2020版高考数学江苏专版(理科)一轮复习学案第一章第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词含解析

简易逻辑考纲导读1．理解逻辑联络词“或” 、“且”、“非”的含义；理解四种命题及其相互关系；掌握充足条件、必需条件及充要条件的意义．2．学会运用数形联合、分类议论的思想方法剖析和解决相关会合问题，形成优秀的思想品质；学会判断和推理，解决简略逻辑问题，培育逻辑思想能力．知识网络逻辑联结词命题高考导航简单命题与复合命题1 ．简四种命题及其关系易逻辑是一个新增简略逻辑性据其内容的特色，内容，在高充足必需条件考取应一般在选择题、填空题中出现，假如在解答题中出现，则只会是中低档题．2．会合、简略逻辑知识，作为一种数学工具，在函数、方程、不等式、摆列组合及曲线与方程等方面都有宽泛的运用，高考题中常以上边内容为载体，以会合的语言为表现形式，联合简略逻辑知识考察学生的数学思想、数学方法和数学能力，题型常以解答题的形式出现．第 1 课时逻辑联络词和四种命题基础过关一、逻辑联络词1．能够的语句叫做命题．命题由两部分组成；命题有之分；数学中的定义、公义、定理等都是命题．2．逻辑联络词有，不含的命题是简单命题．由的命题是复合命题．复合命题的组成形式有三种：，( 其中，q 都是简单命题 ) ．p3．判断复合命题的真假的方法—真值表：“非p”形式的复合命题真假与p 的当 p 与 q 都真时， p 且 q 形式的复合命题，其余情况；当 p 与 q 都时，“ p 或 q”复合形式的命题为假，其余情况．二、四种命题1．四种命题：原命题：若p 则 q；抗命题：、否命题：逆否命题：.2．四种命题的关系：原命题为真，它的抗命题、否命题、逆否命题．原命题与它的逆否命题同、否命题与抗命题同．3．反证法：欲证“若p 则 q”为真命题，从否认其出发，经过正确的逻辑推理导出矛盾，进而判断原命题为真，这样的方法称为反证法．典型例题）例 1. 以下各组命题中，知足“ p 或 q”为真，“ p 且 q”为假，“非 p”为真的是（A ． p :0 ＝ ； q :0 ∈B ． p ：在 ABC 中，若 cos2A ＝ cos2B ，则 A ＝ B ； q : y ＝ sin x 在第一象限是增函数 C ． p : a b 2ab (a,b R) ； q : 不等式 xx 的解集为 ,0D ． p ：圆 x 1 2 ( y 2)21的面积被直线 x 1 均分； q ：椭圆 x2y 2 1 的一条准线方程是x4 3＝ 4解： 由已知条件，知命题 p 假且命题 q 真 . 选项 (A) 中命题 p 、 q 均假，清除；选项 (B) 中，命题 p 真而命题 q 假，清除；选项 (D) 中，命题 p 和命题 q 都为真，清除；应选 (C) ．变式训练1：假如命题“ p 或 q ”是真命题，“ p 且 q ”是假命题 . 那么（ ）A ．命题 p 和命题 q 都是假命题B ．命题 p 和命题 q 都是真命题C ．命题 p 和命题“非 q ”真值不一样D ．命题 q 和命题 p 的真值不一样 解： D例 2. 分别写出以下命题的抗命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假 :(1) 若 q <1，则方程 x 2＋ 2x ＋q ＝ 0 有实根； (2) 若 ab ＝ 0，则 a ＝ 0 或 b ＝ 0； (3) 若 x 2＋y 2＝ 0，则 x 、 y 全为零 .解： (1) 抗命题：若方程 x 2＋ 2x ＋q ＝ 0 有实根，则 q ＜ 1，为假命题．否命题：若 q ≥ 1，则 方程 x 2＋ 2 ＋ q ＝ 0 无实根，为假命题．逆否命题：若方程x 2＋ 2 ＋ ＝ 0 无实根，则 q ≥1， x x q为真命题．(2) 抗命题：若 a ＝0 或 b ＝ 0，则 ab ＝0，为真命题． 否命题：若 ab ≠ 0，则 a ≠0 且 b ≠ 0，为真命题． 逆否命题：若 a ≠ 0 且 b ≠ 0，则 ab ≠0，为真命题． (3) 抗命题：若 x 、y 全为零，则 x 2＋ y 2＝ 0，为真命题． 否命题：若 x 2＋ y 2≠ 0，则 x 、 y 不全为零，为真命题． 逆否命题：若 x 、 y 不全为零，则 x 2＋y 2≠0，为真命题．变式训练 2：写出以下命题的否命题，并判断原命题及否命题的真假：（ 1）假如一个三角形的三条边都相等，那么这个三角形的三个角都相等； （ 2）矩形的对角线相互均分且相等；（ 3）相像三角形必定是全等三角形.解：（ 1）否命题是： “假如一个三角形的三条边不都相等，那么这个三角形的三个角也不都相等” .原命题为真命题，否命题也为真命题 .（ 2）否命题是： “假如四边形不是矩形，那么对角线不相互均分或不相等”原命题是真命题，否命题是假命题.（ 3）否命题是： “不相像的三角形必定不是全等三角形”.原命题是假命题，否命题是真命题.例 3. 已知 p ： x 2 mx1 0有两个不等的负根，q ： 4 x 2 4( m 2)x 1 0 无实根．若 p 或 q 为真， p 且 q 为假，求 m 的取值范围．剖析： 由 p 或 q 为真，知 、 必有其一为真， 由p 且 q 为假，知 、 必有一个为假， 所以，p q p q“ p 假且 q 真”或“ p 真且 q 假” . 可先求出命题 p 及命题 q 为真的条件，再分类议论．解： p ： x 2 mx1 0有两个不等的负根．1 m24m 0m 2q ： 4x 2 4(m 2) x 10 无实根．2 16(m 2)216 0 1m 3 由于 p 或 q 为真， p 且 q 为假，所以 p 与 q 的真值相反．( ⅰ) 当 p 真且 q 假时，有m2m 3 ；m 1或 m 3( ⅱ ) 当 p 假且 q 真时，有m22 ．1 m 1 m3综合，得 m 的取值范围是 { m1 m 2 或 m 3 } ．变式训练 3：已知 a>0, 设命题 p: 函数 y=a x在 R 上单一递减， q ：不等式 x+|x-2a|>1 的解集为 R, 若 p 和 q 中有且只有一个命题为真命题，求 a 的取值范围 .解 ：由函数 y=a x 在 R 上单一递减知 0<a<1，所以命题 p 为真命题时 a 的取值范围是 0<a<1, 令 y=x+|x-2a|,则 y=2x2a （x2a),不等式 x+|x-2a|>1 的解集为 R ，只需 y min >1 即可，而函数 y 在 R 上2a ( x 2a).的最小值为 2a ，所以 2a>1，即 a> 1. 即 q 真a> 1 . 若 p 真 q 假, 则 0<a ≤ 1; 若 p 假 q 真，222则 a ≥ 1, 所以命题 p 和 q 有且只有一个命题正确时a 的取值范围是 0<a ≤ 1或 a ≥ 1.2例 4. 若 a ， b ，c 均为实数，且 a ＝ x 2－ 2y ＋，b ＝ y 2－2z ＋ ，c ＝ z 2－ 2x ＋ ．求证： a 、236b 、c 中起码有一个大于 0．证明： 假定 a, b, c 都不大于 0，即 a 0, b 0, c 0 ，则 a b c 0而 a b c x 2 2 yy 22z z22x23 6 ＝ (x 1)2( y 1)2 ( z 1) 2 3( x 1)2( y 1)2(z 1)2 0 ，3 0 ．a b c 0这与a b c 0 相矛盾．所以 a, b, c 中起码有一个大于 0．变式训练 4：已知以下三个方程：① x 2＋ 4ax － 4a ＋3＝ 0，② x 2＋( a － 1) x ＋a 2＝ 0，③ x 2＋ 2ax－ 2a ＝ 0 中起码有一个方程有实根，务实数a 的取值范围 .解： 设已知的三个方程都没有实根．1(4a) 2 4(4a 3) 0 则 2 (a 1)2 4a 2 03(2a) 2 8a 0 解得31 ．a2故所求 a 的取值范围是a≥－1或 a≤－3．2小结概括1．相关“p或q”与“p且q”形式的复合命题语句中，字面上未出现“或”与“且”字，此时应从语句的陈说中搞清含义进而分清是“p 或 q”仍是“ p 且 q”形式．2．当一个命题直接证明出现困难时，往常采纳间接证明法，反证法就是一种间接证法．3．反证法的第一步为否认结论，需要掌握常用词语的否认（如“起码”等），并且推理过程中，必定要把否认的结论当条件用，进而推出矛盾．用反证法证明命题的一般步骤为：（ 1）假定命题的结论不建立，即假定命题结论的反面建立；（ 2）从这个假定出发，经过正确的推理论证得出矛盾；（3）由矛盾判断假定不正确，进而必定所证命题正确．第 2 课时充要条件基础过关1．充足条件：假如p q 则p叫做q的条件， q 叫做 p 的条件．2．必需条件：假如q p 则p叫做q的条件， q 叫做 p 的条件．3．充要条件：假如p q 且 q p 则p叫做q的条件．典型例题A 是B 的什么条件，并说明原因．例1．在以下各题中，判断1． A ：p 2, p R ，B：方程 x 2 px p 3 0 有实根；2． A ：2k , (k Z ) ，B： sin( ) sin sin ；3． A：2x 3 1 ；B：x2 1 0 ；x 64． A：圆x2 y 2 r 2与直线 ax by c 0 相切， B：c2 ( a2 b2 )r 2 .剖析：要判断 A 是 B 的什么条件，只需判断由 A 可否推出 B 和由 B 可否推出 A 即可．解： (1) 当 p 2 ，取 p 4 ，则方程x2 4x 7 0 无实根；若方程x2 px p 3 0 有实根，则由0 推出 p2 4( p 3) 0 p 2或 p 6，由此可推出p 2 ．所以A是B的必需非充足条件．(2) 若2k 则 sin sin sin sin(2k ) sin sin 0, 又 sin( ) sin 2k 0所以 sin( ) sin sin 建立若 sin( ) sin sin 建立取0, ，知2k 不必定建立，故 A 是 B 的充足不用要条件．(3) 由 2 x 3 1 x 1或x 2 ，由 1 0 解得 x 3或x 2 ，所以 A 推不出 B，但 B 能够x2 x 6推出 A，故 A 是 B 的必需非充足条件．(4) 直线 ax by c 0 与圆x2 y2 r 2 相切圆 (0 ， 0) 到直线的距离 dc＝r ，即a 2 b2r c2＝ (a2 b2 ) r 2.所以A是B的充要条件.变式训练 1：指出以下命题中， p 是 q 的什么条件（在“充足不用要条件” 、“必需不充足条件”、“充要条件” 、“既不充足也不用要条件”中选出一种作答） .（ 1）在△ ABC 中， p ：∠ A=∠ B ， q ： sinA=sinB ； （ 2）对于实数 x 、y ， p ： x+y ≠ 8,q:x ≠ 2 或 y ≠ 6; （ 3）非空会合 A 、B 中， p ： x ∈ A ∪ B ， q ： x ∈ B ；（ 4）已知 x 、 y ∈ R ， p ：（ x-1 ） 2+（ y-2 ） 2=0， q ：（x-1 ）（ y-2 ） =0.解： （ 1）在△ ABC 中，∠ A=∠ B sinA=sinB ，反之，若 sinA=sinB ，由于 A 与 B 不行能互补（由于三角形三个内角和为 180° ), 所以只有 A=B. 故 p 是 q 的充要条件 . (2) 易知 :p:x+y=8,q:x=2 且 y=6, 明显qp. 但pq, 即q 是 p 的充足不用要条件 , 依据原命题和逆否命题的等价性知 ,p 是 q 的充足不用要条件.(3) 明显 x ∈ A ∪ B 不必定有 x ∈B, 但 x ∈B 必定有 x ∈ A ∪ B, 所以 p 是 q 的必需不充足条件 .(4) 条件 p:x=1 且 y=2, 条件 q:x=1 或 y=2, 所以 pq 但 qp, 故 p 是 q 的充足不用要条件.例 2. 已知 p ：－ 2＜ m ＜0，0＜ n ＜1；q ：对于 x 的方程 x 2＋mx ＋ n ＝0 有两个小于 1 的正根，试剖析 p 是 q 的什么条件 .解： 若方程 x 2＋ mx ＋ n ＝0 有两个小于 1 的正根，设为 x 1、 x 2． 则 0＜ x 1＜ 1、 0＜ x 2＜ 1，∵ x 1＋ x 2＝－ m ， x 1x 2＝ n∴ 0＜－ m ＜2， 0＜ n ＜ 1 ∴－ 2＜ m ＜ 0， 0＜ n ＜1∴ p 是 q 的必需条件．又若－ 2＜m ＜ 0， 0＜n ＜ 1，不如设 m ＝－ 1， n ＝ 1．2则方程为 x 2－ x ＋1＝ 0，∵△＝ ( － 1) 2－ 4× 1＝－ 1＜ 0． ∴方程无实根 ∴p 是 q 的非充22 分条件．综上所述， p 是 q 的必需非充足条件．变式训练 2：证明一元二次方程 ax 2+bx+c=0 有一正根和一负根的充要条件是 ac<0.证明 ：充足性：若2ac<0, 则 b -4ac>0, 且 c<0,a ∴方程 ax 2+bx+c=0 有两个相异实根，且两根异号，即方程有一正根和一负根.2 2x = c <0, ∴ ac<0.必需性： 若一元二次方程 ax +bx+c=0 有一正根和一负根， 则 =b -4ac>0,x1 2a综上所述，一元二次方程ax 2+bx+c=0 有一正根和一负根的充要条件是 ac<0.例 3. 已知 p ： |1 －x1| ≤ 2， q ：: x － 2x +1－ m ≤ 0( m >0) ，若 p 是 q 的必需而不充足条223 件，务实数 m 的取值范围 .解： 由题意知：命题：若┒ p 是┑ q 的必需而不充足条件的等价命题即逆否命题为：p 是 q的充足不用要条件 .p : |1 －x 1| ≤ 2－ 2≤x 1－ 1≤2 －1≤x 1≤ 3 － 2≤ x ≤ 1033322［ x － (1 － m ) ］［ x － (1+ m ) ］≤ 0*q : x － 2x +1－ m ≤ 0 ∵ p 是 q 的充足不用要条件，∴不等式 |1 － x 1 | ≤ 2 的解集是 x － 2x ＋1－ m ≤ 0( m >0) 解集的子集 .223又∵ m >0，∴不等式 * 的解集为 1－ m ≤ x ≤ 1＋ m∴ 1 m2 m 3，∴ m≥9，1 m 10 m 9∴实数 m的取值范围是［9，+∞ )变式训练3：已知会合 M { x || x 1| | x 3| 8} 和会合P { x | x2 (a 8) x 8a 0} ，求a的一个取值范围，使它成为M P { x | 5 x 8} 的一个必需不充足条件.解： M { x | x 3或x 5} ， P { x | ( x a)( x 8) 0}由 M P {x |5 x 8} 时, 5 a 3,此时有 a 3,但 a 3 M P { x | 5 x 8}所以 a 3是M P { x |5 x 8} 是必需但不充足条件. 说明：本题答案不独一 .例 4. “函数y＝( a2＋ 4a－5) x2－ 4( a－ 1) x＋ 3 的图象全在x轴的上方”，这个结论建立的充足必需条件是什么？解：函数的图象全在 x 轴上方，若 f ( x) 是一次函数，则a 2 4a 5 01 4(a 1) 0a若函数是二次函数，则：a 2 4a 5 01 a 19224(a 1) 12(a 4a 5) 0反之若 | a 19 ，由以上推导，函数的图象在x 轴上方，综上，充要条件是| a 19 ．变式训练4：已知 P＝ {x | |x － 1| | >2} ， S＝ {x | x2 ＋( a 1) x a 0 ，且x P的充要条件是x S，务实数a的取值范围．剖析：x P的充要条件是x S，即任取xP x SP S，反过来，任取x S x PS P S P据此可求得 a 的值．解：x P的充要条件是x SP S.∵ P＝{x || x －1| ＞ 2}} ＝ ( , 1) (3, )S＝ {x | x2 ＋ (a ＋ 1)x ＋ a＞ 0)} ＝ {x | (x ＋ a)(x ＋ 1) ＞ 0}a 3.概括小结1．办理充足、必需条件问题时，第一要分清条件与结论，而后才能进行推理和判断．不单要深刻理解充足、必需条件的观点，并且要熟知问题中所波及到的知识点和相关观点．2．确立条件为不充足或不用要的条件时，常用结构反例的方法来说明．3．等价变换是判断充足、必需条件的重要手段之一，特别是对于否认的命题，常经过它的等价命题，即逆否命题来考察条件与结论间的充足、必需关系．4．对于充要条件的证明题，既要证明充足性，又要证明必需性，从命题角度出发，证原命题为真，抗命题也为真；求结论建立的充要条件能够从结论等价变形（换）而获得，也能够从结论推导必需条件，再说明拥有充足性．5．对一个命题而言，使结论建立的充足条件可能不只一个，必需条件也可能不只一个．简略逻辑章节测试题一、选择题1．设会合M { x x 2},P { x x 3}, 那么 " xM 或x P" 是 " x M I P" 的（ ）A ．充足不用要条件B ．必需不充足条件C ．充要条件D ．既不充足又不用要条件2. 已知 p 是 r 的充足不用要条件， s 是 r 的必需条件， q 是 s 的必需条件， 那么 p 是 q 的（）A. 充足不用要条件B. 必需不充足条件C. 充要条件D.既不充足也不用要条件3. （2020 ·合肥模拟）已知条件 p ：（ x+1）2 >4，条件 q:x>a, 且 p 是 q 的充足而不用要条件， 则 a 的取值范围是≥ 1≤ 1≥ -3≤ -3（）4. “ a=2”是“直线 ax+2y=0 平行于直线 x+y=1”的 ( )A. 充足而不用要条件B. 必需而不充足条件C. 充足必需条件D. 既不充足也不用要条件5. 设会合 M={x|x>2} ， P={x|x<3},那么“ x ∈ M 或 x ∈ P ”是“ x ∈ M ∩ P ”的（ ）A. 充足不用要条件B.必需不充足条件C. 充要条件D.既不充足也不用要条件6. 在以下电路图中，表示开关A 闭合是灯泡B 亮的必需但不充足条件的线路图是 （ ）7.(2020 ·浙江理， 3) 已知 a,b 都是实数，那么“ 2 2（ ）a >b ”是“ a>b ”的 A. 充足而不用要条件 B.必需而不充足条件 C. 充足必需条件D.既不充足也不用要条件8. （ 2020·北京海淀模拟）若会合 2，会合 B={2 ， 4} ，则“ m=2”是“ A ∩ B={4} ”A={1 ， m} 的 （ ）A. 充足不用要条件B.必需不充足条件C. 充足必需条件D.既不充足也不用要条件29. 若数列 {a n } 知足 an21=p （ p 为正常数， n ∈ N * ），则称 {a n } 为“等方比数列” .a n甲：数列 {a n } 是等方比数列； 乙：数列 {a n } 是等比数列，则 (）A. 甲是乙的充足条件但不是必需条件B. 甲是乙的必需条件但不是充足条件C. 甲是乙的充要条件D. 甲既不是乙的充足条件也不是乙的必需条件 10. 命题 p: 若 a 、 b R, 则 |a|+|b|>1 是 |a+b|>1 的充足而不用要条件y=|x 1| 2的定义域是， 13，. 命题，q: 函数则（）A．“ p 或 q”为假 B ．“ p 且 q”为真C． p 真 q 假 D ． p 假 q 真二、填空题11．已知数列{a}，那么“对随意的n∈N*，点P (n, a ) 都在直线y 2x 1 上”是“ { a } 为等n nn n差数列”的条件．12. 设会合 A={5,log 2（ a+3）} ，会合 B={a， b} ，若 A∩ B={2} ，则 A∪ B=.13. 已知条件 p： |x+1|>2, 条件 q:5x-6>x 2，则非 p 是非 q 的条件 .14. 不等式 |x|<a 的一个充足条件为0<x<1, 则 a 的取值范围为.15. 已知以下四个命题：① a 是正数；② b 是负数；③ a+b 是负数；④ ab 是非正数 .选择其中两个作为题设，一个作为结论，写出一个逆否命题是真命题的复合命题.三、解答题16．设命题 p：（ 4x-3 ）2≤1; 命题 q:x 2-(2a+1)x+a(a+1) ≤ 0, 若 p 是 q 的必需不充足条件，务实数 a 的取值范围 .17．求对于x 的方程 ax2-(a 2+a+1)x+a+1=0 起码有一个正根的充要条件.18．设 p：实数 x 知足 x2-4ax+3a 2<0, 此中 a<0； q：实数 x 知足 x2-x-6 ≤0，或 x2+2x-8 ＞ 0，且 p 是 q 的必需不充足条件，求a的取值范围.19． (1) 能否存在实数p, 使“ 4x+p<0”是“ x2-x-2>0 ”的充足条件？假如存在，求出p 的取值范围；（ 2）能否存在实数 p，使“ 4x+p<0 ”是“ x2 -x-2>0 ”的必需条件？假如存在，求出 p 的取值范围 .20．已知c 0，设p :函数y c x在R上单一递减， q ：不等式 x | x 2c | 1 的解集为R，假如 p 和 q 有且仅有一个正确，求 c 的取值范围．简略逻辑章节测试题答案1． B7.10. D11．充足而不用要条件 12.{1 ， 2，5} 13. 充足不用要 14.a ≥ 115. 若①③则②（或若①②则④或若①③则④）16．解设 A={x|(4x-3)2≤ 1},B={x|x 2-(2a+1)x+a(a+1) ≤ 0},易知 A={x|1≤ x ≤ 1},B={x|a ≤ x ≤ a+1}.2由 p 是q 的必需不充足条件，进而p 是 q 的充足不用要条件，即A B ，∴a12 ,a 1 1故所务实数 a 的取值范围是［0， 1］ .217．解方法一 若 a=0，则方程变成 -x+1=0,x=1知足条件，若 a ≠ 0，则方程起码有一个正根等价于a 1a 1 00 或 a 2a 1aaa 2 a 1a或a1-1<a<0 或 a>0.a(a 2 a 1)2 4a( a 1) 0综上：方程起码有一正根的充要条件是 a>-1.方法二若 a=0，则方程即为 -x+1=0,∴ x=1 知足条件；22222若 a ≠ 0，∵Δ =(a +a+1) -4a(a+1)=(a +a) +2(a +a)+1-4a(a+1)2222=(a +a) -2a(a+1)+1=(a+a-1) ≥ 0，∴方程必定有两个实根.a 2 a 1a故而当方程没有正根时，应有a , 解得 a ≤ -1,1 0a∴起码有一正根时应知足 a>-1 且 a ≠0, 综上：方程有一正根的充要条件是 a>-1.18．解 设 A={x|p}={x|x 2-4ax+3a 2<0,a<0}={x|3a<x<a,a<0},B={x|q}={x|x2-x-6 ≤ 0 或 x 2+2x-8>0}={x|x 2-x-6 ≤ 0} ∪ {x|x2+2x-8>0}={x|-2 ≤ x ≤ 3} ∪ {x|x<-4 或 x>2}= x | x 4或x 2 .方法一 ∵ p 是 q 的必需不充足条件 , ∴qp,且 p q .则x | q x | p . 而x| qB=x | 4 x2 , x | p= A=x | x 3a 或x a, a 0 ,RR∴ x | 4 x2 x | x 3a 或 x a, a 0 ,则 3a0, 2,或 a 4,综上可得 - 2 a或a4.aa 0.3方法二 由 p 是 q 的必需不充足条件， ∴ p 是 q 的充足不用要条件，∴ A B ，∴ a ≤ -4 或 3a ≥ -2, 又∵ a<0, ∴ a ≤ -4 或- 2≤ a<0.319．解（ 1）当 x>2 或 x<-1 时， x 2-x-2>0,由 4x+p<0, 得 x<-p, 故 - p≤ -1 时，44“ x<- p ”“x<-1 ”“ x 2-x-2>0 ” . ∴p ≥ 4 时，“ 4x+p<0”是“ x 2-x-2>0 ”的充足条件 .4（ 2）不存在实数 p 知足题设要求 .20．解：函数 y c x在 R 上单一递减0 c 1不等式 x | x 2c | | 的解集为 R函数y x | x 2c | ，在 R 上恒大于 1 x | x 2c |2 x 2c, x 2c2c, x 2c函数 y x | x 2c | 在 R 上的最小值为 2c不等式 x | x 2c | 1 的解集为 R2c 1c1，假如 p 正确，且 q 不正确2则 0 c1，假如 p 不正确，且 q 正确，则 c1，所以 c 的取值范围为 0,11,．22。

1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词挖命题【考情探究】分析解读江苏高考近五年没有考查本节内容但对含逻辑联结词命题真假的判断含有一个量词的命题的否定需要掌握，题目会与集合、不等式、函数等相结合考查，体现知识的交汇性，考查学生的素养破考点【考点集训】考点一简单的逻辑联结词1. (2014湖南改编,5,5分)已知命题p:若x>y,则-x<-y;命题q:若x>y,则x2>y2.在命题①______________________________________________ p /q;②p W;③p /(?q);④(?p) W中，真命题是.(填序号)答案②③2. 设命题p:若a>b, _则-<-；命题q: —<0? ab<0.给出下面四个复合命题：①pV q;②p/q;③(?p)/?q)；④(?p)(?q).其中真命题有___________ 个.答案2考点二全称量词与存在量词1. (2018江苏常州教育学会学生学业水平监测)命题“？q o,1],x 2-1为堤___________ 命题(选填真”或假”.答案真2. 下列命题中的假命题是________ .①？x 6(0,+ g),lg x=0;②？x€R,tan x=1;③?x ^R,x2>0;④？x€R,2x>0.答案③3. 已知命题p: ?X o€R,sin x o=—;命题q: ?x取,x2+x+1>0,则命题“Aq"为命题.（填真或假）答案假4. 已知命题p: ?x取,x+_邃命题q： ?x o q0,+ a）, > ,则下列命题：①（?p）A;②pA?q）; ③（?p A?q）; ④p q,其中真命题是 __________ （填序号）.答案①5. （2019届江苏海安中学检测）若命题“？q i,2],x 2-4ax+3a 2切”是真命题，则实数a的取值范围是答案 -6. （2018江苏南通中学高三检测）命题“？q0,+ a）,ln x=x-1 ”的否定是答案？x q0,+ a ）,in x^x-17. 命题p: “？駅,sin x <1 "的否定是答案？x駅,sin x>1炼技法【方法集训】方法一含有逻辑联结词的命题的真假性的判断策略1. 已知命题p:若函数f（x）=x 2+|x-a|是偶函数，则a=0;命题q: ?m q0,+ a）,关于x的方程mx-2x+1=0有解.在①p W；②p/q；③（?p）Aq;④（?p）U?q）中为真命题的是_____ .答案①④2. 命题p:函数f（x）=lg x+1 有零点；命题q:存在a、B ,使sin（a - B ）=sin a -sin p ,在p V q,p A q,?p,?q 中真命题有________ 个.答案 2方法二根据命题的真假求参数取值（范围）的策略1. ________________________________________________________________________ 若命题“*0駅，+（a-1）x 0+1<0”是真命题，则实数a的取值范围是__________________________________________ .答案(-a,-1) L(3,+ a)2. 已知命题p: ?xo€R,m +1O,命题q: ?x取,x2+mx+1>0.若pg为假命题，则实数m的取值范围为________ .答案ms2过专题【五年高考】统一命题、省（区、市）卷题组考点一简单的逻辑联结词1. （2017山东理改编,3,5分）已知命题p: ?x>0,ln（x+1）>0;命题q:若a>b,则a2>b2.下列命题为真命题的是________ .①p /q ②p A?q ③？p 0④？p A?q答案②2. （2017山东文改编,5,5分）已知命题p: ?x €R,x2-x+1丸;命题q:若a2<b2,则a<b.下列命题为真命题的是________ .①p 0 ②p 0?q ③？p 0④？p 0?q答案②3. （2014重庆理改编,6,5分）已知命题p:对任意x駅，总有|x|丸;q:x=1是方程x+2=0的根.则下列命题为真命题的是_________ .①p /?q）②（?p）0③（?p）/?q）④P 0答案①考点二全称量词与存在量词1. （2015课标全国I改编,3,5分）设命题p: ?n讯,n2>2：则?p为2 n答案？n6N,n电2. （2016浙江理改编,4,5分）命题“*g R,?n昭,使得n泳2”的否定形式是 _________________________ .* 2答案?x9R,?n讯，使得n<x3. （2014天津改编,3,5分）已知命题p: ?x>0,总有（x+1）e x>1,则?p为_________________ .答案？x o>O,使得(x o+1) <124. （2014安徽改编,2,5分）命题“？€R,|x|+x 的否定是_____________ .答案？X。

____第3课__逻辑联结词与量词____1. 能正确对含有一个量词的命题进行否定．2. 能正确判断用“或”“且”“非”联结的命题的真假.1. 阅读：阅读选修21第10～18页．2. 解悟：①含有一个量词的命题的否定分别是什么？②由简单逻辑联结词构成的命题的真假怎么判断？3. 践习：在教材空白处，完成第15页练习第2题；第18页习题第4题.基础诊断2. 命题“∃∈R ，2>0”的否定是__∀∈R ，2≤0__．3. 下列四个命题：①3≤π；②1≥1；③π≤e ；④2<3或3<2.其中假命题有__1__个． 解析：①②④正确，③错误．4. 已知命题“∃∈[1，2]，2＋2＋a ≥0”为真命题，则实数a 的取值范围是__[－8，＋∞)__． 解析：原命题的否定为∀∈[1，2]，2＋2＋a<0.因为y ＝2＋2在区间[1，2]上单调递增，所以2＋2≤8<－a ，所以a<－8.根据含有逻辑联结词的命题的真假判断，可知原命题中a 的取值范围是a<－8的补集，即a ≥－8，故a 的取值范围是[－8，＋∞)．范例导航考向❶ 以函数的单调性和值域为背景，求命题的真假所对应参数的取值范围例1 设命题p ：函数f()＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －32x是R 上的减函数；命题q ：函数g ()＝2－4＋3在区间[0，a ]上的值域为[－1，3]．若“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，求实数a 的取值范围．解析：因为“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，所以命题p ，q 中有且仅有一个命题为真命题．若命题p 为真，则0<a －32<1，所以32<a <52；若命题q 为真，则g ()＝2－4＋3＝(－2)2－1在[0，a ]上的值域为[－1，3]，故⎩⎨⎧a ≥2，a 2－4a ＋3≤3，解得2≤a ≤4. ①若p 真q 假，则⎩⎨⎧32<a <52，a <2或a >4，所以32<a <2；②若p 假q 真，则⎩⎨⎧2≤a ≤4，a ≤32或a ≥52，所以52≤a ≤4.综上所述，实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，4.已知a >0，设命题p ：函数y ＝a 在R 上单调递增；命题q ：不等式a 2－a ＋1>0对∀∈R 恒成立．若“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，求实数a 的取值范围．解析：因为函数y ＝a 在R 上单调递增， 所以命题p ：a >1.因为不等式a 2－a ＋1>0对∀∈R 恒成立， 所以a >0且a 2－4a <0，解得0<a <4， 所以命题q ：0<a <4.因为“p 且q ”为假，“p 或q ”为真， 所以p ，q 中必是一真一假．若p 真q 假，则⎩⎨⎧a >1，a ≥4，解得a ≥4；若p 假q 真，则⎩⎨⎧0<a ≤1，0<a <4，解得0<a ≤1.综上所述，a 的取值范围为(0，1]∪[4，＋∞).考向❷ 以函数的能成立和恒成立为背景，求命题的真假所对应参数的取值范围例2 已知命题p ：∃∈R ，|sin|>a 有解；命题q ：∀∈R ，a 2＋2a ＋4>0恒成立．若命题“p 或q ”是真命题，命题“p 且q ”是假命题，求实数a 的取值范围．解析：命题p ：∃∈R ，|sin|>a 有解，则a <1；由命题q 得，a ＝0或⎩⎨⎧a >0，Δ<0，解得0<a <4，所以命题q ：0≤a <4.因为命题“p 或q ”是真命题，命题“p 且q ”是假命题，所以命题p ，q 中有且仅有一个真命题．若p 真q 假，则⎩⎨⎧a <1，a ≥4或a <0，解得a <0；若p 假q 真，则⎩⎨⎧a ≥1，0≤a <4，解得1≤a <4.综上所述，实数a 的取值范围是(－∞，0)∪[1，4)．已知m ∈R ，设命题p ：∀∈[－1，1]，2－2－4m 2＋8m －2≥0恒成立；命题q ：∃∈[1，2]，log 12(2－m ＋1)<－1成立，如果“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，求实数m 的取值范围．解析：若p 为真，则∀∈[－1, 1]，4m 2－8m ≤2－2－2恒成立． 设f ()＝2－2－2，配方得f ()＝(－1)2－3， 所以f ()在区间[－1，1]上的最小值为－3， 所以4m 2－8m ≤－3，解得12≤m ≤32，所以当p 为真时，12≤m ≤32；若q 为真，则∃∈[1，2], 2－m ＋1>2成立，所以∃∈[1，2]，m <x 2－1x 成立．设g ()＝x 2－1x ＝－1x，易知g ()在区间[1，2]上是增函数， 所以g ()的最大值为g (2)＝32，所以m <32，所以当q 为真时，m <32.因为“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题， 所以p 与q 必是一真一假，当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧12≤m ≤32，m ≥32，所以m ＝32；当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧m <12或m >32，m <32，所以m <12.综上所述，m 的取值范围是{m |m <12或m ＝32}.考向❸ 以圆锥曲线为背景，求命题的真假所对应参数的取值范围例3 已知为实常数，命题p ：方程x 22k －1＋y 2k －1＝1表示椭圆；命题q ：方程x 24＋y 2k －3＝1表示双曲线.(1) 若命题p 为真命题，求的取值范围；(2) 若命题“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求的取值范围．解析：(1) 若命题p 为真命题，则⎩⎨⎧2k －1>0，k －1>0，2k －1≠k －1，解得>1，即的取值范围是(1，＋∞)． (2) 若命题q 为真命题，则－3<0，即<3. 因为“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题， 所以p ，q 必是一真一假．当p 真q 假时，⎩⎨⎧k>1，k ≥3， 解得≥3；当p 假q 真时，⎩⎨⎧k ≤1，k<3，解得≤1.综上所述，的取值范围是(－∞，1]∪[3，＋∞)．自测反馈1. 命题“∀>0，＋1>x ”的否定是．2. 若命题“p 且q ”是假命题，“非q ”是假命题，则p 是__假__命题．(填“真”或“假”) 解析：因为“p 且q ”为假命题，则命题p ，q 中必是一真一假．又因为“非q ”是假命题，所以q 为真命题，所以p 为假命题．3. 若命题“∃∈R，2＋2m＋m≤0”是真命题，则实数m的取值范围是__(－∞，0)∪[1，＋∞)__．解析：由题意得Δ＝4m2－4m≥0，解得m≤0或m≥1，故实数m的取值范围是(－∞，0]∪[1，＋∞)．。

第三讲逻辑联结词、全称量词与存在量词知识梳理·双基自测知识点一简单的逻辑联结词(1)用联结词“且”联结命题p和命题q，记作p∧q，(2)用联结词“或”联结命题p和命题q，记作p∨q，(3)对一个命题p的否定记作¬ p，(4)命题p∧q，p∨q，¬ p的真假判断真值表知识点二全称量词与存在量词1．全称量词与全称命题(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题．(3)全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为：∀x∈M，p(x)．2．存在量词与特称命题(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．(2)含有存在量词的命题，叫做特称命题．(3)特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为：∃x0∈M，p(x0)．3．含有一个量词的命题的否定(1)(2)p∨q的否定是(¬p)∧(¬ q)；p∧q的否定是(¬p)∨(¬ q)．重要结论1．逻辑联结词与集合的关系．(1)“或”与集合的“并”密切相关，集合的并集是用“或”来定义的，命题“p∨q”为真有三个含义：只有p成立，只有q成立，p、q同时成立；(2)“且”与集合的“交”密切相关，集合的交集是用“且”来定义的，命题p∧q为真表示p、q同时成立；(3)“非”与集合中的补集相类似．2．常用短语的否定词题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)命题“2023≥2022”是真命题．( √)(2)命题p和¬ p不可能都是真命题．( √)(3)“全等三角形的面积相等”是特称命题．( ×)(4)命题¬(p∧q)是假命题，则命题p，q都是真命题．( √)题组二走进教材2．(选修2－1P23T2改编)下列命题中的假命题是( C )A．∃x0∈R，lg x0＝1 B．∃x0∈R，sin x0＝0C．∀x∈R，x3>0 D．∀x∈R，2x>0[解析]对于C，任意x∈R，x3∈R，故选C．3．(选修2－1P18A1(3)，改编)已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题¬p，¬q，p∨q，p∧q中真命题的个数为( B )A．1 B．2C．3 D．4[解析]命题p是真命题，q是真命题，因此命题¬p，¬q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题，故选B．题组三走向高考4．(2020·课标Ⅱ，5分)设有下列四个命题：p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面．p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．p4：若直线l⊂平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.则下述命题中所有真命题的序号是①③④．①p1∧p4②p1∧p2③(¬ p 2)∨p 3 ④(¬ p 3)∨(¬ p 4)[解析] 对于命题p 1，两两相交且不过同一点的三条直线的交点记为A 、B 、C ，易知A 、B 、C 三点不共线，所以可确定一个平面，记为α，由A ∈α，B∈α，可得直线AB ⊂α，同理，另外两条直线也在平面α内，所以p 1是真命题；对于命题p 2，当三点共线时，过这三点有无数个平面，所以p 2是假命题，从而¬ p 2是真命题； 对于命题p 3，空间两条直线不相交，则这两条直线可能平行，也可能异面，所以p 3是假命题，从而¬ p 3是真命题；对于命题p 4，由直线与平面垂直的性质定理可知，是真命题，从而¬ p 4是假命题．综上所述，p 1∧p 4是真命题，p 1∧p 2是假命题，(¬ p 2)∨p 3是真命题，(¬ p 3)∨(¬ p 4)是真命题，所以答案为①③④.5．(2016·浙江，5分)命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n≥x 2”的否定形式是( D ) A ．∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n<x 2B ．∀x ∈R ，∀x ∈N *，使得n<x 2C ．∃x ∈R ，∃n ∈N *，使得n<x 2D ．∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n<x 2[解析] 根据含有量词的命题的否定的概念可知，选D ．6．(2015·山东，5分)若“∀x ∈[0，π4]，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为1．[解析] 由已知可得m≥tan x (x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4)恒成立．设f(x)＝tan x (x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4)，显然该函数为增函数，故f(x)的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝tan π4＝1，由不等式恒成立可得m≥1，即实数m 的最小值为1.考点突破·互动探究KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU 考点一 含逻辑联结词的命题及其真假判断——自主练透例1 (1)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( A )A ．(¬ p)∨(¬ q)B ．p ∧(¬ q)C ．(¬ p)∧(¬ q)D ．p ∨q(2)(多选)命题p ：若sin x>sin y ，则x>y ；命题q ：x 2＋y 2≥2xy.下列命题为真命题的是( ACD ) A ．p 或q B ．p 且q C ．qD ．¬ p(3)已知命题p ：若平面α⊥平面β，平面γ⊥平面β，则有平面α∥平面γ.命题q ：在空间中，对于三条不同的直线a ，b ，c ，若a⊥b，b⊥c，则a∥c.对以上两个命题，有以下命题：①p ∧q 为真；②p∨q 为假；③p∨q 为真；④(¬ p)∨(¬ q)为假． 其中，正确的是②．(填序号)[解析] (1)命题p 是“甲降落在指定范围”，则¬ p 是“甲没降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则¬ q 是“乙没降落在指定范围”，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括“甲降落在指定范围，乙没降落在指定范围”“甲没降落在指定范围，乙降落在指定范围”“甲没降落在指定范围，乙没降落在指定范围”，所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(¬ p)∨(¬ q)．(2)取x ＝π3，y ＝5π6，可知命题p 是假命题；由(x －y)2≥0恒成立，可知命题q 是真命题，故¬ p 为真命题，p 或q 是真命题，p 且q 是假命题． (3)命题p 是假命题，这是因为α与γ也可能相交；命题q 也是假命题，这两条直线也可能异面，相交．考点二 含有一个量词的命题——多维探究 角度1 全称命题、特称命题的真假例2 (多选题)( 2021·山东济宁期末)下列命题中真命题是( ACD ) A ．∀x ∈R ，2x －1>0 B ．∀x ∈N *，(x －1)2>0 C ．∃x ∈R ，lg x<1D ．∃x ∈R ，tan x ＝2[解析] 根据指数函数的值域知A 是真命题；取x ＝1，计算知(x －1)2＝0，故B 是假命题；取x ＝1，计算知lg x ＝0<1，故C 是真命题；由y ＝tan x 的值域为R.知D 是真命题．故选ACD ．角度2 含一个量词的命题的否定例3 (1)已知命题p ：“∃x 0∈R ，ex 0－x 0－1≤0”，则¬ p 为( C ) A ．∃x 0∈R ，ex 0－x 0－1≥0 B ．∃x 0∈R ，ex 0－x 0－1>0 C ．∀x ∈R ，e x－x －1>0 D ．∀x ∈R ，e x －x －1≥0(2)(2021·陕西部分学校摸底)命题“∀x ∈R ，xx －1≥0”的否定是( D )A ．∃x ∈R ，x 0x 0－1<0B ．∃x ∈R ，0<x 0<1C ．∀x ∈R ，xx －1≤0D ．∃x ∈R ，0<x 0≤1[解析] (1)根据全称命题与特称命题的否定关系，可得¬ p 为“∀x ∈R ，e x－x －1>0”，故选C ． (2)∀x ∈R ，x x －1≥0的否定是∃x 0∈R ，使xx －1不大于等于0，包括小于零和无意义，即∃x 0∈R ，0<x 0<1或x 0＝1，故选D ．名师点拨 MING SHI DIAN BO 全(特)称命题真假的判断方法全称命题特称命题真假 真假真假法一 证明所有对象使命题为真存在一个对象使命题为假存在一个对象使命题为真证明所有对象使命题为假法二否定为假否定为真否定为假否定为真注：当判断原命题的真假有困难时，可通过判断它的逆否命题的真假来实现． 角度3 含参命题中参数的取值范围例 4 已知f(x)＝ln(x 2＋1)，g(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－m ，若对于∀x 1∈[0，3]，∃x 2∈[1，2]，使得f(x 1)≥g(x 2)，则实数m 的取值范围是( A )A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋ ∞B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，14C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞ D ．⎝⎛⎦⎥⎤－∞，13 [解析] 当x∈[0，3]时，f(x)min ＝f(0)＝0，当x∈[1，2]时，g(x)min ＝g(2)＝14－m ，由f(x)min ≥g(x)min 得0≥14－m ，所以m≥14.[引申1]把本例中“∃x 2∈[1，2]”改为：“∀x 2∈[1，2]”，其他条件不变，则实数m 的取值范围是m≥12． [解析] 当x∈[0，3]时，f(x)min ＝f(0)＝0， 当x∈[1，2]时，g(x)max ＝g(1)＝12－m ，由f(x)min ≥g(x)max 得0≥12－m ，所以m≥12.[引申2]把本例中，∀x 1∈[0，3]改为∃x 1∈[0，3]其他条件不变，则实数m 的取值范围是m≥14－ln_10．[解析] 当x∈[0，3]时，f(x)max ＝f(3)＝ln 10， 当x∈[1，2]时，g(x)min ＝g(2)＝14－m ，由f(x)max ≥g(x)min 得ln 10≥14－m ，所以m≥14－ln 10.答案：m≥14－ln 10[引申3]把本例中，∀x 1∈[0，3]，∃x 2∈[1，2]改为∃x 1∈[0，3]，∀x 2∈[1，2]，其他条件不变，则实数m 的取值范围是m ≥12－ln 10． [解析] 当x∈[0，3]时，f(x)max ＝f(3)＝ln 10， 当x∈[1，2]时，g(x)max ＝g(1)＝12－m ，由f(x)max ≥g(x)max ，得ln 10≥12－m ，所以m≥12－ln 10.答案：m≥12－ln 10名师点拨 MING SHI DIAN BO根据复合命题的真假求参数范围的步骤(1)先求出每个简单命题为真命题时参数的取值范围．(2)再根据复合命题的真假确定各个简单命题的真假情况(有时不一定只有一种情况)． (3)最后由(2)的结论求出满足条件的参数取值范围． 〔变式训练1〕(1)(角度1)(多选题)(2020·吉林长春外国语学校高三上期中改编)下列命题中，假命题是( ABD ) A ．∃x 0∈R ，sin 2 x 02＋cos 2 x 02＝12B ．∀x ∈(0，π)，sin x>cos xC ．∀x ∈(0，＋∞)，x 2＋1>x D ．∃x 0∈R ，x 20＋x 0＝－1(2)(角度2)已知命题p ：∃x 0∈R ，log 2(3x 0＋1)≤0，则( B ) A ．p 是假命题；¬ p ：∀x ∈R ，log 2(3x＋1)≤0 B ．p 是假命题；¬ p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)>0 C ．p 是真命题；¬ p：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)≤0 D ．p 是真命题；¬ p：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)>0(3)(角度3)已知命题p ：“∀x ∈[1，2]，x 2－a≥0”，命题q ：“∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0”．若命题“(¬ p)∧q”是真命题，则实数a 的取值范围是( C )A ．(－∞，－2)∪{1}B ．(－∞，－2]∪[1，2]C ．(1，＋∞)D ．[－2，1](4)(角度3)已知函数f(x)＝x 2＋2x ＋a 和g(x)＝2x ＋x ＋1，对∀x 1∈[－1，＋∞)，∃x 2∈R 使g(x 1)＝f(x 2)成立，则实数a 的取值范围是[－1，＋∞)．[解析] (1)对于A ，由同角三角函数的平方关系，我们知道∀x ∈R ，sin 2 x 2＋cos 2 x2＝1，所以A 为假命题；对于B ，取特殊值，当x ＝π4时，sin x ＝cos x ＝22，所以B 为假命题；对于C ，一元二次方程根的判别式Δ＝1－4＝－3<0，所以原方程没有实数根，所以C 为真命题；对于D ，判别式Δ＝1－4＝－3<0，所以D 错误．故选A 、B 、D ．(2)∵3x>0，∴3x＋1>1，则log 2(3x＋1)>0，∴p 是假命题，¬ p：∀x ∈R ，log 2(3x＋1)>0.故选B ． (3)命题p 为真命题时a≤1；命题q ：“∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0”为真命题，即方程x 2＋2ax ＋2－a ＝0有实根，故Δ＝4a 2－4(2－a)≥0，解得a≥1或a≤－2.又(¬ p)∧q 为真命题，即¬ p 真且q 真，所以a>1，即a 的取值范围为(1，＋∞)．故选C ．(4)因为f(x)＝x 2＋2x ＋a ＝(x ＋1)2＋a －1， 所以f(x)∈[a－1，＋∞)．因为g(x)＝2x ＋x ＋1在[－1，＋∞)上单调递增， 所以g(x)∈[－2，＋∞)．由题意得a －1≤－2， 所以a≤－1，故实数a 的取值范围是(－∞，－1]．名师讲坛·素养提升MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG简易逻辑的综合应用例5 (2019·全国卷Ⅱ，5分)在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测． 甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为( A ) A ．甲、乙、丙 B ．乙、甲、丙 C ．丙、乙、甲D ．甲、丙、乙[解析] 依题意，若甲预测正确，则乙、丙均预测错误，此时三人成绩由高到低的次序为甲、乙、丙；若乙预测正确，此时丙预测也正确，这与题意相矛盾；若丙预测正确，则甲预测错误，此时乙预测正确，这与题意相矛盾．综上所述，三人成绩由高到低的次序为甲、乙、丙，选A ．名师点拨 MING SHI DIAN BO在一些逻辑问题中，当字面上并未出现“或”“且”“非”字样时，应从语句的陈述中搞清含义，并根据题目进行逻辑分析，找出各个命题之间的内在联系，从而解决问题．〔变式训练2〕(2017·全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( D )A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩[解析]由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀、1个良好”．乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩．丁看甲的成绩，结合甲的说法，甲为“优秀”时，丁为“良好”；甲为“良好”时，丁为“优秀”，可得丁可以知道自己的成绩．故选D．。

第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词板块一知识梳理·自主学习[必备知识]考点1 全称量词和存在量词1．全称量词有：所有的，任意一个，任给一个，用符号“∀”表示；存在量词有：存在一个，至少有一个，有些，用符号“∃”表示．2．含有全称量词的命题，叫做全称命题．“对M中任意一个x，有p(x)成立” 用符号简记为：∀x∈M，p(x)．3．含有存在量词的命题，叫做特称命题．“存在M中元素x0，使p(x0)成立”用符号简记为：∃x0∈M，p(x0)．考点2 含有一个量词的命题的否定[必会结论]1．命题p∧q，p∨q，綈p的真假判定2．“p ∨q p )∨(綈q )”． 3．“且”“或”“非”三个逻辑联结词，对应着集合中的“交”“并”“补”，所以含有逻辑联结词的问题常常转化为集合问题处理．[考点自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)命题p ∧q 为假命题，则命题p ，q 都是假命题．( ) (2)命题p 和綈p 不可能都是真命题．( )(3)若命题p ，q 至少有一个是真命题，则p ∨q 是真命题．( ) (4)命题綈(p ∧q )是假命题，则命题p ，q 中至少有一个是真命题．( ) 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×2．已知命题p ：∀x >0，总有(x ＋1)e x>1，则綈p 为( ) A ．∃x 0≤0，使得(x 0＋1)e x 0≤1B ．∃x 0>0，使得(x 0＋1)ex 0≤1C ．∀x >0，总有(x ＋1)e x≤1 D ．∀x ≤0，总有(x ＋1)e x≤1 答案 B解析 全称命题的否定是特称命题，选B 项．3．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( ) A ．任意一个有理数，它的平方是有理数 B ．任意一个无理数，它的平方不是有理数 C ．存在一个有理数，它的平方是有理数 D ．存在一个无理数，它的平方不是有理数 答案 B解析 特称命题的否定规律是“改变量词，否定结论”，特称命题的否定是全称命题，选B 项．4．[2018·重庆模拟]已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2x>0；q ：“x >1”是“x >2”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．(綈p )∧(綈q )C ．(綈p )∧qD ．p ∧(綈q )答案 D解析 依题意，命题p 是真命题．由x >2⇒x >1，x >1⇒/x >2，知“x >1”是“x >2”的必要不充分条件，故命题q是假命题，则綈q是真命题，p∧(綈q)是真命题，故选D.5．[课本改编]命题“任意x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )A．a≥4 B．a≤4C．a≥5 D．a≤5答案 C解析命题“任意x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的充要条件是a≥4.故其充分不必要条件是集合[4，＋∞)的真子集，正确选项为C.板块二典例探究·考向突破考向含有逻辑联结词的命题的真假例 1 [2017·山东高考]已知命题p：∃x∈R，x2－x＋1≥0；命题q：若a2<b2，则a<b.下列命题为真命题的是( )A．p∧q B．p∧(綈q)C．(綈p)∧q D．(綈p)∧(綈q)答案 B解析∵一元二次方程x2－x＋1＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×1×1<0，∴x2－x＋1>0恒成立，∴p为真命题，綈p为假命题．∵当a＝－1，b＝－2时，(－1)2<(－2)2，但－1>－2，∴q为假命题，綈q为真命题．根据真值表可知p∧(綈q)为真命题，p∧q，(綈p)∧q，(綈p)∧(綈q)为假命题．故选B.触类旁通“p∨q”“p∧q”“綈p”形式命题真假的判断步骤(1)确定命题的构成形式；(2)判断其中命题p，q的真假；(3)确定“p∧q”“p∨q”“綈p”等形式命题的真假．【变式训练1】在一次驾照考试中，甲、乙两位学员各试驾一次．设命题p是“甲试驾成功”，q是“乙试驾成功”，则命题“至少有一位学员没有试驾成功”可表示为( ) A．(綈p)∨(綈q) B．p∨(綈q)C．(綈p)∧(綈q) D．p∨q答案 A解析命题“至少有一位学员没有试驾成功”包含以下三种情况：“甲、乙均没有试驾成功”“甲试驾成功，乙没有试驾成功”“乙试驾成功，甲没有试驾成功”．故选A.考向全称命题、特称命题命题角度1 全称命题、特称命题的否定例 2 [2016·浙江高考]命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是( ) A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n<x2B ．∀x ∈R ，∀n ∈N *，使得n <x 2C ．∃x 0∈R ，∃n ∈N *，使得n <x 20 D ．∃x 0∈R ，∀n ∈N *，使得n <x 20 答案 D解析 先将条件中的全称量词变为存在量词，存在量词变为全称量词，再否定结论．故选D.命题角度2 全称命题、特称命题真假的判断 例 3 下列命题中为假命题的是( ) A ．∀x ∈R ，e x>0 B ．∀x ∈N ，x 2>0 C ．∃x 0∈R ，ln x 0<1 D ．∃x 0∈N *，sin πx 02＝1答案 B解析 e x>0对∀x ∈R 恒成立，A 为真；当x ＝0时，x 2>0不成立，B 为假；存在0<x 0<e ，使ln x 0<1，C 为真；当x 0＝1时，有sin π2＝1成立，D 为真．选B 项．触类旁通全(特)称命题真假的判断方法(1)全称命题真假的判断方法①要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M 中的每一个元素x ，证明p (x )成立．②要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合M 中的一个特殊值x ＝x 0，使p (x 0)不成立即可．(2)特称命题真假的判断方法要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M 中，找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题．考向利用复合命题的真假求参数范围例 4 已知命题p ：关于x 的不等式a x>1(a >0，a ≠1)的解集是{x |x <0}，命题q ：函数y ＝lg (ax 2－x ＋a )的定义域为R ，如果p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数a 的取值范围．解 由关于x 的不等式a x>1(a >0，a ≠1)的解集是{x |x <0}，知0<a <1； 由函数y ＝lg (ax 2－x ＋a )的定义域为R ， 知不等式ax 2－x ＋a >0的解集为R ， 则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝1－4a 2<0，解得a >12.因为p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，所以p 和q 一真一假，即“p 假q 真”或“p 真q 假”，故⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1，a >12或⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a ≤12，解得a ≥1或0<a ≤12，故实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[1，＋∞)． 本例条件不变，若p ∧q 为真，则a 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 解析 由p ∧q 为真，知p ，q 都为真，∴a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. 触类旁通根据命题真假求参数的方法步骤(1)先根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)； (2)然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围； (3)最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围．【变式训练2】 命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0，若綈p 是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,4]B ．[0,4]C ．(－∞，0]∪[4，＋∞)D ．(－∞，0)∪(4，＋∞)答案 D解析 因为命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0，所以命题綈p ：∃x 0∈R ，ax 20＋ax 0＋1<0，则a <0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a >0，解得a <0或a >4.核心规律1.把握含逻辑联结词的命题的形式，特别是字面上未出现“或”“且”“非”字眼，要结合语句的含义理解．2.含有逻辑联结词的命题真假判断口诀：p ∨q →见真即真，p ∧q →见假即假，p 与綈p →真假相反．3.要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是特称命题，对照否定结构去写，否定的规律是“改量词，否结论”．满分策略1.判断命题的真假要注意：全称命题为真需证明，为假举反例即可；特称命题为真需举一个例子，为假则要证明全称命题为真．2.命题的否定与否命题的区别“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p”，只是否定命题p的结论.板块三启智培优·破译高考题型技法系列2——利用逻辑推理解决实际问题[2017·全国卷Ⅱ]甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( ) A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩解题视点解决此题的关键是弄清实际问题的含义，结合数学的逻辑分析去判断真假．解析由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀、1个良好”．乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩．丁看甲的成绩，结合甲的说法，甲为“优秀”时，丁为“良好”；甲为“良好”时，丁为“优秀”，可得丁可以知道自己的成绩．故选D.答案 D答题启示在一些逻辑问题中，当字面上并未出现“或”“且”“非”字样时，应从语句的陈述中搞清含义，并根据题目进行逻辑分析，找出各个命题之间的内在联系，从而解决问题．跟踪训练a，b，c为三个人，命题A：“如果b的年龄不是最大，那么a的年龄最小”和命题B：“如果c不是年龄最小，那么a的年龄最大”都是真命题，则a，b，c的年龄由小到大依次是________．答案c，a，b解析显然命题A和B的原命题的结论是矛盾的，因此我们应该从它们的逆否命题来看．由命题A可知，当b不是最大时，则a是最小，所以c最大，即c>b>a；而它的逆否命题也为真，即“若a的年龄不是最小，则b的年龄是最大”为真，即b>a>c.同理，由命题B为真可得a>c>b或b>a>c.故由A与B均为真可知b>a>c，所以a，b，c三人的年龄大小顺序是：b最大，a次之，c最小．板块四模拟演练·提能增分[A级基础达标]1．[2018·沈阳模拟]命题“∃x0∈∁R Q，x30∈Q”的否定是( )A ．∃x 0∉∁R Q ，x 30∈Q B ．∃x 0∈∁R Q ，x 30∈Q C ．∀x ∉∁R Q ，x 3∈Q D ．∀x ∈∁R Q ，x 3∉Q答案 D解析 该特称命题的否定为“∀x ∈∁R Q ，x 3∉Q ”．2．[2017·湖北武汉调研]命题“y ＝f (x )(x ∈M )是奇函数”的否定是( ) A ．∃x ∈M ，f (－x )＝－f (x ) B ．∀x ∈M ，f (－x )≠－f (x ) C ．∀x ∈M ，f (－x )＝－f (x ) D ．∃x ∈M ，f (－x )≠－f (x ) 答案 D解析 命题“y ＝f (x )(x ∈M )是奇函数”的否定是∃x ∈M ，f (－x )≠－f (x )，故选D. 3．[2018·安徽六校素质测试]设非空集合P ，Q 满足P ∩Q ＝P ，则( ) A ．∀x ∈Q ，有x ∈P B ．∀x ∉Q ，有x ∉P C ．∃x 0∉Q ，使得x 0∈P D ．∃x 0∈P ，使得x 0∉Q答案 B解析 因为P ∩Q ＝P ，所以P ⊆Q ，所以∀x ∉Q ，有x ∉P ，故选B. 4．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( ) A ．锐角三角形有一个内角是钝角 B ．至少有一个实数x ，使x 2≤0 C ．两个无理数的和必是无理数 D ．存在一个负数x ，1x>2答案 B解析 当x ＝0时，x 2＝0，满足x 2≤0，所以B 既是特称命题又是真命题．5．[2018·湖南模拟]已知命题p ：若x >y ，则－x <－y ；命题q ：若x >y ，则x 2>y 2.在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(綈q )；④(綈p )∨q 中，真命题是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④答案 C解析 当x >y 时，－x <－y ，故命题p 为真命题，从而綈p 为假命题． 当x >y 时，x 2>y 2不一定成立，故命题q 为假命题，从而綈q 为真命题．由真值表知，①p ∧q 为假命题；②p ∨q 为真命题；③p ∧(綈q )为真命题；④(綈p )∨q 为假命题．故选C.6．[2018·浙江模拟]命题“∀n ∈N *，f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定形式是( ) A ．∀n ∈N *，f (n )∉N *且f (n )>n B ．∀n ∈N *，f (n )∉N *或f (n )>n C ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *且f (n 0)>n 0 D ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *或f (n 0)>n 0 答案 D解析 全称命题的否定是特称命题．选D 项． 7．下列说法正确的是( )A ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2＝1，则x ≠1” B ．若a ，b ∈R ，则“ab ≠0”是“a ≠0”的充分不必要条件 C ．命题“∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1<0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋x ＋1>0” D ．若“p 且q ”为假命题，则p ，q 全是假命题 答案 B解析 命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2≠1，则x ≠1”，所以A 错误；ab ≠0等价于a ≠0且b ≠0，所以“ab ≠0”是“a ≠0”的充分不必要条件，B 正确；命题“∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1<0”的否定为“∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0”，C 错误；若“p 且q ”为假命题，则p ，q 至少有一个为假命题，D 错误．综上所述，故选B.8．已知p ：1x 2－x －2>0，则綈p 对应的x 的集合为________．答案 {x |－1≤x ≤2} 解析 ∵p ：1x 2－x －2>0⇔x >2或x <－1，∴綈p ：－1≤x ≤2.9．[2018·河南模拟]若命题“∃x 0∈R ，使得x 20＋ax 0＋a ＋3<0”为假命题，则实数a 的取值范围是________．答案 －2≤a ≤6解析 由命题“∃x 0∈R ，使得x 20＋ax 0＋a ＋3<0”为假命题，得命题“∀x ∈R ，都有x 2＋ax ＋a ＋3≥0”为真命题，则Δ＝a 2－4(a ＋3)≤0，解得－2≤a ≤6.10．对于中国足球参与的某次大型赛事，有三名观众对结果作如下猜测： 甲：中国非第一名，也非第二名； 乙：中国非第一名，而是第三名； 丙：中国非第三名，而是第一名．竞赛结束后发现，一人全猜对，一人猜对一半，一人全猜错，则中国足球队得了第________名．答案 一解析 由题可知：甲、乙、丙均为“p 且q ”形式，所以猜对一半者也说了错误“命题”，即只有一个为真，所以可知丙是真命题，因此中国足球队得了第一名．[B 级 知能提升]1．[2018·青岛模拟]下列命题中，是真命题的是( ) A ．∃x 0∈R ，e x≤0 B ．∀x ∈R,2x >x 2C ．已知a ，b 为实数，则a ＋b ＝0的充要条件是ab＝－1 D ．已知a ，b 为实数，则a >1，b >1是ab >1的充分条件 答案 D解析 对于A ，对任意x ∈R ，e x>0，所以A 为假命题；对于B ，当x ＝2时，有2x＝x 2，所以B 为假命题；对于C ，a b＝－1的充要条件为a ＋b ＝0且b ≠0，所以C 为假命题；对于D ，当a >1，b >1时，显然有ab >1，充分性成立，当a ＝4，b ＝12时，满足ab >1，但此时a >1，b <1，必要性不成立，所以“a >1，b >1”是“ab >1”的充分不必要条件，所以D 为真命题．故选D.2．已知命题p ：∀x >0，x ＋4x ≥4；命题q ：∃x 0∈(0，＋∞)，2x 0＝12，则下列判断正确的是( )A ．p 是假命题B ．q 是真命题C ．p ∧(綈q )是真命题D ．(綈p )∧q 是真命题答案 C解析 p ：∵x >0，∴x ＋4x≥2x ·4x＝4，∴p 为真命题． q ：当x >0时，2x >1，∴q 为假命题．∴p ∧(綈q )是真命题．故选C.3．已知命题p ：方程x 2－mx ＋1＝0有实数解，命题q ：x 2－2x ＋m >0对任意x 恒成立．若命题q ∨(p ∧q )真、綈p 真，则实数m 的取值范围是________．答案 (1,2)解析 由于綈p 真，所以p 假，则p ∧q 假，又q ∨(p ∧q )真，故q 真，即命题p 假、q 真．当命题p 假时，即方程x 2－mx ＋1＝0无实数解，此时m 2－4<0，解得－2<m <2；当命题q 真时，4－4m <0，解得m >1.所以所求的m 的取值范围是1<m <2.4．[2018·桂林模拟]给定两个命题：p ：对任意实数x ，都有ax 2＋ax ＋1>0恒成立，q ：函数y ＝3x－a 在x ∈[0,2]上有零点，如果(綈p )∧q 为假命题，綈q 为假命题，求a 的取值范围．解 若p 为真命题，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a <0或a ＝0，即0≤a <4，故当p 为真命题时，0≤a <4.若q 为真命题时，方程3x－a ＝0在x ∈[0,2]上有根． ∵当x ∈[0,2]时，有1≤3x ≤9，∴1≤a ≤9， 即当q 为真命题时，1≤a ≤9.∵(綈p )∧q 为假命题，∴綈p ，q 中至少有一个为假命题． 又∵綈q 为假命题，∴q 为真命题． ∴綈p 为假命题，p 为真命题．∴当p ，q 都为真时，⎩⎪⎨⎪⎧0≤a <4，1≤a ≤9，即1≤a <4.故所求a 的取值范围是[1,4)．5．已知m ∈R ，命题p ：对任意x ∈[0,1]，不等式2x －2≥m 2－3m 恒成立；命题q ：存在x ∈[－1,1]，使得m ≤ax 成立．(1)若p 为真命题，求m 的取值范围；(2)当a ＝1，若p 且q 为假，p 或q 为真，求m 的取值范围．解 (1)∵对任意x ∈[0,1]，不等式2x －2≥m 2－3m 恒成立，∴(2x －2)min ≥m 2－3m .即m 2－3m ≤－2.解得1≤m ≤2.因此，若p 为真命题时，m 的取值范围是[1,2]． (2)∵a ＝1，且存在x ∈[－1,1]，使得m ≤ax 成立， ∴m ≤x ，命题q 为真时，m ≤1. ∵p 且q 为假，p 或q 为真，∴p ，q 中一个是真命题，一个是假命题．当p 真q 假时，则⎩⎪⎨⎪⎧ 1≤m ≤2，m >1，解得1<m ≤2；当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧m <1或m >2，m ≤1，即m <1.综上所述，m 的取值范围为(－∞，1)∪(1,2]．。

§1.4 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词考情考向分析逻辑联结词和含有一个量词的命题的否定是高考的重点；命题的真假判断常以函数、不等式为载体，考查学生的推理判断能力，题型为填空题，低档难度．1．简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词．(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断2.全称量词和存在量词(1)全称量词：“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，用符号“∀”表示．(2)存在量词：“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，用符号“∃”表示．3．全称命题、存在性命题及含一个量词的命题的否定概念方法微思考含有逻辑联结词的命题的真假有什么规律？提示p∨q：一真即真；p∧q：一假即假；p，綈p：真假相反．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)命题“3≥2”是真命题．(√)(2)命题p和綈p不可能都是真命题．(√)(3)“全等三角形的面积相等”是存在性命题．(×)(4)命题綈(p∧q)是假命题，则命题p，q都是真命题．(√)题组二教材改编2．[P13习题T3]已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题綈p，綈q，p∨q，p∧q中真命题的个数为________．答案2解析p和q显然都是真命题，所以綈p，綈q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题．3．[P16例1]命题“∃x∈N，x2≤0”的否定是____________．答案∀x∈N，x2>04．[P23测试T6]命题“对于函数f(x)＝x2＋a x(a∈R)，存在a∈R，使得f(x)是偶函数”为________命题．(填“真”或“假”)答案真解析当a＝0时，f(x)＝x2(x≠0)为偶函数．题组三易错自纠5．命题“綈p为真”是命题“p∧q为假”的________条件．答案充分不必要解析由綈p为真知，p为假，可得p∧q为假；反之，若p∧q为假，则可能是p真q假，从而綈p为假．故“綈p为真”是“p∧q为假”的充分不必要条件．。

§1.4　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词考情考向分析　逻辑联结词和含有一个量词的命题的否定是高考的重点；命题的真假判断常以函数、不等式为载体，考查学生的推理判断能力，题型为填空题，低档难度．1．简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词．(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断p q p且q p或q非p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2.全称量词和存在量词(1)全称量词：“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，用符号“∀”表示．(2)存在量词：“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，用符号“∃”表示．3．全称命题、存在性命题及含一个量词的命题的否定命题名称语言表示符号表示命题的否定全称命题对M中任意一个x，有p(x)成立∀x∈M，p(x)∃x∈M，綈p(x)存在性命题存在M中的一个x，使p(x)成立∃x∈M，p(x)∀x∈M，綈p(x)概念方法微思考含有逻辑联结词的命题的真假有什么规律？提示　p ∨q ：一真即真；p ∧q ：一假即假；p ，綈p ：真假相反．题组一　思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)命题“3≥2”是真命题．(　√　)(2)命题p 和綈p 不可能都是真命题．(　√　)(3)“全等三角形的面积相等”是存在性命题．(　×　)(4)命题綈(p ∧q )是假命题，则命题p ，q 都是真命题．(　√　)题组二　教材改编2．[P13习题T3]已知p ：2是偶数，q ：2是质数，则命题綈p ，綈q ，p ∨q ，p ∧q 中真命题的个数为________．答案　2解析　p 和q 显然都是真命题，所以綈p ，綈q 都是假命题，p ∨q ，p ∧q 都是真命题．3．[P16例1]命题“∃x ∈N ，x 2≤0”的否定是____________．答案　∀x ∈N ，x 2>04．[P23测试T6]命题“对于函数f (x )＝x 2＋(a ∈R )，存在a ∈R ，使得f (x )是偶函数”为________ax 命题．(填“真”或“假”)答案　真解析　当a＝0时，f(x)＝x2(x≠0)为偶函数．题组三　易错自纠5．命题“綈p为真”是命题“p∧q为假”的________条件．答案　充分不必要解析　由綈p为真知，p为假，可得p∧q为假；反之，若p∧q为假，则可能是p真q假，从而綈p为假．故“綈p为真”是“p∧q为假”的充分不必要条件．6．下列命题中的假命题是________．(填序号)①∃x∈R，lg x＝1；②∃x∈R，sin x＝0；③∀x∈R，x3>0；④∀x∈R,2x>0.答案　③解析　当x＝10时，lg 10＝1，则①为真命题；当x＝0时，sin 0＝0，则②为真命题；当x<0时，x3<0，则③为假命题；由指数函数的性质知，∀x∈R,2x>0，则④为真命题．7．已知命题p：∀x∈R，x2－a≥0；命题q：∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0.若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围为__________．答案　(－∞，－2]解析　由已知条件，知p和q均为真命题，由命题p为真，得a≤0，由命题q为真，得Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a≤－2或a≥1，所以a≤－2.题型一　含有逻辑联结词的命题的真假判断1．设a ，b ，c 是非零向量．已知命题p ：若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a ·c ＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .则下列命题中的真命题是________．(填序号)①p ∨q ；②p ∧q ；③(綈p )∧(綈q )；④p ∨(綈q )．答案　①解析　如图所示，若a ＝，b ＝，c ＝，则a ·c ≠0，命题p 为假命题；显然命题q 为真命题，所以p ∨qA 1A → AB → B 1B →为真命题．2．设命题p ：函数y ＝log 2(x 2－2x )的单调增区间是[1，＋∞)，命题q ：函数y ＝的值域13x ＋1为(0,1)，则下列命题中是真命题的为________．(填序号)①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(綈q )；④綈q .答案　②解析　函数y ＝log 2(x 2－2x )的单调增区间是(2，＋∞)，所以命题p 为假命题．由3x >0，得0<<1，13x ＋1所以函数y ＝的值域为(0,1)，故命题q 为真命题．13x ＋1所以p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，p ∧(綈q )为假命题，綈q 为假命题．3．已知命题p：若平面α⊥平面β，平面γ⊥平面β，则有平面α∥平面γ.命题q：在空间中，对于三条不同的直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a∥c.对以上两个命题，有以下命题：①p∧q为真；②p∨q为假；③p∨q为真；④(綈p)∨(綈q)为假．其中，正确的是________．(填序号)答案　②解析　命题p是假命题，这是因为α与γ也可能相交；命题q也是假命题，这两条直线也可能异面，相交．思维升华 “p ∨q ”“p ∧q ”“綈p ”等形式命题真假的判断步骤(1)确定命题的构成形式；(2)判断其中命题p ，q 的真假；(3)确定“p ∧q ”“p ∨q ”“綈p ”等形式命题的真假．题型二　含有一个量词的命题命题点1　全称命题、存在性命题的真假例1 下列四个命题：①∃x ∈(0，＋∞)，x <x；(12)(13)②∃x ∈(0,1)，；1123log log x x >③∀x ∈(0，＋∞)，x>；(12)12log x ④∀x ∈，x <.(0，13)(12)13log x 其中真命题序号为________．答案　②④解析　对于①，当x ∈(0，＋∞)时，总有x >x成立，故①是假命题；(12)(13)对于②，当x ＝时，有成立，故②是真命题；121112331111log log log 232==>对于③，当0<x <时，>1>x ，故③是假命题；1212log x (12)(0，13)(12)1log x对于④，∀x∈，x<1<，故④是真命题．3命题点2　含一个量词的命题的否定例2　(1)命题：“∃x∈R，sin x＋cos x>2”的否定是________________．答案　∀x∈R，sin x＋cos x≤2(2)已知命题p：∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≥0，则綈p是__________．答案　∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0思维升华(1)判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判定存在性命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x0，使p(x0)成立．(2)对全称命题、存在性命题进行否定的方法①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词；②对原命题的结论进行否定．跟踪训练1 (1)设命题p：∀x∈(0，＋∞)，3x>2x；命题q：∃x∈(－∞，0)，3x>2x，则下列命题为真命题的是________．(填序号)①p∧q；②p∧(綈q)；③(綈p)∧q；④(綈p)∧(綈q)．答案　②解析　∀x∈(0，＋∞)，3x>2x，所以命题p为真命题；∀x∈(－∞，0)，3x<2x，所以命题q为假命题，因此p∧q，(綈p)∧q，(綈p)∧(綈q)为假命题，p∧(綈q)为真命题，故填②.(13)(2)命题“∀x∈R，x>0”的否定是______________．(13)答案　∃x∈R，x≤0解析　全称命题的否定是存在性命题，“>”的否定是“≤”．(3)已知命题“∃x ∈R ，e x ＋a <0”为假命题，则a 的取值范围是________．答案　[0，＋∞)解析　因为命题“∃x ∈R ，e x ＋a <0”为假命题，所以e x ＋a ≥0恒成立，所以a ≥(－e x )max 的最大值．∵－e x <0，∴a ≥0.题型三　命题中参数的取值范围例3 (1)已知命题p ：“∀x ∈[0,1]，a ≥e x ”；命题q ：“∃x ∈R ，使得x 2＋4x ＋a ＝0”．若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围为____________．答案　[e,4]解析　若命题“p ∧q ”是真命题，那么命题p ，q 都是真命题．由∀x ∈[0,1]，a ≥e x ，得a ≥e ；由∃x ∈R ，使x 2＋4x ＋a ＝0，得Δ＝16－4a ≥0，则a ≤4，因此e ≤a ≤4.则实数a 的取值范围为[e,4]．(2)已知f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x )＝x－m ，若对∀x 1∈[0,3]，∃x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实(12)数m 的取值范围是________________．答案　[14，＋∞)解析　当x ∈[0,3]时，f (x )min ＝f (0)＝0，当x ∈[1,2]时，g (x )min ＝g (2)＝－m ，由f (x )min ≥g (x )min ，14得0≥－m ，所以m ≥.1414引申探究本例(2)中，若将“∃x 2∈[1,2]”改为“∀x 2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数m 的取值范围是________________．答案　[12，＋∞)解析　当x ∈[1,2]时，g (x )max ＝g (1)＝－m ，12由f (x )min ≥g (x )max ，得0≥－m ，∴m ≥.1212思维升华 (1)已知含逻辑联结词的命题的真假，可根据每个命题的真假，利用集合的运算求解参数的取值范围．(2)对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决．跟踪训练2 (1)(2018·苏北三市期末)由命题“∃x ∈R ，x 2＋2x ＋m ≤0”是假命题，求得实数m 的取值范围是(a ，＋∞)，则实数a ＝________.答案　1解析　由题意得命题“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋m >0”是真命题，所以Δ＝4－4m <0，即m >1，故实数m 的取值范围是(1，＋∞)，从而实数a 的值为1.(2)已知c >0，且c ≠1，设命题p ：函数y ＝c x 为减函数．命题q ：当x ∈时，函数f (x )＝x ＋[12，2]>恒成立．如果“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，则c 的取值范围为________．1x 1c答案　∪(1，＋∞)(0，12]解析　由命题p 为真知，0<c <1，当x ∈时，2≤x ＋≤，[12，2]1x 52要使x ＋>恒成立，需<2，即c >，1x 1c 1c 12即由命题q 为真，知c >.12若“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，则p ，q 中必有一真一假，当p 真q 假时，c 的取值范围是0<c ≤；12当p 假q 真时，c 的取值范围是c >1.综上可知，c 的取值范围是∪(1，＋∞)．(0，12]常用逻辑用语有关四种命题及其真假判断、充分必要条件的判断或求参数的取值范围、量词等问题几乎在每年高考中都会出现，多与函数、数列、立体几何、解析几何等知识相结合，难度中等偏下．解决这类问题应熟练把握各类知识的内在联系．一、命题的真假判断例1 (1)下列命题的否定为假命题的是________．(填序号)①∀x ∈R ，－x 2＋x －1<0；②∀x∈R，|x|>x；③∀x，y∈Z,2x－5y≠12；④∀x∈R，sin2x＋sin x＋1＝0.答案　①解析　命题的否定为假命题亦即原命题为真命题，只有①为真命题．(2)已知命题p ：∀x ∈R ，log 2(x 2＋4)≥2，命题q ：y ＝是定义域上的减函数，则下列命题中12x 为真命题的是________．(填序号)①p ∨(綈q )；②p ∧q ；③(綈p )∨q ；④(綈p )∧(綈q )．答案　①解析　命题p ：函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数，x 2＋4≥4，所以log 2(x 2＋4)≥log 24＝2，即命题p 是真命题，因此綈p 为假命题；命题q ：y ＝在定义域上是增函数，故命题q 是12x 假命题，綈q 是真命题．因此①是真命题，②③④均为假命题．二、充要条件的判断例2 (1)“a >1”是“函数f (x )＝a ·x ＋cos x 在R 上单调递增”的________条件．答案　充分不必要解析　由题意，函数f (x )＝a ·x ＋cos x 在R 上单调递增，则f ′(x )≥0恒成立，即f ′(x )＝a －sin x ≥0，即a ≥sin x ，因为－1≤sin x ≤1，即a ≥1，所以“a >1”是“函数f (x )＝a ·x ＋cos x 在R 上单调递增”的充分不必要条件．(2)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2(r >0)．设p ：0<r <3，q ：圆C 上至多有2个点到直线x －y ＋3＝03的距离为1，则p 是q 的________条件．答案　充要解析　圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2的圆心(1,0)到直线x －y ＋3＝0的距离d ＝＝2.3|1－3×0＋3|2当r ∈(0,1)时，直线与圆相离，圆C 上没有到直线的距离为1的点；当r ＝1时，直线与圆相离，圆C 上只有1个点到直线的距离为1；当r ∈(1,2)时，直线与圆相离，圆C 上有2个点到直线的距离为1；当r ＝2时，直线与圆相切，圆C 上有2个点到直线的距离为1；当r ∈(2,3)时，直线与圆相交，圆C上有2个点到直线的距离为1.综上，当r∈(0,3)时，圆C上至多有2个点到直线的距离为1.又由圆C上至多有2个点到直线的距离为1，可得0<r<3，故p是q 的充要条件．三、求参数的取值范围例3 (1)若命题“∃x∈R，x2＋(a－1)x＋1<0”是真命题，则实数a的取值范围是________．答案　(－∞，－1)∪(3，＋∞)解析　因为命题“∃x∈R，x2＋(a－1)x＋1<0”等价于“x2＋(a－1)x＋1＝0有两个不等的实根”，所以Δ＝(a－1)2－4>0，即a2－2a－3>0，解得a<－1或a>3.(2)已知命题p：∃x∈R，(m＋1)·(x2＋1)≤0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立．若p∧q 为假命题，则实数m的取值范围为____________．答案　(－∞，－2]∪(－1，＋∞)解析　由命题p：∃x∈R，(m＋1)(x2＋1)≤0，可得m≤－1，由命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立，可得－2<m<2，因为p∧q为假命题，所以p，q中至少有一个为假命题，当p真q假时，m≤－2；当p假q真时，－1<m<2；当p假q假时，m≥2，所以m≤－2或m>－1.1．设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2π2对称，则下列判断正确的是________．(填序号)①p 为真；②綈q 为假；③p ∧q 为假；④p ∨q 为真．答案　③解析　函数y ＝sin 2x 的最小正周期为＝π，故命题p 为假命题；x ＝不是y ＝cos x 的对称轴，2π2π2故命题q 为假命题，故p ∧q 为假．2．命题“∃x ∈R ，x 2－2x ＋1≤0”的否定形式为________．答案　∀x ∈R ，x 2－2x ＋1>0解析　∵命题是存在性命题，∴根据存在性命题的否定是全称命题，命题“∃x ∈R ，x 2－2x ＋1≤0”的否定形式为：∀x ∈R ，x 2－2x ＋1>0.3．命题p 的否定是“对所有正数x ，>x ＋1”，则命题p 可写为__________．x 答案　∃x ∈(0，＋∞)，≤x ＋1x 解析　因为p 是綈p 的否定，所以只需将全称量词变为存在量词，再对结论否定即可．4．以下四个命题中既是存在性命题又是真命题的是________．(填序号)①锐角三角形有一个内角是钝角；②至少有一个实数x ，使x 2≤0；③两个无理数的和必是无理数；④存在一个负数x ，>2.1x答案　②解析　①中锐角三角形的内角都是锐角，所以①是假命题；②中当x ＝0时，x 2＝0，满足x 2≤0，所以②既是存在性命题又是真命题；③是全称命题，又是假命题；④中对于任意一个负数x ，都有<0，不满足>2，所以④是假命题．1x 1x5．设命题p ：∃x ∈(0，＋∞)，x ＋>3，命题q ：∀x ∈(2，＋∞)，x 2>2x ，则下列命题为真的1x是________．(填序号)①p ∧(綈q )；②(綈p )∧q ；③p ∧q ；④(綈p )∨q .答案　①解析　命题p ：∃x ∈(0，＋∞)，x ＋>3，当x ＝3时，x ＋＝>3，命题p 为真；命题q ：∀x ∈(2，＋1x 1x 103∞)，x 2>2x ，当x ＝4时，42＝24，命题q 为假．所以p ∧(綈q )为真．6．已知命题p ：若a >1，则a x >log a x 恒成立；命题q ：在等差数列{a n }中，m ＋n ＝p ＋q 是a m ＋a n ＝a p ＋a q 的充分不必要条件(m ，n ，p ，q ∈N *)．则下列为真命题的是______．(填序号)①(綈p )∧(綈q )；②(綈p )∨(綈q )；③p ∨(綈q )；④p ∧q .答案　②解析　当a ＝1.1，x ＝2时，a x ＝1.12＝1.21，log a x ＝log 1.12>log 1.11.21＝2，此时，a x <log a x ，故p 为假命题．命题q ，由等差数列的性质可知，当m ＋n ＝p ＋q 时，a m ＋a n ＝a p ＋a q 成立，当公差d ＝0时，由a m ＋a n ＝a p ＋a q 不能推出m ＋n ＝p ＋q 成立，故q 是真命题．故綈p 是真命题，綈q 是假命题，所以p ∧q 为假命题，p ∨(綈q )为假命题，(綈p )∧(綈q )为假命题，(綈p )∨(綈q )为真命题．7．若命题“对∀x ∈R ，kx 2－kx －1<0”是真命题，则k 的取值范围是________________．答案　(－4,0]解析　“对∀x ∈R ，kx 2－kx －1<0”是真命题，当k ＝0时，则有－1<0；当k ≠0时，则有k <0且Δ＝(－k )2－4×k ×(－1)＝k 2＋4k <0，解得－4<k <0，综上所述，实数k 的取值范围是(－4,0]．8．已知命题“∃x ∈R ，使2x 2＋(a －1)x ＋≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是________．12答案　(－1,3)解析　原命题的否定为∀x ∈R,2x 2＋(a －1)x ＋>0，由题意知，其为真命题，即Δ＝(a －1)2－124×2×<0，则－2<a －1<2，即－1<a <3.129．若∃x ∈，使得2x 2－λx ＋1<0成立是假命题，则实数λ的取值范围是________．[12，2]答案　(－∞，2]2解析　因为∃x ∈，使得2x 2－λx ＋1<0成立是假命题，所以∀x ∈，2x 2－λx ＋1≥0恒[12，2][12，2]成立是真命题，即∀x ∈，λ≤2x ＋恒成立是真命题，令f (x )＝2x ＋，则当x ∈时，f (x )∈[12，2]1x 1x [12，2]，当且仅当x ＝时，f (x )min ＝2，所以λ≤2.[22，92]222210．已知p ：∃x ∈R ，mx 2＋1≤0，q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0，若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围是________．答案　[2，＋∞)解析　依题意知，p ，q 均为假命题．当p 是假命题时，mx 2＋1>0恒成立，则有m ≥0；当q 是假命题时，则有Δ＝m 2－4≥0，解得m ≤－2或m ≥2.因此由p ，q 均为假命题得Error!即m ≥2.11．已知函数f (x )的定义域为(a ，b )，若“∃x ∈(a ，b )，f (x )＋f (－x )≠0”是假命题，则f (a ＋b )＝________.答案　0解析　若“∃x ∈(a ，b )，f (x )＋f (－x )≠0”是假命题，则“∀x ∈(a ，b )，f (x )＋f (－x )＝0”是真命题，即f (－x )＝－f (x )，则函数f (x )是奇函数，则a ＋b ＝0，即f (a ＋b )＝f (0)＝0.12．已知命题p 1：∀x ∈(0，＋∞)，3x >2x ，p 2：∃θ∈R ，sin θ＋cos θ＝，则在命题q 1：p 1∨p 2；q 2：32p 1∧p 2；q 3：(綈p 1)∨p 2和q 4：p 1∧(綈p 2)中，真命题是________．答案　q 1，q 4解析　因为y ＝x 在R 上是增函数，即y ＝x >1在(0，＋∞)上恒成立，所以命题p 1是真命(32)(32)题；sin θ＋cos θ＝sin ≤，所以命题p 2是假命题，綈p 2是真命题，所以命题q 1：p 1∨p 2，2(θ＋π4)2q 4：p 1∧(綈p 2)是真命题．13．已知命题p ：∃x ∈R ，使tan x ＝1；命题q ：x 2－3x ＋2<0的解集是{x |1<x <2}．现有以下结论：①命题“p 且q ”是真命题；②命题“p 且綈q ”是假命题；③命题“綈p 或q ”是真命题；④命题“綈p 或綈q ”是假命题．其中正确结论的序号为____________．答案　①②③④解析　∵命题p ，q 均为真命题，∴“p 且q ”是真命题，“p 且綈q ”是假命题，“綈p 或q ”是真命题，“綈p 或綈q ”是假命题，故①②③④都正确．14．已知命题p ：∃x ∈R ，e x －mx ＝0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1≥0，若p ∨(綈q )为假命题，则实数m 的取值范围是________．答案　[0,2]解析　若p ∨(綈q )为假命题，则p 假q 真．由e x －mx ＝0，可得m ＝，x ≠0，e x x 设f (x )＝，x ≠0，则f ′(x )＝＝，e x x x e x －e x x 2(x －1)e xx 2当x >1时，f ′(x )>0，函数f (x )＝在(1，＋∞)上是单调递增函数；当0<x <1或x <0时，f ′(x )<0，e x x函数f (x )＝在(0,1)和(－∞，0)上是单调递减函数，所以当x ＝1时，函数取得极小值f (1)＝e ，e x x所以函数f (x )＝的值域是(－∞，0)∪[e ，＋∞)，由p 是假命题，可得0≤m <e.e x x当命题q 为真命题时，有Δ＝m 2－4≤0，即－2≤m ≤2.所以当p ∨(綈q )为假命题时，m 的取值范围是0≤m ≤2.15．已知函数f (x )＝x ＋，g (x )＝2x ＋a ，若∀x 1∈，∀x 2∈[2,3]，f (x 1)≥g (x 2)恒成立，则实4x [12，1]数a 的取值范围是______________．答案　(－∞，－3]解析　由题意知f (x )min ≥g (x )max (x ∈[2,3])，因为f (x )在上为减函数，g (x )在[2,3](x ∈[12，1])[12，1]上为增函数，所以f (x )min ＝f (1)＝5，g (x )max ＝g (3)＝8＋a ，所以5≥8＋a ，即a ≤－3.16．已知p ：∀x ∈，2x >m (x 2＋1)，q ：函数f (x )＝4x ＋2x ＋1＋m －1存在零点．若“p ∨q ”[14，12]为真命题，“p ∧q ”为假命题，则实数m 的取值范围是____________．答案　[817，1)解析　∀x ∈，2x >m (x 2＋1)，[14，12]即m <＝在上恒成立，2x x 2＋12x ＋1x[14，12]当x ＝时，max ＝，14(x ＋1x)174∴min ＝，∴由p 真得m <.(2xx 2＋1)817817设t ＝2x ，则t ∈(0，＋∞)，则函数f (x )化为g (t )＝t 2＋2t ＋m －1，由题意知g (t )在(0，＋∞)上存在零点，令g (t )＝0，得m ＝－(t ＋1)2＋2，又t >0，所以由q 真得m <1.又“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，∴p ，q 一真一假，则Error!或Error!解得≤m <1.817故所求实数m 的取值范围是.[817，1)。