一类非线性时滞广义系统的状态反馈控制_吴建成

第24卷第8期Vol.24No.8控　制　与　决　策Cont rolandDecision　2009年8月 Aug.2009收稿日期:2008209202;修回日期:2008212201.基金项目:国家自然科学基金项目(60474078,60474076).作者简介:吴建成(1956—),男,江苏南通人,教授,硕士,从事控制理论、非线性分析等研究;沃松林(1964—),男,江苏丹阳人,教授,博士,从事广义系统理论等研究. 文章编号:100120920(2009)0821192206一类非线性时滞广义系统的状态反馈控制吴建成1,沃松林2,陆国平3(1.江苏工业学院信息科学与工程学院,江苏常州,213164;2.江苏技术师范学院电气工程学院,江苏常州213001;3.南通大学电气工程学院,江苏南通226007)摘　要:利用线性矩阵不等式(L MI ),讨论了一类非线性时滞广义系统的状态反馈控制问题.通过对非线性映射Frechet 导数的逆矩阵的估计,给出了系统渐近稳定的充分条件.这一条件与时滞相关,可归结为一个线性矩阵不等式的可解性.在L MI 有解的条件下,可得到系统状态反馈控制器的参数表示.数值实例表明该方法是有效的.关键词:非线性广义系统;时滞;状态反馈控制;线性矩阵不等式中图分类号:TP273 文献标识码:AState feedback control for a class of nonlinear singular systems withdelayW U J i an 2cheng 1,W O S ong 2li n 2,L U Guo 2pi ng3(1.School of Information Science and Engineering ,Jiangsu Polytechnic University ,Changzhou 213164,China ;2.School of Electrical and Information Engineering ,Jiangsu Teachers University of Technology ,Changzhou 213001,China ; 3.School of Electrical and Information Engineering ,Nantong University ,Nantong 226007,China.Correspondent :WU Jian 2cheng ,E 2mail :wujc @ )Abstract :The state feedback control problem for a class of nonlinear singular systems with time 2delay is discussed in terms of linear matrix inequality (L MI )approach.By the estimation of the inverse matrix for Frechet derivate of a nonlinear mapping ,a delay 2dependent condition is proposed ,which guarantees the asymptotic stability of the solution to the systems.Also the condition is equivalent to the feasible solution of L MI.A parameterized representation of controller based on state feedback can be obtained under such a condition.Finally ,numerical examples illustrate the effectiveness of the approach.K ey w ords :Nonlinear singular systems ;Delay ;State feedback control ;Linear matrix inequality1　引 言在许多工程系统中,常常出现既含时滞又有代数结构的时滞广义系统.如电力系统、化工系统、航天器稳定系统、无损耗线路等[1].近年来,一些中立型系统甚至一般的系统也常常化为广义系统来研究[123].因此,广义系统各类控制问题成为热门的研究课题.线性矩阵不等式(L M I )方法是研究各类控制问题的重要方法.其主要优点在于:一是L M I 表示的条件可用软件求解验证,应用也很方便;二是利用L M I 常常可将线性系统的各类控制问题推广到一类非线性系统,如线性广义系统的指数稳定性可推广到一类带非线性扰动的广义系统[4].对于线性时滞广义系统,已有大量文献借助于L M I 研究其各类控制问题.如文献[1]利用Lyap unov 第二方法对这类系统进行讨论,给出了系统解存在、唯一和稳定的条件;[527]对这类系统的稳定与镇定问题进行研究,讨论了时滞相关和时滞无关的一些条件.有关参数不确定线性时滞广义系统的鲁棒控制和其他控制问题,一些文献也作了讨论[8,9],但用L M I 方法将这些结果推广到非线性系统的研究还很少.[10]利用L M I 将一类线性时滞广义系统的绝对稳定性推广到非线性项满足扇形条件的系统.对于范数有界的一类非线性时滞广义系统,尚未见有关研究报导.本文对一类范数有界的非线性时滞广义系统的稳定性及状态反馈控制问题进行研究.首先将系统第8期吴建成等:一类非线性时滞广义系统的状态反馈控制 转变为相应的微分积分系统;然后利用L M I 和非线性理论,给出一个非线性映射Frechet 导数的逆矩阵的估计式,在L yap unov 函数负定的基础上,证明了闭环系统的渐近稳定性;最后利用L M I 给出了系统控制器矩阵的参数表示.数值实例表明该方法是有效的.文中的记号说明如下:R n ×m :实n ×m 维矩阵集合,R n 为实n 维向量空间,其欧几里德向量范数和对应的矩阵范数记为‖・‖;L 2[0,+∞):[0,+∞)上平方可积函数空间,其范数记为‖・‖2;I ,I r :适当维数的单位矩阵和r 维单位矩阵;Q (>0):Q 是实对称矩阵且是正定的;3:对称矩阵中的对称项,即AB 3C=A B BTC.2　问题描述与准备工作不失一般性,考虑如下非线性时滞广义系统:E x =Ax +A d x d +Bu +f (t ,x )=Ax +A d 1x d 1+A d 2x d 2+Bu +f (t ,x ),(1)x (t )=φ(t ),t ∈[-d ,0].(2)其中:E =diag (I r ,0),0<r <n;A ,A d =(A d 1,A d 2)∈Rn ×n;B ∈Rn ×m为常数矩阵;A d 1和A d 2分别为n ×r 维和n ×(n -r )维矩阵;x =col (x 1,x 2)∈R n为状态向量;x d =x (t -d )=col (x d 1,x d 2)为时滞项;d >0为时滞;φ=col (φ1,φ2)为连续初始状态,这些向量的分量均为r 维和n -r 维向量;u ∈R m为控制输入信号;f ∈R n 为非线性函数,其范数的界基于下列假设:假设1　f (t ,x )关于t ∈[0,+∞)连续,关于x ∈R n可微,且f (t ,0)=0.假设2　对于所有的0≤t <+∞,x ∈R n ,J T f J f ≤F TF 成立.其中:J f =J f (t ,x )为函数f (t ,x )关于x 的J acobi 矩阵,F 为给定的适当维数的常数矩阵.注1　假设1和假设2蕴含[11]‖f (t ,x 1)-f (t ,x 2)‖≤‖F (x 1-x 2)‖.(3)于是f (t ,x )关于所有状态变量Lip schitz 连续,且f T (t ,x )f (t ,x )≤x T F TFx .(4)注2　对于非线性函数假定Lip schitz 连续,是为了保证系统存在唯一的解.本文的目的是设计状态反馈控制器u (t )=K x (t ),K ∈R m ×n.(5)使得系统(1)的闭环系统E x =A K x +A d 1x d 1+A d 2x d 2+f (t ,x )(6)的解x (t )是渐近稳定的,即lim t →+∞x (t )=0.这里A K =A +B K .记A 0=A +(A d 1,0),A K 0=A 0+B K ,A 1=(A d 1,0)A K ,A 2=(A d 1,0)A d ,A 3=(A d 1,0),A 4=(0,A d 2).首先给出与系统(6)和(2)等价的微分积分系统.定理1　闭环系统(6)和(2)等价于如下系统:E x =A K 0x -∫t[A 1x (θ)+A 3f (θ,x (θ))]d θ-∫tA 2φ(θ-d )dθ+f (t ,x )+A d φ(t -d )-A d 1φ1(0),0<t ≤d ;(7a )E x =A K 0x -∫tt-d[A 1x (θ)+A 2x d(θ)+A 3f (θ,x (θ))]d θ+f (t ,x )+A d 2x d 2=A K 0x -∫0-d[A 1x (t +θ)+A 2x (t +θ-d )+A 3f (t +θ,x (t +θ))]d θ+A 4x d +f (t ,x ),t > d.(7b )证明略.注3　式(6)与(7a )或(7b )中的任何一个方程都是不等价的.式(7a )和(7b )是闭环系统(6)在不同时刻的表示.对于渐近稳定而言,式(7b )的渐近稳定性保证了闭环系统的渐近稳定性,因此下面仅讨论式(7b )的渐近稳定性.3　系统的稳定性定理2　设f (t ,x )满足假设1和假设2.对于时滞d >0,如果存在矩阵P 和K ,正定矩阵R 1,R 2,R 3,正常数γ,满足条件E TP =P TE ≥0,(8)H 1=RP TA 4PTd A Td R -12A d -R d3(d γ-1)I<0.(9)其中R =P T A K 0+A T K 0P +d P TA 3(R 1+R 2+γ-1I )A T 3P +R 3+d A T K R -11A K +F TF ,则闭环系统(6)是渐近稳定的.为证明定理2,预先给出几个引理:引理1[4]　在定理2的条件下,存在非奇异矩阵M 和N ,使得MEN =diag (I r ,0),MA K 0N =diag (A r ,I n-r ).设　M =[M 1,M 2]T ,N =(N 1,N 2),3911 控制与决策第24卷M -TPN =P 1P 2P 3P 4.则M 2M T2=I n-r ,‖M 2‖≤1,P 1>0,P 2=0,P 4+P T4<0.引理2　设x 是式(7b )的解,z =(z T 1,z T 2)T =N-1x ,N 为引理1中确定的矩阵.则在定理2的条件下,‖z 1(t )‖,‖z ‖2和‖f ‖2是有界的.证明　构造L yap unov 函数V =V 1+V 2+V 3.其中V 1=x TE T Px =z T1P 1z 1,V 2=∫0-d∫tt+θ[x TA TK R-11A K x +x T d A T d R -12A d x d +γf Tf ]d ξdθ,V 3=∫tt-dx (θ)TR 3x (θ)d θ.这里P ,K ,R i 和γ由矩阵不等式(8)和(9)确定.分别计算函数V 的各项导数,并估计得V ≤ V ・=x T (P T A K 0+A T K 0P )x +2x T P T A 4x d +2x T P Tf+d x TP T A 3(R 1+R 2+1γI )A T3Px +d x TA TK R -11A K x +d x Td A Td R -12A d x d +γd f Tf +x T d R 3x -x Td R 3x d .当矩阵不等式(9)成立时,有V ・-(f T f -x T F T Fx )=(x T x T d f T )H 1(x T x T d f T )T<0,因此 V ≤ V ・<0.利用-H 1正定,则存在正常数λ0,使得V ≤-λ0(‖z ‖2+‖z d ‖2+‖f ‖2)<0.记λ1为引理2中P 1的最小特征值,则λ1z T 1z 1-V (0)≤z T 1P 1z 1-V (0)=x T P TEx -V (0)≤V (x )-V (0)=∫tV [x(ξ)]d ξ≤-λ0∫t[‖z ‖2+‖zd‖2+‖f ‖2]d ξ.即对于任意t >0,有λ1z T1z 1+λ0∫t[(‖z ‖2+‖z d ‖2)+‖f ‖2]dξ≤V (0).由此引理2结论成立.□引理3　设定理2条件满足,N 1,N 2,M 2为引理1中确定的矩阵,记MA 4N =A 411A 412A 421A 422,定义映射T :T z 2=z 2+M 2f (t ,N 1z 1+N 2z 2),则有:1)T 是R n-r 到R n-r 121映上的映射;2)T 的Frechet 导数T ′=I n-r +M 2J f N 2是可逆矩阵,且存在常数0<q 1<1,使得‖T ′-1‖≤11-q 1;3)存在常数0<q 2<1,使得‖T ′-1A 422‖≤q 2<1,Π0≤t <+∞,z ∈R n .证明　不等式(9)蕴含H 2=P TA K 0+A TK 0P +R 3+F TFP TA 4PT3-R 333-I<0,或N T (P T A k 0+A T K 0P +F T F +P TP )N <0.(10)用#表示没有必要写出的那些项,注意到N T P TA K 0N =P T1P T30PT 4A rI n-r=###P T4,N TP TPN =N TP TM -1MM TM -TPN =P T1P T30P T 4###IP 10P 3P 4=###P T4P 4.因此式(10)蕴含(P 4+I )T (P 4+I )-I +N T 2F TFN 2=P T4+P 4+N T 2F T FN 2+P T4P 4<0.从而存在常数0<q 1<1,使得‖FN 2‖=q 1<1.(11)由式(11)得‖M 2J f N 2‖≤q 1<1,因此T 是R n-r 到R n-r 121映上的.利用逆矩阵的Neumann 引理[11]即得2)的结论.下面证明3)的结论.当H 1<0时,蕴含H 2<0,或等价地有P T A K 0+A T K 0P +R 3+P T A 4R -13A T4P +P T P +F TF <0.(12)不等式(12)左乘N T和右乘N ,由Schur 补引理得N T (P T A K 0+A TK 0P +R 3+P T P +F TF )N N T P TA 4N 3-N TR 3N<0.记N TR 3N =R 11R 12R 21R 22,Σ=P T 4+P 4+P T 4P 4+N T 2F TFN 2+　R 22+P T 4A 422R -122A T422P 4.则上面不等式蕴含#####P T 4+P 4+P T4P 4+N TF TFN 2+R 22#P T4A 422#####AT 422P 4#-R 22<0,(13)4911第8期吴建成等:一类非线性时滞广义系统的状态反馈控制 以及Σ<0.对于任意的0≤t<+∞,z∈R n,有P T4T′+T′T P4+R22+P T4A22R-122A T422P4=P T4(I+M2J f N2)+(I+M2J f N2)T P4+R22+P T4A422R-122A T422P4≤P T4+P4+P T4M2M T2P4+N T2J T f J f N2+R22+P T4A422R-122A T422P4≤Σ<0.从而-P T4T′R-122T′T P4+P T4A422R-122A T422P4≤P T4T′+T′T P4+R22+P T4A422R-122A T422P4≤Σ<0,或-Σ+P T4A422R-122A T422P4<P T4T′R-122T′T P4.注意到-Σ正定,P T4A422R-122A T422P4半正定,且这两项均与t和z无关,因此存在正常数τ,使得-Σ-τP T4A422R-122A T422P4>0.由此得到(1+τ)P T4A422R-122A T422P4<P T4T′R-122T′T P4,或(1+τ)T′-1A422R-122A T422T′-T<R-122.于是‖T′-1A422‖<1/1+τ=q2<1.□定理2证明　设z=(z T1,z T2)T=N-1x.由引理1知,当x是系统(7b)的解时,z满足下列方程: z1=A r z1-∫t t-d M1[A1Nz(θ)+A z Nz d(θ)+A3f(θ,Nz(θ))]dθ+M1f(t,Nz)+(A411,A412)z d,(14)0=z2-∫t t-d M2[A1Nz(θ)+A2Nz d(θ)+A3f(θ,Nz(θ))]dθ+M2f(t,Nz)+(A421,A422)z d.(15)由引理2知z1是有界的.下面证明z2也有界.固定t0∈[0,+∞),根据式(15)构造单参数向量函数p(λ)=λ{∫t0t0-d M2[A1Nz(θ)+A2Nz d(θ)+A3f(θ,Nz)]dθ-(A421,A422)z(t0-d)}+(1-λ)f(t0,N1z1),0≤λ≤1.(16)由于T是121映上的,对于p(λ)∈R n-r,0≤λ≤1,有q(λ),q(0)=0,使得T q(λ)=p(λ)∈R n-r.对λ求导数,得到T′(q(λ))q′(λ)=p′(λ).因此,q′(λ) =T′-1(q(λ))p′(λ),从而‖z2(t0)‖=‖q(1)‖=‖q(1)-q(0)‖≤∫10‖q′(λ)‖dλ=∫10‖T′-1(q(λ))p′(λ)‖dλ.记M0(t0)=11-q1{∫t0t0-d M2[A1Nz(θ)+A2Nz d(θ)+A3f(θ,Nz)]dθ+A421z1d-f(t,N1z1)},则有‖z2(t0)‖≤‖M0(t0)‖+∫10‖T′-1(q(λ))A422z2d‖dλ.(17)由引理2知∫∞-d‖z‖2d t,∫∞-d‖f‖2d t,‖z1‖有界,因此f(t,N1z1)有界.从而存在正常数c6,使得‖M(t0)‖≤c6.根据引理3,‖z2(t0)‖≤c6+ q2‖z2(t0-d)‖.由此逐段递推得‖z2(t0)‖<c61-q2+‖φ‖,Πt0∈[0,+∞).(18)于是z2(t)是有界的.由于z有界,从而f(t,x)也有界,于是(z T1z1)′=2z T1 z1是有界的.由此‖z1‖2是一致连续的.由∫∞-d‖z1‖2d t<∞,可得lim t→+∞‖z1‖=0.当limt→+∞‖z l‖=0时,limt→+∞M0(t)=0.对于任意正整数i,利用式(17)可得‖z2(t+id)‖≤M0(t+id)+q2M0(t+(i-1)d)+…+q i2M0(t)+q i2‖z2(t)‖.利用z2的有界性及limi→+∞q i2=0,可得limt→+∞‖z2‖=0.所以limt→+∞‖x‖=0.□4　状态反馈控制在设计状态反馈控制器中,直接运用矩阵不等式(8)和(9)很不方便.为此,可将其转化为线性矩阵不等式.定理3　设f(t,x)满足假设1和假设2.对于时滞d>0,如果存在正定矩阵S0,S1,S2,S3,ηI∈R n×n(η为正常数),矩阵Y∈R n×(n-r),Z∈R m×n,满足L M IH3=R d A3I(AQ+BZ)T-ηI00(η-1)I03-S1→5911 控制与决策第24卷 ←Q T A T d Q T Q T F T000000000-S200-S30-I<0,(19)其中R=A0Q+Q T A T0+BZ+Z T B T+d2A3(S1+S2)A T3+A4S3A T4,Q=S0E T+ΦY T,Φ∈R n×(n-r)为满足EΦ=0的已知矩阵.则存在状态反馈控制器(5),控制律为K=Z(S0E T+ΦY T)-1.(20)当控制律由式(20)确定时,闭环系统(6)是渐近稳定的.证明　令P=Q-1,R1=d S1,R2=d S2,R3= S-13+d A T d R-12A d,η=dγ.利用Schur补引理,可将不等式(8)和(9)转换为Q T E T=EQ≥0,(21)R d A3I Q T A T K-ηI00(η-1)I0-S13→←Q T A T d Q T Q T F T000000000-S200-S30-I<0.(22)其中R=A0K Q+Q T A T0K+d2A3(S1+S2)A T3+A4S3A T4.记Z=K Q,利用文献[4]的方法可以证明,式(21)和(22)等价于式(19).再由定理2即可证明定理3成立.□注4　对于线性系统,f(t,x)=0,取F=0,有V2=∫0-d∫t t+θ[x T A T K R-11A K x+x T d A T dR-12A d x d]dξdθ,则式(19)可简化为　H～3= R(AQ+BZ)T Q T A T d Q T-S13-S2-S3<0.(19′)5　数值实例例1　考虑线性系统[1]x1(t)=0.5x1(t)-x1(t-d),0=-x1(t)-x2(t).利用比较保守的L M I判别条件[1,12],结论是系统对于d≤0.33是稳定的.由文献[1]的条件(即定理3),系统对于d≤1是渐近稳定的.利用本文方法,根据Matlab软件包计算,得到当d<1时(若用A4=0,将式(19′)降低一个矩阵块,则得d≤1),系统是渐近稳定的.例2　考虑如下系统的稳定性和状态反馈问题:E x=Ax+A d x d+Bu+f(t,x).其中E=I2,A=01000.101-11,A d=-1100-10.1-110.5,B=101101,f=αsin(x1+x2)sin x3,F T F=α2110110001,J T f J f=α2co s2(x1+x2)cos2(x1+x2)0co s2(x1+x2)cos2(x1+x2)000cos2x3≤F T F.当u=0时,系统的稳定性取决于时滞d和非线性函数中的α.当α=0.5时,对于任意的d>0,式(19)无解;当α=0.2时,求得d≤0.1249,式(19)有解;当α=0.15时,求得d=0.2139,式(19)有解.取α=0.15,d=0.2,x T=1-(t+0.22,sin10πt,0.5cosπt)T,-0.2≤t≤0,求得状态变量的解如图1所示.图1　求得广义系统状态变量的解6911第8期吴建成等:一类非线性时滞广义系统的状态反馈控制 当u=Kx时,可求得如下结果:　Z=4.9884-259.699247.2583-66.737850.3014-148.9653,　Q=122.1480-112.65710-112.6571123.82200-0.81510.4563-4.8666.控制律K=-11.9689-12.9513-9.7108 -0.4443-0.110830.6099.于是系统在状态反馈控制u=Kx下是渐近稳定的. 6　结 论本文针对带有非线性扰动的时滞广义系统的状态反馈控制问题,给出了控制器设计方法,并用非线性方法和线性矩阵不等式,从理论上论述了系统的稳定性.给出的条件与时滞有关,其优点是控制器设计可用Matlab软件包求解标准的线性矩阵不等式,因而更具实用性.利用该方法可讨论这类系统的保成本控制,带不确定项的鲁棒控制等其他控制问题.参考文献(R eferences)[1]Fridnan E.Stability of linear descriptor systems withdelay[J].J of Mathematical Analysis and Application, 2002,273(1):24244.[2]Chen W H,Zheng W X.Delay2dependent robuststabilization for uncertain neural system with distributed delays[J].Automatica,2007,43(1):952104.[3]Cao J W,Hong S M,Hu Y Y.Delay2dependentcondition for absolute stability of L urie control system with multiple time delays and nonlinearities[J].J of Mathematical Analysis and Application,2008,338(3): 4972504.[4]L u G P,Daniel W C,Yeung L F.G eneralized quadraticstability for perturbated singular systems[J].IEEE Trans on Automatic Control,2006,51(6):8182823. [5]Chaabane M,Bachelie O,Souissi M.Stability andstabilization of continuous descriptor systems:An L MI approach[J].Mathematical Problems in Engineering, 2006,12(4):1215.[6]Boukas E K.Delay2dependent robust stabilizability ofsingular systems with delays[C].IEEE Int Conf on Mechatronics and Automation.Canada,2005:13218. [7]Zhong R X,Yang Z.Delay2dependent robust control ofdescriptor systems with time delay[J].Asian J of Control,2006,8(1):36244.[8]Xu S Y,Dooren V P,Stefan R,et al.Robust stabilityand stabilization for singular systems with state delay and parameter uncetainly[J].IEEE Trans on Automatic Control,2002,47(7):112221128.[9]张先明,吴敏,何勇,线性时滞广义系统的时滞相关H∞控制[J].控制理论与应用,2005,22(4):6492652.(Zhang X M,Wu M,He Y.Delay dependent H∞control for linear descriptor systems with time delay[J].Control Theory&Applications,2005,22(4):6492 652.)[10]Wang H J,Xue A,L u R Q.Absolute stability criteriafor a class of nonlinear singular systems with time delay [J].Nonlinear Analysis:Theory,Methods& Applications,2009,70(2):6212630.[11]Ortega J M,Rheinboldt W C.Iterative solution ofnonlinear equations in several variables[M].New Y ork:Academic Press,1970.[12]K olmanovskii V,Iniculescu S,Richard J P.On theLiapunov2Krasovskii f unctionals for stability analysis of linear delay system[J].Int J of Control,1999,72(3): 3742384. (上接第1191页)[8]Nowak M.Aspiration level approach in stochasticMCDM problems[J].European J of Operational Research,2007,177(3):162621640.[9]Risto L,Joonas H,Pekka S.SMAA2Stochasticmultiobjective acceptability analysis[J].European J of Operational Research,1998,10(6):1372143.[10]Risto L,Pekka S.SMAA22:Stochastic multicriteriaacceptability analysis for group decision making[J].Operational Research,2001,49(3):4442454.[11]张全,樊治平,潘德惠.区间数多属性决策中一种带有可能度的排序方法[J].控制与决策,1999,14(6): 7032706.(Zhang Q,Fan Z P,Pan D H.A ranking approach with possibilities for multiple attribute decision making problems with intervals[J].Control and Decision, 1999,14(6):7032706.)[12]Keyser W D,Peeters P.A note on the use ofPROM ET H EE multicriteria methods[J].European J of Operational Research,1996,89(3):4572461.7911。