江苏省泰兴中学第一学期高二数学期中考试试卷

2024~2025学年度第一学期期中考试高二数学试题（考试时间：120分钟；总分：150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.1. 直线的倾斜角等于（）A. B. C. D. 2. 在等比数列中，若，，则（）A. -32B. -16C. 16D. 323. 若点在圆外，则实数的取值范围为（）A.B. C. D.4. 将直线绕点顺时针旋转得到直线，则直线的方程是（）A. B. C. D.5. 过点作圆的切线，则切线方程为（）A. B. C. D.6. 已知圆内有一点，为过点的弦，当弦被点平分时，直线的方程为（）A. B. C. D. 7. 高斯（Gauss ）被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.小学进行的求和运算时，他这样算的：，，，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法，课本上推导等差数列前项和的方法正是借助了高斯算法.已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试根据提示探求：若，则（）A1010B. 2024C. 1012D. 20208. 在平面直角坐标系中，若圆上存在点，且点关于轴的对称点122x y -=30o4590135{}n a 54a =78a =11a =()1,1P 22:420C x y x y a ++-+=a 4,5-（）(),5∞-(),4∞--6,5-（）1:20+-=l x y ()2,090 2l 2l 220x y -+=20x y ++=20x y --=220x y --=()1,1P 22:420E x y y +-+=10x y -+=0x y +=10x y ++=0x y -=()()22126x y -++=P AB ()1,1P --AB P AB 210x y --=210x y -+=230x y ++=230x y ++=123100++++L 1100101+=299101+=⋯5051101+=501015050⨯=n {}n a 120241a a =()11f x x=+()()()122024f a f a f a +++= xOy ()()2221:10C x y r r +-=>P P x Q在圆上，则的取值范围是（）A. B. C.D. （3，7）二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9. 已知点，点，点，则下列正确有（）A. B. 直线的倾斜角为C. D. 点到直线10. 圆与圆相交于，两点，下列说法正确的是（）A. 直线方程为B. 公共弦C. 圆与圆的公切线段长为1D. 线段的中垂线方程为11. 已知数列满足，且，则下列正确的有（）A. B. 数列的前项和为C. 数列的前项和为D. 若数列的前项和为，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 设是数列前项和，且，则的通项公式为___________.13. 函数______________.14. 已知直线，相交于点，圆心在轴上的圆与直线，分别相切于两点，则四边形的面积为___________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.的的的()222:24C x y -+=r 2⎤-+⎦[]3,7)2+()1,2A -()1,4B ()4,1C AB BC>AB 45 AB BC⊥B AC 221:2210C x y x y +--+=222:4440C x y x y +--+=A B AB 2230x y +-=AB 1C 2C AB 0x y +={}n a 1122n n n a a ++-=14a =332a =1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭n 12n +2log n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n ()22log 12n nn +++14n n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n T 11124n T ≤<n S {}n a n 23n S n ={}n a n a =()f x =1:230l x y --=2:230l x y ++=M x C 1l 2l ,A B AMCB15. 已知数列为等差数列，，数列为等比数列，公比为2，且，.（1）求数列与通项公式；（2）设数列满足，求数列的前项和.16. 已知圆，点.（1）过点圆作切线，切点为，求线段的长度（2）过点作一条斜率为的直线与圆交于，两点，求线段的长度（3）点为圆上一点，求线段长度的最大值17. 已知直线和直线交于点，求满足下列条件的一般式直线方程.（1）过点且与直线平行；（2）过点且到原点的距离等于2；（3）直线关于直线对称的直线.18. 已知圆.（1）求的范围，并证明圆过定点；（2）若直线与圆交于，两点，且以弦为直径的圆过原点，求的值.19. 已知数列满足.（1）求的值；（2）求证：数列是等差数列；（3）令，如果对任意，都有，求实数的取值范围.的{}n a 13a ={}n b 426a a -=24b ={}n a {}n b {}n c n n n c a b =+{}n c n n T ()22:19C x y -+=()3,4P -P C T PT P 12-A B AB Q C PQ 1:30l x y -+=2:210l x y -+=C C 410x y -+=C 1l 2l ()22:4420C x y x λλ++-+-=λC :320l x y -+=A B AB O λ{}n a ()*122N n n a a a n a n +++=-∈ 123a a a ++{}4log 2n a -()()()*212N n n b n a n =--∈*N n ∈n b t +≤22t t2024~2025学年度第一学期期中考试高二数学试题（考试时间：120分钟；总分：150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.1.【答案】B2.【答案】D3.【答案】A4.【答案】C5.【答案】D6.【答案】B7.【答案】C8.【答案】A二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.【答案】BCD10.【答案】AC11.【答案】ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.【答案】13.14.【答案】或四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式和等比数列的通项公式即可直接求解；（2）利用等差数列和等比数列的求和公式求解即可.【小问1详解】设等差数列的公差为，因为，所以，，所以；因为，所以．【小问2详解】结合（1）可得：．16. 【解析】分析】（1）求出圆心和半径，得到（2）求出直线，求出圆心到直线的距离，由垂径定理求出答案；（3）的最大值为点到圆心的距离加上半径，得到答案．【小问1详解】圆心，半径为，即，又，【63n-81595d 424a a -=26d =3d =()3133n a n n =+-⋅=24b =2224222n n n n b b --⋅⋅===1212n n n T a a a b b b =+++++++ ()()212123322122332n n n n n n ++=-++=+--PT ==:250AB x y +-=C AB PQ P C ()1,0C 33TC =PC ==故【小问2详解】，故直线，记圆心到直线的距离为，，故；【小问3详解】的最大值为点到圆心的距离加上半径，故．17. 【解析】【分析】（1）联立方程解交点坐标，由平行关系设直线方程，代入点坐标待定系数可得；（2）讨论斜率是否存在，当斜率存在时，设出点斜式直线方程，结合点到直线的距离公式求解即可；（3）根据对称性质，在其中一条直线上取不同于两直线交点的任一点，利用垂直关系与中点坐标公式建立方程组求解其对称点坐标，再结合交点由两点式方程可得.【小问1详解】联立方程，解得，．设与直线平行的直线为，由题意得：，，故满足要求的直线方程为：．【小问2详解】①当所求直线斜率不存在时，直线方程为，满足到原点的距离为2；②当所求直线斜率存在时，设直线方程为，即，，解得，直线方程为，PT ==()1432y x -=-+:250AB x y +-=C AB d d AB ==PQ P C max 33PQ PC =+=+C ()401x y t t -+=≠C 30210x y x y -+=⎧⎨-+=⎩25x y =⎧⎨=⎩(2,5)C ∴410x y -+=()401x y t t -+=≠2450t -⨯+=18t =4180x y -+=2x =5(2)y k x -=-250kx y k --+=∴22120k =∴2120580x y -+=综上所述，符合题意的直线方程为或．【小问3详解】在上取一点，设点关于直线的对称点为点，则，解得，，又，则直线的方程即所求直线方程，为，化简得，.故所求的直线方程为：．18. 【解析】【分析】（1）利用方程表示圆的充要条件列式求出范围，再分离参数求出定点坐标.（2）联立直线与圆的方程联立，利用韦达定理及向量垂直的坐标表示求解.【小问1详解】由圆，得，，，所以的范围为；，由，得，所以圆过定点.【小问2详解】以弦为直径的圆过原点，则，，20x -=2120580x y -+=1l ()0,3M M 2l ()00,N x y 0000312321022y x x y -⎧=-⎪⎪⎨+⎪⋅-+=⎪⎩0085115x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩811,55N ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭(2,5)C CN 115558225y x --=--790x y --=790x y --=22:(4)420C x y x λλ++-+-=2(4)4(42)0λλ--->20λ>0λ≠λ()(),00,-∞+∞ 22044(2)x x x y λ-++-+=2244020x y x x ⎧+-+=⎨-=⎩20x y =⎧⎨=⎩C ()2,0M AB O OA OB ⊥0OA OB ⋅=设点，，则，，即，由，消去整理得：，，，，于是，解得，满足，所以的值为．19. 【解析】【分析】（1）根据递推关系求值即可；（2）由递推关系可得，与原式相减可得，即，于是可得数列数列是以0为首项，以为公差的等差数列；（3）由（2）可得，故，作差并分析判断数列{b n }的单调情况，确定数列的最大项．由题意可得恒成立，于是，解不等式可得的范围．【小问1详解】，，，，，，，【小问2详解】证明：由题可知：①，②，②-①得，即：，()11,A x y ()22,B x y 12120x x y y +=()()12123+23+20x x x x +=()1212106+40x x x x ++=()223204420x y x y x λλ-+=⎧⎨++-+-=⎩y ()2108820x x λλ+++-=22=(+8)40(82)=962560λλλλ∆--+->12810x x λ++=-128210x x λ-=82+8106401010λλ-⋅-⋅+=3613λ=0∆>λ361312311...22n n n a a a a a n a +++++++=+-122n n a a +-=()11222n n a a +-=-{}4log 2n a -12-1122n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭1212n n n b --=1n n b b +-()2max2n t b t ≤-t 123...2n n a a a a n a ++++=- 112a a ∴=-11a ∴=1224a a a ∴+=-232a ∴=12336a a a a ++=- 374a ∴=23137171.244a a a ++=++=∴123...2n n a a a a n a ++++=-12311...22n n n a a a a a n a ++∴+++++=+-122n n a a +-=()11222n n a a +-=-所以，，，又∴数列是以0为首项，以为公差的等差数列.【小问3详解】由（2）可得，，，则，由可得；由可得，∴，故{b n }有最大值，∴对任意，有，如果对任意，都有成立，则，∴，解得或，∴实数的取值范围是414411log 2log 2log 222n n n a a a +⎡⎤-=-=-+-⎢⎥⎣⎦4141log 2log 22n n a a +---=-41log 20a -={}4log 2n a -12-11212122n n a a a +-=-=--，1122n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭1212n n n b --=()11212212121322222n n n n n nn n n n nb b +-+--+---=-==10n n b b +->2n <10n n b b +-<2n ≥12345......n b b b b b b >>>><>>232b =*N n ∈32n b ≤*N n ∈22n t b t +≤()2max2n t b t ≤-2322t t ≤-1t ≤-3t ≥t (,1][3,).-∞-⋃+∞。

1江苏省泰州中学2021-2022学年度第一学期高二年级期中质量检测数学试题一、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。

1．30y -+=的倾斜角是 ( ) A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．150︒2．抛物线上一点到其焦点的距离为3．则抛物线的方程为 A ．B ．C ．D ．3．已知双曲线的一个焦点为，则其渐近线方程为 A ．B ．C ．D ．4．圆221:260O x y x y +-+=和圆222:60O x y x +-=的公共弦AB 的垂直平分线的方程是 ( ) A ．2330x y -+=B ．2350x y --=C ．3290x y --=D ．3270x y -+=5．古希腊数学家阿波罗尼奥斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线，用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的截面是圆；把平面再渐渐倾斜得到的截面是椭圆．若用周长为72的矩形截某圆锥得到椭圆，且与矩形的四边相切．设椭圆在平面直角坐标系中的方程为，下列选项中满足题意的方程为A ．B ．C ．D ．6．已知双曲线的右焦点为，若以为坐标原点）为直径的圆被双曲线的一条渐近线所截得的弦长等于双曲线的虚轴长，则双曲线的离心率为2:2C y px =0(1,)y C ()24y x =28y x =212y x =216y x =221(0)y x m m+=≠(3,0)F ()y =±y =2y x =±12y x =±ABCD ττABCD τ22221(0)x y a b a b +=>>()2218116x y +=2211681x y +=22110064x y +=22164100x y +=2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>F (OF O C C C ()2A B C ．D ．27．已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最小值为A ．2B C ． D 8．在直角坐标系xOy 中，已知直线:cos sin 1l x y θθ⋅+⋅=，当θ变化时，动直线始终没有经过点P ．定点Q 的坐标(2,0)-，则||PQ 的取值范围为 ( ) A ．[0，2] B ．(0,2)C ．[1，3]D ．(1,3)二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2023-2024学年江苏省泰州中学高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将答案填涂到答题卡相应区域.） 1．直线√3x −3y −2=0的倾斜角为（ ） A ．120°B ．60°C ．30°D ．150°2．抛物线y 2＝2x 的准线方程是（ ） A ．x =12 B ．x ＝1C ．x =−12D ．x ＝﹣13．以双曲线x 216−y 29=1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程是（ ）A ．x 216+y 29=1 B ．x 225+y 29=1C ．x 225+y 216=1D ．x 216+y 225=14．正项等比数列{a n }中，a n +1＜a n ，a 2•a 8＝6，a 4+a 6＝5，则a 5a 7=（ ）A ．56B ．65C ．23D ．325．过原点的直线l 与双曲线x 2﹣y 2＝6交于A ，B 两点，点P 为双曲线上一点，若直线P A 的斜率为2，则直线PB 的斜率为（ ） A ．4B ．1C ．12D ．146．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5m ，已知行车道总宽度AB ＝6m ，那么车辆通过隧道的限制高度为（ ）A ．2.25mB ．2.5mC ．3.25mD ．3.5m7．在数学课堂上，为提高学生探究分析问题的能力，教师引导学生构造新数列：现有一个每项都为1的常数列，在此数列的第n （n ∈N *）项与第n +1项之间插入首项为2，公比为2的等比数列的前n 项，从而形成新的数列{a n }，数列{a n }的前n 项和为S n ，则（ ） A ．a 2023＝26B ．a 2024＝26C ．S 2023＝264﹣3D ．S 2023＝264+1898．已知抛物线C ：y 2＝4x ，P 为C 上一点，A （﹣2，0），B （2，0），当|PB||PA|最小时，点P 到坐标原点的距离为（ ） A ．2√5B ．3√2C ．2√3D ．8二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有若干个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.）9．若三条直线l 1：3x +my ﹣1＝0，l 2：3x ﹣2y ﹣5＝0，l 3：6x +y ﹣5＝0不能围成三角形，则m 的值可以是（ ） A ．2B ．﹣2C ．12D ．−1210．设{a n }是无穷数列，A n ＝a n +a n +1，（n ＝1，2，…），则下面给出的四个判断中，正确的有（ ） A ．若{a n }是等差数列，则{A n }是等差数列 B ．若{A n }是等差数列，则{a n }是等差数列 C ．若{a n }是等比数列，则{A n }是等比数列 D ．若{A n }是等差数列，则{a 2n }都是等差数列11．已知直线l 与圆O ：x 2+y 2＝9交于A ，B 两点，点P （4，0）满足P A ⊥PB ，若AB 的中点为M ，则|OM |的可能取值为（ ） A ．2+√22B ．2+√32C ．32+√22D ．32+√212．已知F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)和双曲线E ：x 2a 02−y 2b 02=1(a 0＞0，b 0＞0)的公共左，右焦点，P （在第一象限）为它们的一个交点，且∠F 1PF 2＝60°，直线PF 2与双曲线交于另一点Q ，若|PF 2|＝2|F 2Q |，则下列说法正确的是（ ） A ．△PF 1Q 的周长为16a 5B ．双曲线E 的离心率为√133C ．椭圆C 的离心率为√135D ．|PF 1|＝4|PF 2|三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．设m 为实数，则双曲线x 2m 2+8−y 24−m 2=1的焦距为 ．14．已知直线3x +4y ﹣12＝0与x 轴、y 轴相交于A ，B 两点，点C 在圆（x ﹣5）2+（y ﹣6）2＝9上移动，则△ABC 面积的最大值与最小值之和为 ． 15．已知椭圆C 1：x 236+y 2b 2=1的焦点分别为F 1，F 2，且F 2是抛物线C 2：y 2＝2px （p ＞0）的焦点，若P是C 1与C 2的交点，且|PF 1|＝7，则cos ∠PF 1F 2的值为 ．16．侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网，如图是由无数个正方形环绕而成的，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上，设外围第一个正方形A 1B 1C 1D 1的边长为3，往里第二个正方形为A 2B 2C 2D 2，…，往里第n 个正方形为A n B n ∁n D n .那么第7个正方形的周长是 ，至少需要前 个正方形的面积之和超过20．（本小题第一空2分，第二空3分，参考数据：lg 2＝0.301，lg 3＝0.477）．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）求符合下列条件的双曲线的标准方程：（1）顶点在x 轴上，两顶点间的距离是8，离心率e =54； （2）渐近线方程是y ＝±2x ，虚轴长为4．18．（12分）已知△ABC 的顶点A （5，1），AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x ﹣y ﹣5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x ﹣2y ﹣7＝0． （1）求顶点C 的坐标． （2）求直线BC 的方程．19．（12分）已知A 为抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）上一点，点A 到抛物线C 的焦点F 的距离为12，点A 到y 轴的距离为9． （1）求p 的值；（2）若斜率为1的直线l 经过抛物线C 的焦点F ，且与抛物线C 相交于M 、N 两点．求线段|MN |的长． 20．（12分）数列{a n }满足a 1＝2，a n a n +1＝16n （n ∈N *）． （1）求{a n }的通项公式；（2）设b n ={a n ，n 为奇数b n−1+n ，n 为偶数，求数列{b n }的前2n 项和S 2n ．21．（12分）已知等差数列{a n }满足a 3＝S 2+1，S 3＝a 4+2，其中S n 为{a n }的前n 项和，递增的等比数列{b n }满足：b 1＝1，且b 1，b 2，b 3﹣4成等差数列． （1）求数列{a n }、{b n }的通项公式；（2）设{a n •b n }的前n 项和为T n ，求T n ；（3）设∁n =(a n+4)(S n +n)⋅b n+1，{∁n }的前n 项和为A n ，A n ≥λn+1恒成立，求实数λ的最大值．22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为2√23，左顶点为A （﹣3，0），直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点．（1）求椭圆的C 的标准方程；（2）若直线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1•k 2=−29，求|PQ |的取值范围．2023-2024学年江苏省泰州中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将答案填涂到答题卡相应区域.） 1．直线√3x −3y −2=0的倾斜角为（ ） A ．120°B ．60°C ．30°D ．150°解：因为直线√3x −3y −2=0的斜率为√33，故直线的倾斜角为30°．故选：C ．2．抛物线y 2＝2x 的准线方程是（ ） A ．x =12B ．x ＝1C ．x =−12D ．x ＝﹣1解：根据题意，抛物线的标准方程为y 2＝2x ，则其焦点在x 轴正半轴上，且p ＝1，则其准线方程为x =−12， 故选：C ． 3．以双曲线x 216−y 29=1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程是（ ）A ．x 216+y 29=1 B ．x 225+y 29=1C ．x 225+y 216=1 D ．x 216+y 225=1解：双曲线x 216−y 29=1，双曲线的焦点（±5，0），则椭圆的顶点（±5，0），双曲线顶点为（±4，0），椭圆的焦点（±4，0），可得a ＝5，c ＝4，则b ＝3， 所以椭圆方程为：x 225+y 29=1．故选：B ．4．正项等比数列{a n }中，a n +1＜a n ，a 2•a 8＝6，a 4+a 6＝5，则a 5a 7=（ ）A ．56B ．65C ．23D ．32解：因为正项等比数列{a n }中，a n +1＜a n ，a 2•a 8＝6，a 4+a 6＝5， 所以a 4•a 6＝6，a 4+a 6＝5，解得a 4＝3，a 6＝2，a 5a 7=a 4a 6=32．故选：D ．5．过原点的直线l 与双曲线x 2﹣y 2＝6交于A ，B 两点，点P 为双曲线上一点，若直线P A 的斜率为2，则直线PB 的斜率为（ ）A ．4B ．1C ．12D ．14解：由题意可设A （m ，n ），B （﹣m ，﹣n ），P （x ，y ）， 则m 2﹣n 2＝6，x 2﹣y 2＝6， 即有y 2﹣n 2＝x 2﹣m 2， 即y 2−n 2x 2−m 2=1，由k P A =y−nx−m ，k PB =y+nx+m ，可得k P A •k PB =y 2−n 2x 2−m 2=1，而k P A ＝2，所以k PB =12． 故选：C ．6．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5m ，已知行车道总宽度AB ＝6m ，那么车辆通过隧道的限制高度为（ ）A ．2.25mB ．2.5mC ．3.25mD ．3.5m解：取隧道截面，以抛物线的顶点为原点，对称轴为y 轴，建立直角坐标系，则C （4，﹣4），设抛物线方程x 2＝﹣2py （p ＞0），将点C 代入抛物线方程得p ＝2， ∴抛物线方程为x 2＝﹣4y ， 行车道总宽度AB ＝6m ，∴将x ＝3代入抛物线方程，y ＝﹣2.25m ， ∴限度为6﹣2.25﹣0.5＝3.25m ． 故选：C ．7．在数学课堂上，为提高学生探究分析问题的能力，教师引导学生构造新数列：现有一个每项都为1的常数列，在此数列的第n （n ∈N *）项与第n +1项之间插入首项为2，公比为2的等比数列的前n 项，从而形成新的数列{a n }，数列{a n }的前n 项和为S n ，则（ ） A ．a 2023＝26 B ．a 2024＝26C ．S 2023＝264﹣3D ．S 2023＝264+189解：由题意，可知新数列{a n }为：在每项都为1的常数列的第n （n ∈N *）项与第n +1项之间等比数列{2n }的前n 项， 故新数列{a n }：1，21，1，21，22，1，21，22，23，1，21，22，23，24，… 可将数列{a n }进行分组，第1组为1，21，共2项， 第2组为1，21，22，共3项， 第3组为1，21，22，23，共4项， 第4组为1，21，22，23，24，共5项，… 第n 组为1，21，22，…，2n ，共n +1项， ∴前n ﹣1组一共有2+3+4+…+n ＝（1+2+3+4+…+n ）﹣1 =n(n+1)2−1项， ∵当n ＝63时，63×642−1＝2015＜2023，当n ＝64时，64×652−1＝2079＞2023，∴a 2023在数列{a n }的第64组的第2023﹣2015＝8个， ∴a 2023＝28﹣1＝27，故选项A 错误；同理，a 2024在数列{a n }的第64组的第2024﹣2015＝9个， 故a 2024＝29﹣1＝28，故选项B 错误；∴S 2023＝a 1+a 2+…+a 2023＝（1+21）+（1+21+22）+（1+21+22+23）+...+（1+21+...+262）+（1+21+ (27)=1−221−2+1−231−2+1−241−2+⋯+1−2631−2+1−281−2＝（22﹣1）+（23﹣1）+（24﹣1）+…+（263﹣1）+（28﹣1）＝（22+23+24+…+263）﹣62+28﹣1=22−2641−2−62+256﹣1＝264+189，故选项C 错误，选项D 正确． 故选：D ．8．已知抛物线C ：y 2＝4x ，P 为C 上一点，A （﹣2，0），B （2，0），当|PB||PA|最小时，点P 到坐标原点的距离为（ ） A ．2√5B ．3√2C ．2√3D ．8解：由题意设P （n 24，n ），A （﹣2，0），B （2，0），|PB||PA|=√(n 24−2)2+n 2√(n 24+2)2+n 2=√n 416+4n 416+4+2n 2=√1+n 216+4n 2，当n 216+4n2取得最小值时，|PB||PA|取得最小值，n 216+4n 2≥2√n216⋅4n 2=1，当且仅当n 216=4n2，即n =±2√2时，取等号．此时P （2，±2√2），则点P 到坐标原点的距离为：√4+8=2√3． 故选：C ．二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有若干个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.）9．若三条直线l 1：3x +my ﹣1＝0，l 2：3x ﹣2y ﹣5＝0，l 3：6x +y ﹣5＝0不能围成三角形，则m 的值可以是（ ） A ．2B ．﹣2C ．12D ．−12解：因为l 2：3x ﹣2y ﹣5＝0，l 3：6x +y ﹣5＝0，可得l 2与l 3相交， 联立{3x −2y −5=06x +y −5=0，解得x ＝1，y ＝﹣1，即两条直线的交点（1，﹣1），且l 2的斜率为k 2=32，直线l 3的斜率k 3＝﹣6，要使三条直线不能围成三角形，则l 1∥l 2或l 1∥l 3或直线l 1过（1，﹣1）， 所以−3m =32或−3m =−6或3×1+m （﹣1）﹣1＝0，解得m ＝﹣2或m =12或m ＝2． 故选：ABC ．10．设{a n }是无穷数列，A n ＝a n +a n +1，（n ＝1，2，…），则下面给出的四个判断中，正确的有（ ） A ．若{a n }是等差数列，则{A n }是等差数列 B ．若{A n }是等差数列，则{a n }是等差数列 C ．若{a n }是等比数列，则{A n }是等比数列 D ．若{A n }是等差数列，则{a 2n }都是等差数列解：A ．若{a n }是等差数列，设公差为d ，则当n ≥2时，A n ﹣A n ﹣1＝a n +a n +1﹣a n ﹣1﹣a n ＝a n +1﹣a n ﹣1＝2d ，为常数，则{A n }是等差数列，故A 正确，B ..若{A n }是等差数列，设公差为d ，则当n ≥2时，A n ﹣A n ﹣1＝a n +a n +1﹣a n ﹣1﹣a n ＝a n +1﹣a n ﹣1＝2d ， 即{a n }的偶数项成等差数列，奇数项成等差数列，则整体{a n }不一定是等差数列，故B 错误，C ．若{a n }是等比数列，设公比为q ，则当q ＝﹣1时，A n ＝a n +a n +1＝0，则{A n }不是等比数列，故C 错误，D …若{A n }是等差数列，设公差为d ，则当n ≥2时，a 2n ﹣a 2（n ﹣1）＝a 2n ﹣a 2n ﹣2＝2d ，则{a 2n }都是等差数列，故D 正确， 故选：AD ．11．已知直线l 与圆O ：x 2+y 2＝9交于A ，B 两点，点P （4，0）满足P A ⊥PB ，若AB 的中点为M ，则|OM |的可能取值为（ ） A ．2+√22B ．2+√32C ．32+√22D ．32+√2解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），AB 中点为M （x ，y ）， 则x 1+x 2＝2x ，y 1+y 2＝2y ，∵x 12+y 12=9，x 22+y 22=9，∴x 12+x 22+y 12+y 22=18，即(x 1+x 2)2−2x 1x 2+(y 1+y 2)2−2y 1y 2=18，∴x 1x 2+y 1y 2＝2x 2+2y 2﹣9①， ∵点P （4，0）满足的P A ⊥PB ， ∴PA →⋅PB →=0，∵PA →=(x 1−4，y 1)，PB →=(x 2−4，y 2)，∴x 1x 2﹣4（x 1+x 2）+16+y 1y 2＝0，即x 1x 2+y 1y 2＝4（x 1+x 2）﹣16＝8x ﹣16②， 结合①②可得，2x 2+2y 2﹣9＝8x ﹣16，即(x −2)2+y 2=12，（另解：设AB 的中点M （x ，y ），由OM ⊥AB ，可得OM 2+MB 2＝OB 2， 而MP ＝MA ＝MB ，即OM 2+MP 2＝OB 2， 即x 2+y 2+（x ﹣4）2+y 2＝9， 化为（x ﹣2）2+y 2=12），故中点M 的轨迹方程为(x −2)2+y 2=12，圆心为（2，0），半径为√22，则|OM |的最大值为√(2−0)2+(0−0)2+√22=2+√22， 则|OM |的最小值为√(2−0)2+(0−0)2−√22=2−√22， ∴|OM |的取值范围为[2−√22，2+√22]．故选：AC ．12．已知F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)和双曲线E ：x 2a 02−y 2b 02=1(a 0＞0，b 0＞0)的公共左，右焦点，P （在第一象限）为它们的一个交点，且∠F 1PF 2＝60°，直线PF 2与双曲线交于另一点Q ，若|PF 2|＝2|F 2Q |，则下列说法正确的是（ ） A ．△PF 1Q 的周长为16a 5B ．双曲线E 的离心率为√133C ．椭圆C 的离心率为√135D ．|PF 1|＝4|PF 2|解：设|QF 2|＝t ，则|PF 2|＝2t ，|PF 1|＝2t +2a 0，|QF 1|＝t +2a 0，在△PF 1Q 中，由余弦定理|QF 1|2=|PF 1|2+|PQ|2−2|PF 1||PQ|cos∠F 1PQ ， 得(t +2a 0)2=(2t +2a 0)2+9t 2−2(2a 0+2t)⋅3t ⋅cos60°， 化简得a 0＝3t ，|PF 1|＝2t +2a 0＝8t ＝4|PF 2|，D 正确； 又2a ＝|PF 1|+|PF 2|＝10t ， 所以a ＝5t ， 又|QF 1|＝t +2a 0＝7t ，则△PF 1Q 的周长为8t +3t +7t =18t =185a ，A 错误； △PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ，由余弦定理得4c 2＝（8t ）2+（2t ）2﹣2×8t ×2t ×cos60°， 所以c =√13t ，因此双曲线的离心率为e 1=c a 0=√13t 3t =√133，B 正确；椭圆的离心率为e 2=c a =√13t 5t =√135，C 正确，三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．设m 为实数，则双曲线x 2m 2+8−y 24−m 2=1的焦距为 4√3 ．解：∵双曲线的方程为x 2m 2+8−y 24−m 2=1，∴a 2＝m 2+8，b 2＝4﹣m 2，（m 2＜4）， ∴c 2＝a 2+b 2＝12，∴c ＝2√3， ∴双曲线的焦距为2c ＝4√3． 故答案为：4√3．14．已知直线3x +4y ﹣12＝0与x 轴、y 轴相交于A ，B 两点，点C 在圆（x ﹣5）2+（y ﹣6）2＝9上移动，则△ABC 面积的最大值与最小值之和为 27 ．解：作出与已知直线平行且与圆（x ﹣5）2+（y ﹣6）2＝9相切的直线， 切点分别为P 1、P 2，如图所示：则动点C 在圆（x ﹣5）2+（y ﹣6）2＝9上移动时，若C 与点P 1重合时， △ABC 面积达到最小值；而C 与点P 2重合时，△ABC 面积达到最大值， ∵直线3x +4y ﹣12＝0与x 轴、y 轴相交于A （4，0）、B （0，3）两点， 可得|AB |=√42+32=5，∴△ABC 面积的最大值和最小值之和为：S =S △ABP 2+S △ABP 1=12|AB |（d 2+d 1）=52（d 2+d 1）， 其中d 2、d 1分别为点P 2、点P 1到直线AB 的距离， ∵P 1、P 2是圆（x ﹣5）2+（y ﹣6）2＝9的两条平行切线， 设圆心到直线的距离为d ，∴点P 2、点P 1到直线AB 的距离之和等于2d ，即d 2+d 1＝2d ＝2×|15+4×6−12|√3+4=542，因此△ABC 面积的最大值和最小值之和为52（d 2+d 1）=52×542=27．15．已知椭圆C 1：x 236+y 2b 2=1的焦点分别为F 1，F 2，且F 2是抛物线C 2：y 2＝2px （p ＞0）的焦点，若P是C 1与C 2的交点，且|PF 1|＝7，则cos ∠PF 1F 2的值为57．解：依题意，由椭圆定义得|PF 1|+|PF 2|＝12，而|PF 1|＝7，则|PF 2|＝5，因为点F 2是抛物线C 2：y 2＝2px （p ＞0）的焦点，则该抛物线的准线过点F 1，如图，过点P 作PQ ⊥l 于点Q ，由抛物线定义知|PQ |＝|PF 2|＝5，而F 1F 2∥PQ ， 则∠PF 1F 2＝∠F 1PQ ，所以cos ∠PF 1F 2＝sin ∠F 1PQ =|PQ||PF 1|=57， 故答案为：57．16．侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网，如图是由无数个正方形环绕而成的，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上，设外围第一个正方形A 1B 1C 1D 1的边长为3，往里第二个正方形为A 2B 2C 2D 2，…，往里第n 个正方形为A n B n ∁n D n .那么第7个正方形的周长是500243，至少需要前 8 个正方形的面积之和超过20．（本小题第一空2分，第二空3分，参考数据：lg 2＝0.301，lg 3＝0.477）．解：根据题意，设第n 个正方形的边长为a n ，则a 1＝3，∵每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上， ∴A 2B 1=23a 1，B 1B 2=13a 1， 又由∠A 2B 1B 2＝90°，∴A 2B 2=√A 2B 12+B 1B 22=√49a 12+19a 12=√53a 1， 即a 2=√53a 1，同理可得a n+1=√53a n ， 即数列{a n }是首项为3，公比为√53的等比数列， ∴a 7=a 1×(√53)6=3×125729=125243，∴第7个正方形的周长是4a 7=500243， ∵a n =a 1×(√53)n−1=3×(√53)n−1，∴第n 个正方形的面积为a n 2=9×(59)n−1，∴前n 个正方形的面积之和S ＝9[1+59+(59)2+⋯+(59)n−1]＝9×1×[1−(59)n]1−59=814[1﹣（59）n ]， 令814[1−(59)n ]＞2得，(59)n ＜181， 两边取常用对数得，nlg 59＜lg181，变形可得：n ＞lg81lg9−lg5=4lg32lg3−lg5≈7.48， 故至少需要前8个正方形的面积之和超过20． 故答案为：500243；8．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）求符合下列条件的双曲线的标准方程：（1）顶点在x 轴上，两顶点间的距离是8，离心率e =54； （2）渐近线方程是y ＝±2x ，虚轴长为4．解：（1）因为该双曲线的顶点在x 轴上，两顶点间的距离是8，离心率e =54， 所以{2a =8e =c a=54， 解得a ＝4，c ＝5， 则b 2＝c 2﹣a 2＝9， 故双曲线的标准方程为x 216−y 29=1；（2）当双曲线焦点在x 轴上时， 因为渐近线方程是y ＝±2x ，虚轴长为4，所以{ba =22b =4，解得a ＝1，b ＝2，则双曲线的标准方程为x 2−y 24=1； 当双曲线焦点在y 轴上时，因为渐近线方程是y ＝±2x ，虚轴长为4，所以{a b =22b =4，解得a ＝4，b ＝2， 则双曲线的标准方程为y 216−x 24=1．综上所述，双曲线的标准方程为x 2−y 24=1或y 216−x 24=1．18．（12分）已知△ABC 的顶点A （5，1），AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x ﹣y ﹣5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x ﹣2y ﹣7＝0． （1）求顶点C 的坐标． （2）求直线BC 的方程．解：（1）∵边AC 上的高BH 所在直线方程为x ﹣2y ﹣7＝0 ∴k AC •k BH ＝﹣1， ∴k AC ＝﹣2，∵△ABC 的顶点A （5，1），∴直线AC 方程；y ﹣1＝﹣2（x ﹣5），即2x +y ﹣11＝0 与2x ﹣y ﹣5＝0联立，{2x +y −11=02x −y −5=0，解得：{x =4y =3．∴顶点C 的坐标为（4，3）．（2）∵CM 所在直线方程为2x ﹣y ﹣5＝0，设点M （m ，2m ﹣5）∵M 是AB 中点，A （5，1）， ∴B （2m ﹣5，4m ﹣11）∵B （2m ﹣5，4m ﹣11）在BH 所在直线方程为x ﹣2y ﹣7＝0上 ∴2m ﹣5﹣2（4m ﹣11）﹣7＝0， 解得：m =53， 所以B(−53，−133)， ∴BC 的方程为：y −3=2217(x −4)， 即22x ﹣17y ﹣37＝0．19．（12分）已知A 为抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）上一点，点A 到抛物线C 的焦点F 的距离为12，点A 到y 轴的距离为9． （1）求p 的值；（2）若斜率为1的直线l 经过抛物线C 的焦点F ，且与抛物线C 相交于M 、N 两点．求线段|MN |的长． 解：（1）不妨设A （x ，y ）， 因为点A 在抛物线上， 所以y 2＝2px （p ＞0），因为点A 到抛物线C 的焦点F 的距离为12，点A 到y 轴的距离为9， 所以AF =9+p2=12， 解得p ＝6；（2）由（1）知抛物线C ：y 2＝12x ，焦点F （3，0）， 此时直线l 的方程为y ＝x ﹣3，联立{y 2=12x y =x −3，消去y 并整理得x 2﹣18x +9＝0，此时Δ＝182﹣4×9＞0，不妨设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 由韦达定理得x 1+x 2＝18，则|MN |＝|MF |+|NF |＝x 1+x 2+p ＝18+6＝24．20．（12分）数列{a n }满足a 1＝2，a n a n +1＝16n （n ∈N *）． （1）求{a n }的通项公式；（2）设b n ={a n ，n 为奇数b n−1+n ，n 为偶数，求数列{b n }的前2n 项和S 2n ．解：（1）由a n a n+1=16n ，a 1=2，可得a 2＝8， 由a n+1a n+2=16n+1，又a n a n +1＝16n ， 上面两式相除得：a n+2a n=16，可得数列{a n }的奇数项和偶数项均为公比为16的等比数列， 则a 2k =8×16k−1=24k−1，即a n =22n−1， a 2k−1=2×16k−1=24k−3，即a n =22n−1， 综上所述，{a n }的通项公式为：a n =22n−1； （2）由题设及（1）可知：b n ={22n−1，n 为奇数b n−1+n ，n 为偶数，S 2n ＝b 1+b 2+b 3+b 4+⋯+b 2n ﹣1+b 2n ＝（b 1+b 3+b 5+⋯+b 2n ﹣1）+（b 2+b 4+⋯+b 2n ） ＝（b 1+b 3+b 5+⋯+b 2n ﹣1）+（b 1+2+b 3+4+b 5+6+⋯+b 2n ﹣1+2n ）＝2（b 1+b 3+b 5+⋯+b 2n ﹣1）+（2+4+6+⋯+2n ）＝2（21+25+29+⋯+24n ﹣3）+（2+4+6+⋯+2n ）=2×2(1−16n )1−16+n(2n+2)2=4(16n−1)15+n(n +1)．21．（12分）已知等差数列{a n }满足a 3＝S 2+1，S 3＝a 4+2，其中S n 为{a n }的前n 项和，递增的等比数列{b n }满足：b 1＝1，且b 1，b 2，b 3﹣4成等差数列． （1）求数列{a n }、{b n }的通项公式； （2）设{a n •b n }的前n 项和为T n ，求T n ； （3）设∁n =(a n +4)(S n +n)⋅b n+1，{∁n }的前n 项和为A n ，A n ≥λn+1恒成立，求实数λ的最大值．解：（1）数列{a n }的首项为a 1，公差为d 的等差数列，数列{a n }满足a 3＝S 2+1，S 3＝a 4+2， 整理得：{a 1+2d =2a 1+d +1S 3=3a 1+3×22d =a 1+3d +2，解得{a 1=1d =2，所以a n ＝2n ﹣1．递增的等比数列{b n }满足：b 1＝1，且b 1，b 2，b 3﹣4成等差数列． 所以公比q ＞1．利用2×(b 1q)⬚=b 1+(b 1q 2−4)，解得q ＝3或﹣1（﹣1舍去）， 故b n =3n−1，（2）由（1）得：令c n =a n b n =(2n −1)⋅3n−1， 所以T n =1×30+3×31+...+(2n −1)⋅3n−1①， 3T n =1×31+3×32+...+(2n −1)⋅3n ②，①﹣②得：−2T n =1+2×[3×(3n−1−1)3−1]−(2n −1)⋅3n ，故T n =(n −1)⋅3n +1． （3）由于C n =(a n +4)(S n +n)⋅b n+1=2n+3(n 2+n)⋅3n =1n⋅3n−1−1(n+1)⋅3n，所以A n =11×30−12×31+...+1n⋅3n−1−1(n+1)⋅3n =1−1(n+1)⋅3n ， 由于A n ≥λn+1恒成立， 即1−1(n+1)⋅3n ≥λn+1恒成立， 故λ≤n +1−13n ， 由于函数f （x ）=x +1−13x 为增函数，故f(x)min =f(1)=2−13=53， 所以λ≤53， 故λ的最大值为53．22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为2√23，左顶点为A （﹣3，0），直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点．（1）求椭圆的C 的标准方程；（2）若直线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1•k 2=−29，求|PQ |的取值范围． 解：（1）由椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为2√23，左顶点为A （﹣3，0）， 可得{c a =2√23a =3a 2=b 2+c 2，解得a =3，b =1，c =2√2，故椭圆C 的标准方程为：x 29+y 2＝1；（2）直线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1•k 2=−29， 由（1）得：x 29+y 2＝1，因为直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，由题可知，直线l 斜率为0时，k 1k 2＞0，所以直线l 的斜率不为0， 设直线l ：x ＝my +n ，P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）， 联立方程{x =my +n x 29+y 2=1，得（m 2+9）y 2+2mny +n 2﹣9＝0， 所以Δ＝4m 2n 2﹣4（m 2+9）（n 2﹣9）＝36（m 2﹣n 2+9），且y 1+y 2=−2mn m 2+9，y 1•y 2=n 2−9m 2+9， 所以k 1k 2=y 1x 1+3⋅y 2x 2+3=y 1y 2(my 1+n+3)(my 2+n+3)=y 1y 2m 2y 1y 2+m(n+3)(y 1+y 2)+(n+3)2=n 2−99(n+3)2=n−39(n+3)=−29，解得n ＝﹣1，此时Δ＝36（m 2+8）＞0恒成立，所以直线l 的方程为x ＝my ﹣1，直线l 过定点（﹣1，0）， 此时y 1+y 2=2m m 2+9，y 1y 2=−8m 2+9， 所以|PQ|=√1+m 2⋅√(y 1+y 2)2−4y 1y 2 =√1+m 2⋅√4m 2(m 2+9)2+32m 2+9=6√(m 2+1)(m 2+8)m 2+9，令t ＝m 2+9≥9， 所以|PQ|=6√(t−8)(t−1)t 2=6√8t2−9t +1， 令u =1t，则t ∈（0，19]，故|PQ |＝6√8u 2−9u +1在(0，19]上单调递减， 故|PQ |的取值范围为[4√23，6）．。

江苏省泰兴中学高二数学（文科）期中考试试题一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡的相应位．．．．．．．置上．．． 1、已知复数23z i =-，则复数z 的虚部为 ．2、命题：“2,10x R x x ∀∈-->”的否定是 ．3、复数211i i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭．4、双曲线221y x -=的渐近线方程为 ．5、抛物线2y x =的焦点坐标为 ．6、观察下列各式：211=，2132+=，21353++=，213574+++=，从中归纳出一般结论： ． 7、焦点在x 轴上，离心率45e =，焦点与相应准线的距离等于94的椭圆的标准方程为 ．8、已知函数y =A ，集合{}|B x x a =≤，若P ：“x A ∈”是Q ：“x B ∈”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是 ．9、已知动点(),P x y 在曲线22:1169x y C -=上，定点Q 的坐标为()5,0Q ，则线段PQ 长度的最小值为 ．10、已知121212,,||||1,||z z C z z z z ∈==+=12||z z -= ．11、已知集合()||||,|132x y A x y ⎧⎫=+≤⎨⎬⎩⎭，()22,|194x y B x y ⎧⎫=+≤⎨⎬⎩⎭，则命题“():,p x y A ∈”是命题“():,q x y B ∈”的 条件．（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）12、下列四个命题：①一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真；②命题“设,a b R ∈，若6a b +≠，则3a ≠或3b ≠”是一个假命题；③“2x >”是“112x <”的充分不必要条件；④一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真．其中真命题的个数是 ．13、过点()1,2M 作直线l 交椭圆2212516x y +=于,A B 两点，若点M 恰为线段AB 的中点，则直线l 的方程为 ．14、过椭圆2211612x y +=的左顶点A 作斜率为()0k k ≠的直线l 交椭圆于点C ，交y 轴于点D ，P 为AC 中点，定点Q 满足：对于任意的()0k k ≠都有OP DQ ⊥，则Q 点的坐标为 ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15、（本题满分14分）已知m R ∈，复数()()22231m m z m m i m -=++--，当m 为何值时，分别满足下列条件：（1）z R ∈；（2）z 对应的点位于复平面第二象限．16、（本题满分14分）已知()()21:|34|2,:0,:102p x q r x a x a x x ->>---<--．(1)p ⌝是q ⌝的什么条件？(2)若r ⌝是p ⌝的必要非充分条件，求实数a 的取值范围． 17、（本题满分14分）设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左右焦点，M 是椭圆C 上一点，且直线2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N ．（1）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；（2）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求椭圆C 的方程．18、（本题满分16分）如图，某小区有一边长为2 (单位：百米)的正方形地块OABC ，其中OAE 是一个水池，计划在地块OABC 内修一条与池边AE 相切的直路l (宽度不计)，切点为M ，并把该地块分为两部分．现以点O 为坐标原点，以线段OC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，若池边AE 满足函数(220y x x =-+≤≤的图象，且点M 到边OA 距离为2433t t ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭．（1）当23t =时，求直路l 所在的直线方程； （2）当t 为何值时，地块OABC 在直路l 不含水池那侧的面积取到最大，最大值是多少？19、（本题满分16分）设,A B 分别为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左，右顶点，双曲线的实轴长为焦(1)求双曲线的方程；(2)已知直线2y x =-与双曲线的右支交于,M N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM ON tOD +=，求t 的值及点D 的坐标．20、（本题满分16分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的一个焦点到长轴的两个端点的距离分别为22()0y kx k =>与AB 相交于点D ，与椭圆相交于,E F 两点．（1）求此椭圆的方程；（2）若6ED DF =，求斜率k 的值； （3）求四边形AEBF 面积的最大值．江苏省泰兴中学高二数学（文科）期中试题参考答案一、填空题：1、3-；2、2,10x R x x ∃∈--≤；3、1-；4、y x y x ==-和；5、10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭；6、()()213521*n n n N ++++-=∈；7、221259x y +=；8、4a >；9、1；10、1；11、充分不必要；12、2；13、825580x y +-=；14、()3,0- 二、解答题：15、解（1）2230,10m m z R m ⎧+-=∈∴⎨-≠⎩， ............................................................ 2分3m ∴=- ...................................................................................................................... 6分（2）复数z 在复平面上对应点为()22,231m m m m m -⎛⎫+-⎪-⎝⎭， ........................... 8分依题意有()2201230m m m m m ⎧-<⎪-⎨⎪+->⎩.................................................................................... 10分解之得()(),31,2m ∈-∞- .................................................................................... 14分16、解 (1):|34|2,342342p x x x ->∴->-<-或，222,:233x x p x ∴><∴⌝≤≤或. .......................................................................... 2分 221:0,20,12,2q x x x x x x >-->∴<->--即或 ∴{}:|12q x x ⌝-≤≤， ........................................................................................... 4分 ∴p ⌝是q ⌝的充分不必要条件． ............................................................................. 6分 (2)()():10,1r x a x a a x a ---<∴<<+.∴r ⌝：1x a x a ≤≥+或. .......................................................................................... 8分 ∵r ⌝是p ⌝的必要非充分条件． ∴2121,233a a a a ≤+≤∴≥≤-或或. ................................................................ 12分 ∴a 的取值范围是1|23a a a ⎧⎫≥≤-⎨⎬⎩⎭或. ............................................................. 12分17、解：（1）记c =，则()()12,0,,0F c F c -，由题设可知2,b M c a⎛⎫⎪⎝⎭，则12232324MN F M b a k k b ac c ===⇒=， ...................................................................... 4分2213,2()2c ca c ac e e a a∴-=⇒====-或舍去； .......................................... 6分（2）记直线MN 与y 轴的交点为()D 0,2，则22||44b MF a =⇒=①， .......... 8分 11135,2,12c MN F N DF F N N ⎛⎫=∴=⇒-- ⎪⎝⎭， .............................................. 10分将N 的坐标代入椭圆方程得2229114c a b+=② ......................................................... 12分由①②及222c a b =-得2249,28a b ==，故所求椭圆C 的方程为2214928x y +=． ................................................................... 14分 18、(1)214,39M ⎛⎫⎪⎝⎭， .................................................................................................. 2分:129220l x y +-=， ............................................................................................. 6分(2)()2,2M t t -+，过切点M 的切线()()2:22l y t t x t --+=--，即222y tx t =-++，令2y =得2t x =，故切线l 与AB 交于点,22t ⎛⎫⎪⎝⎭； ....... 8分 令0y =，得122t x =+，又12t x t =+在24,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦递减，所以11711,2126t x t ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦， 故切线l 与OC 交于点1,02t t ⎛⎫+⎪⎝⎭． ........................................................................ 10分 所以地块OABC 在切线l 右上部分区域为直角梯形， 面积111122442222t t S t t t t t ⎛⎫⎛⎫=--+-⋅=--=-+≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ........................... 14分 当且仅当1t =时取等号，即1t =时max 2S =． .................................................. 16分19、解 (1)由题意知a = ................................................................................. 1分 一条渐近线为b y x a =，即0bx ay -=，=， ............................ 3分23b ∴=， .................................................................................................................... 4分∴双曲线的方程为221123x y -=. ............................................................................. 6分 (2)设()()()112200,,,,,M x y N x y D x y ，则120120,x x tx y y ty +=+=， ......... 8分将直线2y x =-方程代入双曲线方程得2840x -+=， ................. 10分则121212x x y y +=+=， ............................................................................ 12分即0012tx ty ==，∴00022000,31123x x y y x y ⎧=⎪⎧=⎪⎪∴⎨⎨=⎪⎪⎩-=⎪⎩ ................................. 14分 ∴4t =，点D的坐标为()． ....................................................................... 16分20、解（1）)由题意，22a c a c ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩解得2a c =⎧⎪⎨=⎪⎩ 2分故椭圆的方程为2214x y +=． ......................................................................... 4分 （2）由（1）得，直线AB 的方程为220x y +-=．()222241444y kx k x x y =⎧⇒+=⎨+=⎩． ........................................................................ 6分 设()()1111,,,E x kx F x kx --，()00,D x kx，且1x =．则()()()()01011001,,,ED x x k x x DF x x k x x =--=---+， 因为6ED DF =，所以()01106x x x x -=--，即1057x x =-=， .. 8分所以D ⎛⎫在直线AB220+-=，化简得2242560k k -+=，解得23k =，或38k =． ......................................... 10分 （3）AB =,E F 到直线AB 距离之和最大．E F d d +=........................................................ 12分421k +====14分因为0k >，所以E F d d +≤=， 当且仅当14k k =，即12k =时取“＝”号．所以max 12S ==16分。

2015-2016学年江苏省泰州市泰兴中学高二（上）期中数学试卷（理科）一.填空题（每题5分，共计70分）1．投掷两颗相同的正方体骰子（骰子质地均匀，且各个面上依次标有点数1、2、3、4、5、6）一次，则两颗骰子向上点数之积等于12的概率为．2．已知某算法的伪代码如图，根据伪代码，若函数g（x）=f（x）﹣m在R上有且只有两个零点，则实数m的取值范围是．3．如图，空间四边形O A BC中，=，=，=，点M在O A上，且=，点N为BC中点，则等于．（用向量表示）4．某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数应为．5．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则x2+y2=．6．已知b为如图所示的程序框图输出的结果，则二项式（﹣）6的展开式中的常数项是．（用数字作答）7．如图，在正四面体ABCD中，点E为BC中点，点F为AD中点，则异面直线AE与CF 所成角的余弦值为．8．已知（x﹣m）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7的展开式中x3的系数是35，则a1+a2+a3+…+a7=．9．某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为，那么播下4粒种子至少有2粒发芽的概率是．（请用分数表示结果）10．已知（1+mx）n（m∈R，n∈N*）的展开式的二项式系数之和为32，且展开式中含x3项的系数为80．则（1+mx）n（1﹣x）6展开式中含x2项的系数为．11．袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则P（ξ≤7）=．12．袋中混装着10个大小相同的球（编号不同），其中6只白球，4只红球，为了把红球与白球区分开来，采取逐只抽取检查，若恰好经过6次抽取检查，正好把所有白球和红球区分出来了，则这样的抽取方式共有种．（用数字作答）13．用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为1，2，…，9的9个小正方形（如下表），使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“1、5、9”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有种．1 2 34 5 67 8 914．已知数列{a n}为a0，a1，a2，a3，…，a n（n∈N），b n=a i=a0+a1+a2+a3+…+a n，i∈N．若数列{a n}为等差数列a n=2n（n∈N），则（b i）=．二.解答题（本题包括六道大题共计90分，解答时请写出必要的计算或证明过程）15．“根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20～80mg/100mL（不含80）之间，属于酒后驾车；血液酒精浓度在80mg/100mL（含80）以上时，属醉酒驾车．”2015年9月26日晚8时开始，德阳市交警一队在本市一交通岗前设点，对过往的车辆进行抽查，经过4个小时共查出喝过酒的驾车者60名，如图是用酒精测试仪对这60名驾车者血液中酒精浓度进行检测后所得结果画出的频率分布直方图．（1）求这60名驾车者中属醉酒驾车的人数；（图中每组包括左端点，不包括右端点）（2）求这60名驾车者血液的酒精浓度的平均值；（3）将频率分布直方图中的七组从左到右依次命名为第一组，第二组，…，第七组，在第五组和第七组的所有人中抽出两人，记他们的血液酒精浓度分别为x，y（mg/100mL），则事件|x﹣y|≤10的概率是多少？16．已知（+2x）n．（1）若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；（2）若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．17．在甲、乙等7个选手参加的一次演讲比赛中，采用抽签的方式随机确定每个选手的演出顺序（序号为1，2，…7），求：（1）甲、乙两个选手的演出序号至少有一个为奇数的概率；（2）甲、乙两选手之间的演讲选手个数ξ的分布列与期望．18．如图：已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°，且C1C=CD=1．（1）试用，，表示，并求||；（2）求证：CC1⊥BD；（3）试判断直线A1C与面C1BD是否垂直，若垂直，给出证明；若不垂直，请说明理由．19．一个袋中装有黑球，白球和红球共n（n∈N*）个，这些球除颜色外完全相同．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是．现从袋中任意摸出2个球．（1）若n=15，且摸出的2个球中至少有1个白球的概率是，设ξ表示摸出的2个球中红球的个数，求随机变量ξ的概率分布及数学期望Eξ；（2）当n取何值时，摸出的2个球中至少有1个黑球的概率最大，最大概率为多少？20．数学运算中，常用符号来表示算式，如=a0+a1+a2+a3+…+a n，其中i∈N，n∈N*（Ⅰ）若a0、a1、a2、…a n成等差数列，且a0=0，公差d=1，求证：（a i C）=n•2n﹣1（Ⅱ）若（1+x）k=a0+a1x+a2x2+…+a2n x2k，b n=，记d n=1+且不等式t•（d n﹣1）≤b n对于∀n∈N*恒成立，求实数t的取值范围．2015-2016学年江苏省泰州市泰兴中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.填空题（每题5分，共计70分）1．投掷两颗相同的正方体骰子（骰子质地均匀，且各个面上依次标有点数1、2、3、4、5、6）一次，则两颗骰子向上点数之积等于12的概率为．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】试验发生包含的事件是掷两颗骰子有6×6=36个结果，满足条件的事件共4种结果，从而得到概率．【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是掷两颗骰子有6×6=36个结果，满足条件的事件是两颗骰子向上点数之积等于12，有（2，6）、（3，4）、（4，3）、（6，2）共4种结果，∴要求的概率是=．故答案为：．2．已知某算法的伪代码如图，根据伪代码，若函数g（x）=f（x）﹣m在R上有且只有两个零点，则实数m的取值范围是（﹣∞，0）∪{1} ．【考点】伪代码．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数y=的函数值；函数g（x）=f（x）﹣m在R上有且只有两个零点，则我们可以在同一平面直角坐标系中画出y=f（x）与y=m的图象进行分析．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数f（x）=的函数值；其函数图象如图所示：又∵函数g（x）=f（x）﹣m在R上有且只有两个零点，则由图可得m＜0或m=1，故答案为：（﹣∞，0）∪{1}．3．如图，空间四边形O A BC中，=，=，=，点M在O A上，且=，点N为BC中点，则等于．（用向量表示）【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】连接AM，根据向量的加减运算三角形法则，求出，，即可求．【解答】解：由题意：=，=，=，∴，．点N为BC中点，那么：，=，则，连接AN，则，那么：===，故答案为：．4．某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数应为10．【考点】分层抽样方法．【分析】设从高三学生中抽取的人数应为x，根据分层抽样的定义和方法可得，由此求得x的值，即为所求．【解答】解：设从高三学生中抽取的人数应为x，根据分层抽样的定义和方法可得，解得x=10，故答案为10．5．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则x2+y2=208．【考点】极差、方差与标准差．【分析】利用平均数、方差的概念列出关于x、y的方程组，求解即可．【解答】解：由题意可得：x+y=20，（x﹣10）2+（y﹣10）2=8，解得则x2+y2=208，故答案为：208．6．已知b为如图所示的程序框图输出的结果，则二项式（﹣）6的展开式中的常数项是﹣540．（用数字作答）【考点】程序框图．【分析】根据题意，分析该程序的作用，可得b的值，再利用二项式定理求出展开式的通项，分析可得常数项．【解答】解：第一次循环：b=3，a=2；第二次循环得：b=5，a=3；第三次循环得：b=7，a=4；第四次循环得：b=9，a=5；不满足判断框中的条件输出b=9．∵（﹣）6=的展开式的通项为：=令3﹣r=0得r=3∴常数项为=﹣540．故答案为：﹣540．7．如图，在正四面体ABCD中，点E为BC中点，点F为AD中点，则异面直线AE与CF 所成角的余弦值为．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】可考虑用空间向量求异面直线AE与CF所成角的余弦值，取一组空间基底为{}，用这组基底分别表示出向量，可设正四面体的棱长为1，这样即可求出，，从而根据求出，这样便可得到异面直线AE与CF所成角的余弦值．【解答】解：，；设正四面体的棱长为1，则，=；=；∴异面直线AE与CF所成角的余弦值为．故答案为：．8．已知（x﹣m）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7的展开式中x3的系数是35，则a1+a2+a3+…+a7=1或127．【考点】二项式系数的性质．【分析】由条件求得a0=（﹣m）7，根据展开式中x3的系数是35，求得m=±1．在（x﹣m）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7中，令x=1，可得（1﹣m）7=a0+a1+a2+…+a7 ①，分当m=1时和当m=﹣1时两种情况，分别由①求得a1+a2+a3+…+a7的值．【解答】解：∵（x﹣m）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7 ，∴a0=（﹣m）7．又展开式中x3的系数是35，可得•（﹣m）4=35，∴m=±1．∴a0=（﹣m）7=±1．在（x﹣m）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7中，令x=1，可得（1﹣m）7=a0+a1+a2+…+a7 ①，当m=1时，a0=﹣1，由①可得0=﹣1+a1+a2+…+a7 ，即a1+a2+a3+…+a7=1．当m=﹣1时，a0=1，由①可得27=1+a1+a2+…+a7 ，即a1+a2+a3+…+a7=127，故答案为：﹣1或129．9．某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为，那么播下4粒种子至少有2粒发芽的概率是．（请用分数表示结果）【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】根据n次独立重复实验中至少发生k次的概率公式求得播下4粒种子至少有2粒发芽的概率是即可．【解答】解：根据题意，播下4粒种子至少有2粒发芽即4次独立重复事件至少发生2次，由n次独立重复事件至少发生k次的概率的公式可得，P=•+•+=，故答案为：．10．已知（1+mx）n（m∈R，n∈N*）的展开式的二项式系数之和为32，且展开式中含x3项的系数为80．则（1+mx）n（1﹣x）6展开式中含x2项的系数为﹣5．【考点】二项式系数的性质．【分析】由题意可得：2n=32，解得n=5，由（1+mx）5的展开式的通项公式，及其展开式中含x3项的系数为80．解得m=2．把（1+2x）5（1﹣x）6展开即可得出．【解答】解：由题意可得：2n=32，解得n=5，=（mx）r=m r x r，令r=3，（1+mx）5的展开式的通项公式：T r+1则=80，解得m=2．则（1+2x）5（1﹣x）6=，∴展开式含x2项的系数为=+﹣2=﹣5．故答案为：﹣5．11．袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则P（ξ≤7）=．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】取出的4只球中红球个数的可能为4，3，2，1个，黑球相应个数为0，1，2，3个，得分的随机变量ξ=4，6，8，10，由经能求出P（ξ≤7）的值．【解答】解：取出的4只球中红球个数的可能为4，3，2，1个，黑球相应个数为0，1，2，3个，∴得分的随机变量ξ=4，6，8，10，∴P（ξ≤7）=P（ξ=4）+P（ξ=6）==．故答案为：．12．袋中混装着10个大小相同的球（编号不同），其中6只白球，4只红球，为了把红球与白球区分开来，采取逐只抽取检查，若恰好经过6次抽取检查，正好把所有白球和红球区分出来了，则这样的抽取方式共有7920种．（用数字作答）【考点】进行简单的合情推理．【分析】根据题意，分2种情况讨论：①、前6次取出的全部为白球，②、前5次取出3个红球、2个白球，第6次取出红球，分别求出每种情况下的取法数目，再由分类计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，恰好经过6次抽取检查，正好把所有白球和红球区分开来，则一共有2种情况：①、前6次取出的全部为白球，需要将6个白球全排列，安排在前6次取出，有A66=720种情况，②、前5次取出3个红球、2个白球，第5次取出红球，需要在4个红球中取出3个，6只白球中取出2个，安排在前5次取出，第6次取出第4只红球，有C43C62A55=7200种情况，则一共有720+7200=7920种不同的抽取方式．故答案为：7920．13．用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为1，2，…，9的9个小正方形（如下表），使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“1、5、9”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有108种．1 2 34 5 67 8 9【考点】排列、组合的实际应用．【分析】当1，5，9，为其中一种颜色时，2，6共有4种可能，其中2种2，6是涂相同颜色，各有2种可能共6种可能．4，8及7，与2，6及3，一样有6种可能并且与2，6，3，颜色无关，当1，5，9换其他的颜色时也是相同的情况，相乘得到结果．【解答】解：首先看图形中的1，5，9，有3种可能，当1，5，9，为其中一种颜色时，2，6共有4种可能，其中2种2，6是涂相同颜色，各有2种可能共6种可能．4，8及7，与2，6及3，一样有6种可能并且与2，6，3，颜色无关．当1，5，9换其他的颜色时也是相同的情况符合条件的所有涂法共有3×6×6=108种，故答案为：10814．已知数列{a n}为a0，a1，a2，a3，…，a n（n∈N），b n=a i=a0+a1+a2+a3+…+a n，i∈N．若数列{a n}为等差数列a n=2n（n∈N），则（b i）=（n2+3n）•2n﹣2．【考点】等差数列的通项公式．【分析】利用等差数列的求和公式可得：b n=a i=a0+a1+a2+a3+…+a n==n （n+1）．因此（b i）=1×2×++…+n（n+1），构造等式：x（x+1）n=+++…+，两边对x两次求导，令x=1即可得出．【解答】解：∵a n=2n（n∈N），∴b n=a i=a0+a1+a2+a3+…+a n===n（n+1）．∴（b i）=1×2×++…+n（n+1），∵x（x+1）n=+++…+，两边对x求导：（x+1）n+nx（x+1）n﹣1=1+2x+3x2+…+（n+1），两边对x求导：n（x+1）n﹣1+n（x+1）n﹣1+nx（x+1）n﹣2=1×2×+x+…+n（n+1）x n﹣1，令x=1可得：（n2+3n）•2n﹣2=1×2×++…+n（n+1），故答案为：（n2+3n）•2n﹣2．二.解答题（本题包括六道大题共计90分，解答时请写出必要的计算或证明过程）15．“根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20～80mg/100mL（不含80）之间，属于酒后驾车；血液酒精浓度在80mg/100mL（含80）以上时，属醉酒驾车．”2015年9月26日晚8时开始，德阳市交警一队在本市一交通岗前设点，对过往的车辆进行抽查，经过4个小时共查出喝过酒的驾车者60名，如图是用酒精测试仪对这60名驾车者血液中酒精浓度进行检测后所得结果画出的频率分布直方图．（1）求这60名驾车者中属醉酒驾车的人数；（图中每组包括左端点，不包括右端点）（2）求这60名驾车者血液的酒精浓度的平均值；（3）将频率分布直方图中的七组从左到右依次命名为第一组，第二组，…，第七组，在第五组和第七组的所有人中抽出两人，记他们的血液酒精浓度分别为x，y（mg/100mL），则事件|x﹣y|≤10的概率是多少？【考点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数．【分析】（1）根据频率=，计算所求的频数即可；（2）利用频率分布直方图求出数据的平均值即可；（3）用列举法计算基本事件数与对应的概率值．【解答】解：（1）依题意知醉酒驾车者即血液酒精浓度在80 mg/100 mL（含80）以上者，共有0.05×60=3人；（2）由图知60名驾车者血液的酒精浓度的平均值为=25×0.25+35×0.15+45×0.2+55×0.15+65×0.1+75×0.1+85×0.05=47（mg/100 mL）；（3）第五组和第七组的人分别有：60×0.1=6人，60×0.05=3人，|x﹣y|≤10即选的两人只能在同一组中；设第五组中六人为a、b、c、d、e、f，第七组中三人为A、B、C；则从9人中抽出2人的一切可能结果组成的基本事件如下：ab；ac；ad；ae；af；aA；aB；aC；bc；bd；be；bf；bA；bB；bC；cd；ce；cf；cA；cB；cC；de；df；dA；dB；dC；ef；eA；eB；eC；fA；fB；fC；AB；AC；BC共36种；其中两人只能在同一组中的事件有18种，用M表示|x﹣y|≤10这一事件，则概率P（M）==．16．已知（+2x）n．（1）若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；（2）若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．【考点】二项式定理的应用．【分析】（1）第k+1项的二项式系数为C n k，由题意可得关于n的方程，求出n．而二项式系数最大的项为中间项，n为奇数时，中间两项二项式系数相等；n为偶数时，中间只有一项．（2）由展开式前三项的二项式系数和等于79，可得关于n的方程，求出n．而求展开式中系数最大的项时，可通过解不等式组求得，假设T k+1项的系数最大，T k+1项的系数为r k，则有【解答】解：（1）∵C n4+C n6=2C n5，∴n2﹣21n+98=0，∴n=7或n=14．当n=7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5，∴T4的系数=C73（）423=，T5的系数=C74（）324=70．当n=14时，展开式中二项式系数最大的项是T8．∴T8的系数=C147（）727=3432．（2）由C n0+C n1+C n2=79，可得n=12，设T k+1项的系数最大．∵（+2x）12=（）12（1+4x）12，∴∴9.4≤k≤10.4，∴k=10，∴展开式中系数最大的项为T11．T11=（）12C1210410x10=16896x10．17．在甲、乙等7个选手参加的一次演讲比赛中，采用抽签的方式随机确定每个选手的演出顺序（序号为1，2，…7），求：（1）甲、乙两个选手的演出序号至少有一个为奇数的概率；（2）甲、乙两选手之间的演讲选手个数ξ的分布列与期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）由题意设A表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”，则表示“甲、乙的演出序号均为偶数”，则由等可能性事件的概率计算公式即可求得；（2）由于题意知道ξ表示甲、乙两选手之间的演讲选手个数，有题意则ξ的可能取值为0，1，2，3，4，5，再有古典概型随机事件的概率公式及离散型随机变量的定义与其分布列即可求得．【解答】解：（1）设A表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”，则表示“甲、乙的演出序号均为偶数”．由等可能性事件的概率计算公式得．（2）ξ的可能取值为0，1，2，3，4，5，，，，，，．从而ξ的分布列为ξ0 1 2 3 4 5P所以，．18．如图：已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°，且C1C=CD=1．（1）试用，，表示，并求||；（2）求证：CC1⊥BD；（3）试判断直线A1C与面C1BD是否垂直，若垂直，给出证明；若不垂直，请说明理由．【考点】直线与平面所成的角；空间向量的基本定理及其意义．【分析】（1）利用向量线性运算的几何意义得出，通过计算2得出||；（2）通过计算=0得出CC1⊥BD；（3）通过计算数量积证明CA1⊥BD，CA1⊥BC1，于是直线A1C⊥平面C1BD．【解答】解：（1）=+，=+++2+2+2=1+1+1+2×1×1×+2×1×1×+2×1×1×=6，∴．证明：（2）∵=•（）=•﹣•==0，∴，∴CC1⊥BD．（3）=（+）•（）==1﹣+﹣1+=0，∴，∴CA1⊥BD．同理可证CA1⊥BC1，∵BC1⊂面BDC1，BD⊂面BDC1，BC1∩BD=B，∴A1C⊥面C1DB．19．一个袋中装有黑球，白球和红球共n（n∈N*）个，这些球除颜色外完全相同．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是．现从袋中任意摸出2个球．（1）若n=15，且摸出的2个球中至少有1个白球的概率是，设ξ表示摸出的2个球中红球的个数，求随机变量ξ的概率分布及数学期望Eξ；（2）当n取何值时，摸出的2个球中至少有1个黑球的概率最大，最大概率为多少？【考点】离散型随机变量及其分布列；等可能事件的概率．【分析】（1）根据题意设出黑球和白球的个数，列出关于概率的方程，解出两种球的个数，由题意知变量取值，根据对应的事件做出分布列，求出期望．（2）设袋中有黑球个数，设从袋中任意摸出两个球，至少得到一个黑球为事件C，用摸出的2个球中至少有1个黑球的对立事件摸两个球没有黑球，表示出概率，得到结果．【解答】解：（1）设袋中黑球的个数为x（个），记“从袋中任意摸出一个球，得到黑球”为事件A，则．∴x=6．设袋中白球的个数为y（个），记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件B，则，∴y2﹣29y+120=0，∴y=5或y=24（舍）．∴红球的个数为15﹣6﹣5=4（个）．∴随机变量ξ的取值为0，1，2，分布列是ξ的数学期望=；（2）设袋中有黑球z个，则，）．设“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个黑球”为事件C，用摸出的2个球中至少有1个黑球的对立事件求出则，当n=5时，P（C）最大，最大值为．20．数学运算中，常用符号来表示算式，如=a0+a1+a2+a3+…+a n，其中i∈N，n∈N*（Ⅰ）若a0、a1、a2、…a n成等差数列，且a0=0，公差d=1，求证：（a i C）=n•2n﹣1（Ⅱ）若（1+x）k=a0+a1x+a2x2+…+a2n x2k，b n=，记d n=1+且不等式t•（d n﹣1）≤b n对于∀n∈N*恒成立，求实数t的取值范围．【考点】数列的求和．【分析】（Ⅰ）由题意求出等差数列的通项公式，然后结合二项式系数的性质证明（a i C）=n•2n﹣1；（Ⅱ）在二项式展开式中分别取x=﹣1，x=1，求出b n，再借助于二项式系数的性质化简可得d n，代入不等式t•（d n﹣1）≤b n，分n为奇数和偶数求得t的取值范围．【解答】（Ⅰ）证明：由已知得，等差数列的通项公式为a n=n，则（a i C）==．∵，∴，∴（a i C）=；（Ⅱ）解：令x=1，则，令x=﹣1，则，∴，由已知可知，==（1﹣4）n﹣（1﹣1）n+1=（﹣3）n+1，∴，将代入不等式t•（d n﹣1）≤b n，得t•（﹣3）n≤4n﹣1，当n为偶数时，，∴t≤；当n为奇数时，，∴．综上所述，所求实数t的范围是．2016年10月15日。

江苏省泰兴中学高二数学（理科）期中考试试题一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡的相应位置上．．．．．．．．．． 1、已知复数23z i =-，则复数z 的虚部为 ．2、命题：“2,10x R x x ∀∈-->”的否定是 ．3、复数211i i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭．4、双曲线221y x -=的渐近线方程为 ． 5、抛物线2y x =的焦点坐标为 ．6、观察下列各式：211=，2132+=，21353++=，213574+++=，L 从中归纳出一般结论： ． 7、焦点在x 轴上，离心率45e =，焦点与相应准线的距离等于94的椭圆的标准方程为 ． 8、已知函数4y x =-的定义域为A ，集合{}|B x x a =≤，若P ：“x A ∈”是Q ：“x B ∈”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是 ．9、已知动点(),P x y 在曲线22:1169x y C -=上，定点Q 的坐标为()5,0Q ，则线段PQ 长度的最小值为 ．10、已知121212,,||||1,||3z z C z z z z ∈==+=，则12||z z -= ．11、已知集合()||||,|132x y A x y ⎧⎫=+≤⎨⎬⎩⎭，()22,|194x y B x y ⎧⎫=+≤⎨⎬⎩⎭，则命题“():,p x y A ∈”是命题“():,q x y B ∈”的 条件．（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）12、下列四个命题：①一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真；②命题“设,a b R ∈，若6a b +≠，则3a ≠或3b ≠”是一个假命题；③“2x >”是“112x <”的充分不必要条件；④一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真．其中真命题的个数是 ．13、过点()1,2M 作直线l 交椭圆2212516x y +=于,A B 两点，若点M 恰为线段AB 的中点，则直线l的方程为 ．14、过椭圆2211612x y +=的左顶点A 作斜率为()0k k ≠的直线l 交椭圆于点C ，交y 轴于点D ，P 为AC 中点，定点Q 满足：对于任意的()0k k ≠都有OP DQ ⊥，则Q 点的坐标为 ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15、（本题满分14分）已知m R ∈，复数()()22231m m z m m i m -=++--，当m 为何值时，分别满足下列条件：（1）z R ∈；（2）z 对应的点位于复平面第二象限．16、（本题满分14分）已知()()21:|34|2,:0,:102p x q r x a x a x x ->>---<--．(1)p ⌝是q ⌝的什么条件？(2)若r ⌝是p ⌝的必要非充分条件，求实数a 的取值范围．17、（本题满分14分）设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点，M 是椭圆C 上一点，且直线2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N ． （1）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率； （2）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求椭圆C 的方程．18、（本题满分16分）如图，某小区有一边长为2 (单位：百米)的正方形地块OABC ，其中OAE 是一个水池，计划在地块OABC 内修一条与池边AE 相切的直路l (宽度不计)，切点为M ，并把该地块分为两部分．现以点O 为坐标原点，以线段OC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，若池边AE 满足函数()2202y x x =-+≤≤的图象，且点M 到边OA 距离为2433t t ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭． （1）当23t =时，求直路l 所在的直线方程； （2）当t 为何值时，地块OABC 在直路l 不含水池那侧的面积取到最大，最大值是多少？19、（本题满分16分）设i 为虚数单位，n 为正整数，[)0,2θπ∈．（1）用数学归纳法证明：()cos sin cos sin ni n i n θθθθ+=+；（2）已知3z i =+，试利用（1）的结论计算10z ；20、（本题满分16分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的一个焦点到长轴的两个端点的距离分别为23+和23-，直线()0y kx k =>与AB 相交于点D ，与椭圆相交于,E F 两点．（1）求此椭圆的方程；（2）若6ED DF =u u u r u u u r，求斜率k 的值；（3）求四边形AEBF 面积的最大值．江苏省泰兴中学高二数学（理科）期中试题参考答案一、填空题：1、3-；2、2,10x R x x ∃∈--≤；3、1-；4、y x y x ==-和；5、10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭；6、()()213521*n n n N ++++-=∈L ；7、221259x y +=；8、4a >；9、1；10、1；11、充分不必要；12、2；13、825580x y +-=；14、()3,0- 二、解答题：15、解（1）2230,10m m z R m ⎧+-=∈∴⎨-≠⎩Q ， ............................. 2分3m ∴=- .......................................................... 6分 （2）复数z 在复平面上对应点为()22,231m m m m m -⎛⎫+- ⎪-⎝⎭， ............. 8分 依题意有()2201230m m m m m ⎧-<⎪-⎨⎪+->⎩......................................... 10分解之得()(),31,2m ∈-∞-U ......................................... 14分16、解 (1):|34|2,342342p x x x ->∴->-<-或，222,:233x x p x ∴><∴⌝≤≤或..................................... 2分 221:0,20,12,2q x x x x x x >-->∴<->--即或 ∴{}:|12q x x ⌝-≤≤， ............................................. 4分 ∴p ⌝是q ⌝的充分不必要条件． ...................................... 6分 (2)()():10,1r x a x a a x a ---<∴<<+.∴r ⌝：1x a x a ≤≥+或. ............................................ 8分 ∵r ⌝是p ⌝的必要非充分条件． ∴2121,233a a a a ≤+≤∴≥≤-或或................................ 12分∴a 的取值范围是1|23a a a ⎧⎫≥≤-⎨⎬⎩⎭或. .............................. 12分17、解：（1）记c =，则()()12,0,,0F c F c -，由题设可知2,b Mc a ⎛⎫⎪⎝⎭，则12232324MN F M b a k k b ac c ===⇒=， ..................................4分 2213,2()2c ca c ac e e a a ∴-=⇒====-或舍去； ....................6分 （2）记直线MN 与y 轴的交点为()D 0,2，则22||44b MF a =⇒=①， .... 8分 11135,2,12c MN F N DF F N N ⎛⎫=∴=⇒-- ⎪⎝⎭u u u u r u u u u r Q ， ....................... 10分将N 的坐标代入椭圆方程得2229114c a b+=② ............................ 12分由①②及222c a b =-得2249,28a b ==，故所求椭圆C 的方程为2214928x y +=． ................................. 14分18、(1)214,39M ⎛⎫⎪⎝⎭， ................................................ 2分 :129220l x y +-=，.............................................. 6分 (2)()2,2M t t -+，过切点M 的切线()()2:22l y t t x t --+=--， 即222y tx t =-++，令2y =得2t x =，故切线l 与AB 交于点,22t ⎛⎫⎪⎝⎭； ... 8分令0y =，得122t x =+，又12t x t =+在24,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦递减，所以11711,2126t x t ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦，故切线l 与OC 交于点1,02t t ⎛⎫+⎪⎝⎭． ................................... 10分所以地块OABC 在切线l 右上部分区域为直角梯形， 面积111122442222t t S t t t t t ⎛⎫⎛⎫=--+-⋅=--=-+≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，............. 14分 当且仅当1t =时取等号，即1t =时max 2S =． ........................ 16分19、（1）证明：1o 当1n =时，左边=右边=cos sin i θθ+，所以命题成立； .. 2分 2o 假设当n k =时，命题成立，即()cos sin cos sin ki k i k θθθθ+=+， .... 4分 则当1n k =+时，()()()1cos sin cos sin cos sin k kx i i i θθθθθ++=++g()()()()cos sin cos sin cos cos sin sin cos sin sin cos cos(1)sin(1)k i k i k k i k k k i k θθθθθθθθθθθθθθ=++=-++=+++ 1n k ∴=+当时，命题成立；........................................ 6分 综上，由1o和2o可得，()cos sin cos sin ni n i n θθθθ+=+ ............... 8分（2）31322cos sin 2266z i i i ππ⎛⎫⎛⎫==+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q ， ................ 12分 10105513cos sin cos sin 663322z i i ππππ⎛⎫∴=+=+=- ⎪⎝⎭...............16分20、解（1）)由题意，2323a c a c ⎧+=+⎪⎨-=⎪⎩ 解得23a c =⎧⎪⎨=⎪⎩， ............... 2分故椭圆的方程为2214x y +=． .................................... 4分 （2）由（1）得，直线AB 的方程为220x y +-=．()222241444y kx k x x y =⎧⇒+=⎨+=⎩． ................................... 6分 设()()1111,,,E x kx F x kx --，()00,D x kx ，且1241x k =+则()()()()01011001,,,ED x x k x x DF x x k x x =--=---+u u u r u u u r，因为6ED DF =u u u r u u u r ，所以()01106x x x x -=--，即1057x x =-= 8分所以D ⎛⎫在直线AB220-=， 化简得2242560k k -+=，解得23k =，或38k =． .................... 10分 （3）AB =,E F 到直线AB 距离之和最大．E F d d +=............................ 12分421k +====..........................................14分因为0k >，所以E F d d +≤=， 当且仅当14k k =，即12k=时取“＝”号．所以max 12S ==16分。

江苏省泰兴中学高二数学期中考试试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上） 1、命题“2,10x R x x ∀∈-+>”的否定是 ． 2、抛物线214y x =的焦点坐标是 ． 3、双曲线2219y x -=的渐近线方程是 ． 4、函数()3212313f x x x x =-+-的极小值为 ． 5、若命题“,r R +∃∈使得圆()2220x y r r +=>与双曲线221410x y -=有公共点”为假命题，则实数r 的取值范围是 ．6、已知函数()[]2sin ,0,f x x x x π=+∈，则函数()y f x =的最大值为 ．7、命题“:19p k <<”是命题“:q 方程22191x y k k +=--表示椭圆”的 条件．（填“充要”或“充分不必要”或“必要不充分”或“既不充分也不必要”） 8、函数()21xx f x e x+=的递减区间为 ． 9、双曲线22916144x y -=上一点M 到左焦点1F 的距离为2，N 是1MF 的中点，O 是坐标原点，则ON ＝________．10、已知函数()ax e x f x-=在区间()1,0上有极值，则实数a 的取值范围是 ．11、椭圆22:194x y C +=和圆22:5O x y +=，动点P 在椭圆C 上动点，当点P 落在圆O 内部时，点P 横坐标的取值范围是_____________．12、在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆13422=+y x 的左焦点为F ，直线,01=--y x 01=+-y x 与椭圆分别交于点D C B A ,,,，则=+++DF CF BF AF ．13、已知直线):l y k R =-∈与双曲线222:1412x y C a-=-的右支有两个不同的交点，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是__________．14、设函数()f x 是定义在(0)-∞，上的可导函数，其导函数为()f x '，且有22()()f x xf x x '+>，则不等式2(2015)(2015)4(2)0x f x f ++-->的解集为 ．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15、（本题满分14分）已知命题p ：实数x 满足2280x x --≤；命题q ：实数x 满足|2|(0)x m m -≤>． （1）当3m =时，若“p 且q ”为真，求实数x 的取值范围；（2）若“非p ”是“非q ”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．16、（本题满分14分）已知椭圆C 的中心在原点，左焦点为()11,0F -，右准线方程为：4x =． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若椭圆C 上点N 到定点(,0)(02)M m m <<的距离的最小值为1，求m 的值及点N 的坐标；17、（本题满分14分）已知函数()ln f x x x =. （1）求()f x 的最小值；（2）若对所有1x ≥都有()1f x ax ≥-，求实数a 的取值范围.18、（本题满分16分）已知函数()()1,0,0f x a x x a x ⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭，点P 为函数()y f x =图像上一动点． （1）当2a =时，过点P 分别向y 轴及直线2y x =作垂线，垂足分别为点,A B ，试计算线段PA PB ，长度之积PA PB 的值；（2）作曲线()y f x =在点P 处的切线l ，记直线l 与y 轴及直线y ax =的交点分别为,M N ，试计算线段,PM PN 长度比值PMPN．19、（本题满分16分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -相切． （1）求椭圆C 的方程；（2）设(4,0)P ，M 、N 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PN 交椭圆C 于另一点E ，求直线PN 的斜率的取值范围； （3）在⑵的条件下，证明直线ME 与x 轴相交于定点．20、（本题满分16分）已知函数()2ln 2x f x x kx =+-（k 为常数）． （1）试讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 存在极值，求函数()f x 的零点个数．江苏省泰兴中学高二数学期中考试试题参考答案一、填空题：1、2,10x R x x ∃∈-+≤；2、()0,1；3、3y x =±；4、1-；5、02r <<；6、23π+7、必要不充分；8、()1,0-和10,2⎛⎫⎪⎝⎭；9、5；10、e a <<1；11、55⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭；12、8；13、()1,2；14、(),2017-∞ 二、解答题：15、解：（1）若p 真：24x -≤≤；当3m =时，若q 真：15x -≤≤ ……3分∵p 且q 为真 ∴2415x x -≤≤⎧⎨-≤≤⎩ ∴实数x 的取值范围为：[1,4]- ……7分（2）∵p ⌝是q ⌝的必要不充分条件 ∴p 是q 的充分不必要条件……10分 ∵若q 真：22m x m -≤≤+∴2242m m -≤-⎧⎨≤+⎩且等号不同时取得（不写“且等号不同时取得”，写检验也可）∴4m ≥． ……14分16、解：（1分由题意得：，解得：21a c =⎧⎨=⎩， ………………4分∴23b =，∴椭圆的标准方程：分 （2）设(,)N x y ，则对称轴：4x m =，22x -≤≤ ………9分 ，4x m=时，22min 331MN m =-+=， ………………11分 ，2x =时，22min 441MN m m =-+=，解得：1m =或3m =；12m << 1m ∴=； ………………13分 综上：1m =，(2,0)N ； ………………14分17、解：（1）()f x 的定义域为0∞(，+)， ()f x 的导数()1ln f x x '=+. …………1分 令()0f x '>，解得1ex >；令()0f x '<，解得10e x <<.………………3分从而()f x 在10e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减，在1e ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭，+单调递增. ………………5分 所以，当1e x =时，()f x 取得最小值1e-. ………………6分 （2）法一：令()()(1)g x f x ax =--，则()()1ln g x f x a a x ''=-=-+，………7分① 若1a ≤，当1x >时，()1ln 10g x a x a '=-+>-≥， 故()g x 在(1)∞，+上为增函数， ………………9分所以，1x ≥时，()(1)10g x g a ≥=-≥，即()1f x ax ≥-.………………10分② 若1a >，方程()0g x '=的根为 10e a x -=，此时，若0(1)x x ∈，，则()0g x '<，故()g x 在该区间为减函数. ………………12分所以0(1)x x ∈，时，()(1)10g x g a <=-<，即()1f x ax <-，与题设()1f x ax ≥-相矛盾.………………13分综上，满足条件的a 的取值范围是(1]-∞，. ………………14分法二：依题意，得()1f x ax ≥-在[1)+∞，上恒成立，即不等式1ln a x x≤+对于[1)x ∈+∞，恒成立 . ………………8分 令1()ln g x x x =+， 则22111()x g x x x x-'=-=. ………………10分 当1x >时，因为21()0x g x x -'=>，故()g x 是(1)+∞，上的增函数，…………12分 所以 ()g x 的最小值是(1)1g =，所以a 的取值范围是(1]-∞，. ………………14分 18、解：（1）当2a =时，()22f x x x=+， 设点P 的坐标为0002,2P x x x ⎛⎫+⎪⎝⎭，则0020,2A x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，……………………………1分 依题意，()0012:22PB l y x x x x =--++，……………………………………………3分由()00012222y x x x x y x⎧=--++⎪⎨⎪=⎩，得000048,255B x x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，………………………5分000004,5PA x PB x x x ⎫∴==+-=⎪⎭，………………………………7分0055PA PB x x ∴⋅=⋅=……………………………………………………8分 （2）设点P 的坐标为000,a P x ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭…………………………………9分()()0220,MN a a f x a k f x a x x ''=-∴==-，…………………………………11分 ()00200:MN a al y a x x ax x x ⎛⎫∴=--++ ⎪⎝⎭，…………………………………12分令0x =，得020,a M x ⎛⎫⎪⎝⎭，…………………………………13分 由()00200a a y a x x ax x x y ax⎧⎛⎫=--++⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪=⎩，得()002,2N x ax ， …………………14分 则点000,a P x ax x ⎛⎫+⎪⎝⎭为点020,a M x ⎛⎫ ⎪⎝⎭和点()002,2N x ax 的中点，…………15分 所以1PMPN=…………………………………16分 19、解：（1）由题意知c e a ==，所以22222234c a b e a a -===，即224a b =，………2分又因为1b ==，所以224,1a b ==，故椭圆C 的方程为C ：2214x y +=．…4分 （2）由题意知直线PN 的斜率存在，设直线PN 的方程为(4)y k x =- ①………5分联立22(4)14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得：2222(41)324(161)0k x k x k --+-=，……………………7分 由2222(32)4(41)(644)0k k k ∆=-+->得21210k -<，………………9分 又0k =不合题意，所以直线PN的斜率的取值范围是0k <<或0k <<．…10分⑶设点1122(,),(,)N x y E x y ，则11(,)M x y -，……………………11分 直线ME 的方程为212221()y y y y x x x x +-=--， 令0y =，得221221()y x x x x y y -=-+，……12分 将1122(4),(4)y k x y k x =-=-代入整理，得12121224()8x x x x x x x -+=+-． ②………13分由得①2212122232644,4141k k x x x x k k -+==++代入②整理，得1x =，……………………15分 所以直线ME 与x 轴相交于定点(1,0)． ………………………………16分 20、解：（1）()1f x x k x'=+-（0x >）………………………………………1分 ①1122x x x x+≥=（当且仅当1x x =，即1x =时取“=”）∴当2k ≤时，()0f x '≥在()0,x ∈+∞恒成立， ∴()f x 在()0,+∞单调递增；（或根据判别式∆分22k -≤≤及2k <-两种情况讨论）………………………4分②当2k >时，由()2110x kx f x x k x x-+'=+-=>得()210g x x kx =-+>， 240k ∆=->，∴方程()0g x =有两不等实根212121,24,,kk x x x x x ⎛⎫-<=⎪ ⎪⎝⎭， 12121210,001x x x x k x x ⋅=>+=>∴<<<，∴由()210g x x kx =-+>得10x x <<或2x x >，∴()f x 在()10,x 上递增，在()12,x x 上递减，在()2,x +∞上递增；…………………7分综上：当2k ≤时，()f x 的增区间为()0,+∞；当2k >时，()f x 的增区间为()10,x 和()2,x +∞，减区间为()12,x x ．……………………………………………………8分（2）由（1）可知，当且仅当2k >时，()f x 存在极值，且()f x 在1x x =处取得极大值，在2x x =处取得极小值，且()()12f x f x >，………………………………9分 先证()()210f x f x <<：()()()2121111112111ln ln 12210x f x x kx x f x x g x x kx ⎧=+-⎪⇒=--⎨⎪=-+=⎩，……………………11分 由（1）知101x <<，∴1ln 0x <，∴()2111ln 102x f x x =--<；…………………12分 再证存在x ，使得()0f x >：()()()()222ln 2+2ln 2ln 402k f k k k k k =-⋅=>>，…………………………14分所以，由（1）的单调性可得()f x 在()2,x +∞存在唯一的零点．…………………16分。

2022-2022年高二上册期中考试数学试卷（江苏省泰州中学）填空题已知条件条件且是的充分不必要条件，则a的取值范围可以是______ ．【答案】【解析】∵，∴或，若是的充分不必要条件，则是的充分不必要条件，则，∴，故答案为.填空题分别是双曲线的左右焦点，是虚轴的端点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，线段的垂直平分线与轴交于点，若，则双曲线的离心率为_________.【答案】【解析】试题分析：直线的方程为，由得：；由得：，的中点为.据题意得，所以.解答题已知（），定义.（1）求函数的极值（2）若，且存在使，求实数的取值范围；（3）若，试讨论函数（）的零点个数.【答案】(1) 的极大值为，极小值为；(2) ；(3)当时，有两个零点；当时，有一个零点；当时，有无零点.【解析】试题分析：(1)结合函数的解析式求导有，利用导函数研究函数的极值可得的极大值为，极小值为；(2)原问题转化为不等式在上有解，构造新函数（），据此讨论可得.(3)结合（1）的结论有在上的最小值为，分类讨论：①当时，在上无零点.②当时，在上有一个零点.③当时，在上有两个零点.试题解析：（1）∵函数，∴令，得或，∵，∴，列表如下：极大值极小值∴的极大值为，极小值为.（2），∵存在使，∴在上有解，即在上有解，即不等式在上有解，设（），∵对恒成立，∴在上单调递减，∴当时，的最大值为.∴，即.（3）由（1）知，在上的最小值为，①当，即时，在上恒成立，∴在上无零点.②当，即时，，又，∴在上有一个零点.③当，即时，设（），∵，∴在上单调递减，又，，∴存在唯一的，使得.Ⅰ.当时，∵，∴且为减函数，又，，∴在上有一个零点；Ⅱ.当时∵，∴且为增函数.∵，∴在上有一个零点；从而在上有两个零点.综上所述，当时，有两个零点；当时，有一个零点；当时，有无零点.填空题双曲线的顶点到其渐近线的距离等于____________.【答案】【解析】试题分析：不妨设顶点为,一条渐近线为即,点直线的距离为.填空题已知函数，函数，（），若对任意，总存在，使得成立，则的取值范围是__________．【答案】【解析】对函数f(x)求导可得：，令f′(x)=0解得或.当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表所示：x1f′(x)−+f(x)单调递减−4单调递增−3所以,当时,f(x)是减函数;当时,f(x)是增函数。

江苏省泰兴中学第一学期高二数学期中考试试卷一、选择题（5’×13=65’）１．如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0互相垂直，那么系数a= ( )A. -32B. –6C. -23D. 32２．一条直线过点(5,2)，且在两坐标轴上的截距相等，则满足条件的直线有 ( )A. １条B. ２条C. ３条D. ４条３．到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是 ( )A. y=xB. x 2-y 2=0C. y=-xD. y=|x| ４．双曲线42x -52y =1的焦点坐标为( )A. (0,±1)B. (±1,0)C. (0, ±3)D. (±3,0) ５．如直线l 1、l 2的斜率是二次方程x 2-4x+1=0的两根，那么l 1和l 2的夹角是 ( )A.3π B. 4π C. 6π D. 8π６．M(3,0)是圆x 2+y 2-8x-2y+10=0内一点，过M 点最长的弦所在直线方程为 ( )A. x+y-3=0B. x-y-3=0C. 2x-y-6=0D. 2x+y-6=0７．椭圆长轴是短轴的３倍，且过点(-3,0)，则其标准方程为 ( )A. 92x +2y =1B. 812y +92x =1C. 92x +2y =1或92y +2x =1 D. 以上均不对８．设A 、B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且|PA|=|PB|，若直线PA 的方程为x-y+1=0，则直线PB 的方程是 ( )A. x+y-5=0B. 2x-y-1=0C. 2y-x-4=0D. 2x+y-7=0９．如直线ax+by=4与圆C ：2x ＋2y =4有两个不同的交点, 那么点P(a,b)与圆C 的位置关系是 ( )A. 在圆外B. 在圆上C. 在圆内D. 不确定 10. 过点A(1,-1)，B(-1,1)且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是 ( )A. (x-3)2+(y+1)2=4B. (x+3)2+(y-1)2=4C. (x-1)2+(y-1)2=4D. (x+1)2+(y+1)2=411. 椭圆252x +92y =1上一点P 到右焦点的距离为6，则P 到左准线的距离是( )A.49 B. 415 C. 215D. ５ 12. 已知定点P(x 0,y 0)不在直线l 1：f(x,y)=0上，则直线l ：f(x,y)-f(x 0,y 0)=0与直线l 1和点P 的关系一定是 ( )A. 过P 且垂直l 1B. 过P 且平行于l 1C. 不过P 且垂直于l 1D. 不过P 且平行于l 113. a>1曲线y=a|x|和直线y-x-a=0有且仅有两个不同交点的 ( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 二、填空题（5’×5=25’）14. 若方程52-k x -k y -32=-1表示的曲线是双曲线，则k 的取值范围是______________.15. 从椭圆2x +42y =1上任意一点P 向x 轴作垂线段PP’，且线段PP’上一点M 满足关系式|PP’|：|MP’|=3：2，则点M 的轨迹方程为_____________________. 16. 集合M={(x,y)|x=24y -}，N={(x,y)|y=x+b}，且M N=φ，则b 的取值范围是__________.17. 若点A(m,n)在直线y=-b a x-bc 2上(其中a,b,c 为直角三角形的三边，c 为斜边),则m 2+n 2的最小值为_______.18. 圆2x +(y-1)2=1上任意一点P(x,y)都使不等式x+y+c ≥0成立，则c 的最小值是_________.三、解答题（12’×5=60’）19. 分别求满足下列条件的椭圆或双曲线的标准方程 (1)离心率e=22，焦点到相应准线的距离等于3；(2)经过两点P(-2,-3)和Q(315,2).20. 过点P(-3,0)作直线l 交椭圆11x 2+y 2=9于M 、N 两点，若以M 、N 为直径的圆恰好过椭圆中心，求直线l 的方程.21. 某工厂生产A 、B 两种产品，生产A 、B 所需的煤、电力、劳动力及产值如下表，每日所用的总量：煤不超过360吨，电不超过200千瓦，劳动力不超过300个，问每天两种产品各生产多少吨，才能使日产值最高？22. 椭圆252x +92y =1上有不同的三点A(x 1,y 1)，B(4,59)，C(x 2,y 2)，它们与焦点F(4,0)的距离成等差数列. (1)求x 1+x 2的值；(2)求证线段AC 的垂直平分线过定点.23. 已知圆C 过定点A(0,a)(a>0)且在x 轴上截得的弦MN 的长为2a.(1) 求圆C 的圆心的轨迹方程； (2) 设|AM|=m ，|AN|=n ，求n m +mn的最大值及此时圆C 的方程.高二数学期中答案一、 1、D 2、B 3、B 4、D 5、A 6、B 7、D 8、A 9、A 10、C 11、D 12、B 13、A 二、14、（3，5） 15、x 2+169y 2=1 16、(-∞, -22)∪(2, +∞) 17、2 18、2-1 三、19、解：（1） a 2=2c 2 a 2=18，b 2=9c b 2=3 标准方程为：191822=+y x 或191822=+x y a 2=b 2+c 2（2）设所求方程为mx 2+ny 2=1则 2m+3n=11235=+n m m=1，n=-31 ∴x 2-31y 2=1 20、设l ：x=my=3代入11x 2+y 2=9 (11m 2+1)y 2-223my+24=0 （*） OM ⊥ONx 1x 2+y 1y 2=(my 1-3) (my 2-3)+y 1y 2 =(m 2+1)y 1y 2-3m(y 1+y 2)+3=0由韦达定理代入：0311166111)1(242222=++-++m m m m m=±3 且此时（*）式，△>0 ∴l ：x ±3y-3=021、设生产A 、B 产品分别为x 、y 吨。

2015-2016学年江苏省泰州市泰兴中学高二（上）期中数学试卷（文科）一、填空题（本题包括14个小题，每题5分，共70分）1．（5分）已知集合M={1，2，3，4，5，6}，N={x|﹣2＜x＜5，x∈Z}，则集合M∩N=．2．（5分）命题“∀x∈R，有x2+1≥x”的否定是．3．（5分）已知，则f（8）的函数值为．4．（5分）如图是2008年“隆力奇”杯第13届CCTV青年歌手电视大奖赛上某一位选手的部分得分的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为．5．（5分）超速行驶已成为马路上最大杀手之一，已知某中段属于限速路段，规定通过该路段的汽车时速不超过80km/h，否则视为违规．某天，有1000辆汽车经过了该路段，经过雷达测速得到这些汽车运行时速的频率分布直方图如图所示，则违规的汽车大约为辆．6．（5分）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出值x为7．（5分）如果函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+1减区间为（﹣∞，2），则实数a的值．8．（5分）向面积为S的△ABC内任投一点P，则△PBC的面积小于的概率为．9．（5分）设偶函数f（x）在区间[0，+∞）单调递增，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围是．10．（5分）函数y=x+的值域是．11．（5分）已知f（x）定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上奇函数，且f（x+）f（x）=1，若f（﹣1）＞1，f（2016）=，则a的范围．12．（5分）设函数f（x）=的最大值为M，最小值为m，则M+m=．13．（5分）若关于x的方程（5x+）﹣|4x﹣|=m在（0，+∞）内恰有四个相异实根，则实数m的取值范围为．14．（5分）已知函数f（x）=（2x﹣a+1）ln（x+a+1）的定义域为（﹣a﹣1，+∞），若f（x）≥0恒成立，则a的值为．二、解答题（本题包含6大题，共90分）15．（14分）为了解社会对学校办学质量的满意程度，某学校决定用分层抽样的方法从高中三个年级的家长委员会中共抽取6人进行问卷调查，已知高一、高二、高三的家长委员会分别有54人、1 8人、36人．（I）求从三个年级的家长委员会中分别应抽的家长人数；（Ⅱ）若从抽得的6人中随机抽取2人进行训查结果的对比，求这2人中至少有一人是高三学生家长的概率．16．（14分）设集合A={x|x2﹣3x+2=0}，B={x|x2+2（a+1）x+（a2﹣5）=0}．（1）若A∩B={2}，求实数a的值；（2）若A∪B=A，求实数a的取值范围．17．（15分）已知p：∀x∈R，2x＞m（x2+1），q：∃x0∈R，x02+2x0﹣m﹣1=0，（1）若q是真命题，求m的范围；（2）若p∧（￢q）为真，求实数m的取值范围．18．（15分）市场上有一种新型的强力洗衣液，特点是去污速度快．已知每投放a（1≤a≤4，且a∈R）个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x（分钟）变化的函数关系式近似为y=a•f（x），其中f（x）=．若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于4（克/升）时，它才能起到有效去污的作用．（Ⅰ）若只投放一次4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？（Ⅱ）若第一次投放2个单位的洗衣液，6分钟后再投放a个单位的洗衣液，要使接下来的4分钟中能够持续有效去污，试求a的最小值（按四舍五入精确到0.1）．19．（16分）方程x2+（k﹣2）x+2k﹣1=0，（1）一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求实数k的取值范围．（2）两根都在（0，1）之间，求k的范围．（3）在（0，1）之间有一个零点，求k的范围．20．（16分）已知函数f（x）=x|x﹣a|+2x．（1）当a=3时，方程f（x）=m的解的个数；（2）对任意x∈[1，2]时，函数f（x）的图象恒在函数g（x）=2x+1图象的下方，求a的取值范围；（3）f（x）在（﹣4，2）上单调递增，求a的范围．2015-2016学年江苏省泰州市泰兴中学高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（本题包括14个小题，每题5分，共70分）1．（5分）已知集合M={1，2，3，4，5，6}，N={x|﹣2＜x＜5，x∈Z}，则集合M∩N={1，2，3，4} ．【解答】解：由集合N中的不等式﹣2＜x＜5，取整数解，得：x可以为﹣1，0，1，2，3，4，所以集合N={﹣1，0，1，2，3，4}，则M∩N={1，2，3，4}．故答案为：{1，2，3，4}2．（5分）命题“∀x∈R，有x2+1≥x”的否定是∃x∈R，使x2+1＜x．【解答】解：∵原命题“∀x∈R，有x2+1≥x”∴命题“∀x∈R，有x2+1≥x”的否定是：∃x∈R，使x2+1＜x．故答案为：∃x∈R，使x2+1＜x．3．（5分）已知，则f（8）的函数值为﹣76．【解答】解：∵已知，则f（8）=f（6）=f（4）=4﹣5×16=﹣76，故答案为﹣76．4．（5分）如图是2008年“隆力奇”杯第13届CCTV青年歌手电视大奖赛上某一位选手的部分得分的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为．【解答】解：去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据为84，84，84，86，87，91，93，其平均值为=（84+84+86+84+87+91+93）=87，方差为s2=[（84﹣87）2+（84﹣87）2+（86﹣87）2+（84﹣87）2+（91﹣87）2+（93﹣87）2+（87﹣87）2]=，故答案为．5．（5分）超速行驶已成为马路上最大杀手之一，已知某中段属于限速路段，规定通过该路段的汽车时速不超过80km/h，否则视为违规．某天，有1000辆汽车经过了该路段，经过雷达测速得到这些汽车运行时速的频率分布直方图如图所示，则违规的汽车大约为280辆．【解答】解：由频率分布直方图可得汽车超速的频率为0.020×10+0.008×10=0.28，故违规的汽车大约为1000×0.28=280辆，故答案为280．6．（5分）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出值x为12【解答】解：模拟执行程序框图，可得x=1满足条件x是奇数，x=2不满足条件x是奇数，x=4，不满足条件x＞8，x=5满足条件x是奇数，x=6，不满足条件x＞8，x=7满足条件x是奇数，x=8，不满足条件x＞8，x=9满足条件x是奇数，x=10，不满足条件x是奇数，x=12，满足条件x＞8，退出循环，输出x的值为12．7．（5分）如果函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+1减区间为（﹣∞，2），则实数a的值﹣1．【解答】解∵抛物线f（x）=x2+2（a﹣1）x+2开口向上，对称轴方程是x=1﹣a，减区间为（﹣∞，2），∴1﹣a=2，解得a=﹣1，故答案为：﹣1．8．（5分）向面积为S的△ABC内任投一点P，则△PBC的面积小于的概率为．【解答】解：记事件A={△PBC的面积小于}，基本事件空间是三角形ABC的面积，（如图）事件A的几何度量为图中阴影部分的面积（DE是三角形的中位线），因为阴影部分的面积是整个三角形面积的，所以P（A）==．故答案为：．9．（5分）设偶函数f（x）在区间[0，+∞）单调递增，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围是（）．【解答】解：因为f（x）为偶函数，所以f（x）＞f（2x﹣1）可化为f（|x|）＞f（|2x﹣1|）又f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，所以|x|＞|2x﹣1|，即（2x﹣1）2＜x2，解得x＜1，所以x的取值范围是（）．故答案为：（）．10．（5分）函数y=x+的值域是（﹣∞，] ．【解答】解析：令=t（t≥0），则x=1﹣t2，此时y=1﹣t2+t，（t≥0），所以y=﹣t2+t+1=﹣（t﹣）2+≤，所以原函数的值域为（﹣∞，]．故答案为：（﹣∞，]．11．（5分）已知f（x）定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上奇函数，且f（x+）f（x）=1，若f（﹣1）＞1，f（2016）=，则a的范围0＜a＜3．【解答】解：∵f（x+）f（x）=1，∴f（x+5）=f（x），∴f（x）是周期为5的周期函数，∵f（﹣1）＞1，f（x）定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上奇函数，∴﹣f（1）＞1，∴f（1）＜﹣1，∴f（2016）=f（403×5+1）=f（1）＜﹣1，∴＜﹣1，∴＜0∴0＜a＜3．故答案为：0＜a＜3．12．（5分）设函数f（x）=的最大值为M，最小值为m，则M+m= 2．【解答】解：函数可化为f（x）==，令，则为奇函数，∴的最大值与最小值的和为0．∴函数f（x）=的最大值与最小值的和为1+1+0=2．即M+m=2．故答案为：2．13．（5分）若关于x的方程（5x+）﹣|4x﹣|=m在（0，+∞）内恰有四个相异实根，则实数m的取值范围为（6，10）．【解答】解：当x≥1时，4x﹣≥0，∵方程，∴5x+﹣4x+=m，即x+=m；∵x+≥6；∴当m＜6时，方程x+=m无解；当m=6时，方程x+=m有且只有一个解；当6＜m＜10时，方程x+=m在（1，+∞）上有两个解；当m=10时，方程x+=m的解为1，9；当x＜1时，4x﹣＜0，∵方程，∴5x++4x﹣=m，即9x+=m；∵9x+≥6；∴当m＜6时，方程9x+=m无解；当m=6时，方程9x+=m有且只有一个解；当6＜m＜10时，方程9x+=m在（0，1）上有两个解；当m=10时，方程9x+=m的解为1，；综上所述，实数m的取值范围为（6，10）．故答案为：（6，10）．14．（5分）已知函数f（x）=（2x﹣a+1）ln（x+a+1）的定义域为（﹣a﹣1，+∞），若f（x）≥0恒成立，则a的值为．【解答】解：当0＜x+a+1≤1时，﹣a﹣1＜x≤﹣a时，有ln（x+a+1）≤0，∵f（x）≥0，∴2x﹣a+1≤0，x≤欲使∀x，f（x）≥0恒成立，则≥﹣a，∴a≥；当x+a+1＞1时，x＞﹣a时，有ln（x+a+1）＞0，∵f（x）≥0，∴2x﹣a+1＞0，x＞欲使∀x，f（x）≥0恒成立，则≤﹣a，∴a≤；故a=．故答案为：．二、解答题（本题包含6大题，共90分）15．（14分）为了解社会对学校办学质量的满意程度，某学校决定用分层抽样的方法从高中三个年级的家长委员会中共抽取6人进行问卷调查，已知高一、高二、高三的家长委员会分别有54人、1 8人、36人．（I）求从三个年级的家长委员会中分别应抽的家长人数；（Ⅱ）若从抽得的6人中随机抽取2人进行训查结果的对比，求这2人中至少有一人是高三学生家长的概率．【解答】解：（I）家长委员会总数为54+18+36=108，样本容量与总体中的个体数比为，所以从三个年级的家长委员会中分别应抽的家长人数为3，1，2．（II）设A1，A2，A3为从高一抽得的3个家长，B1为从高二抽得的1个家长，C1，C2为从高三抽得的2个家长，从抽得的6人中随机抽取2人，全部的可能结果有：C62=15种，这2人中至少有一人是高三学生家长的结果有（A1，C1），（A1，C2），（A2，C1），（A2，C2），（A3，C1），（A3，C2），（B1，C1），（B1，C2），（C1，C2），一共有9种．所以所求的概率为．16．（14分）设集合A={x|x2﹣3x+2=0}，B={x|x2+2（a+1）x+（a2﹣5）=0}．（1）若A∩B={2}，求实数a的值；（2）若A∪B=A，求实数a的取值范围．【解答】解：由x2﹣3x+2=0得x=1或x=2，故集合A={1，2}（1）∵A∩B={2}，∴2∈B，代入B中的方程，得a2+4a+3=0⇒a=﹣1或a=﹣3；当a=﹣1时，B={x|x2﹣4=0}={﹣2，2}，满足条件；当a=﹣3时，B={x|x2﹣4x+4=0}={2}，满足条件；综上，a的值为﹣1或﹣3；（2）对于集合B，△=4（a+1）2﹣4（a2﹣5）=8（a+3）．∵A∪B=A，∴B⊆A，①当△＜0，即a＜﹣3时，B=∅满足条件；②当△=0，即a=﹣3时，B={2}，满足条件；③当△＞0，即a＞﹣3时，B=A={1，2}才能满足条件，则由根与系数的关系得⇒矛盾；综上，a的取值范围是a≤﹣3．17．（15分）已知p：∀x∈R，2x＞m（x2+1），q：∃x0∈R，x02+2x0﹣m﹣1=0，（1）若q是真命题，求m的范围；（2）若p∧（￢q）为真，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）若q：∃x0∈R，x02+2x0﹣m﹣1=0为真，则方程x2+2x﹣m﹣1=0有实根，∴4+4（m+1）≥0，∴m≥﹣2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）2x＞m（x2+1）可化为mx2﹣2x+m＜0．若p：∀x∈R，2x＞m（x2+1）为真．则mx2﹣2x+m＜0对任意的x∈R恒成立．当m=0时，不等式可化为﹣2x＜0，显然不恒成立；当m≠0时，有∴m＜﹣1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）¬q：m＜﹣2又p∧¬q为真，故p、¬q均为真命题．∴∴m＜﹣2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（15分）18．（15分）市场上有一种新型的强力洗衣液，特点是去污速度快．已知每投放a（1≤a≤4，且a∈R）个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x（分钟）变化的函数关系式近似为y=a•f（x），其中f（x）=．若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于4（克/升）时，它才能起到有效去污的作用．（Ⅰ）若只投放一次4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？（Ⅱ）若第一次投放2个单位的洗衣液，6分钟后再投放a个单位的洗衣液，要使接下来的4分钟中能够持续有效去污，试求a的最小值（按四舍五入精确到0.1）．【解答】解：（Ⅰ）因为a=4，所以y=．（1分）则当0≤x≤4时，由，解得x≥0，所以此时0≤x≤4．（3分）当4＜x≤10时，由20﹣2x≥4，解得x≤8，所以此时4＜x≤8．（5分）（6综上，得0≤x≤8，若一次投放4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达8分钟．分）（Ⅱ）当6≤x≤10时，y=2×（5﹣）+a[]=（14﹣x）+﹣a ﹣4﹣a﹣4（10分）当且仅当14﹣x=4时等号取到．（因为1≤a≤4，所以x∈[6，10]能取到）所以y有最小值8﹣a﹣4．（12分）令8﹣a﹣4≥4，解得24﹣16≤a≤4，所以a的最小值为24﹣16≈1.4．（14分）19．（16分）方程x2+（k﹣2）x+2k﹣1=0，（1）一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求实数k的取值范围．（2）两根都在（0，1）之间，求k的范围．（3）在（0，1）之间有一个零点，求k的范围．【解答】解：令f（x）=x2+（k﹣2）x+2k﹣1．（1）一根在0和1之间，另一根在1和2之间，必有：，即⇒，解得：．（2）两根都在（0，1）之间，必有：⇒解得：（3）法一：在（0，1）之间有一个零点：①当f（0）=0时，，代入检验，x=0，，不满足题意．②当f（1）=0，，代入检验，x=1，或，满足题意．③f（0）f（1）＜0，即：（2k﹣1）（3k﹣2）＜0，解得：④，解得：综上所述：或．法二：由方程x2+（k﹣2）x+2k﹣1=0，∴，x∈（0，1）令t=x+2，t∈（2，3），那么：=，令g（t）=，时函数单调递增，时函数单调递减，f（x）只有一个零点，即y=k与y=两个函数图象只有一个交点．∴或．20．（16分）已知函数f（x）=x|x﹣a|+2x．（1）当a=3时，方程f（x）=m的解的个数；（2）对任意x∈[1，2]时，函数f（x）的图象恒在函数g（x）=2x+1图象的下方，求a的取值范围；（3）f（x）在（﹣4，2）上单调递增，求a的范围．【解答】解：（1）当a=3时，，当m=6或时，方程有两个解；当m＜6或时，方程一个解；当时，方程有三个解．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）（2）由题意知f（x）＜g（x）恒成立，即x|x﹣a|＜1在x∈[1，2]上恒成立，即在x∈[1，2]上恒成立，即在x∈[1，2]上恒成立，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）（3）①且，即﹣2≤a≤2时，f（x）在R单调递增，满足题意；②且，即a＜﹣2时，f（x）在（﹣∞，a）和（，+∞）单调递增，∵f（x）在（﹣4，2）上单调递增，∴a≥2或﹣4，∴a≤﹣6；③且，即a＜﹣2且a＞2时，不存在满足条件的a值；④且，即a＞2时，f（x）在（﹣∞，）和（a，+∞）上单调递增，∵f（x）在（﹣4，2）上单调递增，∴或a≤﹣4，∴a＞2综上：a≤﹣6或a≥﹣2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（16分）。