全等三角形和角平分线专题讲解

第7讲角平分线的处理方法板块一角平分线的性质条件:OC 平分∠AOB. PD⊥OA 于点D,PE⊥OB 于点E.结论:PD=PE.典例精讲题型一知两垂【例1】如图,AD 是△ABC 的角平分线,DE⊥AB,垂足为E,DF⊥AC,垂足为F,BD=CD.求证:BE=CF.题型二作一垂【例2】如图,在四边形 ABCD 中,∠B=∠C=90°,E 为 BC 上一点,且 AE 平分∠BAD,D E 平分∠ADC.求证:BE=CE.题型三作两垂【例3】如图,在四边形 ABCD 中,∠ABC=90°,BD 平分∠ABC,AD=CD.求证:AD⊥CD.实战演练如图,在四边形ABCD中,∠BAC=∠BDC=36°,∠ADB=72°.求证:AB=AC.类型判定旁心图隐角平分线图形条件PD⊥OA,PE⊥OB,PD=PE.OP 平分∠AOB,AP 平分∠BAD,PD⊥OA,PE⊥OB,PF⊥AB.OP 平分∠AOB,∠OAP+∠BAP=180°.结论OC 平分∠AOB.PB平分∠ABE.①PA 平分∠BAD;②PB平分∠ABE.典例精讲题型一直接用判定【例1】如图,在△ABC 中,AC=BC,E 为△ABC 外一点,且∠CAE=∠CBE.求证:CE 平分△ABE 的外角.题型二旁心【例2】如图,在△ABC中,AP 平分∠BAC,BP 平分∠CBD.(1)求证:CP 平分∠BCE;(2)设∠BAC=α,则∠BPC= (用含α的式子表示).实战演练题型三隐角平分线如图,在四边形 AEDC 中,∠EAC+∠EAD=180°,且 CE 平分∠ACD.若∠EAD=α,求∠DEC 的度数.板块三角平分线与面积法类型1 内心向三边作垂类型2 面积比与边长比条件:I 是△ABC 三条角平分线的交点.方法:过点 I 分别向三边作垂线段.结论:①ID=IE=IF;②S△IBC+S△IAC+S△IAB=S△ABC;③ID=2S△ABC÷(AB+BC+AC).条件:AD 是△ABC的角平分线.方法:过点 D 分别作DE⊥AB,DF⊥AC.结论:①DE=DF;②S△ABD:S△ACD=AB:AC=BD:CD.典例精讲题型一面积法求线段长【例1】如图,在△ABC 中,∠ABC=90°,I 为△ABC 各内角平分线的交点,过点I 作AC 的垂线,垂足为H.若BC=3,AB=4,AC=5,求IH 的长.题型二面积法证线段比【例2】如图,AD 是△ABC 的角平分线.求证:BDCD =ABAC.题型三构全等转化面积【例3】如图,△ABC的角平分线BD,CE 交于点P,∠A=60°,△ABC的面积为 16，四边形AEPD 的面积为5,求△BPC 的面积.实战演练1.如图,在△ABC 中,∠C=90°,O是∠CAB,∠ABC 平分线的交点,且E BC=8cm,AC=6cm6 cm,AB=10cm,求S△AOB.2.如图,在△ABC中,.S ABC=21,∠BAC的角平分线AD 交 BC 于点D,E 为AD 的中点.连接BE,的值.F 为BE 上一点,且 BF=2EF.若S△DEF=2,求ABAC3.如图,在△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,∠BAC=90°,AD平分∠BAC.BAC.求 DC 的长.4.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,BD 是△ABC的角平分线，若BD=8,求△BDC1的面积.类型梯形图互补图内心图图形典 例 精 讲题型一 直角梯形遇角平分线【例】如图,在四边形ABCD 中,∠A=∠B=90°,E 为AB 上一点,ED 平分∠ADC,EC 平分∠BCD.(1)求证:DE⊥CE; (2)求证:AE=BE; (3)求证:AD+BC=CD;(4)若AB=12,CD=13,求 S△CDE.实 战 演 练题型二 对角互补遇角平分线1.如图,在四边形ABCD 中,∠ABC+∠D=180°,AC 平分∠BAD,求证:CB=CD.D题型三 内心作垂构对称型全等2.如图,在△ABC 中,AB>AC,AK,BK,CK 分别平分∠BAC,∠ABC,∠ACB,KD⊥BC 于点D.求证:AB-AC=BD-CD.。

直角三角形全等的判定及角平分线的性质【知识要点】1、直角三角形全等的判定方法有5种：SAS 、ASA 、AAS 、SSS 、HL ．在应用中要结合具体图形，分辨出一只条件，对照判定方法，择简选用，有时对斜边、直角边的全等的方法忽略应用．2、角平分线的性质定理及其逆定理（1）角平分线上的点到角的两边的距离相等；（2）角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．【例题精讲】【例题1】如图所示，在ABC ∆中，是BC 的中点，AC DF AB DE ⊥⊥，，垂足分别为E ，F ，BE=CF 。

B（1）图中有几对全等的三角形？请一一列出；（2）选择一对你认为全等的三角形进行证明。

【练习1—1】已知ABC ∆和'''C B A ∆，0'90=∠=∠C C ，AC=''C A ，要判定ABC ∆ ≌'''C B A ∆，必须添加条件为① 或② 或③ 或④ ．【练习1—2】如图所示，四边形ABCD 中，CB=CD ，035=∠BAC ，则BCD ∠的度数为 ．【例题2】已知在ABC ∆和DEF ∆中，090=∠=∠D A ，则下列条件中不能判定ABC ∆和DEF ∆全等的是（ ）A 、AB=DE ，AC=DFB 、AC=EF ，BC=DFC 、AB=DE ，BC=EFD 、EF BC F C =∠=∠，【练习2—1】如图所示，已知AB=CD ，BF DE AC BF AC DE =⊥⊥，，，则AB 与CD 平行吗？为什么？CA【例题3】如图所示，ABC ∆ ≌'''C B A ∆，AD ，''D A 是它们的高，则AD 与''D A 相等吗？请说明理由．D'C'B【练习3—1】如图所示，有一批边角余料，其中090=∠=∠C A ，AB=AD ．现在要把每块这样的材料都加工成正方形，并且希望材料利用率尽量高些，怎样做最好呢？B FE D【例题4】如图所示，ABC ∆是等腰直角三角形，090=∠C ，AD 是BAC ∠的平分线，AB DE ⊥于点E ，若AB=10，求DEB ∆的周长．A B【练习4—1】如图所示，BD 是ABC ∠的平分线，AB DE ⊥于E ，BC DF ⊥于F ， cm BC cm AB cm S ABC 1218362===∆，，，求DE 的长．B【例题5】某市有一块由三条马路围成的三角形绿地，弦准备在其中建一小亭供人们小憩，使小亭中心到三条马路的距离相等，试确定小亭中心的位置．【练习5—1】如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1:20000）S【练习5—2】如图所示，在ABCME⊥，∆中，M是BC的中点，ABMD⊥，AC 垂足分别为点D，E，且BD=CE．求证：B（1）点M在BAC∠的平分线上；（2）AB=AC．。

定义两个三角形全等
如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，则这 两个三角形全等。
三角形全等的判定定理
SSS（边边边）、SAS（边角边）、ASA（角边角）、AAS（角角 边）和HL（直角三角形全等）。
角的平分线的性质
一个角的平分线将对应的边分成两段，其中较长的一段等于较短的 一段。
利用角的平分线的性质证明全等三角形的实例
《角的平分线的性质》全等 三角形
2023-11-08
目 录
• 全等三角形概述 • 角的平分线的性质 • 用角的平分线的性质证明全等三角形 • 全等三角形的应用 • 复习与巩固
01
全等三角形概述
全等三角形的定义
两个三角形全等
如果两个三角形的形状和大小完全相同，则这两个三角形全 等。
全等三角形的表示
解决实际问题
要点一
总结词
全等三角形在实际问题中有着广泛的应用，如建筑设 计、工程绘图等领域。利用全等三角形的性质可以解 决许多实际问题。
要点二
详细描述
全等三角形在实际问题中的应用可以通过许多实例来 加以说明，如利用全等三角形测量不可直接测量的距 离和角度、利用全等三角形解决对称问题等。此外， 全等三角形在物理学、化学等领域也有着广泛的应用 ，如解释力学原理、化学反应中的分子结构等。通过 全等三角形的应用，可以帮助我们更好地理解和解决 实际问题。
在全等三角形中，相等的边和角分别用对应符号表示，如 △ABC≌△DEF。
全等三角形的性质
对应边相等
全等三角形的对应边相等，即如果△ABC≌△DEF，则AB=DE，BC=EF， CA=FD。
对应相等
全等三角形的对应角相等，即如果△ABC≌△DEF，则∠A=∠D，∠B=∠E， ∠C=∠F。

全等三角形角平分线的判定一、引言全等三角形是初中数学中的重要概念，而角平分线则是全等三角形的判定条件之一。

本文将详细介绍全等三角形和角平分线的相关概念，并阐述如何通过判定角平分线来确定两个三角形是否全等。

二、全等三角形的定义在平面几何中，如果两个三角形的对应边长相等，对应角度相等，则称这两个三角形是全等的。

记作ΔABC≌ΔDEF。

其中，ΔABC和ΔDEF分别为两个三角形，A、B、C和D、E、F分别为它们对应的顶点。

三、全等三角形的性质1. 全等三角形对应边长相等。

2. 全等三角形对应内角度数相等。

3. 全等三角形对应外角度数相等。

4. 全等三角形面积相等。

5. 全等三角形高线（从顶点所在的顶点所在边上作垂线到对边）长度相同。

6. 全等三角形中任意一条边上的中线（连接该边中点与另外一个顶点）长度相同。

7. 全等三角形任意一条高线与底边所成锐（钝）夹角相等。

四、角平分线的定义在一个三角形中，如果一条线段从某个顶点出发，将与该顶点相邻的两个角分成相等的两部分，则称这条线段为该三角形的角平分线。

五、角平分线的性质1. 角平分线将对应顶点所在边上的角度数相等的两个内角平分为两个度数相等的内角。

2. 角平分线所在直线与对应边所成锐（钝）夹角相等。

3. 三角形中任意一条边上的中线与该边所对应的内角平分线重合。

六、全等三角形判定条件之一：角平分线定理当两个三角形中有一组对应内角被它们各自的一条公共边上的直线所平分时，这两个三角形是全等的。

即：若AD为ΔABC中∠BAC的内角平分线，BE为ΔDEF中∠EDF的内角平分线，并且AD=BE，则ΔABC≌ΔDEF。

其中，A、B、C和D、E、F依次为ΔABC和ΔDEF对应顶点。

七、证明1. 因为AD是∠B AC 的内角平分线，所以∠BAD=∠CAD。

2. 同理，因为BE是∠EDF的内角平分线，所以∠BFE=∠DFE。

3. 又因为AD=BE，所以三角形ABD≌三角形EBF（SAS）。

精锐教育学科教师辅导讲义之宇文皓月创作学员编号：年级：初二课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课类型T 角平分线C专题精讲授课日期时段教学内容1. 角平分线的作法（尺规作图）①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于C、D两点；②分别以C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点P；③过点P作射线OP，射线OP即为所求．2. 角平分线的性质及判定（1）角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．几何表达：（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）如图所示，∵OP平分∠MON（∠1＝∠2），PA⊥OM，PB⊥ON，∴PA＝PB。

（2）角平分线的判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．几何表达：（到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．）如图所示，∵PA⊥OM，PB⊥ON，PA＝PB，∴∠1＝∠2（OP平分∠MON）（3）三角形三个内角平分线的性质：三角形三条内角平分线交于一点，且这一点到三角形三边的距离相等。

3. 角平分线性质及判定的应用①为推导线段相等、角相等提供依据和思路； ②实际生活中的应用．例：一个工厂，在公路西侧，到公路的距离与到河岸的距离相等，而且到河上公路桥头的距离为300米．在下图中标出工厂的位置，并说明理由．【例题讲解】1．在△ABC 中，AC ⊥BC ，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，AB ＝7㎝，AC ＝3㎝，求BE 的长。

2．如图：在△ABC 中，∠C=90° AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，F 在AC 上，BD=DF ； 求证：CF=EB3.如图，P 为∠AOB 内一点，OA=OB ，且△OPA 与△OPB 面积相等，求证∠AOP=∠BOP.4.如图，AB=AC ，AD=AE ，BD 、CE 交于O ，求证AO 平分∠BAC.EDCBAEABCD F【同步练习】1.在Rt △ABC 中，BD 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于E ，则： ⑴图中相等的线段有哪些？相等的角呢？ ⑵哪条线段与DE 相等？为什么？⑶若AB ＝10，BC ＝8，AC ＝6， 求BE ，AE 的长和△AED 的周长2．已知，如图DABC 中，AB=AC ，D 是BC 的中点。

（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与角平分线相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示角平分线的基本原理。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“角平分线在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
举例：设计一些包含角平分线的全等三角形问题，指导学生运用所学知识解决问题。
2.教学难点
（1）角平分线性质的证明：学生需要通过严密的逻辑推理和几何证明来理解角平分线的性质，这对于部分学生来说可能是一个难点。
举例：在指导学生证明角平分线性质时，引导学生运用几何基本定理和逻辑推理方法，逐步展开证明过程。
（2）全等三角形的判定方法：学生在判定全等三角形时，可能会对各种判定方法产生混淆，难以选择合适的方法进行证明。
3.增强学生的数据分析能力，使学生能够从实际例题中提炼关键信息，运用角平分线定理进行问题分析和解决；
4.培养学生的几何直观能力，让学生在实际操作中观察、发现和感受几何图形的性质和相互关系。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）角平分线的定义及其性质：确保学生理解角平分线将一个角平分成两个相等的角的原理，并掌握相关性质，如角平分线上的点到角的两边的距离相等。
第12章全等三角形-角平分线的性质、判定及角平分线在全等三角形中的运用（教案）
一、教学内容
第12章全等三角形-角平分线的性质、判定及角平分线在全等三角形中的运用。本章内容主要包括：
1.角平分线的定义及性质；
2.判定两个三角形全等时，角平分线所起的作用；

角平分线与全等三角形三角形的三条角平分线交于一点，称作三角形内心。

三角形的内心到三角形三边的距离相等。

下图D是角平分线上的一点。

根据角平分线的定义可以得到两个相等的角：∠CAD=∠BAD，还知道AD=AD，所以再需要一个条件就可以构造出全等三角形。

例如过D点作角分线AD的垂线，交AC于点E，交AB于点F，则有∠ADE=∠ADF=90°，结合AD=AD，∠CAD=∠BAD，可知∆ADE≌∆ADF(ASA)，可得AE=AF，DE=DF。

根据这个结论我们可以知道等腰三角形AFE中，AD即是角平分线，又是中线和高。

可以帮助我们理解等腰三角形的三线合一(八年级的知识)。

还可以过D点作AC的垂线交AC于点E，过D点作AB的垂线交AB于点F，则有∠AED=∠AFD=90°，结合∠EAD=∠FAD，AD=AD，可知∆ADE≌∆ADF(AAS)。

所以DE=DF。

这个就是角平分线的性质之一：角平分线上的点到角两边的距离相等。

虽然上面两种情况增加的都是直角，但是即使不是直角，只要知道∠AED=∠AFD或者∠ADE=∠ADF等，都可以得到∆ADE≌∆ADF。

以上增加的条件都是相等的角，但是我们还可以增加等边的条件。

例如在射线AC上截取线段AE，在射线AB上截取线段AF使AF=AE，然后连接ED 与FD。

结合∠FAD=∠EAD，AD=AD，就可以得到∆ADF≌∆ADE(SAS)。

掌握利用角平分线构造全等三角形的方法后。

这两个方法是七年级构造全等三角形最基本的方法，它们看起来很神奇，解题时也非常好用，但其实它们的实质就是：角平分线给出了等角中线可以得到等边而角相等，边相等是证明三角形全等的基本条件。

有了已知的等角或等边，我们可以通过辅助线作出其它所需的等边或等角，从而构造出全等的三角形。

熟练掌握这些基本的方法(模型)，可以拓展我们的解题思路，加快解题速度。

也启发了我们：善于发现等角和等边，并充分利用它们，才是解几何题的关键。

AAS，HL证全等及角平分线的性质知识点总结和重难点精析
知识点总结：
1、AAS定理：两个三角形中，如果两条对应边及其夹角相等，那么这两个三角形全等。

简写成对应角相等的角边角定理。

2、HL定理：两个直角三角形中，如果一条直角边和斜边相等，那么这两个三角形全等。

简写成对应边相等的直角边和斜边定理。

3、角平分线的性质：角平分线是将角分成两个相等的角的射线，角平分线上点到角的两边距离相等。

重难点精析：
1、AAS定理的应用难点在于如何通过已知条件构造出至少一组边角相等的关系，这对于推导证明过程至关重要。

对于初学者来说，可以尝试通过画图和模拟过程来理解，逐渐提高空间想象能力。

2、HL定理的应用主要难点在于直角三角形的判断，需要学生熟悉勾股定理的相关知识。

在解决实际问题时，需要灵活运用直角三角形的性质，如等角对等边等。

3、角平分线的性质在学习中容易被忽视，其重要性在于为证明线段相等提供了一种重要的方法。

对于初学者来说，需要加强对此性质的练习和理解，能够熟练地应用到各种几何问题中。

总结：
AAS，HL定理和角平分线的性质是八年级数学中的重要知识点，
它们在几何学中的应用广泛且具有挑战性。

通过对这些定理的深入学习和实践，学生可以提升自身的几何思维能力和问题解决能力。

C EODBA21C EDB A21OA全等三角形专题讲解专题一 全等三角形判别方法的应用专题概说：判定两个三角形全等的方法一般有以下4种： 1．三边对应相等的两个三角形全等（简写成“SSS ”)2．两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简写成“SAS"） 3．两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“ASA ”）4．两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“AAS"）而在判别两个直角三角形全等时，除了可以应用以上4种判别方法外，还可以应用“斜边、直角边”，即斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“HL ”）．也就是说“斜边、直角边”是判别两个直角三角形全等的特有的方法，它仅适用于判别两个直角三角形全等．三角形全等是证明线段相等,角相等最基本、最常用的方法，这不仅因为全等三角形有很多重要的角相等、线段相等的特征，还在于全等三角形能把已知的线段相等、角相等与未知的结论联系起来．那么我们应该怎样应用三角形全等的判别方法呢?(1）条件充足时直接应用在证明与线段或角相等的有关问题时，常常需要先证明线段或角所在的两个三角形全等，而从近年的中考题来看，这类试题难度不大，证明两个三角形的条件比较充分．只要同学们认真观察图形，结合已知条件分析寻找两个三角形全等的条件即可证明两个三角形全等．例1 已知:如图1，CE ⊥AB 于点E ，BD ⊥AC 于点D ，BD 、CE 交于点O,且AO 平分∠BAC ．那么图中全等的三角形有___对．图1（2）条件不足,会增加条件用判别方法此类问题实际是指条件开放题，即指题中没有确定的已知条件或已知条件不充分,需要补充使三角形全等的条件．解这类问题的基本思路是：执果索因，逆向思维,逐步分析，探索结论成立的条件,从而得出答案．例2 如图2，已知AB=AD ，∠1=∠2,要使△ABC ≌△ADE,还需添加的条件是（只需填一个）_____． 图2（3）条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线用判别方法在证明两个三角形全等时,当边或角的关系不明显时,可通过添加辅助线作为桥梁,沟通边或角的关系，使条件由隐变显，从而顺利运用全等三角形的判别方法证明两个三角形全等．例3 已知:如图3，AB=AC,∠1=∠2． 求证：AO 平分∠BAC ．分析：要证AO 平分∠BAC ，即证∠BAO=∠BCO,要证∠BAO=∠BCO,只需证∠BAO 和∠BCO 所在的两个三角形全等．而由已知条件知，只需再证明BO=CO 即可．图3GABF DEC ODA CBFCEDBA（4）条件中没有现成的全等三角形时，会通过构造全等三角形用判别方法有些几何问题中，往往不能直接证明一对三角形全等，一般需要作辅助线来构造全等三角形．例4 已知：如图4，在Rt △ABC 中,∠ACB=90º，AC=BC ，D 为BC 的中点，CE ⊥AD 于E ，交AB 于F ，连接DF ．求证：∠ADC=∠BDF ．说明：常见的构造三角形全等的方法有如下三种:①涉及三角形的中线问题时，常采用延长中线一倍的方法，构造出一对全等三角形；②涉及角平分线问题时，经过角平分线上一点向两边作垂线，可以得到一对全等三角形；③证明两条线段的和等于第三条线段时，用“截长补短”法可以构造一对全等三角形．（5）会在实际问题中用全等三角形的判别方法新课标强调了数学的应用价值，注意培养同学们应用数学的意识，形成解决简单实际问题的能力﹒在近年中考出现的与全等三角形有关的实际问题,体现了这一数学理念，应当引起同学们的重视．例5 要在湖的两岸A 、B 间建一座观赏桥，由于条件 限制，无法直接度量A ，B 两点间的距离﹒请你用学过的数 学知识按以下要求设计一测量方案﹒（1）画出测量图案﹒（2)写出测量步骤（测量数据用字母表示）﹒ 图5 (3)计算A 、B 的距离(写出求解或推理过程，结果用字母表示)﹒分析：可把此题转化为证两个三角形全等．第(1）题,测量图案如图5所示．第（2）题，测量步骤：先在陆地上找到一点O ，在AO 的延长线上取一点C ，并测得OC=OA ，在BO 的延长线上取一点D ，并测得OD=OB,这时测得CD 的长为a ，则AB 的长就是a ．第（3)题易证△AOB ≌△COD ，所以AB=CD ，测得CD 的长即可得AB 的长．解：（1)如图6示．(2)在陆地上找到可以直接到达A 、B 的一点O,在AO 的延长线上取一点C ，并测得OC ＝OA ，在BO 的延长线上取一点D ，并测得OD ＝OB,这时测出CD 的长为a ，则AB 的长就是a ．（3)理由：由测法可得OC=OA ，OD=OB ． 又∠COD=∠AOB ，∴△COD ≌△AOB ．∴CD=AB=a ． 图6评注：本题的背景是学生熟悉的,提供了一个学生动手操作的机会，重点考查了学生的操作能力,培养了 学生用数学的意识﹒练习:1．已知：如图7，D 是△ABC 的边AB 上一点,AB ∥FC ，DF 交AC 于点E ，DE=FE ． 求证：AE=CE ．C ED B AAO Q M CPBN A D C PBHF EGAD CBADCFBEA2．如图8，在△ABC 中，点E 在BC 上,点D 在AE 上，已知∠ABD=∠ACD ，∠BDE=∠CDE ．求证：BD=CD ．3．用有刻度的直尺能平分任意角吗？下面是一种方法:如图9所示，先在∠AOB 的两边上取OP=OQ ，再取PM=QN,连接PN 、QM,得交点C ，则射线OC 平分∠AOB ．你能说明道理吗？4．如图10，△ABC 中，AB=AC,过点A 作GE ∥BC ，角平分线BD 、CF 相交于点H ，它们的延长线分别交GE 于点E 、G ．试在图10中找出3对全等三角形,并对其中一对全等三角形给出证明．5．已知:如图11，点C 、D 在线段AB 上，PC=PD ．请你添加一个条件，使图中存在全等三角形,并给予证明．所添条件为__________,你得到的一对全等三角形是△_____≌△_____．6．如图12，∠1=∠2，BC=EF ，那么需要补充一个直接条件_____（写出一个即可）,才能使△ABC ≌△DEF ．7图13，在△ABD 和△ACD 中，AB=AC,∠B=∠C ．求证：△ABD ≌△ACD ．AODCBAFCGBEAF DCB EOED218．如图14，直线AD与BC相交于点O，且AC=BD，AD=BC．求证：CO=DO．9．已知△ABC，AB=AC，E、F分别为AB和AC延长线上的点，且BE=CF，EF交BC于G．求证:EG=GF．10．已知：如图16，AB=AE，BC=ED，点F是CD的中点，AF⊥CD．求证：∠B=∠E．11．如图17，某同学把一把三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块大小形状完全一样的玻璃，那么最省事的办法是(）﹒（A）带①和②去 (B）带①去（C)带②去（D）带③去12．有一专用三角形模具，损坏后，只剩下如图18中的阴影部分，你对图中做哪些数据度量后，就可以重新制作一块与原模具完全一样的模具，并说明其中的道理．13．如图19，将两根钢条AA’、BB’的中点O连在一起,使AA’、BB’可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工件,则A' B'的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OAB的理由是（ )（A)边角边（B）角边角（C）边边边（D）角角边专题二角的平分线从一个角的顶点出发,把一个角分成相等的两个角的射线,叫做这个角的平分线．角的平分线有着重要的作用，它不仅把角分成相等的两部分,而且角的平分线上的点到角两边的距离相等，到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，再加上角的平分线所在的直线是角的对称轴．因此当题目中有角的平分线时，可根据角的平分线性质证明线段或角相等,或利用角的平分线构造全等三角形或等腰三角形来寻找解题思路．(1)利用角的平分线的性质证明线段或角相等F ED CB A 21A FH DCGBEADCBE AF DC BE C E D例6 如图20，∠1＝∠2，AE ⊥OB 于E ， BD ⊥OA 于D ，交点为C ．求证：AC=BC ．说明：本题若用全等方法证明点C 到OA 、OB 距离相等,浪费时间和笔墨，不如直接应用角平分线性质证明，原因在于同学们已经习惯了用全等的方法,不善于直接应用定理，仍去找全等三角形，结果相当于重新证明了一次定理，以后再学新定理,应用时要注意全等定势的干扰，注意采用简捷证法． 例7 已知:如图21,△ABC 中, BD=CD ，∠1＝∠2．求证：AD 平分∠BAC ．说明：遇到有关角平分线的问题时，可引角的两边的垂线，先证明三角形全等，然后根据全等三角形的性质得出垂线段相等，再利用角的平分线性质得出两角相等．（2）利用角的平分线构造全等三角形 ①过角平分线上一点作两边的垂线段例8 如图22，AB ∥CD ，E 为AD 上一点，且BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ． 求证：AE=ED ．分析：由于角平分线上一点到角的两边的距离相等，而点E 是两条角平分线的交点，因此我们自然想到过点E 分别作AB 、BC 、CD 的垂线段．②以角的平分线为对称轴构造对称图形例9 如图23，在△ABC 中,AD 平分∠BAC,∠C=2∠B ．求证：AB=AC+CD ．分析：由于角平分线所在的直线是这个角的对称轴，因此在AB 上截取AE=AC,连接DE ，我们就能构造出一对全等三角形，从而将线段AB 分成AE 和BE 两段，只需证明BE=CD 就可以了．③延长角平分线的垂线段，使角平分线成为垂直平分线 例10 如图24,在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，CE ⊥AD 于E ． 求证：∠ACE=∠B+∠ECD ．分析：注意到AD 平分∠BAC ，CE ⊥AD ，于是可延长CE 交AB 于点F,即可构造全等三角形．．（3）利用角的平分线构造等腰三角形如图25,在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，过点D 作DE ∥AB ，DE 交AC 于点E ．易证△AED 是等腰三角形． 因此，我们可以过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形．CF E BADQPCBACB AD EA例11 如图26，在△ABC 中，AB=AC,BD 平分∠ABC ，DE ⊥BD 于D ，交BC 于点E ．求证：CD=21BE ．分析：要证CD=21BE ，可将BE 分成两条线段，然后再证明CD 与这两条线段都相等．练习：1．如图27，在△ABC 中，∠B=90º,AD 为∠BAC 的平分线，DF ⊥AC 于F,DE=DC ．求证：BE=CF ．2．已知:如图28，AD 是△ABC 的中线,DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，且BE=CF ．求证：（1）AD 是∠BAC 的平分线；（2）AB=AC ．3．在△ABC 中,∠BAC=60º，∠C=40º，AP 平分∠BAC 交BC 于P,BQ 平分∠ABC 交AC 于Q ． 求证：AB+BP=BQ+AQ ．4．如图30，在△ABC 中,AD 平分∠BAC ，AB=AC+CD ． 求证：∠C=2∠B ．5．如图31，E 为△ABC 的∠A 的平分线AD 上一点，AB ＞AC ． 求证:AB —AC ＞EB-EC ．CB AD 4321C E BADF CE BAD CEBADCBADACBD6．如图32,在四边形ABCD 中，BC ＞BA ，AD=CD ，BD 平分∠ABC ． 求证：∠A+∠C=180º．7．如图33所示，已知AD ∥BC ，∠1=∠2,∠3=∠4,直线DC 过点E 作交AD 于点D ，交BC 于点C ．求证：AD+BC=AB ．8．已知,如图34，△ABC 中，∠ABC=90º，AB=BC,AE 是∠A 的平分线,CD ⊥AE 于D ．求证:CD=21AE ．9．△ABC 中，AB=AC,∠A=100º，BD 是∠B 的平分线．求证：AD+BD=BC ．10．如图36，∠B 和∠C 的平分线相交于点F ，过点F 作DE ∥BC 交AB 于点D ，交AC 于点E ，若BD+CE=9，则线段DE 的长为（ )A ．9B ．8C ．7D ．611．如图37，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，AD 交BC 于点D ，且D 是BC 的中点．求证：AB=AC ．A CF E B M D12．已知：如图38，△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，E 是BC 的中点，EF ∥AD ，交AB 于M ，交CA 的延长线于F ．求证：BM=CF ．。

实用第四讲全等三角形与角平分线【知识回顾】1全等三角形的性质与判定 2、角平分线的性质与判定【讲解与练习】2 .如图，在平面直角坐标系中， 是线段OA 上的动点，从点O 出发,AB 上.已知A 、Q 两点间的距离是 （s ）时，△ OCF 、△ FAQ >△ CBQ况 x 轴和 y 轴上，OA=10cm ,0C=6cm . FOA 方向作匀速运动，点 Q 在线段 a 倍.若用（a , t ）表示经过时间t 请写出（a , t ）的所有可能情3. ___________________________________________________________ 如图，已知△ ABC 三个角的平分线交于点 O ,延长BA 到点D ，使AD=AO ，连接DO , 若 BD=BC ，/ ABC=54 °，则/ BCA 的度数为 ° .7.如图，已知五边形 ABCDE 中，/ ABC= / AED=90 ° , AB=CD=AE=BC+DE=2 ，则五边 形ABCDE 的面积为 _______________________________________ .1如图，四边形ABCD 中，/ 则AC 长是 cm . 2 ABCD 的面积为24cm ,矩形OABC 的两边分别在 以1cm/s 的速度沿O 、F 两点间距离的 中有两个三角形全等. 4. 如图所示， AB=AC , AD=AE ，/ BAC= / DAE ，/ 1=24 °，/ 2=36 ° ,则/ 3= __________________ .5. 如图，AC=DB ，/ 仁/2，则△ ABC ◎△ ____________________________ ，/ ABC= / _____________________6.如图，点 D 在BC 上, DE 丄AB 于点E , DF 丄BC 交AC 于点F , BD=CF , BE=CD .若 /AFD=145 ° ，则/ EDF= ____________________________________________ .5的形网络，在网格中画出点 F ,使得△ DEF 与厶ABC 全等，这样的格点个.9. ____________________ 如图，0是厶ABC 一点，且0到三边 AB 、BC 、CA 的距离 OF=OD=OE ,若/ BAC=70 Z BOC= _________ .10. 如图，△ ABC 的周长是12, OB 、OC 分别平分Z ABC 和Z ACB , OD 丄BC 于D ，且OD=3，则△ ABC 的面积是 ____________________11. 如图，OC 平分Z AOB , Z AOC=20 ° , P 为 OC 上一点，PD=PE,OD 工 OE , Z OPE=11012. 如图，△ ABC 中，Z A=60 ° , AB > AC ,两角的平分线 CD 、BE 交于点 O , OF 平分ZBOC 交 BC 于 F , (1)Z BOC=120 ° ; (2)连 AO ，贝U AO 平分Z BAC ; (3) A 、O 、F 三点在同一直线上，(4) OD=OE , ( 5) BD+CE=BC .其中正确的结论是 _____________________________ (填序号).13. 如图1,已知△ ABC 中，AB=AC , Z BAC=90 °，直角Z EPF 的顶点P 是BC 中点，两 边PE 、PF 分别交AB 、CA 的延长线于点 E 、F .(1) 求证：AE=CF ;(2) 求证：△ EPF 是等腰直角三角形；(3) 求证：Z FEA+ Z PFC=45 ° ;S ^ABC .8.如图，在5X 三角最多可以画出 (4)求证: S A PFC _ S A PBE = 尹14.如图，△ ACO为等腰直角三角形.(1 )若C (- 1, 3)，求A点坐标；(2)过A作AE丄AC,若/ FEO= / COE，求/ EOF的度数；(3)当厶ACO绕点O旋转时，过C作CN丄y轴，M为AO的中点，/ MNO的大小是否发生变化？15.如图，在△ ABC中，D是边BC上一点，AD平分/ BAC，在AB上截取AE=AC，连接BD=3cm，求线段BC的长.16.如图，在四边形ABCD 中，AC 平分/ DAE，DA // CE，AB=CB .(1)试判断BE与AC有何位置关系？并证明你的结论；(2)若/ DAC=25 °，求/ AEB 的度数.AD平分/ BAC，请利用线段之比可转化为面积之比的思路方法,求证18.如图，△ ABC 中，/ C=60 证：,AD , BE分别平分/ CAB , / CBA、AD、BE交于点P.求(1)/ APB=120 ° ;(2 )点P在/ C的平分线上；(3)AB=AE+BD .19. (1)如图1①，在△ ABC中，/ ABC= / ACB , AB的垂直平分线交AB于点N，交BC 的延长线于点M，若/ BAC=40 °，求/ AMB的度数；(2)如图1②，如果将(1)中的/ BAC的度数改为70°,其余条件不变，再求/ AMB的度数.20.在△ ABC 中, AD是/ BAC的平分线.(1)如图①，求证:S AACD AC(2)如图②，若BD=CD，求证：AB=AC ;(3)如图③，若AB=5 , AC=4 , BC=6 .求BD 的长.2. ________________________________________________________ 如图，在△ ABC 中，AB=AC ，/ BAC=90 ° , AE 是过 A 点的一条直线， CE 丄AE 于E , BD 丄 AE 于 D , DE=4cm , CE=2cm ，贝U BD= .3. 如图，在 Rt △ ABC 中，AC=BC ，/ C=90 ° , AB=8，点F 是AB 边的中点，点 D 、E 分 别在AC 、BC 边上运动，且保持 AD=CE ，连接DE 、DF 、EF .在此运动变化的过程中，下 列结论中正确的结论是(1 )△ DFE 是等腰直角三角形；(2) 四边形CDFE 不可能为形；(3) DE 长度的最小值是4;(4) 四边形CDFE 的面积保持不变;(5) △ CDE 面积的最大值为 4.4. 在直角坐标系中，如图有厶 ABC ，现另有一点D 满足以A 、B 、D 为顶点的三角形与△ABC 全等，则D 点坐标为 _____________________5. 如图所示，在△ ABC 中，/ A=90 ° , BD 平分/ ABC , AD=2cm , AB+BC=8 , S ^ABC= _____________________ .6. __________________________________________________ 如图，AD 是厶ABC 的角平分线， DF 丄AB ,垂三.【作业】1•“石门福地”小区有一块直角梯形花园，测量 则该花园面积为 _________________ 平方米.AB=20 米，/ DEC=90 °，/ ECD=45足为F, DE=DG , △ ADG和厶AED的面积分别为50和38,则厶EDF的面积为.7.如图，在△ ABC 中，/ ABC=90 ° . AB=BC , A (- 4, 0), B (0, 2) I 玖圏1 图2 图3(1)如图1,求点C的坐标；(2)如图2, BC交x轴于点M , AC交y轴于点N，且BM=CM，求证：/ AMB= / CMN ;(3)如图3,若点A不动，点B在y轴的正半轴上运动时，分别以OB、AB为直角边在第一、第二象限作等腰直角厶BOF与等腰直角△ ABE，连接EF交y轴于P点，问当点B在y 轴正半轴上移动时，BP的长度是否变化？若变化请说明理由，若不变化，请求出其长度.&如图，在厶ABC中，已知/ B= / C,AB=AC=10厘米，BC=8厘米，点D为AB的中点.点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A 点运动.(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，则经过1s,A BPD与厶CQP是否全等？请说明理由；(2)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使厶9.如图，AD // BC,/ D=90 ° .(1)如图1,若/ DAB的平分线与/ CBA的平分线交于点P,试问：点P是线段CD的中点吗？为什么？(2)如图2,如果P是DC的中点，BP平分/ ABC，/ CPB=35°，求/ PAD的度数为多10.观察、猜想、探究：在厶ABC 中，/ ACB=2 / B.(1)如图①，当/ C=90 ° , AD为/ BAC的角平分线时，求证：AB=AC+CD ;(2)如图②，当/ CM 90°, AD为/ BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想；(3)如图③，当AD ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明.参考答案与试题解析(1, 4)(丄，5), (0 10)b.解：①当△ COF 和厶FAQ 全等时,OC=AF ，OF=AQ 或 OC=AQ ，OF=AF , •/ OC=6 , OF=t , AF=10 - t , AQ=at ，代入得:::厂或(Mt ，解得2，a=1, ,5);②同理当厶FAQ 和厶CBQ 全等时，必须BC=AF , BQ=AQ ,10=10 - t , 6- at=at ，此时不存在；③因为△ CBQ 最长直角边 BC=10，而△ COF 的最长直角 边不能等于10,所以△。

角平分线的性质与全等三角形一、知识回顾1、角平分线的定义：从一个角的顶点出发把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线。

2、角的平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等。

3、全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。

••• AB=A B/ ,BC=B/ C ,AC=A/ C ; / A=/ A , / B=/ B，, / 0=/ C、典型例题例1 :下列定理中逆定理不存在的是（A .角平分线上的点到这个角的两边距离相等B .在一个三角形中，如果两边相等，那么它们所对的角也相等C .同位角相等，两直线平行D .全等三角形的对应角相等分析：把每个选项的逆命题写出，然后利用相关的知识进行证明，不能证明的是错误的, 选项D的逆定理是不存在的.解答：A角平分线上的点到这个角的两边距离相等的逆定理存在，可通过三角形全等来证明，正确;B、在一个三角形中，如果两边相等，那么它们所对的角也相等逆定理存在，可通过证明三角形全等来证明，正确;C、同位角相等，两直线平行的逆定理是平行线的性质定理之一，正确;D、对应角相等的三角形不全等，及其逆命题不正确，也就是逆定理不存在.故选D.例2 :如图，PDI AB PE! AC 垂足分别为D、E,且PA平分/ BAC则△APD与△APE全等的理由是（①DE=DF②AE=AF③AD平分/ EDF④ADI BC ⑤图**有3对全等三角形.A . SASC. SSSB. AASD. ASA分析：根据已知条件在三角形中的位置来选择判定方法, 本题中有两角及一角的对边对应相等，所以应选择AAS比较简单.解答：由已知得，AP=AP / DAP=^ EAP / ADPdAEP所以符合AAS判定.故选B.例3:已知，如图，△ ABC中, 列说法，正确的有（AD是角平分线，DEI AB DF丄AC垂足分别是E、F.下A . B.3 个 个 分析：根据题意可以推出 DE=DF △ AED^A AFD 即可推出说法①②③为正确.解答：••• AD 是角平分线，DEI AB DF 丄AC••• DE=DF / EAD=^ FAD••• AE=AF AD 平分/ EDF故选B .例4:（2002 •四川）以下命题中，真命题是（①同一平面内的两条直线不平行就相交； ②三角形的外角必定大于它的内角;三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角;全等三角形的判定方法： SSS SAS AAS ASA全等三角形的面积比相等.B 、三角形的外角应大于任何一个和它不相邻的内角，故错误;C 、不符合全等三角形的判定定理，故错误;D 、根据全等三角形的定义，故正确.C. 4③两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等; ④两个全等三 角形的面积相等.A .①、③ —B .①、④ C.①、②、D.②、③、④ 分析: 同一个平面内的两条直线的位置关系：平行、相交;解答: A 根据平面内两条直线的位置关系，故正确;故选B.例5 :如图，/仁/ 2,/ C=/ D, AC BD交于E点，下列结论中不正确的是（A. / DAE=/ CBE B CE=DEC.A DEA不全等于^ CBE D △ EAB是等腰三角形分析：由题中条件可得，△ ABD^^ BAC由全等可得对应角相等，对应线段相等，即可得^ ADE^^ BCE所以C中说两个三角形不全等是错误的；再由角相等也可得△ EAB 为等腰三角形，进而可得出结论.解答：•••/ 1=/ 2,/ C=/ D,且AB为公共边,:.△ABD^A BAC •••/ DAB/ CBA AD=BC又/仁/ 2, •••/ DAE/ CBE A 正确;又AD=BC/ D=/ C, •••△ ADE^A BCE C错误;••• CE=DE B 正确;•••/ 1=/2△ EAB为等腰三角形，D正确.故C错，选C.三、解题经验角平分线的性质很简单，也比较容易掌握。

三角形的全等判定（ASA 、AAS 、SSS 、HL ）和角的平分线一、重点是三角形全等的判定；难点是角平分线性质定理及其逆定理1. 证明三角形全等的思路由于证明三角形全等的方法较多，因此证明两个三角形全等的思路与其他证明题目的思咱有所不同，它不是先想用什么方法去证，而是先分析条件，观察待证全等的两个三角形中，已经具备了哪些条件，然后以其为基础，观察其他需要的条件，最后证出需要的条件。

例如：易得两边对应相等，则应再找⎩⎨⎧第三边相等夹角相等)2()1(，在（1）（2）中证出一个条件，则可以证出三角形的全等。

2. 全等三角形的应用（1）证明线段或角相等，通常先观察要证明的线段或角分布在怎样的两个可能全等的三角形中，再分析这两个三角形全等已经有什么条件，还缺少什么条件，最后证出所缺条件。

（2）添辅助线构造全等三角形常见的辅助线有：①题中有三角形中线的条件时，常作如下辅助线：如下图，△ABC 中，BD=DC ，延长AD 到E ，使DE=AD ，连结CD 或BE 。

则有结论△CDE ≌△BDA 或△BDE ≌△CDA②题中有三角形角平分线的条件时，常作如下辅助线：如图(1)，∠1=∠2，AB>AC ，则在AB 上截取AE=AC ，连结DE ，必有结论△ADE ≌△ADC.如图(2)，若延长AC 到F ，使AF=AB ，连结DF ，必有结论△ADF ≌△ADB. 如图(3)，若作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，必有结论DE=DF.3. 角的平分线（1）定理：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等；（2）逆定理：到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。

这两个定理是两个能简化证明过程的定理，如果没有这两个定理，它们所得出的结论，可以通过全等三角形得到。

学生在碰到能运用这两个定理的题时，往往会习惯性地还是用全等的方法来进行证明，应当有意识地加强训练，加深对这两个定理的印象。

于点E，BF和CE相交于点D.
求证：AD平分∠BAC.
证导明引：：∴∵要∠D证FD⊥AEDBA平＝C于分∠点∠DFFB，CA＝CD，9E0⊥已°A知. B于点E， 条件中有在两△个BD垂E直和，△即CD有F点中到，角 的两边的距∠离BD，E再＝证∠这CD两F个距离 相等即可证∠BE明D＝E结BC论＝F，∠证DF这C两条垂 线段相∴等△，B可DE通≌过△证C明DF△(ABDAES)和， △CDF∴又全D∵等ED＝来FD⊥完FA成.C．，DE⊥AB，
求证：点P在∠BAC的平分线上。 A
B
C
E
PD
证明：过点P作PM⊥AE,PF⊥BC,PN⊥AD
垂足分别为M，F分线,
PM⊥AE,PF⊥BC ∴PM=PF ∵CP是△ABC的∠C的外角平分线,
PF⊥BC,PN⊥AD
BF C
M
N
E
PD
∴PF=PN
∴PM=PN ∴P点在∠A的平分线上
∴AD平分∠BAC.
54、.(教材 P52 习题 T7 变式)如图，在四边形 ABDC 中，
∠D＝∠B＝90°，O 为 BD 的中点，且 AO 平分∠BAC．
求证：CO 平分∠ACD．
证明：过点 O 作 OE⊥AC 于点 E， ∵∠B＝90°，∴OB⊥AB， 又∵AO 平分∠BAC， ∴OB＝OE. ∵点 O 为 BD 的中点， ∴OB＝OD．∴OE＝OD． 又∵OE⊥AC，∠D＝90°，即 OD⊥CD， ∴CO 平分∠ACD．
只相等不垂直不能判定 点在角平分线上
只垂直不相等不能判 定点在角平分线上
2、如图，在CD上求一点P，使它到边OA，OB的 距离相等，则点P是( C )
A．线段CD的中点 B．CD与过点O作CD的垂线的交点 C．CD与∠AOB的平分线的交点 D．以上均不对

全等三角形角平分线的判定一、概述全等三角形是几何学中重要的概念之一，它指的是具有相同形状和大小的两个三角形。

在判定两个三角形是否全等时，角平分线是一个重要的判定条件之一。

本文将详细探讨全等三角形角平分线的判定方法。

二、角平分线的定义和性质角平分线是指从一个角的顶点出发，将该角分成两个相等的角的线段。

在三角形中，每个内角都有一条角平分线。

角平分线的性质如下： 1. 角平分线将角分成两个相等的角。

2. 三角形的三条角平分线交于一点，该点称为角平分点。

3. 角平分线与三角形的边相交，将边分成两个与角平分线所在直线段成比例的线段。

三、全等三角形的定义和判定条件全等三角形是指具有相同形状和大小的两个三角形。

判定两个三角形全等的条件有多种，其中之一就是角平分线的相等性。

以下是判定两个三角形全等的常用条件：1. SSS（边-边-边）：若两个三角形的三条边分别相等，则它们全等。

2. SAS（边-角-边）：若两个三角形的两边和夹角分别相等，则它们全等。

3. ASA（角-边-角）：若两个三角形的两角和一边分别相等，则它们全等。

4. AAS（角-角-边）：若两个三角形的两角和一边分别相等，则它们全等。

5. RHS（直角-斜边-高）：若两个直角三角形的斜边和高分别相等，则它们全等。

四、角平分线的判定方法在判定两个三角形全等时，我们可以利用角平分线的相等性来简化判定过程。

以下是角平分线的判定方法： 1. 若两个三角形的一个内角的角平分线分别与另一个三角形的两个内角的角平分线相等，则这两个三角形全等。

2. 若两个三角形的两个内角的角平分线分别与另一个三角形的两个内角的角平分线相等，则这两个三角形全等。

3. 若两个三角形的一个内角的角平分线分别与另一个三角形的一个内角的角平分线相等，并且这两个内角的角平分线所在直线段成比例，则这两个三角形全等。

五、示例分析下面通过一个示例来说明角平分线的判定方法。

假设有两个三角形ABC和DEF，已知∠A = ∠D，∠B = ∠E，AD/DE = BC/EF。

1 这样的点共有_________ 个。 9、如图所示，在△ABC中，BC=5cm，BP、CP分别 是∠ABC和∠ACB的角平分线，且PD∥AB，PE∥AC， 5 则△PDE的周长是_________________ cm。 10、在△ABC中，∠C=90°，BC=16cm，∠A的平分线AD交BC于D，且CD： 6cm DB=3：5，则D到AB的距离等于_________ 。
（二）填空题 6、如图所示，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE， 55O ∠1=250，∠2=300，则∠3=________________
ห้องสมุดไป่ตู้
7、如图所示，DA⊥AB，EA⊥AC，AB=AD，AC=AE， 90O BET和CD相交于O，则∠DOE的度数是_______________. 角平分线 8、到三角形三边距离相等的点是三角形的___________ 交点，
∴△ADE≌△BCF(SAS) ∴∠E=∠F ∴DF∥BF 例2、如图所示，AD=BC，FD=EB，AB=CD，求证∠E=∠F. 证明：易证：△ADB≌△BCD(SSS) ∴ ∠ABD=∠CDB ∴ ∠BDF=∠EBD 又BE=DF,BD=BD ∴ △EDB≌△BFD(SAS)
例3、如图所示，在△ABC中，延长AC边上的中线BD到F， 使DF=BD，延长AB边上的中线CE到G，使EG=CE，求证： AF=AG. 证明：∵AE=BE,GE=CE, ∠AEG=∠CEB ∴ △ECB≌△GAE(SAS) 同理AF=BC ∴AG=AF
∴∠EDC=∠C=40O
易证△AEB≌△FEB(SAS),∴∠EFB=∠A=100O ∴ED=EF
∴BC=BD+DC=BE+AE.
例7、已知：如图所示PA、PC分别是△ABC的外角∠MAC、∠NCA的平分 线，它们交于P；PD⊥BM于D，PF⊥BN于E，则BP是∠MBN的平分线吗？ 说明理由。 是。 ∵PA、PC分别是△ABC的外角∠MAC、∠NCA的平分线 又∵PD⊥BM，PF⊥BN ∴PM=PE=PF, ∴BP是∠MBN的平分线。

专题06全等模型-角平分线模型角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，本专题就角平分线的几类全等模型作相应的总结，需学生反复掌握。

模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直）【模型解读与图示】条件：如图1，OC 为AOB ∠的角平分线、CA OA ⊥于点A 时，过点C 作CA OB ⊥.结论：CA CB =、OAC ∆≌OBC ∆.图1图2常见模型1（直角三角形型）条件：如图2，在ABC ∆中，90C ∠=︒，AD 为CAB ∠的角平分线，过点D 作DE AB ⊥.结论：DC DE =、DAC ∆≌DAE ∆.（当ABC ∆是等腰直角三角形时，还有AB AC CD =+.）图3常见模型2（邻等对补型）条件：如图3，OC 是∠COB 的角平分线，AC =BC ，过点C 作CD ⊥O A 、CE ⊥OB 。

结论：①180BOA ACB ∠+∠=︒；②AD BE =；③2OA OB AD =+.例1．（2022·北京·中考真题）如图，在ABC ∆中，AD 平分,.BAC DE AB ∠⊥若2,1,AC DE ==则ACD S ∆=____．【答案】1【分析】作DF AC ⊥于点F ，由角平分线的性质推出1DF DE ==，再利用三角形面积公式求解即可．【详解】解：如图，作DF AC ⊥于点F ，∵AD 平分BAC ∠，DE AB ⊥，DF AC ⊥，∴1DF DE ==，∴1121122ACD S AC DF ∆=⋅=⨯⨯=．故答案为：1．【点睛】本题考查角平分线的性质，通过作辅助线求出三角形ACD 中AC 边的高是解题的关键．例2．（2022·山东泰安·中考真题）如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 与内角∠ABC 的平分线BP 交于点P ，若∠BPC ＝40°，则∠CAP ＝（）A ．40°B ．45°C ．50°D ．60°【答案】C 【分析】根据外角与内角性质得出∠BAC 的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP ＝∠FAP ，即可得出答案.【详解】解：延长BA ，作PN ⊥BD ，PF ⊥BA ，PM ⊥AC ，设∠PCD ＝x °，∵CP 平分∠ACD ，∴∠ACP ＝∠PCD ＝x °，PM ＝PN ，∵BP 平分∠ABC ，∴∠ABP ＝∠PBC ，PF ＝PN ，∴PF ＝PM ，∵∠BPC ＝40°，∴∠ABP ＝∠PBC ＝∠PCD ﹣∠BPC ＝（x ﹣40）°，∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝2x°﹣（x°﹣40°）﹣（x°﹣40°）＝80°，∴∠CAF＝100°，在Rt△PFA和Rt△PMA中，{PA PA PM PF==，∴Rt△PFA≌Rt△PMA（HL），∴∠FAP＝∠PAC＝50°．故选C．【点睛】本题考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全等的判定等知识，根据角平分线的性质得出PM＝PN＝PF是解题的关键．例3．（2023·山东·七年级专题练习）如图，∠D＝∠C＝90°，点E是DC的中点，AE平分∠DAB，∠DEA ＝28°，求∠ABE的大小．【答案】28°【分析】过点E作EF⊥AB于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=EF，根据线段中点的定义可得DE=CE，然后求出CE=EF，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可得出BE平分∠ABC，即可求得∠ABE的度数．【详解】如图，过点E作EF⊥AB于F，∵∠D=∠C=90°，AE平分∠DAB，∴DE=EF，∵E是DC的中点，∴DE=CE，∴CE=EF，又∵∠C=90°，∴点E在∠ABC的平分线上，∴BE平分∠ABC，又∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD=180°，∴∠AEB=90°，(1)填空：角平分线的性质定理：角平分线上的点到．符号语言：∵如图1，OP 为COD ∠上的平分线，且，∴．(2)解答：已知：如图2，60AOB ∠=︒，OP 为AOB ∠的平分线，以点P 为顶点的CPD ∠与角的两边相交于点C 、D ，且120CPD ∠=︒．求证：PC PD =．(3)作图：根据以上种情况，再次寻找其它情况，点P P 为AOB ∠的平分线上的点，请你用尺规作图作PE OA ⊥于E ，作PF OB ⊥于F ，90PEC PFD PEO PFO ∴∠=∠=∠=∠=︒，OP 平分AOB ∠，PE PF ∴=，在四边形EOFP 中，60AOB ∠=︒，90PEO PFO ∠=∠=︒，36060290120EPF ∴∠=︒-︒-⨯︒=︒，120CPD ∠=︒ ，CPD EPF ∴∠=∠，CPD EPD EPF EPD ∴∠-∠=∠-∠，CPE DPF ∴∠=∠，PEC PFD ∴≅ （ASA ）PC PD ∴=；（3）证明：如图2，作射线PC ，交OA 于C ，作PCN AOB ∠=∠，反向延长NP ，交OB 于D ，则PC PD =；,（4）解：如图3，当ODP ∠和OCP ∠互补时，PC PD =，理由如下：作PE OA ⊥于E ，作PF OB ⊥于F ，90PEC PFD PEO PFO ∴∠=∠=∠=∠=︒，OP 平分AOB ∠，PE PF ∴=，在四边形EOFP 中，90PEO PFO ∠=∠=︒，360290180EPF AOB ∴∠+∠=︒-⨯︒=︒，180CPD AOB ∠+∠=︒ ，CPD EPF ∴∠=∠，CPD EPD EPF EPD ∴∠-∠=∠-∠，CPE DPF ∴∠=∠，PEC PFD ∴≅ (ASA)PC PD ∴=．【点睛】本题考查全等三角形的判定，角平分线的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直）【模型解读与图示】条件：如图1，OC 为AOB ∠的角平分线，AB OC ⊥，结论：△AOC ≌△BOC ，OAB ∆是等腰三角形、OC 是三线合一等。

全等三角形及角平分线的性质首先，这节课的重点是全等三角形的性质及各种判定三角形全等的方法，难点是根据不同的条件合理选用三角形全等的判定方法，特别是对于“SSA ”不能判定三角形全等的认识。

这里我们列出重要知识点和基本的解题思路。

1.全等三角形性质：全等三角形的对应边相等；对应角相等。

2.全等三角形的判定方法：三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS ”）.两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS ”）. 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA ”）. 两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS ”）. 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL ”）.3.证明三角形全等的基本思路：(1)已知两边：⎪⎩⎪⎨⎧）或若有直角（找夹角）找第三边（SAS HL SAS SSS )(（2）已知一边一角⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧）已知是直角，找一边（）找一角（已知一边与对角）找这个边的对角（）找这个角的另一边（）找这边的另一邻角（已知一边与邻角HL AAS AAS SAS ASA (3)已知两角⎩⎨⎧）找夹边外任一边（）找夹边（AAS ASA例1 如图11-116所示，太阳光线AC 与A ′C ′是平行的，同一时刻两根高度相同的木杆在太阳光照射下的影子一样长吗?说说你的理由．例 2 若两个锐角三角形的两边和其中一边上的高分别对应相等．试判断这两个三角形的第三边所对的角之间的关系，并说明理由．二、角平分线的性质1，角平分线分得的两个角相等，都等于该角的一半；2，角平分线上的点到该角两边的垂直距离相等；3，在角的内部，到该角两边距离相等的点在该角的平分线上。

4.三角形的三个角的角平分线相交于一点，这个点称为内心，即以此点为圆心可以在三角形内部画一个内切圆。