1.2.3同角三角函数的基本关系第二课时学案

教师引导学生采取作差法证明
进入情景，参与课堂活动
让学生证明同角的三角函数关系，小组交流展示讲解。
学生分析做法，并写出完整的解答过程。
小组成员展示，指出小组同学的做题情况并总结此类问题方法。
学生分析，交流教材上的两种证法。
分小组讨论，探究其解题方法，再与第一小题比较，寻找其可借鉴之处。
温故知新，构造知识发生的基础，通过层层设问，让学生经历从特殊到一般的归纳。
学生学情分析
从学生思维的来看，学生在初中阶段已经学习了锐角同角三角函数之间的关系，已经较好的掌握了锐角三角函数的数量关系，前一节已经将三角函数推广到任意角的三角函数，学生能根据任意角三角函数的定义求三角函数值，但这种方法较为麻烦，从三角函数的完整性讲，需要研究三角函数的正弦、余弦、正切之间的关系。基于以上分析，学生有研究同角三角函数的基本关系的必要，同时也有知识、方法和思维上的基础和条件。
1.2.2同角三角函数的基本关系
一、同角三角函数的基本关系式例1.
平方关系：/
商数关系：/例2.
1.同角
式子要有意义
教学反思
本节课采用“提出问题—合作探究—解决问题—变式应用”的模式展开。在两个基本公式的推导上，完全放手让学生自主去探索，去研究，去发现三个三角函数之间的关系。学生经过推导，顺利发现并证明了两个三角函数关系式。这样，在课堂上学生始终处于不断发现问题、解决问题的过程中，他们经过自主探索，发现了数学知识，其成功后的喜悦自然也能激励他们再去探究新的数学知识。相信这些乐于自主探索的学生，成功会越来越多，认识会越来越深。
（1）能根据三角函数的几何、代数定义导出同角三角函数的基本关系式；
（2）掌握同角三角函数的两个基本关系式，并能够根据一个角的三角函数值，求这个角的其他三角函数值。

1.2.2《同角三角函数的基本关系》导学案学习目标：1．掌握同角三角函数的基本关系式的推导方法．2．会用同角三角函数的基本关系式化简三角函数式、求任意角的三角函数值。

学习重点：同角三角函数的基本关系式的推导与应用。

学习难点：同角三角函数的基本关系式的推导。

【回顾旧知】1．在右图单位圆中，作出角α的正弦线MP、余弦线OM2．设角α的终边与单位圆交与P(x,y),则sinαcosα=_______ tanα=_________【新课探究】1、观察正弦线MP、余弦线OM和半径OP满足什么关系？同角三角函数的平方关系：_________________________常变形为2sinα= 2cosα=2、根据三角函数的定义观察sinα、cosα、tanα有什么关系？同角三角函数的商数关系：_________________________【典例剖析】应用一：求角的三角函数值例1、已知3sin5α=-，求cosα，tanα的值。

变式练习1：已知4cos5α=-，求sinα，tanα的值。

例2、已知3tan 4α=-，求sin α，tan α的值。

变式练习2：已知tan θ=，求sin θ，cos θ的值。

应用二：化简三角函数式例3、化简:(1) 22(1tan )cos αα+ (2)变式练习3：(1)cos tan θθ (2) 222cos 112sin αα--【小结与反思】【拓展探究】已知tan 1α= 求 (1)2sin cos sin 2cos αααα++(2) 222sin cos αα+作业：课本P 21 10. (1) (2) 11.。

1.2.3 同角三角函数的基本关系式教材知识检索考点知识清单1．同角三角函数的两个最基本的关系为 和 ．2．知道一个角的某一三角函数值，利用这两个关系式和 ，就可以求出这个角的其余____，此外还可以利用他们 和 ．3．证明一个三角恒等式，可以从它的 开始，推出等于另一边，也可以用 证明等式两边之差等于零；还可以先证得 ，并由此推出需要证明的等式成立． 要点核心解读1.同角三角函数的基本关系式如图1-2 -3 -1，在单位圆中，由三角函数的定义和勾股定理可得αααααcos sin tan ,1cos sin 22==+2．需要注意的几个问题(1)公式成立的条件：公式1cos sin 22=+αα对一切R ∈α均成立；αααcos sin tan =仅在)(2z k k ∈+=/ππα时成立． (2)学习同角三角函数的基本关系式时，首先要突出“同角”的含义，这里的“同角”应作广义的理解，例如αππ3,33与与α3是同角，76πβ+与76πβ+也是同角． 同角的三角函数关系是三角学的最基本而且也是最重要的公式，掌握好这些公式对以后的学习至关重要．学习时要从“公式的证”“公式的记忆”“公式的应用”三个方面人手．通过本节的学习，有意识的培养推理论证能力和分析转化能力．(3)使用平方关系,1cos ,cos 1sin 22ααααms -±=-±=正、负号由α所在的象限来确定，而对于其他形式的公式就不必考虑符号问题．(4)运用同角三角函数的基本关系式，应注意公式变形及逆用：如,cos sin 1,sin 1..,cos 1sin 222222αααααα+=-=-=co =αsin ,cos .tan αα.tan cos sin ,11sin cos ααααωαα==(5)这两个关系式是三角函数中最基本的关系式．当我们知道一个角的某一三角函数值时，利用这两个关系式和三角函数的定义，就可求出这个角的其余三角函数值．此外，还可以用它们化简三角函数式和证明三角恒等式．3．两类重要题型的处理方法(1)化简三角函数的目的是为了简化运算，化简的一般要求： ①能求出函数值的要求出函数值来；②函数种类尽可能地少； ③要使化简后的式子项数最少，次数最低；④尽量化去含有根式的式子，尽可能地不含分母，化简的关键是消元和降次．(2)证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，就是有目的的化简，根据不同题型，可采用： ①左边⇒右边；②右边⇒左边；③右边，左边⇒中间．这是就证明题的“方向”而亩的，从“繁、简”角度讲，一般由繁到简，另外要注意“切、割化弦”的变形．典例分类剖析考点1知一求其他问题 命题规律已知一个角的某一三角函数值求这个角的其余三角函数值．[例1] (1)已知,54sin =α且α是第二象限角，则αtan 的值是( )． 34.-A 43.-B 43.C 34.D(2)已知,54sin =α求αtan 的值．[解析] (1),54sin =α 且α是第二象限角，,53)54(1sin 1cos 22-=--=--=∴αα⋅-=-==∴345354cos sin tan ααα 故选A ．αα∴>=,054)2(ms 是第一或第二象限角， 当α为第一象限角时，,53sin 1cos 2=-=αα;34cos sin tan ==∴ααα当α为第二象限角时，,53sin 1cos 2-=--=αα⋅-==∴34cos sin tan ααα∴ 当α为第一象限角时，;34tan =α当α为第二象限角时，⋅-=34tan α[答案】 (1)A(2)见解析．[点拨] (1)已知ααααcot tan cos sin 、、、四个三角函数值中的一个，就可以求另外三个，但在利用平方关系时，符号的选择是看α属于哪个象限，这是易出错的地方，应引起重视．当α的象限不确定时，则需分象限讨论．(2)同角三角函数的基本关系式反映了各种三角函数之间的内在联系，为三角函数式的变形提供了工具和方法，1．(1)已知,51sin =α求.tan ,cos αα(2)A 是△ABC 的—个内角，且,54sin =A 求7cos 158sin 5-+A A 的值 考点2 含字母的知一求其他问题命题规律已知一个角的莱一三角函数值以字母呈现，求这个角的其他三角函数值．[例2] 已知),1|(|sin ≤=m m α求αtan 的值．[解析] 可先由,sin 1cos 2αα-±=根据正、负号的选取情况对α作出讨论，再求.tan α (1)当0=m 时，.0cos sin tan ==ααα (2)当1±=m 时，α的终边落在y 轴上，此时αtan 无意义． (3)当α在第一、四象限时，,0cos >α,11cos 2m ms -=-=∴αα ⋅--=-==∴22111cos sin tan m m m mm ααα 当α在第二、三象限时，,0cos <α,1cos 2m --=∴α⋅--=--==∴111cos sin tan 22m m m mm ααα 2．已知,tan m =α求.cos sin αα、考点3 关于ααcos sin 、齐次式的求值问题 命题规律已知αtan 的值，求含有ααcos sin 、的齐次式的三角函数式的值． [例3] 已知,0cos 2sin 3=-αα求下列各式的值．;sin cos sin cos sin cos sin cos )1(αααααααα-+++-.cos 4cos sin 2sin )2(22αααα+-[解析] 解此题的常规思路是由ααcos 2sin 3=得=αtan ⋅32再讨论α在第一或第三象限时αsin 和αcos 的值，进而可求出所要求的值．但这种方法计算量过大．我们注意到(1)中分子、分母都是关于ααcos sin 和的一次齐次式，因此在它的分子、分母中同除以,cos α就转化成用αtan 表示，因而很容易求出其值．(2)中把分母看做是l ，并用22cos +αm s 的式子α来代替，因而与(1)类似地转化即可．(1)显然,32tan ,0cos =∴=/αα ++-=-+++-=-+++-321321tan 1tan 1tan 1tan 1sin cos sin cos sin cos sin cos αααααααααααα526321321=-+=++-=+-αααααααααα222222cos sin cos 4cos sin 2sin cos 4cos sin 2sin )2( ⋅=++-=++-1328194434941tan 4tan 2tan 22ααα 3．已知,3tan =α求下列各式的值：;sin cos 3sin cos 3sin cos 4sin cos 4)1(αααααααα+-+-+.4cos sin 3sin 2)2(2+-ααα考点4化简问题 命题规律化简给出的三角函数式， [例4] 化简下列各式：;sin 1sin 1sin 1sin 1tan 1cos 1)1(αααααα+---+++⋅----θθθθ4466cos sin 1cos sin 1)2( [解析] (1)原式=--+++ααααα22sin 1)sin 1(cos sin 1.cos 1+=--ααααcos |cos |sin 1)sin 1(2|cos |sin 1|cos |sin 1αααα--+⎩⎨⎧≡---+==N h zrx hLhhk z x z αααα(tan 21),*9(tan 21 (2)原式=θθθθθθθθ44226622cos sin cos sin cos cos sin --+--+ms)cos 1(cos )sin 1(sin )cos 1(cos )1(sin 22224242θθθθθθθθ-+--+-=ms )cos 1(cos )sin 1(sin )cos 1)(cos 1(cos )sin 1)(sin 1(sin 2222222222θθθθθθθθθθ-+--++-+=θθθθθθθθθθ2222222222sin cos cos sin )cos 1(cos .sin )sin 1(cos sin ⋅+⋅+++⋅=⋅=+++⋅=23cos .sin 2)cos 1sin 1(cos 8222222θθθθθθm [点拨】对(1)运用公式，想方设法将无理式化为有理式，将结果化为最简形式．对(2)，遇到高次，要通过基本关系式降次，将l 代换为,cos 22θθ+ms 再因式分解．注意切化弦的技巧， 4．化简：++++ 38281in )1(222in in s o ;89sin 2;cos sin 3sin cos )2(2266αααα++.cos sin 1cos sin 2cos sin 1)3(⋅+++++αααααα考点5 三角式的证明 命题规律证明给出的三角恒等式成立．[例5] 求证：.)cos sin 1()1)(sin 1(22αααα+-=+-coB[解析] 左边=+=-+-+1cos sin 2cos 2sin 211ααααsin2cos sin 22-+αα+ααcos-+=-ααα(cos 21)sin (cos 2=+-=-+22cos sin 1()sin (cos )sin ）ααααα右边．[点拨]证明三角恒等式的常用方法与证明代数恒等式的常用方法基本相同，即(1)从右证到左；(2)从左证到右；(3)证明左右归一．选择哪一种的原则是化繁为简，另外还有变更命题法，如要证,DCB A = 可证,BC AD =或证A CB D =等． 5．(1)证明：=+-+ααααcos 1sin sin 1cos ⋅++-ααααcos sin 1)sin (cos 2 (2)已知,1tan 2tan22+=βα求证：.1sin 2sin 22-=αβ考点61cos sin 22=+αα的变式应用命题规律已知ααααsin cos cos sin ⋅±、中之一，求其余两个的值或求ααcos sin 、的值． [例6] 已知：),,0(,51cos sin πθθθ∈=+求值： .cos sin )3(;cos sin )2(;tan )1(33θθθθθ+-[解析] ),,0(,51cos sin πθθθ∈=+ .02512cos <-=∴θθms ,0cos ,0sin <>∴θθ且θθcos ,sin 是方程02512512=--x x 的两根，解方程得⋅-==53,5421x x ⋅-==∴53cos ,54sin θθ⋅=+=--=∴12537cos sin ,57cos ,34tan 33θθθθθm s 6．(1)已知,41cos .sin =αα且<<απ4,2π求ααsin cos -的值．(2)设θθcos sin h -是方程0)13(22=++-m x x 的两根，求m 与θθθθθθcos sin 2tan 1cos cot 1sin --+-的值。

§1.2 同角三角函数的基本关系（第2课时）【教学目标】⒈能熟练选取同角三角函数的两种关系的不同变形进行三角函数的化简求值与证明；⒉在解决三角函数化简求值及证明的过程中，提升学生对数学式子的恒等变形能力，树立转化与化归的思想；⒊培养学生积极参与大胆探索的精神；让学生通过自主学习体验学习的成就感，培养学生学习数学的兴趣和信心。

【教材分析】本节课是《同角三角函数的基本关系》第2课时，重点在于两个基本关系式的变形运用，体现在化简、求值和证明三种题型上，教材上的例5、例6旨在化简求值，例7旨在恒等式证明，针对性强，但对ααcos sin +、ααcos sin -、ααcos sin ⋅知一求二的问题，只在课后习题和作业中体现，为了加强对学生的指导，特设置了例1。

【教学重点】熟练应用同角三角函数的两种关系进行化简求值与证明【教学难点】关系式在解题中的灵活选取，及应用同角三角函数的两种关系对数学式子进行变形、转化【教学方法与手段】教师启发引导，学生合作探究，突出学生在解题教学中的主体作用【教学过程】一、 知识检查 利用和 填空： ⒈α2sin = ，α2sin = ，1= .⒉⋅=ααtan sin ( )⒊()=+2cos sin αα ；()=-2cos sin αα . 设计目的：检查公式，灵活变形二、 例题探究 例1 已知α是第二象限角，51cos sin =+αα，求下列各式的值： 1cos sin 22=+αααααcos sin tan =⑴ααcos sin ⋅ ⑵ααcos sin -设计目的：ααcos sin +、ααcos sin -、ααcos sin ⋅知一求二，整体代换 解：⑴由51cos sin =+αα得()251cos sin 2=+αα 251cos cos sin 2sin 22=++αααα 1251cos sin 2-=αα 2512cos sin -=αα ⑵()()ααααααcos sin 4cos sin cos sin 22-+=- =)2512(4251-⨯- =2549 ∵α是第二象限角∴0sin >α，0cos <α∴0cos sin >-αα ∴57cos sin =-αα 例2 化简02620cos 1-设计目的：综合运用诱导公式及 进行化简解：原式=0620sin =()0000080sin 80sin 100sin 100720sin ===-例3 化简θθθθcos cos 1sin 1sin 22-+- 设计目的：化简时渗透分类讨论的意识解：原式=θθθθcos sin cos sin + 1cos sin 22=+αα=⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+<<++<<+-+<<++<<ππθππππθππθππθππππθπθ22232,02322,tan 2222,0222,tan 2k k k k k k k k Z k ∈ 例4 求证： 设计目的：通过一题多解，培养学生的发散思维，提高学生思维的深刻性、敏捷性证法1 ∵()()()()0cos sin 1cos cos cos sin 1sin 1sin 1cos cos sin 1sin 1cos 222=--=----=+--θθθθθθθθθθθθθ ∴θθθθcos sin 1sin 1cos +=- 证法2 左边=()()θθθθθθθθcos sin 1cos 1cos sin 1cos sin 1cos 22--=-=- ()()()θθθθcos sin 1sin 1sin 1-++= θθcos sin 1+==右边 ∴θθθθcos sin 1sin 1cos +=-证法3 ∵()()θθθθ22cos sin 1sin 1sin 1=-=-+0sin 1≠-θ，0cos ≠θ ∴θθθθcos sin 1sin 1cos +=- 三、 课堂练习⒈化简：⑴θθtan cos ⑵θθ22sin 211cos 2-- 解：⑴θθθsin tan cos =θθθθcos sin 1sin 1cos +=-⑵()()1sin cos sin cos sin 2cos sin cos sin cos 2sin 211cos 2222222222222=--=-++-=--θθθθθθθθθθθθ ⒉求证：⑴αααα2244cos sin cos sin -=-⑵1cos cos sin sin 2224=++x x x x证明：⑴左边=()()=-+αααα2222cos sin cos sin αα22cos sin -=右边∴αααα2244cos sin cos sin -=-⑵左边=x x x x 2224cos cos sin sin ++=x x x x 2222cos )cos (sin sin ++=1cos sin 22=+x x∴1cos cos sin sin 2224=++x x x x四、 课堂小结利用2-3分钟让学生总结本节课的主要内容与思想方法，让其他同学补充完善，老师作强调：⒈同角三角函数基本关系的三种应用：求值，化简，证明⒉思想方法： 分类讨论⒊证明三角恒等式的一般思路五、 作业布置习题3-1 A 组 5、6 B 组 1、2教学反思:⒈为了体现灵活变形、整体代换在解决ααcos sin +、ααcos sin -、ααcos sin ⋅知一求二问题中的优越性，设计了例1，从实际操作来看，学生更易想到将其与联立，解二元方程组，在角的范围没有已知的情况下，就需要分类讨论，一来运算量大，二来也容易出现错误，所以这种题型还需要在后续课中加强。