双曲线基础知识
一 基础知识
1.双曲线的定义式: ；
2.（1）双曲线的标准方程:焦点在x 轴上： ； 焦点在y 轴上： ；
（2）双曲线的一般方程（不能确定焦点位置时）： ；
3．双曲线的标准方程中焦点位置的判断： ；
4.（1）双曲线的实轴长为 ；虚轴长为 ；焦距为 ；
（2）双曲线中,,a b c 的大小关系： ；
（3）双曲线中,,a b c 的等量关系： ；
5.双曲线焦点在x 轴上：顶点坐标为 ；焦点坐标为 ； 焦点在y 轴上：顶点坐标为 ；焦点坐标为 ；
6. 离心率：（1）定义式：e = ；
（2）e 与,a b 关系为b a
= ； （3）范围： e ∈ ；
7.双曲线的渐近线：
（1）渐近线方程为：焦点在x 轴上： ；
焦点在y 轴上： ；
（2）焦点到渐近线的距离为 ；
（3）以直线22
220x y a b
-=为渐近线的双曲线方程可设为 ；
（4）与双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>有共同渐近线的双曲线方程 可设为 ；
8.等轴双曲线：①满足的条件： ；②方程的设法： ； ③离心率e = ； ④渐近线方程： ；
9.结论：
（1）双曲线过中心的最短弦长为 ；
（2）双曲线过焦点的最短弦长（弦的两个端点在同一支上）为 ； （此时最短弦长称为通径）
双曲线过焦点的最短弦长（弦的两个端点在两支上）为 ；
（3）双曲线上任一点P 到焦点的最短距离（点P 与焦点在同一支）
为 ；此时点P 的位置为 ；
双曲线上任一点P 到焦点的最短距离（点P 与焦点在两支）为 ； 此时点P 的位置为 ；
（4）P 为双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>上一点，A 为双曲线内一定点，12F ,F 为双曲线的左右焦点，
① 若A 在右支内，则2PF +PA 的最小值为 ；
② 若A 在左支内，则2PF +PA 的最小值为 ；
（5）P 为双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>上一点， 12F ,F 为双曲线的左右焦点， 则12PF PF ?的最小值为 ；
（6）双曲线焦点为12,F F ,过1F 的弦与双曲线交于A,B 两点，且AB m =， 则2ABF ?的周长为 ；
（7）双曲线焦点为12,F F ，P 为双曲线上任一点，且12F PF θ∠=，则12F PF S ?= ；
（8）双曲线的一条弦的斜率为1k ，弦的中点与原点连线的斜率为2k ， ①若双曲线方程为()22
2210,0x y a b a b
-=>>，则12k k ?= ； ②若双曲线方程为()22
2210,0y x a b a b
-=>>，则12k k ?= （9）点()00,P x y 在双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>内，则有 ； 点()00,P x y 在双曲线()22
2210,0y x a b a b
-=>>内，则有 。 二 基本类型题：
（一）双曲线的标准方程
1 已知双曲线C 与双曲线162x －4
2y =1有公共焦点，且过点（32，2）. 则双曲线C 的方程为 ．
2 过点（1，3）且渐近线为x y 2
1±=的双曲线方程是 3 以)0,32(为双曲线的焦点,且两条渐近线是03=±y x 的双曲线方程为________________.
4 已知双曲线的渐近线方程是2
x y =±，焦点在坐标轴上且焦距是10， 则此双曲线的方程为 。
（二） 最值问题：
（三） 点差法（与弦中点有关的问题）
()()22
12225.1F ,F A P 169A 5,1PF +PA A -5,1PF +PA x y -=????????????已知双曲线，为其左右焦点，为双曲线内一定点，为双曲线上一点，（1）若点，则的最小值为；（2）若点，则的最小值为。
2212126.1F ,F P 54
PF PF x y -=????????已知双曲线，为其焦点，为双曲线上一点， 则的最小值为。227.130P 259P x y x y -=--=已知双曲线，直线l:，在双曲线上找一点，使它到直线l 的距离最短，求点的坐标及最短距离。
()()2
213P 2,1Q 1,1y x -=8.已知双曲线，（1）求以为中点的弦所在直线方程；（2）以为中点的弦是否存在？若存在，求出弦所在直线方程；
若不存在，请说明理由。
（四） 对称问题
（五） 直线与曲线相交
2
214,3y x m y mx -==+9.已知双曲线，试确定的取值范围，使得对于直线双曲线上总有不同的两点关于该直线对称。()2241,x y y k x k -==-10.已知双曲线，直线l:求实数的取值范围.（1）直线l 与双曲线有两个公共点；（2）直线l 与双曲线右支有两个公共点；
（3）直线l 与双曲线有且只有一个公共点；
（4）直线l 与双曲线没有公共点.
（六）离心率问题
11.双曲线的虚轴端点和一个焦点是一个等边三角形，求双曲线的离心率.
12.双曲线2
222:1(0,0)x y C a b a b 的左右焦点为12,F F ,点P 在右支上， 且有12||:||3:2PF PF =，求双曲线离心率的范围
13双曲线中心在原点，一条渐近线方程为20x y -=，求它的离心率
14已知点,F A 分别为双曲线2
222:1(0,0)x y C a b a b 的左焦点和右顶点,
点(0,)B b 在以,F A 为直径的圆上,求双曲线的离心率。
15已知双曲线122
22=-b
y a x (0,0a b >>)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，求此双曲线离心率的取值范围
16 双曲线2
221(0)x y a a 与直线1x y 相交于不同的两个点,求双曲线的 离心率的范围
17 双曲线2
222:1(0,0)x y C a b a b 的左右焦点为12,F F ,过1F 作垂直于x 轴的直线交双曲线于,A B 两点，若2ABF ?为钝角三角形，求双曲线离心率的取值范围
18 已知双曲线
22
22
:1(0,0)
x y
C a b
a b
的左右焦点为
12
,
F F,P为双曲线
右支上任意一点,当
2
1
2
PF
PF
取得最小值时,求该双曲线离心率的最大值