坐标系.由题意易知点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为，故设抛物线的解析式为，将点的坐标代入上式，得，抛物线的解析式为.点的横坐标为2，点的纵坐标为，点到的距离为.故选B.7.8.9.10.11.912.3或或 提示：，，，，，.如图1，当时，此时.易证得为等边三角形，的周长为；2a =8b =-∴2285y x x =-+P ()2,3- ()2,3P -x ()2,3∴()222232811y x x x =-+=-+11c ∴=C ()1,0B ()1,0-E ()0,0.6()()11y a x x =+-E 0.6a =-∴()()0.611y x x =-+- D ∴D ()()0.62121 1.8-⨯+⨯-=-∴C AD 1.8m 3x =±()2,4-22.5︒24020049x x -=2+3+1AB = 90ABC ∠=︒60BAC ∠=︒1CD ∴=22AC AB ==BC ∴==60α=︒1302PCB BAC ∠=︒=∠DPC △DPC ∴△33CD =如图2，当时，此时，，.易证得，，的周长为；如图3，当时，此时，，，.的周长为.综上所述，的周长为3或或.图1 图2 图313.（1）（解法不唯一）解：，，，.（2）解：将绕点逆时针旋转得到.，.又，，.14.解：设平均每次降价的百分率为.由题意得，解得，（舍去）.答：平均每次降价的百分率为.15.解：是的中点，，.设，则.在中，由勾股定理得，120α=︒1302PCB BAC ∠=︒=∠30PBC PCB ∴∠=∠=︒1PC BP ∴==DCP BPC ≌△△DP BC ∴==DPC ∴△2CD PC DP ++=+180a =︒1302PCB BAC ∠=︒=∠2PC AC ∴==22AP AB ==DP ∴===DPC ∴△123CD PC DP ++=+=+DPC △2+3+()()()2131x x x x +=++ ()()1230x x x ∴+--=11x ∴=-23x = ABC △A 28︒AB C ''△28BAE ∴∠=︒40C C ∠'=∠=︒AB BC '⊥ 9050EAC C ∴∠=︒-∠=︒285078BAC BAE EAC ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒x ()2100181x -=10.110%x ==2 1.9x =10%DAB OD AB ∴⊥19cm 2AC BC AB ∴===cm OA r =()6cm OC r =-Rt OAC △222OC AC OA +=即，解得，的长为.16.解：（1）如图1，即所求.（2）如图2，即所求.图1 图217.解：（1）抛物线与轴没有交点，，即，解得.（2）第二象限.提示：，该抛物线的顶点坐标为.，，点在第二象限.18.解：（1）把代入，得，解得.，抛物线的顶点坐标为.（2）当时，的取值范围是.（3）当时，的取值范围是或.19.解：（1）证明：是由绕点顺时针旋转得到的，，，，.()22269r r -+=394r =OA ∴39cm 4OCE △ABF △ x 240b ac ∴∆=-<10c +<1c <-()2222y x xc c c x c c =-+-=-- ∴(),c c -1c <- 1c ∴->∴(),c c -()3,4A -24y x mx =-++9344m --+=3m =-223253424y x x x ⎛⎫=--+=-++ ⎪⎝⎭∴325,24⎛⎫- ⎪⎝⎭20x -≤≤y 2544y ≤≤0y ≤x 4x ≤-1x ≥ADE△ACB △A 90︒ACB ADE ∴≌△△90CAD ∠=︒AC AD ∴=()1180452ACD ADC CAD ∴∠=∠=︒-∠=︒又，，点，，在同一条直线上.（2）由（1）可知，，.，.，.20.解：（1）设关于的函数关系式为.将，代入上式.得解得.（2）设销售该商品每天的利润为元.由题意得.，，当时，取得最大值，且最大值为4500.答：销售该商品每天的最大利润为4500元.21.解：（1）.证明：，，，即.（2）①证明：是的中点，.，，，，.②如图，过点作，是垂足，连接.135BCA ∠=︒ 13545180BCA ACD ∴∠+∠=︒+︒=︒∴B C D 90CAD ∠=︒AC AD=6CD ∴===135ADE BCA ︒∠=∠= 90CDE ADE ADC ︒∴∠=∠-∠=2DE BC == 1162622CDE S CD DE ∴=⋅=⨯⨯=△y x y kx b =+()23,540()25,50023540,25500,k b k b +=⎧⎨+=⎩20,1000,k b =-⎧⎨=⎩()2010002040y x x ∴=-+≤≤W ()()()22202010002014002000020354500W x x x x x =--+=-+-=--+200-< 203540<<∴35x =W AB CD=AD BC = AD BC∴= AD AC BC AC ∴+=+ AB CD=M AC AM CM∴=AB CD = AB CD∴= AB AM CMCD ∴+=+ BMDM ∴=BM DM ∴=O ON MD ⊥N OM在中，，，22.解：（1）∵抛物线与轴相交于点和点，，解得，该抛物线的解析式为.（2.（3），令，即，解得，，点的坐标为.点与点关于轴对称，点的坐标为.设点的坐标为.设直线的解析式为.由点，的坐标可知，解得直线的解析式为.如图，过点作轴，交于点.当时，，点的坐标为，， Rt OMN △3ON =6OM =MN ∴==2DM MN ∴==25y x bx =-++x A ()5,0B 25550b ∴-++=4b =∴245y x x =-++245y x x =-++ ∴0y =2450x x -++=11x =-25x =∴A ()1,0- D A y ∴D ()1,0-E ()2,45m m m -++CE y kx t =+()0,5C ()2,45E m m m -++25,45,t mk t m m =⎧⎨+=-++⎩4,5,k m t =-+⎧⎨=⎩∴CE ()45y m x =-++D DF y ∥CE F 1x =()459y m m =-++=-+∴F ()1,9m -+9DF m ∴=-则，当时，的值最大，且最大值为，故的最大值为.23.解：（1），，即.又，，（SAS ），.，.（2②四边形为平行四边形.证明：如图1，连接.图1在等边中，平分，.又，关于对称，，，，.在等边中，，，.在等边中，，，，，，，.平分，，，，为等边三角形，()2111981922228E S DF x m m m ⎛⎫=⋅⋅=-=--+ ⎪⎝⎭∴92m =S 818S 81860ACB PCE ∠=∠=︒ ACB ACP PCE ACP ∴∠-∠=∠-∠BCP ACE ∠=∠BC AC = CP CE =BCP ACE ∴≌△△CBP CAE ∴∠=∠CBP ACB CAE AQB ∠+∠=∠+∠ 60AQB ACB ︒∴∠=∠=BPEF CF ABC △BD ABC ∠BD AC ∴⊥E F AC AF AE ∴=CF CE =AC EF ∴⊥EF BP ∴∥ PCE △60PCE ∠=︒PC CE PE ==CF PC ∴= ABC △AC BC =60ACB ∠=︒ACB PCE ∴∠=∠PCB ACE ∴∠=∠()SAS BCP ACE ∴≌△△CAE CBP ∴∠=∠BP AE =BD ABC ∠30CBP ︒∴∠=30CAE FAC CBP ∴∠=∠=∠=︒60FAE ∴∠=︒AFE ∴△，.，，四边形为平行四边形.（3.提示：将图1中与的交点记为.由（2）易知.，，，即，易求得，，.如图2，当点从点运动到点时.图2，点的运动路径为图2中的长，为的中点，连接，.，同理可得，是等边三角形.是的中点，，易求得.AE EF ∴=BP EF ∴=BP EF ∥BP EF =∴BPEF AF BP M BP AF =30FAB ABP ∠=∠=︒ AM BM∴=BP BM AF AM ∴-=-PM FM =∴30MPF ∠=︒MPF ABP ∴∠=∠PF AB ∴∥P B D PF AB ∥∴G GH H AB DH HF 112DF AB == 1DH HF ==DFH ∴△G DF 1DH DF ==∴GH =。

浙江省衢州第二中学2024届高三下学期3月月考数学试题试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设命题:p 函数()x xf x e e -=+在R 上递增，命题:q 在ABC ∆中，cos cos A B A B >⇔<，下列为真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．()p q ∨⌝C ．()p q ⌝∧D ．()()p q ⌝∧⌝2．由实数组成的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则“a 1>0”是“S 9>S 8”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知直线22+=mx ny ()0,0m n >>过圆()()22125x y -+-=的圆心，则11m n+的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44．已知ABC △的面积是12,1AB =,BC =,则AC =（ ）A ．5B 1C ．5或1D5．给出以下四个命题：①依次首尾相接的四条线段必共面；②过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；③空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角必相等； ④垂直于同一直线的两条直线必平行. 其中正确命题的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．36．已知椭圆22y a +22x b =1(a >b >0)与直线1y a x b -=交于A ，B 两点，焦点F (0，-c )，其中c 为半焦距，若△ABF 是直角三角形，则该椭圆的离心率为（ ）A ．2B C D ．147．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23S =，410S =，则6S =（ ） A ．21B ．22C ．11D ．128．过直线0x y +=上一点P 作圆()()22152x y ++-=的两条切线1l ，2l ，A ，B 为切点，当直线1l ，2l 关于直线0x y +=对称时，APB ∠=（ ）A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒9．已知集合{}23100A x x x =--<，集合{}16B x x =-≤<，则A B 等于（ ）A ．{}15x x -<< B ．{}15x x -≤< C ．{}26x x -<<D ．{}25x x -<<10．己知函数sin ,2,2(),2223sin ,2,2(),222x x k k k z y x x k k k z ππππππππππ⎧⎛⎫⎡⎫+∈-+∈ ⎪⎪⎪⎢⎪⎝⎭⎣⎭=⎨⎛⎫⎡⎫⎪-+∈++∈ ⎪⎪⎢⎪⎝⎭⎣⎭⎩的图象与直线(2)(0)y m x m =+>恰有四个公共点()()()()11123344,,,,.,,,A x y B x y C x y D x y ，其中1234x x x x <<<，则()442tan x x +=（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．222+ 11．双曲线2214x y -=的渐近线方程是（ ）A ．32y x =±B ．233y x =±C ．2x y =±D ．2y x =±12．已知函数()3sin cos (0)f x x x ωωω=->，()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的一条对称轴是（ ）A ．12x π=-B ．12x π=C ．3x π=-D ．3x π=二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

南昌二中2025届高三第一次月考数学试题一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知集合，，则（ ）A.B.C.D.2.已知函数，则的值为（ ）A.C. D.23.下列幂函数中，是奇函数，且在上是增函数的是（ ）A.B.C.D.4.已知，则（ ）A.B. C.D.125.设函数的定义域为A ，函数的值域为B ，则“”是“”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.若函数有唯一极值点，则下列关系式一定成立的是（ ）A. B.C.D.7.已知关于x在内恰有3个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）A. B. C. D.{}30A x x =->{}2540B x x x =-+>A B ⋂=(,1)-∞(3),-∞(3,)+∞(4,)+∞2log ,0()3,0xx x f x x >⎧=⎨≤⎩1[()]4f f 192-()0,∞+53y x -=53y x =34y x =43y x =()()1sin 3cos ,tan tan 5αβαβαβ+=-=-tan tan αβ+=15-5-1251()ln 2xf x x -=+()4g x x =-x A ∈x B ∈()()22ln 0f x ax x b x ab =-+≠0,0a b <<0,0a b <>0ab <0ab >)1sin cos x x ωω-=(0)ω>()0,πω135,62⎡⎫⎪⎢⎣⎭135,62⎛⎤ ⎥⎝⎦519,26⎡⎫⎪⎢⎣⎭519,26⎛⎤⎥⎝⎦8.若不等式对任意的恒成立，则的最小值为（ ）A. B.C.D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.已知正数满足，则下列选项正确的是（）A.B.C.D.10.已知函数，则（ ）A.是的极大值点B.的图象关于点对称C.有2个零点D.当时，11.在中，内角所对的边分别为，其中，且，则下列说法正确的是（ ）A.B.C.若为边的中点，则的最大值为3D.若为锐角三角形，则其周长的取值范围为三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知扇形的圆心角为3，周长为30，则扇形的面积为__________.13.已知直线是抛物线的准线，抛物线的顶点为原点，焦点为，若为上一点，与()ln e ,x a x b a b x ≤+≤∈R 31,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦a 323e -325e 2-33ln 2233e 3ln 2-,a b (1)(1)1a b --=111a b+=8ab ≥4a b +≥228a b +≥()3223f x x x =-0x =()f x ()f x 11(,22()()1g x f x =+01x <<2(1)(1)f x f x ->-ABC ,,A B C ,,a b c a =2212b c bc +-=π3A =ABC D BC AD ABC (6+l 2:4C y x =O F A C l的对称轴交于点，在中，，则__________.14.函数的图象与过原点的直线恰有四个交点，设四个交点中横坐标最大值为，则__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）已知函数的部分图象如图所示，图象与x 轴正半轴的第一个交点（从左至右）为，图象与y 轴的交点为.（1）求的解析式及对称中心；（2）将的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的倍，再将所得图象上各点向右平移个单位长度，得到的图象，求在区间上的单调递减区间.16.（15分）已知函数.（1）若是上的奇函数，求函数的零点；（2）若函数在的最大值为，求实数的值.17.（15分）如图，在四棱锥中，四边形是等腰梯形，，，，.C B ABF sin AFB ABF ∠=∠AB =()()cos 0f x x x =≥θsin 2sin 2θθθθ+=()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭5π,06A ⎛⎫⎪⎝⎭()0,1B ()f x ()f x 12π4()g x ()g x []0,π()22xxf x a -=⋅-()f x R ()()32g x f x =+0x ()()42xxh x f x -=++[]0,1x ∈2-a P ABCD -ABCD AB CD ∥1AD BC CD ===2AB =AD PB ⊥（1）证明：平面平面；（2）若，且，求二面角的正弦值.18.（17分）如图，平面四边形中，，，为正三角形.（1）当时，求的面积；（2）设，求的面积的最大值.19.（17分）已知函数（）.（1））讨论的单调性；（2）证明：（，）；（3）若函数有三个不同的零点，求的取值范围.PBD ⊥ABCD DP =PD CD ⊥A PB D --ABCD 4DC =2AD =ABC π3ADC ∠=BCD (0π)ADC θθ∠=<<BCD 1()2ln f x m x x x=-+0m >()f x 2322221111(1)(1(1)e 234n+++⋅⋅⋅+<*n ∈N 2n ≥221()ln 2g x m x x x=--+m高三第一次月考数学参考答案一､单选题1-8DABC ACBA二､多选题9.ACD 10.AC11.ACD三､填空题12.5413.14.四､解答题15.【答案】（1）.（2）【详解】（1）过，由，又过，令，的对称中心为.（2）函数的图象上各点的的纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的倍，得到；再将所得图象上各点向右平移个单位长度，得到的图象，所以，2-()ππ2sin ;π,0,66f x x k k ⎛⎫⎛⎫=+-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Z 511π,π1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦()f x ()0,1,2sin 1B ϕ∴=()πππ,,2sin 266f x x ϕϕω⎛⎫<∴=∴=+ ⎪⎝⎭()f x 5π5π5π,0,2sin π0,ππ2π,66666A k k ωω⎛⎫⎛⎫∴+=∴+=+∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Z125π361,,,546255k T T k ωω∴=+∈<<∴<<Z ()π1,2sin 6f x x ω⎛⎫∴=∴=+ ⎪⎝⎭πππ,,π,66x k k x k k +=∈∴=-∈Z Z ()f x ∴ππ,0,6k k ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z ()y f x =12π2sin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π4()g x ()πππ2sin 22sin 2463g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，，在上单调递减区间为.16.【答案】（1）（2）【详解】（1）解：为R 上的奇函数，，.（若用得到，则必须检验，没有检验扣1分）所以，所以，令，则，，又，，解得，即，所以函数的零点为.（2）解：因为，令，则，对称轴，①当，即时，；②当，即时，（舍）；综上：实数的值为.17.【答案】（1）证明见解析（2）【详解】（1）过点作，ππ35112π2π2π,,ππππ,2321212k x k k k x k k +≤-≤+∈∴+≤≤+∈Z Z []5110,π,0,π,π1212x k x ⎡⎤∈∴=∈⎢⎥⎣⎦ ()g x ∴[]0,π511π,π1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦1-3-()f x ()()0f x f x ∴-+=()()22220,1220,1x x x x x x a a a a ---∴⋅-+⋅-=∴-⋅+=∴=()00f =1a =()22xxf x -=-()3222x xg x -=-+()32202xxg x -=-+=()()2223220x x ⋅+⋅-=()()222210x x ∴+⋅⋅-=20x >2210x ∴⋅-=1x =-01x =-()g x 1-()[]2242,0,1xxx x h x a x --=⋅-++∈2x t =[]()[]21,2,,1,2t h t t at t ∈=+∈2a t =-322a -…3a -…()max ()2422,3h t h a a ==+=-∴=-322a ->3a <-()max ()112,3h t h a a ==+=-∴=-a 3-D DE AB ⊥由等腰梯形易知，因为，所以，因为，所以，所以，所以，因为，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面；（2）因为平面，所以，因为平面，所以平面，所以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，所以，所以，，设平面的法向量，所以，令，所以，同理可得平面的法向量，12AE =DE AB⊥DE =32BE=BD =222AD BD AB +=AD BD ⊥,,AD BD AD PB BD PB B ⊥⊥⋂=,BD PB ⊂PBD AD ⊥PBD AD ⊂ABCD PBD ⊥ABCD AD ⊥PBD AD PD ⊥,,,PD CD PD AD CD AD ⊥⊥⊂ABCD PD ⊥ABCD D ()(()1,0,0,,A PB ((,AP PB =-=()DB = APB ()111,,m x y z =111100x ⎧-+=⎪=11x=m ⎛= ⎝PBD ()1,0,0n =所以二面角的余弦值绝对值为，所以二面角18.【答案】（1）2）【详解】（1）在中，由余弦定理知，解得.由正弦定理.所以.因为，所以，所以，所以.所以.（2）设，在中，由余弦定理知，，所以.由正弦定理知，即，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，A PB D --cos m n m n θ⋅== A PB D --=4+ACD 222π12cos4162241232AC AD CD AD CD =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=AC =sin sin AC AD ADC ACD∠∠=2sin ACD ∠=1sin 2ACD ∠=π3ADC ∠=2π0,3ACD ∠⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π6ACD ∠=π2BCD ∠=1114222BCD S CD BC CD AC =⋅=⋅=⨯⨯= ACD ∠α=ACD 2222cos 2016cos AC AD CD AD CD θθ=+-⋅⋅=-2222cos AD AC CD AC CD α=+-⋅⋅212cos 8AC ACα+=sin sin AC AD ADC ACD ∠∠=2sin sin AC θα=2sin sin ACθα=()11πsin 4sin 223BCD S CD BC ACD ACB AC ∠∠α⎛⎫=⋅+=⨯⨯+ ⎪⎝⎭ 22sin 12π2sin 4sin 483AC AC AC AC θθθθ⎛⎫+⎛⎫=⋅+=-+=-+≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ32θ-=5π6θ=故的面积的最大值为.19.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析；（3）.（1）函数定义域为，求导得，设，则，①当时，恒成立，且至多一点处为0，函数在上递减；②当时，有两个零点，则当或时，，即；当时，，即，即函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时，的递减区间为；当时，的递减区间为，递增区间为.（2）由（1）知，当时，时，，则，令，于是，，所以.（3）函数，BCD4+(1,)+∞()f x (0,)+∞2222121()1m x mx f x x x x-+-'=--=2()21k x x mx =-+-24(1)m ∆=-01m <≤0,()0f x '∆≤≤()f x (0,)+∞1m >0,()k x ∆>120,0x m x m =->=+>10x x <<2x x >()0k x <()0f x '<12x x x <<()0k x >()0f x '>()f x 12(0,),(,)x x +∞12(,)x x 01m <≤()f x (0,)+∞1m >()fx (0,)m m+∞(m m -1m =(1,)x ∈+∞1()2ln (1)0f x x x f x=-+<=1ln 22x x x <-*211(,2)x n n n=+∈≥N 2222222111111111ln(1)(1(112212(1)4n n n n n n n +<+-=+<<++-111122n n =--+22221111ln(1ln(1ln(1ln(1234n ++++++++ 111111212()()()11111113322332222222n n n <-+-++-=-<-+-+-++ 2322221111(1)(1)(1e 234n+++⋅⋅⋅+<222221(1)()ln 2ln (ln ln x g x m x x m x m x m x x x -=--+=-=-+由于与同号，则，令，由，则有三个不同的零点等价于函数有三个不同的零点，由（1）知，当时，在上单调递减，不合题意；当时，由（1）知，的两极值点满足，所以，得，由，则，由（2）知，当时，，则因此，由零点存在性定理知，在区间上有唯一的一个零点，显然，而，则，于是当时，存在三个不同的零点，所以的取值范围是.小题详解一､单选题1.【答案】D【详解】或，所以或.故选：D.2.【答案】A 【详解】因为，故.故选：A 3.【答案】Bln x 1x -ln y m x =+1x =t =(1)0f =()g x ()f t 01m <≤()f t (0,)+∞1m >()f x 12,x x 121x x =121t t =121t t <<(1)0f =12)((1)(0)f t f f t <=<1t >1ln 22t t t<-ln <ln t <-2222222211114(42ln(442(2)40)4)424m f m m m m m m m m m m m-=-+<--+=<()f t 22(,4)t m 0t 000000001111((2ln 2ln 0)f t f m t t m t t t t t +=-++-+=0()0f t =0)(10f t =1m >()f t 001,1,t t m (1,)+∞{}{}{}()(){}2303,540410{4A xx x x B x x x x x x x x =->=>=-+>=-->=>∣∣∣∣∣1}x <()3,{4A B xx ∞⋂=+⋂>∣{}()1}44,x x x ∞<=>=+∣104>()221111log 2,234449f f f f -⎡⎤⎛⎫⎛⎫==-=-== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦【详解】A 选项，中，，故在上单调递减，A 错误；B 选项，中，故在上单调递增，又定义域为，故为奇函数，满足要求，B 正确；C 选项，的定义域为，故不是奇函数，C 错误；D 选项，的定义域为，故为偶函数，D 错误.故选：B4.【答案】C【详解】因为，所以，即又所以所以，故选：C5.【答案】A 【详解】由，得，所以，令，则在单调递增，则，所以A 是B 的真子集，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A6.【答案】C【详解】由，得，令，若，此时单调，不存在极值点，所以，即，53y x -=503-<53y x -=()0,∞+53y x =503>53y x =()0,∞+()53f x x =()()5533R,()f x x x f x -=-=-=-53y x =34y x =[)0,∞+()43g x x =()()4433R,()g x x x g x -=-==43y x =1tan tan 5αβ=-sin sin 1cos cos 5αβαβ=-1sin sin cos cos 5αβαβ=-()()sin 3cos 3cos cos 3sin sin αβαβαβαβ+=-=+()112sin 3cos cos 3cos cos cos cos 55αβαβαβαβ⎛⎫+=+⨯-= ⎪⎝⎭()12cos cos sin sin sin sin cos cos sin 125tan tan cos cos cos cos cos cos cos cos 5αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+++=+====102x x ->+21x -<<()2,1A =-)0t t =≥22y t t =+-[)0,∞+[)2,B ∞=-+x A ∈x B ∈()()22ln 0,0f x ax x b x ab x =-+≠>()22222b ax x b f x ax x x -+=-+='()()2220,Δ48g x ax x b ab ab =-+≠=-Δ480ab =-≤()f x 480ab ->12ab <由于有唯一极值点，故有正根，负根各一个，则，故.故选：C.7.【答案】B，所以，所以，由，可得，因为方程有3个不相等的实数根，所以由正弦函数的图像可得，解得，所以的取值范围.故选：B.8.【答案】A【详解】因为，所以，所以即求直线的纵截距的最小值，设，所以，所以在单调递增，所以在的图象上凹，所以直线与相切，切点横坐标越大，纵截距越小，令切点横坐标为，所以直线过点，且直线斜率为所以的直线方程为，当时，，即直线与相切时，直线与无交点，设，所以，所以在时斜率为，在时斜率为1，均小于直线的斜率，()f x ()g x 02b a<0ab <)1sin cos x x ωω-=cos x x ωω=12cos 2x x ωω⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭πsin 6x ω⎛⎫+= ⎪⎝⎭()0,πx ∈πππ,π666x ωω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭7ππ8ππ363ω<+≤13562ω<≤ω135,62⎛⎤ ⎥⎝⎦ln e x a x b x≤+≤ln e x x x bx a x ≤+≤y bx a =+a ()e x f x x =()()e 10x f x x =+>'()f x 31,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x 31,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x 323233,e 22⎛⎫ ⎪⎝⎭y bx a =+325e 2y bx a =+3259e 24y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭1x =3322e 2.56 1.024ln 44y x x =>=>y bx a =+()f x y bx a =+()f x ()ln g x x x =()ln 1g x x =+'()g x 32x =3ln 12+1x =所以可令直线在处与相交，在处与相交，所以直线方程为，所以截距为.故选：A.二､多选题9.【答案】ACD【详解】对于A ，由题可得，即，故A 正确；对于B ，为正数，为正数，，当且仅当时，等号成立.故B 不正确；对于C ，为正数，，当且仅当时，等号成立，故C 正确；对于为正数，，当且仅当时，等号成立.故D 正确.故选：ACD.10.【答案】AC【详解】对于A ，函数，令，解得或，故当时，当时，，当时，则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故0是的极大值点，故A 正确：对于B ，因为，y bx a =+32x =()f x 1x =ln y x x =()()32323e 02103e 1312y x x -=-+=--323e -ab a b =+111b a a b ab++==,a b 11,a b111a b +=≥24ab ≥⇒≥a b 2==,a b ()112224b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+=⎪⎝⎭a b 2==D,,a b 2228a b ab +≥≥2a b ==()()()32223,6661f x x x f x x x x x =-=-=-'()0f x '=0x =1x =(),0x ∞∈-()0f x '>()0,1x ∈()0f x '<()1,x ∞∈+()0f x '>()f x (),0∞-()0,1()1,∞+()f x ()()3232322321232(1)3(1)2326623631f x f x x x x x x x x x x x x +-=-+---=-+-+--+-=-所以的图象关于点对称，故B 错误；对于C ，，易知的单调性一致，而，故有2个零点，故C 正确；对于D ，当时，，而在上单调递增，故，故D 错误.故选：AC.11.【答案】ACD【详解】对于A ，由题意可知，利用余弦定理得，，因为，所以，故A 正确；对于B ，由上述可知，的面积，且易知，解出，当且仅当，故B 错误；对于C ，在和中，对和利用余弦定理，，化简后有，由B 知，的最大值为12，因此最大为3，故C 正确；对于D ，利用正弦定理，，则，于是的周长，由于是锐角三角形，因此即解出，()f x 11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭()()321231g x f x x x =+=-+()(),g x f x ()10g =()()1g x f x =+01x <<21110x x -<-<-<()f x ()1,0-()()211f x f x -<-2222212b c b c a bc +-=+-=2221cos 22b c a A bc +-==()0,πA ∈π3A =ABC 1sin 2S bc A ==2212212b c bc bc +-=≥-12bc ≥b c ==S ==ABD ACD ADB ∠ADC ∠22222222BD AD AB CD AD AC BD AD CD AD+-+-=-⋅⋅232bc AD =+bc AD 4sin sin sin b c a B C A===4sin ,4sin b B c C ==ABC π4sin 4sin 6L B C B ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭π0,2π0,2B C ⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩π0,22ππ0,32B B ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩ππ62B <<则则，则，故D 正确.故选：ACD.三､填空题12.【答案】54【详解】设扇形所在圆半径为，则扇形弧长，于是，解得，所以扇形的面积.故答案为：5413.【答案】【分析】过A 作，垂足为，根据抛物线定义以及正弦定理可求得为等腰直角三角形，所以.【详解】过A 作，垂足为，如下图所示：易知，在中，，由正弦定理可得即则在中，可得，则，所以，即.可得为等腰直角三角形，又易知，可得.故答案为：14.【答案】【解答】函数的图象与过原点的直线恰有四个交点，直线与函数ππ2π,633B ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭πsin 6B ⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎦(6L ∈+r 3l r =2330r r +=6r =2136542S =⨯⨯=AD l ⊥D AB =ABF AB =AD l ⊥D ()()1,0,1,0,F B AD AF -=ABF sin AFB ABF ∠∠=AB =AB =Rt ADB π4ABD ∠=π4ABF ∠=sin 1AFB ABF ∠∠===π2AFB ∠=ABF 2BF =AB =2- ()()f x cosx x 0=…∴在区间内的图象相切，在区间上，y 的解析式为，故由题意切点坐标为，切线斜率由点斜式得切线方程为：，直线过原点，，得，原式.故答案为：.()cos 0y x x =…3π,2π2⎛⎫ ⎪⎝⎭3π,2π2⎛⎫ ⎪⎝⎭cos y x =(),cos θθ∴y sin ,k θ=-'=∴()cos sin ,sin sin cos y x y x θθθθθθθ-=--∴=-++ sin cos 0θθθ∴+=1tan θθ=-∴()2211sin21sin21tan tan sin21tan tan θθθθθθθθθ⎛⎫+ ⎪+⎛⎫⎝⎭===-+ ⎪⎝⎭-()22sin cos 2sin cos 2sin cos 2cos sin θθθθθθθθ⎛⎫=-+⋅=-+=- ⎪⎝⎭2-。

2025届浙江省宁波市九校（余姚中学高三下学期联合考试数学试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设m ，n 为直线，α、β为平面，则m α⊥的一个充分条件可以是( ) A ．αβ⊥，n αβ=，m n ⊥ B ．//αβ，m β⊥ C ．αβ⊥，//m βD ．n ⊂α，m n ⊥2．羽毛球混合双打比赛每队由一男一女两名运动员组成. 某班级从3名男生1A ，2A ，3A 和3名女生1B ，2B ，3B 中各随机选出两名，把选出的4人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛，则1A 和1B 两人组成一队参加比赛的概率为（ ） A ．19B ．29C ．13D ．493．若集合{|A x N x =∈=，a = ）A ．{}a A ⊆B ．a A ⊆C ．{}a A ∈D ．a A ∉4．已知i 为虚数单位，复数()()12z i i =++，则其共轭复数z =（ ） A ．13i +B ．13i -C ．13i -+D ．13i --5．已知m ，n 是两条不重合的直线，α是一个平面，则下列命题中正确的是（ ） A ．若//m α，//n α，则//m n B ．若//m α，n ⊂α，则//m n C ．若m n ⊥，m α⊥，则//n αD ．若m α⊥，//n α，则m n ⊥6．设全集U =R ，集合2{|340}A x x x =-->，则UA =（ ）A ．{x |-1 <x <4}B ．{x |-4<x <1}C ．{x |-1≤x ≤4}D ．{x |-4≤x ≤1}7．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有一点(3,4)P -，则sin 2α=（ ）． A ．1225-B ．2425-C ．165D ．858．为计算23991223242...100(2)S =-⨯+⨯-⨯++⨯-， 设计了如图所示的程序框图，则空白框中应填入（ ）A ．100i <B ．100i >C ．100i ≤D ．100i ≥9．已知双曲线)，其右焦点F 的坐标为，点是第一象限内双曲线渐近线上的一点，为坐标原点，满足，线段交双曲线于点.若为的中点，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．2C ．D ．10．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为2317,,927n S S S ==，则12n a a a 的最小值为（ ） A ．24()27B ．34()27C ．44()27D ．54()2711．设α，β是方程210x x --=的两个不等实数根，记n nn a αβ=+（n *∈N ）.下列两个命题（ ）①数列{}n a 的任意一项都是正整数； ②数列{}n a 存在某一项是5的倍数. A ．①正确，②错误 B ．①错误，②正确 C ．①②都正确 D ．①②都错误12．已知复数为纯虚数(为虚数单位)，则实数（ ）A ．-1B ．1C ．0D ．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

数学期中考试考试时间：120分钟满分：150分形式：闭卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题（本题共10小题，共50分）1.若方程2(1)1m x m x -+=是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（）A.m 1≥B.0m ≥C.1m ≠ D.m 为任意实数答案：C 解析：详解：若方程2(1)1m x m x -+=是关于x 的一元二次方程，则m-1≠0，解得m≠1，故选：C ．2.下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.答案：A 解析：详解：解：A ．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；B ．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C ．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；D ．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：A ．3.下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A.220x x -+=B.2310x x -+= C.2210x x --= D.24410x x -+=答案：A 解析：详解：解：A.220x x -+=中，24141270b ac -=-⨯⨯=-＜，故方程没有实数根；B.2310x x -+=中，24941150b ac -=-⨯⨯=＞，故方程有实数根；C.2210x x --=中，()24142190bac -=-⨯⨯-=＞，故方程有实数根；D.24410x x -+=中，24164410b ac -=-⨯⨯=，故方程有实数根.故选：A.4.抛物线()222y x =--的顶点坐标是（）A.()2,2- B.()2,2- C.()2,2 D.()2,2--答案：B 解析：详解：解：抛物线()222y x =--的顶点坐标是()2,2-；故选：B.5.如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，AC ∥OB ，∠BAO=25°，则∠BOC 的度数为（）A.25°B.50°C.60°D.80°答案：B 解析：详解：试题分析：先根据OA=OB ，∠BAO=25°得出∠B=25°，再由平行线的性质得出∠B=∠CAB=25°，根据圆周角定理即可得出结论．∵OA=OB ，∠BAO=25°，∴∠B=25°．∵AC ∥OB ，∴∠B=∠CAB=25°，∴∠BOC=2∠CAB=50°．故选B ．考点：圆周角定理及推论，平行线的性质.6.将22y x =向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线为（）A.()2241y x x =+- B.()2241y x =++C.()2241y x =-+ D.()2241y x =--答案：D解析：详解：解：将22y x =向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线为()2241y x =--．故选：D ．7.有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？若设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，那么x 满足的方程是（）A.(1)121x x +=B.1(1)121x x ++=C.(1)121x x x ++= D.1(1)121x x x +++=答案：D 解析：详解：解：设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，则第一轮传染后患流感的人数是：1+x ，第二轮传染后患流感的人数是：1+x+x （1+x ），因此可列方程，1+x+x （1+x ）=121．故选：D ．8.在半径为４的圆中，垂直平分半径的弦长为（）A.B.C.D.答案：D 解析：详解：解：根据题意，画出图形，如左图由题意知，OA =4，OD =CD =2，OC ⊥AB ，∴AD =BD ，在Rt △AOD 中,AD =2，∴AB =2×2=4.故选D.9.如图，矩形ABCD 的顶点A ，B 分别在x 轴，y 轴上，2OA OB ==，A D =，将矩形ABCD 绕点O 顺时针旋转，每次旋转90︒，则第2021次旋转结束时，点D 的坐标为（）A.(4,6)B.(6,4)C.(6,4)-D.(4,6)-答案：A 解析：【详解：如图，过点D 作DE x ⊥轴于点E ，连接OD ，2OA OB == ，45ABO BAO ∴∠=∠=︒，四边形ABCD 是矩形90ABC ∴∠=︒，45DAE ∴∠=︒，B C A D ==4AE DE ∴==，6OE OA AE ∴=+=，(6,4)D ∴-，矩形ABCD 绕点O 顺时针旋转，每次旋转90︒，则第1次旋转结束时，点D 的坐标为(4,6)；则第2次旋转结束时，点D 的坐标为(6,4)-；则第3次旋转结束时，点D 的坐标为(4,6)--；则第4次旋转结束时，点D 的坐标为(6,4)-；…发现规律：旋转4次一个循环，202145051∴÷= ，则第2021次旋转结束时，点D 的坐标为(4,6)．故选：A ．10.如图，二次函数2(0)y ax bx c a =++<图象的顶点为D ，其图象与x 轴的交点A ，B 的横坐标分别为3-和1，则下列结论正确的个数是（）①20a b -=；②20a b c ++<；③30a c -=；④当12a =-时，ABD △是等腰直角三角形A.1个B.2个 C.3个 D.4个答案：C 解析：详解：由题可得，图象与x 轴的交点A ，B 的横坐标分别为3-和1，则函数的对称轴为直线=1x -，12bx a∴=-=-，即2b a =，20a b ∴-=，故①正确；由开口可知，a<0，当1x =时，0y a b c =++=，2()0y a b c a a b c a ∴=++=+++=<，故②正确；当1x =时，0y a b c =++=，2b a = ，30a c ∴+=，即3c a =-，33(3)60a c a a a ∴-=--=<，故③错误；当12a =-时，函数的表达式为：211(1)(3)(1)222y x x x =--+=-++，(3,0)A ∴-,(1,0)B ,(1,2)D -，22(13)16AB =+=，222(13)(20)8AD =-++-=，222(11)(20)8B D =--+-=，AD BD ∴=且222AD BD AB +=满足勾股定理，ABD ∴ 是等腰直角三角形，故④正确．故选：C ．二、填空题（本题共6小题，共30分）11.一个二次函数解析式的二次项系数为1，对称轴为y 轴，且其图象与y 轴交点坐标为(0,1)，则其解析式为________．答案：21y x =+；解析：详解：解：设二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c （a≠0），∵二次项系数为1，对称轴为y 轴，二次函数图像与y 轴交点坐标是（0，1），∴a=1，b=0，c=1，∴二次函数的解析式为y=x 2+1；故答案为y=x 2+1．12.若关于x 的一元二次方程240ax bx -+=的解是2x =，则20202a b +-的值是______．答案：2018解析：详解：把x =2代入方程ax 2﹣bx +4=0得：4a ﹣2b +4=0，所以2a ﹣b =﹣2，所以2020+2a ﹣b =2020﹣2=2018．故答案为2018．13.若点A （1，a ）关于原点的对称点是B （b ，﹣2），则ab 的值是__．答案：2-解析：详解：解： 点A （1，a ）关于原点的对称点是B （b ，﹣2），1,2b a ∴=-=2ab ∴=-故答案为：2-．14.如图，AB 、AC 是⊙O 的弦，点D 是CA 延长线上的点．AD AB =，若25ADB ∠= ，则∠BOC 的度数是________°．答案：100解析：详解：解：∵AD =AB ，∠ADB =25°，∴∠ADB =∠ABD =25°，∴∠BAC =∠ADB +∠ABD =50°，∴∠BOC =2∠BAC =2×50°=100°．故答案为：100．15.飞机着陆后滑行的距离y （单位：m ）关于滑行时间量（单位：s ）的函数解析式是260 1.5y t t =-，那么，飞机着陆后滑行________m 才能停下来；着陆滑行中，最后2s 滑行的距离是________m ．答案：①.600②.6；解析：详解：解：当y 取得最大值时，飞机停下来，则y=60t-1.5t 2=-1.5（t-20）2+600，所以当t=20时，飞机停止，滑行距离为600米.最后2s 即为18s 到20s ，当t=18时，y=594，所以最后2s 滑行的距离为600-594=6（米）故答案是：600；6．16.在Rt ABC △中，90︒∠=C ，10AB =，8AC =，动点P 在AB 边上（不含端点A ，B ），以PC 为直径作圆．圆与BC ，CA 分别相交于点M ，N ，则线段MN 长度的最小值为________．答案：4.8．解析：详解：解：如图，设MN 的中点为O ，当⊙O 与AB 的切点为P 时，连接PO ，连接CP ，CO ，则有OP ⊥AB ．∵AB=10，AC=8，∴BC=6，∵MN=MO+NO ，NO=OC ，MO=OP ，∴OC+OP=MN ，∴OC+OP≥CP ，MN≥CP ．∴当MN=CP 时，MN 有最小值，∵OP ⊥AB ，∴CP ⊥AB ．∴=22ABC BC AC AB CPS ⨯⨯=△∴6810=22ABC CPS ⨯=△∴CP=4.8，即线段MN 长度的最小值为4.8．故选：D ．三、解答题（本大题共7题，共70分）17.解方程：（1）2280x -=；（2）210x x --=．答案：（1）12x =，22x =-；（2）1152x +=，2152x -=解析：详解：解：（1）2280x -=228x =24x =12x =，22x =-（2）210x x --=1,1,1a b c ==-=-()()22414115b ac -=--⨯⨯-=121x =⨯112x +=，212x -=答案：（1）k≤14；（2）k =-1解析：详解：（1）依题意∆=[-(2k -1)]2-4k 2．=-4k+1≥0解得，k≤14；（2）∵x 1+x 2=2k -1，x 1x 2=k 2，(x 1-1)(x 2-1)=x 1x 2-（x 1+x 2）+1=5，∴k 2-（2k -1）+1=5，解得，k =-1或3，∵3＞14，不合题意，舍去故k =-119.“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言可表达为：“如图，CD 为O 的直径，弦AB CD ⊥于点E ，1CE =寸，10AB =寸，则直径CD 的长为多少？答案：26寸解析：详解：解：连接OA ，∵10AB CD AB ⊥=，，∴5AE BE ==，设圆O 的半径OA 的长为x ，则OC OD x ==∵1CE =，∴1OE x =-，在直角三角形AOE 中，根据勾股定理得：()22215x x -=-，化简得：222125x x x -+-=，即226x =，解得：13x =所以26CD =（寸）．20.如图，铁路MN 和公路PQ 在点O 处交汇，∠QON ＝30°，在点A 处有一栋居民楼，AO ＝320m ，如果火车行驶时，周围200m 以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN 上沿ON 方向行驶时．（1）居民楼是否会受到噪音的影响？请说明理由；（2）如果行驶的速度为72km /h ，居民楼受噪音影响的时间为多少秒？答案：（1）居民楼会受到噪音的影响；（2）影响时间应是12秒．解析：详解：（1）如图：过点A 作AC ⊥ON ，∵∠QON ＝30°，OA ＝320米，∴AC ＝160米，∵AC ＜200，∴居民楼会受到噪音的影响；（2）以A 为圆心，200m 为半径作⊙A ，交MN 于B 、D 两点，即当火车到B 点时直到驶离D 点，对居民楼产生噪音影响，∵AB ＝200米，AC ＝160米，∴由勾股定理得：BC ＝120米，由垂径定理得BD ＝2BC ＝240米，∵72千米/小时＝20米/秒，∴影响时间应是：240÷20＝12秒．21.某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10元/千克，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y （千克）与销售价x （元/千克）之间的函数关系如图所示：（1）求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）求每天的销售利润W （元）与销售价x （元/千克）之间的函数关系式．当销售价为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（3）该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少？答案：（1）y =-2x +60（10≤x ≤18）；（2）销售价为18元时，每天的销售利润最大，最大利润是192元．（3）15元．解析：详解：解：（1）设y 与x 之间的函数关系式y =kx +b ，把（10，40），（18，24）代入得1040{1824k b k b +=+=，解得2{60k b =-=，∴y 与x 之间的函数关系式y =-2x +60（10≤x ≤18）；（2）W =（x -10）（-2x +60）=-2x 2+80x -600，对称轴x =20，在对称轴的左侧y 随着x 的增大而增大，∵10≤x ≤18，∴当x =18时，W 最大，最大为192．即当销售价为18元时，每天的销售利润最大，最大利润是192元．（3）由150=-2x 2+80x -600，解得x 1=15，x 2=25（不合题意，舍去）答：该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为15元．22.正方形ABCD 的四个顶点都在⊙O 上，E 是⊙O 上的一点．（1）如图1，若点E 在 A B 上，F 是DE 上的一点，DF ＝BE ．①求证： ADF ≌ ABE ；②求证：DE ﹣BE＝AE ．（2）如图2，若点E 在 AD 上，直接写出线段DE 、BE 、AE之间的等量关系．答案：（1）①见解析；②见解析；（2）BE ﹣DEAE解析：详解：（1）①证明：在正方形ABCD 中，AB ＝AD，∵∠1和∠2都对»AE ，∴∠1＝∠2，在 ADF 和 ABE 中，12AB AD BE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ ADF ≌ ABE （SAS ）；②由①有 ADF ≌ ABE ，∴AF ＝AE ，∠3＝∠4．在正方形ABCD 中，∠BAD ＝90°．∴∠BAF +∠3＝90°．∴∠BAF +∠4＝90°．∴∠EAF ＝90°．∴ EAF 是等腰直角三角形．∴EF 2＝AE 2+AF 2．∴EF 2＝2AE 2．∴EF ＝AE ．即DE ﹣DF AE ．∴DE ﹣BE AE ．（2）BE ﹣DE AE ．理由如下：在BE 上取点F ，使BF ＝DE ，连接AF ．∵AB ＝AD ，BF ＝DE ，∠ABE ＝∠EDA ，∴ ADE ≌ ABF （SAS ），∴AF ＝AE ，∠DAE ＝∠BAF ．在正方形ABCD 中，∠BAD ＝90°．∴∠BAF +∠DAF ＝90°．∴∠DAE +∠DAF ＝90°．∴∠EAF ＝90°．∴ EAF 是等腰直角三角形．∴EF 2＝AE 2+AF 2．∴EF 2＝2AE 2．∴EF ＝AE ．即BE ﹣BF ＝AE ．∴BE ﹣DE AE ．23.如图，抛物线2y ax bx =+过(4,0)A ，()1,3B 两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）点P 是抛物线上一点，且位于第一象限，当ABP 的面积为3时，求出点P 的坐标；（3）过B 作BC OA ⊥于C ，连接OB ，点G 是抛物线上一点，当BAG OBC BAO ∠+∠=∠时，请直接写出此时点G 的坐标．答案：（1）抛物线表达式为：24y x x =-+；（2）点P 坐标为(3,3)，(2,4)，517117,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭（3）点G 坐标为(3,3)，111,39⎛⎫⎪⎝⎭．解析：详解：解：（1）把点A （4，0），B （1，3）代入抛物线y=ax 2+bx得16403a b a b +=⎧⎨+=⎩解得14a b =-⎧⎨=⎩∴抛物线表达式为：y=-x 2+4x ；（2）设P 点横坐标为m ，当1＜m ＜4时，如图，过点P 作PM ∥y 轴，交AB 于点M ，连接BP 、AP ，由于A （4，0），B （1，3）∴3=32ABP PM S =△，∴PM=2，设直线AB 的解析式为y=kx+b ，将A （4，0），B （1，3）代入y=kx+b ，0=43k b k b+⎧⎨=+⎩，解得14k b =-⎧⎨=⎩，∴直线AB 的解析式为y=-x+4，设()2,4P m m m -+，()4M m,m -+，则PM=()2244=54m m m m m -+--+-+-，∴2542m m -+-=，解得，m=2或m=3，∴P 点坐标为()2,4或()3,3当0＜m ＜1时，如图，过点P 作PN ∥x 轴，交AB 于点N ，连接BP 、AP ，∴3=32ABP PN S =△，∴PN=2，设()2,4P m m m -+，则N 点横坐标为m+2，∴()22Nm ,m +-+，由于PN 两点纵坐标相同，∴24=2m m m -+-+，解得，152m =（舍去），252m =∴P 点坐标为5122⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，综上所述，点P 坐标为(3,3)，(2,4)，5122⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，.（3）如下图，过点A 作AE ⊥x 轴，过点G 作GE ⊥y 轴，交AE 于点E，易得∠BAC=45°，若BAG OBC BAO ∠+∠=∠，则∠OBC=∠GAE ，∴△BOC ∽△AGE ，即AE=3GE ，设()24G n,n n -+，则()2434n n n -+=⨯-解得，n=3或n=4（舍去）∴G (3,3)，如下图，连接AG 交BC 于点F，若BAG OBC BAO ∠+∠=∠，则∠OBC=∠GAO ，易得，△OBC ≌△FAC ，∴F （1,1）可得直线AF 的解析式为1433y x =-+联立解析式214334y x y x x⎧=-+⎪⎨⎪=-+⎩解得，x=4（舍去）或x=1 3，∴G111 ( 39，，综上所述，G(3,3)，G111 ( 39，.。

专题04 恒成立问题一、单选题1．若定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x -=+，且当1x <时，()x xf x e=，则满足()()35f f -的值 A ．恒小于0 B ．恒等于0 C ．恒大于0D ．无法判断2．()()(),f x R f x f x x R '∀∈设函数是定义在上的函数，其中的导函数为，满足对于()()f x f x '<恒成立，则下列各式恒成立的是A ．2018(1)(0),(2018)(0)f ef f e f <<B ．2018(1)(0),(2018)(0)f ef f e f >>C ．2018(1)(0),(2018)(0)f ef f e f ><D ．2018(1)(0),(2018)(0)f ef f ef3．已知0a >，0b >，下列说法错误的是 A ．若1b a a b ⋅=，则2a b +≥ B ．若23a b e a e b +=+，则a b > C ．()ln ln a a b a b -≥-恒成立D ．ln 0b ba a e+≥恒成立 4．若1x =是函数()4312*()1n n n f x a x a x a x n N ++=--+∈的极值点，数列{}n a 满足11a =，23a =，设31log n n b a +=，记[]x 表示不超过x 的最大整数．设12231202*********n n n S b b b b b b +⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦，若不等式n S t 对n +∀∈N 恒成立，则实数t 的最大值为 A ．2020 B ．2019 C ．2018D ．1010二、多选题1．若满足()()'0f x f x +>，对任意正实数a ，下面不等式恒成立的是 A ．()()2f a f a < B ．()()2af a ef a >-C ．()()0>f a fD ．()()0a f f a e>2．定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，且()()()f x xf x xf x '+<对x ∈R 恒成立，则下列选项不正确的是 A ．2(2)(1)f f e> B ．2(2)(1)f f e< C ．()10f >D ．()10f ->3．已知函数()cos sin f x x x x =-，下列结论中正确的是 A ．函数()f x 在2x π=时，取得极小值1-B ．对于[]0,x π∀∈，()0≤f x 恒成立C ．若120x x π<<<，则1122sin sin x x x x < D ．若sin x a b x <<，对于0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭恒成立，则a 的最大值为2π，b 的最小值为14．已知函数()2f x x x=-，()()πcos 5202xg x a a a =+->，．给出下列四个命题，其中是真命题的为A ．若[]1,2x ∃∈，使得()f x a <成立，则1a >-B ．若R x ∀∈，使得()0g x >恒成立，则05a <<C ．若[]11,2x ∀∈，2x ∀∈R ，使得()()12f x g x >恒成立，则6a >D ．若[]11,2x ∀∈，[]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立，则34a ≤≤ 5．当1x >时，()41ln ln 3k x x x x --<-+恒成立，则整数k 的取值可以是 A ．2- B ．1- C ．0D ．16．下列不等式中恒成立的有 A ．()ln 11xx x +≥+，1x >- B ．11ln 2x x x ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭，0x > C ．1x e x ≥+ D ．21cos 12x x ≥-1．函数3()2,()ln 1f x x x c g x x =-+=+，若()()f x g x ≥恒成立，则实数c 的取值范围是___________． 2．若[,)x e ∀∈+∞，满足32ln 0mxx x me -≥恒成立，则实数m 的取值范围为___________．3．已知函数()()21ax x xf x x ++=≥，若()0f x '≥恒成立，则a 的取值范围为___________．4．已知函数()ln f x x x =-，若()10f x m -+≤恒成立，则m 的取值范围为___________． 5．若函数()0x f x e ax =->恒成立，则实数a 的取值范围是___________．6．当[1,2]x ∈-时，32122x x x m --<恒成立，则实数m 的取值范围是___________． 7．若()()220xxx me exeex e ++-≤在()0,x ∈+∞上恒成立，则实数m 的取值范围为___________．8．已知函数()()(ln )xf x e ax x ax =--，若()0f x <恒成立，则a 的取值范围是___________．9．已知函数()1x f x e ax =+-，若0,()0x f x 恒成立，则a 的取值范围是___________．10．不等式()221n n n N *>-∈不是恒成立的，请你只对该不等式中的数字作适当调整，使得不等式恒成立，请写出其中一个恒成立的不等式：___________．11．已知()ln f x x x m x =--，若()0f x >恒成立，则实数m 的取值范围是___________．12．已知函数21,0()2,0x e x f x ax x x ⎧-≥=⎨+<⎩，若()1f x ax ≥-恒成立，则a 的取值范围是___________．13．函数()2cos sin f x x x x x =+-，当3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x ax ≤恒成立，则实数a 的取值范围是___________． 14．已知0a <，且()221ln 0ax ax x ax -+≥+恒成立，则a 的值是___________．15．若对任意实数(],1x ∈-∞，2211xx ax e-+≥恒成立，则a =___________．1．已知函数()22ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点1x ，2x ，则a 的取值范围___________；且不等式()()1212f x f x x x t +<++恒成立，则实数t 的取值范围___________．2．对任意正整数n ，函数32()27cos 1f n n n n n πλ=---，若(2)0f ≥，则λ的取值范围是___________；若不等式()0f n ≥恒成立，则λ的最大值为___________．3．已知函数1()ln (0)f x ax x a x=+>．（1）当1a =时，()f x 的极小值为___________；（2）若()f x ax ≥在(0,)+∞上恒成立，则实数a 的取值范围为___________． 4．已知函数()()221xf exx x =-+，则()f x 在点()()0,0f 处的切线方程为___________，若()f x ax ≥在()0,∞+上恒成立，则实数a 的取值范围为___________．5．设函数()32f x ax bx cx =++（a ，b ，R c ∈，0a ≠）若不等式()()2xf x af x '-≤对一切R x ∈恒成立，则a =___________，b ca+的取值范围为___________． 6．已知函数()()x x f x x ae e -=-为偶函数，函数()()xg x f x xe -=+，则a =___________；若()g x mx e >-对()0,x ∈+∞恒成立，则m 的取值范围为___________． 五、解答题1．已知函数()sin f x x ax =-，()=ln 1xg x x x e -+，2.71828e =⋅⋅⋅为自然对数的底数． （1）当()0,x π∈，()0f x <恒成立，求a 的取值范围；（2）当0a =时，记()()()h x f x g x =+，求证：对任意()1,x ∈+∞，()0h x <恒成立． 2．已知函数()1x f x ae x =--（1）若()0f x ≥对于任意的x 恒成立，求a 的取值范围 （2）证明：1111ln(1)23n n++++≥+对任意的n N +∈恒成立 3．若对任意的实数k 、b ，函数()y f x kx b =++与直线y kx b =+总相切，则称函数()f x 为“恒切函数”．（1）判断函数()2f x x =是否为“恒切函数”；（2）若函数()()ln 0f x m x nx m =+≠是“恒切函数”，求实数m 、n 满足的关系式；（3）若函数()()1x xf x e x e m =--+是“恒切函数”，求证：104m -<≤． 4．已知函数()(ln )sin x f x e x a x =+-．（1）若()ln sin f x x x ≥⋅恒成立，求实数a 的最大值； （2）若()0f x ≥恒成立，求正整数a 的最大值．专题04 恒成立问题一、单选题1．若定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x -=+，且当1x <时，()x xf x e=，则满足()()35f f -的值 A ．恒小于0 B ．恒等于0 C ．恒大于0D ．无法判断【试题来源】安徽省皖江名校联盟2021届高三第二次联考（理） 【答案】C【分析】当1x <时，求导，得出导函数恒小于零，得出()f x 在(),1-∞内是增函数．再由()()2f x f x -=+得()f x 的图象关于直线1x =对称，从而得()f x 在()1,+∞内是减函数，由此可得选项．【解析】当1x <时，'1()0xx f x e -=->，则()f x 在(),1-∞内是增函数． 由()()2f x f x -=+得()f x 的图象关于直线1x =对称，所以()f x 在()1,+∞内是减函数， 所以()()350f f ->．故选C ．2．()()(),f x R f x f x x R '∀∈设函数是定义在上的函数，其中的导函数为，满足对于()()f x f x '<恒成立，则下列各式恒成立的是A ．2018(1)(0),(2018)(0)f ef f e f <<B ．2018(1)(0),(2018)(0)f ef f e f >>C ．2018(1)(0),(2018)(0)f ef f e f ><D ．2018(1)(0),(2018)(0)f ef f ef【试题来源】2020届福建省仙游县枫亭中学高三上学期期中考试（理） 【答案】B【分析】构造函数()()xf x F x e =，求出'()0F x >，得到该函数为R 上的增函数，故得(0)(1)F F <，(0)(2018)F F <，从而可得到结论．【解析】设()()x f x F x e =，x R ∈（），所以'()()[]xf x F x e '==()()xf x f x e '-， 因为对于()(),x R f x f x ∀∈<'，所以'()0F x >，所以()F x 是R 上的增函数，所以(0)(1)F F <，(0)(2018)F F <，即(1)(0)f f e <，2018(2018)(0)f f e <， 整理得()()10f ef >和()20182018(0f ef >）．故故选B ．3．已知0a >，0b >，下列说法错误的是 A ．若1b a a b ⋅=，则2a b +≥ B ．若23a b e a e b +=+，则a b > C ．()ln ln a a b a b -≥-恒成立D ．ln 0b ba a e+≥恒成立 【试题来源】浙江省杭州市萧山中学2019-2020学年高三下学期返校考试 【答案】D【解析】对于A ，不妨令01a <≤，1b ≥，则1aab bb a aa a ab a b a b ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1baa b ⋅=即11b aaab-=，由10b a -≥可知101b aa -<≤，则101ab <≤，所以1≥ab ，2a b +≥，故A 正确； 对于B ，若a b ≤，则0a b e e -≤，320b a ->，故32ab e e b a -≠-即23a b e a e b +≠+，与已知矛盾，故B 正确；对于C ，()ln ln ln 1b b a a b a b a a-≥-⇔-≥-， 令0b x a =>，()()ln 10f x x x x =-->，则()1x f x x-'=， 则()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增， 所以()()10f x f ≥=，所以ln 10b b a a --≥即ln 1b ba a-≥-，故C 正确； 对于D ，设()()ln 0h x x x x =>，()()0x xg x x e=>， 则()ln 1h x x '=+，()1xxg x e -'=， 所以()h x 在()10,e -上单调递减，在()1,e -+∞上单调递增，则()()11h x h e e --≥=-，()g x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，则()()11g x g e -≤=，所以()()110h e g e --+<，即当1a b e -==时ln 0bba a e +<，故D 错误．故选D ． 4．若1x =是函数()4312*()1n n n f x a x a x a x n N ++=--+∈的极值点，数列{}n a 满足11a =，23a =，设31log n n b a +=，记[]x 表示不超过x 的最大整数．设12231202*********n n n S b b b b b b +⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦，若不等式n S t 对n +∀∈N 恒成立，则实数t 的最大值为 A ．2020 B ．2019 C ．2018D ．1010【试题来源】新疆维吾尔自治区2021届高三第二次联考数学（理）能力测试试题 【答案】D【分析】由极值点得数列的递推关系，由递推关系变形得数列1{}n n a a +-是等比数列，求得1n n a a +-，由累加法求得n a ，计算出n b ，然后求和122311202020202020n n b b b b b b ++++，利用增函数定义得此式的最小值，从而得出n S 的最小值，再由不等式恒成立可得t 的最大值． 【解析】3212()43n n n f x a x a x a '++=--，所以12(1)430n n n f a a a '++=--=， 即有()2113n n n n a a a a +++-=-，所以{}1n n a a +-是以2为首项3为公比的等比数列， 所以1123n n n a a -+-=⋅，1201111221123232313n n nn n n n n n n a a a a a a a a a a --++---=-+-+-++-+=⋅+⋅++⋅+=所以31log n n b a n +==，所以12231120202020202011120201223(1)n n b b b b b b n n +⎛⎫+++=+++⎪⨯⨯+⎝⎭1111120202020122311n n n n ⎛⎫=-+-++-=⎪++⎝⎭， 又20201ny n =+为增函数，当1n =时，1010n S =，10102020n S ≤<， 若n S t ≥恒成立，则t 的最大值为1010．故选D ．【名师点睛】本题考查函数的极值，等比数列的判断与通项公式，累加法求通项公式，裂项相消法求和，函数新定义，不等式恒成立问题的综合应用．涉及知识点较多，属于中档题．解题方法是按部就班，按照题目提供的知识点顺序求解．由函数极值点得数列的递推公式，由递推公式引入新数列是等比数列，求得通项公式后用累加法求得n a ，由对数的概念求得n b ，用裂项相消法求和新数列的前n 项和，并利用函数单调性得出最小值，然后由新定义得n S 的最小值，从而根据不等式恒成立得结论． 二、多选题1．若满足()()'0f x f x +>，对任意正实数a ，下面不等式恒成立的是 A ．()()2f a f a < B ．()()2af a ef a >-C ．()()0>f a fD ．()()0af f a e>【试题来源】江苏省扬州中学2019-2020学年高二下学期6月月考 【答案】BD【分析】根据()()'0f x f x +>，设()()xh x e f x =，()()()()xh x ef x f x ''=+，得到()h x 在R 上是增函数，再根据a 是正实数，利用单调性逐项判断．【解析】设()()xh x e f x =，()()()()xh x ef x f x ''=+，因为()()'0f x f x +>，所以()0h x '>，()h x 在R 上是增函数， 因为a 是正实数，所以2a a <，所以()()22aae f a e f a <，因为21a a e e >>， ()(),2f a f a 大小不确定，故A 错误， 因为a a -<，所以()()aa ef a e f a --<，即()()2a f a e f a >-，故B 正确．因为0a >，所以()()()000a e f a e f f >=， 因为1a e >，()(),0f a f 大小不确定．故C 错误．()()()000a e f a e f f >=，因为1a e >，所以()()0af f a e>，故D 正确．故选BD. 【名师点睛】本题主要考查导数与函数单调性比较大小，还考查了运算求解的能力，属于中档题．2．定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，且()()()f x xf x xf x '+<对x ∈R 恒成立，则下列选项不正确的是 A ．2(2)(1)f f e> B ．2(2)(1)f f e< C ．()10f >D ．()10f ->【试题来源】江苏省盐城市伍佑中学2019-2020学年高二下学期期中 【答案】BCD【分析】构造出函数()()xxf x F x e =，再运用求导法则求出其导数，借助导数与函数单调性之间的关系及题设中()()()f x xf x xf x '+<，从而确定函数()()xxf x F x e =是单调递减函数，然后可判断出每个答案的正误． 【解析】构造函数()()xxf x F x e =， 因为2[()()]()()()()()0()x x x xe f x xf x xe f x f x xf x xf x F x e e '+-+-=='<'， 故函数()()xxf x F x e=在R 上单调递减函数， 因为21>，所以212(2)(1)(2)(1)f f F F e e <⇒<，即2(2)(1)f f e<，故A 正确，B 错误； 因为()(1)0F F <，即()10f e<，所以()10f <，故C 错误； 因为()(1)0F F ->，即()110f e--->，所以()10f -<，故D 错误，故选BCD. 【名师点睛】解答本题的难点所在是如何依据题设条件构造出符合条件的函数()()xxf x F x e=，这里要求解题者具有较深的观察力和扎实的基本功，属于较难题． 3．已知函数()cos sin f x x x x =-，下列结论中正确的是 A ．函数()f x 在2x π=时，取得极小值1-B ．对于[]0,x π∀∈，()0≤f x 恒成立C ．若120x x π<<<，则1122sin sin x x x x < D ．若sin x a b x <<，对于0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭恒成立，则a 的最大值为2π，b 的最小值为1【试题来源】山东省肥城市2019-2020学年高二下学期期中考试 【答案】BCD【分析】先对函数求导，根据022f ππ⎛⎫'=-≠⎪⎝⎭，排除A ；再由导数的方法研究函数单调性，判断出B 选项；构造函数()sin xg x x=，由导数的方法研究其单调性，即可判断C 选项；根据()sin x g x x =的单调性，先得到sin 2x x π>，再令()sin h x x x =-，根据导数的方法研究其单调性，得到sin 1xx<，即可判断D 选项． 【解析】因为()cos sin f x x x x =-，所以()cos sin cos sin f x x x x x x x '=--=-， 所以022f ππ⎛⎫'=-≠⎪⎝⎭，所以2x π=不是函数的极值点，故A 错； 若[]0,x π∈，则()sin 0f x x x '=-≤，所以函数()cos sin f x x x x =-在区间[]0,π上单调递减；因此()()00≤=f x f ，故B 正确； 令()sin x g x x =，则()2cos sin x x x g x x -'=， 因为()cos sin 0f x x x x =-≤在[]0,π上恒成立，所以()2cos sin 0x x xg x x -'=<在()0,π上恒成立，因此函数()sin xg x x=在()0,π上单调递减；又120x x π<<<，所以()()12g x g x >，即1212sin sin x x x x >，所以1122sin sin x x x x <，故C 正确；因为函数()sin x g x x =在()0,π上单调递减；所以0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()sin x g x x =也单调递减，因此()sin 22x g x g x ππ⎛⎫=>= ⎪⎝⎭在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立；令()sin h x x x =-，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()1cos 0h x x '=-≥在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，所以()sin h x x x =-在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 因此()sin 0h x x x =->，即sin 1xx <在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立； 综上，2sin 1x x π<<在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，故D 正确．故选BCD ． 【名师点睛】本题主要考查导数的应用，利用导数的方法研究函数的极值，单调性等，属于常考题型．4．已知函数()2f x x x=-，()()πcos 5202xg x a a a =+->，．给出下列四个命题，其中是真命题的为A ．若[]1,2x ∃∈，使得()f x a <成立，则1a >-B ．若R x ∀∈，使得()0g x >恒成立，则05a <<C ．若[]11,2x ∀∈，2x ∀∈R ，使得()()12f x g x >恒成立，则6a >D ．若[]11,2x ∀∈，[]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立，则34a ≤≤ 【试题来源】冲刺2020高考数学之拿高分题目强化卷（山东专版） 【答案】ACD【分析】对选项A ，()f x 在[]1,2上的最小值小于a 即可；对选项B ，()g x 的最小值大于0即可；对选项C ，()f x 在[]1,2上的最小值大于()g x 的最大值即可；对选项D ，[]11,2x ∀∈，[]20,1x ∃∈，()min min ()g x f x ≤，()max max ()g x f x ≥即可．【解析】对选项A ，只需()f x 在[]1,2上的最小值小于a ，()f x 在[]1,2上单调递增，所以min 2()(1)111f x f ==-=-，所以1a >-，故正确； 对选项B ，只需()g x 的最小值大于0，因为[]πcos,2x a a a∈-，所以min ()52530g x a a a =-+-=->，所以503a <<，故错误； 对选项C ，只需()f x 在[]1,2上的最小值大于()g x 的最大值，min ()1f x =-，max ()525g x a a a =+-=-，即15a ->-，6a >，故正确；对选项D ，只需()min min ()g x f x ≤，()max max ()g x f x ≥，max 2()(2)212f x f ==-=，所以[]11,2x ∈，[]1()1,1f x ∈-， []0,1x ∈时，π0,22x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()g x 在[]0,1上单调递减， ()min (1)52a g x g ==-，()max (0)5a g x g ==-，所以()[]52,5g x a a ∈--，由题意，52151a a -≤-⎧⎨-≥⎩⇒34a ≤≤，故正确．故选ACD ．【名师点睛】本题主要考查不等式恒成立和存在性问题，考查学生的分析转化能力，注意恒成立问题和存在性问题条件的转化，属于中档题．5．当1x >时，()41ln ln 3k x x x x --<-+恒成立，则整数k 的取值可以是 A ．2- B ．1- C ．0D ．1【试题来源】江苏省南京市2020-2021学年高三上学期期中考前训练 【答案】ABC 【分析】将()41ln ln 3k x x x x --<-+，当1x >时，恒成立，转化为13ln ln 4x k x x x ⎛⎫<++ ⎪⎝⎭，当1x >时，恒成立，令()()3ln ln 1x F x x x x x =++>，利用导数法研究其最小值即可．【解析】因为当1x >时，()41ln ln 3k x x x x --<-+恒成立， 所以13ln ln 4x k x x x ⎛⎫<++ ⎪⎝⎭，当1x >时，恒成立， 令()()3ln ln 1xF x x x x x =++>，则()222131ln 2ln x x x F x x x x x---'=-+=．令()ln 2x x x ϕ=--，因为()10x x xϕ-'=>，所以()x ϕ在()1,+∞上单调递增． 因为()10ϕ<，所以()0F x '=在()1,+∞上有且仅有一个实数根0x ， 于是()F x 在()01,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增， 所以()()000min 00ln 3ln x F x F x x x x ==++．（*） 因为()1ln 3309F -'=<，()()21ln 22ln 4401616F --'==>，所以()03,4x ∈，且002ln 0x x --=，将00ln 2x x =-代入（*）式， 得()()0000min 00023121x F x F x x x x x x -==-++=+-，()03,4x ∈． 因为0011t x x =+-在()3,4上为增函数，所以713,34t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即()min1713,41216F x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． 因为k 为整数，所以0k ≤．故选ABC ． 6．下列不等式中恒成立的有 A ．()ln 11xx x +≥+，1x >- B ．11ln 2x x x ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭，0x > C ．1x e x ≥+D ．21cos 12x x ≥-【试题来源】广东省中山市2019-2020学年高二下学期期末 【答案】ACD 【分析】令10tx ，()1ln 1f t t t=+-，导数方法求出最小值，即可判定出A 正确；令()11ln 2f x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，0x >，导数方法研究单调性，求出范围，即可判定B 错； 令()1xf x e x =--，导数的方法求出最小值，即可判定C 正确；令()21cos 12f x x x =-+，导数的方法求出最小值，即可判定D 正确． 【解析】A 选项，因为1x >-，令10t x ，()1ln 1f t t t=+-，则()22111t f t t t t -'=-=，所以01t <<时，()210t f t t-'=<，即()f t 单调递减；1t >时，()210t f t t -'=>，即()f t 单调递增； 所以()()min 10f t f ==，即()1ln 10f t t t=+-≥，即1ln t t t -≥，即()ln 11x x x +≥+，1x >-恒成立；故A 正确；B 选项，令()11ln 2f x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，0x >， 则()()2222211112110222x x x f x x x x x ---⎛⎫'=-+==-≤ ⎪⎝⎭显然恒成立， 所以()11ln 2f x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在0x >上单调递减， 又()10f =，所以当()0,1x ∈时，()()10f x f >=，即11ln 2x x x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，故B 错； C 选项，令()1xf x e x =--，则()1xf x e '=-，当0x >时，()10xf e x ='->，即()f x 单调递增；当0x <时，()10xf e x ='-<，所以()f x 单调递减；则()()00f x f ≥=，即1x e x ≥+恒成立；故C 正确； D 选项，令()21cos 12f x x x =-+，则()sin f x x x '=-+， 所以()cos 10f x x ''=-+≥恒成立，即函数()sin f x x x '=-+单调递增， 又()00f '=，所以当0x >时，()0f x '>，即()21cos 12f x x x =-+单调递增； 当0x <时，()0f x '<，即()21cos 12f x x x =-+单调递减； 所以()()min 00f x f ==，因此21cos 12x x ≥-恒成立，故D 正确；故选ACD ． 三、填空题1．函数3()2,()ln 1f x x x c g x x =-+=+，若()()f x g x ≥恒成立，则实数c 的取值范围是___________．【试题来源】【全国区级联考】江苏省徐州市铜山区下学期高二数学（文）期中试题 【答案】2c ≥【解析】由()()f x g x ≥，即32ln 1x x c x -+≥+，即32ln 1c x x x ≥-+++．令()()32ln 10h x x x x x =-+++>，()()()21331x x x h x x'-++=-，故函数()h x 在区间()0,1上递增，在()1,+∞上递减，最大值为()12h =，所以2c ≥．【名师点睛】本题主要考查利用分析法和综合法求解不等式恒成立，问题，考查利用导数研究函数的单调性，极值和最值等知识．首先根据()()f x g x ≥，对函数进行分离常数，这里主要的思想方法是分离常数后利用导数求得另一个部分的最值，根据这个最值来求得参数的取值范围．2．若[,)x e ∀∈+∞，满足32ln 0mxx x me -≥恒成立，则实数m 的取值范围为___________．【试题来源】2020届湖南省长沙市长郡中学高三下学期3月停课不停学阶段性测试（理） 【答案】(,2]e -∞【分析】首先对参数的范围进行讨论，分两种情况，尤其是当0m >时，对式子进行变形，构造新函数，将恒成立问题转化为最值来处理，利用函数的单调性来解决，综述求得最后的结果．【解析】（1）0m ≤，显然成立；（2）0m >时，由32ln 0mxx x me -≥22ln m x m x x e x ⇒≥2ln (2ln )mxx m x e e x⇒≥，由()x f x xe =在[),e +∞为增2ln mx x⇒≥2ln m x x ⇒≤在[),e +∞恒成立， 由()2ln g x x x =在[),e +∞为增，min ()2g x e =，02m e <≤， 综上，2m e ≤，故答案为(,2]e -∞．3．已知函数()()21ax x xf x x ++=≥，若()0f x '≥恒成立，则a 的取值范围为___________．【试题来源】四川省泸州市2020学年下学期高二期末统一考试（文） 【答案】(],3-∞【分析】求函数的导数，根据()0f x '，利用参数分离法进行转化，然后构造函数()g x ，转化为求函数的最值即可．【解析】函数的导数2()21f ax x x '=+-，由()0f x '在1x 上恒成立得2210a x x +-在1x 上恒成立，即221a x x+，得322x x a +在1x 上恒成立，设32()2g x x x =+， 则2()622(31)g x x x x x '=+=+，当1x 时，()0g x '>恒成立，即()g x 在1x 上是增函数， 则当1x =时，()g x 取得最小值()1213g =+=，则3a ， 即实数a 的取值范围是(],3-∞，故答案为(],3-∞.【名师点睛】本题主要考查函数恒成立问题，求函数的导数，利用参数分离法以及构造函数，利用导数研究函数的最值是解决本题的关键．属于中档题．4．已知函数()ln f x x x =-，若()10f x m -+≤恒成立，则m 的取值范围为___________． 【试题来源】2020年高考数学选填题专项测试（文理通用） 【答案】[)0,+∞【分析】把()ln f x x x =-，代入()10f x m -+≤，即ln 1m x x ≥-+恒成立，构造()ln 1g x x x =-+，利用导数研究最值，即得解．【解析】()ln f x x x =-，则()10f x m -+≤恒成立，等价于ln 1m x x ≥-+令11()ln 1(0),'()1(0)x g x x x x g x x x x-=-+>=-=> 因此()g x 在(0,1)单调递增，在(1)+∞，单调递减， 故max ()(1)00g x g m ==∴≥，故答案为[)0,+∞.【名师点睛】本题考查了导数在不等式的恒成立问题中的应用，考查了学生转化与划归，数学运算的能力，属于中档题．5．若函数()0x f x e ax =->恒成立，则实数a 的取值范围是___________． 【试题来源】2020届四川省成都七中高三二诊数学模拟（理）试题 【答案】0a e ≤<【分析】若函数()0x f x e ax =->恒成立，即min ()0f x >，求导得'()x f x e a =-，在0,0,0a a a >=<三种情况下，分别讨论函数单调性，求出每种情况时的min ()f x ，解关于a的不等式，再取并集，即得．【解析】由题意得，只要min ()0f x >即可，'()x f x e a =-，当0a >时，令'()0f x =解得ln x a =，令'()0f x <，解得ln x a <，()f x 单调递减， 令'()0f x >，解得ln x a >，()f x 单调递增，故()f x 在ln x a =时，()f x 有最小值，min ()(ln )(1ln )f x f a a a ==-， 若()0f x >恒成立，则(1ln )0a a ->，解得0a e <<； 当0a =时，()0x f x e =>恒成立； 当0a <时，'()x f x e a =-，()f x 单调递增，,()x f x →-∞→-∞，不合题意，舍去．综上，实数a 的取值范围是0a e ≤<．故答案为0a e ≤<6．当[1,2]x ∈-时，32122x x x m --<恒成立，则实数m 的取值范围是___________． 【试题来源】陕西省商洛市洛南中学2019-2020学年高二下学期第二次月考（理） 【答案】(2,)+∞【分析】设()3212,[1,2]2x x x x f x --∈-=，利用导数求得函数的单调性与最大值，结合题意，即可求得实数m 的取值范围．【解析】由题意，设()3212,[1,2]2x x x x f x --∈-=， 则()22(1)(323)x x f x x x --=-+'=，当2[1,)3x ∈--或(1,2]x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；当2(,1)3x ∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减， 又由222(),(2)2327f f -==，即2()(2)3f f -<， 即函数()f x 在区间[1,2]-的最大值为2，又由当[1,2]x ∈-时，32122x x x m --<恒成立，所以2m >， 即实数m 的取值范围是(2,)+∞．故答案为(2,)+∞【名师点睛】本题主要考查了恒成立问题的求解，其中解答中熟练应用函数的导数求得函数的单调性与最值是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题．7．若()()220xxx me exeex e ++-≤在()0,x ∈+∞上恒成立，则实数m 的取值范围为___________．【试题来源】浙江省杭州地区（含周边）重点中学2020-2021学年高三上学期期中 【答案】32m ≤-【分析】对已知不等式进行变形，利用换元法、构造函数法、常变量分离法，结合导数的性质进行求解即可．【解析】()()()()222210xx x x x xme ex e ex me ex e ex e e++++-⇒≤≤ （1）， 令x ext e=，因为()0,x ∈+∞，所以0t >， 则不等式(1)化为2221(2)(1)11t t m t t m t --+++≤⇒≤+，设()xex f x e=，()0,x ∈+∞，'(1)()x e x f x e -=，当1x >时，'()0,()f x f x <单调递减， 当01x <<时，'()0,()f x f x >单调递增，因此当()0,x ∈+∞时，max ()(1)1f x f ==， 而(0)0f =，因此当()0,x ∈+∞时，()(0,1]f x ∈，因此(0,1]t ∈，设2221()1t t g t t --+=+，(0,1]t ∈，因此要想()()220x x xme ex e ex e ++-≤在()0,x ∈+∞上恒成立，只需min ()m g t ≤，2'2243()(1)t t g t t ---=+，因为(0,1]t ∈，所以'()0g t <，因此()g t 在(0,1]t ∈时单调递减，所以min 3()(1)2g t g ==-，因此32m ≤-．8．已知函数()()(ln )xf x e ax x ax =--，若()0f x <恒成立，则a 的取值范围是___________．【试题来源】四川省三台中学实验学校2019-2020学年高二下学期期末适应性考试（理） 【答案】1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】先由x y e =的图象与ln y x =的图象可得，ln >x e x 恒成立；原问题即可转化为直线y ax =介于x y e =与ln y x =之间，作出其大致图象，由图象得到只需<<OA OB k a k ；根据导数的方法求出OA ，OB 所在直线斜率，进而可得出结果． 【解析】由x y e =的图象与ln y x =的图象可得，ln >x e x 恒成立；所以若()()(ln )0=--<xf x e ax x ax 恒成立，只需0ln 0x e ax x ax ⎧->⎨-<⎩，即直线y ax =介于x y e =与ln y x =之间，作出其大致图象如下：由图象可得，只需<<OA OB k a k ；设11(,)A x y ，由ln y x =得1y x'=，所以111OA x x k y x =='=， 所以曲线ln y x =在点11(,)A x y 处的切线OA 的方程为1111ln ()-=-y x x x x ， 又该切线过点O ，所以11110ln (0)1-=-=-x x x ，解得1x e =，所以1=OA k e； 设22(,)B x y ，由x y e =得e x y '=，所以22x OB x x k y e =='=，所以曲线x y e =在点22(,)B x y 处的切线OB 的方程为222()-=-x x y e e x x ，又该切线过点O ，所以2220(0)-=-x x ee x ，解得21x =，所以=OB k e ；所以1a e e <<．故答案为1,e e ⎛⎫⎪⎝⎭. 【名师点睛】本题主要考查由导数的方法研究不等式恒成立的问题，熟记导数的几何意义即可，属于常考题型．9．已知函数()1x f x e ax =+-，若0,()0x f x 恒成立，则a 的取值范围是___________． 【试题来源】黑龙江省七台河市田家炳高级中学2019-2020学年高二下学期期中考试（理）【答案】[1,)-+∞【分析】求导得到()x f x e a '=+，讨论10a +和10a +<两种情况，计算10a +<时，函数()f x 在[)00,x 上单调递减，故()(0)0f x f =，不符合，排除，得到答案． 【解析】因为()1x f x e ax =+-，所以()x f x e a '=+，因为0x ，所以()1f x a '+． 当10a +，即1a ≥-时，()0f x '，则()f x 在[0,)+∞上单调递增，从而()(0)0f x f =，故1a ≥-符合题意；当10a +<，即1a <-时，因为()x f x e a '=+在[0,)+∞上单调递增，且(0)10f a '=+<，所以存在唯一的0(0,)x ∈+∞，使得()00f x '=．令()0f x '<，得00x x <，则()f x 在[)00,x 上单调递减，从而()(0)0f x f =，故1a <-不符合题意．综上，a 的取值范围是[1,)-+∞．故答案为[1,)-+∞．10．不等式()221n n n N *>-∈不是恒成立的，请你只对该不等式中的数字作适当调整，使得不等式恒成立，请写出其中一个恒成立的不等式：___________． 【试题来源】北京市101中学2019-2020学年高三10月月考 【答案】331n n >-【分析】将不等式中的数字2变为3，得出331n n >-，然后利用导数证明出当3n ≥时，33n n ≥即可，即可得出不等式331n n >-对任意的n *∈N 恒成立．【解析】13311>-，23321>-，33331>-，猜想，对任意的n *∈N ，331n n >-．下面利用导数证明出当3n ≥时，33n n ≥，即证ln 33ln n n ≥，即证ln ln 33n n ≤， 构造函数()ln x f x x =，则()21ln xf x x -'=，当3x ≥时，()0f x '<． 所以，函数()ln x f x x =在区间[)3,+∞上单调递减，当3n ≥时，ln ln 33n n ≤．所以，当3n ≥且n *∈N 时，33n n ≥，所以，331n n >-．故答案为331n n >-． 【名师点睛】本题考查数列不等式的证明，考查了归纳法，同时也考查了导数在证明数列不等式的应用，考查推理能力，属于中等题．11．已知()ln f x x x m x =--，若()0f x >恒成立，则实数m 的取值范围是___________． 【试题来源】湖北省襄阳市第一中学2019-2020学年高二下学期5月月考 【答案】(,1)-∞【分析】函数()f x 的定义域为(0,)x ∈+∞，由()0f x >，得ln ||xx m x->，分类讨论，分离参数，求最值，即可求实数m 的取值范围．【解析】函数()f x 的定义域为(0,)x ∈+∞，由()0f x >，得ln ||xx m x->， (ⅰ)当(0,1)x ∈时，||0x m -≥，ln 0xx<，不等式恒成立，所以m R ∈； (ⅰ)当1x =时，|1|0m -≥，ln 0xx=，所以1m ≠； (ⅰ)当1x >时，不等式恒成立等价于ln x m x x <-恒成立或ln xm x x>+恒成立， 令ln ()x h x x x =-，则221ln ()x x h x x'-+=，因为1x >，所以()0h x '>，从而()1h x >， 因为ln xm x x<-恒成立等价于min ()m h x <，所以1m ， 令ln ()x g x x x =+，则221ln ()x xg x x+-'=， 再令2()1ln p x x x =+-，则1'()20p x x x=->在(1,)x ∈+∞上恒成立，()p x 在(1,)x ∈+∞上无最大值，综上所述，满足条件的m 的取值范围是(,1)-∞．故答案为(,1)-∞．12．已知函数21,0()2,0x e x f x ax x x ⎧-≥=⎨+<⎩，若()1f x ax ≥-恒成立，则a 的取值范围是___________．【试题来源】陕西省安康市2020-2021学年高三上学期10月联考（理）【答案】4e -⎡⎤⎣⎦【分析】若()1f x ax ≥-，则211,021,0x e ax x ax x ax x ⎧-≥-≥⎨+≥-<⎩，当0x =时，显然成立，当0x ≠时，则2,021,0xe a x xx a x x x ⎧≤>⎪⎪⎨+⎪≥<⎪-⎩，然后构造函数()x e g x x=（0x >），()221x h x x x +=-（0x <），分别求解函数()g x 的最小值和()h x 的最大值，只需()()min max h x a g x ≤≤即可．【解析】若()1f x ax ≥-，则211,021,0x e ax x ax x ax x ⎧-≥-≥⎨+≥-<⎩，当0x =时，显然成立；当0x ≠时，则()2,012,0x e ax x a x x x x ⎧≥>⎪⎨-≥--<⎪⎩，因为当0x <时，20x x ->， 所以只需满足2,021,0xe a x xx a x x x ⎧≤>⎪⎪⎨+⎪≥<⎪-⎩即可，令()x e g x x =（0x >），则()()21x x e g x x-'=， 则()0,1x ∈时，()0g x '<，所以()g x 在()0,1x ∈上递减， 当()1,x ∈+∞时，()0g x '>，则()g x 在()1,+∞上递增， 所以()()1min g x g e ==，所以a e ≤，令()221x h x x x +=-（0x <）， 则()()()()()()22222222112221x x x x x x h x x x x x --+-+-'==--，令()0h x '=，得x =x =则当x ⎛∈-∞ ⎝ ⎭时，()0h x '>；当x ⎫∈⎪⎪⎝⎭时，()0h x '<， 所以函数()h x在⎛-∞ ⎝ ⎭上递增，在⎫⎪⎪⎝⎭上递减， 所以()4maxh x h ===-⎝⎭⎝⎭故4a ≥-4a e -≤．故答案为4e -⎡⎤⎣⎦．【名师点睛】本题考查根据不等式恒成立问题求参数的取值范围问题，考查学生分析问题、转化问题的能力，考查参变分离思想的运用，考查利用导数求解函数的最值，属于难题． 解决此类问题的方法一般有以下几种：（1）作出函数的图象，利用数形结合思想加以研究；（2）先进行参变分离，然后利用导数研究函数的最值，即可解决问题，必要时可以构造新函数进行研究．13．函数()2cos sin f x x x x x =+-，当3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x ax ≤恒成立，则实数a 的取值范围是___________．【试题来源】河南省名校联盟2020届高三（6月份）高考数学（理）联考试题 【答案】[)0,+∞ 【分析】先根据2x π=时22f a ππ⎛⎫≤⎪⎝⎭得0a ≥，再对函数()f x 求导，研究导函数的单调性、最值等，进而研究函数()f x 单调性，即可解决．【解析】22f a ππ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π，0a ∴≥． 由题意得()()2sin sin cos 1sin cos 1f x x x x x x x x '=-++-=-+-⎡⎤⎣⎦， 令()sin cos 1g x x x x =-+-，则()sin g x x x '=-． 当,2x π⎛⎤∈π⎥⎝⎦时，()0g x '<，()g x 单调递减； 当3,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 单调递增，()g x ∴的最小值为()1g ππ=--． 又22g π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，302g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，3,22x ππ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦，()0g x ≤，即()0f x '≤， ()f x ∴在区间3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦为减函数．02f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴当3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x ≤．又当0a ≥，3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，0ax ≥，故()f x ax ≤恒成立，因此a 的取值范围是[)0,+∞．14．已知0a <，且()221ln 0ax ax x ax -+≥+恒成立，则a 的值是___________．【试题来源】6月大数据精选模拟卷04（上海卷）（满分冲刺篇） 【答案】e -【分析】把不等式()221ln 0a x ax x ax -+≥+恒成立，转化为函数()()()1ln 0f x ax ax x =+⋅-≥在定义域内对任意的x 恒成立，结合函数的单调性和零点，得出1a-是函数ln y ax x =-的零点，即可求解． 【解析】由题意，不等式()221ln 0a x ax x ax -+≥+恒成立，即函数()()()1ln 0f x ax ax x =+⋅-≥在定义域内对任意的x 恒成立，由ln ,0,0y ax x a x =-<>，则10y a x'=-<，所以ln y ax x =-为(0,)+∞减函数， 又由当0a <，可得1y ax =+为(0,)+∞减函数， 所以1y ax =+ 与ln y ax x =-同为单调减函数，且1a-是函数1y ax =+的零点， 故1a -是函数ln y ax x =-的零点，故110ln a a a ⎛⎫⎛⎫=⋅--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得a e =-．【名师点睛】本题主要考查了不等式的恒成立问题，以及函数与方程的综合应用，其中解答中把不等式恒成立问题转化为函数的性质和函数的零点问题是解答的关键，着重考查转化思想，以及推理与运算能力．15．若对任意实数(],1x ∈-∞，2211xx ax e-+≥恒成立，则a =___________． 【试题来源】2020届辽宁省抚顺市高三二模考试（理） 【答案】12-【分析】设()()2211xx ax f x x e-+=≤，结合导数可知当0a <时，()()min 21f x f a =+；由题意可知，()()2122211a a f x f a e++≥+=≥，设()1t g t e t =--，则()0g t ≤，由导数可求出当0t =时，()g t 有最小值0，即()0g t ≥．从而可确定()0g t =，即可求出a 的值．【解析】设()()2211xx ax f x x e -+=≤，则()()()121xx x a f x e --+⎡⎤⎣⎦'=．当211a +≥，即0a ≥时，()0f x '≤，则()f x 在(],1-∞上单调递减， 故()()2211a f x f e -≥=≥，解得102ea ≤-<，所以0a ≥不符合题意； 当211a +<，即0a <时，()f x 在(),21a -∞+上单调递减，在(]21,1a +上单调递增， 则()()min21f x f a =+．因为2211xx ax e -+≥，所以()()2122211a a f x f a e ++≥+=≥． 令211a t +=<，不等式21221a a e++≥可转化为10te t --≤，设()1t g t e t =--， 则()1tg t e '=-，令()0g t '<，得0t <；令()0g t '>，得01t <<，则()g t 在(),0-∞上单调递减，在()0,1上单调递增；当0t =时，()g t 有最小值0， 即()0g t ≥．因为()0g t ≤，所以()0g t =，此时210a +=，故12a =-． 【名师点睛】本题考查了函数最值的求解，考查了不等式恒成立问题．本题的难点在于将已知恒成立问题，转化为()10tg t e t =--≤恒成立．本题的关键是结合导数，对含参、不含参函数最值的求解． 四、双空题1．已知函数()22ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点1x ，2x ，则a 的取值范围___________；且不等式()()1212f x f x x x t +<++恒成立，则实数t 的取值范围___________．【试题来源】辽宁省锦州市渤大附中、育明高中2020-2021学年高三上学期第一次联考 【答案】10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭[)5,-+∞【分析】求出导函数()2122122ax x f x ax x x-+'=-+=，只需方程22210ax x -+=有两个不相等的正根，满足1212010210x x a x x a ⎧⎪∆>⎪⎪=>⎨⎪⎪+=>⎪⎩，解不等式组可得a 的取值范围；求出 ()()1212f x f x x x +--的表达式，最后利用导数，通过构造函数，求出新构造函数的单调性，最后求出t 的取值范围．【解析】2221()(0)ax x f x x x'-+=>，因为函数()22ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点12,x x ，所以方程22210ax x -+=有两个不相等的正实数根，于是有：121248010102a x x a x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=>⎨⎪⎪=>⎪⎩，解得102a <<．()()221112221212122ln 2ln f x f x x x x ax x x ax x x x +--+--++=--()()212121212()23ln a x x x x x x x x ⎡⎤=+--++⎣⎦21ln 2a a=---， 设21()1ln 2,02h a a a a ⎛⎫=---<< ⎪⎝⎭， 22()0a h a a '-=>，故()h a 在102a <<上单调递增，故1()52h a h ⎛⎫<=-⎪⎝⎭，所以5t ≥-．因此t 的取值范围是[)5,-+∞. 故答案为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；[)5,-+∞【名师点睛】本题考查了已知函数极值情况求参数取值范围问题，考查了不等式恒成立问题，构造新函数，利用导数是解题的关键，属于基础题．2．对任意正整数n ，函数32()27cos 1f n n n n n πλ=---，若(2)0f ≥，则λ的取值范围是___________；若不等式()0f n ≥恒成立，则λ的最大值为___________． 【试题来源】2021年新高考数学一轮复习学与练 【答案】13,2⎛⎤-∞-⎥⎝⎦132-【分析】将2n =代入求解即可；当n 为奇数时，cos 1n π=-，则转化。

广西柳州高级中学2025届高三上学期第五次检测数学试题一、单选题1．函数()f x =的定义域为（）A ．()1,4B ．[)1,4C ．()(),14,-∞+∞ D ．(](),14,-∞⋃+∞2．已知2nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式第3项的系数是60，则展开式所有项系数和是（）A ．-1B ．1C ．64D ．633．2024年巴黎奥运会中国代表队获得金牌榜第一，奖牌榜第二的优异成绩.首金是中国组合黄雨婷和盛李豪在10米气步枪混合团体赛中获得，两人在决赛中14次射击环数如图，则（）A ．盛李豪的平均射击环数超过10.6B ．黄雨婷射击环数的第80百分位数为10.65C ．盛李豪射击环数的标准差小于黄雨婷射击环数的标准差D ．黄雨婷射击环数的极差小于盛李豪射击环数的极差4．过点()2,1A 的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（）A ．1x y -=B ．3x y +=C ．20x y -=或3x y +=D ．20x y -=或1x y -=5．质监部门对某种建筑构件的抗压能力进行检测，对此建筑构件实施打击，该构件有,A B 两个易损部位，每次打击后，A 部位损坏的概率为310，B 部位损坏的概率为12，则在第一次打击后就有部位损坏（只考虑A B ､两个易损部分）的条件下，,A B 两个部位都损坏的概率是（）A ．313B ．513C ．1720D ．3206．已知圆C ：()()22349x y -+-=，直线l ：230mx y m +--=．则直线l 被圆C 截得的弦长的最小值为（）A ．BC ．D 7．在锐角ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为s s ，若113tan tan sin B C bc A+=⋅，且ABC 的外接圆面积为π，则A =（）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π28．将函数()*π()cos N 12g x x ωω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标变为原来的12，纵坐标变为原来的2倍，得到函数()f x 的图象，若()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上只有一个极大值点，则ω的最大值为（）A ．2B ．3C ．4D ．5二、多选题9．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E F 、分别是11AB BC 、的中点．下列结论正确的是（）A ．EF 与1BB 垂直B ．⊥EF 与平面11BDD BC ．EF 与1CD 所成的角为45︒D ．//EF 平面1111D C B A10．已知定义在[)0,+∞上的函数()f x 满足当[]0,2x ∈时，()2,0142,12x x f x x x ≤≤⎧=⎨-<≤⎩，当2x >时，满足()()2R f x mf x m =-∈,(m 为常数)，则下列叙述中正确的为（）A ．当12m =时，()31f =B ．当[4,6]x ∈时，()f x 的解析式为()222(4),452(6),56m x x f x m x x ⎧-≤≤=⎨--<≤⎩C ．当1m >时，()24x m mf x ≥在[)0,+∞上恒成立D ．当01m <<时，函数()f x 的图象与直线1*2N n y m n -=∈,在[]0,2n 上的交点个数为21n -11．小明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，坐公交车平均用时10min ，样本方差为9；骑自行车平均用时15min ，样本方差为1.已知坐公交车所花时间X 与骑自行车所花时间Y 都服从正态分布，用样本均值和样本方差估计X ，Y 分布中的参数，并利用信息技术工具画出X 和Y 的分布密度曲线如图所示.若小明每天需在早上8点之前到校，否则就迟到，则下列判断正确的是（）A ．()2~10,3X N B ．若小明早上7：50之后出发，并选择坐公交车，则有60%以上的可能性会迟到C ．若小明早上7：42出发，则应选择骑自行车D ．若小明早上7：47出发，则应选择坐公交车三、填空题12．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若347a a +=，2535a a +=，则99S =．13．“五一”期间人民群众出游热情高涨，某地为保障景区的安全有序，将增派6名警力去A B ､两个景区执勤.要求A 景区至少增派3名警力，B 景区至少增派2名警力，则不同的分配方法的种数为.14．已知点()()2,0,2,0A B -，若圆()()22121x a y a -++--=上存在点M 满足5MA MB ⋅= ，则实数a 的取值范围是.四、解答题15．已知椭圆C ：()222210+=>>x y a b a b的焦距为.(1)求C 的标准方程；(2)若5,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线l ：()302x ty t =+>交椭圆C 于E ，F 两点，且AEF △，求t 的值.16．近年来我国新能源汽车行业蓬勃发展，新能源汽车不仅对环境保护具有重大的意义，而且还能够减少对不可再生资源的开发，是全球汽车发展的重要方向．“保护环境，人人有责”，在政府和有关企业的努力下，某地区近几年新能源汽车的购买情况如下表所示：年份x20192020202120222023新能源汽车购买数量>（万辆）0.400.701.101.501.80(1)计算y 与x 的相关系数r （保留三位小数）；(2)求y 关于x的线性回归方程，并预测该地区2025年新能源汽车购买数量．参考公式()()1nix x y y r --=∑()()()121ˆniii nii x x y y bx x==--=-∑∑， ay bx =- ．3.6056≈，()()513.6i i i x x y y =--=∑．17．在如图所示的直四棱柱AFBH DECG -中，连接AB ，FD ，DC ，AG ，BG ，90FAB AHB =∠=︒∠，2==AB AF ，AH HB =.(1)求证：D ，G ，B ，F 四点共面；(2)若AD =BDF 与平面ABG 的夹角的余弦值.18．甲乙两人参加知识竞赛活动，比赛规则如下：两人轮流随机抽题作答，答对积1分且对方不得分，答错不得分且对方积1分；然后换对方抽题作答，直到有领先2分者晋级，比赛结束.已知甲答对题目的概率为45，乙答对题目的概率为p ，答对与否相互独立，抽签决定首次答题方，已知两次答题后甲乙两人各积1分的概率为25.记甲乙两人的答题总次数为()2n n ≥.(1)求p ；(2)当2n =时，求甲得分X 的分布列及数学期望；(3)若答题的总次数为n 时，甲晋级的概率为()n P A ，证明：()()()2388159n P A P A P A ≤++⋅⋅⋅+<.19．已知函数312()(1)21xx f x ax b x -=++-+（其中,a b ∈R ）．(1)当0,0a b >=时，证明：()f x 是增函数；(2)证明：曲线()y f x =是中心对称图形；(3)已知0a ≠，设函数312()e ()(1)(1)21x x x g x f x b x b -=+-+-+-+，若()0g x ≥对任意的x ∈R恒成立，求b aa-的最小值．。

浙江省杭州第二中学2020届高三数学6月仿真模拟考试试题第Ⅰ卷（选择题部分，共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|1},{|31}xA x xB x =<=<则(){|0} (B) (C) {|1} (D) A A B x x A B R A B x x A B ⋂=<⋃=⋃=>⋂=∅ 2.“260x x --<”的一个充分不必要条件是()23 (B) 03 (C) 32 (D) 33A x x x x -<<<<-<<-<<3. x ， y 满足约束条3020x y x y +-≥⎧⎨-≥⎩则z=x-y 的最小值为（A ） 1 （B ） -1 （C ） 3 （D ）-34.设某几何体的三视图如右图，则该几何体的体积为（A ） 12 （B ） 8 （C ）4 （D ） 25.函数||sin(3)y x x =-的图象可能是下列图象中的6.设函数1|1|,(,2)()1(2),[2,)2x x f x f x x --∈-∞⎧⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，则函数()()1F x xf x =-的零点个数为(A) 4 (B) 5 (C)6 (D)77．空间线段AC ⊥AB ， BD ⊥AB ， 且::1:3:1AC AB BD =，设CD 与AB 所成的角为α， CD 与面ABC 所成的角为β，二面角C —AB —D 的平面角为γ，则（ A) (B) (C) (D) 2222γγγγβαβααβαβ≤≤≤≤≤≤≤≤8．已知甲盒子中有1个黑球， 1个白球和2个红球，乙盒子中有1个黑球， 1个白球和3个红球，现在从甲乙两个盒子中各取1个球，分别记取出的红球的个数为12,ξξ，则有（ ）（A ）1212()(),()()E E D D ξξξξ>> (B)1212()(),()()E E D D ξξξξ>< (C) 1212()(),()()E E D D ξξξξ<>(D)1212()(),()()E E D D ξξξξ<<9.面积为2的△ABC 中， E ， F 分别是AB ， AC 的中点，点P 在直线EF 上，则2PC PB BC ⋅+的最小值是（ ）(A) 2(B) 223(D) 2310．已知数列{}n x 满足011111,()()0,2n n n n x x x x x n N x ++=-⋅-=∈，则0x 最大值为(A) 5(B) 656 (C) 2 (D) 2第Ⅱ卷（非选择题部分，共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

衡阳县一中2025届高三上学期期中考试数学第Ⅰ卷（选择题）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1．已知集合M={x|x―1x+2≤0},Q={x∈N||x|≤2}，则M∩Q=（）A．{―1,0,1}B．[0,1]C．(―2,1]D．{0,1}2．已知复数z=1―i2+i，则z表示的点所在象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知命题p：∀x∈R，ax2―ax+1>0；q：∃x∈R，x2―x+a=0.均为真命题，则a的取值范围是（）A．(―∞,4)B．[0,4)C．(0,14]D．[0,14]4．已知|a|=1,|b|=2，且a―b与a垂直，则a与b的夹角为（）A．60°B．30°C．135°D．45°5．椭圆x29+y25=1，若椭圆上存在不同的两点M,N关于直线y=3x+m对称，则实数m的取值范围（）A．(―263,223)B．(―263,263)C．(―63,263)D．(―233,233) 6．某学校组织学生开展研学旅行，准备从4个甲省景区，3个乙省景区，2个丙省景区中任选4个景区进行研学旅行，则所选的4个景区中甲、乙、丙三个省的景区都有的概率是（）A．625B．47C．27D．257．沙漏是古代的一种计时仪器，根据沙子从一个容器漏到另一容器的时间来计时．如图，沙漏可视为上下两个相同的圆锥构成的组合体，下方的容器中装有沙子，沙子堆积成一个圆台，若该沙漏高为6，沙子体积占该沙漏容积的716，则沙子堆积成的圆台的高（）A ．1B ．32C ．3D ．438．已知函数f (x )=sin 4ωx +cos 4ωx ―58在(0,π4]上有且仅有两个零点，则ω的取值范围是（ ）A ．(43,83]B ．[43,83)C ．(83,163]D ．[83,163)二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分）9．造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中的曲线C 的一部分，已知C 过坐标原点O ，且C 上的点满足横坐标大于―1，到点F (1,0)的距离与到定直线x =a (a <0)的距离之积为1，则（ ）A ．a =―1B ．点(2,0)在C 上C ．C 在第一象限点的纵坐标的可以为12D ．当点(x 0,y 0)在C上时，y 20>1(x 0+1)210．如图，边长为1的正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 在平面互相垂直，动点M ,N 分别在正方形对角线AC 和BF 上移动，且CM =BN =a (0<a <2)，则下列结论中正确的有（ ）A．∃a∈(0,2)，使MN=12CEB．线段MN存在最小值，最小值为23C．直线MN与平面ABEF所成的角恒为45°D．∀a∈(0,2)，都存在过MN且与平面BEC平行的平面11．设正项等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n，前n项积为T n，则下列选项正确的是（）A．S9=S4+q4S5B．若T2025=T2020，则a2023=1C．若a1a9=4，则当a24+a26取得最小值时，a1=2D．若(a n+1)n>T2n，则a1<1第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）12．已知2a+b=1(a>0,b>0)，则3a+1+1b+1的最小值为．13．已知某三棱台的高为25，上、下底面分别为边长为43和63的正三角形，若该三棱台的各顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为．14．已知f(x)={|ln x|,0<x≤e2―ln x,x>e，若a,b,c互不相等，且f(a)=f(b)=f(c)，则a+b+e2c的范围是．四、解答题（本题共5小题，共77分）15．（13分）已知数列{a n}和等比数列{b n}，a n=1+1，若{a n}的最大项和2n―9最小项分别是{b n}中的b2―1和b3―9的值．(1)求数列{b n}的通项公式；(2)若c n=1⋅b n，求数列{c n}的前n项和S n．a n―116．（15分）如图，在四棱锥P―ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，AB ⊥AD，PA=PD，AB=1，AD=2，AC=CD=5.(1)求证：PD⊥平面PAB.(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值.(3)在棱PA上是否存在点M，使得BM//平面PCD?若存在，求出AM的值；若不存在，AP请说明理由.17．（15分）在学校食堂就餐成为了很多学生的就餐选择.学校为了解学生食堂就餐情况，在校内随机抽取了100名学生，其中男生和女生人数之比为1∶1，现将一周内在食堂就餐超过3次的学生认定为“喜欢食堂就餐”，不超过3次的学生认定为“不喜欢食堂就餐”.“喜欢食堂就餐”的人数比“不喜欢食堂就餐”人数多20人，“不喜欢食堂就餐”的男生只有10人.男生女生合计喜欢食堂就餐不喜欢食堂就餐10合计100(1)将上面的列联表补充完整，并依据小概率值α=0.001的独立性检验，分析学生喜欢食堂就餐是否与性别有关；(2)该校甲同学逢星期二和星期四都在学校食堂就餐，且星期二会从①号、②号两个套餐中随机选择一个套餐，若星期二选择了①号套餐，则星期四选择①号套餐的概率为45；若星期二选择了②号套餐，则星期四选择①号套餐的概率为13，求甲同学星期四选择②号套餐的概率.参考公式：χ2=n (ad ―bc )2(a +b )(c +d )(a +c )(b +d )，其中n =a +b +c +d .α0.10.050.010.0050.001x α2.7063.8416.6357.87910.82818．（17分）如图，已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点P(3,1)，焦距为42，斜率为―13的直线l与椭圆C相交于异于点P的M,N两点，且直线PM,PN均不与x轴垂直.(1)求椭圆C的方程；(2)若MN=10，求MN的方程；(3)记直线PM的斜率为k1，直线PN的斜率为k2，证明:k1k2为定值.19．（17分）已知函数f(x)=x3―3mx+m2.(1)当m=1时，求f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；(2)讨论f(x)的单调性；(3)若f(x)有三个不相等的零点x1,x2,x3，且f(x)在点(x i,f(x i))处切线的斜率为k i(i=1,2,3)，求m的取值范围及1k1+1k2+1k3的值.数 学（答案）1．【答案】D【解析】由x ―1x +2≤0，可得{(x ―1)(x +2)≤0x +2≠0，解得―2<x ≤1，∴M ={x|―2<x ≤1}，又Q ={0,1,2}，所以M ∩Q ={0,1}，故选：D ．2．【答案】A【解析】z =1―i2+i=(1―i )(2―i )(2+i )(2―i )=2―i ―2i ―15=15―35i ，所以z =15+35i ，所以z 表示的点所在象限是第一象限，故选：A 3．【答案】D【解析】ax 2―ax +1>0恒成立，当a =0时，1>0，满足要求，当a ≠0时，需满足{a >0Δ=a 2―4a <0，解得0<a <4，故p 为真命题，需满足0≤a <4，∃x ∈R ，x 2―x +a =0，则Δ=1―4a ≥0，解得a ≤14，故q 为真命题，需满足a ≤14，综上，a 的取值范围为[0,4)∩(―∞,14]=[0,14]故选：D 4．【答案】D【解析】由题设(a ―b )⋅a =a 2―a ⋅b =0⇒a ⋅b =a 2=1，所以cos ⟨a ,b ⟩=a b=22，而0°≤⟨a ,b ⟩≤180°，所以⟨a ,b ⟩=45°.故选：D 5．【答案】B【解析】椭圆x 29+y 25=1，即：5x 2+9y 2―45=0，设椭圆上两点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)关于直线y =3x +m 对称，AB 中点为M (x 0,y 0)，则5x 21+9y 21―45=0，5x 22+9y 22―45=0，所以5(x 1+x 2)(x 1―x 2)+9(y 1+y 2)(y 1―y 2)=0，所以y 1―y 2x 1―x 2=―59⋅x 0y 0=―13，所以y 0=53x 0，代入直线方程y =3x +m 得x 0=―3m 4，y 0=―5m 4，即M (―3m 4,―5m 4)，因为(x 0,y 0)在椭圆内部，所以5×9m 216+9×25m 216<45，解得―263＜m ＜263，即m 的取值范围是(―263,263)．故选：B ．6．【答案】B【解析】设样本空间为Ω，则n (Ω)=C 49=126，设所选的4个景区中甲、乙、丙三个省的景区都有为事件A ，则n (A )=C 24C 13C 12+C 14C 23C 12+C 14C 13C 22=72，所以P (A )=n (A )n (Ω)=72126=47.故选：B.7．【答案】B【解析】设沙漏下半部分的圆锥的容积为V ，沙子堆成的圆台体积为V 1，该圆锥内沙子上方的剩余空间体积为V 2=V ―V 1．由题意可知V 12V =716，即V 1V =78，则V 2V =18，则下半部分圆锥剩余空间的高为圆锥高的一半，即沙子堆成的圆台的高为圆锥高的一半，即圆台的高为32．故选：B 8．【答案】B【解析】因为f (x )=sin 4ωx +cos 4ωx ―58=(sin 2ωx +cos 2ωx)2―2sin 2ωx cos 2ωx ―58=―12sin 22ωx +38=―12×1―cos 4ωx2+38=14cos4ωx +18，令4ωx =t ,t ∈(0,ωπ]，则y =14cos t +18，令14cos t +18=0，得到cos t =―12，所以t =2π3+2k π,k ∈Z 或t =4π3+2k π,k ∈Z ，令k =0，得到t =2π3或t =4π3，令k =1，得到t =8π3或t =10π3，又f (x )在(0,π4]上有且仅有两个零点，所以y =14cos t +18在(0,ωπ]上有且仅有两个零点，所以4π3≤ωπ<8π3，得到ω∈[43,83)，故选：B.9．【答案】ABC【解析】对于A ，因为O 在曲线上，所以O 到x =a 的距离为―a ，而|OF |=1，所以有―a ⋅1=1，故a =―1，故A 正确，对于B ，因为曲线的方程为(x +1)(x ―1)2+y 2=1，代入(2,0)知满足方程；故B 正确，对于C ，由(x +1)(x ―1)2+y 2=1，将(1,12)代入方程满足，故(1,12)在曲线上，故C 正确，对于D ，曲线的方程为(x +1)(x ―1)2+y 2=1，可化为(x ―1)2+y 2=(1x +1)2，即y 2=(1x +1)2―(x ―1)2，因为y 20=(1x 0+1)2―(x 0―1)2≤(1x 0+1)2，故D 错误，故选：ABC ．10．【答案】AD【解析】因为四边形ABCD 正方形，故CB ⊥AB ，而平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD ∩平面ABEF =AB ，CB ⊂平面ABCD ，故CB ⊥平面ABEF ，而BE ⊂平面ABEF ，故CB ⊥BE .设MC =λAC ，则BN =λBF ，其中λ=a 2∈(0,1)，由题设可得MN =MC +CB +BN =λAC +CB +λBF ，=λ(BC ―BA )+CB +λ(BA +BE )=(λ―1)BC +λBE ，对于A ，当λ=12即a =22时，→MN =―12⃗BC +12⃗BE =12⃗CE ，故A 正确；对于B ， MN 2=(λ―1)2+λ2=2λ2―2λ+1=2(λ―12)2+12，故|MN |≥22，当且仅当λ=12即a =22时等号成立，故|MN |min=22，故B 错误；对于C ，由B 的分析可得MN =(λ―1)BC +λBE ，而平面ABEF 的法向量为BC 且MN ⋅BC =(λ―1)BC 2=λ―1，故cos ⟨MN ,BC ⟩=λ―12λ2―2λ+1，此值不是常数，故直线MN 与平面ABEF 所成的角不恒为定值，故C 错误；对于D ，由B 的分析可得MN =(λ―1)BC +λBE ，故MN ,BC ,BE 为共面向量，而MN⊄平面BCE ，故MN //平面BCE ，故D 正确；故选：AD 11．【答案】AB【解析】因为数列{a n }为正项等比数列，则a 1>0,q >0,T n >0，对于选项A ：因为S 9=a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6+a 7+a 8+a 9=S 4+q 4(a 1+a 2+a 3+a 4+a 5)=S 4+q 4S 5，所以S 9=S 4+q 4S 5，故A 正确；对于选项B ：若T 2025=T 2020，则T 2025T 2020=a 2021⋅a 2022⋅a 2023⋅a 2024⋅a 2025=a 52023=1，所以a 2023=1，故B 正确；对于选项C ：因为a 1a 9=a 4a 6=4，则a 24+a 26≥2a 4a 6=8，当且仅当a 4=a 6=2时，等号成立，若a 24+a 26取得最小值，则a 4=a 6=2，即{a 4=a 1q 3=2a 6=a 1q 5=2，解得{a 1=2q =1，故C 错误；对于选项D ：例如a 1=1,q =2，则a n =2n―1，Tn=a 1a 2⋅⋅⋅a n =20×21×⋅⋅⋅×2n―1=21+2+⋅⋅⋅+n―1=2n (n―1)2，可得(a n +1)n=(2n )n=2n 2,T 2n=(2n (n―1)2)2=2n 2―n ，因为n ∈N *，则n 2>n 2―n ，可得2n 2>2n2―n，即(a n +1)n >T 2n ，符合题意，但a 1=1，故D 错误；故选：AB.12．【答案】7+264【解析】3a +1+1b +1=14(62a +2+1b +1)(2a +2+b +1)=14[7+6(b +1)2a +2+2a +2b +1]≥7+264，当且仅当6(b +1)2a +2=2a +2b +1，即6(b +1)2=(2a +2)2，即当a =7―265,b =46―95时等号成立.故答案为：7+26413．【答案】144π【解析】依题意，该三棱台为正三棱台，设为三棱台ABC ―A 1B 1C 1，如图，上底面正△A 1B 1C 1外接圆的半径是O 1A 1=23×32×43=4，O 1为正△A 1B 1C 1外接圆圆心，下底面正△ABC 外接圆的半径是O 2A =23×32×63=6，O 2为正△ABC 外接圆圆心，由正三棱台的性质知，其外接球的球心O 在直线O 1O 2上，令该球半径为R ，R 2―42+R 2―62=25，或R 2―42―R 2―62=25，解得R 2=36，所以球O 的表面积是S =4πR 2=4π×36=144π．故答案为：144π14．【答案】(3,2e +1e)【解析】函数f (x )={―ln x,0<x ≤1ln x,1<x ≤e 2―ln x,x >e在(0,1]，(e,+∞)上单调递减，在(1,e ]上单调递增，f (e 2)=0，f (1)=0，画出f (x )={|ln x |,0<x ≤e2―ln x,x >e的图象，如图，令a <b <c ，由f (a )=f (b )=f (c )，得1e <a <1，1<b <e ，e <c <e 2，由|ln a |=|ln b |，得ln a +ln b =0，即ab =1，由ln b =2―ln c ，得bc =e 2，于是a +b +e 2c =1b +b +bc c =1b +2b ，由对勾函数性质知，y =1b +2b 在(1,e )上递增，则3<1b +2b <2e +1e，所以a +b +e 2c的范围是(3,2e +1e )．故答案为：(3,2e +1e)15．【解析】（1）由题意，a n =1+12n ―9(n ∈N ∗)，结合函数f (x )=1+12x ―9的单调性，可知a 5>a 6>a 7>⋯>a n >1>a 1>a 2>a 3>a 4(n ∈N ∗)，所以数列{a n }中的最大项为a 5=2，最小项为a 4=0，所以b 2―1=2,b 3―9=0，即b 2=3,b 3=9，所以等比数列{b n }的公比q =b 3b 2=3，所以b n =b 2⋅q n―2=3n―1（2）c n =1a n ―1⋅b n =(2n ―9)⋅3n―1，S n =c 1+c 2+c 3+⋯+c n =(―7)×30+(―5)×31+⋯+(2n ―11)×3n―2+(2n ―9)×3n―1，3S n =(―7)×31+(―5)×32+⋯+(2n ―11)×3n―1+(2n ―9)×3n ，两式相减得：―2S n =―7+2×(31+32+33+⋯+3n―1)―(2n ―9)×3n =―7+2×3(1―3n―1)1―3―(2n ―9)×3n =―10+3n (10―2n )，故S n =5+3n (n ―5).16．【解析】（1）∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ∩平面ABCD =AD ，且AB ⊥AD ，AB ⊂平面ABCD ，∴AB ⊥平面PAD ，∵PD ⊂平面PAD ，∴AB ⊥PD ，又PD ⊥PA ，且PA ∩AB =A ，PA ,AB ⊂平面PAB ，∴PD ⊥平面PAB ；（2）取AD 中点为O ，连接CO ,PO ，又∵PA =PD ，∴PO ⊥AD ．则AO =PO =1，∵CD =AC =5，∴CO ⊥AD ，则CO =AC 2―OA 2=5―1=2，以O 为坐标原点，分别以OC ,OA ,OP 所在直线为x ,y ,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O ―xyz ，则P (0,0,1)，B (1,1,0)，D (0,―1,0)，C (2,0,0)，则PB =(1,1,―1)，PD =(0,―1,―1)，PC =(2,0,―1)，CD =(―2,―1,0)，设n =(x,y,z )为平面PCD 的一个法向量，则由{n ⋅PD =0n ⋅PC =0，得{―y ―z =02x ―z =0，令z =1，则n =(12,―1,1)．设PB 与平面PCD 的夹角为θ，则sin θ=|cos ⟨n ,PB ⟩|=n PB =|12―1―114+1+1×3|=33；（3）假设在棱PA 上存在点M 点，使得BM //平面PCD . 设AM =λAP ，λ∈[0,1]，由（2）知，A (0,1,0)，B (1,1,0)，P (0,0,1)，则AP =(0,―1,1)，BA =(―1,0,0)，BM =BA +AM =BA +λAP =(―1,0,0)+(0,―λ,λ)=(―1,―λ,λ)，由（2）知平面PCD 的一个法向量n =(12,―1,1)．若BM //平面PCD ，则BM ⋅n =―12+λ+λ=2λ―12=0，解得λ=14，又BM⊄平面PCD ，故在棱PA 上存在点M 点，使得BM //平面PCD ，此时AMAP =14.17．【解析】（1）喜欢食堂就餐的人数为100+202=60，则不喜欢的人数为60―20=40人，则不喜欢食堂就餐的女生为40―10=30人，因为男女生人数比为1∶1，则男女生各50人，则喜欢堂食就餐的女生为50―30=20人，喜欢堂食就餐的男生为50―10=40人，则列联表见图，男生女生合计喜欢食堂就餐402060不喜欢食堂就餐103040合计5050100零假设H 0:假设食堂就餐与性别无关，由列联表可得H 0:χ2=100(40×30―10×20)250×50×60×40≈16.667>10.828，根据小概率α=0.001的独立性检验推断H 0不成立，即可以得到学生喜欢食堂就餐与性别有关.（2）记事件A ：小林同学星期二选择了①号套餐，事件B ：小林同学星期四选择了②号套餐,P (A )=P (A )=12,P (B∣A )=1―45=15,P (B ∣A )=1―13=23,由全概率公式可得P (B )=P (A )⋅P (B |A )+P (A )⋅P (B |A )=12×15+12×23=133018．【解析】（1）由题意得{9a 2+1b2=12c =42a 2=b 2+c 2解得{a =23b =2c =22，故椭圆C 的方程为x 212+y 24=1.（2）设直线l 的方程为y =―13x +m ，M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)由{y =―13x +mx 212+y 24=1得4x 2―6mx +9m 2―36=0，由Δ=(6m)2―144(m 2―4)>0，得―433<m <433，则x 1+x 2=3m 2,x 1x 2=9m 2―364.|MN |=1+19⋅(x 1+x 2)2―4x 1x 2=102⋅16―3m 2=10，解得m =2或m =―2当m =2时，直线l :y =―13x +2经过点P (3,1)，不符合题意，舍去；当m =―2时，直线l 的方程为y =―13x ―2.（3）直线PM ，PN 均不与x 轴垂直，所以x 1≠3,x 2≠3，则m ≠0且m ≠2，所以k 1k 2=y 1―1x 1―3⋅y 2―1x 2―3=(―13x 1+m ―1)(―13x 2+m ―1)(x 1―3)(x 2―3)=19x 1x 2―13(m ―1)(x 1+x 2)+(m ―1)2x 1x 2―3(x 1+x 2)+9=19⋅9m2―364―13(m ―1)⋅3m2+(m ―1)29m 2―364―3⋅3m2+9=3m 2―6m 9m 2―18m=13为定值.19．【解析】（1）当m =1时，f (x )=x 3―3x +1，f ′(x )=3x 2―3，切点为(0,1)，切线斜率f ′(0)=―3，故切线方程为y ―1=―3(x ―0)，即切线方程为y=―3x+1.（2）f′(x)=3x2―3m,x∈R，当m≤0时，f′(x)≥0恒成立，所以f(x)在(―∞,+∞)上单调递增；当m>0时，令f′(x)=0，得x=±m，令f′(x)<0，得―m<x<m，令f′(x)>0，得x<―m或x>m，所以f(x)在(―m,m)上单调递减，在(―∞,―m)，(m,+∞)上单调递增.（3）由（2）知，f(x)有三个零点，则m>0，且{f(―m)>0f(m)<0，即{m2+2m m>0m2―2m m<0，解得0<m<4，当0<m<4时，3m>m，且f(3m)=m2>0，所以f(x)在(m,3m)上有唯一一个零点，同理―2m―1<―m，f(―2m―1)=―8m3―5m2―3m―1<0，所以f(x)在(―2m―1,―m)上有唯一一个零点，又f(x)在(―m,m)上有唯一一个零点，所以f(x)有三个零点，综上可知m的取值范围为(0,4)，由f(x)有三个不相等的零点x1,x2,x3，不妨设f(x)=a(x―x1)(x―x2)(x―x3)，其中a≠0，则f′(x)=a[(x―x2)(x―x3)+(x―x1)(x―x3)+(x―x1)(x―x2)]，则1k1+1k2+1k3=1a[1(x1―x2)(x1―x3)+1(x2―x1)(x2―x3)+1(x3―x1)(x3―x2)]∴1k1+1k2+1k3=x2―x3+x3―x1+x1―x2a(x1―x2)(x1―x3)(x2―x3)=0.。

杭州二中2022学年第二学期高三年级3月考试数学试卷第I 卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}(){}214,ln 4A x x B x y x =-≤≤==-，则A B ⋃=（）A.(,1][2,)-∞-+∞B.[1,2)- C.[1,4]- D.(2,4]-2.已知复数()2iR 1ib z b +=∈-的实部为1-，则b 的值为（）A.2B.4C.2-D.4-3.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为4，弧长为4π的扇形，则该圆锥的表面积为（）A.4πB.8πC.12πD.20π4.2022年10月22日，中国共产党第二十次全国代表大会胜利闭幕．某班举行了以“礼赞二十大、奋进新征程”为主题的联欢晚会，原定的5个学生节目已排成节目单，开演前又临时增加了两个教师节目，如果将这两个教师节目插入到原节目单中，则这两个教师节目相邻的概率为（）A.16 B.17C.13D.275.已知OAB ，1OA =，2OB =，1OA OB ⋅=-，过点O 作OD 垂直AB 于点D ，点E满足12OE ED = ，则EO EA ⋅的值为（）A.328-B.121-C.29-D.221-6.已知1132,5,(2)e a b c e ===+，则,,a b c 的大小关系为（）A .b<c<aB.c b a <<C.b a c<< D.c<a<b7.已知1F ，2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且12π4F PF ∠=，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为（）A.B.22C. D.28.已知在矩形ABCD 中，2AB =，4=AD ，E ，F 分别在边AD ，BC 上，且1AE =，3BF =，如图所示，沿EF 将四边形AEFB 翻折成A EFB ''，设二面角B EF D '--的大小为α，在翻折过程中，当二面角B CD E '--取得最大角，此时sin α的值为（）A.35B.45C.223D.13二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.用简单随机抽样从含有50个个体的总体中抽取一个容量为10的样本，个体m 被抽到的概率是0.2B.已知一组数据1，2，m ，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5C.数据27，12，14，30，15，17，19，23的50%分位数是17D.若样本数据1x ，2x ，…，10x 的标准差为8，则数据121x -，221x -，…，1021x -的标准差为1610.已知函数()()()sin cos cos sin f x x x =+，下列关于该函数结论正确的是（）A.()f x 的图象关于直线π2x =对称 B.()f x 的一个周期是2πC.()f x 的最大值为sin11+ D.()f x 是区间3ππ,2⎛⎫⎪⎝⎭上的减函数11.已知正四棱锥P ABCD -的所有棱长均为E ，F 分别是PC ，AB 的中点，M 为棱PB 上异于P ，B 的一动点，则以下结论正确的是（）A.异面直线EF 、PD 所成角的大小为3π B.直线EF 与平面ABCD 所成角的正弦值为66C.EMF +D.存在点M 使得PB ⊥平面MEF12.已知定义域为R 的函数()f x 在(]1,0-上单调递增，()()11f x f x +=-，且图像关于()2,0对称，则()f x （）A.()()02f f =-B.周期2T =C.在()2,3单调递减D.满足()()()202120222023f f f >>第II 卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.13.已知抛物线E ：()220x py p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线交于,A B 两点，与准线交于C 点，F 为AC 的中点，且3AF =，则p =__________.14.在6()x a +的展开式中的3x 系数为160，则=a _______．15.已知正实数,a b 满足()3386311a a b b +≤+++，则23a b +的最小值是___________.16.函数2()2e x f x a bx =++，其中,a b 为实数，且(0,1)a ∈.已知对任意23e b >，函数()f x 有两个不同零点，a 的取值范围为____________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知,,a b c 分别为ABC 内角,,A B C 的对边，若ABC 同时满足下列四个条件中的三个：①a =2b =；③sin sin sin ++=-B C a c A b c ；④21cos sin sin 24-⎛⎫-= ⎪⎝⎭B C B C ．（1）满足有解三角形的序号组合有哪些？（2）请在（1）所有组合中任选一组，求对应ABC 的面积．18.已知数列{}n a 满足22113,2221++==+-++n n n a a a n n ．（1）求证：22⎧⎫-⎨⎩⎭n na n 是等差数列；（2）令2⎡⎤=⎢⎥⎣⎦nn n a b （[]x 表示不超过x 的最大整数．提示：当a ∈Z 时，[][]a x a x +=+），求使得12100n b b b ++≤+L 成立的最大正整数n 的值．19.如图，四棱锥P -ABCD 的底面为梯形，PD⊥底面ABCD ，90BAD CDA ∠=∠=︒，1AD AB ==，2CD =，E 为PA 的中点．（1）证明：平面PBD ⊥平面BCE ；（2）若二面角P -BC -E 的余弦值为265，求三棱锥P -BCE 的体积．20.法国数学家庞加莱是个喜欢吃面包的人，他每天都会到同一家面包店购买一个面包.该面包店的面包师声称自己所出售的面包的平均质量是1000g ，上下浮动不超过50g .这句话用数学语言来表达就是：每个面包的质量服从期望为1000g ，标准差为50g 的正态分布.（1）已知如下结论：若()2,X Nμσ ，从X 的取值中随机抽取()*,2k k N k ∈≥个数据，记这k 个数据的平均值为Y ，则随机变量2,Y N k σμ⎛⎫~ ⎪⎝⎭.利用该结论解决下面问题.（i ）假设面包师的说法是真实的，随机购买25个面包，记随机购买25个面包的平均值为Y ，求()980P Y ≤；（ii ）庞加莱每天都会将买来的面包称重并记录，25天后，得到的数据都落在()950,1050上，并经计算25个面包质量的平均值为978.72g .庞加莱通过分析举报了该面包师，从概率角度说明庞加莱举报该面包师的理由；（2）假设有两箱面包（面包除颜色外，其他都一样），已知第一箱中共装有6个面包，其中黑色面包有2个；第二箱中共装有8个面包，其中黑色面包有3个.现随机挑选一箱，然后从该箱中随机取出2个面包.求取出黑色面包个数的分布列及数学期望.附：①随机变量η服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P μσημσ-≤≤+=，()()220.9545,330.9973P P μσημσμσημσ-≤≤+=-≤≤+=；②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生.21.已知抛物线21:C y x =，开口向上的抛物线2C 与1C 有一个公共点(2,4)T ，且在该点处有相同的切线，（1）求所有抛物线2C 的方程；（2）设点P 是抛物线2C 上的动点，且与点T 不重合，过点P 且斜率为k 的直线l 交抛物线1C 于,A B 两点，其中PA PB ≥，问是否存在实常数k ，使得PA PB为定值？若存在，求出实常数k ；若不存在，说明理由.22.已知221ln ,0(),0x x x x f x e x --⎧->=⎨≤⎩.（1）当(0,)x ∈+∞时，求()f x 的最大值；（2）若存在[0,)a ∈+∞使，得关于x 的方程2()0f x ax bx ++=有三个不相同的实数根，求实数b 的取值范围.杭州二中2022学年第二学期高三年级3月考试数学试卷第I 卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}(){}214,ln 4A x x B x y x =-≤≤==-，则A B ⋃=（）A.(,1][2,)-∞-+∞B.[1,2)- C.[1,4]- D.(2,4]-【答案】D 【解析】【分析】根据对数函数的定义域，先求出集合B ，然后利用并集的运算即可求解.【详解】因为集合22{|ln(4)}{|40}{|22}B x y x x x x x ==-=->=-<<，又因为集合{|14}A x x =-≤≤，由并集的概念可知，{|24}(2,4]A B x x =-<≤=- ，故选：D .2.已知复数()2iR 1ib z b +=∈-的实部为1-，则b 的值为（）A.2B.4C.2- D.4-【答案】B 【解析】【分析】先利用复数的四则运算得出(2)(2)i2b b z -++=，然后根据题意即可求解.【详解】复数2i (2i)(1i)(2)(2)i1i (1i)(1i)2b b b b z +++-++===--+，因为复数()2iR 1ib z b +=∈-的实部为1-，所以22b -=-，则4b =，故选：B .3.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为4，弧长为4π的扇形，则该圆锥的表面积为（）A.4πB.8πC.12πD.20π【答案】C 【解析】【分析】圆锥的侧面展开图是一个半径为4，弧长为4π的扇形，可知底面圆的半径，再求的底面圆的面积和圆锥的侧面积，即可求得该圆锥的表面积.【详解】由于圆锥的侧面展开图是一个半径为4，弧长为4π的扇形，则圆锥底面圆的半径为4π22πr ==，底面圆的面积为22ππ24πr =⨯=，圆锥的表面积为14π44π12π2⨯⨯+=.故选：C.4.2022年10月22日，中国共产党第二十次全国代表大会胜利闭幕．某班举行了以“礼赞二十大、奋进新征程”为主题的联欢晚会，原定的5个学生节目已排成节目单，开演前又临时增加了两个教师节目，如果将这两个教师节目插入到原节目单中，则这两个教师节目相邻的概率为（）A.16 B.17C.13D.27【答案】D【解析】【分析】先插入第一个节目，再插入第二个节目，再按照分步乘法计数原理分别计算插入的情况数量及这两个教师节目恰好相邻的情况数量,再应用古典概率公式求概率即可.【详解】由题意可知，先将第一个教师节目插入到原节目单中，有6种插入法，再将第二个教师节目插入到这6个节目中，有7种插入法，故将这两个教师节目插入到原节目单中，共有6742⨯=（种）情况，其中这两个教师节目恰好相邻的情况有2612⨯=（种），所以所求概率为122427=.故选:D.5.已知OAB ，1OA =，2OB =，1OA OB ⋅=-，过点O 作OD 垂直AB 于点D ，点E满足12OE ED = ，则EO EA ⋅的值为（）A.328-B.121-C.29-D.221-【答案】D 【解析】【分析】作出图形，由平面向量数量积的定义及余弦定理可得OD =，再由平面向量数量积的运算律即可得解.【详解】由题意，作出图形，如图，1OA = ，2OB =，1OA OB ⋅=-12cos 2cos 1OA OB AOB AOB ∴⋅=⨯∠=∠=- ，1cos 2AOB ∴∠=-，由()0,AOB π∠∈可得23AOB π∠=，AB ∴==又113sin 222AOB S OA OB AOB OD AB =⋅⋅⋅∠=⋅⋅=△，则OD =()222232299721EO EA OE ED DA OE OD ∴⋅=-⋅+=-=-⋅=-⨯=- .故选：D ．6.已知1132,5,(2)e a b c e ===+，则,,a b c 的大小关系为（）A.b<c<aB.c b a <<C .b a c<< D.c<a<b【答案】A 【解析】【分析】化简由题意，可得11132(22),(23),(2)ea b c e =+=+=+，构造()()1ln 2f x x x=⋅+，得到则()()2ln 22xx x f x x-+'+=，再令()()ln 22x g x x x =-++，求得函数的单调性，结合单调性，即可求解.【详解】由题意，可得11132(22),(23),(2)ea b c e =+=+=+，所以令()()1ln 2,(0)f x x x x=⋅+>，则()()2ln 22xx x f x x -+'+=，令()()ln 2,(0)2xg x x x x =-+>+，则()20(2)x g x x +'-=<，所以()g x 在()0,∞+上单调递减，()()00g x g <=，所以()0f x '<恒成立，所以()f x 在()0,∞+上单调递减，因为23e <<，所以()()()23f f e f >>，即()()()111ln 22ln 2ln 2323e e +>+>+，所以11132ln(22)ln(2)ln(23)ee +>+>+，所以111324(2)5ee >+>，即b<c<a .故选：A.7.已知1F ，2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且12π4F PF ∠=，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为（）A.B.22C. D.2【答案】B 【解析】【分析】根据双曲线以及椭圆的定义可得112||PF a a =+，212||PF a a =-，进而在焦点三角形中运用余弦定理即可得2212224e e +=，结合均值不等式即可求解.【详解】如图，设椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的半实轴长为2a ，则根据椭圆及双曲线的定义：121||||2PF PF a +=，122||||2PF PF a -=，112||PF a a ∴=+，212||PF a a =-，设12||2F F c =，12π4F PF ∠=，则：在△12PF F 中由余弦定理得，22212121212π4()()2()()cos4c a a a a a a a a =++--+-，化简得：22212(2(24a a c ++=，即2212224e e +=，又221212222212·e e e e ++≥，∴121e e ≤12·2e e ≥，即椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为22．故选：B8.已知在矩形ABCD 中，2AB =，4=AD ，E ，F 分别在边AD ，BC 上，且1AE =，3BF =，如图所示，沿EF 将四边形AEFB 翻折成A EFB ''，设二面角B EF D '--的大小为α，在翻折过程中，当二面角B CD E '--取得最大角，此时sin α的值为（）A.35B.45C.23D.13【答案】B 【解析】【分析】过B 作EF 的垂线交EF 与O ，交AD 于M ，CD 于G ，然后利用定义法可得B KH '∠为二面角B CD E '--的平面角，设B OH α'∠=，可得2B H α'=，53cos 22HK α=-，从而sin tan 3253cos B H B KH HK αα''∠==-，然后求函数最大值时的sin α值即可.【详解】过B 作EF 的垂线交EF 与O ，交AD 于M ，CD 于G ，设B '在平面AC 内的投影为H ，则H 在直线BM 上，过H 作CD 的垂线，垂足为K ，则B KH '∠为二面角B CD E '--的平面角，设B OH α'∠=，由题意2B O BO '==sin 2B H B O αα''==，则cos cos )2BH BO B O αα'=++，由45GBC ∠=︒，42BG =，得42cos )2HG BG BH α=-=+，所以3534(1cos )cos 2222HK αα==-+=-，所以sin tan 3253cos B H B KH HK αα''∠==-，令sin 53cos t αα=-，可得2sin 3cos 519t t t αα+=≤+，则14t ≤，所以，当14t =即sin 153cos 4αα=-，也即4sin 5α=时，tan B KH ∠'取到最大值324，此时B KH '∠最大，即二面角B CD E '--取得最大角.故选：B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.用简单随机抽样从含有50个个体的总体中抽取一个容量为10的样本，个体m 被抽到的概率是0.2B.已知一组数据1，2，m ，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5C.数据27，12，14，30，15，17，19，23的50%分位数是17D.若样本数据1x ，2x ，…，10x 的标准差为8，则数据121x -，221x -，…，1021x -的标准差为16【答案】AD 【解析】【分析】利用概率对于即可判断A ；根据平均数求得m 的值，然后利用方差公式求解即可判断B ；根据百分位数的求法即可判断C ；利用方差公式求解即可判断D.【详解】对于A ，一个总体含有50个个体，某个个体被抽到的概率为150，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为10的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为11100.2055⨯==，故A 正确；对于B ， 数据1，2，m ，6，7的平均数是4，4512674m =⨯----=，这组数据的方差是()()()()()222222114244464745s ⎡⎤=-+-+-+-+-⎣⎦=265，故B 错误；对于C ，8个数据50百分为850%4⨯=，第50百分位数为1719=182+，故C 错误；对于D ，依题意，()28D x =，则()()2221216D x D x -=⨯=，所以数据121021,21,,21x x x --⋯-的标准差为16，D 正确；10.已知函数()()()sin cos cos sin f x x x =+，下列关于该函数结论正确的是（）A.()f x 的图象关于直线π2x =对称 B.()f x 的一个周期是2πC.()f x 的最大值为sin11+ D.()f x 是区间3ππ,2⎛⎫⎪⎝⎭上的减函数【答案】BC 【解析】【分析】利用诱导公式判断()f x 与()πf x -是否相等判断A ，判断()f x 与()2πf x +是否相等判断B ，利用三角函数及复合函数的单调性判断CD.【详解】由()()()sin cos cos sin f x x x =+，对于A ，()()()()()()()()πsin cos πcos sin πsin cos cos sin f x x x x x f x -=-+-=-+≠，故A不正确；对于B ，()()()()()()()()2πsin cos 2πcos sin 2πsin cos cos sin f x x x x x f x +=+++=+=，故B 正确；对于C ，因为1cos 1x -≤≤，所以()sin cos y x =的最大值为sin1，当cos 1x =时，()cos sin cos 01y x ===，取得最大值，所以()f x 的最大值为sin11+，故C 正确；对于D ，()3ππ3ππsin1cos111110244f f ⎛⎫-=+-=+->-=⎪⎝⎭（），又函数连续，故D 错误；故选：BC11.已知正四棱锥P ABCD -的所有棱长均为E ，F 分别是PC ，AB 的中点，M 为棱PB 上异于P ，B 的一动点，则以下结论正确的是（）A.异面直线EF 、PD 所成角的大小为3πB.直线EF 与平面ABCD 所成角的正弦值为66C.EMF +D.存在点M 使得PB ⊥平面MEF【解析】【分析】根据空间中异面直线所成角，直线与平面所成角的定义，空间中折叠问题以及垂直关系的判定与性质，逐个选项运算求解即可．【详解】如图1，取PD 的中点Q ，连接EQ ，AQ ，因为E ，F 分别是PC ，AB 的中点，所以EQ DC AF ，且EQ AF =，所以四边形AFEQ 为平行四边形，则EF AQ ，又正四棱锥P ABCD -的所有棱长均为，则AQ PD ⊥，所以异面直线EF ，PD 所成角为π2，故A 错误；设正方形ABCD 的中心为O ，连接OC ，PO ，则PO ⊥平面ABCD ，2OC OP ==，设OC 的中点为H ，连接EH ，FH ，则EH OP ，且EH ⊥平面ABCD ，所以EFH ∠为直线EF 与平面ABCD 所成角，所以112EH PO ==，OFH 中，1OH =，OF =，135FOC ︒∠=，所以由余弦定理可得FH =EF ==，所以6sin6EH EFH EF ∠==，故B 正确；将正PAB 和PBC 沿PB 翻折到一个平面内，如图2，当E ，M ，F 三点共线时，ME MF +取得最小值，此时，点M 为PB 的中点，ME MF BC +==，所以EMF V +C 正确；若PB ⊥平面MEF ，则PB ME ⊥，此时点M 为PB 上靠近点P 的四等分点，而此时，PB 与FM 显然不垂直，故D 错误；12.已知定义域为R 的函数()f x 在(]1,0-上单调递增，()()11f x f x +=-，且图像关于()2,0对称，则()f x （）A.()()02f f =-B.周期2T =C.在()2,3单调递减D.满足()()()202120222023f f f >>【答案】AC 【解析】【分析】根据题意化简得到()()4f x f x =+，得到()f x 的周期为4T =,结合()()22f f -=，求得()()02f f =-，得到A 正确，B 错误；再由()f x 的对称性和单调性，得出()f x 在()2,3单调递减，可判定C 正确；根据()f x 的周期求得()()20211f f =，()()20222f f =，()()20233f f =，结合特殊函数()f x 的图象，可判定D 不正确.【详解】由()()11f x f x +=-，可得()f x 的对称轴为1x =，所以()()02,f f =又由()()11f x f x +=-知：()()2f x f x +=-，因为函数()f x 图像关于()2,0对称，即()()22f x f x +=--，故()()4f x f x +=--，所以()()24f x f x -+=+，即()()2f x f x -=+，所以()()4f x f x =+，所以()f x 的周期为4,所以()()22f f -=，所以()()02f f =-，故A 正确，B 错误；因为()f x 在(]1,0-上单调递增，且4T =，所以()f x 在(]3,4上单调递增，又图像关于()2,0对称，所以()f x 在(]0,1上单调递增，因为关于1x =对称，所以()f x 在(]1,2上单调递减，又因为关于()2,0对称，可得函数()f x 在()2,3单调递减，故C 正确；根据()f x 的周期为4T =，可得()()()()()()20211,20222,20233f f f f f f ===，因为关于1x =对称，所以()()20f f =且()()31f f =-，即()()()()()()20211,20220,20231f f f f f f ===-，由函数()f x 在(]1,2上单调递减，且关于1x =对称，可得()f x 在(]0,1上单调递增，如图所示的函数()f x 中，此时()()()()10,01f f f f -<>，所以()()()202120222023f f f >>不正确.故选：AC.【点睛】规律探求：对于函数的基本性质综合应用问题解答时，涉及到函数的周期性有时需要通过函数的对称性得到，函数的对称性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的时函数值随自变量变化而变化的规律，因此在解题时，往往西药借助函数的对称性、奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题.第II 卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.13.已知抛物线E ：()220x py p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线交于,A B 两点，与准线交于C 点，F 为AC 的中点，且3AF =，则p =__________.【答案】32##1.5【解析】【分析】利用抛物线的定义结合三角形中位线定理求解即可.【详解】设y 轴交准线于N ，过A 作准线的垂线，垂足为Q ，因为F 为AC 的中点，且3AF =，则由抛物线的定义可得3AQ =，在Rt ACQ 中，1322FN AQ ==，所以32p =，故答案为：3214.在6()x a +的展开式中的3x 系数为160，则=a _______．【答案】2【解析】【分析】首先求出6()x a +的展开项中3x 的系数，然后根据3x 系数为160即可求出a 的取值.【详解】由题知616r rr r T C xa -+=，当3r =时有333333466160160T C x a x C a ==⇒=，解得2a =.故答案为：2.【点睛】本题主要考查了二项式展开项的系数，属于简单题.15.已知正实数,a b 满足()3386311a a b b +≤+++，则23a b +的最小值是___________.【答案】3-【解析】【分析】根据不等式特征可通过构造函数()33,0f x x x x =+>，利用函数单调性解不等式可得21a b ≥+，再根据基本不等式即可求得23a b +的最小值是3-.【详解】由题意可得将不等式变形成33223311a a b b ⎛⎫⎛⎫+⨯≤+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭；又因为,a b 都是正数，所以20,01a b +>>；可构造函数()33,0f x x x x =+>，易知函数为增函数，由()3386311a a b b +≤+++可得33223311a ab b ⎛⎫⎛⎫+⨯≤+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，即()21f f a b ⎛⎫≤⎪+⎝⎭，根据函数单调性可得21a b ≥+，则()233313443311b b a b b b ++=++-≥=++-≥，当且仅当()3124,11a b b b +=++=，即2313a b ==-取等号，因此23a b +的最小值是3-.故答案为：316.函数2()2e x f x a bx =++，其中,a b 为实数，且(0,1)a ∈.已知对任意23e b >，函数()f x有两个不同零点，a 的取值范围为____________.【答案】)6,1-⎡⎣e 【解析】【分析】由题意可得2ln 22e e 2e 0x x a a bx bx ++=++=有两个不相等的实根，利用换元法，分离参数，令ln t x a =，则22ln t b a t +-=e e ，再利用导函数求2e e t t+的最小值即可.【详解】因为()f x 有两个不同零点()0f x ⇔=有两个不相等的实根，即2ln 22e e 2e 0x x a a bx bx ++=++=有两个不相等的实根，令ln t x a =，则220ln tbt a ++=e e ，t 显然不为零，所以22ln t b a t+-=e e ，因为()0,1a ∈，23e b >，所以20ln ba->，所以0t >，令()()2e e 0t g t t t +=>，则()()22t t t g t t-+'=e e e ，令()()()2e e e0tth t t t =-+>，则()0tttth t t t '=+-=>e e e e ，所以()h t 在()0,∞+上单调递增，又()20h =，所以当()0,2t ∈时，()0h t <；当()2,t ∈+∞时，()0h t >，所以当()0,2t ∈时，()0g t '<；当()2,t ∈+∞时，()0g t '>，故()g t 在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增，所以()()2min 2g t g ==e ，所以22ln ba-≥e ，又23e b >，所以23b >e ，所以ln 32a -≤即ln 6a ≥-，6a -≥e ，又()0,1a ∈，所以)6,1a -⎡∈⎣e ，故答案为：)6,1-⎡⎣e 【点睛】利用换元法，令ln t x a =，根据t 不为零，分离参数得22ln t b a t+-=e e ，构造函数，通过求解函数的最值，即可得出a 的取值范围.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知,,a b c 分别为ABC 内角,,A B C 的对边，若ABC 同时满足下列四个条件中的三个：①a =2b =；③sin sin sin ++=-B C a c A b c ；④21cos sin sin 24-⎛⎫-= ⎪⎝⎭B C B C ．（1）满足有解三角形的序号组合有哪些？（2）请在（1）所有组合中任选一组，求对应ABC 的面积．【答案】（1）序号组合为①②③，①②④（2）答案不唯一，具体见解析【解析】【分析】（1）判断出③，④不能同时存在，由此确定正确答案.（2）选①②③，则利用余弦定理求得c ，进而求得三角形ABC 的面积；选①②④，则利用余弦定理求得c ，进而求得三角形ABC 的面积.【小问1详解】对于③，()22212π,0,223b c a c a c b B B a b c ac π+++-=⇒=-∈∴=-；对于④，()()1cos 11sin sin cos 2sin sin 242B C B C B C B C +--=⇒--=-，即()1cos 2B C +=-，且π,0,,πA B C A B C ++=<<，则π3A =，故③，④不能同时存在，则满足有解三角形的序号组合为①②③，①②④．【小问2详解】选①②③：2π2,3a b B ===时，由余弦定理：22221cos 22a c b B ac +-=⇒-=整理得：210c -=且0c >，则2c =，ABC ∴的面积为31sin 28ABCSac B == ．选①②④：π2,3a b A ===时，由余弦定理：2222143cos 224b c a c A bc c+-+-=⇒=，整理得：2210c c -+=，则1c =，ABC ∴ 的面积13sin 22ABC S bc A ==．18.已知数列{}n a 满足22113,2221++==+-++n n n a a a n n ．（1）求证：22⎧⎫-⎨⎩⎭n na n 是等差数列；（2）令2⎡⎤=⎢⎥⎣⎦nn n a b （[]x 表示不超过x 的最大整数．提示：当a ∈Z 时，[][]a x a x +=+），求使得12100n b b b ++≤+L 成立的最大正整数n 的值．【答案】（1）证明见解析（2）9【解析】【分析】（1）根据递推关系，结合等差数列定义证明即可；（2）结合（1）得()2221nn a n n =-+，故2212n n n b n ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦，再根据函数()ln xf x x =的单调性得当5x ≥时，22x x <，进而解5n时，2123100n b b b n +++=+≤ 即可得答案.【小问1详解】证明：因为2212221n n n a a n n ++=+-++，所以222222111(1)2221(1)2222n n n n n n n n na n a n a n n n a n ++++-+-+-++-+--=-()2221222222n n n n a n a n +++---==，所以数列22⎧⎫-⎨⎬⎩⎭n na n 是以1112a -=为首项，2d =为公差的等差数列．【小问2详解】解：由（1）知，2212n na n n -=-，即()2221n n a n n =-+，所以()()22222121212222n n n n nn n n n a n n b n n ⎡⎤-+⎡⎤⎡⎤⎡⎤===-+=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦．令函数()ln x f x x =，所以()21ln xf x x -'=，当()0,e x ∈时，()()0,f x f x '>单调递增；当()e,x ∈+∞时，()()0,f x f x '<单调递减．注意到：2552<，两边同时取对数25ln5ln2<，即ln5ln252<，所以当5x ≥时，ln ln5ln252x x ≤<，即22x x <，特别地，1n =时，21022n n ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；当2n =时，24124n n ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；当3n =时，29128n n ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；当4n =时，2161216n n ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；当5n ≥时，22nn <，则202n n ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．显然使得12100n b b b ++≤+L 成立的最大正整数n 的值大于5，则5n时，()2121352133100n b b b n n +++=++++-+=+ ，所以满足条件的n 的最大值为9．19.如图，四棱锥P -ABCD 的底面为梯形，PD⊥底面ABCD ，90BAD CDA ∠=∠=︒，1AD AB ==，2CD =，E 为PA 的中点．（1）证明：平面PBD ⊥平面BCE ；（2）若二面角P -BC -E 的余弦值为265，求三棱锥P -BCE 的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）312.【解析】【分析】（1）线面垂直的性质可得PD BC ⊥，若F 为CD 中点，连接BF ，由正方形的性质及勾股定理可得BD BC ⊥，再由线面垂直的性质有BC ⊥面PBD ，最后根据面面垂直的判定证结论.（2）构建空间直角坐标系，设PD m =求相关点坐标，再求面PBC 、面EBC 的法向量，应用空间向量夹角的坐标表示，结合二面角的余弦值求参数m ，最后求PBC S 、向量法求E 到面PBC 的距离，再由体积公式求棱锥的体积.【小问1详解】因为PD⊥底面ABCD ，BC ⊂面ABCD ，则PD BC ⊥，由90BAD ∠=︒，1AD AB ==，则BD =，又90CDA ∠=︒，则//AB DC，若F 为CD 中点，连接BF ，易知：ABFD 为正方形，则1BF =，又2CD =，即1FC =，所以BC =综上，222BC BD CD +=，即BD BC ⊥，又BD PD D = ，则BC ⊥面PBD ，又BC ⊂面BCE ，所以平面PBD ⊥平面BCE .【小问2详解】由题设，可构建如下图示的空间直角坐标系，若PD m =，则(0,0,0)D ，(1,1,0)B ，(0,2,0)C ，1(,0,)22mE ，(0,0,)P m，所以(1,1,)PB m =- ，1(,1,)22mEB =- ，(1,1,0)BC =- ，若(,,)x y z α= 为面PBC 的一个法向量，则0BC x y PB x y zm αα⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，令1x =，则2(1,1,)mα= ，若(,,)a b c β= 为面EBC 的一个法向量，则0022BC a b a cmEB b ββ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，令1a =，则3(1,1,mβ=，所以262|cos ,|||5||||m αβαβαβ+⋅<>==，整理得429610m m-+=，所以m =，即PD =，易得：2,PA PC ==由PD⊥底面ABCD ，AB ⊂面ABCD ，则PD ⊥AB ，又90BAD ∠=︒，即AD ⊥AB ，由=PD AD D ⋂，则AB ⊥面PAD ，PA ⊂面PAD ，即AB ⊥PA ，所以在直角△PAB中，PB ，在△PBC中，PB =PC =、BC =222PB BC PC +=，则PB BC ⊥，所以11022PBC S ==.由上有：1(,1,)22EB =- 且面PBC的一个法向量α= ，则1152|cos ,||20EB α<>==，故E 到面PBC的距离|||cos ,|2020d EB EB α=<>==，所以11301033320212P BCE PBC V d S -=⋅⋅=⨯⋅=.20.法国数学家庞加莱是个喜欢吃面包的人，他每天都会到同一家面包店购买一个面包.该面包店的面包师声称自己所出售的面包的平均质量是1000g ，上下浮动不超过50g .这句话用数学语言来表达就是：每个面包的质量服从期望为1000g ，标准差为50g 的正态分布.（1）已知如下结论：若()2,X Nμσ ，从X 的取值中随机抽取()*,2k k Nk ∈≥个数据，记这k 个数据的平均值为Y ，则随机变量2,Y N k σμ⎛⎫~ ⎪⎝⎭.利用该结论解决下面问题.（i ）假设面包师的说法是真实的，随机购买25个面包，记随机购买25个面包的平均值为Y ，求()980P Y ≤；（ii ）庞加莱每天都会将买来的面包称重并记录，25天后，得到的数据都落在()950,1050上，并经计算25个面包质量的平均值为978.72g .庞加莱通过分析举报了该面包师，从概率角度说明庞加莱举报该面包师的理由；（2）假设有两箱面包（面包除颜色外，其他都一样），已知第一箱中共装有6个面包，其中黑色面包有2个；第二箱中共装有8个面包，其中黑色面包有3个.现随机挑选一箱，然后从该箱中随机取出2个面包.求取出黑色面包个数的分布列及数学期望.附：①随机变量η服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P μσημσ-≤≤+=，()()220.9545,330.9973P P μσημσμσημσ-≤≤+=-≤≤+=；②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生.【答案】（1）（i ）0.02275；（ii ）理由见解析.（2）ξ012p5314044984073840()1724E ξ=【解析】【分析】（1）（i ）由正太分布的对称性及3σ原则进行求解；（ii ）结合第一问求解的概率及小概率事件进行说明；（2）设取出黑色面包个数为随机变量ξ，则ξ的可能取值为0,1,2,求出相应的概率，进而求出分布列及数学期望.【小问1详解】（i ）因为25010025=，所以()21000,10Y N ，因为()220.9545P μσημσ-≤≤+=，所以()10.954520.022752P ημσ-≤-==，因为9801000210=-⨯，所以()()98020.02275P Y P Y μσ≤=≤-=；（ii ）由第一问知()()98020.02275P Y P Y μσ≤=≤-=，庞加莱计算25个面包质量的平均值为978.72g ，978.72980<，而0.022750.05<，为小概率事件，小概率事件基本不会发生，这就是庞加莱举报该面包师的理由；【小问2详解】设取出黑色面包个数为随机变量ξ，则ξ的可能取值为0,1,2,则()143154530265287140p ξ==⨯⨯+⨯⨯=；()124135449122265287840p ξ==⨯⨯⨯+⨯=，()121132732265287840p ξ==⨯⨯+⨯=，故分布列为：ξ012p5314044984073840其中数学期望()53449731701214084084024E ξ=⨯+⨯+⨯=21.已知抛物线21:C y x =，开口向上的抛物线2C 与1C 有一个公共点(2,4)T ，且在该点处有相同的切线，（1）求所有抛物线2C 的方程；（2）设点P 是抛物线2C 上的动点，且与点T 不重合，过点P 且斜率为k 的直线l 交抛物线1C 于,A B 两点，其中PA PB ≥，问是否存在实常数k ，使得PAPB为定值？若存在，求出实常数k ；若不存在，说明理由.【答案】（1）2(2)4(1)y a x x =-+-（0a >且1)a ≠（2）存在，4k =.【解析】【分析】（1）设22:C y ax bx c =++，根据题意结合导数的几何意义，得到44a b +=，再由2C 过点T ，求得44c a =-，即可求得抛物线2C 的方程；（2）根据题意得到l 即为公共点T 处的切线，得出4k =，设2(,(2)4(1))P t a t t -+-，求得切线方程为()()()24241y x t a t t =-+-+-，联立方程组，得到12PA x t PBx t-=-，令m x t =-，得到12PA mPB m =，并代入整理得222(24)(2)4(1)0m t m t a t t +-+----=，根据根与系数的关系，化简求得22212212(22)(88)882(1)(1)(44)441m m a t a t a a m m a t a t a a++-++++==----+-为定值，分1a >和01a <<，两种情况讨论，结合21y y <，得到,A B 在点P 的两侧和同侧，进而得到答案.【小问1详解】解：设22:,(0)C y ax bx c a =++>，可得2y ax b '=+，抛物线21:C y x =，可得2y x '=，因为抛物线2C 与1C 有一个公共点(2,4)T ，且在该点处有相同的切线，可得44a b +=，即44b a =-，所以22:(44)C y ax a x c =+-+，因为抛物线2C 过点(2,4)T ，代入可得44c a =-，即满足条件的22:(44)(44)C y ax a x a =+-+-即抛物线2C 的方程为2(2)4(1),(0y a x x a =-+->且1)a ≠.【小问2详解】解：当0PB →时，若PA PB为常数，则0PA →，此时l 即为公共点T 处的切线，故若存在，则4k =.下面证明：4k =时，PAPB为常数，设2(,(2)4(1))P t a t t -+-，则切线方程为()()()24241y x t a t t =-+-+-，联立方程组()()()224241y xy x t a t t ⎧=⎪⎨=-+-+-⎪⎩，整理得224()(2)4(1)0x x t a t t ------=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则12PA x t PBx t -=-，令m x t =-，可得x m t =+，所以12PA m PBm =，代入上式得22()4(2)4(1)0m t m a t t +-----=，即222(24)(2)4(1)0m t m t a t t +-+----=，可得()()12221242241m m t m m t a t t +=-⎧⎪⎨=----⎪⎩，所以222121224(2)m m m m t ++=-，则2222222124(2)22(2)8(1)22(2)8(1)m m t t a t t t a t t +=--+-+-=+---，所以22212212(22)(88)882(1)(1)(44)441m m a t a t a a m m a t a t a a++-++++==----+-为定值，且2221(1)4(1)4(1)(1)(2)y y a x a x a a x -=-+-+-=--，①当1a >时，由21y y >，可得,A B 在点P 的两侧，所以11221PA x t mPB x t m -==->-，令12m t m =，可得12(1)1a t t a ++=-，即2(1)2(1)10a t a t a --++-=，解得121a t a+±=-，因为1t <-，所以121a t a+-=-为定值；②当01a <<时，由21y y <，可得,A B 在点P 的同侧，所以11221PA x t mPB x t m -==>-，因为1t >，所以11a t a++=-为定值，综上可得，存在4k =时，使得PAPB为定值.【点睛】方法技巧：解答圆锥曲线的定点、定值问题的常见策略：1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量k ）；②利用条件找到k 过定点的曲线0(),F x y =之间的关系，得到关于k 与,x y 的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.22.已知221ln ,0(),0x x x x f x e x --⎧->=⎨≤⎩.（1）当(0,)x ∈+∞时，求()f x 的最大值；（2）若存在[0,)a ∈+∞使，得关于x 的方程2()0f x ax bx ++=有三个不相同的实数根，求实数b 的取值范围.【答案】（1）112e +；（2）1(,,e ⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭.【解析】【分析】（1）利用导数判断出函数的单调性，再根据函数的单调性即可求出最值.（2）验证0x =不是方程的根，将原方程的根等价于()f x ax b x=--的根，记0A a =-≤，B b =-，令() t x Ax B =+，令2()g()(0)x f x e x x x x--==<，讨论B 的取值，利用导数求出函数()g x 的最值，通过比较即可确定答案.【详解】（1）当(0,)x ∈+∞时，2()1ln f x x x =-，即()2ln (2ln 1)f x x x x x x '=--=-+当x <时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；当x >时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以max 1()12f x f e==+（2）()20f x ax bx ++=，经验证0x =不是方程的根，所以原方程的根等价于()f x ax b x=--的根，记0A a =-≤，B b =-，令() t x Ax B =+，0A ≤，单调递减，令2()g()(0)x f x e x x x x --==<，即22(1)()x x e g x x---+'=，令()01g x x '=⇒=-为极大值点，其在(),1-∞-上单调递增，在()1,0-上单调递减，当B >，1()(1)()(0)t x B g g x x e>>-=-≥<，所以()()g x t x =在0x <无实数根当0x >时，21()()()ln B g x t x h x x A x x=⇔=--=……①2323212()B x Bx h x x x x x -+'=--+=-()h x 有两个极值点12,x x，且121220x x B x x ⎧+=>⎪⎨⋅=>⎪⎩即120x x <<，22B x =故222213()ln ln422B Bx h x x x B Bx++=--=--3ln0422<-⨯-=-<，所以()20h x<，存在A使①有三个实根所以B>.当B ()h x'的分子中2=80B∆-≤，()0h x'≤，显然()0,0x h x+→>，所以①仅有一个正根，要使2xe Ax Bx--=+有两个负根，则max1()(0)B g x xe≤=-<﹐综上所()1,Be⎛⎤∈-∞-⋃+∞⎥⎝⎦﹐即1(,,be⎡⎫∈-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题考查了利用导数研究方程的根、利用导数求函数的最值，考查了分类讨论的思想，属于难题.。