排列组合讲义

排列组合方法篇一、两个原理及区别二、排列数公式三、组合数公式四、排列数与组合数的关系五、二项式定理公式：六、排列组合应用排列组合解法特殊元素优先排； 合理分类与分步； 先选后排解混合； 正难则反用转化； 相邻问题来捆绑； 间隔插空处理法; 定序需要用除法； 分排问题直接法； 集团问题先整体； 有的问题选模型。

○1排列数公式 m n A=)1()1(+--m n n n =！！)(m n n -.(n ，m ∈N *，且m n ≤)．注:规定1!0=. ○2排列恒等式 （1）11m m n n A nA--=;（2）11m m m n n nAA mA-+=+.○3会推以下恒等式 （1）1(1)mm nnA n m A -=-+; （2）1m mnn n A A n m-=-; （3）11nn n nn n nA A A ++=-; （4）1!22!33!!(1)!1n n n +⋅+⋅++⋅=+-.○1组合数公式 mn C =m n mmA A =m m n n n ⨯⨯⨯+-- 21)1()1(=！！！)(m n m n -⋅(n ∈N *，m N ∈，且m n ≤). ○2组合数的两个性质 （1）m n C =m n n C - ; （2）m n C +1-m n C =m n C 1+. 注：规定10=n C . 1.分类计数原理(加法原理) 12n N m m m =+++ 2.分步计数原理（乘法原理） 12n N m m m =⨯⨯⨯m mn n A m C =⋅！. (1)0111()......n n n k n k k n n n n n n a b C a C a b C a b C b --+=+++ *()n N ∈ (2)1k n k k k n T C a b -+= （3）∑=nr rnC=n2(4)13502412n n n n n n n C C C C C C -+++=+++=.解决排列组合一般思路: 1.审题要清2.分步还是分类3.排列还是组合4.牢记右侧方法常见题型归类及决策：一.特殊元素和特殊位置优先策略1、由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 位置分析法和元素分析法2、有7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略1. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.乙甲丁丙2.某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 。

排列组合讲义（含答案）排列组合、⼆项式定理、参数⽅程、极坐标.⼀、排列组合：主⼲⽅法：特殊优先，分开插空，相邻捆绑，正难则反，先选后排，分类穷举，定序扣数，分组分堆.1.将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待⼯作，每个场馆⾄少分配⼀名志愿者的⽅案种数为（）A. 540B. 300C. 180D. 1502. 某⼯程队有6项⼯程需要单独完成，其中⼯程⼄必须在⼯程甲完成后才能进⾏，⼯程丙必须在⼯程⼄完成后才能进⾏，有⼯程丁必须在⼯程丙完成后⽴即进⾏。

那么安排这6项⼯程的不同排法种数是。

（⽤数字作答）3. 某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项⽬,且在同⼀个城市投资的项⽬不超过2个,则该外商不同的投资⽅案有 ( )A.16种B.36种C.42种D.60种4. 3张卡⽚的两⾯分别写有1和2，3和4，5和6，将这三张卡⽚任意拼盘，可以组成多少个不同的三位数？_________.5.现从男.⼥共8名候选学⽣中选出2名男⽣,2名⼥⽣分别参加全校资源、⽣态、环保三个夏令营,且每个夏令营⾄少⼀⼈参加，已知共有1080种不同的参加⽅案.则候选的8位学⽣的构成情况是( )A.2名男⽣、6名⼥⽣B.6名男⽣、2名⼥⽣C.4名男⽣、4名⼥⽣D.5名男⽣、3名⼥⽣6.5名乒乓球队员中,有2名⽼队员和3名新队员.现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体⽐赛,则⼊选的3名队员中⾄少有⼀名⽼队员,且1、2号中⾄少有1名新队员的排法有_______种.(以数作答)7. 有4张分别标有数字1，2，3，4的红⾊卡⽚和4张分别标有数字1，2，3，4的蓝⾊卡⽚，从这8张卡⽚中取出4张卡⽚排成⼀⾏．如果取出的4张卡⽚所标数字之和等于10，则不同的排法共有________________种（⽤数字作答）．8.某⼈有4种颜⾊的灯泡（每种颜⾊的灯泡⾜够多），要在如题图所⽰的6个点A 、B 、C 、A 1、B 1、C 1上各装⼀个灯泡，要求同⼀条线段两端的灯泡不同⾊，则每种颜⾊的灯泡都⾄少⽤⼀个的安装⽅法共有种（⽤数字作答）.例8图A BC 1A1B练习：如图，⽤四种不同颜⾊给图中的A,B,C,D,E,F 六个点涂⾊，要求每个点涂⼀种颜⾊，且图中每条线段的两个端点涂不同颜⾊，则不同的涂⾊⽅法有（A ）288种（B ）264种（C ）240种（D ）168种答案：例1.D ；例2.20；例3.D ；例4.48；例5.D ；例6.48.例7.432.例8.216⼆、⼆项式定理：1.若对于任意实数x ，有3230123(2)(2)(2)x a a x a x a x =+-+-+-，则2a 的值为（）A ．3B ．6C ．9D ．122. 在()()1n x n N *+∈的⼆项展开式中，若只有5x 的系数最⼤，则n =A ．8B . 9 C. 10 D .113.已知n 展开式中，各项系数的和与其各项⼆项式系数的和之⽐为64，则n 等于（）Ａ．4Ｂ．5 Ｃ．6 Ｄ．7 4.设2921101211(1)(21)(2)(2)(2)x x a a x a x a x ++=+++++++ ，则01211a a a a ++++ 的值为（）Ａ．2- Ｂ．1-Ｃ．1 Ｄ．2 5. 如果2323n x x ??- ??的展开式中含有⾮零常数项，则正整数n 的最⼩值为（）Ａ．3 Ｂ．5 Ｃ．6 Ｄ．106. （1+2x 2）(x －1x )8的展开式中常数项为。

排列组合问题专项讲义知识点+例题+练习题+详细解析基本知识框架：加法原理排列数 排列数公式综合应用乘法原理 组合数 组合数公式一、基本概念：乘法原理：一般地，如果完成一件事情需要n 步，其中，做第一步有a 种不同的方法，做第二步有b 种不同的方法，…，做第n 步有x 种不同的方法，那么，完成这件事一共有：N ＝a ×b ×…×x种不同的方法。

加法原理：一般地，如果完成一件事有k 类方法，第一类方法中有a 种不同的做法，第二类方法中有b 种不同的做法，…，第n 类有x 种不同的做法，那么，完成这件事一共有：N ＝a ＋b ＋…＋x种不同的方法。

排列、排列数一般地，从n 个不同的元素中任意取出m(n ≥m)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同的元素中取出m 个元素的一个排列。

从n 个不同的元素中取出m(n ≥m)个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同的元素中取出m 个元素的排列数。

记做mn A 。

m n A ＝n(n －1)(n －2)(n －3)…(n －m ＋1)组合、组合数一般地，从n 个不同的元素中取出m(n ≥m)个元素组成一组，不计组内各元素的次序，叫做从n 个不同的元素中取出m 个元素的一个组合。

从n 个不同的元素中取出m(n ≥m)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同的元素中取出m 个不同元素的组合数。

记座mn C 。

m nC ＝m n m m A A ＝n(n －1)(n －2)(n －3)…(n －m ＋1)÷!m 二、常见的解题策略1、特殊元素优先排列2、合理分步与准确分类3、排列、组合混合问题先选后排4、正难则反，等价转化5、相邻问题捆绑法6、不相邻问题插空法7、定序问题除法处理8、分排问题直排处理 9、“小集团”问题先整体后局部10、构造模型 11、树形图三、排列组合例题1.有3封不同的信，投入4个邮筒，一共有多少种不同的投法？2.甲、乙两人打乒乓球，谁先连胜头两局，则谁赢.如果没有人连胜头两局，则谁先胜三局谁赢，打到决出输赢为止，问有多少种可能情况？3.在6名女同学，5名男同学中，选4名女同学，3名男同学，男女相间站成一排，问共有多少种排法？4.用0、1、2、3、4、5、6这七个数字可组成多少个比300000大的无重复数字的六位偶数？5.如下图：在摆成棋盘眼形的20个点中，选不在同一直线上的三点作出以它们为顶点的三角形，问总共能作多少个三角形？6.小文和小静两位同学帮花店扎花，要从三只篮子中各取一只花扎在一起，已知每只篮子里都有3种不同的花，问她们可以扎成多少种不同式样的花束？7.某学校组织学生开展登山活动.在山的北坡有两条路直通山项；在山的南坡也有两条路，一条直通山顶，另一条通向山腰小亭，从小亭有两条路通向山顶；山的西坡有两条路通向山间寺庙，由寺庙有两条路通向山顶.要登上山顶共有多少种不同的道路？8.从5个声母，3个韵母中每次取出3个声母2个韵母的排列方法有多少种？9.4名男生5名女生站成一排，如果男生不分开，女生也不分开，有多少种不同的站法？10.五对孪生兄妹排成一排，每对兄妹不能分开，共有多少种排法？11.7人站成一排，其中4名男生，3名女生；如果限定女生不站两头，且女生站在一起，一共有多少种不同的站法？四、应用排列组合解决计数问题1、在一个半圆周上共有12个点，如右图，以这些点为顶点，可以画出多少个三角形？方法一解：三个顶点都在半圆弧上的三角形有37C ＝35（个）两个顶点在半圆弧上，一个顶点在线段上的三角形有27C ×15C ＝105（个）一个顶点在半圆弧上，两个顶点在线段上的三角形有17C ×25C ＝70（个）由加法原理得：35＋105＋70＝210（个）答：略方法二（排除法）解：312C －35C ＝220－10＝210（个）答：略2、如下图，问：①右图中，共有多少条线段？ A B C D E F G②下右图中，共有多少个角？解：①图中任何两点都可以得到一条线段，这是一个组合问题，图中共有7点，所以：27C ＝21共有21条线段。

一、排列组合公式（四下）第3讲排列组合公式四年级春季知识点一、 熟练掌握排列的定义和公式． 二、 熟练掌握组合的定义和公式． 三、 能够用排列组合解决简单的问题． 四、 初步区分排列和组合．一、 排列、组合计算1、计算：（1）25A =_______；（2）37A =______；（3）4266A A -=_______．2、计算：（1）24A ；（2）410A ；（3）42663A A -⨯．3、0121112C +C __________.=4、计算：（1）35C ；（2）3210102C C -⨯；（3）45C ，15C ；（4）710C ，310C ．5、计算：（1）01233333C C C C +++；（2）0123444444C C C C C ++++；（3）012345555555C C C C C C +++++；课堂例题方法精讲（4）0121010101010C C C C ++++；（5）012345111111111111C C C C C C +++++．二、 排列问题6、小高、墨莫、卡莉娅和宣萱四个人到野外郊游，其中三个人站成一排，另外一个人拍照，请问：一共会有多少张不同的照片？7、甲、乙、丙、丁、戊5人一起出去游玩，在某一风景点排成一排合照.如果甲站在最右边，那最多可以照____________张不同的照片．8、有8个选手，要在8个人中选出冠军、亚军和季军，有_____________种可能．9、从1~5这5个数字中选出4个数字（不能重复）组成四位数，共能组成多少个不同的四位数？千位是1的四位数有多少个？其中比3000小的有多少个？三、 组合问题10、从100个人中选出99人有___________种不同的选法．11、有9种不同颜色的吊坠，文雯想买2个不同颜色的吊坠，请问有______________种不同的买法．12、墨爷爷把10张不同的游戏卡分给墨莫和小高，并且决定给墨莫7张，给小高3张，一共有多少种不同的分法？13、在一个圆周上有8个点，那么以这些点为顶点或端点，一共可以画出多少条线段？多少个三角形？多少个四边形？多少个角？14、有3个人去图书馆借漫画书，发现书架上只剩下8本不同的书．于是有1个人借了2本书，另外2个人每人借了3本书，那么他们一共有多少种不同的借法？四、综合题目15、各位数字互不相同，且不包含0的三位数共有多少个？（2）各位数字互不相同，且不包含0的四位数共有多少个？（3）千位数字是1，且各位数字互不相同，不包含0的四位数共有多少个？（4）各位数字互不相同，不包含0，且比3000小的四位数有多少个？（5）各位数字互不相同，不包含0，且比4999大的四位数有多少个？16、“上升数”是指这个数中每个数字都比其左边的数字大的多位数（如1234，3468，4679）．“下降数”是指这个数中每个数字都比其左边的数字小的多位数（如5432，9531，7432）．“V型数”是指三位数．．．中，从左往右看数字先下降后上升的数（如546，308，212），问：（1）“上升数”中，四位数共有多少个？（2）“下降数”中，五位数共有多少个？1、如图所示，有5面不同颜色的小旗，任取3面排成一行表示一种信号，用这5面小旗一共可以表示出多少种不同的信号？2、计算：（1）37A ；（2）3255A A -．3、有5面不同颜色的小旗，任取3面排成一行表示一种信号，一共可以表示出多少种不同的信号？4、计算：（1）38C ；（2）32752C C ⨯-；（3）810C ．红 黄 绿 蓝 白随堂练习5、阿呆和阿瓜一起去图书馆借童话小说，发现书架上只剩下6本不同的书，于是每人借了3本，那么他们一共有多少种不同的借法？1、计算：（1）34A =________；（2）3255A A -=________．2、计算：（1）38C =________；（2）32752C C ⨯-=________；（3）211C =________．3、五个同学排成一排照相，有________种不同的照法．4、老师从五个校级优秀学生中选出两个评选市级优秀学生，老师有_______种不同的选法．课后作业5、要从海淀区少年游泳队的10名队员中挑选4名参加全国的游泳比赛，有________种不同的选法．6、10位小朋友上场做游戏，争抢4个不同的橡胶球．最后有4个人各抢到一个球，那么共有________种可能的争抢结果．7、在平面上有10个点，以这些点为端点，一共可以连出________条线段．8、海军舰艇之间经常用旗语来互相联络，方式是这样的：在旗杆上从上至下升起3面颜色不同的旗帜，每一种排列方式就代表一个常用信号，如果共有6种不同颜色的旗帜，那么可以组成多少种不同的信号？9、从3、4、5、6、7这5个数字中选出3个数字（不能重复）组成三位数，共能组成多少个不同的三位数？其中比635小的有多少个？10、（思考题）有五张互不相同的扑克牌，现从中随意抽取若干张（既可以都拿也可以都不拿），有多少种不同的抽取方法？。

排列组合问题一、知识点：分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有种不同的方法，……，在第n类办法中有种不同的方法那么完成这件事共有种不同的方法分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，……，做第n步有种不同的方法，那么完成这件事有种不同的方法二、解题思路：解排列组合问题，首先要弄清一件事是“分类”还是“分步”完成，对于元素之间的关系，还要考虑“是有序”的还是“无序的”，也就是会正确使用分类计数原理和分步计数原理、排列定义和组合定义，其次，对一些复杂的带有附加条件的问题，需掌握以下几种常用的解题方法：特殊优先法对于存在特殊元素或者特殊位置的排列组合问题，我们可以从这些特殊的东西入手，先解决特殊元素或特殊位置，再去解决其它元素或位置，这种解法叫做特殊优先法.例如：用0、1、2、3、4这5个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有________个.（答案：30个）解答：当末尾是0、2、4时，这个三位数是偶数。

——————当末尾是0时，一共有4×3=12种方法。

当末尾是2或4时，一共有2×3×3=18种方法。

所以一共有12+18=30种方法。

科学分类法对于较复杂的排列组合问题，由于情况繁多，因此要对各种不同情况，进行科学分类，以便有条不紊地进行解答，避免重复或遗漏现象发生例如：从6台原装计算机和5台组装计算机中任取5台，其中至少有原装与组装计算机各两台，则不同的选取法有_______种.（答案：350）解答：C(6,2)×C(5,3)+C(6,3)×C(5,2)=350种插空法解决一些不相邻问题时，可以先排一些元素然后插入其余元素，使问题得以解决例如：7人站成一行，如果甲乙两人不相邻，则不同排法种数是______.(答案:3600)解答：分步计算：第一步：先排其它5人，一共有A(5,5)=120种方法，第二步：5个人一共有6个空隙，从这6个空隙中任选2个进行排列，一共有A(6,2)=30种方法。

排列组合方法篇一、两个原理及区别二、排列数公式三、组合数公式四、排列数与组合数的关系五、二项式定理公式：六、排列组合应用排列组合解法特殊元素优先排； 合理分类与分步； 先选后排解混合； 正难则反用转化； 相邻问题来捆绑； 间隔插空处理法; 定序需要用除法； 分排问题直接法； 集团问题先整体； 有的问题选模型。

○1排列数公式 m n A=)1()1(+--m n n n =！！)(m n n -.(n ，m ∈N *，且m n ≤)．注:规定1!0=. ○2排列恒等式 （1）11m m n n A nA--=;（2）11m m m n n nAA mA-+=+.○3会推以下恒等式 （1）1(1)mm nnA n m A -=-+; （2）1m m nn n A A n m-=-; （3）11n n nn n n nA A A ++=-; （4）1!22!33!!(1)!1n n n +⋅+⋅++⋅=+-.○1组合数公式 m n C =m n mmA A =m m n n n ⨯⨯⨯+-- 21)1()1(=！！！)(m n m n -⋅(n ∈N *，m N ∈，且m n ≤). ○2组合数的两个性质 （1）m n C =m n n C - ; （2）m n C +1-m n C =m n C 1+. 注：规定10=n C .1.分类计数原理(加法原理) 12n N m m m =+++2.分步计数原理（乘法原理） 12n N m m m =⨯⨯⨯m m n n A m C =⋅！. (1)0111()......n n n k n k k n n n n n n a b C a C a b C a b C b --+=+++*()n N ∈ (2)1k n k kk n T C a b -+= （3）∑=nr r nC=n2(4)13502412n nnnnnnC C C C C C -+++=+++=.解决排列组合一般思路: 1.审题要清2.分步还是分类3.排列还是组合4.牢记右侧方法一.特殊元素和特殊位置优先策略1、由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 位置分析法和元素分析法2、有7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略1. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.乙甲丁丙2.某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 。

排列组合综合讲义1．基本计数原理⑴加法原理分类计数原理：做一件事，完成它有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =+++种不同的方法．又称加法原理．⑵乘法原理分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n 个子步骤，做第一个步骤有1m 种不同的方法，做第二个步骤有2m 种不同方法，……，做第n 个步骤有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =⨯⨯⨯种不同的方法．又称乘法原理．⑶加法原理与乘法原理的综合运用如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用．2． 排列与组合⑴排列：一般地，从n 个不同的元素中任取()m m n ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元素）排列数：从n 个不同的元素中取出()m m n ≤个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A mn 表示．排列数公式：A (1)(2)(1)m n n n n n m =---+，m n +∈N ，，并且m n ≤． 全排列：一般地，n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的一个全排列．n 的阶乘：正整数由1到n 的连乘积，叫作n 的阶乘，用!n 表示．规定：0!1=． ⑵组合：一般地，从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个元素中任取m 个元素的一个组合．组合数：从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中，任意取出m 个元素的组合数，用符号C mn 表示． 组合数公式：(1)(2)(1)!C !!()!mn n n n n m n m m n m ---+==-，,m n +∈N ，并且m n ≤． 组合数的两个性质：性质1：C C m n m n n -=；性质2：11C C C m m m n n n -+=+．（规定0C 1n =）⑶排列组合综合问题解排列组合问题，首先要用好两个计数原理和排列组合的定义，即首先弄清是分类还是分步，是排列还是组合，同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法：1．特殊元素、特殊位置优先法:元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；2．分类分步法：对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做到分类明确，层次清楚，不重不漏．3．排除法:从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法．4．捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元素进行排列，然后再给那“一捆元素”内部排列．5．插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空．6．插板法：n 个相同元素，分成()m m n ≤组，每组至少一个的分组问题——把n 个元素排成一排，从1n -个空中选1m -个空，各插一个隔板，有11m n C --．7．分组、分配法：分组问题（分成几堆，无序）．有等分、不等分、部分等分之别．一般地平均分成n 堆（组），必须除以n ！，如果有m 堆（组）元素个数相等，必须除以m ！8．错位法：编号为1至n 的n 个小球放入编号为1到n 的n 个盒子里，每个盒子放一个小球，要求小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列，特别当2n =，3，4，5时的错位数各为1，2，9，44．关于5、6、7个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题．1．排列与组合应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决此类问题通常有三种途径：①元素分析法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素； ②位置分析法：以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置； ③间接法：先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数．求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题；再通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；然后分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；最后列出式子计算作答．2．具体的解题策略有：①对特殊元素进行优先安排；②理解题意后进行合理和准确分类，分类后要验证是否不重不漏；③对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排，以防出现重复；④对于元素相邻的条件，采取捆绑法；对于元素间隔排列的问题，采取插空法或隔板法；⑤顺序固定的问题用除法处理；分几排的问题可以转化为直排问题处理； ⑥对于正面考虑太复杂的问题，可以考虑反面．⑦对于一些排列数与组合数的问题，需要构造模型．习题练习加法原理【例1】 高二年级一班有女生18人，男生38人，从中选取一名学生作代表，参加学校组织的调查团，问选取代表的方法有几种．【例2】 若a 、b 是正整数，且6≤a b ，则以()，a b 为坐标的点共有多少个？【例3】 用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（ ）A ．324B ．328C ．360D ．648【例4】 用数字12345，，，，组成的无重复数字的四位偶数的个数为（ ）A ．8B ．24C ．48D ．120【例5】 用012345，，，，，这6个数字，可以组成____个大于3000，小于5421的数字不重复的四位数．乘法原理【例6】 公园有4个门，从一个门进，一个门出，共有_____种不同的走法．【例7】 将3个不同的小球放入4个盒子中，则不同放法种数有_______．【例8】 如果在一周内（周一至周日）安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余两所学校均只参观一天，那么不同的安排方法共有 种．【例9】 高二年级一班有女生18人，男生38人，从中选取一名男生和一名女生作代表，参加学校组织的调查团，问选取代表的方法有几种．【例10】 六名同学报名参加三项体育比赛，每人限报一项，共有多少种不同的报名结果？【例11】 六名同学参加三项比赛，三个项目比赛冠军的不同结果有多少种？【例12】 用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是__________（用数字作答）．【例13】 从集合{12311}，，，，中任选两个元素作为椭圆方程22221x y m n+=中的m 和n ，则能组成落在矩形区域{()|||11B x y x =<，，且||9}y <内的椭圆个数为（ ）A ．43B ．72C ．86D ．90【例14】 若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为2y x =-，值域为{19}--，的“同族函数”共有（ ） A ．7个 B ．8个 C ．9个 D ．10个【例15】 某银行储蓄卡的密码是一个4位数码，某人采用千位、百位上的数字之积作为十位和个位上的数字（如2816）的方法设计密码，当积为一位数时，十位上数字选0，并且千位、百位上都能取0．这样设计出来的密码共有（ ）A ．90个B ．99个C ．100个D ．112个【例16】 从集合{4321012345}----，，，，，，，，，中，选出5个数组成子集，使得这5个数中的任何两个数之和不等于1，则取出这样的子集的个数为（ ）A ．10B ．32C ．110D ．220【例17】 若x 、y 是整数，且6≤x ，7≤y ，则以()，x y 为坐标的不同的点共有多少个？【例18】 用0，1，2，3，4，5这6个数字：⑴可以组成______________个数字不重复的三位数．⑵可以组成______________个数字允许重复的三位数．【例19】 六名同学报名参加三项体育比赛，共有多少种不同的报名结果？【例20】 将3名教师分配到2所中学任教，每所中学至少一名教师，则不同的分配方案共有（ ）种．A ．5B ．6C ．7D ．8基本计数原理的综合应用【例21】 用0，3，4，5，6排成无重复字的五位数，要求偶数字相邻，奇数字也相邻，则这样的五位数的个数是_________．（用数字作答）【例22】 若自然数n 使得作竖式加法(1)(2)n n n ++++均不产生进位现象．则称n 为“可连数”．例如：32是“可连数”，因323334++不产生进位现象；23不是“可连数”，因232425++产生进位现象．那么，小于1000的“可连数”的个数为（）A．27B．36C．39D．48【例23】由正方体的8个顶点可确定多少个不同的平面？【例24】如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种．（以数字作答）【例25】如图，一环形花坛分成A B C D，，，四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（）A．96 B．84 C．60 D．48【例26】某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）．现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有种．（以数字作答）【例27】分母是385的最简真分数一共有多少个？并求它们的和．【例28】某人有4种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如图所示的6个点A、B、C、A1、B1、C1上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有种（用数字作答）【例29】用0，1，2，3，4，5这6个数字，可以组成_______个大于3000，小于5421的数字不重复的四位数．【例30】 某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“0000⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯”到“9999⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯”共10000个号码．公司规定：凡卡号的后四位带有数字“4”或“7”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为（ ）A ．2000B ．4096C ．5904D ．8320【例31】 同室4人各写1张贺年卡，先集中起来，然后每人从中各拿1张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式有（ ）A ．6B ．9种C ．11种D ．23种【例32】 某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为（ ）A ．504B ．210C ．336D ．120【例33】 某班学生参加植树节活动，苗圃中有甲、乙、丙3种不同的树苗，从中取出5棵分别种植在排成一排的5个树坑内，同种树苗不能相邻，且第一个树坑和第5个树坑只能种甲种树苗的种法共（ ）A ．15种B ．12种C ．9种D ．6种【例34】 如图所示，画中的一朵花，有五片花瓣.现有四种不同颜色的画笔可供选择，规定每片花瓣都要涂色，且只涂一种颜色.若涂完的花中颜色相同的花瓣恰有三片，则不同涂法种数为 （用数字作答）.【例35】 用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（ ）A ．324B ．328C ．360D ．648【例36】 用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为129，，，⋅⋅⋅的9个小正方形（如图），使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且“3、5、7”号数字涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有（ ）种．A ．72B ．108C ．144D ．192【例37】 足球比赛的计分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，那么一个队打14场共得19分的情况有（ ）A ．3种B ．4种C ．5种D ．6种987654321排列数组合数的简单计算【例38】 对于满足13n ≥的正整数n ，()()()56...12n n n ---=（ ）A ．712A n - B ．75A n - C ．85A n - D ．125A n -【例39】 计算37Α=______．【例40】 计算310A ，66A ；【例41】 计算27C =______，57C =_______．【例42】 计算310C ，68C ；【例43】 计算37A ，410A ，37C ，4850C ，231919C C +．【例44】 已知4321140n n +=ΑΑ，求n 的值．【例45】 解不等式2886x x A A -<【例46】 证明：98789878A 9A 8A A -+=．【例47】 解方程322A 100A x x =．【例48】 解不等式288A 6A x x -<．【例49】 解方程：32111C 24C x x +=【例50】 解不等式：188C 3C m m ->．【例51】 设[]x 表示不超过x 的最大整数（如[2]2=，514⎡⎤=⎢⎥⎣⎦），对于给定的n *∈N ，定义[][](1)(1)C (1)(1)x n n n n x x x x x --+=--+，[)1x ∈+∞，，则当332x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，时，函数8C x 的值域是（ ）A ．16,283⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．16,563⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．284,3⎛⎫ ⎪⎝⎭[)28,56D ．16284,,2833⎛⎤⎛⎤ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦【例52】 组合数C rn ()1n r n r >∈Z ≥，、恒等于（ ） A ．111C 1r n r n --++ B ．()()1111C r n n r --++ C ．11C r n nr -- D ．11C r n n r-- 【例53】 已知12222C :C :C 3:5:5mm m n n n +++++=，求m 、n 的值． 排列数组合数公式的应用【例54】 已知32212020212221C C C C C nn n n ---+<<-，求21C n 的值．【例55】 若2622020C C ,()n n n ++=∈N ，则n =_______ 【例56】 若11C C C 345mm m n n n-+=∶∶∶∶，则n m -=【例57】 证明：1C (1)C C k k k n n n n k k +=++ 【例58】 证明：110011C C 11n n i i n n i i i n ++===++∑∑． 【例59】 求证：11211A A (1)A m m m n n n m -----=+- ． 【例60】 证明：102n k n n k kC n -==⋅∑．【例61】 证明：1230123()2n n n n n n n n n n C C C nC C C C ++++=+++． 【例62】 求证：1121C C C C C n n n nn n n n n m n m ++++++++++=；【例63】 计算：239999C C +，012945613C C C C ++++ 【例64】 证明：011220C C C C C C C C C k k k k k m n m n m n m n n m --+++++=．（其中min{}≤，k m n ） 【例65】 解方程12253333C C C 4x x x x x x x --++++=++Α 【例66】 确定函数3A x 的单调区间．【例67】 规定A (1)(1)mx x x x m =--+，其中x ∈R ，m 为正整数，且0A 1x =，这是排列数A m n （,n m 是正整数，且m n ≤）的一种推广．⑴求315A -的值；⑵排列数的两个性质：①11A A mm n n n --=，②11A A A m m m n n n m -++=（其中,m n 是正整数）．是否都能推广到A mx （x ∈R ，m 是正整数）的情形?若能推广，写出推广的形式并给予证明；若不能，则说明理由．排队问题【例68】 三个女生和五个男生排成一排⑴ 如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？⑵ 如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？⑶ 如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？【例69】 6个人站成一排：⑴其中甲、乙两人必须相邻有多少种不同的排法？⑵其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法？⑶其中甲、乙两人不站排头和排尾有多少种不同的排法？⑷其中甲不站排头，且乙不站排尾有多少种不同的排法？【例70】 7名同学排队照相．⑴ 若分成两排照，前排3人，后排4人，有多少种不同的排法？⑵ 若排成两排照，前排3人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种不同的排法？⑶ 若排成一排照，甲、乙、丙三人必须相邻，有多少种不同的排法？⑷ 若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，女生不能相邻，有多少种不同的排法？【例71】 6个队员排成一排，⑴共有多少种不同的排法？⑵若甲必须站在排头，有多少种不同的排法？⑶若甲不能站排头，也不能站排尾，问有多少种不同的排法？【例72】 ABCDE 五个字母排成一排，若ABC 的位置关系必须按A 在前、B 居中、C在后的原则，共有_______种排法（用数字作答）．【例73】 用1到8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数共有_ __个（用数字作答）．【例74】 记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（ ）A ．1440种B ．960种C ．720种D ．480种【例75】 12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是（ ）A ．2283C AB ．2686C A C ．2286C AD ．2285C A 【例76】 记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（ ）A ．1440种B ．960种C ．720种D ．480种【例77】 在数字123，，与符号+-，五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数是（ ）A ．6B ．12C ．18D ．24【例78】 计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩、4幅油画、5幅国画，排成一列陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有_____种．【例79】 6人站一排，甲不站在排头，乙不站在排尾，共有_________种不同的排法（用数字作答）．【例80】 一条长椅上有7个座位，4人坐，要求3个空位中，有2个空位相邻，另一个空位与2个相邻位不相邻，共有几种坐法？【例81】 3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ）A ．360B ．288C ．216D ．96【例82】 古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．”将五种不同属性的物质任意排成一列，但排列中属性相克的两种物质不相邻，则这样的排列方法有 种（结果用数值表示）．【例83】 在1234567，，，，，，的任一排列1234567，，，，，，a a a a a a a 中，使相邻两数都互质的排列方式共有（ ）种．A ．288B ．576C ．864D ．1152【例84】 从集合{}P Q R S ，，，与{}0123456789，，，，，，，，，中各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复）．每排中字母Q 和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是_________．（用数字作答）【例85】 从集合{}O P Q R S ，，，，与{0123456789}，，，，，，，，，中各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复）．每排中字母O Q ，和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是_________．（用数字作答）【例86】 6个人坐在一排10个座位上，问⑴ 空位不相邻的坐法有多少种?⑵ 4个空位只有3个相邻的坐法有多少种?⑶ 4个空位至多有2个相邻的坐法有多少种?【例87】 3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ）A ．360B ．288C ．216D ．96【例88】 12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整的方法的总数有（ ）A ．2283C A B ．2686C A C ．2286C A D ．2285C A 【例89】 两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本．将它们任意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率是_______．【例90】 2007年12月中旬，我国南方一些地区遭遇历史罕见的雪灾，电煤库存吃紧．为了支援南方地区抗灾救灾，国家统一部署，加紧从北方采煤区调运电煤．某铁路货运站对6列电煤货运列车进行编组调度，决定将这6列列车编成两组，每组3列，且甲与乙两列列车不在同一小组．如果甲所在小组3列列车先开出，那么这6列列车先后不同的发车顺序共有（ ）A ．36种B ．108种C ．216种D ．432种数字问题【例91】 给定数字0、1、2、3、5、9，每个数字最多用一次，⑴可能组成多少个四位数？⑵可能组成多少个四位奇数？⑶可能组成多少个四位偶数？⑷可能组成多少个自然数？【例92】 用0到9这10个数字，可组成多少个没有重复数字的四位偶数？【例93】 在1，3，5，7，9中任取3个数字，在0，2，4，6，8中任取两个数字，可组成多少个不同的五位偶数．【例94】 用12345，，，，排成一个数字不重复的五位数12345a a a a a ，，，，，满足1223344a a a a a a a a <><>，，，的五位数有多少个？ 【例95】 用0129，，，，这十个数字组成无重复数字的四位数，若千位数字与个位数字之差的绝对值是2，则这样的四位数共有多少个？【例96】 用数字0123456，，，，，，组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有______个（用数学作答）．【例97】 有4张分别标有数字1234，，，的红色卡片和4张分别标有数字1234，，，的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标数字之和等于10，则不同的排法数一共有 种．432；【例98】 有8张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有．．中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有（ ）A ．1344种B ．1248种C ．1056种D ．960种【例99】 有4张分别标有数字1234，，，的红色卡片和4张分别标有数字1234，，，的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标数字之和等于10，则不同的排法共有____种（用数字作答）．【例100】 用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是__________（用数字作答）．【例101】 用数字1,2,3,4,5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有（ ）A ．48个B ．36个C ．24个D ．18个【例102】 从1238910，，，，，这6个数中，取出两个，使其和为偶数，则共可得到 个这样的不同偶数？【例103】 求无重复数字的六位数中，能被3整除的数有______个．【例104】 用数字0123456，，，，，，组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有 个（用数学作答）．【例105】 从012345，，，，，这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为（ ）A ．300B ．216C ．180D ．162【例106】 从012345，，，，，这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为（ ）A ．300B ．216C ．180D ．162【例107】 从1到9的九个数字中取三个偶数四个奇数，试问：(1)、能组成多少个没有重复数字的七位数？其中任意两偶数都不相邻的七位数有几个？ ⑵、上述七位数中三个偶数排在一起的有几个？(3)、⑴中的七位数中，偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个？⑷、⑴其中任意两偶数都不相邻的七位数有几个？【例108】 用0到9这九个数字．可组成多少个没有重复数字的四位偶数？【例109】 有4张分别标有数字1234，，，的红色卡片和4张分别标有数字1234，，，的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标数字之和等于10，则不同的排法共有______种（用数字作答）．【例110】 在由数字12345，，，，组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有（ ）个A ．56个B ．57个C ．58个D ．60个【例111】 由0，1，2，3，4这五个数字组成的无重复数字的四位偶数，按从小到大的顺序排成一个数列{}n a ，则19a =_____．A ．2014B ．2034C ．1432D ．1430【例112】 从数字0、1、3、5、7中取出不同的三个作系数，可组成多少个不同的一元二次方程20ax bx c ++=，其中有实数根的有几个？【例113】 从{}32101234，，，，，，，---中任选三个不同元素作为二次函数2y ax bx c =++的系数，问能组成多少条图像为经过原点且顶点在第一象限或第三象限的抛物线?分堆问题【例114】 6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？⑴ 一堆一本，一堆两本，一堆三本；⑵ 甲得一本，乙得两本，丙得三本；⑶ 一人得一本，一人得二本，一人得三本；⑷ 平均分给甲、乙、丙三人；⑸ 平均分成三堆．【例115】 有6本不同的书⑴甲、乙、丙3人每人2本，有多少种不同的分法？⑵分成3堆，每堆2本，有多少种不同的分堆方法？⑶分成3堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？⑷分给甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本，有多少不同的分配方法？⑸分给甲1本、乙1本、丙4本，有多少种不同的分配方法？⑹分成3堆，有2堆各一本，另一堆4本，有多少种不同的分堆方法？⑺摆在3层书架上，每层2本，有多少种不同的摆法？【例116】七个人参加义务劳动，按下列方法分组有多少种不同的分法？⑴选出5个人再分成两组，一组2人，另一组3人；⑵选出6个人，分成两组，每组都是3人；⑶选出2人一组、3人一组，轮流挖土、运土．【例117】将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有种（用数字作答）．【例118】把一同排6张座位编号为123456，，，，，的电影票全部分给4个人，每人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是（）A．168B．96C．72D．144【例119】现有3辆公交车、3 位司机和3位售票员，每辆车上需配1位司机和1位售票员，问车辆、司机、售票员搭配方案一共有多少种？【例120】3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有（）A．90种B．180种C．270种D．540种【例121】将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为（）A．540 B．300 C．180 D．150【例122】某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有种．（用数字作答）染色问题【例123】如图，正五边形ABCDE中，若把顶点A、B、C、D、E染上红、黄、绿三种颜色中的一种，使得相邻顶点所染颜色不相同，则不同的染色方法有（）A．30种B．27种C．24种D．21种【例124】 将123，，填入33⨯的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，右面是一种填法，则不同的填写方法共有____________．【例125】 将1,2,3填入33⨯的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，下面是一种填法，则不同的填写方法共有（ ）A ．6种B ．12种C ．24种D ．48种【例126】 用红、黄、蓝、绿四种颜色给图中的A 、B 、C 、D 四个小方格涂色（允许只用其中几种），使邻区（有公共边的小格）不同色，则不同的涂色方式种数为（ ）．A ．24B ．36C ．72D ．84【例127】 将2个a 和2个b 共4个字母填在如图所示的16个小方格内，每个小方格内至多填1个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共有__________种（用数字作答）．【例128】 如图所示A 、B 、C 、D 、E 为5个区域，现备有5种颜色为5个区域321321321DC BA涂色，涂色要求：每相邻两个区域不同色，每个区域只涂一色，共有多少种不同的涂色方法？【例129】 如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，且两端的格子的颜色也不同，则不同的涂色方法共有种（用数字作答）．【例130】 如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色．要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有种（用数字作答）．错位排列【例131】 编号为1,2,3,4,5的五人入座编号也为1,2,3,4,5的五个座位，至多有2人对号的坐法有______种．【例132】 7个人到7个地方去旅游，甲不去A 地，乙不去B 地，问：共有多少种旅游方案?【例133】 7个人到7个地方去旅游，甲不去A 地，乙不去B 地，丙不去C 地，问：共有多少种旅游方案?【例134】 7个人到7个地方去旅游，甲不去A 地，乙不去B 地，丙不去C 地，丁不去D 地，问：共有多少种旅游方案?直接法（优先考虑特殊元素特殊位置，特殊元素法，特殊位置法，直接分类讨论）【例135】 从5名外语系大学生中选派4名同学参加广州亚运会翻译、交通、礼仪三项义工活动，要求翻译有2人参加，交通和礼仪各有1人参加，则不同的选派方法共有 ．【例136】 北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排E DCB A____________________。