江西省百所名校2020届高三第四次联考数学(理)试题 Word版含解析

江西省百所名校2020届高三第四次联考数学（理）试题一、选择题1.全集U =R ，(){}ln 1A x y x ==+，{}220B x x x =--<，则() U B A =（ ）A. ()2,+∞B. (),2-∞C. ∅D. ()1,2- 【答案】B【解析】【分析】 根据已知条件先求出集合A 和集合B ，再求出集合A 的补集，再运用集合的并集运算即可.【详解】因为{}1A x x =>-，{}12B x x =-<<，所以{} 1U A x x =≤-，故(){} 2U B A x x ⋃=<.故选：B【点睛】本题主要考查了集合的并集运算，属于容易题.2.欧拉是科学史上一位最多产的杰出数学家，为数学界作出了巨大贡献，其中就有欧拉公式：cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）.它建立了三角函数和指数函数间接关系，被誉为“数学中的天桥”.结合欧拉公式，则复数432i z e iπ=+的模为（ ） 3 5 C. 22 D. 2【答案】B 【解析】【分析】 由题意可得42222i e i π=+，代入432i z e i π=+并对其化简，再代入模长计算公式即可. 【详解】因为42222i e π=+， 所以4323112i z e i i i iπ==-++=-，从而5z =. 故选：B【点睛】本题考查了复数的运算及复数的模的求法，属于容易题.3.空气质量AQI 指数是反映空气质量状况指数，AQI 指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如表：AQI 指数值[)0,50 [)50,100 [)100,150 [)150,200 [)200,300 [)300,+∞ 空气质量优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染如图所示的是某市11月1日至20日AQI 指数变化的折线图：下列说法不正确的是（ ）A. 这20天中空气质量为轻度污染的天数占14B. 这20天中空气质量为优和良的天数为10天C. 这20天中AQI 指数值的中位数略低于100D. 总体来说，该市11月上旬的空气质量比中旬的空气质量好【答案】C【解析】【分析】根据已知条件对每个选项进行判断即可.【详解】对于A ，20天中AQI 指数值高于100，低于150的天数为5，即占总天数的14，故A 正确；对于B ，20天中AQI 指数值有10天低于100，故B 正确；对于C ，20天中AQI 指数值有10天低于100，10天高于100，根据图可知中位数略高于100，故C 错误；对于D ，由图可知该市11月上旬的空气质量的确比中旬的空气质量要好些，故D 正确. 故选：C【点睛】本题考查了统计列表中的折线图来解决问题，属于较易题.4.已知5cos 57πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则7cos 104tan 5παπα⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭（ ） A. 57-B. 7-C. 7D. 57【答案】D【解析】【分析】先利用诱导公式对要求的式子进行化简，再结合已知条件即可. 【详解】7cos cos sin 255105cos 457tan tan tan 555ππππαααπαπππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭===-= ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：D【点睛】本题考查了已知一个三角函数值，求另一个式子的值，考查了利用诱导公式化简并求值，属于较易题.5.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线的斜率2k ≥，则C 的离心率的取值范围是（ ）A. ⎛ ⎝⎦B. ⎫+∞⎪⎪⎣⎭C. (D.)+∞ 【答案】D【解析】【分析】 根据题意可得2b k a=≥，再利用双曲线中的222c a b =+的关系进行求解即可.【详解】因为2b k a =≥，所以215b e a ⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭. 故选：D【点睛】本题考查了双曲线的渐近线斜率以及双曲线中的222c a b =+的关系，属于较易题.6.下图是为了统计某班35名学生假期期间平均学习时间而设计的程序框图，其中i A 表示第i 位学生的学习时间，则判断框中可以填入的条件是（ ）A. 37?i ≤B. 36?i ≤C. 35?i ≤D. 34?i ≤【答案】C【解析】【分析】 由题意可得到流程图的功能是求35位学生的平均学习时间，再根据流程图来判断循环结束条件即可.【详解】读取流程图可知，当计算了前34位学生的学习时间的和后，再执行1i i =+后，得35i =，此时应满足判断框的条件；当计算了前35位学生的学习时间的和后，再执行1i i =+后，得36i =，此时应不满足判断框条件.故应填入“35?i ≤”.故选：C【点睛】本题考查了循环结构的程序框图中的循环条件的判断，属于一般题. 7.在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为AD 的中点，F 为正方形11B C CB 的中心，则异面直线AF 与1A E 所成角的余弦值为（ ）A. 30-B. 30C. 0D. 12【答案】B【解析】【分析】根据已知条件建立空间直角坐标系D xyz -，写出相关点的坐标，代入数量积的夹角公式即可.【详解】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，建立空间直角坐标系D xyz -，不妨设正方体的棱长为2，则()2,0,0A ，()1,2,1F ，()12,0,2A ，()1,0,0E ， 所以()1,2,1AF =-，()11,0,2A E =--，故11130cos ,3065AF A EAF A E AF A E ⋅===-⨯. 因为异面直线所成角的范围为0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，所以异面直线AF 与1A E 所成角的余弦值为30.故选：B【点睛】本题考查了利用空间向量求异面直线的夹角，考查了学生的计算能力，属于一般题.8.已知函数()()2sin f x x ωϕ=+()0,ωπϕπ>-<<的部分图象如图所示，为了得到函数()f x 的图象，需要将函数()222cos 2sin 22x x g x ωω=-的图象向右平移()0m m >个单位长度，则m 的最小值为（ ）A. 12πB. 6πC. 4πD. 3π 【答案】A 【解析】【分析】根据题中给的图像，可求出2ω=和3πϕ=，再根据三角函数的图像变换即可得. 【详解】由图可知43124T πππ=-=，即T π=， 所以2ππω=，2ω=，故()()2sin 2f x x ϕ=+， 因为2sin 221212f ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()262k k Z ππϕπ+=+∈，因为πϕπ-<<，所以3πϕ=，即()2sin 22cos 22cos 23612f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 因为()222cos 2sin 2cos2g x x x x =-=， 所以为了得到函数()f x 的图象，需要将函数()g x 的图象向右平移12π个单位长度.故选：A【点睛】本题考查了三角函数图像以及图像变换，属于一般题.9.已知函数()1y f x =+是定义在R 上的偶函数，且满足()()33f x f x -=-+，且当11x -≤≤时，()()ln 2f x x x =+，则()()()()()()10123...2020f f f f f f -++++++=（ ）A. ln3B. ln3-C. 4ln 2ln3-D.4ln 2ln3+【答案】A【解析】【分析】根据函数()1y f x =+是定义在R 上的偶函数且满足()()33f x f x -=-+，可得到函数的周期，再计算出一个周期的和，即可得到答案.【详解】因为函数()1y f x =+是定义在R 上的偶函数，所以()y f x =的图象关于直线1x =对称.因为()()33f x f x -=-+，所以()y f x =的图象关于点()3,0对称，所以()f x 是以8为周期周期函数.又()10f -=，()00f =，()1ln3f =，()()200f f ==，()()310f f =-=，()()420f f =-=，()()51ln3f f =-=-，()()600f f =-=，所以()()()()101...60f f f f -++++=，故()()()()()()10123...2020f f f f f f -++++++()()()()()()101234ln3f f f f f f =-+++++=.故选：A【点睛】本题考查了函数的性质：奇偶性，对称性，周期性，考查了学生的计算能力，属于一般题.10.中国古典文学四大名著《三国演义》《水浒传》《西游记》和《红楼梦》的作者分别为罗贯中、施耐庵、吴承恩和曹雪芹.某次考试中有一道四大名著与作者的连线题，连对一个得一分，则同学甲随机连线得分为零的概率为（ ） A. 13 B. 14 C. 38 D. 124【答案】C【解析】【分析】先随机连线对应有4424A =种，再找出全都没连对的情况有9种，代入概率计算公式即可.【详解】随机连线对应有4424A =种，全都没连对的情况有：第一个连线错了有13C 种，再由第一个选的那个对应的再去选有13C 种，剩余2个连错有1种，所以共有113391C C ⨯⨯=，所以所求概率93248P ==. 故选：C【点睛】本题考查了古典概型的概率计算，考查了特殊要求的排列问题，属于一般题.11.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，圆()22:11F x y -+=，过F 作直线l ，与上述两曲线自上而下依次交于点,,,P M N Q ，当196PM QN+=时，直线l 的斜率为（ ）A. C. 1 D. 【答案】A【解析】【分析】先设PF m =，QF n =，则1PM m =-，1QN n =-，再根据抛物线的性质知1121m n p+==，利用基本不等式求出最小值且等号成立条件可求出43m =，4n =，从而可得到13P ⎛ ⎝，即可得到直线l 的斜率. 【详解】设PF m =，QF n =，则1PM m =-，1QN n =-.∵24y x =，∴2p =， 由抛物线的性质知1121m n p+==， ∴1m n mn+=，则m n mn +=， ∴()1919910910111m n m n PM QN m n mn m n +-+=+==+----++. 又∵()()1199199110m n m n m n m n n m ⎛⎫+⋅=++=+++≥+ ⎪⎝⎭得916m n +≥，∴9106m n +-≥，当且仅当229n m =时，196PM QN +=， 此时3n m =，∴43m =，∴4n =，∴13P ⎛ ⎝， 又∵()1,0F ，故13k ==-. 故选：A【点睛】本题考查了抛物线性质，以及基本不等式求最值时等号成立的条件，考查了学生的计算能力，属于较难题.12.已知函数()f x 的定义域为()1,+∞，其导函数为()f x '，()()()()22x f x xf x xf x '++<⎡⎤⎣⎦对()1,x ∈+∞恒成立，且()14525f =，则不等式()()233210x f x x ++>+的解集为（ ）A. ()1,2B. (),2-∞C. ()2,3-D. ()2,2- 【答案】D【解析】【分析】根据已知条件构造一个函数()()2g x G x x =+，再利用()G x 的单调性求解不等式即可. 【详解】由()()()()22x f x xf x xf x '++<⎡⎤⎣⎦，可得()()()2222x f x xf x x f x x '+<+， 即()()()222x f x x f x x '<+，令()()2g x x f x =， 则()()()()()2022g x g x g x x g x x x '-+'<-=++.令()()2g x G x x =+，()()()()()()22022g x g x x g x G x x x ''+-⎛⎫'==< ⎪++⎝⎭， 所以()G x 在1∞+（，）上是单调递减函数. 不等式()()233210x f x x ++>+， 等价于()()23325x f x x ++>+， 即()()3325g x G x x ++=>+，()()()52555277g f G ===， 所求不等式即()()35G x G +>，由于()G x 在1∞+（，）上是单调递减函数， 所以35x +<，解得2x <，且31x +>，即2x >-，故不等式()()233210x f x x ++>+的解集为()2,2-. 故选：D【点睛】本题考查了利用构造新函数的单调性求解不等式，考查了利用导数判断函数单调性的方法，考查了分析问题的逻辑思维能力，属于困难题.二、填空题13.若非零向量,a b ，满足3a b =，()3a b b -⊥，则a 与b 的夹角的余弦值为______.【答案】19【解析】 【分析】设a 与b 的夹角为θ，根据数量积的运算即可. 【详解】设a 与b 的夹角为θ，由()3b b a -⊥， 可得()233cos 0a a b b b b θ-⋅=-=，又因为3a b =， 所以229cos 0b bθ-=，解得1cos 9θ=. 故答案为：19【点睛】本题考查了数量积的运算，考查了向量垂直的转化，属于较易题.14.若实数,x y 满足约束条件22024034120x y x y x y --≤⎧⎪++≥⎨⎪-+≥⎩，则x y +的最大值为______.【答案】10 【解析】 【分析】先由已知条件画出约束条件22024034120x y x y x y --≤⎧⎪++≥⎨⎪-+≥⎩可行域，根据可行域即可求出x y +的最大值.【详解】因为实数,x y 满足约束条件22024034120x y x y x y --≤⎧⎪++≥⎨⎪-+≥⎩，则由题意可得当经过A 点时x y +有最大值，联立22034120x y x y --=⎧⎨-+=⎩，解得46x y =⎧⎨=⎩，即()4,6A ，所以()max 10x y += 故答案为：10【点睛】本题考查了简单的线性规划，利用可行域求目标函数的最大值，属于较易题. 15.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()3cos cos cos A A B C -=，6a c +=，4b =，则ABC 的面积为______.【答案】533【解析】 【分析】 先由)3cos cos cos A A B C -=可得3B π=，再由余弦定理可得203ac =，代入面积公式即可. 【详解】因为)3cos cos cos A A B C -=，所以)()()3cos cos cos cos cos sin sin A A B A B A B A B -=-+=--，3cos sin sin 0A B A B -=.又sin 0A ≠， 所以tan 3B =3B π=.因为6a c +=，4b =，所以()22222cos 236316b a c ac B a c ac ac ac =+-=+--=-=， 解得203ac =，所以1120sin 223ABC S ac B ==⨯=△.【点睛】本题考查了三角函数的化简，余弦定理以及面积公式，考查了学生的计算能力，属于一般题.16.在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，2AP =，点M 是矩形ABCD 内（含边界）的动点，且1AB =，3AD =，直线PM 与平面ABCD 所成的角为4π.记点M 的轨迹长度为α，则tan α=______；当三棱锥P ABM -的体积最小时，三棱锥P ABM -的外接球的表面积为______.【答案】8π 【解析】 【分析】先根据已知条件判断出点M 的轨迹为圆弧，再求此时的α，即可求出tan α=；判断三棱锥P ABM -的体积最小时即点M 位于F 时，此时三棱锥P ABM -的外接球球心为PF 的中点，所以半径为PF 的一半，从而可得外接球的表面积. 【详解】如图，因为PA ⊥平面ABCD ，垂足为A ， 则PMA ∠为直线PM 与平面ABCD 所成的角， 所以4PMA π∠=.因为2AP =，所以2AM =，所以点M 位于底面矩形ABCD 内的以点A 为圆心，2为半径的圆上， 记点M 的轨迹为圆弧EF .连接AF ，则2AF =. 因为1AB =，3AD =，所以6AFB FAE π∠=∠=，则弧EF 的长度263ππα=⨯=，所以tan α=.当点M 位于F 时，三棱锥P ABM -的体积最小，又2PAF PBF π∠=∠=，∴三棱锥P ABM -的外接球球心为PF 的中点. 因为222222PF =+=，所以三棱锥P ABM -的外接球的表面积()2428S ππ==.38π【点睛】本题考查了由线面垂直得到线面角，判断出动点轨迹，外接球的半径及表面积的计算，属于较难题. 三、解答题17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足93,,24n n a S 成等差数列. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设31323log log ...log n n b a a a =+++，数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：119n T <. 【答案】（1）13n n a +=（2）证明见解析【解析】 【分析】 (1)由题意可得3922n n a S =+，再根据已知n a 与n S 的关系求{}n a 通项公式； (2)把(1)的{}n a 求通项公式代入31323log log ...log n n b a a a =+++求出{}n b 通项公式，再利用裂项求和求出数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T 即可证明．【详解】（1）解：由题意有3922n n a S =+， 当1n =时，113922a a =+，所以19a =. 当2n ≥时，3922n n S a =-，113922n n S a --=-，两式相减得113322n n n n n a S S a a --=-=-，整理得13n n a a -=， 所以{}n a 是以9为首项，3为公比的等比数列， 所以{}n a 的通项公式为11933n n n a -+=⨯=.（2）证明：因为()()313233log log ...log 23 (12)n n n n b a a a n +=+++=++++=， 所以()12211333n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 21111111111...3142536473n T n n ⎛⎫=-+-+-+-++- ⎪+⎝⎭2111111...3123123n n n ⎛⎫=+++--- ⎪+++⎝⎭ 21111136123n n n ⎛⎫=--- ⎪+++⎝⎭. 因为1110123n n n ++>+++，所以119n T <. 【点睛】本题考查了n a 与n S 的关系求通项公式以及裂项求和方法，考查了学生的计算能力，属于一般题．18.今年1月至2月由新型冠状病毒引起的肺炎病例陡然增多，为了严控疫情传播，做好重点人群的预防工作，某地区共统计返乡人员100人，其中50岁及以上的共有40人.这100人中确诊的有10名，其中50岁以下的人占310. （1）请将下面的列联表补充完整，并判断是否有95%的把握认为是否确诊患新冠肺炎与年龄有关；（2）为了研究新型冠状病毒的传染源和传播方式，从10名确诊人员中随机抽出5人继续进行血清的研究，X表示被抽取的5人中50岁以下的人数，求X的分布列以及数学期望. 参考表：.参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++. 【答案】（1）填表见解析；有95%的把握认为是否确诊患新冠肺炎与年龄有关（2）详见解析【解析】【分析】(1)由题意补充22⨯列联表，再代入()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d-=++++可求出2K即可判断；(2)根据题意先确定X的值可能为0,1,2,3，然后分别求出它们的对应的概率，根据求出的概率列出分布列以及求出期望值.【详解】解：（1）列联表补充如下：()2210075733325 4.167 3.841109040606K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯.所以有95%的把握认为是否确诊患新冠肺炎与年龄有关. （2）根据题意，X 的值可能为0,1,2,3.()575101012C P X C ===，()41735105112C C P X C ===，()32735105212C C P X C ===，()23735101312C C P X C ===，故X 的分布列为X0 1 2 3P112 512 512 112故()551123 1.5121212E X =⨯+⨯+⨯=人. 【点睛】本题考查了独立性检验的计算以及随机变量的分布列和期望的计算，考查了学生的计算能力，属于一般题.19.如图，在直五棱柱，11111ABCDE A B C D E -中，//AB ED ，AB AE ⊥，1AB ED ==，12AE AA ==，BC CD =，1BC C D ⊥.（1）证明：CD ⊥平面11BB C C ；（2）求平面1A BE 与平面1BC D 所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析（2）30【解析】 【分析】(1)先由题意可得1BC CC ⊥且1BC C D ⊥，从而有BC ⊥平面1C CD ，即有BC CD ⊥，再结合1CD CC ⊥即可证明CD ⊥平面11BB C C ；(2) 以E 为原点，以1,,EA ED EE 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系E xyz -，然后写出相关点的坐标，求出相关平面的法向量，代入数量积求夹角公式即可.【详解】(1)证明：因为五棱柱11111ABCDE A B C D E -为直五棱柱， 所以1BC CC ⊥，又1BC C D ⊥，且111CC C D C ⋂=， 所以BC ⊥平面1C CD .因为CD ⊂平面1C CD ，所以BC CD ⊥. 因为BC CD ⊥，1CD CC ⊥，1CC BC C ⋂=， 所以CD ⊥平面11BB C C .（2）解：因为BC CD =，所以BCD 是以C 为直角顶点的等腰直角三角形，又AB CD ∥，AB AE ⊥，1AB ED ==，12AE AA ==，所以BC CD ==1,,EA ED EE 两两垂直.以E 为原点，以1,,EA ED EE 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系E xyz -，则()0,0,0E ，()12,0,2A ，()11,2,2C ，()2,1,0B ，()0,1,0D ， ()11,1,2BC =-，()2,0,0BD =-，()12,0,2EA =，()2,1,0EB =.设平面1A BE 的法向量为()111,,n x y z =，则11111220,20,EA n x z EB n x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩令11x =，得平面1A BE 的一个法向量为()1,2,1n =--. 设平面1BC D 的法向量为()222,,m x y z =，则1222220,20,BC m x y z BD m x ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-=⎪⎩令21z =，得平面1BC D 的一个法向量为()0,2,1m =-. 设平面1A BE 与平面1BC D 所成锐二面角为ϕ，则cos cos ,m n m n m nϕ⋅====. 【点睛】本题考查了线面垂直的证明，空间向量法求二面角的余弦值，考查了学生的计算能力，属于较难题.20.已知动点P 到定直线:4l x =的距离与到定点()1,0F 的距离之比为2. （1）求P 点的轨迹C 的方程；（2）已知点()2,0A -，在y 轴上是否存在一点M ，使得曲线C 上另有一点B ，满足MA MB =，且2516NA NB ⋅=-？若存在，求出所有符合条件的点M 坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=（2）存在；0,4M ⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭或10,4M ⎛⎫± ⎪⎝⎭ 【解析】 【分析】(1)设(),P x y2=，化简即可得到P 点的轨迹C 的方程；(2) 假设在y 轴上存在符合题意的点M ，则点M 在线段AB 的中垂线上，分三种情况讨论直线的斜率即：斜率不存在；斜率为零；斜率不为零；求出满足条件点M 的坐标即可. 【详解】解：（1）设(),P x y2=，化简得223412x y +=，即22143x y +=，所以曲线C 的方程为22143x y +=.（2）假设在y 轴上存在符合题意的点M ，则点M 在线段AB 的中垂线上，由题意知直线AB 的斜率显然存在. 当直线AB 的斜率为0时，则()2,0A -，()2,0B . 设()0,M t ，则()2,MA t =--，()2,MB t =-.由225416MA MB t ⋅=-+=-，解得4t =±，此时0,4M ⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭. 当直线AB 的斜率不为0时，设直线AB 的方程为()2y k x =+.联立()222,1,43y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得()2222341616120k x k x k +++-=，则221612234B k x k --⋅=+，解得226834B k x k -=+，即2226812,3434k k B k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭ AB 的中点为22286,3434k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭.线段AB 的中垂线为2226183434k k y x k k k ⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭， 令0x =，得2234k y k -=+，即220,34k M k ⎛⎫- ⎪+⎝⎭. 所以222,34k MA k ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，2226814,3434k k MB k k ⎛⎫-= ⎪++⎝⎭， 所以()4222642836251634k k MA MB k +-⋅==-+.由形式可以猜想()223416k +=，故而2344k +=， 得214k =，经验证可知满足上式. 下边验证是否还有别解：令2x k =，上式可化为()()21664251628252425916360x x ++⨯+⨯+⨯-⨯=， 利用韦达定理知此方程有一个正根与一个负根， 所以214k =，此时10,4M ⎛⎫± ⎪⎝⎭.综上，可得0,M ⎛ ⎝⎭或10,4M ⎛⎫± ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了动点轨迹方程的求解，以及存在性问题的求解，考查了学生的计算能力，属于较难题.21.已知函数()x f x ae b =+的图象在()()0,0f 处的切线方程为20x y -+=. （1）讨论函数()()F x f mx x m =--的单调性.（2）是否存在正实数t ，使得函数()()()ln 2g x f x t x t =--+-的定义域为[)0,+∞时，值域也为[)0,+∞？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）存在；12t =【解析】【分析】(1)先对函数()x f x ae b =+进行求导，根据已知条件在()()0,0f 处的切线方程为20x y -+=可求出1a =，1b =，即得到()1x f x e =+，再对()1mx F x e x m =+--进行求导，对参数m 进行讨论即可.(2)先假设存在符合题意的正实数t ，再对()()ln 1x t g x ex t -=-+-进行求导，可得到它的单调性以及单调区间，从而可求得()()ln 1x t g x ex t -=-+-的最小值大于或等于零即可. 【详解】解：（1）∵()x f x ae '=，∴()001f a e a '=⋅==.又∵()02f a b =+=，∴1b =，∴()1xf x e =+. ∴()1mx F x e x m =+--，∴()1mx F x me '=-.当0m ≤时，()10mx F x me '=-<，()F x 在R 上单调递减；当0m >时，令()10mx F x me'=->，得ln m x m >-. 令()10mx F x me '=-<，得ln m x m <-， 故()F x 在ln ,m m ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在ln ,m m ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减. （2）假设存在符合题意的正实数t ，由()()ln 1x t g x ex t -=-+-，得()1x t g x e x t -'=-+. ∵x t y e -=在[)0,+∞上单调递增，1y x t =+在[)0,+∞上单调递减， ∴函数()1x t g x ex t -'=-+在()0,∞+上单调递增. ∵()1100t g e t'=-<，且当x →+∞时，()g x '→+∞， ∴存在唯一的实数0x ，使得()00010x t g x e x t -'=-=+，即001x t e x t-=+①， ∴当()00,x x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减；当()0,x x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增.∴()()()000min ln 1x t g x g x e x t -==-+-.由001x t e x t-=+，得()00ln x t x t -=-+， ∴()()()00000min 0011ln 1121x t x g x g x e x t t x t t x t x t-==---=+--=++--++2112t t ≥-=-. 当且仅当01x t +=时取等号，由120t -=，得12t =，此时0102x =>， 把12t =，012x =代入①也成立. 故存在正实数12t =，使得()g x 定义域为[)0,+∞时，值域也为[)0,+∞. 【点睛】本题考查了利用导数讨论函数的单调性，以及利用导数求函数的最小值，考查了学生的计算能力，属于较难题.22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为2cos 2sin x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（α为参数），直线l 过点()1,0-，且斜率为12，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，直线,OM ON 的极坐标方程分别为()6R πθρ=∈，()4R πθρ=-∈. （1）求曲线C 和直线l 的极坐标方程； （2）已知直线OM 与直线l 的交点为P ，直线ON 与曲线C 的交点为O ，Q ，求OQOP 的值.【答案】（1）4cos 4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭；cos 2sin 10ρθρθ-+=（2）4OQ OP=- 【解析】【分析】 (1)先把参数方程转化为普通方程，再由普通方程转化为极坐标方程即可；(2)把()6R πθρ=∈，()4R πθρ=-∈代入对应的极坐标方程求出OP ，OQ 代入即可.【详解】解：（1）∵曲线C的参数方程为2cos ,2sin ,x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩∴曲线C的普通方程为((224x y -++=，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入，整理得0ρθθ-+=，即曲线C 的极坐标方程为4cos 4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭. ∵直线l 过点()1,0-，且斜率为12， ∴直线l 的方程为210x y -+=，∴直线l 的极坐标方程为cos 2sin 10ρθρθ-+=.（2）当6πθ=时，142sin cos 66OP ππ==+- 当4πθ=-时，4cos 444OQ ππ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭.故4OQ OP ==-. 【点睛】本题考查了参数方程，普通方程转化为极坐标方程，极坐标方程的几何意义，属于一般题.23.已知函数()3131f x x x =-+-.（1）若()f x m ≤有解，求实数m 的取值范围；（2）在（1）的条件下，实数m 的最小值为N ，若,,a b c 为正数，且a b c N ++=，证明：84222abc ab a b c+≥++-. 【答案】（1）[)2,+∞（2）证明见解析【解析】【分析】(1)利用三角不等式即可；(2)利用分析法和基本不等式证明不等式.【详解】（1）解：()()()313131312f x x x x x =-+-≥---=，当且仅当()()31330x x --≤，即113x ≤≤时取等号，所以()min 2f x =. 因为()f x m ≤有解，所以()min 2m f x ≥=，故m 的取值范围是[)2,+∞.（2）证明：由（1）可知，2N =，所以2a b c ++=， 将84222abc ab a b c +≥++-变形为84222abc ab a b c+--≥-， 即()()()2228a b c abc ---≥.因为2a b c -=+≥2b a c -=+≥2c a b -=+≥所以()()()2228a b c abc ---≥， 当且仅当23a b c ===时等号成立，所以84222abc ab a b c+≥++-. 【点睛】本题考查了三角不等式求最值，利用分析法和基本不等式证明不等式，属于一般题.。