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2017-2018年海南省海南中学高二(下)期中数学试卷(文科)和答案

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2017-2018学年海南省海南中学高二（下）期中数学试卷（文科）一.选择题（共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将答案填到答题卡，答在本试题卷上无效）1．（5分）把红、黑、白、蓝4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每个人分得1张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是（）A．对立事件B．不可能事件C．互斥但不对立事件D．以上均不对2．（5分）某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n ＝（）A．9B．10C．12D．133．（5分）用反证法证明命题“若a2+b2＝0，则a，b全为0（a，b∈R）”，其反设正确的是（）A．a，b全不为0B．a，b至少有一个为0C．a，b不全为0D．a，b中只有一个为04．（5分）x是[﹣4，4]上的一个随机数，则使x满足x2+x﹣2＜0的概率为（）A．B．C．D．05．（5分）在一项调查中有两个变量x（单位：千元）和y（单位：t），如图是由这两个变量近8年来的取值数据得到的散点图，那么适宜作为y关于x的回归方程类型的是（）A．y＝a+bx B．y＝c+dC．y＝m+nx2D．y＝p+qe x（q＞0）6．（5分）为了在运行下面的程序之后得到输出y＝16，键盘输入x应该是（）A．3或﹣3B．﹣5C．﹣5或5D．5或﹣3 7．（5分）甲乙两名同学分别从“象棋”、“文学”、“摄影”三个社团中随机选取一个社团加入，则这两名同学加入同一个社团的概率是（）A．B．C．D．8．（5分）观察下列等式：（1+1）＝2×1（2+1）（2+2）＝22×1×3（3+1）（3+2）（3+3）＝23×1×3×5…照此规律，第n个等式为（）A．（n+1）（n+2）…（n+n）＝2n×1×3×…×（2n﹣1）B．（n+1）（n+2）…（n+1+n+1）＝2n×1×3×…×（2n﹣1）C．（n+1）（n+2）…（n+n）＝2n×1×3×…×（2n+1）D．（n+1）（n+2）…（n+1+n）＝2n+1×1×3×…×（2n﹣1）9．（5分）下图是把二进制的数11111（2）化成十进制数的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是（）A．i≤4B．i≤5C．i＞4D．i＞510．（5分）“搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标．“搜索指数”越大，表示网民对该关键词的搜索次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越高．下图是2017年9月到2018年2月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势图．根据该走势图，下列结论正确的是（）A．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化B．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱C．从网民对该关键词的搜索指数来看，去年10月份的方差小于11月份的方差D．从网民对该关键词的搜索指数来看，去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值11．（5分）下列说法正确的个数有（）①用R2＝1﹣刻画回归效果，当R2越大时，模型的拟合效果越差；反之，则越好②“已知碱金属都能与水发生还原反应，钠为碱金属，所以钠能与水发生反应“是演绎推理③一枚硬币掷一次得到正面的概率是，那么掷两次一定会出现一次正面的情况④若P（A）＝1，则事件A是必然事件A．1个B．2个C．3个D．4个12．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若存在正整数m，n（m＜n），使得S m＝S n，则S m+n＝0．类比上述结论，设正项等比数列{b n}的前n项积为T n，若存在正整数m，n（m＜n），使得T m＝T n，则T m+n等于（）A．0B．1C．m+n D．mn二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）某同学一个学期内各次数学测验成绩的茎叶图如图所示，则该组数据的中位数是．14．（5分）某同学动手做实验：《用随机模拟的方法估计圆周率的值》，在如图的正方形中随机撒豆子，每个豆子落在正方形内任何一点是等可能的，若他随机地撒50粒统计得到落在圆内的豆子数为39粒，则由此估计出的圆周率π的值为．（精确到0.01）15．（5分）连续2次抛掷一颗质地均匀的骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6的正方体），观察向上的点数，则事件“点数之积是3的倍数”的概率为．16．（5分）小李从网上购买了一件商品，快递员计划在下午5：00﹣6：00之间送货上门，已知小李下班到家的时间为下午5：30﹣6：00．快递员到小李家时，如果小李未到家，则快递员会电话联系小李．若小李能在10分钟之内到家，则快递员等小李回来；否则，就将商品存放在快递柜中．则小李需要去快递柜收取商品的概率为．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）（Ⅰ）若a＞0，b＞0，求证：（a+b）（+）≥4；（Ⅱ）证明：+．18．（12分）“石头、剪刀、布”是个广为流传的游戏，游戏时甲乙双方每次做“石头”“剪刀”“布”三种手势中的一种，规定：“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”，同种手势不分胜负须继续比赛，假设甲乙两人都是等可能地做这三种手势．（1）列举一次比赛时两人做出手势的所有可能情况；（2）求一次比赛甲取胜的概率，并说明“石头、剪刀、布”这个广为流传的游戏的公平性．19．（12分）近年来，我国电子商务蓬勃发展，有关部门推出了针对网购平台的商品和服务的评价系统，从该系统中随机选出100名交易者，并对其交易评价进行了统计，网购者对商品的满意有60人，对服务的满意有75人，其中对商品和服务都满意的有40人．（Ⅰ）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并回答能否有99%的把握认为“网购者对服务满意与对商品满意之间有关”？（Ⅱ）若对商品和服务都不满意者的集合为Ω．已知Ω中有2名男性，现从Ω中任取2人调查其意见．求取到的2人恰好是一男一女的概率．附：K2＝（其中n＝a+b+c+d为样本容量）20．（12分）高考复习经过二轮“见多识广”之后，为了研究考前“限时抢分”强化训练次数x与答题正确率y%的关系，对某校高三某班学生进行了关注统计，得到如下数据：（Ⅰ）求y关于x的线性回归方程；（Ⅱ）若用（i＝1，2，3，4）表示统计数据的“强化均值”（结果四舍五入精确到整数），若“强化均值”的标准差在区间[0，2）内，则强化训练有效，请问这个班的强化训练是否有效？附：回归直线参考公式为：＝＝，＝﹣样本数据x1，x2，…，x n的标准差为：s＝．21．（12分）某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如图频率分布直方图：（1）如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w＝3时，估计该市居民该月的人均水费．22．（12分）据调查统计，通过这两条公路从城市甲到城市乙的200辆汽车所用时间的频数分布如下表．（Ⅰ）为进行某项研究，从所用时间为12天的60辆汽车中随机抽取6辆．（i）若用分层抽样的方法抽取，求从通过公路1和公路2的汽车中各抽取几辆；（ii）若从（i）的条件下抽取的6辆汽车中，再任意抽取两辆汽车，求这两辆汽车至少有一辆通过公路1的概率．（Ⅱ）假设汽车A只能在约定日期（某月某日）的前11天出发，汽车B只能在约定日期的前12天出发．为了尽最大可能在各自允许的时间内将货物运往城市乙，估计汽车A和汽车B应如何选择各自的路径．2017-2018学年海南省海南中学高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题（共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将答案填到答题卡，答在本试题卷上无效）1．（5分）把红、黑、白、蓝4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每个人分得1张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是（）A．对立事件B．不可能事件C．互斥但不对立事件D．以上均不对【解答】解：根据题意，把红、蓝、黑、白四张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁四个人，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生，则两者是互斥事件，但除了“甲分得红牌”与“乙分得红牌”之外，还有“丙分得红牌”和“丁分得红牌”，则两者不是对立事件．∴事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是互斥但不对立事件．故选：C．2．（5分）某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n ＝（）A．9B．10C．12D．13【解答】解：∵甲、乙、丙三个车间生产的产品件数分别是120，80，60，∴甲、乙、丙三个车间生产的产品数量的比依次为6：4：3，丙车间生产产品所占的比例，因为样本中丙车间生产产品有3件，占总产品的，所以样本容量n＝3÷＝13．故选：D．3．（5分）用反证法证明命题“若a2+b2＝0，则a，b全为0（a，b∈R）”，其反设正确的是（）A．a，b全不为0B．a，b至少有一个为0C．a，b不全为0D．a，b中只有一个为0【解答】解：由于“a、b全为0（a、b∈R）”的否定为：“a、b至少有一个不为0”，也就是a，b不全为0．故选：C．4．（5分）x是[﹣4，4]上的一个随机数，则使x满足x2+x﹣2＜0的概率为（）A．B．C．D．0【解答】解：设事件A：x2+x﹣2＜0由x2+x﹣2＜0可得﹣2＜x＜1，其区间（﹣2，1）的长度为3基本事件x∈[﹣4，4]的长度为8由几何概率的计算公式可得P（A）＝故选：B．5．（5分）在一项调查中有两个变量x（单位：千元）和y（单位：t），如图是由这两个变量近8年来的取值数据得到的散点图，那么适宜作为y关于x的回归方程类型的是（）A．y＝a+bx B．y＝c+dC．y＝m+nx2D．y＝p+qe x（q＞0）【解答】解：由散点图可得，图象是抛物线形状，则适宜作为y关于x的回归方程类型的是y＝c+d，故选：B．6．（5分）为了在运行下面的程序之后得到输出y＝16，键盘输入x应该是（）A．3或﹣3B．﹣5C．﹣5或5D．5或﹣3【解答】解：本程序含义为：输入x如果x＜0，执行：y＝（x+1）2否则，执行：y＝（x﹣1）2因为输出y＝16由y＝（x+1）2，可得，x＝﹣5由y＝（x﹣1）2可得，x＝5故x＝5或﹣5故选：C．7．（5分）甲乙两名同学分别从“象棋”、“文学”、“摄影”三个社团中随机选取一个社团加入，则这两名同学加入同一个社团的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：甲乙两名同学分别从“象棋”、“文学”、“摄影”三个社团中随机选取一个社团加入，基本事件总数n＝3×3＝9，这两名同学加入同一个社团包含的基本事件个数m＝3，∴这两名同学加入同一个社团的概率是p＝＝．故选：B．8．（5分）观察下列等式：（1+1）＝2×1（2+1）（2+2）＝22×1×3（3+1）（3+2）（3+3）＝23×1×3×5…照此规律，第n个等式为（）A．（n+1）（n+2）…（n+n）＝2n×1×3×…×（2n﹣1）B．（n+1）（n+2）…（n+1+n+1）＝2n×1×3×…×（2n﹣1）C．（n+1）（n+2）…（n+n）＝2n×1×3×…×（2n+1）D．（n+1）（n+2）…（n+1+n）＝2n+1×1×3×…×（2n﹣1）【解答】解：（1+1）＝21×（2×1﹣1），（2+1）（2+2）＝22×1×（2×2﹣1），（3+1）（3+2）（3+3）＝23×1×3×（2×3﹣1）…照此规律，第n个等式为：（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）＝2n×1×3×5×7×…×（2n﹣1）．故选：A．9．（5分）下图是把二进制的数11111（2）化成十进制数的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是（）A．i≤4B．i≤5C．i＞4D．i＞5【解答】解：由题意输出的S＝1+1×2+1×22+1×23+1×24，按照程序运行：S＝1，i＝1；S＝1+1×2，i＝2；S＝1+1×2+1×22，i＝3；S＝1+1×2+1×22+1×23，i＝4；S＝1+1×2+1×22+1×23+1×24，i＝5，此时跳出循环输出结果，故判断框内的条件应为i≤4．故选：A．10．（5分）“搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标．“搜索指数”越大，表示网民对该关键词的搜索次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越高．下图是2017年9月到2018年2月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势图．根据该走势图，下列结论正确的是（）A．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化B．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱C．从网民对该关键词的搜索指数来看，去年10月份的方差小于11月份的方差D．从网民对该关键词的搜索指数来看，去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值【解答】解：在A中，这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度没有规律，故A错误；在B中，这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈现出一定的波动性，没有减弱，故B错误；在C中，从网民对该关键词的搜索指数来看，去年10月份的方差大于11月份的方差，故C错误；在D中，从网民对该关键词的搜索指数来看，去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值，故D正确．故选：D．11．（5分）下列说法正确的个数有（）①用R2＝1﹣刻画回归效果，当R2越大时，模型的拟合效果越差；反之，则越好②“已知碱金属都能与水发生还原反应，钠为碱金属，所以钠能与水发生反应“是演绎推理③一枚硬币掷一次得到正面的概率是，那么掷两次一定会出现一次正面的情况④若P（A）＝1，则事件A是必然事件A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：①．相关指数R2越大，则相关性越强，模型的拟合效果越好．错误；②“已知碱金属都能与水发生还原反应，钠为碱金属，所以钠能与水发生反应“是演绎推理，正确；③掷两次出现一次正面的概率是，那么掷两次一定会出现一次正面的情况，也可能都是正面也可能都是反面，∴③错误；④若P（A）＝1，则事件A不一定是必然事件，例如几何概型和连续型随机事件的概率在某一个点的概率皆为0，若事件A表示是去掉某一个点的事件，显然事件A≠Ω，因此④不正确．故选：A．12．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若存在正整数m，n（m＜n），使得S m＝S n，则S m+n＝0．类比上述结论，设正项等比数列{b n}的前n项积为T n，若存在正整数m，n（m＜n），使得T m＝T n，则T m+n等于（）A．0B．1C．m+n D．mn【解答】解：在由等差数列的运算性质类比推理到等比数列的运算性质时：加减运算类比推理为乘除运算，累加类比为累乘，故由“已知数列{a n}为等差数列，它的前n项和为S n，若存在正整数m，n（m ≠n），使得S m＝S n，则S m+n＝0”．类比推理可得：“已知正项数列{b n}为等比数列，它的前n．项积为T n，若存在正整数m，n．（m≠n），使得T m＝T n，则T m+n＝1．故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）某同学一个学期内各次数学测验成绩的茎叶图如图所示，则该组数据的中位数是83．【解答】解：根据茎叶图知，该组数据为65，72，73，79，82，84，85，87，90，92；排在中间的两个数是82和84，所以这组数据的中位数是＝83．故答案为：83．14．（5分）某同学动手做实验：《用随机模拟的方法估计圆周率的值》，在如图的正方形中随机撒豆子，每个豆子落在正方形内任何一点是等可能的，若他随机地撒50粒统计得到落在圆内的豆子数为39粒，则由此估计出的圆周率π的值为 3.12．（精确到0.01）【解答】解：由题意得：设正方形的边长为1，圆的面积为π．正方形的面积为4．∴P（A）＝故答案为：3.1215．（5分）连续2次抛掷一颗质地均匀的骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6的正方体），观察向上的点数，则事件“点数之积是3的倍数”的概率为．【解答】解：连续2次抛掷一颗质地均匀的骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6的正方体），观察向上的点数，基本事件总数n＝6×6＝36，事件“点数之积是3的倍数”包含的基本事件（a，b）有20个，分别为：（1，3），（3，1），（1，6），（6，1），（2，3），（3，2），（2，6），（6，2），（3，3），（3，4），（4，3），（3，5），（5，3），（3，6），（6，3），（4，6），（6，4），（5，6），（6，5），（6，6），∴事件“点数之积是3的倍数”的概率：p＝＝．故答案为：．16．（5分）小李从网上购买了一件商品，快递员计划在下午5：00﹣6：00之间送货上门，已知小李下班到家的时间为下午5：30﹣6：00．快递员到小李家时，如果小李未到家，则快递员会电话联系小李．若小李能在10分钟之内到家，则快递员等小李回来；否则，就将商品存放在快递柜中．则小李需要去快递柜收取商品的概率为．【解答】解：假设快递员送达的时刻为x，小李到家的时刻为y，则有序实数对（x，y）满足的区域为{（x，y）|}，小李需要去快递柜收取商品，即序实数对（x，y）满足的区域为{（x，y）|}，如图所示；∴小李需要去快递柜收取商品的概率为P＝．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）（Ⅰ）若a＞0，b＞0，求证：（a+b）（+）≥4；（Ⅱ）证明：+．【解答】证明：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，∴a+b≥2，∴，∴（a+b）（+）≥4（当且仅当a＝b取得等号）；（Ⅱ）要证+成立，只需证＞，即证13+2＞13+4，只需证，即证42＞40，显然为真，故原式成立．18．（12分）“石头、剪刀、布”是个广为流传的游戏，游戏时甲乙双方每次做“石头”“剪刀”“布”三种手势中的一种，规定：“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”，同种手势不分胜负须继续比赛，假设甲乙两人都是等可能地做这三种手势．（1）列举一次比赛时两人做出手势的所有可能情况；（2）求一次比赛甲取胜的概率，并说明“石头、剪刀、布”这个广为流传的游戏的公平性．【解答】解：（1）一次比赛所有可能出现的结果用树状图表示如下：（2）由上图可知，一次试验共出现9个基本事件，记“甲乙不分胜负”为事件A，“甲取胜”为事件B，“乙取胜”为事件C，则事件A、B、C各含有3个基本事件，则，由此可见，对于甲乙两人游戏公平．19．（12分）近年来，我国电子商务蓬勃发展，有关部门推出了针对网购平台的商品和服务的评价系统，从该系统中随机选出100名交易者，并对其交易评价进行了统计，网购者对商品的满意有60人，对服务的满意有75人，其中对商品和服务都满意的有40人．（Ⅰ）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并回答能否有99%的把握认为“网购者对服务满意与对商品满意之间有关”？（Ⅱ）若对商品和服务都不满意者的集合为Ω．已知Ω中有2名男性，现从Ω中任取2人调查其意见．求取到的2人恰好是一男一女的概率．附：K2＝（其中n＝a+b+c+d为样本容量）【解答】解：（Ⅰ）补充根据列联表，如下；计算观测值K2＝＝≈5.56＜6.635；∴没有99%的把握认为“网购者对服务满意与对商品满意之间有关”；（Ⅱ）Ω中有2男3女，记作A、B、c、d、e，从中任取2人，有AB、Ac、Ad、Ae、Bc、Bd、Be、cd、ce、de共10种情形，其中“一男一女”有Ac、Ad、Ae、Bc、Bd、Be共6种情形，∴所求的概率为P＝＝0.6．20．（12分）高考复习经过二轮“见多识广”之后，为了研究考前“限时抢分”强化训练次数x与答题正确率y%的关系，对某校高三某班学生进行了关注统计，得到如下数据：（Ⅰ）求y关于x的线性回归方程；（Ⅱ）若用（i＝1，2，3，4）表示统计数据的“强化均值”（结果四舍五入精确到整数），若“强化均值”的标准差在区间[0，2）内，则强化训练有效，请问这个班的强化训练是否有效？附：回归直线参考公式为：＝＝，＝﹣样本数据x1，x2，…，x n的标准差为：s＝．【解答】解：（Ⅰ）由所给数据计算得：＝2.5，＝40，x i y i﹣4＝70，﹣4＝5，∴＝＝14，＝﹣＝40﹣14×2.5＝5，所求回归直线方程是＝14x+5；（Ⅱ）经计算知，这四组数据的“强化均值”分别为5，6，8，9；平均数是7，“强化均值”的标准差是s＝＝＜2，∴这个班的强化训练有效．21．（12分）某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如图频率分布直方图：（1）如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w＝3时，估计该市居民该月的人均水费．【解答】解：（1）由频率分布直方图得：用水量在[0.5，1）的频率为0.1，用水量在[1，1.5）的频率为0.15，用水量在[1.5，2）的频率为0.2，用水量在[2，2.5）的频率为0.25，用水量在[2.5，3）的频率为0.15，用水量在[3，3.5）的频率为0.05，用水量在[3.5，4）的频率为0.05，用水量在[4，4.5）的频率为0.05，∵用水量小于等于3立方米的频率为85%，∴为使80%以上居民在该用的用水价为4元/立方米，∴w至少定为3立方米．（2）当w＝3时，该市居民的人均水费为：（0.1×1+0.15×1.5+0.2×2+0.25×2.5+0.15×3）×4+0.05×3×4+0.05×0.5×10+0.05×3×4+0.05×1×10+0.05×3×4+0.05×1.5×10＝10.5，∴当w＝3时，估计该市居民该月的人均水费为10.5元．22．（12分）据调查统计，通过这两条公路从城市甲到城市乙的200辆汽车所用时间的频数分布如下表．（Ⅰ）为进行某项研究，从所用时间为12天的60辆汽车中随机抽取6辆．（i）若用分层抽样的方法抽取，求从通过公路1和公路2的汽车中各抽取几辆；（ii）若从（i）的条件下抽取的6辆汽车中，再任意抽取两辆汽车，求这两辆汽车至少有一辆通过公路1的概率．（Ⅱ）假设汽车A只能在约定日期（某月某日）的前11天出发，汽车B只能在约定日期的前12天出发．为了尽最大可能在各自允许的时间内将货物运往城市乙，估计汽车A和汽车B应如何选择各自的路径．【解答】解：（Ⅰ）（i）公路1抽取辆汽车，公路2抽取辆汽车．（ii）通过公路1的两辆汽车分别用A1，A2表示，通过公路2的4辆汽车分别用B1，B2，B3，B4表示，任意抽取2辆汽车共有15种可能的结果：A1A2，A1B1，A1B2，A1B3，A1B4，A2B1，A2B2，A2B3，A2B4，B1B2，B1B3，B1B4，B2B3，B2B4，B3B4．其中至少有1辆经过公路1的有9种，∴至少有1辆经过1号公路的概率．（Ⅱ）频率分布表，如下：设C1，C2分别表示汽车A在前11天出发选择公路1、2将货物运往城市乙；D1，D2分别表示汽车B在前12天出发选择公路1、2将货物运往城市乙．P（C1）＝0.2+0.4＝0.6，P（C2）＝0.1+0.4＝0.5，∴汽车A应选择公路1．P（D1）＝0.2+0.4+0.2＝0.8，P（D2）＝0.1+0.4+0.4＝0.9，∴汽车B应选择公路2．第21页（共21页）。

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海南省海南中学2017-2018学年高考数学模拟试卷(文科)(十) Word版含解析

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2017-2018学年海南省海南中学高考数学模拟试卷（文科）（十）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．如果复数（其中i为虚数单位，b为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b等于（）A．B．C． D．22．已知集合M={，，﹣}，N={x|sinx＞0}，则M∩N为（）A．{，，﹣}B．{， }C．{，﹣}D．{，﹣}3．一个容量为n的样本，分成若干组，已知某数的频数和频率分别为40、0.125，则n的值为（）A．640 B．320 C．240 D．1604．设a，b为实数，则“ab＞1”是“b＞”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．若向量，且，那么的值为（）A．0 B．2 C．﹣2 D．﹣2或26．一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为（）A．6+π（m3）B．4+π（m3）C．3+π（m3）D．2+π（m3）7．如图是一个算法的程序框图，当输入的x的值为7时，输出的y值恰好是﹣1，则“？”处应填的关系式可能是（）A．y=2x+1 B．y=3﹣x C．y=|x|D．y=x8．设各项均不为0的数列{a n}满足a n+1=（n≥1），S n是其前n项和，若a2a4=2a5，则a3=（）A．B．2 C．2D．49．如图过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则抛物线的方程为（）A．y2=x B．y2=9x C．y2=x D．y2=3x10．若tanα=lg（10a），tanβ=lga，且α﹣β=，则实数a的值为（）A．1 B．C．1或D．1或1011．已知函数f（x）=，函数g（x）=2﹣f（x），若函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则实数a的取值范围是（）A．1＜a≤3 B．a＞2 C．1＜a＜2 D．2＜a≤312．定义在（0，+∞）上的单调函数f（x），∀x∈（0，+∞），f[f（x）﹣lnx]=1，则方程f（x）﹣f′（x）=1的解所在区间是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，2）D．（2，3）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知a，b，c分别是△ABC所对的边，若a=1，b=，∠A+∠C=2∠B，则∠A等于_______．14．定义在R上的函数f（x）=，则不等式f（x）＜﹣的解集为_______．15．已知圆O：x2+y2=1与x轴负半轴的交点为A，P为直线3x+4y﹣a=0上一点，过P作圆O 的切线，切点为T，若PT=2PT，则a的最大值为_______．16．若变量x、y满足约束条件，则z=x﹣2y的最大值为_______．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知数列{a n}满足a1=3，且a n+1﹣3a n=3n，（n∈N*），数列{b n}满足b n=3﹣n a n．（1）求证：数列{b n}是等差数列；（2）设，求满足不等式的所有正整数n的值．18．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱与底面垂直，∠BAC=90°，AB=AC=AA1，点M，N分别为A1B和B1C1的中点．（1）求证：平面A1BC⊥平面MAC；（2）求证：MN∥平面A1ACC1．19．某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y（单位：万千瓦时）与该河上游在六月份的降雨量X（单位：毫米）有关，据统计，当X=70时，Y=460；X每增加10，Y增加5．已知近20年X的值为：140，110，160，70，200，160，140，160，220，200，110，160，160，200，140，110，160，220，140，160．（Ⅰ）完成如下的频率分布表2070 140 220求今年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的概率．20．如图，椭圆E的方程为+=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，点A，B分别是椭圆的右顶点和上顶点，点M在线段AB上，满足BM=2MA，直线OM的斜率为．（1）求椭圆E的离心率e；（2）设点C的坐标为（0，﹣b），N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求椭圆E的方程．21．已知函数，．（Ⅰ）函数f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线（1﹣2e）x﹣y+4=0平行，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）设函数f（x）的导函数为f′（x），对任意的x1，x2∈（0，+∞），若g（x1）＜f′（x2）恒成立，求m的取值范围．四、请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-1：几何证明选讲22．如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，直线ADE、CFD、CGE都是⊙O的割线，已知AC=AB．（1）若CG=1，CD=4．求的值．（2）求证：FG∥AC．选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，圆C 的方程为ρ=6sinθ．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）若点P（1，2），设圆C与直线l交于点A，B，求|PA|+|PB|的最小值．选修4-5：不等式选讲24．设函数f（x）=|2x+2|﹣|x﹣2|．（Ⅰ）求不等式f（x）＞2的解集；（Ⅱ）若∀x∈R，f（x）≥t2﹣t恒成立，求实数t的取值范围．2016年海南省海南中学高考数学模拟试卷（文科）（十）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．如果复数（其中i为虚数单位，b为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b等于（）A．B．C． D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算性质、实部和虚部的定义即可得出．【解答】解：∵，∴2+2b=4﹣b，解得．故选：B．2．已知集合M={，，﹣}，N={x|sinx＞0}，则M∩N为（）A．{，，﹣}B．{， }C．{，﹣}D．{，﹣}【考点】交集及其运算．【分析】根据三角函数性质求出集合N，再与集合M进行交集运算即可．【解答】解：N={x|sinx＞0}={x|2kπ＜x＜2kπ+π}，k∈Z，当k=0时，N=（0，π），当k=﹣1时，N=（﹣2π，﹣π），∵集合M={，，﹣}，∴M∩N={， }，故选B．3．一个容量为n的样本，分成若干组，已知某数的频数和频率分别为40、0.125，则n的值为（）A．640 B．320 C．240 D．160【考点】用样本的频率分布估计总体分布．【分析】在频率分布直方图中，频数、频率和样本容量三者之间的关系是频率=，根据公式代入数据，得到结果．【解答】解：由频数、频率和样本容量之间的关系得到，=0.125，∴n=320．故选B．4．设a，b为实数，则“ab＞1”是“b＞”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的性质进行判断即可．【解答】解：当a=﹣2，b=﹣3时，由“ab＞1”⇒是“b＞”不成立，同样a=﹣2，b=3时，由“b＞”⇒“ab＞1”也不成立，故“ab＞1”是“b＞”的既不充分也不必要条件，故选：D．5．若向量，且，那么的值为（）A．0 B．2 C．﹣2 D．﹣2或2【考点】平面向量数量积的运算．【分析】把•化为•（+），求出•的值代入可得•的值．【解答】解：∵=+，∴•（+）=7，∴•+•=7∴•=7﹣•=7﹣（2，1）•（3，﹣1）=2故选B．6．一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为（）A．6+π（m3）B．4+π（m3）C．3+π（m3）D．2+π（m3）【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知此几何体的上面是圆锥、下面是长方体，由三视图求出几何元素的长度，由柱体、锥体的体积公式求出几何体的体积．【解答】解：由三视图可知，此几何体的上面是圆锥，其半径为1，高是3，此几何体的下面是长方体，其长，宽，高分别是3，2，1，因此该几何体的体积，故选A．7．如图是一个算法的程序框图，当输入的x的值为7时，输出的y值恰好是﹣1，则“？”处应填的关系式可能是（）A．y=2x+1 B．y=3﹣x C．y=|x|D．y=x【考点】程序框图．【分析】根据程序框图可知，程序运行时，列出数值x的变化情况，从而求出当x=﹣1时，输出的y的值为﹣1，比较各个选项从而选出答案即可．【解答】解：模拟执行程序，依题意，可得：x=7不满足条件x≤0，执行循环体，x=5不满足条件x≤0，执行循环体，x=3不满足条件x≤0，执行循环体，x=1不满足条件x≤0，执行循环体，x=﹣1满足条件x≤0，执行“？”处应填的关系式，可得y的值为﹣1，则函数关系式可能为y=2x+1．故选：A．8．设各项均不为0的数列{a n}满足a n+1=（n≥1），S n是其前n项和，若a2a4=2a5，则a3=（）A．B．2 C．2D．4【考点】等比数列的通项公式．【分析】由题意得判断出数列{a n}是以为公比的等比数列，由条件和通项公式求出a1的值，再求出a3的值．【解答】解：由题意得，a n+1=，所以，所以数列{a n}是以为公比的等比数列，因为a2a4=2a5，所以a1q•=2，解得a 1=2，所以=2×2=4，故选：D ．9．如图过抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点F 的直线依次交抛物线及准线于点A ，B ，C ，若|BC |=2|BF |，且|AF |=3，则抛物线的方程为（ ）A ．y 2=xB ．y 2=9xC ．y 2=xD ．y 2=3x【考点】抛物线的标准方程．【分析】分别过点A ，B 作准线的垂线，分别交准线于点E ，D ，设|BF |=a ，根据抛物线定义可知|BD |=a ，进而推断出∠BCD 的值，在直角三角形中求得a ，进而根据BD ∥FG ，利用比例线段的性质可求得p ，则抛物线方程可得．【解答】解：如图分别过点A ，B 作准线的垂线，分别交准线于点E ，D ，设|BF |=a ，则由已知得：|BC |=2a ，由定义得：|BD |=a ，故∠BCD=30°， 在直角三角形ACE 中，∵|AF |=3，|AC |=3+3a ， ∴2|AE |=|AC | ∴3+3a=6， 从而得a=1， ∵BD ∥FG ，∴=求得p=， 因此抛物线方程为y 2=3x ． 故选D ．10．若tanα=lg（10a），tanβ=lga，且α﹣β=，则实数a的值为（）A．1 B．C．1或D．1或10【考点】两角和与差的正切函数．【分析】由α﹣β=，展开两角差的正切，代入tanα=lg（10a），tanβ=lga，可得lg2a+lga=0，求解关于lga的一元二次方程得答案．【解答】解：∵α﹣β=，且tanα=lg（10a），tanβ=lga，∴，∴lga=0或lga=﹣1，即a=1或．故选：C．11．已知函数f（x）=，函数g（x）=2﹣f（x），若函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则实数a的取值范围是（）A．1＜a≤3 B．a＞2 C．1＜a＜2 D．2＜a≤3【考点】函数零点的判定定理．【分析】根据函数g（x）和f（x）的关系，将y=f（x）﹣g（x）=0转化为f（x）=1，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：由题意知方程f（x）=1，恰有4个实数根，当x≤1时，由|x+1|=a﹣1≥0，解得x=a﹣2或x=﹣a，所以，得：1＜a≤3．当x＞1，由（x﹣a）2=1，得x=a﹣1或x=a+1，所以得：a＞2．综上2＜a≤3．故选D．12．定义在（0，+∞）上的单调函数f （x ），∀x ∈（0，+∞），f [f （x ）﹣lnx ]=1，则方程f （x ）﹣f ′（x ）=1的解所在区间是（ ）A ．（0，）B ．（，1）C ．（1，2）D ．（2，3）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】由设t=f （x ）﹣lnx ，则f （x ）=lnx +t ，又由f （t ）=1，求出f （x ）=lnx +1，则方程f（x ）﹣f ′（x ）=1的解可转化成方程lnx ﹣=0的解，根据零点存在定理即可判断． 【解答】解：令f （x ）﹣lnx=t ，由函数f （x ）单调可知t 为正常数， 则f （x ）=t +lnx ，且f （t ）=1，即t +lnt=1， 解：根据题意，对任意的x ∈（0，+∞），都有f [f （x ）﹣lnx ]=1， 又由f （x ）是定义在（0，+∞）上的单调函数， 则f （x ）﹣lnx 为定值， 设t=f （x ）﹣lnx ， 则f （x ）=lnx +t ， 又由f （t ）=1， 即lnt +t=1， 解得：t=1，则f （x ）=lnx +1，f ′（x ）=，∴f （x ）﹣f ′（x ）=lnx +1﹣=1，即lnx ﹣=0，则方程f （x ）﹣f ′（x ）=1的解可转化成方程lnx ﹣=0的解，令h （x ）=lnx ﹣，而h（2）=ln2﹣＞0，h（1）=ln1﹣1＜0，∴方程lnx﹣=0的解所在区间为（1，2），∴方程f（x）﹣f′（x）=e的解所在区间为（1，2），故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知a，b，c分别是△ABC所对的边，若a=1，b=，∠A+∠C=2∠B，则∠A等于30°．【考点】正弦定理．【分析】由∠A+∠C=2∠B，及∠A+∠B+∠C=π，可得∠B=60°，可得，又，∠A只能是锐角，即可得出．【解答】解：在△ABC中，由∠A+∠C=2∠B，及∠A+∠B+∠C=π，可得∠B=60°，由正弦定理得，∴，且0°＜∠A＜180°，∴∠A=30°或150°，又∵，即∠A＜∠B，故∠A只能是锐角，于是∠A=30°．故答案为：30°．14．定义在R上的函数f（x）=，则不等式f（x）＜﹣的解集为．【考点】其他不等式的解法；分段函数的应用．【分析】当x≤1时，由不等式可得，由此求得x的范围；当x＞1时，由不等式可得|x﹣3|﹣1＜﹣，由此求得x的范围．再把以上两个x的范围取并集，即得所求．【解答】解：当x≤1时，，∴；当x＞1时，，∴不等式的解集为，故答案为：．15．已知圆O：x2+y2=1与x轴负半轴的交点为A，P为直线3x+4y﹣a=0上一点，过P作圆O的切线，切点为T，若PT=2PT，则a的最大值为．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】设P（x，y），由PA=2PT，把原题转化为直线3x+4y﹣a=0与圆有公共点，由此能求出a的最大值．【解答】解：设P（x，y），由PA=2PT，得（x+1）2+y2=4（x2+y2﹣1），化简得，转化为直线3x+4y﹣a=0与圆有公共点，所以，解得．∴a的最大值为．故答案为：．16．若变量x、y满足约束条件，则z=x﹣2y的最大值为3．【考点】简单线性规划．【分析】先画出满足约束条件的可行域，并求出各角点的坐标，然后代入目标函数，即可求出目标函数z=x﹣2y的最大值．【解答】解：满足约束条件的可行域如下图所示：由图可知，当x=1，y=﹣1时，z=x﹣2y取最大值3故答案为：3三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知数列{a n}满足a1=3，且a n+1﹣3a n=3n，（n∈N*），数列{b n}满足b n=3﹣n a n．（1）求证：数列{b n}是等差数列；（2）设，求满足不等式的所有正整数n的值．【考点】数列递推式；数列与不等式的综合．【分析】（1）由b n=3﹣n a n得a n=3n b n，则a n+1=3n+1b n+1．由此入手，能够证明数列{b n}是等差数列；（2）因为数列{b n}是首项为b1=3﹣1a1=1，公差为等差数列，所以，a n=3nb n=（n+2）×3n﹣1．由此能手能够求出满足不等式的所有正整数n的值．【解答】（1）证明：由b n=3﹣n a n得a n=3n b n，则a n+1=3n+1b n+1．代入a n+1﹣3a n=3n中，得3n+1b n+1﹣3n+1b n=3n，即得．所以数列{b n}是等差数列．（2）解：因为数列{b n}是首项为b1=3﹣1a1=1，公差为等差数列，则，则a n=3n b n=（n+2）×3n﹣1．从而有，故．则，由，得．即3＜3n＜127，得1＜n≤4．故满足不等式的所有正整数n的值为2，3，4．18．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱与底面垂直，∠BAC=90°，AB=AC=AA1，点M，N分别为A1B和B1C1的中点．（1）求证：平面A1BC⊥平面MAC；（2）求证：MN∥平面A1ACC1．【考点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）利用勾股定理计算A1B，A1C，BC得出△A1BC是等边三角形，得出CM⊥A1B，AM⊥A1B，故而A1B⊥平面MAC，于是平面A1BC⊥平面MAC；（2）连结AB1，AC1，由中位线定理得出MN∥AC1，故而MN∥平面A1ACC1．【解答】证明：（1）∵，，，AB=AC=AA1，∴BC=A1C=A1B，即△A1CB为等边三角形．∵M为A1B的中点，∴A1M⊥MC，又∵四边形AA1B1B为正方形，M为A1B的中点，∴A1M⊥MA，又∵MV∩MA=M，MC⊂平面MAC，MA⊂平面MAC，∴A1M⊥平面MAC．∵A1M⊂平面A1BC，∴平面A1BC⊥平面MAC．（2）连接AB1，AC1，∵点M，N分别为AB1和B1C1的中点，∴MN∥AC1又MN⊄平面A1ACC1，AC1⊂平面A1ACC1，∴MN∥平面A1ACC1．19．某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y（单位：万千瓦时）与该河上游在六月份的降雨量X（单位：毫米）有关，据统计，当X=70时，Y=460；X每增加10，Y增加5．已知近20年X的值为：140，110，160，70，200，160，140，160，220，200，110，160，160，200，140，110，160，220，140，160．（Ⅰ）完成如下的频率分布表2070 140 220求今年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的概率．【考点】频率分布表；互斥事件的概率加法公式．【分析】（Ⅰ）从所给的数据中数出降雨量为各个值时对应的频数，求出频率，完成频率分布图．（Ⅱ）将发电量转化为降雨量，利用频率分布表，求出发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的概率．【解答】解：（Ⅰ）在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个，则Y=460+×5=X+425，解可得，X＜130或X＞210；故P=P（Y＜490或Y＞530）=P（X＜130或X＞210）=P（X=70）+P（X=110）+P（X=220）=．故今年六月份该水利发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的概率为：．20．如图，椭圆E的方程为+=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，点A，B分别是椭圆的右顶点和上顶点，点M在线段AB上，满足BM=2MA，直线OM的斜率为．（1）求椭圆E的离心率e；（2）设点C的坐标为（0，﹣b），N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求椭圆E的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由已知结合比例性质求得M坐标，再由直线OM的斜率为，列式得到a，b的关系，结合隐含条件求得椭圆E的离心率e；（2）由中点坐标公式可得A，C中点N的坐标，又点N关于直线AB的对称点N′的纵坐标为，利用NN′的中点在直线AB上，且NN′与AB垂直列式求得b，则a可求，椭圆E的方程可求．【解答】解：（1）设A（a，0），B（0，b），∵BM=2MA，由比例性质可得，又∵直线OM的斜率为，∴，即，∴a=2b，a2=4b2=4（a2﹣c2），则；（2）∵C（0，﹣b），A（2b，0），则由中点坐标公式可得，直线，即x+2y﹣2b=0．设N关于直线AB的对称点是，则，消去x0得b=2，则a=2b=4．椭圆方程为：．21．已知函数，．（Ⅰ）函数f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线（1﹣2e）x﹣y+4=0平行，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）设函数f（x）的导函数为f′（x），对任意的x1，x2∈（0，+∞），若g（x1）＜f′（x2）恒成立，求m的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数恒成立问题．【分析】（Ⅰ）求出f（x）的导数，求得切线的斜率，解方程可得m=0，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间；（Ⅱ）由题意可得g（x1）的最大值＜f′（x2）的最小值，求出g（x）的导数，求得单调区间，可得最大值，求出f（x）的导数，配方可得f′（x）的最小值，即可得到m的范围．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=x2﹣2ex+m，∵f'（1）=1﹣2e+m=1﹣2e，∴m=0，令f'（x）≥0，解得x≥2e，或x≤0，令f'（x）＜0，解得0＜x＜2e，∴函数f（x）的单调增区间为[2e，+∞），（﹣∞，0]，单调减区间为（0，2e）．（Ⅱ），令，∴函数g（x）的单调增区间为（0，e]，单调减区间为[e，+∞）．当x=e时，又f'（x）=x2﹣2ex+m=（x﹣e）2+m﹣e2，，∵g（x1）＜f'（x2）恒成立，∴．四、请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-1：几何证明选讲22．如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，直线ADE、CFD、CGE都是⊙O的割线，已知AC=AB．（1）若CG=1，CD=4．求的值．（2）求证：FG∥AC．【考点】相似三角形的性质；与圆有关的比例线段．【分析】（1）根据圆内接四边形的性质，证出∠CGF=∠CDE且∠CFG=∠CED，可得△CGF∽△CDE，因此==4；（2）根据切割线定理证出AB2=AD•AE，所以AC2=AD•AE，证出=，结合∠EAC=∠DAC得到△ADC∽△ACE，所以∠ADC=∠ACE．再根据圆内接四边形的性质得∠ADC=∠EGF，从而∠EGF=∠ACE，可得GF∥AC．【解答】解：（1）∵四边形DEGF内接于⊙O，∴∠CGF=∠CDE，∠CFG=∠CED．因此△CGF∽△CDE，可得=，又∵CG=1，CD=4，∴=4；证明：（2）∵AB与⊙O的相切于点B，ADE是⊙O的割线，∴AB2=AD•AE，∵AB=AC，∴AC2=AD•AE，可得=，又∵∠EAC=∠DAC，∴△ADC∽△ACE，可得∠ADC=∠ACE，∵四边形DEGF内接于⊙O，∴∠ADC=∠EGF，因此∠EGF=∠ACE，可得GF∥AC．选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，圆C 的方程为ρ=6sinθ．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）若点P（1，2），设圆C与直线l交于点A，B，求|PA|+|PB|的最小值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）由ρ=6sinθ得ρ2=6ρsinθ，利用互化公式可得直角坐标方程．（2）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得t2+2（cosα﹣sinα）t﹣7=0，利用根与系数的关系、弦长公式即可得出．【解答】解：（1）由ρ=6sinθ得ρ2=6ρsinθ，化为直角坐标方程为x2+y2=6y，即x2+（y﹣3）2=9．（2）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得t2+2（cosα﹣sinα）t﹣7=0，由△=（2cosα﹣2sinα）2+4×7＞0，故可设t1，t2是上述方程的两根，∴，又直线过点（1，2），故结合t的几何意义得=，∴|PA|+|PB|的最小值为．选修4-5：不等式选讲24．设函数f（x）=|2x+2|﹣|x﹣2|．（Ⅰ）求不等式f（x）＞2的解集；（Ⅱ）若∀x∈R，f（x）≥t2﹣t恒成立，求实数t的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（Ⅰ）根据函数f（x）=，分类讨论，求得f（x）＞2的解集．（Ⅱ）由f（x）的解析式求得f（x）的最小值为f（﹣1）=﹣3，再根据f（﹣1）≥t2﹣，求得实数t的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=|2x+2|﹣|x﹣2|=，当x＜﹣1时，不等式即﹣x﹣4＞2，求得x＜﹣6，∴x＜﹣6．当﹣1≤x＜2时，不等式即3x＞2，求得x＞，∴＜x＜2．当x≥2时，不等式即x+4＞2，求得x＞﹣2，∴x≥2．综上所述，不等式的解集为{x|x＞或x＜﹣6}．（Ⅱ）由以上可得f（x）的最小值为f（﹣1）=﹣3，若∀x∈R，f（x）≥t2﹣t恒成立，只要﹣3≥t2﹣t，即2t2﹣7t+6≤0，求得≤t≤2．2016年9月8日。

海南省海南中学2017-2018学年高一下学期期中数学试卷 Word版含解析

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2017-2018学年海南省海南中学高一（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的.）1．不等式x2＜﹣2x+15的解集为（）A．{x|﹣5＜x＜3}B．{x|x＜﹣5}C．{x|x＜﹣5或x＞3}D．{x|x＞3}2．若数列{a n}满足a n+1=，且a1=1，则a17=（）A．12B．13C．15D．163．在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，若==，则△ABC是（）A．等边三角形B．锐角三角形C．任意三角形D．等腰直角三角形4．等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2+a4+a6=12，则S7的值是（）A．21B．24C．28D．75．已知a＞b＞c且a+b+c=0，则下列不等式恒成立的是（）A．ab＞bcB．ac＞bcC．ab＞acD．a|b|＞|b|c6．在等比数列{a n}中T n表示前n项的积，若T5=1，则一定有（）A．a1=1B．a3=1C．a4=1D．a5=17．已知x＞y＞0，则x+的最小值是（）A．2B．3C．4D．98．设S n是等比数列{a n}的前n项和，，则等于（）A．B．C．D．9．已知等比数列{a n}满足a n a n+1=4n，则其公比为（）A．±4B．4C．±2D．210．△ABC各角的对应边分别为a，b，c，满足+≥1，则角A的范围是（）A．（0，]B．（0，]C．[，π）D．[，π）11．已知a，b为正实数，且，若a+b﹣c≥0对于满足条件的a，b恒成立，则c的取值范围为（）A．B．（﹣∞，3]C．（﹣∞，6]D．12．已知函数f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3），g（x）=2x﹣2，若对于任一实数x，f（x）与g（x）至少有一个为负数，则实数m的取值范围是（）A．（﹣4，﹣1）B．（﹣4，0）C．（0，）D．（﹣4，）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.）13．等比数列，，，…前8项的和为．14．已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，a n+1=2S n，则数列{a n}的通项公式为．15．我舰在敌岛A处南偏西50°的B处，且A，B距离为12海里，发现敌舰正离开岛沿北偏西10°的方向以每小时10海里的速度航行．若我舰要用2小时追上敌舰，则其速度大小为海里/小时．16．关于x的不等式ax2﹣|x+1|+3a≥0的解集为（﹣∞，+∞），则实数a的取值范围是．三.解答题（本大题共6个小题，共70分）17．在△ABC中，角A、B，C所对的边为a，b，c，若（1）求角B的值；（2）求△ABC的面积．18．在数列{a n}中，．（Ⅰ）设，证明：数列{b n}是等差数列；（Ⅱ）求数列的前n项和S n．19．在△ABC中，三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且2bcosC=2a﹣c．（1）求角B；（2）若△ABC的面积S=，a+c=4，求b的值．20．阿海准备购买“海马”牌一辆小汽车，其中购车费用12.8万元，每年的保险费、汽油费约为0.95万元，年维修、保养费第一年是0.1万元，以后逐年递增0.1万元．请你帮阿海计算一下这种汽车使用多少年，它的年平均费用最少？21．已知f（x）=|ax﹣1|（a∈R），不等式f（x）＞5的解集为{x|x＜﹣3或x＞2}．（1）求a的值；（2）解不等式f（x）﹣f（）≤2．22．设S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列，a5=9．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）证明：++…+＜（n∈N*）．2017-2018学年海南省海南中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的.）1．不等式x2＜﹣2x+15的解集为（）A．{x|﹣5＜x＜3}B．{x|x＜﹣5}C．{x|x＜﹣5或x＞3}D．{x|x＞3}【考点】一元二次不等式的解法．【分析】把不等式化为（x+5）（x﹣3）＜0，根据不等式对应方程的实数根为﹣5和3，写出解集即可．【解答】解：不等式x2＜﹣2x+15可化为（x+5）（x﹣3）＜0，且不等式对应方程的两个实数根为﹣5和3，所以该不等式的解集为{x|﹣5＜x＜3}．故选：A．2．若数列{a n}满足a n+1=，且a1=1，则a17=（）A．12B．13C．15D．16【考点】数列递推式．【分析】a n+1=，可得a n+1﹣a n=，利用等差数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵a n+1=，且a1=1，∴a n+1﹣a n=，∴数列{a n}是等差数列，公差为，则a17=1+×16=13．故选：B．3．在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，若==，则△ABC是（）A．等边三角形B．锐角三角形C．任意三角形D．等腰直角三角形【考点】正弦定理．【分析】根据正弦定理及条件即可得出sinB=cosB，sinC=cosC，于是B=C=，A=．【解答】解：∵由正弦定理得：，又==，∴sinB=cosB，sinC=cosC，∴B=C=，∴A=．∴△ABC是等腰直角三角形．故选：D．4．等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2+a4+a6=12，则S7的值是（）A．21B．24C．28D．7【考点】等差数列的性质；等差数列的前n项和．【分析】根据等差数列的性质由a2+a4+a6=12得到a4=4，然后根据等差数列的前n项和公式，即可得到结论．【解答】解：∵a2+a4+a6=12，∴a2+a4+a6=12=3a4=12，即a4=4，则S7=，故选：C．5．已知a＞b＞c且a+b+c=0，则下列不等式恒成立的是（）A．ab＞bcB．ac＞bcC．ab＞acD．a|b|＞|b|c【考点】不等关系与不等式．【分析】a＞b＞c且a+b+c=0，可得a＞0，c＜0．再利用不等式的基本性质即可得出．【解答】解：∵a＞b＞c且a+b+c=0，∴a＞0，c＜0．∴ab＞ac．故选：C．6．在等比数列{a n}中T n表示前n项的积，若T5=1，则一定有（）A．a1=1B．a3=1C．a4=1D．a5=1【考点】等比数列的性质．【分析】由题意知T5=（a1q2）5=1，由此可知a1q2=1，所以一定有a3=1．【解答】解：T5=a1•a1q•a1q2•a1q3•a1q4=（a1q2）5=1，∴a1q2=1，∴a3=1．故选B．7．已知x＞y＞0，则x+的最小值是（）A．2B．3C．4D．9【考点】基本不等式．【分析】由x+=x﹣y++y，利用基本不等式的性质求解即可．【解答】解：∵x＞y＞0，∴x+=x﹣y++y≥3•=3，当且仅当x=2，y=1时取等号，故x+的最小值是3，故选：B．8．设S n是等比数列{a n}的前n项和，，则等于（）A．B．C．D．【考点】等比数列的前n项和；等比数列的性质．【分析】根据所给的前三项之和除以前六项之和，利用前n项和公式表示出来，约分整理出公比的结果，把要求的式子也做这种整理，把前面求出的公比代入，得到结果．【解答】解：∵∴s6=3s3∴3=∴1+q3=3，∴==故选B．9．已知等比数列{a n}满足a n a n+1=4n，则其公比为（）A．±4B．4C．±2D．2【考点】等比数列的通项公式．【分析】由已知得q2===4，=4，由此能求出公比．【解答】解：∵等比数列{a n}满足a n a n+1=4n，∴q2===4，∴=4，∴q＞0，∴q=2．故选：D．10．△ABC各角的对应边分别为a，b，c，满足+≥1，则角A的范围是（）A．（0，]B．（0，]C．[，π）D．[，π）【考点】余弦定理．【分析】已知不等式去分母后，整理得到关系式，两边除以2bc，利用余弦定理变形求出cosA 的范围，即可确定出A的范围．【解答】解：由+≥1得：b（a+b）+c（a+c）≥（a+c）（a+b），化简得：b2+c2﹣a2≥bc，同除以2bc得，≥，即cosA≥，∵A为三角形内角，∴0＜A≤，故选：A．11．已知a，b为正实数，且，若a+b﹣c≥0对于满足条件的a，b恒成立，则c的取值范围为（）A．B．（﹣∞，3]C．（﹣∞，6]D．【考点】基本不等式．【分析】a+b=（a+b）（）=（3++），利用基本不等式可求出a+b的最小值（a+b）min，要使a+b﹣c≥0对于满足条件的a，b恒成立，只要值（a+b）min﹣c≥0即可．【解答】解：a，b都是正实数，且a，b满足①，则a+b=（a+b）（）=（3++）≥（3+2）=+，当且仅当即b=a②时，等号成立．联立①②解得a=，b=，故a+b的最小值为+，要使a+b﹣c≥0恒成立，只要+﹣c≥0，即c≤+，故c的取值范围为（﹣∞，+]．故选A．12．已知函数f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3），g（x）=2x﹣2，若对于任一实数x，f（x）与g（x）至少有一个为负数，则实数m的取值范围是（）A．（﹣4，﹣1）B．（﹣4，0）C．（0，）D．（﹣4，）【考点】函数的零点与方程根的关系．【分析】f（x）与g（x）至少有一个为负数，则f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3）＜0在x≥1时恒成立，建立关于m的不等式组可得m的范围．【解答】解：∵g（x）=2x﹣2，当x≥1时，g（x）≥0，又∵∀x∈R，f（x）与g（x）至少有一个为负数，即f（x）＜0或g（x）＜0∴f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3）＜0在x≥1时恒成立所以二次函数图象开口只能向下，且与x轴交点都在（1，0）的左侧，即，解得﹣4＜m＜0；故选B二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.）13．等比数列，，，…前8项的和为．【考点】等比数列的前n项和．【分析】利用等比数列的前n项和公式求解．【解答】解：等比数列，，，…前8项的和：S8==．故答案为：．14．已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，a n+1=2S n，则数列{a n}的通项公式为．【考点】数列的概念及简单表示法．，两式想减整理得a n+1=3a n，判断出此时数列【分析】先看n≥2根据题设条件可知a n=2S n﹣1{a n}为等比数列，a2=2a1=2，公比为3，求得n≥2时的通项公式，最后综合可得答案．【解答】解：当n≥2时，a n=2S n，﹣1=2a n，∴a n+1﹣a n=2S n﹣2S n﹣1即a n+1=3a n，∴数列{a n}为等比数列，a2=2a1=2，公比为3，∴a n=2•3n﹣2，当n=1时，a1=1∴数列{a n}的通项公式为．故答案为：．15．我舰在敌岛A处南偏西50°的B处，且A，B距离为12海里，发现敌舰正离开岛沿北偏西10°的方向以每小时10海里的速度航行．若我舰要用2小时追上敌舰，则其速度大小为14海里/小时．【考点】解三角形的实际应用．【分析】由题意推出∠BAC=120°，利用余弦定理求出BC=28，然后推出我舰的速度．【解答】解：依题意，∠BAC=120°，AB=12，AC=10×2=20，在△ABC中，由余弦定理，得BC2=AB2+AC2﹣2AB×AC×cos∠BAC=122+202﹣2×12×20×cos120°=784．解得BC=28．所以渔船甲的速度为=14海里/小时．故我舰要用2小时追上敌舰速度大小为：14海里/小时．故答案为：14．16．关于x的不等式ax2﹣|x+1|+3a≥0的解集为（﹣∞，+∞），则实数a的取值范围是[，+∞）．【考点】其他不等式的解法．【分析】将不等式恒成立进行参数分类得到a≥，利用换元法将不等式转化为基本不等式的性质，根据基本不等式的性质求出的最大值即可得到结论．【解答】解：不等式ax2﹣|x+1|+3a≥0，则a（x2+3）≥|x+1|，即a≥，设t=x+1，则x=t﹣1，则不等式a≥等价为a≥==＞0即a＞0，设f（t）=，当|t|=0，即x=﹣1时，不等式等价为a+3a=4a≥0，此时满足条件，当t＞0，f（t）==，当且仅当t=，即t=2，即x=1时取等号．当t＜0，f（t）==≤，当且仅当﹣t=﹣，∴t=﹣2，即x=﹣3时取等号．∴当x=1，即t=2时，f max（t）==，∴要使a≥恒成立，则a，方法2：由不等式ax2﹣|x+1|+3a≥0，则a（x2+3）≥|x+1|，∴要使不等式的解集是（﹣∞，+∞），则a＞0，作出y=a（x2+3）和y=|x+1|的图象，由图象知只要当x＞﹣1时，直线y═|x+1|=x+1与y=a（x2+3）相切或相离即可，此时不等式ax2﹣|x+1|+3a≥0等价为不等式ax2﹣x﹣1+3a≥0，对应的判别式△=1﹣4a（3a﹣1）≤0，即﹣12a2+4a+1≤0，即12a2﹣4a﹣1≥0，（2a﹣1）（6a+1）≥0，解得a≥或a≤﹣（舍），故答案为：[，+∞）三.解答题（本大题共6个小题，共70分）17．在△ABC中，角A、B，C所对的边为a，b，c，若（1）求角B的值；（2）求△ABC的面积．【考点】正弦定理．【分析】（1）由A的度数求出sinA的值，再由a与b的长，利用正弦定理求出sinB的值，由a小于b，得到A小于B，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；（2）由A与B的度数，利用三角形的内角和定理求出C的度数，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．【解答】解：（1）∵a=2，b=6，A=30°，∴由正弦定理=得：sinB===，∵a＜b，∴A＜B，∴B=60°或B=120°；（2）当B=60°时，C=180°﹣30°﹣60°=90°，∴S△ABC=ab=×2×6=6；当B=120°时，C=180°﹣30°﹣120°=30°，∴S△ABC=absinC=×2×6×=3．18．在数列{a n}中，．（Ⅰ）设，证明：数列{b n}是等差数列；（Ⅱ）求数列的前n项和S n．【考点】数列的求和；等差关系的确定．【分析】（Ⅰ）依题意可求得b n+1=b n+1，由等差数列的定义即可得证数列{b n}是等差数列；（Ⅱ）可求得=3n﹣1，利用等比数列的求和公式即可求得数列的前n项和S n．【解答】解：（Ⅰ）由已知a n+1=3a n+3n得：b n+1===+1=b n+1，又b1=a1=1，因此{b n}是首项为1，公差为1的等差数列…（Ⅱ）由（1）得=n，∴=3n﹣1，…∴S n=1+31+32+…+3n﹣1==…19．在△ABC中，三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且2bcosC=2a﹣c．（1）求角B；（2）若△ABC的面积S=，a+c=4，求b的值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）已知等式利用正弦定理化简，利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式变形，根据sinC不为0求出cosB的值，即可确定出B的度数；（2）利用三角形面积公式列出关系式，将已知面积与sinB的值代入求出ac的值，利用余弦定理列出关系式，将cosB的值代入并利用完全平方公式变形，把a+c与ac的值代入即可求出b的值．【解答】解：（1）根据正弦定理化简2bcosC=2a﹣c，得：2sinBcosC=2sinA﹣sinC，即2sinBcosC=2sin（B+C）﹣sinC，整理得2sinCcosB=sinC，∵sinC≠0，∴cosB=，则B=；（2）∵△ABC的面积S=，sinB=，∴S=acsinB=，即ac=，∴ac=3，∵a+c=4，cosB=，∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac=（a+c）2﹣3ac=16﹣9=7，则b=．20．阿海准备购买“海马”牌一辆小汽车，其中购车费用12.8万元，每年的保险费、汽油费约为0.95万元，年维修、保养费第一年是0.1万元，以后逐年递增0.1万元．请你帮阿海计算一下这种汽车使用多少年，它的年平均费用最少？【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】由题意可得每年维修、保养费依次构成以0.1万元为首项，0.1万元为公差的等差数列，运用等差数列的求和公式，设汽车的年平均费用为y万元，则有y==1++0.05x（x＞0），再由基本不等式即可得到所求最小值，及等号成立的条件．【解答】解：依题意知汽车每年维修、保养费依次构成以0.1万元为首项，0.1万元为公差的等差数列．因此汽车使用x年总的维修、保养费用为=0.05x（x+1）万元，设汽车的年平均费用为y万元，则有y==1++0.05x（x＞0），由x＞0，可得+0.05x≥2=1.6，当且仅当，即x=16时等号成立．则y≥2.6，当x=16时，取得最小值2.6．答：这种汽车使用16年时，它的年平均费用最少．21．已知f（x）=|ax﹣1|（a∈R），不等式f（x）＞5的解集为{x|x＜﹣3或x＞2}．（1）求a的值；（2）解不等式f（x）﹣f（）≤2．【考点】其他不等式的解法．【分析】（1）讨论a=0，a＞0，a＜0，由题意可得﹣3，2为|ax﹣1|=5的两根，运用绝对值不等式的解法，即可得到a=﹣2：（2）运用绝对值的含义，讨论x的范围可得或或，解不等式即可得到所求解集．【解答】解：（1）由|ax﹣1|＞5，得到ax＞6或ax＜﹣4，当a=0时，不等式无解．当a＜0时，或．由题意可得﹣3，2为|ax﹣1|=5的两根，则，解得a=﹣2．当a＞0时，或．故，此时a无解．综上所述，a=﹣2．（2）f（x）=|﹣2x﹣1|，f（x）﹣f（）≤2，即为：|2x+1|﹣|x+1|≤2⇔或或，即﹣2≤x＜﹣1或或．故原不等式的解集为{x|﹣2≤x≤2}．22．设S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列，a5=9．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）证明：++…+＜（n∈N*）．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【分析】（1）由等比中项可知及等差数列通项公式，即可求得{a n}的首项和公差，即可写出数列{a n}的通项公式；（2）根据等差数列的前n项和公式，当n=1，，显然成立，当n≥2，采用放缩法及裂项法即可证明++…+=＜．【解答】解：（1）由题意知．设{a n}的公差为d，则，…解得：．∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，故数列{a n}的通项公式是a n=2n﹣1．…（2）证明：由（1）知…当n=1时，左边=，故原不等式显然成立．…当n≥2时，因为，∴，=，=，=，即．…综上所述，．…2018年7月20日。

海南海南中学2016-2017学年高二上学期期末数学试卷(文科) 含解析

海南海南中学2016-2017学年高二上学期期末数学试卷(文科) 含解析

2016—2017学年海南省海南中学高二（上）期末数学试卷（文科)一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的。

)1．一个物体的运动方程为s=1﹣t+t2其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是( ）A．7米/秒B．6米/秒C．5米/秒D．8米/秒2．函数函数f（x）=（x﹣3)e x的单调递增区间是（) A．(﹣∞，2）B．(0,3) C．（1，4) D．（2，+∞）3．在同一坐标系中，将曲线y=2sin3x变为曲线y=sinx的伸缩变换是( ）A．B．C．D．4．点M的直角坐标是(1，﹣）,则点M的极坐标为（）A．（2,）B．（2，﹣）C．（2，）D．（2，2kπ+）(k∈Z) 5．下列有关命题的说法正确的是( ）A．“x2=1”是“x=1”的充分不必要条件B．“x=2时,x2﹣3x+2=0”的否命题为真命题C．命题“∃x∈R,使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R,均有x2+x+1＜0”D．命题“若x=y,则sinx=siny”的逆否命题为真命题6．参数方程(t为参数）所表示的曲线是（）A．B．C．D．7．若函数f（x）=x+在点P处取得极值，则P点坐标为（）A．（2，4）B．（2，4）、（﹣2，﹣4）C．（4，2）D．（4，2)、（﹣4，﹣2）8．曲线y=2lnx上的点到直线2x﹣y+3=0的最短距离为( ）A．B．2C．3D．29．已知在极坐标系中，点A（2,），B（，），O（0，0)，则△ABO为（）A．正三角形 B．直角三角形C．等腰锐角三角形D．等腰直角三角形10．已知函数f(x）的定义域为R,f（﹣1）=2,对任意x∈R，f′（x）＞2,则f(x）＞2x+4的解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）11．直线和圆x2+y2=16交于A，B两点,则AB的中点坐标为( ）A．（3，﹣3）B．C．D．12．已知函数f（x）=（e为自然对数的底数），函数g（x)满足g′（x）=f′（x）+2f（x），其中f′（x），g′（x)分别为函数f（x)和g（x）的导函数,若函数g（x）在[﹣1，1]上是单调函数，则实数a的取值范围为（）A．a≤1 B．﹣≤a≤1 C．a＞1 D．a≥﹣二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分,共20分.)13．已知f（x）=x2+2xf′（1），则f′（0)= ．14．在极坐标系中，点A(2，）关于直线l：ρcosθ=1的对称点的一个极坐标为．15．点P在椭圆+=1上，点P到直线3x﹣4y=24的最大距离和最小距离为．16．已知函数f（x）=x2﹣4x+c只有一个零点，且函数g（x）=x（f （x）+mx﹣5)在（2，3）上不是单调函数，则实数m的取值范围是．三.解答题（本大题共6个小题，共70分）17．已知p：|x﹣3｜≤2，q：（x﹣m+1)（x﹣m﹣1）≤0，若￢p是￢q的充分而不必要条件，则实数m的取值范围为．18．已知函数f（x）=ax2+bx+4ln x的极值点为1和2．（1）求实数a，b的值；（2）求函数f(x）在定义域上的极大值、极小值．19．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C的极坐标方程为，直线l的参数方程为（t为参数），直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C 上不同于A，B的任意一点．（Ⅰ)求圆心的极坐标；（Ⅱ）求△PAB面积的最大值．20．如图，由y=0,x=8，y=x2围成的曲边三角形，在曲线OB弧上求一点M，使得过M所作的y=x2的切线PQ与OA，AB围城的三角形PQA的面积最大，并求得最大值．21．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2cosθ,过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为（t为参数）,直线l与曲线C相交于A，B两点．（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）求证：｜PA｜•｜PB|=|AB|2．22．函数f(x）=lnx﹣mx（Ⅰ）若曲线y=f（x）过点P(1，﹣1），求曲线y=f（x）在点P处的切线方程；（Ⅱ）求函数y=f（x）在区间[1，e]上的最大值；(Ⅲ）若x∈[1,e］，求证：lnx＜．2016—2017学年海南省海南中学高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

海南省海南中学高二下学期期中考试数学(理)试题

海南省海南中学高二下学期期中考试数学(理)试题

2016-2017学年第二学期期中考试高二理科数学（试题卷）时间：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 把红、黑、白、蓝4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每个人分得1张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是（ ）A ．对立事件B ．不可能事件C ．互斥但不对立事件D ．以上均不对2. 已知随机变量X 的分布列为：则0P X >=（ ） A. 57 B. 67 C. 47 D. 373. 某人有4个不同的电子邮箱，他要发3封电子邮件，则不同发送方法的种数是（ ）A. 7B. 12C. 34D. 43 4. 袋子中装有大小相同的5个小球，分别有2个红球、3个白球．现从中随机抽取2个小球，则这2个小球中既有红球也有白球的概率为（ ）A ．35B ．34C ．45D ．7105. 已知随机变量X 的分布列为：则 A. 53 B. 59 C. 23 D. 796. 若14,3XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()2D X 的值为（ ）A. 49B. 89C. 169D. 3297. 甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为（ ）A ．0.12B ．0.42C ．0.46D ．0.888. 两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（ ）A ．12B ．512C ．14D ．169. 某食品店为了促销，制作了3种不同的精美卡片，每袋食品中随机装入一张卡片，集齐3种卡片即可获奖，现购买该食品4袋，能获奖的概率是（ ）A ．427B ．827C ．49D ．8910. 假设你家订了一份牛奶，派送牛奶的人在早上6：00---7：00之间随机地把牛奶送到你家，而你在早上6：30---7：30之间随机地离家上学，则你在离开家前能收到牛奶的概率是（ ）A ．18B ．12C ．58D ．7811. 甲、乙两名选手进行比赛，甲必须再胜2盘才最后获胜，乙必须再胜3盘才最后获胜，若甲、乙两人每盘取胜的概率分别是14和34，则甲最后获胜的概率是（ ） A ．67256 B ．37256 C ．47256 D ． 376412. 抛一枚均匀硬币，正反每面出现的概率都是12，反复这样投掷，数列{}a n 定义如下：a n n n =-⎧⎨⎪⎩⎪11，第次投掷出现正面，第次投掷出现反面.若S a a a n N n n =+++∈12 ()*，则事件“20S ≠且82S =”的概率是（ ）A ．1256 B. 13128 C. 12 D. 732第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13. 已知随机变量ξ服从正态分布()20,N σ，且()220.4P ξ-≤≤=，则()2P ξ>=______． 14. 若n x x )13(32-展开式中各项系数和为128,则展开式中31x 的系数是_______． 15. 一个不透明的袋子装有4个完全相同的小球，球上分别标有数字为0,1,2,2，现甲从中摸出一个球后便放回，乙再从中摸出一个球，若摸出的球上数字大即获胜（若数字相同则为平局），则在甲获胜的条件下，乙摸到标有数字1的球的概率为_______．16. 将函数6cos 2)(xx f π=的图象向左平移3个单位后得到)(x g 的图象. 设n m ,是集合}5,4,3,2,1{中任意选取的2个不同的元素，记)()(n g m g X ⋅=，则随机变量X 的数学期望=)(X E _______．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）17. （本小题满分10分）在直角坐标系中，直线（为参数，）与圆相交于点，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）写出直线和圆的极坐标方程；（2）求的最大值.18. （本小题满分12分）设有关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=．（1）若a 是从集合{}|03A x Z x =∈≤≤中任取的一个元素，b 是从集合{}|02B x Z x =∈≤≤中任取的一个元素，求方程2220x ax b ++=恰有两个不相等实根的概率；（2）若a 是从集合{}03|A x x =≤≤中任取的一个元素，b 是从集合{}02|B x x =≤≤中任取的一个元素，求方程2220x ax b ++=有实根的概率．19. （本小题满分12分）甲、乙两个射手进行射击训练，甲击中目标的概率为32，乙击中目标的概率为43，每人各射击两发子弹为一个“单位射击组”，若甲击中目标的次数比乙击中目标的次数多，则称此组为“单位进步组”.（1）求一个“单位射击组”为“单位进步组”的概率；（2）记完成三个“单位射击组”后出现“单位进步组”的次数ξ，求ξ的分布列与数学期望.20. （本小题满分12分）已知三棱柱111ABC A B C -中，平面1A AC ⊥平面ABC ，BC AC ⊥，D 为AC 的中点，112AC BC AA AC ====. （1）求证：1AC ⊥平面1A BC ；（2）求二面角1A A B C --的正弦值.21. （本小题满分12分）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>上的点P 到左、右两焦点12,F F 的距离之和为22，离心率为22． （1）求椭圆的方程；（2）过右焦点2F 的直线l 交椭圆于A B 、两点．①若y 轴上一点1(0,)3M 满足MA MB =，求直线l 斜率k 的值； ②是否存在这样的直线l ，使ABO S ∆的最大值为22（其中O 为坐标原点）？若存在，求直线l 方程；若不存在，说明理由． 22. （本小题满分12分）已知函数()()()()22ln 1,2x x a f x x x g x a R x ++=+-=∈+. （1）求函数()f x 的单调区间及最值；（2）若对()()0,1x f x g x ∀>+>恒成立，求a 的取值范围；（3）求证:()()1111ln 135721n n N n *++++<+∈+.。