高考数学一轮备考(精华版)

2024年高考数学第一轮复习重点总结一、函数与导数1. 函数的基本概念：函数的定义、自变量和因变量、函数的图像、奇函数和偶函数等。

2. 函数的运算：函数的加减乘除、复合函数、反函数等。

3. 导数的概念：导数的定义、几何意义、导数的性质等。

4. 导数的计算法则：基本导数公式、常数函数的导数、幂函数的导数、指数函数的导数、对数函数的导数等。

5. 导数与函数的关系：导函数与原函数、导函数与函数的单调性、极值点与导数。

6. 函数图像的性质：函数的增减性、极值点、拐点等。

二、习题解析与归纳1. 基本属性与等式：乘方运算的基本性质、平方根与立方根的性质、指数与对数的关系等。

2. 中心对称与轴对称：中心对称与轴对称的概念、图形关于中心对称与轴对称的性质。

3. 几何变换与相似三角形：平移、旋转、翻折的概念与性质、相似三角形的判定与计算。

4. 几何实际问题解决：几何实际问题的建模与解决，如图形的面积、体积、最优解等。

5. 数据的统计与分析：样本的搜集、描述统计指标与图表、数据的分析与解读。

三、三角函数1. 三角函数的定义与基本关系：正弦函数、余弦函数、正切函数等的定义与基本关系。

2. 三角函数与导数：三角函数的导数公式、导数与函数图像的关系。

3. 三角函数的图像性质：函数图像的周期性、单调性、奇偶性等。

4. 三角函数的计算与应用：函数值的计算、特殊角的三角函数值、角度的变换与运算、解三角方程等。

四、平面解析几何1. 坐标系与平面几何：直角坐标系与极坐标系的关系、平面直角坐标系与空间直角坐标系的关系、直线与曲线的方程表示。

2. 直线与平面的性质与方程：直线的特殊情况、平面与直线的位置关系、直线与平面的交点、曲线与曲线的位置关系。

3. 曲线与曲面的性质与方程：一元二次方程的图像、标准二次曲线的性质、二元二次方程的图像、平面曲线的参数方程表示等。

五、概率与统计1. 随机事件与概率：随机事件与样本空间、事件的概率、事件的运算。

§11.3用样本估计总体考试要求 1.会用统计图表对总体进行估计.2.能用数字特征估计总体集中趋势和总体离散程度．知识梳理1．平均数、中位数和众数(1)平均数：x＝1n(x1＋x2＋…＋x n)．(2)中位数：将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，处在最中间的一个数据(当数据个数是奇数时)或最中间两个数据的平均数(当数据个数是偶数时)．(3)众数：一组数据中出现次数最多的数据(即频数最大值所对应的样本数据)．2．方差和标准差(1)方差：s2＝1n错误!(x i －x)2或1n错误!2i－x2.(2)标准差：s＝错误!.常用结论巧用三个有关的结论(1)若x1，x2，…，x n的平均数为1，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mx n＋a的平均数为m＋a；(2)数据x1，x2，…，x n与数据x1′＝x1＋a，x2′＝x2＋a，…，x n′＝x n＋a的方差相等，即数据经过平移后方差不变；(3)若x1，x2，…，x n的方差为s2，那么ax1＋b，ax2＋b，…，ax n＋b的方差为a2s2.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)对一组数据来说，平均数和中位数总是非常接近．(×)(2)方差与标准差具有相同的单位．(×)(3)如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这组数的平均数改变，方差不变．(√)(4)在频率分布直方图中，最高的小长方形底边中点的横坐标是众数．(√)教材改编题1．给出一组数据：1,3,3,5,5,5，下列说法不正确的是()A．这组数据的极差为4B．这组数据的平均数为3C．这组数据的中位数为4 D．这组数据的众数为5答案B解析这组数据的极差为5－1＝4，A正确；平均数为1＋3×2＋5×36＝113，B错误；中位数为3＋52＝4，C正确；众数为5，D正确．2．下列说法正确的是()A．众数可以准确地反映出总体的情况B．一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据C．平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势D．一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越小答案C解析对于A，众数体现了样本数据的最大集中点，但对其他数据信息的忽略使得无法客观反映总体特征，所以A错误；对于B，一组数的平均数不可能大于这组数据中的每一个数据，所以B错误；对于C，平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势，所以C正确；对于D，方差可以用来衡量一组数据波动的大小，方差越小，数据波动越小，方差越大，数据波动越大，所以D错误．3．设一组样本数据x1，x2，…，x n的方差为0.01，则数据10x1，10x2，…，10x n的方差为()A．0.01B．0.1C．1D．10答案C解析∵样本数据x1，x2，…，x n的方差为0.01，根据任何一组数据同时扩大几倍，方差将变为平方倍增长，∴数据10x1，10x2，…，10x n的方差为100×0.01＝1.题型一样本的数字特征例1(1)在一次歌咏比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：90,89,90,95,93,94,93.去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数与方差分别为()A．92,2.8B．92,2C．93,2D．93,2.8答案A解析由题意得所剩数据为90,90,93,94,93.所以平均数x ＝90＋90＋93＋94＋935＝92.方差s 2＝15[(90－92)2＋(90－92)2＋(93－92)2＋(93－92)2＋(94－92)2]＝2.8.(2)已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为x ，方差为s 2，则()A.x ＝4，s 2<2B.x ＝4，s 2＝2C.x >4，s 2<2D.x >4，s 2>2答案A解析设7个数为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，x 6，x 7，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋x 6＋x 77＝4，(x 1－4)2＋(x 2－4)2＋(x 3－4)2＋(x 4－4)2＋(x 5－4)2＋(x 6－4)2＋(x 7－4)27＝2，所以x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋x 6＋x 7＝28，(x 1－4)2＋(x 2－4)2＋(x 3－4)2＋(x 4－4)2＋(x 5－4)2＋(x 6－4)2＋(x 7－4)2＝14，则这8个数的平均数为x ＝18(x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋x 6＋x 7＋4)＝18×(28＋4)＝4，方差为s 2＝18×[(x 1－4)2＋(x 2－4)2＋(x 3－4)2＋(x 4－4)2＋(x 5－4)2＋(x 6－4)2＋(x 7－4)2＋(4－4)2]＝18×(14＋0)＝74<2.教师备选某高校分配给某中学一个保送名额，该中学进行校内举荐评选，评选条件除了要求该生获得该校“三好学生”称号，还要求学生在近期连续3次大型考试中，每次考试的名次都在全校前5名(每次考试无并列名次)．现有甲、乙、丙、丁四位同学都获得了“三好学生”称号，四位同学在近期连续3次大型考试名次的数据分别为甲同学：平均数为3，众数为2；乙同学：中位数为3，众数为3；丙同学：众数为3，方差小于3；丁同学：平均数为3，方差小于3.则一定符合推荐要求的同学有()A ．甲和乙B ．乙和丁C ．丙和丁D ．甲和丁答案D解析对于甲同学，平均数为3，众数为2，则3次考试的成绩的名次为2,2,5，满足要求；对于乙同学，中位数为3，众数为3，可举反例：3,3,6，不满足要求；对于丙同学，众数为3，方差小于3，可举特例：3,3,6，则平均数为4，方差s 2＝13×[2×(3－4)2＋(6－4)2]＝2<3，不满足要求；对于丁同学，平均数为3，方差小于3，设丁同学3次考试的名次分别为x 1，x 2，x 3，若x 1，x 2，x 3中至少有一个大于等于6，则方差s 2＝13[(x 1－3)2＋(x 2－3)2＋(x 3－3)2]>3，与已知条件矛盾，所以x 1，x 2，x 3均不大于5，满足要求．思维升华平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义，平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述其离散程度．跟踪训练1(1)从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：厘米)分布情况汇总如下，身高(100，110](110，120](120，130](130，140](140，150]频数535302010由此表估计这100名小学生身高的中位数为(结果保留4位有效数字)()A ．119.3B ．119.7C ．123.3D ．126.7答案C解析由题意知身高在(100,110]，(110,120]，(120,130]内的频率依次为0.05,0.35,0.3，前两组频率和为0.4，组距为10，设中位数为x ，则(x －120)×0.310＝0.1，解得x ≈123.3.(2)(2021·新高考全国Ⅰ改编)有一组样本数据x 1，x 2，…，x n ，由这组数据得到新样本数据y 1，y 2，…，y n ，其中y i ＝x i ＋c (i ＝1,2，…，n )，c 为非零常数，则()A ．两组样本数据的样本平均数相同B ．两组样本数据的样本中位数相同C ．两组样本数据的样本标准差相同D ．两组样本数据的样本极差不同答案C解析设样本数据x 1，x 2，…，x n 的平均数、中位数、标准差、极差分别为x ，m ，σ，t ，依题意得，新样本数据y1，y2，…，y n的平均数、中位数、标准差、极差分别为x＋c，m＋c，σ，t，因为c≠0，所以C正确，D不正确．题型二总体集中趋势的估计例2棉花是我国纺织工业重要的原料．新疆作为我国最大的产棉区，对国家棉花产业发展、确保棉粮安全以及促进新疆农民增收、实现乡村振兴战略都具有重要意义．准确掌握棉花质量现状、动态，可以促进棉花产业健康和稳定的发展．在新疆某地收购的一批棉花中随机抽测了100根棉花的纤维长度(单位：mm)，得到样本的频数分布表如下：纤维长度频数频率[0,50)40.04[50,100)80.08[100,150)100.10[150,200)100.10[200,250)160.16[250,300)400.40[300,350]120.12(1)在图中作出样本的频率分布直方图；(2)根据(1)中作出的频率分布直方图求这一棉花样本的众数、中位数与平均数，并对这批棉花的众数、中位数和平均数进行估计．解(1)样本的频率分布直方图如图所示．(2)由样本的频率分布直方图，得众数为250＋3002＝275(mm)；设中位数为x，(x－250)×0.008＝50%－48%，解得x＝252.5，即中位数为252.5mm；设平均数为x，则x＝25×0.04＋75×0.08＋125×0.1＋175×0.1＋225×0.16＋275×0.4＋325×0.12＝222(mm)，故平均数为222mm.由样本的这些数据，可得购进的这批棉花的众数、中位数和平均数分别约为275mm、252.5mm和222mm.教师备选某城市在创建文明城市的活动中，为了解居民对“创建文明城市”的满意程度，组织居民给活动打分(分数为整数，满分100分)，从中随机抽取一个容量为100的样本，发现数据均在[40,100]内．现将这些分数分成6组并画出样本的频率分布直方图，但不小心污损了部分图形，如图所示．观察图形，则下列说法不正确的是()A．频率分布直方图中第三组的频数为10B．根据频率分布直方图估计样本的众数为75分C．根据频率分布直方图估计样本的中位数为75分D．根据频率分布直方图估计样本的平均数为75分答案D解析分数在[60,70)内的频率为1－10×(0.005＋0.020＋0.030＋0.025＋0.010)＝0.10，所以第三组的频数为100×0.10＝10，故A正确；因为众数的估计值是频率分布直方图中最高矩形底边的中点的横坐标，从图中可看出众数的估计值为75分，故B正确；因为(0.005＋0.020＋0.010)×10＝0.35<0.5，(0.005＋0.020＋0.010＋0.030)×10＝0.65>0.5，所以中位数位于[70,80)内，设中位数为x，则0.35＋0.03(x－70)＝0.5，解得x＝75，所以中位数的估计值为75分，故C正确；样本平均数的估计值为45×(10×0.005)＋55×(10×0.020)＋65×(10×0.010)＋75×(10×0.030)＋85×(10×0.025)＋95×(10×0.010)＝73(分)，故D错误．思维升华频率分布直方图的数字特征(1)众数：最高矩形的底边中点的横坐标．(2)中位数：中位数左边和右边的矩形的面积和应该相等．(3)平均数：平均数在频率分布直方图中等于各组区间的中点值与对应频率之积的和．跟踪训练2首次实施新高考的八省(市)于2021年1月23日统一举行了新高考适应性考试，在联考结束后，根据联考成绩，考生可了解自己的学习情况，作出升学规划，决定是否参加强基计划．在本次适应性考试中，某学校为了解高三学生的联考情况，随机抽取了100名学生的联考数学成绩作为样本，并按照分数段[50,70)，[70,90)，[90,110)，[110,130)，[130,150]分组，绘制了如图所示的频率分布直方图．(1)求出图中a的值并估计本次考试及格率(“及格率”指得分为90分及以上的学生所占比例)；(2)估计该校学生联考数学成绩的众数、平均数．解(1)由频率分布直方图的性质，可得(0.004＋a＋0.013＋0.014＋0.016)×20＝1，解得a＝0.003.所以及格率为(0.016＋0.014＋0.003)×20＝0.66＝66%.(2)由图可得，众数估计值为100分．平均数估计值为0.08×60＋0.26×80＋0.32×100＋0.28×120＋0.06×140＝99.6(分)．题型三总体离散程度的估计例3(2021·全国乙卷)某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x和y，样本方差分别记为s21和s22.(1)求x，y，s21，s22；(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果y－x≥2s21＋s2210，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高)．解(1)由表格中的数据易得x＝110×(－0.2＋0.3＋0＋0.2－0.1－0.2＋0＋0.1＋0.2－0.3)＋10.0＝10.0，y＝110×(0.1＋0.4＋0.1＋0＋0.1＋0.3＋0.6＋0.5＋0.4＋0.5)＋10.0＝10.3，s21＝110×[(9.7－10.0)2＋2×(9.8－10.0)2＋(9.9－10.0)2＋2×(10.0－10.0)2＋(10.1－10.0)2＋2×(10.2－10.0)2＋(10.3－10.0)2]＝0.036，s22＝110×[(10.0－10.3)2＋3×(10.1－10.3)2＋(10.3－10.3)2＋2×(10.4－10.3)2＋2×(10.5－10.3)2＋(10.6－10.3)2]＝0.04.(2)由(1)中数据可得y－x＝10.3－10.0＝0.3，而2s21＋s2210＝25(s21＋s22)＝0.0304，显然有y－x>2s21＋s2210成立，所以认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高．教师备选从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：质量指标值分组[75，85)[85，95)[95，105)[105，115)[115，125]频数62638228(1)根据上表补全如图所示的频率分布直方图；(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？解(1)补全后的频率分布直方图如图所示．(2)质量指标值的样本平均数为x＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100.质量指标值的样本方差为s2＝(－20)2×0.06＋(－10)2×0.26＋02×0.38＋102×0.22＋202×0.08＝104.所以这种产品质量指标值的平均数约为100，方差约为104.(3)质量指标值不低于95的产品所占比例约为0.38＋0.22＋0.08＝0.68.由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定．思维升华总体离散程度的估计标准差(方差)反映了数据的离散与集中、波动与稳定的程度．标准差(方差)越大，数据的离散程度越大；标准差(方差)越小，数据的离散程度越小．跟踪训练3(2022·蚌埠质检)某校计划在秋季运动会期间开展“运动与健康”知识大赛，为此某班开展了10次模拟测试，以此选拔选手代表班级参赛，下表为甲、乙两名学生的历次模拟测试成绩．场次12345678910甲98949797959393959395乙92949394959496979798甲、乙两名学生测试成绩的平均数分别记作x，y，方差分别记作s21，s22.(1)求x，y，s21，s22；(2)以这10次模拟测试成绩及(1)中的结果为参考，请你从甲、乙两名学生中选出一人代表班级参加比赛，并说明你作出选择的理由．解(1)x＝110(98＋94＋97＋97＋95＋93＋93＋95＋93＋95)＝95，y＝110(92＋94＋93＋94＋95＋94＋96＋97＋97＋98)＝95，s21＝110[32＋(－1)2＋22＋22＋0＋(－2)2＋(－2)2＋0＋(－2)2＋0]＝3，s22＝110[(－3)2＋(－1)2＋(－2)2＋(－1)2＋0＋(－1)2＋12＋22＋22＋32]＝3.4.(2)答案一：由(1)可知，x＝y，s21<s22，甲、乙两人平均分相同，但甲发挥更稳定，所以可以派甲同学代表班级参赛.答案二：由(1)可知，x＝y，s21<s22，甲、乙两人平均分相同，两人成绩的方差差距不大，但从10次测试成绩的增减趋势可以发现，甲的成绩总体呈下降趋势，乙的成绩总体呈上升趋势，说明乙的状态越来越好，所以可以派乙同学代表班级参赛．课时精练1．某机构调査了10种食品的卡路里含量，结果如下：107,135,138,140,146,175,179,182,191,195.则这组数据的中位数是()A．160.5B．146C．175D．135答案A 解析中位数为146＋1752＝160.5.2．给定一组数据5,5,4,3,3,3,2,2,2,1，则这组数据()A ．众数为2B ．平均数为2.5C ．方差为1.6D ．标准差为4答案C解析由题中数据可得，众数为2和3，故A 错误；平均数为x ＝5＋5＋…＋2＋110＝3，故B 错误；方差s 2＝(5－3)2＋(5－3)2＋…＋(2－3)2＋(1－3)210＝1.6，标准差为 1.6≠4，故C 正确，D 错误．3．若数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，方差为s 2，则4x 1－3,4x 2－3，…，4x n －3的平均数和标准差分别为()A.x ，s B ．4x －3，s C ．4x －3,4sD ．4x －3，16s 2－24s ＋9答案C解析因为x ＝1n(x 1＋x 2＋…＋x n )，s 2＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，所以4x 1－3,4x 2－3，…，4x n －3的平均数为x ′＝1n [(4x 1－3)＋(4x 2－3)＋…＋(4x n －3)]＝1n [4(x 1＋x 2＋…＋x n )－3n ]＝4x －3，标准差为1n[(4x 1－3－4x ＋3)2＋(4x 2－3－4x ＋3)2＋…＋(4x n －3－4x ＋3)2]＝41n[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(x n－x)2]＝4s2＝4s.4．某市为推进垃圾分类工作的实施，开展了“垃圾分类进小区”的评比活动．现对该市甲、乙两个小区进行评比，从中各随机选出20户家庭进行评比打分，每户成绩满分为100分，评分后得到如下茎叶图．通过茎叶图比较甲、乙两个小区成绩的平均数及方差大小()A.x甲<x乙，s2甲<s2乙B.x甲>x乙，s2甲<s2乙C.x甲<x乙，s2甲>s2乙D.x甲>x乙，s2甲>s2乙答案C解析由茎叶图知，乙小区成绩低的户数少于甲小区，且成绩大多高于甲小区，所以乙小区成绩的平均数大于甲小区．因为乙小区成绩分布比较集中，所以乙小区成绩的方差比甲小区小．5．某大学共有12000名学生，为了了解学生课外图书阅读量情况，该校随机地从全校学生中抽取1000名，统计他们每年阅读的书籍数量，由此来估计全体学生当年的阅读书籍数量的情况，下列估计中正确的是(注：同一组数据用该组区间的中点值作为代表)()A．中位数为6B．众数为10C．平均数为6.88D．该校读书不低于8本的人数约为3600答案C解析由图知，中位数x在[4,8)内，所以0.06×4＋0.1×(x－4)＝0.5，解得x＝6.6，A错误；由图知，众数在[4,8)内，故众数为6，B错误；平均数为4×(2×0.06＋6×0.1＋10×0.07＋14×0.015＋18×0.005)＝6.88，C正确；由图知，该校读书不低于8本的频率之和为1－0.16×4＝0.36，所以该校读书不低于8本的人数约为0.36×12000＝4320，D错误．6．(2022·深圳模拟)若甲组样本数据x1，x2，…，x n(数据各不相同)的平均数为2，方差为4，乙组样本数据3x1＋a，3x2＋a，…，3x n＋a的平均数为4，则下列说法不正确的是() A．a的值为－2B．乙组样本数据的方差为36C．两组样本数据的样本中位数一定相同D．两组样本数据的样本极差不同答案C解析由题意可知，3×2＋a＝4，故a＝－2，故A正确；乙组样本数据方差为9×4＝36，故B正确；设甲组样本数据的中位数为x i，则乙组样本数据的中位数为3x i－2，所以两组样本数据的样本中位数不一定相同，故C错误；甲组数据的极差为x max－x min，则乙组数据的极差为(3x max－2)－(3x min－2)＝3(x max－x min)，所以两组样本数据的样本极差不同，故D正确．7．2021年高考某题的第(1)问的得分情况如下：得分(分)01234百分率(%)37.08.6 6.028.220.2其中得分的众数是________．答案0解析众数是指一组数据中出现次数最多的数据，根据所给表格知，百分率最高的是0. 8．已知数据x1，x2，…，x9的方差为5，则数据3x1＋1，3x2＋1，…，3x9＋1的方差为________．答案45解析原数据的方差为5，则线性变换后的数据的方差为32×5＝45.9．自中国进入工业化进程以来，个人的文化水平往往影响或在某种程度上决定了个人的薪酬高低，文化水平较高的人往往收入较高．将个人的文化水平用数字表示，记“没有接受过系统学习或自学的成年人”为最低分25分，“顶级尖端人才”为最高分95分．为了分析A市居民的受教育程度，从A 市居民中随机抽取1000人的文化水平数据X ，将样本分成小学[25,35)，初中[35,45)，高中[45,55)，专科[55,65)，本科[65,75)，硕士[75,85)，博士[85,95]七组，整理后得到如图所示的频率分布直方图．(1)求样本数据的众数和中位数(保留一位小数)；(2)请估计该市居民的平均文化水平．(同组中的每个数据用该组区间的中点值代替)解(1)样本数据的众数为65＋752＝70.0.X ∈[25,65)的频率为0.05＋0.05＋0.15＋0.20＝0.45<0.50，X ∈[25,75)的频率为0.05＋0.05＋0.15＋0.20＋0.30＝0.75>0.50.所以中位数在区间[65,75)上，中位数为65＋10×0.50－0.450.30＝65＋53≈66.7.(2)平均文化水平X ＝30×0.05＋40×0.05＋50×0.15＋60×0.20＋70×0.30＋80×0.20＋90×0.05＝64.5.10．某家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了近期连续120天苹果的日销售量(单位：kg)，并绘制频率分布直方图如图．(1)请根据频率分布直方图估计该水果店苹果日销售量的众数、中位数和平均数；(同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)(2)一次进货太多，水果会变得不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求．店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能90%地满足顾客的需求(在10天中，大约有9天可以满足顾客的需求)．请问每天应该进多少千克苹果？解(1)由题图可知，区间[80,90)的频率最大，所以众数为85，中位数设为x ，则0.025＋0.1＋(x －80)×0.04＝0.5，可得x ＝89.375.平均数为x ＝(65×0.0025＋75×0.01＋85×0.04＋95×0.035＋105×0.01＋115×0.0025)×10＝89.75.(2)日销售量[60,100)的频率为0.875<0.9，日销售量[60,110)的频率为0.975>0.9，故所求的量位于[100,110)．由0.9－0.025－0.1－0.4－0.35＝0.025，得100＋0.0250.01＝102.5，故每天应该进102.5千克苹果．11．已知一组数据1,2，a ，b ，5,8的平均数和中位数均为4，其中a ，b ∈N *，在去掉其中的一个最大数后，该组数据一定不变的是()A ．平均数B ．众数C ．中位数D ．标准差答案B解析由题意知，16＋a ＋b6＝4，可得a ＋b ＝8，又中位数为4，＝3，＝5＝4，＝4，＝3，＝5，＝3，＝5＝3，＝5，时，众数为5，标准差为433；＝4，＝4时，众数为4，标准差为 5.∴去掉其中的一个最大数后，数据为1,2，a ，b ，5，＝3，＝5＝3，＝5，时，平均数为165，众数为5，中位数为3，标准差为85；＝4，＝4时，平均数为165，众数为4，中位数为4，标准差为365.综上，数据变化前后一定不变的是众数．12．(2022·东三省四市联考)某同学掷骰子5次，并记录了每次骰子出现的点数，得出平均数为2，方差为2.4的统计结果，则下列点数中一定不出现的是()A ．1B ．2C ．5D ．6答案D解析因为(6－2)25＝3.2，根据方差的计算公式知，方差大于2.4，因此不能出现点数6，因为(5－2)25 1.8<2.4，(2－2)25＝0<2.4，(1－2)25＝0.2<2.4，则其余的点数1,2,5都有可能出现．13．小华同学每天晚上睡觉前要求自己背诵15个英文单词，若超出记为“＋”，不足记为“－”，则上周一至周五，他的完成情况分别为－2，－1，x ，＋4，y ，已知这五个数据的平均数是0，方差是5.2，则上周一至周五，小华背诵的单词数量的众数和中位数分别是()A ．13,14B ．－2，－1C ．13,13D ．－2，－2答案A解析因为－2，－1，x ，＋4，y 这五个数据的平均数是0，方差是5.2，所以有5.2，＝－2，＝1＝1，＝－2，不管取哪一组解，这5天的单词量均是以下几个数，13,14,13,19,16，所以众数和中位数分别是13,14.14．已知一组数据a ，b ，3,5的中位数为7，平均数为8，则ab ＝________.答案135解析因为一组数据a ，b ，3,5的平均数为8，所以14(a ＋b ＋3＋5)＝8，解得a ＋b ＝24，若a ＝b ，则a ＝b ＝12，此时4个数为3,5,12,12，显然中位数不是7，不妨设a <b ，若a ≤3，则b ≥21，此时4个数排列为a ，3,5，b ，中位数为4，不符合题意，若3<a ≤5，则19≤b <21，此时4个数排列为3，a ，5，b ，显然中位数不是7，若a >5，则4个数排列为3,5，a ，b ，则中位数为5＋a2＝7，解得a ＝9，则b ＝15，所以ab ＝9×15＝135.15．某创业公司共有36名职工，为了了解该公司职工的年龄构成情况，随机采访了9位代表，得到的数据分别为36,36,37,37,40,43,43,44,44，若用样本估计总体，则年龄在(x －s ，x ＋s )内的人数占公司人数的百分比是()(其中x 是平均数，s 为标准差，结果精确到1%)A ．14%B ．25%C ．56%D ．67%答案C解析因为x ＝36＋36＋37＋37＋40＋43＋43＋44＋449＝40，s 2＝19×(16＋16＋9＋9＋0＋9＋9＋16＋16)＝1009，即s ＝103，所以年龄在(x －s ，x ＋s )，即1103，1303内的人数为5，所以年龄在(x －s ，x ＋s )内的人数占公司人数的百分比为59≈56%.16．中国独有的文书工具，即笔、墨、纸、砚，有文房四宝之名，起源于南北朝时期．其中宣纸是文房四宝的一种，宣纸“始于唐代，产于泾县”，因唐代泾县隶属宣州管辖，故因地得名宣纸．宣纸按质量等级分为正牌(优等品)、副牌(合格品)、废品三等．某公司生产的宣纸为纯手工制作，年产宣纸10000刀(1刀＝100张)，该公司按照某种质量指标x 给宣纸确定等级如表所示：x 的范围(44,48]∪(52,56](48,52][0,44]∪(56,60]质量等级副牌正牌废品在该公司所生产的宣纸中随机抽取了一刀进行检验，得到频率分布直方图如图所示，已知每张正牌宣纸的利润为15元，副牌宣纸的利润为8元，废品的利润为－20元．(1)试估计该公司的年利润；(2)市场上有一种售价为100万元的机器可以改进宣纸的生产工艺，但这种机器的使用寿命为一年，只能提高宣纸的质量，不能增加宣纸的年产量．据调查这种机器生产的宣纸的质量指标x如表所示：x的范围(x－2，x＋2)(x－6，x＋6)频率0.68270.9545其中x为质量指标x的平均值，但是由于人们对传统手工工艺的认可，改进后的正牌和副牌宣纸的利润都将下降3元/张，请问该公司是否购买这种机器，请你为公司提出合理建议，并说明理由．(同一组的数据用该组区间的中点值作代表)解(1)由频率分布直方图得，一刀宣纸有正牌100×0.1×4＝40(张)，有副牌100×0.05×4×2＝40(张)，有废品100×0.025×4×2＝20(张)，∴该公司一刀宣纸的利润的估计值为40×15＋40×8－20×20＝520(元)，∴估计该公司的年利润为520万元．(2)由频率分布直方图得，x＝42×0.025×4＋46×0.05×4＋50×0.1×4＋54×0.05×4＋58×0.025×4＝50.这种机器生产的宣纸的质量指标x如表所示：x的范围(48,52)(44,56)频率0.68270.9545∴一刀宣纸中正牌的张数估计为100×0.6827＝68.27，废品的张数估计为100×(1－0.9545)＝4.55，副牌的张数为100×(0.9545－0.6827)＝27.18，∴一刀宣纸的利润为68．27×12＋27.18×5－4.55×20＝864.14(元)，∴公司改进后该公司的利润为864．14－100＝764.14(万元)，∵764.14>520，∴建议该公司购买这种机器．。

高考数学第一轮复习知识点总结高考数学第一轮复习知识点总结高考数学作为重中之重的一门课程，对于很多考生来说是一道难关。

数学题目难，考点多，所以在备考过程中复习知识点是非常关键的一环。

在高考数学中，第一轮复习是非常重要的，因为它是考生们对于数学知识点的回顾和积累过程，对于巩固基础打下坚实的基础非常关键。

在这篇文章中，我们将对高考数学第一轮复习的知识点进行总结，帮助考生们更好地备考。

一、集合和函数1. 集合的基本概念和表示方法。

2. 集合的运算：交、并、差、补、对称差。

3. 集合的关系：包含关系、相等关系。

4. 数学函数的定义。

5. 常用函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。

6. 函数的性质：奇偶性、周期性、单调性、最值等。

7. 反函数。

二、数列1. 数列的定义。

2. 等差数列和等比数列的性质。

3. 数列的通项公式和前n项和公式。

4. 数列极限的定义和性质。

5. 数列的收敛和发散。

三、函数图像与方程1. 一次函数。

2. 二次函数。

3. 线性方程组。

4. 二元一次方程和一元二次方程。

5. 一元两次方程，求根公式，有理系数情况的根的奇偶性判断，一次两个根判别式，一元二次方程的最值问题。

四、三角函数1. 弧度制和角度制的互相转换。

2. 常用角的正弦、余弦、正切、余切。

3. 三角函数的基本关系式。

4. 三角函数的图像和性质。

5. 三角函数的反函数。

五、立体几何1. 空间向量的概念。

2. 空间向量之间的运算。

3. 空间中直线和平面的基本概念。

4. 平面与平面的位置关系：平行、共面、垂直等。

5. 空间中直线与直线、直线与平面的位置关系：共面、垂直等。

6. 空间向量与平面的位置关系：平行、垂直等。

七、概率统计1. 随机事件及其概率。

2. 条件概率及其应用。

3. 离散型随机变量及其概率分布。

4. 连续型随机变量及其概率密度函数。

5. 随机事件的运算。

以上是高考数学第一轮复习的知识点总结。

复习数学可以多练习题，特别是选择题，可以涉及到很多数学知识点。

2024年高考数学第一轮复习解题思路总结可以总结如下：
1.掌握基本概念和公式：在复习过程中，要重点掌握数学的基本概念和公式，比如函数的性质、三角函数的基本关系、几何图形的性质等。

理解清楚这些基本概念和公式，才能够灵活应用到解题中。

2.抓住题型特点：不同的题型有不同的解题方法，因此复习中要抓住题型的特点，理解各种题型的解题思路。

比如代数题多涉及方程和不等式的解法，几何题多涉及图形的性质和推理等。

3.注重练习题目：做大量的习题是提高数学解题能力的关键。

在复习中要注重练习各种类型的题目，尤其是历年真题和模拟题。

通过不断练习，可以熟悉题目的出题风格，增强解题的灵活性。

4.总结解题方法：在复习过程中，要不断总结解题方法和技巧。

比如一些常用的解方程的方法，如因式分解、配方法、置换法等。

通过总结解题方法，可以提高解题效率，更快地解决问题。

5.注意归纳和总结：在复习过程中，要及时归纳总结自己遇到的难题和易错题的解题思路和方法。

通过总结，可以加深对知识的理解和记忆，并且在考试中遇到类似的题目时能够有思路。

综上所述，2024年高考数学第一轮复习解题思路总结包括掌握基本概念和公式、抓住题型特点、注重练习题目、总结解题方法和注意归纳和总结。

通过有针对性的复习和练习，可以提高数学解题的能力和应对考试的水平。

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高考数学一轮复习知识点总结模板5篇高考数学一轮复习知识点总结模板5篇复习总结需要有耐心和恒心，不要一口吃成胖子，要分批进行，逐步完成。

复习总结还需要注意细节，比如字迹清晰、排版整齐等，使自己的总结更加美观整洁。

下面就让小编给大家带来高考数学一轮复习知识点总结，希望大家喜欢!高考数学一轮复习知识点总结篇1一、集合与函数1.进行集合的交、并、补运算时，不要忘了全集和空集的特殊情况，不要忘记了借助数轴和文氏图进行求解。

2.在应用条件时，易A忽略是空集的情况3.你会用补集的思想解决有关问题吗?4.简单命题与复合命题有什么区别?四种命题之间的相互关系是什么?如何判断充分与必要条件?5.你知道“否命题”与“命题的否定形式”的区别。

6.求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则。

7.判断函数奇偶性时，易忽略检验函数定义域是否关于原点对称。

8.求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，易忽略标注该函数的定义域。

9.原函数在区间[-a,a]上单调递增，则一定存在反函数，且反函数也单调递增;但一个函数存在反函数，此函数不一定单调。

例如：。

10.你熟练地掌握了函数单调性的证明方法吗?定义法(取值，作差，判正负)和导数法11. 求函数单调性时，易错误地在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”;单调区间不能用集合或不等式表示。

12.求函数的值域必须先求函数的定义域。

13.如何应用函数的单调性与奇偶性解题?①比较函数值的大小;②解抽象函数不等式;③求参数的范围(恒成立问题).这几种基本应用你掌握了吗?14.解对数函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗?(真数大于零，底数大于零且不等于1)字母底数还需讨论15.三个二次(哪三个二次?)的关系及应用掌握了吗?如何利用二次函数求最值?16.用换元法解题时易忽略换元前后的等价性，易忽略参数的范围。

17.“实系数一元二次方程有实数解”转化时，你是否注意到：当时，“方程有解”不能转化为。

2024年高考数学第一轮复习重点总结
2024年高考数学第一轮复习的重点可以总结为以下几个方面：
1. 几何与图形：重点关注平面几何中的圆的性质和定理、三角形的面积和周长计算、相似与全等三角形的性质等内容；空间几何中的立体几何、空间向量与多面体等内容。

2. 函数与方程：重点关注函数的性质与图像，包括一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等；方程与不等式的解法与性质，特别是一元二次方程、分式方程、绝对值方程等。

3. 数列与数学归纳法：重点关注数列的概念与性质，包括等差数列、等比数列、斐波那契数列等；数学归纳法的原理与应用。

4. 概率与统计：重点关注事件的概率计算与性质，包括互斥事件、独立事件、条件概率等；统计学中的数据收集与分析、频率分布与直方图、均值、中位数、众数等概念和计算。

5. 解析几何：重点关注直线与圆的方程与性质，包括直线的斜率、截距和两直线的位置关系、圆的标准方程、切线和法线等。

此外，还需要掌握数学知识的运用能力，能够灵活应用各种数学概念、方法和技巧解决问题。

同时，多做一些高考真题和模拟题进行练习，熟悉考题形式和解题思路，提高解题速度和准确性。

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高三数学一轮复习：基础知识归纳第一部分 集合1.理解集合中元素的意义．．．．．是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？…2.数形结合．．．．是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决3.(1) 元素与集合的关系：U x A x C A ∈⇔∉,U x C A x A ∈⇔∉. （2）德摩根公式： ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==I U U I . （3）A B A A B B =⇔=I U U U A B C B C A ⇔⊆⇔⊆U A C B ⇔=ΦI U C A B R ⇔=U注意：讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况.（4）集合12{,,,}n a a a L 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n–1个；非空真子集有2n –2个.4．φ是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.第二部分 函数与导数1．映射：注意: ①第一个集合中的元素必须有象；②一对一或多对一.2．函数值域的求法：①分析法 ；②配方法 ；③判别式法 ；④利用函数单调性 ；⑤换元法 ；⑥利用均值不等式 2222b a b a ab +≤+≤； ⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距离、 绝对值的意义等）；⑧利用函数有界性（xa 、x sin 、x cos 等）；⑨平方法；⑩ 导数法 3．复合函数的有关问题: （1）复合函数定义域求法：① 若f(x)的定义域为［a ，b ］,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a ≤ g(x) ≤ b 解出② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域.（2）复合函数单调性的判定：①首先将原函数)]([x g f y =分解为基本函数：内函数)(x g u =与外函数)(u f y = ②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性. 4．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。

高考数学一轮备考知识点（通用）数学可以应用于现实世界的任何问题，全部的数学对象本质上都是人为定义的。

从这个意义上，数学属于形式科学，而不是自然科学。

下面我给大家带来高考数学一轮备考知识点，期望大家宠爱!高三数学知识点整理1.有关平行与垂直(线线、线面及面面)的问题，是在解决立体几何问题的过程中，大量的、反复遇到的，而且是以各种各样的问题(包括论证、计算角、与距离等)中不行缺少的内容，因此在主体几何的总复习中，首先应从解决“平行与垂直”的有关问题着手，通过较为基本问题，生疏公理、定理的内容和功能，通过对问题的分析与概括，把握立体几何中解决问题的规律--充分利用线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)相互转化的思想，以提高规律思维能力和空间想象能力。

2.判定两个平面平行的方法：(1)依据定义--证明两平面没有公共点;(2)判定定理--证明一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面;(3)证明两平面同垂直于一条直线。

3.两个平面平行的主要性质：(1)由定义知：“两平行平面没有公共点”;(2)由定义推得：“两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面”;(3)两个平面平行的性质定理：“假如两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行”;(4)一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面;(5)夹在两个平行平面间的平行线段相等;(6)经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行。

高三数学知识点归纳总结1.等差数列的定义假如一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示.2.等差数列的通项公式若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an=a1+(n-1)d.3.等差中项假如A=(a+b)/2，那么A叫做a与b的等差中项.4.等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an=am+(n-m)d(n，m∈N_).(2)若{an}为等差数列，且m+n=p+q，则am+an=ap+aq(m，n，p，q∈N_).(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak+m，ak+2m，…(k，m∈N_)是公差为md的等差数列.(4)数列Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…也是等差数列.(5)S2n-1=(2n-1)an.(6)若n为偶数，则S偶-S奇=nd/2;若n为奇数，则S奇-S偶=a中(中间项).留意：一个推导利用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式：Sn=a1+a2+a3+…+an，①Sn=an+an-1+…+a1，②①+②得：Sn=n(a1+an)/2两个技巧已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要擅长设元.(1)若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，….(2)若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a-3d，a-d，a+d，a+3d，…，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元.四种方法等差数列的判断方法(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an-an-1为同一常数;(2)等差中项法：验证2an-1=an+an-2(n≥3，n∈N_)都成立;(3)通项公式法：验证an=pn+q;(4)前n项和公式法：验证Sn=An2+Bn.注：后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列.高考数学必背考点一、正余弦定理正弦定理:a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R R为三角形外接圆的半径余弦定理:a2=b2+c2-2bc__cosA二、两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA) 三、倍角公式tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctgacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a四、半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))五、和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) 2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B) sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB高考数学一轮备考知识点。

高考数学第一轮复习资料汇总高考数学第一轮复习资料 1数列的基本概念等差数列（1）数列的通项公式an=f（n）（2）数列的递推公式（3）数列的通项公式与前n项和的关系an+1—an=dan=a1+（n—1）da，A，b成等差2A=a+bm+n=k+l am+an=ak+al等比数列常用求和公式an=a1qn_1a，G，b成等比G2=abm+n=k+l aman=akal不等式不等式的基本性质重要不等式a>b ba>b，b>c a>ca>b a+c>b+ca+b>c a>c—ba>b，c>d a+c>b+da>b，c>0 ac>bca>b，c<0 aca>b>0，c>d>0 aca>b>0 dn>bn（n∈Z，n>1）a>b>0 > （n∈Z，n>1）（a—b）2≥0a，b∈R a2+b2≥2ab|a|—|b|≤|a±b|≤|a|+|b|证明不等式的基本方法比较法（1）要证明不等式a>b（或aa—b>0（或a—b<0=即可（2）若b>0，要证a>b，只需证明。

要证a综合法综合法就是从已知或已证明过的不等式出发，根据不等式的性质推导出欲证的不等式（由因导果）的方法。

分析法分析法是从寻求结论成立的充分条件入手，逐步寻求所需条件成立的充分条件，直至所需的条件已知正确时为止，明显地表现出“持果索因”高考数学第一轮复习资料 21、直线两点距离、定比分点直线方程|AB|=| ||P1P2|=y—y1=k（x—x1）y=kx+b两直线的位置关系夹角和距离或k1=k2，且b1≠b2l1与l2重合或k1=k2且b1=b2l1与l2相交或k1≠k2l2⊥l2或k1k2=—1 l1到l2的角l1与l2的夹角点到直线的距离2、圆锥曲线圆椭圆标准方程（x—a）2+（y—b）2=r2圆心为（a，b），半径为R一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0其中圆心为（），半径r（1）用圆心到直线的距离d和圆的半径r判断或用判别式判断直线与圆的位置关系（2）两圆的位置关系用圆心距d与半径和与差判断椭圆焦点F1（—c，0），F2（c，0）（b2=a2—c2）离心率准线方程焦半径|MF1|=a+ex0，|MF2|=a—ex0双曲线抛物线双曲线焦点F1（—c，0），F2（c，0）（a，b>0，b2=c2—a2）离心率准线方程焦半径|MF1|=ex0+a，|MF2|=ex0—a抛物线y2=2px（p>0）焦点F准线方程坐标轴的平移这里（h，k）是新坐标系的原点在原坐标系中的坐标。