机械优化设计习题参考答案--孙靖民-第四版第6章习题解答-1教学文案

第一章习题答案1-1某厂每日（8 h 制）产量不低于1 800件。

il •划聘请两种不同的检验员，一级检验员的标准为:速度为25件/h,正确率为98%,it 时工资为4元/h;二级检验员标准为：速度为15件/力，正确率为95%,计时工资3元/h 。

检验员每错检一件，工厂损失2元。

现有可供聘请检验人数为:一级8人和二级10人。

为使总检验费用最省，该厂应聘 请一级、二级检验员各多少人？ 解：（1）确泄设计变量：根据该优化问题给定的条件与要求.取设计变量=（2）建立数学模型的目标函数： 取检验费用为目标函数，即：f （X ） = 8*4*vi + 8*3*也 +2（8*25*0. 02 小 +8*15*0. 05A -2 ） =40.vi+ 36x2（3）本问题的最优化设计数学模型：min f （X ） = 40及+ 3 6 壮 XWRs ・ t ・ gi （X ） =1800- 8 *25m+8 *1 5 rWOg2（X ）二 x, -8S0 g3（X ）二xTOWO= -占 WOg5（X ）二-X2 WO1-2已知一拉伸弹簧受拉力F,剪切禅性模量G,材料重度厂，许用剪切应力[刃,许用最大变形欲 选择一组设计变量X = [X| x, x 3]r =[d D 2川『使弹簧重疑最轻，同时满足下列限制条件：弹簧圈数n>3. 簧丝直径dn0.5,弹簧中径10<£>2<50»试建立该优化问题的数学模型。

注：弹簧的应力与变形计算公式如下T = k,里企,化=1 +丄，旋绕比），几=注军加 2c dGd 4解：（1）确定设计变量;（2）建立数学模型的目标函数：取弹簧重量为目标函数，即:f ( X)=——4 -（3）本问题的最优化设计数学模型:m —级检验页二级检验员一根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变呈为X 二min f(X)= —rx {2 x 2x 3 s. t. gi (X)=0. 5-¥i WOg2(X)二 10一兀2 WO g3(X)=龙-50 W 0 g ：(X)二WO叭(X)二(l + H)警一k]wo2X 2 7EV].£6(X )二沁A —U]WOGx l1- 3 某厂生产一个容积为800 0 enF 的平底、无盖的圆柱形容器，要求设计此容器消耗原材料最少，试写岀 这一优化问题的数学模型。

教案首页课程名称机械设计学任课教师李玉柱第六章机械产品的实用化设计计划学时 5教学目的和要求：1.使学生了解实用化设计的任务，总体设计的任务和要求；2.使学生掌握机械总体方案设计的工艺方案，总体参数、传动形式的确定方法与原则。

重点：机械总体设计中的工艺方案确定；机械总体设计中的总体参数确定；传动系统的确定及原则。

难点：机械总体设计中的工艺方案和总体参数的确定思考题：1.机械总体方案设计中要确定的基本技术参数有哪些？常用的确定方法有哪些？确定的依据是什么？2.常用的传动形式有几种？在确定传动形式时，应遵循的原则有哪些？第五节确定整机总体参数所有机械均应有表明其主要性能指标的参数。

这些参数是总体设计和零、部件设计的依据。

如谷物联合收割机，其喂入量就是一个很重要的性能指标参数。

它一旦确定下来，相应的部件设计都要以它为设计依据，并且每个部件的工作能力均应与此参数相一致。

1、合理的总体参数应符合下列条件：先进性与国内外同类产品相比，其主要技术经济指标和工作性能优先。

实用性满足实际使用需要，可靠性高，维修方便，使用寿命长。

经济性充分利用发动机功率，节约能源、原材料消耗少，在满足功能的情况下，体积小、重量轻，价格便宜。

2、总体参数有以下几类：1）主要尺寸参数包括工作尺寸、机件外形尺寸、工作装置尺寸等。

工作尺寸标志着机械工作范围和主要性能。

如玉米联合收获机的工作幅宽、两对摘辊之间的距离（双行玉米联合收获机的两对摘辊的中心距离）。

机件外形尺寸受安装使用空间、包装和运输要求的限制。

如设计的油罐车必须了解要通过道路的涵洞允许通过的高度，否则就会出问题。

2月25日下午4时，安徽一辆大型运输罐车被卡在西潼高速一涵洞（限高4.2米）下，罐体上方一个安全阀被撞裂。

车上满载的24.5吨丙烯气体泄漏，两名肇事司机逃逸。

半小时后，2公里以内4个行政村、多个单位，共7000余人被紧急疏散，通往事故现场的所有路口被封锁。

渭南交警全力做好交通疏导分流工作。

《机械优化设计》复习题及答案一、填空题1、用最速下降法求f<X>=100<x 2- x 12> 2+<1- x 1> 2的最优解时,设X 〔0＝[-0.5,0.5]T ,第一步迭代的搜索方向为[-47;-50]。

2、机械优化设计采用数学规划法,其核心一是建立搜索方向二是计算最佳步长因子。

3、当优化问题是__凸规划______的情况下,任何局部最优解就是全域最优解。

4、应用进退法来确定搜索区间时,最后得到的三点,即为搜索区间的始点、中间点和终点,它们的函数值形成高-低-高趋势。

5、包含n 个设计变量的优化问题,称为n 维优化问题。

6、函数C X B HX X T T++21的梯度为HX+B 。

7、设G 为n×n 对称正定矩阵,若n 维空间中有两个非零向量d 0,d 1,满足<d 0>T Gd 1=0,则d 0、d 1之间存在_共轭_____关系。

8、设计变量、约束条件、目标函数是优化设计问题数学模型的基本要素。

9、对于无约束二元函数),(21x x f ,若在),(x 20100x x 点处取得极小值,其必要条件是梯度为零,充分条件是海塞矩阵正定。

10、库恩-塔克条件可以叙述为在极值点处目标函数的梯度为起作用的各约束函数梯度的非负线性组合。

11、用黄金分割法求一元函数3610)(2+-=x x x f 的极小点,初始搜索区间]10,10[],[-=b a ,经第一次区间消去后得到的新区间为[-2.36,2.36]。

12、优化设计问题的数学模型的基本要素有设计变量 、约束条件 目标函数 、 13、牛顿法的搜索方向d k =,其计算量大,且要求初始点在极小点逼近位置。

14、将函数f<X>=x 12+x 22-x 1x 2-10x 1-4x 2+60表示成C X B HX X T T++21的形式。

15、存在矩阵H,向量 d 1,向量 d 2,当满足<d1>TGd2=0,向量 d 1和向量 d 2是关于H 共轭。

《机械优化设计》复习题及答案一、填空题1、用最速下降法求f(X)=100(X2- X12) 2+(1- x i) 2的最优解时，设X(°)=[-0.5,0.5]T，第一步迭代的搜索方向为卜47;-50] ______________ 。

2、机械优化设计采用数学规划法,其核心一是建立搜索方向二是计算最佳步长因子 ________ 。

3、当优化问题是—凸规划______ 的情况下，任何局部最优解就是全域最优解。

4、应用进退法来确定搜索区间时，最后得到的三点，即为搜索区间的始点、中间点和终点，它们的函数值形成高-低-高___________ 趋势。

5、包含n个设计变量的优化问题，称为__n _______ 维优化问题。

16、函数—X T HX B T X C的梯度为HX+B 。

27、设G为n>n对称正定矩阵，若n维空间中有两个非零向量d°, d1，满足(d°)T Gd—=0, 则d0、d1之间存在—共轭 ______ ■关系。

8、设计变量、约束条件______________ 、目标函数________________ 是优化设计问题数学模型的基本要素。

9、对于无约束二元函数f(X1,X2)，若在X°(X10,X20)点处取得极小值，其必要条件是_梯度为零，充分条件是海塞矩阵正定 ______________ 。

10、 ________________ 条件可以叙述为在极值点处目标函数的梯度为起作用的各约束函数梯度的非负线性组合。

11、用黄金分割法求一元函数f (xHx2 -10x 36的极小点，初始搜索区间[a,b] =[-10,10]，经第一次区间消去后得到的新区间为[-2.36236] 。

12、优化设计问题的数学模型的基本要素有设_________ 、13、牛顿法的搜索方向d k= ______ ,其计算量大，且要求初始点在极小点逼近位置。

14、将函数f(X)=x 12+X22-X1X2-10X1-4X2+60表示成-X T HX - B T X C 的形2式 ________________________ 。

９．图6-39所示为一对称的两杆支架，在支架的顶点承受一个载荷为2F=300000N ， 支架之间的水平距离2B=1520mm ，若已选定壁厚T=2.5mm 钢管，密度/1083-6mm Kg ⨯=.7ρ，屈服极限700=s σMpa ，要求在满足强度与稳定性条件下设计最轻的支架尺寸。

[解] 1．建立数学模型 设计变量：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=H D x x x 21目标函数：221422577600101.2252)(x x HBD T x f +⨯=+=πρ约束条件：１）圆管杆件中的压应力σ应小于或等于y ο，即y TDHHB F σπσ≤+=22于是得2122157760019098.59)(x x x x g +=２）圆管杆件中的压应力α应小于或等于压杆稳定的临界应力c σ，由欧拉公式得钢管的压杆温度应力c σ222152222225776006.25102.6)8()(x x H B T D E AL EIC ++⨯=++==ππσ2式中 A ――圆管的截面积；L ――圆管的长度。

于是得0)6006.25)/(577(102.657760019098.59)(2221521222≤++⨯-+=-=x x x x x x g c σσ３）设计变量的值不得小于或等于0于是得)(0)(2213≤-=≤-=x x g x x g2．从以上分析可知，该优化设计问题具有2个设计变量，4个约束条件，按优化方法程序的规定编写数学模型的程序如下：subroutine ffx(n,x,fx)dimension x(n) fx=1.225e-4*x(1)*sqrt(577600.0+x(2)*x(2))dimension x(n) fx=1.225e-4*x(1)*sqrt(577600.0+x(2)*x(2))fx=1.225e-4*x(1)*sqrt(577600.0+x(2)*x(2))endsubroutine ggx(n,kg,x,gx)dimension x(n),gx(kg)gx(1)=19098.59*sqrt(577600.0+x(2)*x(2))/(x(1)*x(2))-700.0gx(2)=19098.59*sqrt(577600.0+x(2)*x(2))/(x(1)*x(2))-1 2.6e5*(x(1)*x(1)+6.25)/(577600.0+x(2)*x(2))gx(3)=-x(1)gx(4)=-x(2)end3．利用惩罚函数法（SUMT法）计算，得到的最优解为：============== PRIMARY DATA ==============N= 2 KG= 4 KH= 0X : .7200000E+02 .7000000E+03FX: .9113241E+01GX: -.3084610E+03 -.8724784E+03 -.7200000E+02 -.7000000E+03PEN = .9132947E+01R = .1000000E+01 C = .4000000E+00 T0= .1000000E-01EPS1= .1000000E-05 EPS2= .1000000E-05=============== OPTIMUM SOLUTION ==============IRC= 18 ITE= 39 ILI= 39 NPE= 229 NFX= 0 NGR= 57R= .1717988E-06 PEN= .6157225E+01X : .4868305E+02 .6988214E+03FX: .6157187E+01GX: -.1204029E+03 -.1266042E-01 -.4868305E+02 -.6988207E+0310．图6-40所示为一箱形盖板，已知长度L=6000mm ，宽度b=600mm ，厚度mm t s 5= 承受最大单位载荷q=0.01Mpa ，设箱形盖板的材料为铝合金，其弹性模量MPa E 4107⨯=，泊松比3.0=μ，许用弯曲应力[]MPa 70=σ，许用剪应力[]MPa 45=τ，要求在满足强度、刚度和稳定性条件下，设计重量最轻的结构方案。

机械优化设计习题及参考答案1-1.简述优化设计问题数学模型的表达形式。

答：优化问题的数学模型是实际优化设计问题的数学抽象。

在明确设计变量、约束条件、目标函数之后，优化设计问题就可以表示成一般数学形式。

求设计变量向量[]12Tn x x x x =使 ()min f x →且满足约束条件()0(1,2,)k h x k l == ()0(1,2,)j g x j m ≤=2-1.何谓函数的梯度？梯度对优化设计有何意义？答：二元函数f(x 1,x 2)在x 0点处的方向导数的表达式可以改写成下面的形式：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂=∂∂+∂∂=∂∂2cos 1cos 212cos 21cos 1θθθθxo x f x f xo x f xo x f xo d f令xo Tx f x f x f x fx f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂=∂∂∂∂=∇21]21[)0(， 则称它为函数f （x 1，x 2）在x 0点处的梯度。

（1）梯度方向是函数值变化最快方向，梯度模是函数变化率的最大值。

（2）梯度与切线方向d 垂直，从而推得梯度方向为等值面的法线方向。

梯度)0(x f ∇方向为函数变化率最大方向，也就是最速上升方向。

负梯度-)0(x f ∇方向为函数变化率最小方向，即最速下降方向。

2-2.求二元函数f （x 1，x 2）=2x 12+x 22-2x 1+x 2在T x ]0,0[0=处函数变化率最大的方向和数值。

解：由于函数变化率最大的方向就是梯度的方向，这里用单位向量p 表示，函数变化率最大和数值时梯度的模)0(x f ∇。

求f （x1，x2）在x0点处的梯度方向和数值，计算如下：()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂=∇120122214210x x x x fx f x f 2221)0(⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∇x f x f x f =5⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∇∇=5152512)0()0(x f x f p2-3.试求目标函数()2221212143,x x x x x x f +-=在点X 0=[1,0]T 处的最速下降方向，并求沿着该方向移动一个单位长度后新点的目标函数值。

第六章习题解答1．已知约束优化问题：2)(0)()1()2()(min 21222112221≤-+=≤-=⋅-+-=x x x g x x x g ts x x x f试从第k 次的迭代点[]T k x21)(-= 出发，沿由（-1 1）区间的随机数0.562和-0.254所确定的方向进行搜索，完成一次迭代，获取一个新的迭代点)1(+k x 。

并作图画出目标函数的等值线、可行域和本次迭代的搜索路线。

[解] 1）确定本次迭代的随机方向：[]T TRS 0.4120.9110.2540.5620.2540.2540.5620.5622222-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++=2) 用公式：R k k S x xα+=+)()1( 计算新的迭代点。

步长α取为搜索到约束边界上的最大步长。

到第二个约束边界上的步长可取为2，则：176.1)412.0(22822.0911.0212212111=-⨯+=+==⨯+-=+=++R kk R k k S x x S x xαα⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+176.1822.01k X即： 该约束优化问题的目标函数的等值线、可行域和本次迭代的搜索路线如下图所示。

2．已知约束优化问题：)(0)(025)(124)(m in 231222211221≤-=≤-=≤-+=⋅--=x x g x x g x x x g ts x x x f试以[][][]T T T x x x 33,14,12030201===为复合形的初始顶点，用复合形法进行两次迭代计算。

[解] 1）计算初始复合形顶点的目标函数值，并判断各顶点是否为可行点：[][][]935120101-=⇒==⇒=-=⇒=030302023314f x f x f x 经判断，各顶点均为可行点，其中，为最坏点。

为最好点，0203x x2）计算去掉最坏点 02x 后的复合形的中心点：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡==∑≠=3325.221132103312i i i c x Lx3）计算反射点1R x （取反射系数3.1=α）20.693.30.551422.51.322.5)(1102001-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-+=R R c c R f x x x x x 值为可行点，其目标函数经判断α 4）去掉最坏点1R0301x x x x 和，，由02构成新的复合形，在新的复合形中 为最坏点为最好点，011R x x ，进行新的一轮迭代。

机械优化设计习题及参考答案1-1.简述优化设计问题数学模型的表达形式。

答：优化问题的数学模型是实际优化设计问题的数学抽象。

在明确设计变量、约束条件、目标函数之后，优化设计问题就可以表示成一般数学形式。

求设计变量向量[]12Tn x x x x =L 使 ()min f x → 且满足约束条件()0(1,2,)k h x k l ==L ()0(1,2,)j g x j m ≤=L2-1.何谓函数的梯度？梯度对优化设计有何意义？答：二元函数f(x 1,x 2)在x 0点处的方向导数的表达式可以改写成下面的形式：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂=∂∂+∂∂=∂∂2cos 1cos 212cos 21cos 1θθθθxo x f x f xo x f xo x f xo d fρ令xo Tx f x f x f x fx f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂=∂∂∂∂=∇21]21[)0(， 则称它为函数f （x 1，x 2）在x 0点处的梯度。

（1）梯度方向是函数值变化最快方向，梯度模是函数变化率的最大值。

（2）梯度与切线方向d 垂直，从而推得梯度方向为等值面的法线方向。

梯度)0(x f ∇方向为函数变化率最大方向，也就是最速上升方向。

负梯度-)0(x f ∇方向为函数变化率最小方向，即最速下降方向。

2-2.求二元函数f （x 1，x 2）=2x 12+x 22-2x 1+x 2在T x ]0,0[0=处函数变化率最大的方向和数值。

解：由于函数变化率最大的方向就是梯度的方向，这里用单位向量p表示，函数变化率最大和数值时梯度的模)0(x f ∇。

求f （x1，x2）在x0点处的梯度方向和数值，计算如下：()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂=∇120122214210x x x x f x f x f 2221)0(⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∇x f x f x f =5⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∇∇=5152512)0()0(x f x f p ϖ2-3.试求目标函数()2221212143,x x x x x x f +-=在点X 0=[1,0]T 处的最速下降方向，并求沿着该方向移动一个单位长度后新点的目标函数值。

《机械优化设计》复习题及答案一、填空题1、用最速下降法求f(X)=100(x 2-x 12)2+(1-x 1)2的最优解时，设X （0）＝[-0.5,0.5]T ，第一步迭代的搜索方向为[-47;-50]。

2、机械优化设计采用数学规划法,其核心一是建立搜索方向二是计算最佳步长因子。

3、当优化问题是__凸规划______的情况下，任何局部最优解就是全域最优解。

4567，则89点处取得极小值，其必要条件是梯1011间121314121212++215、存在矩阵H ，向量d 1，向量d 2，当满足(d1)TGd2=0，向量d 1和向量d 2是关于H 共轭。

16、采用外点法求解约束优化问题时，将约束优化问题转化为外点形式时引入的惩罚因子r 数列，具有由小到大趋于无穷特点。

17、采用数学规划法求解多元函数极值点时，根据迭代公式需要进行一维搜索，即求。

二、选择题1、下面方法需要求海赛矩阵。

A、最速下降法B、共轭梯度法C、牛顿型法D、DFP法2、对于约束问题)，1D[a，b]15、_________不是优化设计问题数学模型的基本要素。

A设计变量B约束条件C目标函数D最佳步长6、变尺度法的迭代公式为x k+1=x k -αk H k ▽f(x k )，下列不属于H k 必须满足的条件的是________。

A.H k 之间有简单的迭代形式B.拟牛顿条件C.与海塞矩阵正交D.对称正定7、函数)(X f 在某点的梯度方向为函数在该点的。

10、下列关于最常用的一维搜索试探方法——黄金分割法的叙述，错误的是，假设要求在区间[a ，b]插入两点α1、α2，且α1<α2。

A 、其缩短率为0.618B 、α1=b-λ（b-a ）C 、α1=a+λ（b-a ）D 、在该方法中缩短搜索区间采用的是外推法。

11、与梯度成锐角的方向为函数值上升方向，与负梯度成锐角的方向为函数值下降方向，与梯度成直角的方向为函数值不变方向。

A、上升B、下降C、不变D、为零12、二维目标函数的无约束极小点就是。

《机械优化设计》复习题解答一、填空题1、用最速下降法求f(X)=100(x2- x/) 2+(1-Xl)2的最优解时，设X(0)=[,]T,第一步迭代的搜索方向为[-47, -50]\2、机械优化设计采用数学规划法，其核心一是寻找搜索方向,二是计算最优步长。

3、当优化问题是凸规划的情况下.任何局部最优解就是全域最优解。

4、应用进退法来确定搜索区间时，最后得到的三点，即为搜索区间的始点、中间点和终点，它们的函数值形成高一低一高趋势。

5、包含n个设计变量的优化问题，称为n 维优化问题。

6、函数^X1 HX + B7 X+C的梯度为纟。

7、设G为nXn对称正定矩阵，若n维空间中有两个非零向量d°, d1,满足(cfTGcT二0, 则d°、cf之间存在共總关系。

8、设计变量___________ 、目标函数、约束条件是优化设计问题数学模型的基本要素。

9、对于无约束二元函数f(x^x2),若在x0(x10,x20)点处取得极小值，其必要条件是三Q___________ ,充分条件是_呼包辺」泌三E正定。

10、______________ 条件可以叙述为在极值点处目标函数的梯度为起作用的各约束函数梯度的非负线性组合。

11 X用黄金分割法求一元函数/(x) = x2-10x + 36的极小点，初始搜索区间M = [-10,10],经第一次区间消去后得到的新区间为[10]。

12、优化设计问题的数学模型的基本要素有设辻变量、目标函数、约束条件。

13、牛顿法的搜索方向北-珥匕,其计算量亘，且要求初始点在极小点附近位置。

14 x 将函数 f (X) =xi2+x22-xix2-1 0XI-4X2+60表示成-X T HX + B T X + C的形式2血灯[刍罗]圜土 [二垃Z 41[g[ + 60 _______________________________________ 。

15、存在矩阵H,向量d,,向量d2,当满足d「Hd2二0,向量山和向量ch是关于H共辘。