关于摩擦力的假设近似计算
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关于摩擦力的假设近似计算:
摩擦力:根据微元流体力学平衡原理,X 轴方向受力平衡方程为
dxdy dydz dx x p P dxdy dz z Pdydz τττ+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂++ 可以推出:x p
z ∂∂=∂∂τ
又由牛顿添黏性定律:z u
∂∂=η
τ 可以得出:⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂z u z x p
η
对上式两边同时对z 积分:
212
2c z c z x p ++∂∂=η
又根据试验台的运动原理可得:
z=0时u=U ,z=h 时u=0
将这两条件代入上述方程可得:
U
c U h x p h c ηη=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∂∂-=22121 所以速度方程为:
U z U h x p h z x p h u +⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∂∂-∂∂=ηη212122 又因为Rn U π2=
所以得到u 的表达式为:
Rn z Rn h x p h x p
z h u ππηη22212122+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂-∂∂= ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∂∂-∂∂=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∂∂-∂∂=+∂∂=∂∂=ηπηητRn h x p h z x p
U h x p h z x p c z x p z u 22121221 z=0时u=U,根据摩擦力公式
当'z z = 时摩擦力为:
⎰⎰=
''z D dxdy F z τ
由于上述问题的讨论只能得到区域内有限的n 点,所以现在处于对本试验台理论
需要对摩擦力进行近似的理论计算,假设如下: 根据HERTZ 原理假设:
在接触区,当z 小于等于最小油膜厚度, 在区域,
Z D 为min 222,h z a y x ≤≤+ 对于任意高度为z 的平面摩擦力为:
⎰⎰=
z D dxdy F z τ
又由上文已经推导出:
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂-∂∂=ηπτRn h x p h z x p
2212 所以dxdy Rn h x p h z x p F Z D z ))22
(1(2,η +∂∂-∂∂=⎰⎰
经计算可得h a
Rn F Z 222η -=
在区域,
Z D 为min h ≤z ≤22min a R R h --+ 对于任意高度为z 的平面摩擦力为:
⎰⎰=
z D dxdy F z τ
又由上文已经推导出:
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂-∂∂=ηπτRn h x p h z x p
2212 所以dxdy Rn h x p h z x p F Z
D z ))22(1(2,η +∂∂-∂∂=⎰⎰
经计算整理可得:
h Rz z a Rn F Z )2(2222-+-=η。