时滞系统动力学近期研究进展与展望

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精品课程申报表-同济大学

精品课程申报表
申请学校同济大学是否部属□√
是否已获市级精品课程□否获奖年度
课程名称理论力学
课程层次（本/专）本科
课程类型□理论课（不含实践）□√理论课（含实践）□实践(验)课所属一级学科名称工学
所属二级学科名称力学类
课程负责人徐鉴
申报日期2008.5.16
填写要求
一、以word文档格式如实填写各项。

二、表格文本中外文名词第一次出现时，要写清全称和缩写，
再次出现时可以使用缩写。

三、涉密内容不填写，有可能涉密和不宜大范围公开的内容，
请在说明栏中注明。

四、除课程负责人外，根据课程实际情况，填写1～4名主讲
教师的详细信息。

五、本表栏目未涵盖的内容，需要说明的，请在说明栏中注明。

课程负责人情况
课程类别：公共课、基础课、专业基础课、专业课课程负责人：主持本门课程的主讲教师
2. 主讲教师情况⑴
课程类别：公共课、基础课、专业基础课、专业课
3.主讲教师情况⑵
2. 主讲教师情况⑶
课程类别：公共课、基础课、专业基础课、专业课2. 主讲教师情况⑷
课程类别：公共课、基础课、专业基础课、专业课
3. 教学队伍情况
学缘结构：即学缘构成，这里指本教学队伍中，从不同学校或科研单位取得相同（或相近）学历（或学位）的人的比例。

时滞动力吸振器抑制扭转系统的振动

２０１２－０４ — １２收到第１稿，２０１２－０６１２收到修改稿国家自然科学基金资助项目（１０８０２０３５）
十通讯作者Ｅ－ｍａｉｌ：ｙａｎｙｉｎｇｚｈａｏ＠１６３．ｃｏｍ
ｋ＝０，１，２， …
厄一
仃］
（６）
其中 ∞ ｚ／为无时滞动力吸振器的固有频率．当
时滞动力吸振器的固有频率与外激励的频率相等时（即，Ｏｔ＝），时滞动力吸振器发生共振，从而将外激励输入到振动系统的能量全部吸收，将最大程
验结果．在扭转振动系统方面，Ｈｏｓｅｋ等¨ 。。研究了
采用离心摆式的时滞共振器来抑制扭转系统的振
动问题，研究结果表明，通过调节反馈增益系数和
时滞量可以很好的抑制主振动系统的扭转振动．作者近年来的研究也证实了时滞减振技术在抑制系统振动方面的优越性．本文采用时滞动力吸振器来
减小主系统振动的目的．Ｏｌｇａｃ等经过大量的理论和实验研究取得了时滞减振技术的理论依据和实
量越小，刚度越大对主系统的减振效果越好．Ｋｉｍ
等＿４研究了非线性冲击阻尼对带有间隙的扭转振动系统的频率响应特性的影响，研究发现冲击阻尼
降低了共振峰值，增强了动力系统的稳定性，减小

具有时滞的空间SIR传染病模型的动力学分析

系统存在三个平衡点，无病平衡点Ｅｏ＝（Ｏ，０，０），Ｅｌ＝（Ｋ，０，Ｏ）且
Ｋ￣ｉＲｏ＝ｆｌ＋ｙ＞１时，系统（１．１）存在唯一的地方病平衡点Ｅ＝（５，，，Ｒ），
ｌ
雾＝ｙ（１一去卅。Ｉ（ｚ
１．模型分析与求解
将系统（１．３）在Ｅ＝（ｓ，Ｊ）处线性化，我们得到
一
去ｓ十ｙ）
ｄ／
＝７（１一击）５
＋去＿（ｙ（１一击）
（２＿３）
＝０
得到其特征方程为：
假设媒介和人群充分混合，本文使用了易感者满足ｌｏｇｉｓｔｉｃ增长
令
ｓ（２．） — Ｐ嘶
￡卜。
，
懈
（２．５）
这里
其中ｋ为波数。将（２．５）代入线性化系统（２．４）得到特征方程：
ｓ＝
ｄＳ
＝
＝（卜
云ｒ
（１．２）
＋姜１ｇ＋１ｋ
ｄｅｔ
ｓａ
＿
ａ，
＝，（Ｓ，Ｊ）＋ｌＳ
．
去
２
（２．９）
券＝ｇ（Ｓ，ｎ＋１。ｊ
Ａ＝
（２．１）
ｚ（１一去）（ｌ＋），）
ＣＯＳ（，Ｏｒ＝—— — —一
的ＳＩＲ模型
展升得：
ｉｚ＋

系统动力学九种模型

系统动力学九种模型标题：系统动力学九种模型：一种掌握复杂系统行为的有力工具引言：系统动力学是一门研究动态系统行为的学科，旨在通过模型和模拟来分析和预测系统的行为。

在系统动力学中，有九种常用的模型，它们分别从不同角度和层次探索和描述系统的行为。

本文将深入探讨系统动力学中的九种模型，并分享对这些模型的观点和理解。

第一部分：系统动力学简介与基本概念1.1 系统动力学的定义和应用领域1.2 动态系统和反馈环路的基本概念第二部分：系统动力学九种模型的介绍与分析2.1 流量模型：描述物质或信息在系统中的流动2.2 资源积累模型：描述资源的积累和消耗2.3 优先水平与延迟模型：描述不同的优先级和延迟对系统行为的影响2.4 饱和非线性模型：描述系统在达到饱和点后的行为变化2.5 非线性积分模型：描述系统内部非线性交互对整体行为的影响2.6 动态变化和叠加模型：描述系统多个变量之间的相互作用与叠加效应2.7 时滞模型：描述系统行为中存在的时间滞后和延迟2.8 分层模型：描述系统中的层次结构以及不同层次之间的相互作用2.9 非线性交互模型：描述系统中多个元素之间的非线性相互作用第三部分：系统动力学九种模型的应用案例分析3.1 商业经济领域中的应用案例3.2 环境与能源管理中的应用案例3.3 社会系统中的应用案例3.4 健康医疗领域中的应用案例第四部分：总结与回顾性内容4.1 对系统动力学九种模型的综合回顾4.2 对应用案例的总结与反思结论：系统动力学九种模型是一种有力的工具，能够揭示系统行为的本质和规律。

通过对这些模型的研究和应用，我们能够更深入地理解和预测复杂系统的行为。

在不同领域的实践中，系统动力学九种模型已经取得了许多成功的应用案例。

然而，我们也要意识到这些模型只是对现实世界的近似和抽象，对复杂系统行为的完整描述还需要我们的不断深入研究和探索。

（2000字）4.1 对系统动力学九种模型的综合回顾在前面的章节中，我们对系统动力学九种模型进行了详细的介绍。

脉冲微分动力系统的最新研究进展

在一般形式的ＳＩＳ传染病模型中，ＥＲ我们考虑常数输入、因病死亡、疾病的潜伏期以及周期的预防接种，建立了具有脉冲预防接种和总人口变化的时滞ＳＩＳＥＲ传染病模型Ｈ：Ｊ
Ｓ￡＝Ａ一卢（）（）一（）＋（）Ｓ￡Ｉ￡Ｓ￡尺（）￡］
传染病动力学中的定期接种、癌细胞的放疗和化疗；药物动力学中Ｅ服药物、ｌ静脉注射；种群动力学中的动物的季节繁殖，渔业养殖与森林管理中的投放、种植、收获；环境污染中毒素的排放、定期的治理等都是脉冲现
象．用脉冲微分方程来描述能更真实地反映这些过程．
陈兰荪、宋新字、靳祯在文献［］介绍了目前脉冲微分方程在种群动力学、１中，传染病动力学、药物动力学、可再生资源的开发利用等方面的研究工作．下面介绍近两年来的有关研究工作．
维普资讯
２期．
赣南师范学院学报
２００８年
运用脉冲微分方程理论以及比较定理，得到了系统（）１无病周期解全局吸引和系统一致持久的充分条件，也即疾病消除和流行的充分条件．结果表明较长的潜伏期有利于疾病消除．文献［ — ］５６还考虑了具有脉冲预防接种的ＳＲＳＩＩ、ＥＲ离散时滞传染病模型．
１脉冲时滞传染病模型
众所周知，时滞在生物活动中经常出现，时滞对生态系统的性质可以产生很多的影响，长的时滞会破较坏系统的平衡位置的稳定性ｊ时滞在传染病的传播过程中同样也扮演着重要角色，．传染病的潜伏期、恢复者对疾病的免疫期和患者对疾病的感染期都可以利用时滞来描述．过去人们在建立传染病传播模型时，往往忽略疾病的传染期、潜伏期和免疫期，反映在模型中就是不考虑时滞，与不含时滞的传染病模型相比较，含有时滞的传染病模型能够更好地刻画疾病的传播规律．时滞可分为离散时滞和分布时滞两种．文献［７４— ］研究了离散或分布时滞对疾病流行规律的影响．１１脉冲离散时滞传染病模型．

带有时滞和收获的扩散捕食系统的斑图动力学分析

带有时滞和收获的扩散捕食系统的斑图动力学分析
常红翠;焦建锋;王战伟;张理涛
【期刊名称】《郑州航空工业管理学院学报》
【年(卷),期】2024(42)2
【摘要】文章研究了一类带有食饵收获效应和时滞的捕食系统的Turing斑图的形
成及选择问题。首先利用稳定性理论给出了由交叉扩散项引起的Turing不稳定条
件和分支理论分析,得到了系统Turing斑图的存在区域。然后利用Matlab软件对
系统Turing斑图的形成和选择结果进行了数值模拟。这为以后带有交叉扩散的时
滞反应扩散系统的研究提供了可行的方法,具有广泛的理论应用价值。

【总页数】5页(P108-112)
【作者】常红翠;焦建锋;王战伟;张理涛
【作者单位】郑州航空工业管理学院经济学院;郑州航空工业管理学院数学学院
【正文语种】中文
【中图分类】O175.21
【相关文献】
1.带有时滞和非线性收获效应的捕食者-食饵系统的空间动力学2.一类具有时滞和
基于比率的N种群捕食-被捕食扩散系统的正周期解的存在性3.具有时滞和扩散的
捕食与被捕食系统(英文)4.具有时滞与扩散项的一类捕食者模型的时空动力学研究
5.一类具有时滞且带有捕食者相互残杀项的捕食模型的时空斑图

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具有阶段结构和时滞的微分方程研究

也产生很大影响，较长时滞会破坏生态系统的稳定
ｄ１（￡）ｄｔ
一
￣ｅ－ｄｌｄｙ２（ｔ）
＝＝＝ｈｅ－ｄｌｒ
— ｄｙ１（）
一
丁
Ｙｌ
２（）一＝：Ｙ２（￡），＋，Ｊ卜一 — ｎＴ
、
程更真实地反映，例如：生物种群个体的出生、人类脉冲投放捕食者和喷洒杀虫剂、人类对生物资源的脉冲捕获与投放等等．在自然界生态系统中物种的出生率、死亡率等生存指数几乎总是与年龄、种群的大小或发展阶段有关，每个阶段都有不同的特征，因此研究捕食系统应根据物种大小、形状、行为等特征分为幼年和成年两个阶段；另一方面，时滞对生态系统的性质
群的成熟期．
饵模型；文献Ｅ８］研究了害虫具有阶段结构和时滞的捕食与被捕食系统的灭绝性与持久性；文献［９］
研究了捕食者具有阶段结构和时滞的捕食一食饵系统，捕食者捕食食饵而增强生育能力．受近来研究工作的启发，文中研究了连续收获成年捕食者和脉
投入与对捕食者连续收获的阶段结构时滞捕食一食
且ｄ＜Ｅ＋ｄ１；Ｔ是脉冲周期， ∈ 一（１，２， …）；
０＜ｑ ≤ １表示在ｔ —ｎＴ时刻收获食饵的残存率；是在ｔ＝＝＝ｎＴ时刻按常数投放幼年捕食者的数量，它与捕食者的种群数量无关；ｒ≥ ０表示捕食者种

时滞反馈非线性扭振系统的稳定性与Hopf分岔研究

动力学方程，得到了连续传动轴的频响函数。文献
类自治系统的稳定性控制，重研究了时滞参数着
对自治系统极限环幅值的影响以及Ｈｐ分岔产生ｏｆ的条件。最后用数值仿真的方法证明了该控制方法的有效性，为实现该类自治系统的控制机理提供理
摘要：究了具有Ｄｕｎ — ａｒｏ组合振子和时滞特性两惯量非线性扭振系统的稳定性和Ｈｐ分岔问题。研ｉｆｇＶｎｅｐｌｄｏｆ建立了两惯量非线性扭振系统的动力学方程，通过设计线性位移和速度时滞反馈控制器构造了扭振受控系统。采用多尺度法推导出极限环幅值与时滞参数之间的关系。在对系统零解稳定性分析的基础上，出Ｈｐ分岔产得ｏｆ
１动力学方程的建立
对于两惯量旋转机械扭振系统，设、为系
统集中惯量的转动惯量，０、０为集中惯量的转角，。２０、为集中惯量的转速，、为外力矩。两惯量非线性扭振系统力学模型如图１所示。图中Ｃ一０）示系统线性阻尼，￣（广０，。２示１（２表ｃｏ２一０）ｆ表
一
防等领域发挥着无可替代的作用。旋转机械常常由于出现扭振而影响其正常工作甚至导致设备损坏，造成重大的经济损失。年来，关于旋转机械扭振近系统的机理及控制方法研究日趋活跃。文献［］３采用传递矩阵法建立了含连续质量的单轴扭转系统

时滞对振动主动控制系统控制效果的影响分析

时滞对振动主动控制系统控制效果的影响分析张伟中;张斌;伍晓红;孙清【摘要】为解决振动主动控制技术在实际工程应用中反馈环节的时滞会导致受控系统失稳的问题,以获得最优的控制效果,提出了采用逐步输入荷载项的方法,对精细积分方法进行修正,用以求解含双时滞受控系统的动力学方程.通过数值仿真,计算不同时滞情况下的系统响应,在得到不同反馈增益下含双时滞的动力系统响应峰值分布基础上,分析了时滞变化和反馈增益不同的取值对系统响应的影响.研究结果表明,时滞对受控系统控制效果的影响程度随反馈增益的增大而增大,当时滞量和反馈控制增益匹配调节适当时,可以使系统保持稳定状态,该结果可为考虑时滞影响的结构振动主动控制算法的合理设计提供依据.%In order to slove the problems of time delays in feedback control may result in the unstable motion of an active controlled system for vibrations in actual engineering applications and to obtain the optimal control effect, by solving a kind of dynamic equation of control system with double time delays with a modified precise integration method based on a step —by—step input load method, the influences of different values of time delays and feedback control gains on stability of active control system were investigated. A numerical example of response peak distribution of dynamic system with two delays under different feedback gains was proved by calculating different system response under variable time delays. The influences of different values of time delays and feedback control gains on distribution of stabile areas of system were investigated and analyzed, which indicates that the influence of time delays becomes more distinct as system feedback gains increase.The system always keeps stable state when the time delay and the feedback gain get matched, which provides evidence to design active structural vibration control algorithm under the influence of time delays.【期刊名称】《中国机械工程》【年(卷),期】2013(024)003【总页数】5页(P317-321)【关键词】振动主动控制;精细积分方法;时滞;动力响应【作者】张伟中;张斌;伍晓红;孙清【作者单位】浙江机电职业技术学院,杭州,310053;河南省电力勘测设计院,郑州,450007;西安交通大学,西安,710049;西安交通大学,西安,710049【正文语种】中文【中图分类】TH113.10 引言时滞系统普遍存在于自然和工程实际中，从自然界到人类社会，从自然科学、工程技术到社会科学，时滞现象无处不在［1-12］。

具时滞和扩散的几类化学反应模型的动力学性质分析

具时滞和扩散的几类化学反应模型的动力学性质分析化学反应是自然界中非常常见的现象。

研究化学反应模型的动力学性质,有助于了解反应过程的作用机制及演变规律,对参与反应的反应物的发展趋势作出较为准确的预测。

本文主要研究了带有时滞和扩散的几类化学反应模型的动力学性质,包括常值稳态解的稳定性、Turing不稳定性、稳态解分支、Hopf分支的存在性及分支的性质等。

主要工作如下:(一)建立了具时滞反馈和齐次Neumann边界条件的双分子自催化反应模型,并分析了扩散和时滞反馈对系统动力学性质的影响。

通过对特征根的分布情况的分析,给出了由扩散引起的不稳定性存在的充分条件,并论证了时滞引起的Hopf分支的存在性,最后利用中心流形定理和规范型理论分析了分支的性质,并列举了几个数值算例来支撑理论分析的结果。

研究结果表明,当系统中的抑制剂比激活剂扩散得快时,会出现Turing不稳定现象。

在某些特定的条件下,时滞反馈项变化时会破坏系统常值稳态解的稳定性,出现周期振荡;当反馈强度较小时,选取合适的时滞,会导致稳定性开关的出现,此时,时滞反馈项能将不稳定的稳态解调整成稳定的稳态解。

(二)考察了一个带有时滞反馈项的任意阶自催化反应扩散模型。

在系统满足齐次Neumann边界条件的情况下,研究了时滞反馈对系统常值正稳态解的稳定性的影响,推导出了Hopf分支的存在条件,并分析了分支的方向和分支周期解的稳定性。

最后列举了与理论分析相符的数值算例。

理论分析的结果表明,时滞反馈项不仅会影响常值稳态解的稳定性,而且当时滞反馈变化时,系统会出现空间均匀的周期解以及空间非均匀的周期解。

此外,从数值模拟的结果中可以看出,当反馈强度变大时,时滞反馈项的加入会导致空间非均匀的周期解变得不稳定。

(三)考察了具时滞反馈的光敏CDIMA模型。

当边界处满足齐次Neumann边界条件时,分析了扩散对常值正稳态解的稳定性的影响,推导出了扩散驱动的不稳定性的存在条件。

分数阶时滞忆阻混沌电路的动力学分析及电路仿真

2］区间变化，见图 4。从分岔图可以很明显地看出
和 C1 = 1.232μFC 2 = 1.835μFC 3 = 1.10μF 。运算
时，出现 Hopf 分叉，最后随着 a 的增加变为混沌状
供 ±15 的电压和 R = 11.24kΩ ，整体电路图如图 6
系统（2）的轨道从周期状态开始，然后当经过阈值
数阶忆阻器，将其替换图 1 中的电容得到分数阶磁
控忆阻器，数学表达式为
ì dx q 2
ï
= 1 q x1
dt
R 0C 0
ï
（1）
í
æ1
g1 g 2
2ö
ï
1
ï f ( x1 x 2 ) = ç R - R + R [ x 2] ÷ x1
2
è 1
ø
î
其中 x1、x2 和（
f x1，x2）分别是忆阻器的输入、内部状
态。各状态的相位图和时域图如图 3 所示。当
（a）a = 1.62
放大器和乘法器采用 AD711KN 和 AD633JN ，提
（c）所示。
（b）a = 1.68
（d）a = 1.62
（e）a = 1.73
图5
相位图与时域图
（c） a = 1.73
统进入混沌状态，如图 5（b）和（e）所示。当 a = 1.73
时，系统展现出双涡旋的混沌吸引子，如图 5（c）和
（f）所示。
出一个引理来讨论式（3）的根的分布。
引理 1 对于式（3），以下结果成立：
1）如果 ψ k > 0(k = 1234) 且 A 3 + A 4 ¹ 0 ，则
方程（3）在时滞 τ ³ 0 时没有实部为零的根。

系统动力学模型

系统动力学模型系统动力学模型是研究各种动力学运动的概念模型。

它是一种描述力学系统的行为的解析方法，可以精确地描述物体的运动，并预测其未来的行为及其变化趋势。

系统动力学模型可以用于描述各种动力学系统，包括化学反应、生物运动、工业流程以及经济系统等，是许多应用科学领域的核心技术。

系统动力学模型可以分为四种类型：常规系统动力学模型、非线性系统动力学模型、时滞系统动力学模型和混沌系统动力学模型。

常规系统动力学模型是一种基本的动力学模型，它表示一定的力学系统满足特定的初始条件，描述其时间变化。

非线性系统动力学模型是一种比常规模型更为复杂的动力学模型，它可以考虑更多的变量和更多的外部输入变量。

时滞系统动力学模型的特点是反应外部力的变化的反应可能会有一定的滞后期，使得系统的变化更为复杂。

最后，混沌系统动力学模型是一种考虑系统的复杂性的模型，它可以描述系统内部的复杂性而产生的不可预测的行为。

系统动力学模型是一种抽象的概念，它可以帮助人们更好地理解动力学系统的行为。

它有助于分析系统中的关系，识别输入和输出之间的依赖关系，确定系统中的参数，预测其未来行为等。

这种方法不仅可以描述一个已知的动力学系统，而且可以预测未来的系统行为。

此外，系统动力学模型也可以用于研究动力学系统的外部环境，以及外部环境对动力学系统的影响。

它可以帮助我们了解系统的外部环境，并为我们把握系统的概况提供见解。

另外，它还可以帮助我们针对不同的外部环境给出最合适的解决方案。

系统动力学模型是有用的工具，它可以帮助我们更好地理解系统的行为，并预测它们未来的发展趋势。

它不仅可以帮助我们研究动力学系统，而且可以帮助我们研究系统的外部环境，并给出有效的解决方案。

它的重要性不言而喻，是未来应用科学领域不可忽视的核心技术。

总之，系统动力学模型是研究各种动力学运动的概念模型，可以用于描述各种动力学系统，并帮助我们理解系统、研究系统的外部环境、预测未来的系统行为以及给出有效的解决方案。

带有时滞的随机微分方程sdde

带有时滞的随机微分方程sdde随机微分方程是描述随机过程的重要工具之一。

在实际应用中，我们经常遇到带有时滞的随机微分方程，它是一种具有延迟效应的动态系统模型。

本文将介绍带有时滞的随机微分方程的基本概念、特性以及数值解法，为读者理解和应用这一领域的知识提供指导。

时滞是指系统的当前状态受到之前状态的影响，存在一定的延迟效应。

在许多实际问题中，时滞起到了重要的作用，例如生态系统中的种群动力学模型、经济系统的波动模型等。

时滞的引入使得系统的行为更加复杂，因此需要结合随机过程的理论进行建模和分析。

带有时滞的随机微分方程可以写作以下形式：$$dX(t) = [f(X(t),X(t-\tau(t)),t) + g(X(t),t) \cdotdW(t)]dt$$其中，$X(t)$是系统状态随时间变化的函数；$f(\cdot)$是关于当前状态、历史状态和时间的确定性函数；$g(\cdot)$是关于当前状态和时间的随机函数；$dW(t)$是标准布朗运动（或称为白噪声过程），代表随机扰动的源。

带有时滞的随机微分方程的特点是系统的状态变量是随机的，并且受到时间延迟的影响。

这使得系统的行为具有不确定性和非线性的特征。

因此，不同于确定性微分方程，带有时滞的随机微分方程的解不再是具有确定性的轨迹，而是一个随机过程。

为了研究这类方程的解的统计特性，需要借助概率论和随机过程的理论。

对于带有时滞的随机微分方程，我们可以使用数值方法求解。

其中，最常用的是Euler-Maruyama方法，该方法将随机微分方程离散化为差分方程，通过迭代逼近连续解。

通过控制时间步长，我们可以获得任意精度的数值解。

在实际应用中，带有时滞的随机微分方程有着广泛的应用。

例如，在金融领域，带有时滞的随机微分方程可以用于建立资产价格变动的模型，通过分析模型的解的统计特性，可以为风险管理和投资决策提供指导；在生物领域，带有时滞的随机微分方程可以用于研究生物系统中的时滞效应对种群演化的影响，深入理解生态系统的稳定性和动态性。

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第３６卷　第ｌ期　２００６年２月２５日　力　学　进　展　

ＡＤＶＡＮＣＥＳ　ＩＮ　ＭＥＣＨＡＮＩＣＳ　、　１．３６　Ｎｏ．１　

Ｆｅｂ．２５，２００６　

时滞系统动力学近期研究进展与展望　料　徐鉴十　裴利军　同济大学航空航天与力学学院，上海　２０００９２　

摘要　综述了１９９９年以来时滞系统动　学在力学、机械Ｔ程、航审航天、生态学、生物学、神绎　络、激光、　电子和信息技术、保密通讯和经济学等领域的研究进展，总结了其中的研究方法．通过本文可以看出时滞系统普遍　存在于自然和Ｔ程实际中，即使对已经非常熟悉的简单振子，考虑到时滞的影响，仍有许多问题有待作更深入的理　论研究和新现象的发现，针对以往研究中出现的问题，提出今后几年的发展方向、建议和展单，同时指出了在理论　上急需解决的一些科学问题，例如以时滞反馈控制为中心的控制策略、非线性因素和时滞联合作用的影响、时滞导　致的多级分岔使系统呈现出复杂动力学行为、以时滞状态变量耦合为中心构成的网络系统计算模型对系统的影响等　问题郁是非线性动力学系统所遇到的科学基础问题．　

关键词　时滞系统，非线性动力学，时滞微分方程，分岔，混沌，复杂性　

１引言　动力学是力学最古老最根本的部分，但也是不　断出现新发现、新方向的领域．现代动力学的发展表　现出两个非常明显的特征．　（１）随着主动控制技术　的飞速发展，人们越来越关注对力学系统主动施加控　制后的各种性能指标与动力学性质．车辆主动悬架系　统、现代机械加工系统、按空气动力学特性受控的机　翼、各种智能结构等，这些现代力学系统无一不足在　摔制的参与下工作的．各种真实的受控系统，包括高　速运动或低速运动下的大量动力系统、人机交互作　用下的动力系统等，都可能具有明显的滞后效应．例　如，车辆主动悬架系统、金属切削颤振等问题中的控　制环节都存在明显的时滞，这样形成的控制系统由　于控制信号传输或控制设备自身仔在的不可避免的　某些缺陷，使得在控制与系统作动之间存在的时间　差或时滞，于是形成的系统成为时滞动力系统，尽管　在过去的处理中，人们常常：忽略时滞并解决了许多　问题，但随着对被控系统动力学行为要求越来越精　确化，就需要考虑时滞埘系统的影响，已经有结粜表　明，即使是毫秒级的时滞Ⅱ三会导致系统复杂的动力学　

行为．另一方面，对于许多时滞系统，如果忽略时滞　就会导致错误的结论．　（２）重要特征是力学和其他　学科的相瓦融合、相互渗透．如生物力学就是由生物　学与力学的融合而形成的新兴交叉学科，研究的思　路主要是运用力学理论和方法研究生物体的运动机　理与控制．如人体运动姿态及其控制是生物力学中　的重要研究内容．假设处于平衡态静止站立的人受　到可以导致非常复杂晃动的扰动，这种扰动将会导　致人从原平衡点移开．在整个过程中，神经系统反应　系统的输出导致～·个具有时滞的负反馈，于是人运　动的整个运动模式可以看成是一个非线性的时滞动　力系统，姿态控制是一个避免可能振动（Ｈｏｐｆ分衍）　的优化过程．　已有充分的证据表明，时滞系统普遍存在于自　然和工稗实际中，它的普遍性在于时滞的普遍性．从　自然界到人类社会、从自然科学、工程技术到社会科　学，时间滞后（ｄｅｌａｙ，ｔｉｍｅ　ｄｅｌａｙ，ｌａｇ，简称时滞）现象　无处不在．无论何种时滞系统，随时间的演化不仅依　赖于系统当前的状态，　且依赖于系统过去某一段时　间的状态．换句话说，系统过玄某一段时间的状态对　系统目前状态的影响存在一个时间Ｌ的滞后（时滞）．　

收稿口期：２００５—０９—０８，修同口期：２００５一ｌ２—２２　国家自然科学重点基金（１０５３２０５０）和国家自然科学基金（１０４７２０８３）资助项目　

Ⅸ力学进展》常务编委陆扁韶推荐　十Ｅ　ｍＭｌ：ｘｕｊｌａｎ＠ｍａｉｌ　ｔｏｎｇｊｉ．ｅｄｕ，Ｃｒｌ　

维普资讯 http://www.cqvip.com 系统中的时滞可以被归结为下列情况之一或几种情　况的组合：　（１）系统变革的测量；　（２）系统中的物理和化学性质；　（３）信号传送（传送时滞）．　于是，一个非常直观并且容易理解的问题被提出来，　即时滞或时滞长短是否会影响系统的动力学行为　呢？另一方面，在几乎所有的受控系统巾，特别是对　于一个大系统，由于传输和测量的时间滞后，是否会　对系统的群体动力学行为产牛本质的影响？冈此，深　入研究含时滞的力学系统的动力学特性不仅对认识　这些系统本身具有重要的意义，也会对牛物、生态、　神经网络、物理学、电子与信息科学、机械工程、燃　烧动力学、化学工程和经济等研究领域的研究起到　促进作用．　基于上述动机，本文针对与力学有关一些研究领　域，对１９９９年以后时滞系统动力学的研究进展进行　分类综述，总结了其中的研究方法，针对研究中出现　的问题，对时滞非线性动力学今后几年的发展方向提　Ｈ＝ｊ了建议和展望，同时指出了在理论上急需解决的一　些科学问题．对１９９９年以前的研究动态，可以参看　文献＿１１．　２时滞动力系统的特点和处理方法　与用映射和微分方程所描述的动力系统相比，　时滞动力系统的运动不仅依赖于当前的系统状态，　而且与过去一段时间的系统状态有关：决定系统行　为的初始状态不再是系统在零时刻的状态，而依赖　于零时刻之前某一时间段或者若干时间段的系统状　态，这样的时间段称为“时滞”．时滞动力系统的数学　模型足时滞微分方程，它是一类泛函微分方程ｌ２叫】，　这类方程有其明显的特点：一方面，初值空间是全体　连续函数泛函空间，以往的微分方程理论已经不适　用；　另一方面，由于时滞的出现，系统在平衡点附近　的线性近似系统的特征方程就由一般的有限次多项　式代数方程变为超越方程，特征根也由有限个变为　无限多个，解空间也成为无限维．　对于时滞动力系统，即使是最简单的情彤，其动　力学也可能非常复杂．例如，线性时滞动力系统的特　征方程是含有指数函数的超越方程，即使是一阶时滞　动力系统，其特征方程也可能有一对纯虚根、两对纯　虚根、甚至更多对纯虚根．相应的非线性时滞系统可　以发生Ｈｏｐｆ分岔、Ｈｏｐｆ－Ｈｏｐｆ分岔、Ｈｏｐｆ＿Ｈｏｐ　Ｈｏｐｆ　分岔等等，在这些Ｈｏｐｆ分岔相瓦作用下的系统运动　１Ｒ　－　可能极为复杂．又如，在无时滞情况下，一些简单非　线　振动系统（如无外激励的Ｄｕｆｆｉｎｇ振子）的动力　学行为并不复杂，但只要对Ｄｕｆｆｉｎｇ振子实施状态反　馈控制，控制过程中的时滞就会使振子产生非常复杂　的动　学行为，如出现多个怙Ｊ期运动共存、周期运动　与拟怙】期运动共存、混沌运动等现象．　时滞微分方程的特点使得对时滞动力系统研究　难度大大增加，以往工程界通常采用忽略时滞的影　响来简化问题，从２Ｏ　纪９Ｏ年代起，国内外工程　界和学术界开始更加关注对时滞系统的研究．根据时　滞系统的特点和所研究的问题，国内外学者主要采用　以下　些方法．　

２．１平衡点的存在唯一性、稳定性分析方法　利用Ｍ一矩阵和同胚映射研究时滞动力系统平　衡点的存在唯一性，如文【１ｏ］．　时滞微分动力系统的平衡点的局部稳定性的研　究方法有：　（１）Ｒｏｕｃｈ６，定理、Ｃｏｏｋｅ和Ｇｒｏｓｓｍａｎ方法，如　文［１１］；　（２）Ｎｙｑｕｉｓｔ判定准则，如文【１２］；　（３）Ｈｕｇｈｅｓ和Ｈｏｎｇ门点（ｇａｔｅ　ｐｏｉｎｔｓ）定理［　Ｊ：　町以判断哪个特征根最先穿越虚轴；　（４）Ｌｙａｐｕｎｏｖ泛函，如文［１４］；　（５）线性矩阵不等式（１ｉｎｅａｒ　ｍａｔｒｉｘ　ｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓ，　ＬＭＩ）方法，如文［１５］；　（６）描述（ｄｅｓｃｒｉｐｔｏｒ）型、　“中立型表达”等变　换，并构造Ｌｙａｐｕｎｏｖ—Ｋｒａｓｏｖｓｋｉｉ泛函，得到滞后　、　中立型微分方程组的稳定性条件，如文［１６］；　（７）迭代分析法：直接根据系统的系数之问的积　分估计，给出稳定性的代数判据，由此发展了大系统　的分块估值比较法．这种方法避免了构造Ｌｙａｐｕｎｏｖ　函数之难，省去　大量繁难的计算，如文［８］；　（８）维数划分法（Ｄ—ｓｕｂｄｉｖｉｓｉｏｎ　ｍｅｔｈｏｄ）：对单时　滞线性时不变系统，可以得到时滞参数空间上的稳定　性区域，如文ｆ１７１．　平衡点稳定　分析最基本的方法仍然是考察特　征方程根的变化　．　

２．２时滞动力系统的Ｈｏｐｆ分岔分析方法　时滞动力系统的Ｈｏｐｆ分　问题是时滞系统研究　的主要问题之一，包括Ｈｏｐｆ分岔条件、分岔的方向、　分岔周期解求解及其稳定性等．研究方法有：　（１）中心流形定理和规范形理论［１ｏＪ：该ｌ方法是　种经典方法，由于有着严密的数学基础，一直受到　数学家的青睐，方法不但可以得到分岔点领域内解的　

维普资讯 http://www.cqvip.com 分类动力学拓扑性质，而且可以得到近似周期解的解　析形式．然而，方法要求研究人员有相当好的数学基　础知识，在工程应用研究领域内受到一定限制．　（２）离散Ｌｙａｐｕｎｏｖ泛函和不变流形理论：该方　法是Ｃｈｅｎ［　。］在研究时滞Ｈｏｐｆｉｅｌｄ人工网络模型时　提出的，用以求Ｈｏｐｆ分岔产生的锁相周期解的极小　不稳定性（ｍｉｎｉｍａｌ　ｉｎｓｔａｂｉｌｉｔｙ）和不稳定集．方法基　于经典的Ｌｙａｐｕｎｏｖ泛函方法，通过结合稳定流形、　不稳定流形理论，拓展了经典Ｌｙａｐｕｎｏｖ泛函的应用　范围．　（３）弧长路径跟踪算法（ｐａｔｈ—ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ）：该方　法是数值计算技巧方面的，将弧长作为参数，利用　其连续性，并结合对周期运动的稳定性判定，可以　有效的获取分岔图，确认通向混沌的道路．方法于　１９９９年前已经被广泛应用于非线性动力学的研究，　而Ｒａｇｈｏｔｈａｍａ等Ｌ２１＿于２００２年将方法改进后，推　广到时滞动力学的研究中．　（４）特征函数方法（ｄｅｓｃｒｉｂｉｎｇ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ）：方法是　Ｕｑａｒ［。。］针对纯量时滞方程于２００３年提出的，主要　是利用系统的势能，类似于求线性系统的传递函数那　样，得到非线性时滞项的特征函数，以便利用Ｎｙｑｕｉｓｔ　判剧用以研究分岔周期解的存在性和特征，预测其振　幅和频率．方法继承了传递函数法的优点，然　，方　法对高维时滞系统的推广有相当的难度，原因在于很　难找到特征函数；　（５）多尺度法和ＩＨＢ（ｉｎｃｒｅｍｅｎｔａｌ　ｈａｒｍｏｎｉｃ　ｂａｌ—　ａｎｃｅ）方法：这两种方法都是经典的方法，共同的优　点在于无需进行烦琐的中心流形约化，如文［２１，２３］．　但是，方法有其明显的缺陷．多尺度方法应用的前提　必须是弱非线性，ｎ１ｊ且分岔参数的变化只能限制在　分翁点的某个领域内．而ＩＨＢ方法需要解一组非线　性代数方程，能否得到解强烈依赖于初始迭代值的选　取，在实际应用中这样的选取完全取决于研究者的经　验；此外，方法是否适用于时滞系统，至今没有严格　的数学证明．　（６）摄动一增量法：该方法继承了多尺度方法的　优点，既无需计算中心流形和规范型，同时克服了　ＩＨＢ方法的缺点，如文［２４］，该方法目前仍然处于完　善阶段．　